പോളിനോമിയലുകളുടെ ഫാക്ടറൈസേഷന് 8 ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്. ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ, റിഫ്ലെക്\u200cസിവ് പോളിനോമിയലുകളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഡിഗ്രി പോളിനോമിയലുകളുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ അവയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു.

1. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

തീരുമാനം

X പുറത്തെടുക്കുക 2 ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത്:
.
2 + x - 6 \u003d 0:
.
സമവാക്യ വേരുകൾ:
, .

.

ഉത്തരം

ഉദാഹരണം 1.2

മൂന്നാം ഡിഗ്രി പോളിനോമിയൽ ഫാക്ടർ:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

തീരുമാനം

പരാൻതീസിസിൽ നിന്ന് x നീക്കുക:
.
ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം x 2 + 6 x + 9 \u003d 0:
അതിന്റെ വിവേചനം :.
വിവേചനം പൂജ്യമായതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഒന്നിലധികം :;
.

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് പോളിനോമിയലിന്റെ ഫാക്ടറൈസേഷൻ ലഭിക്കും:
.

ഉത്തരം

ഉദാഹരണം 1.3

ഫാക്ടർ 5 ഡിഗ്രി പോളിനോമിയൽ:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

തീരുമാനം

X പുറത്തെടുക്കുക 3 ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത്:
.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു x 2 - 2 x + 10 \u003d 0.
അതിന്റെ വിവേചനം :.
വിവേചനാധികാരം മുതൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമാണ് :;
, .

പോളിനോമിയലിന്റെ ഫാക്ടറൈസേഷൻ ഇതാണ്:
.

യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളുമായുള്ള ഫാക്ടറൈസേഷനിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ:
.

ഉത്തരം

സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഫാക്ടറിംഗ് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയലുകളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 2.1

ഒരു ബൈക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ ഫാക്ടർ out ട്ട്:
x 4 + x 2 - 20.

തീരുമാനം

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാം:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - ബി 2 \u003d (എ - ബി) (എ + ബി).

;
.

ഉത്തരം

ഉദാഹരണം 2.2

ഒരു ദ്വിഭ്രാന്തിയായി കുറയ്ക്കുന്ന ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്ടർ:
x 8 + x 4 + 1.

തീരുമാനം

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാം:
a 2 + 2 ab + b 2 \u003d (a + b) 2;
a 2 - ബി 2 \u003d (എ - ബി) (എ + ബി):

;

;
.

ഉത്തരം

മടക്കാവുന്ന പോളിനോമിയലിനൊപ്പം ഉദാഹരണം 2.3

ഫാക്ടർ ദി റിട്ടേൺ പോളിനോമിയൽ:
.

തീരുമാനം

റിഫ്ലെക്\u200cസിവ് പോളിനോമിയലിന് വിചിത്രമായ ഡിഗ്രി ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഇതിന് ഒരു റൂട്ട് x \u003d - ഉണ്ട് 1 ... പോളിനോമിയലിനെ ഞങ്ങൾ x - കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു (-1) \u003d x + 1... ഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
.
ഞങ്ങൾ പകരക്കാരനാക്കുന്നു:
, ;
;


;
.

ഉത്തരം

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുള്ള ഫാക്ടറിംഗ് പോളിനോമിയലുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 3.1

ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്ടർ out ട്ട്:
.

തീരുമാനം

സമവാക്യം കരുതുക

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 \u003d -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 \u003d -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 \u003d -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 \u003d -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 \u003d 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 \u003d 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 \u003d 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 \u003d 60.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ മൂന്ന് വേരുകൾ കണ്ടെത്തി:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
യഥാർത്ഥ പോളിനോമിയൽ മൂന്നാം ഡിഗ്രി ആയതിനാൽ, ഇതിന് പരമാവധി മൂന്ന് വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ മൂന്ന് വേരുകൾ കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, അവ ലളിതമാണ്. പിന്നെ
.

ഉത്തരം

ഉദാഹരണം 3.2

ഒരു പോളിനോമിയൽ ഫാക്ടർ out ട്ട്:
.

തീരുമാനം

സമവാക്യം കരുതുക

കുറഞ്ഞത് ഒരു മുഴുവൻ റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ട്. അപ്പോൾ അത് സംഖ്യയുടെ ഹരണമാണ് 2 (x ഇല്ലാത്ത പദം). അതായത്, മുഴുവൻ റൂട്ടും അക്കങ്ങളിൽ ഒന്നാകാം:
-2, -1, 1, 2 .
ഞങ്ങൾ\u200c ഈ മൂല്യങ്ങൾ\u200c മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 \u003d 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 \u003d 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 \u003d 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 \u003d 54 .
ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുന്നുവെങ്കിൽ, അത് സംഖ്യയുടെ ഹരണമാണ് 2 (x ഇല്ലാത്ത പദം). അതായത്, മുഴുവൻ റൂട്ടും അക്കങ്ങളിൽ ഒന്നാകാം:
1, 2, -1, -2 .
പകരമായി x \u003d -1 :
.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു റൂട്ട് x കണ്ടെത്തി 2 = -1 ... മുമ്പത്തെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, പോളിനോമിയലിനെ ഹരിച്ചാൽ സാധ്യമാണ്, പക്ഷേ ഞങ്ങൾ അംഗങ്ങളെ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യും:
.

X എന്ന സമവാക്യം മുതൽ 2 + 2 = 0 യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല, അപ്പോൾ പോളിനോമിയലിന്റെ ഫാക്ടറൈസേഷന് ഒരു രൂപമുണ്ട്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽ\u200cപ്പന്നവും കണ്ടെത്തുക. കുറച്ച സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായി (59.8) സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

(ആദ്യ സമത്വം വ്യക്തമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് ലളിതമായ ഒരു കണക്കുകൂട്ടലിനുശേഷം ലഭിക്കും, അത് വായനക്കാരൻ സ്വതന്ത്രമായി നിർവഹിക്കും; രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വ്യത്യാസത്തിൽ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാൻ സൗകര്യമുണ്ട്)

ഇനിപ്പറയുന്നവ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം. കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ് വിപരീത ചിഹ്നം, അവരുടെ ഉൽപ്പന്നം സ term ജന്യ പദത്തിന് തുല്യമാണ്.

പ്രവചനാതീതമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, ഫോം എടുക്കുന്നതിന് ഫോർമുലയുടെ (60.1) പദപ്രയോഗങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ (60.1) പകരം വയ്ക്കണം.

ഉദാഹരണം 1. അതിന്റെ വേരുകളാൽ ഒരു ചതുർ\u200c സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കുക:

പരിഹാരം, എ) സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി

ഉദാഹരണം 2. സമവാക്യം തന്നെ പരിഹരിക്കാതെ ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സമചതുരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം. വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽ\u200cപന്നവും അറിയാം. രൂപത്തിലുള്ള വേരുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ ഞങ്ങൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

നേടുക

വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഫോർമുല നേടുന്നത് എളുപ്പമാണ്

ഒരു ചതുര ട്രൈനോമിയലിനെ ഫാക്ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള നിയമം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ (60.2) രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്

അത് നേടേണ്ടതുണ്ട്.

വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ മുകളിലുള്ള വ്യുൽപ്പന്നം ഒരു ഹൈസ്കൂൾ ആൾജിബ്ര കോഴ്സിൽ നിന്ന് വായനക്കാരന് പരിചിതമാണ്. ബെസ out ട്ടിന്റെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചും പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിലും മറ്റൊരു നിഗമനം നൽകാം (ഇനങ്ങൾ 51, 52).

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അങ്ങനെയാകട്ടെ പൊതു നിയമം (52.2) സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള ത്രികോണത്തെ ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യുന്നു:

ഈ ഐഡന്റിറ്റിയുടെ വലതുവശത്തുള്ള പരാൻതീസിസ് വികസിപ്പിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

ഒരേ അളവിലുള്ള ഗുണകങ്ങളെ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് നമുക്ക് വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നൽകും (60.1).

ഈ നിഗമനത്തിന്റെ പ്രയോജനം അത് സമവാക്യങ്ങളിൽ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും എന്നതാണ് ഉയർന്ന ഡിഗ്രി സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ വേരുകൾ അനുസരിച്ച് പദപ്രയോഗങ്ങൾ നേടുന്നതിന് (വേരുകൾ സ്വയം കണ്ടെത്താതെ!). ഉദാഹരണത്തിന്, കുറച്ച ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ

ചുരുക്കത്തിൽ, സമത്വം (52.2) അനുസരിച്ച്, നാം കണ്ടെത്തുന്നു

(ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്തുള്ള ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുകയും വിവിധ ഡിഗ്രികളിൽ ഗുണകങ്ങൾ ശേഖരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

ലോകം വളരെയധികം സംഖ്യകളിൽ മുഴുകിയിരിക്കുന്നു. ഏത് കണക്കുകൂട്ടലുകളും അവരുടെ സഹായത്തോടെയാണ് നടത്തുന്നത്.

പിന്നീടുള്ള ജീവിതത്തിൽ വഞ്ചനയ്ക്ക് വീഴാതിരിക്കാൻ ആളുകൾ നമ്പറുകൾ പഠിക്കുന്നു. വിദ്യാഭ്യാസം നേടുന്നതിനും നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം ബജറ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനും ധാരാളം സമയം ആവശ്യമാണ്.

ജീവിതത്തിൽ വലിയ പങ്ക് വഹിക്കുന്ന കൃത്യമായ ശാസ്ത്രമാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം. സ്കൂളിൽ\u200c, കുട്ടികൾ\u200c നമ്പറുകൾ\u200c പഠിക്കുന്നു, തുടർന്ന്\u200c അവയ്\u200cക്കെതിരായ പ്രവർ\u200cത്തനങ്ങൾ\u200c.

അക്കങ്ങളിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ തികച്ചും വ്യത്യസ്തമാണ്: ഗുണനം, വിപുലീകരണം, സങ്കലനം, മറ്റുള്ളവ. ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് പുറമേ, ഗണിതശാസ്ത്ര പഠനത്തിൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഏത് മൂല്യങ്ങളും തിരിച്ചറിയാൻ\u200c കഴിയുന്ന ധാരാളം സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്.

സ്കൂളിൽ, ബീജഗണിതം പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടയുടനെ, വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ജീവിതത്തിൽ ലളിതവൽക്കരണ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു. രണ്ട് അജ്ഞാത സംഖ്യകൾ ഉള്ളപ്പോൾ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ കണ്ടെത്തുക ലളിതമായ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കില്ല. ലളിതമായ കുറവും കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് മോണോമിയലുകളുടെ കണക്ഷനാണ് ത്രീ-ടേം. വിയറ്റയുടെ പ്രമേയവും വിവേചനാധികാരവും ഉപയോഗിച്ചാണ് ത്രിവർണ്ണ പരിഹാരം.

ഒരു ചതുര ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്ടറിംഗ് ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

രണ്ട് ശരിയും ലളിതമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉദാഹരണം:

• വിവേചനം;
• വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം.

ഒരു ചതുര ട്രൈനോമിയലിന് അജ്ഞാതമായ ചതുരവും ചതുരമില്ലാത്ത സംഖ്യയുമുണ്ട്. ആദ്യ ഓപ്ഷൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ വിയറ്റയുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇതൊരു ലളിതമായ ഫോർമുലയാണ്അജ്ഞാതരുടെ മുന്നിൽ നിൽക്കുന്ന അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ മൂല്യം.

അജ്ഞാതന് മുന്നിൽ നമ്പർ ഉള്ള മറ്റ് സമവാക്യങ്ങൾക്ക്, സമവാക്യം വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടണം. ഇത് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പരിഹാരമാണ്, പക്ഷേ വിവേചനാധികാരം വിയറ്റ പ്രമേയത്തേക്കാൾ കൂടുതൽ തവണ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

തുടക്കത്തിൽ, എല്ലാം കണ്ടെത്താൻ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരിയബിളുകൾ ഉദാഹരണം 0 ആയി ഉയർത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്റെ പരിഹാരം പരിശോധിച്ച് അക്കങ്ങൾ ശരിയായി ക്രമീകരിച്ചിട്ടുണ്ടോ എന്ന് കണ്ടെത്താനാകും.

വിവേചനം

1. സമവാക്യം 0 എന്നതിന് തുല്യമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

X- ന് മുമ്പുള്ള ഓരോ സംഖ്യകളെയും a, b, c അക്കങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കും. ആദ്യത്തെ സ്ക്വയർ x ന് മുന്നിൽ ഒരു നമ്പറും ഇല്ലാത്തതിനാൽ, ഇത് 1 ന് തുല്യമാണ്.

3. ഇപ്പോൾ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം വിവേചനത്തിലൂടെ ആരംഭിക്കുന്നു:

4. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വിവേചനാധികാരിയെ കണ്ടെത്തി രണ്ട് x കണ്ടെത്തി. വ്യത്യാസം, ഒരു കേസിൽ, ബിക്ക് മുമ്പായി ഒരു പ്ലസ് ഉണ്ടാകും, മറ്റൊന്ന് മൈനസ്:

5. പരിഹാരം അനുസരിച്ച്, രണ്ട് അക്കങ്ങളും -2 ഉം -1 ഉം ആയി മാറി. യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് കീഴിൽ പകരം വയ്ക്കുക:

6. ഈ ഉദാഹരണത്തിന് രണ്ട് ഉണ്ട് ശരിയായ ഓപ്ഷനുകൾ... രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളും ശരിയാണെങ്കിൽ, അവ ഓരോന്നും ശരിയാണ്.

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങളും വിവേചനത്തിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. വിവേചനത്തിന്റെ മൂല്യം 0 ൽ കുറവാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണം തെറ്റാണ്. തിരയുമ്പോൾ വിവേചനം എല്ലായ്പ്പോഴും റൂട്ടിലാണ്, കൂടാതെ ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം റൂട്ടിലായിരിക്കരുത്.

വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം

ആദ്യത്തെ x- ന് മുന്നിൽ നമ്പറില്ലാത്ത പ്രകാശ പ്രശ്\u200cനങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, a \u003d 1. ഓപ്ഷൻ പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, വിയറ്റ പ്രമേയം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുന്നു.

ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് ടേം പരിഹരിക്കാൻ സമവാക്യം 0 ആയി ഉയർത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വിവേചനാധികാരിയുടെയും വിയറ്റയുടെയും പ്രമേയത്തിനായുള്ള ആദ്യ ഘട്ടങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യത്യാസമില്ല.

2. ഇപ്പോൾ രണ്ട് രീതികൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം "വരണ്ട" കണക്കുകൂട്ടൽ മാത്രമല്ല, യുക്തിയും അവബോധവും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഓരോ സംഖ്യയ്ക്കും അതിന്റേതായ a, b, c അക്ഷരങ്ങളുണ്ട്. സിദ്ധാന്തം രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽപ്പന്നവും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഓർമ്മിക്കുക! ബി എന്ന സംഖ്യ എപ്പോഴും വിപരീത ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം ചേർക്കുന്നു, കൂടാതെ സി സംഖ്യ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു!

ഉദാഹരണത്തിൽ ഡാറ്റ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു , ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

3. യുക്തിയുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും അനുയോജ്യമായ സംഖ്യകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം:

1. അക്കങ്ങൾ 1 ഉം 2 ഉം ആണ്. നിങ്ങൾ ഇത് ചേർക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് 3 ലഭിക്കും, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 4 ലഭിക്കില്ല. അനുയോജ്യമല്ല.
2. മൂല്യം 2 ഉം -2 ഉം ആണ്. ഗുണിക്കുമ്പോൾ അത് -4 ആയിരിക്കും, പക്ഷേ ചേർക്കുമ്പോൾ അത് 0 ആയിരിക്കും. അനുയോജ്യമല്ല.
3. അക്കങ്ങൾ 4 ഉം -1 ഉം ആണ്. ഗുണനത്തിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ഉള്ളതിനാൽ, അക്കങ്ങളിൽ ഒന്ന് മൈനസ് ഉള്ളതായിരിക്കുമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ചേർക്കുകയും ഗുണിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ അത് യോജിക്കുന്നു. ശരിയായ ഓപ്ഷൻ.

4. ഇത് പരിശോധിക്കാനും അക്കങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കാനും തിരഞ്ഞെടുത്ത ഓപ്ഷന്റെ കൃത്യത കാണാനും മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ.

5. ഓൺലൈൻ പരിശോധനയ്ക്ക് നന്ദി, -1 ഉദാഹരണത്തിന്റെ അവസ്ഥയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി, അതായത് ഇത് തെറ്റായ തീരുമാനമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ചേർക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ നമ്പർ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഇടണം.

ഗണിതത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ടായിരിക്കും ലളിതമായ ജോലികൾ സങ്കീർണ്ണവും. ശാസ്ത്രത്തിൽ തന്നെ പലതരം പ്രശ്നങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു. നിങ്ങൾ അറിവ് മനസിലാക്കുകയും ശരിയായി പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകളിലെ എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ നിസ്സാരമായിരിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് നിരന്തരമായ ഓർമ്മപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമില്ല. പരിഹാരം മനസിലാക്കാനും കുറച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാനും നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ക്രമേണ, യുക്തിസഹമായ നിഗമനങ്ങളനുസരിച്ച്, സമാന പ്രശ്നങ്ങൾ, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. അത്തരമൊരു ശാസ്ത്രം ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുമെങ്കിലും, അവ അക്കങ്ങളുടെയും പ്രശ്നങ്ങളുടെയും ലോകത്തേക്ക്\u200c വീഴുകയാണെങ്കിൽ\u200c, കാഴ്ച അതിൽ\u200c ഗണ്യമായി മാറും മികച്ച വശം.

സാങ്കേതിക സവിശേഷതകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും ആവശ്യക്കാരായി തുടരുക. ഇപ്പോൾ ലോകത്ത് ആധുനിക സാങ്കേതികവിദ്യകൾ, ഗണിതശാസ്ത്രം ഏത് മേഖലയുടെയും ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്ത ആട്രിബ്യൂട്ടായി മാറി. ഒരാൾ എപ്പോഴും ഓർക്കണം ഉപയോഗപ്രദമായ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഗണിതം.

ഒരു ബ്രാക്കറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ട്രിനോമിയലിന്റെ വിഘടനം

സാധാരണ രീതികളിൽ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പുറമേ, മറ്റൊന്ന് കൂടി ഉണ്ട് - പരാൻതീസിസിലേക്ക് വികസിപ്പിക്കുക. വിയറ്റ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക.

1. സമവാക്യം 0 ന് തുല്യമാക്കുക.

കോടാലി 2 + bx + സി= 0

2. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അതേപടി നിലനിൽക്കുന്നു, പക്ഷേ പൂജ്യത്തിനുപകരം അവ ഇപ്പോൾ വിപുലീകരണ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

കോടാലി 2 + bx + c \u003d a ( x - x 1) ( x - x 2)

2 x 2 – 4 x – 6 = 2 ( x + 1) ( x – 3)

4. പരിഹാരം x \u003d -1, x \u003d 3

സ്\u200cക്വയർ ട്രിനോമിയലുകൾ ഫാക്റ്ററിംഗ് എന്നത് എല്ലാവർക്കും താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് അഭിമുഖീകരിക്കേണ്ട സ്\u200cകൂൾ അസൈൻമെന്റുകളെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. നീ എങ്ങനെ അതു ചെയ്തു? ഒരു ചതുര ട്രിനോമിയലിനുള്ള ഫാക്ടറൈസേഷൻ ഫോർമുല എന്താണ്? ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഘട്ടം ഘട്ടമായി ഇത് കണ്ടെത്താം.

പൊതു ഫോർമുല

ഒരു ചതുര സമവാക്യം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് സ്ക്വയർ ട്രിനോമിയലുകളുടെ ഫാക്ടറൈസേഷൻ നടത്തുന്നു. നിരവധി രീതികളിലൂടെ പരിഹരിക്കാവുന്ന ലളിതമായ ഒരു പ്രശ്നമാണിത് - വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനാധികാരിയെ കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെ, അത് പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ മാർഗവുമുണ്ട്. ആദ്യ രണ്ട് ഹൈസ്കൂളിലാണ് പഠിപ്പിക്കുന്നത്.

പൊതു സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:lx 2 + kx + n \u003d l (x-x 1) (x-x 2) (1)

ടാസ്ക് എക്സിക്യൂഷൻ അൽഗോരിതം

സ്ക്വയർ ട്രിനോമിയലുകളെ ഫാക്റ്ററൈസ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ വിറ്റിന്റെ സിദ്ധാന്തം അറിയേണ്ടതുണ്ട്, പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രോഗ്രാം കൈവശമുണ്ട്, ഗ്രാഫിക്കായി ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, അല്ലെങ്കിൽ വിവേചനപരമായ സൂത്രവാക്യത്തിലൂടെ രണ്ടാം ഡിഗ്രി സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അന്വേഷിക്കുക. ഒരു ചതുര ട്രൈനോമിയൽ നൽകി അത് ഫാക്റ്ററൈസ് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം ഇപ്രകാരമാണ്:

1) സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന് യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം പൂജ്യമായി സജ്ജമാക്കുക.

2) ലീഡ് സമാന പദങ്ങൾ (അത്തരമൊരു ആവശ്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ).

3) ആരെങ്കിലും വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക അറിയപ്പെടുന്ന രീതിയിൽ... വേരുകൾ പൂർണ്ണമായും ചെറു സംഖ്യകളാണെന്ന് മുൻകൂട്ടി അറിയാമെങ്കിൽ ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഏറ്റവും മികച്ചതാണ്. വേരുകളുടെ എണ്ണം സമവാക്യത്തിന്റെ പരമാവധി ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്, അതായത്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

4) പകരമുള്ള മൂല്യം x പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് (1).

5) സ്ക്വയർ ട്രിനോമിയലുകളുടെ ഫാക്ടറൈസേഷൻ എഴുതുക.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഈ ടാസ്ക് എങ്ങനെ നിർവഹിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ പരിശീലനം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു ചതുര ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കുക:

പദപ്രയോഗം വിപുലീകരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

നമുക്ക് നമ്മുടെ അൽഗോരിതം അവലംബിക്കാം:

1) x 2 -17x + 32 \u003d 0

2) സമാന പദങ്ങൾ കുറച്ചിരിക്കുന്നു

3) വിയറ്റ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഉദാഹരണത്തിനായി വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതിനാൽ വിവേചനാധികാരികൾക്കായി എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്:

ഡി \u003d 289-128 \u003d 161 \u003d (12.69) 2

4) പ്രധാന വിഘടന സൂത്രവാക്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

(x-2,155) * (x-14,845)

5) അപ്പോൾ ഉത്തരം ഇങ്ങനെയായിരിക്കും:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

വിവേചനാധികാരി കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോയെന്ന് നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:

14,845 . 2,155=32

ഈ വേരുകൾക്കായി, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിച്ചു, അവ ശരിയായി കണ്ടെത്തി, അതായത് ഞങ്ങൾ നേടിയ ഫാക്ടറൈസേഷനും ശരിയാണ്.

12x 2 + 7x-6 അതേ രീതിയിൽ വികസിപ്പിക്കാം.

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

മുമ്പത്തെ കേസിൽ, പരിഹാരങ്ങൾ പൂർണ്ണമല്ലാത്തവയായിരുന്നു, എന്നാൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്, അവ നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്. ഇപ്പോൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം, അതിൽ വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമാണ്: x 2 + 4x + 9 ഫാക്റ്ററൈസ് ചെയ്യുക. വിയറ്റയുടെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല, വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമായ തലം ആയിരിക്കും.

ഡി \u003d -20

ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യത്തിന്റെ വേരുകൾ -4 + 2i * 5 1/2 ഉം -4-2i * 5 1/2 കാരണം (-20) 1/2 \u003d 2i * 5 1/2.

പൊതുവായ സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക് വേരുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ആവശ്യമായ വിഘടനം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു.

മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: 23x 2 -14x + 7 എന്ന പദപ്രയോഗം നിങ്ങൾ ഫാക്ടർ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

ഞങ്ങൾക്ക് സമവാക്യം ഉണ്ട് 23x 2 -14x + 7 =0

ഡി \u003d -448

അതിനാൽ, വേരുകൾ 14 + 21,166i ഉം 14-21,166i. ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും:

23x 2 -14x + 7 \u003d 23 (x- 14-21,166i )*(x- 14 + 21.166i ).

വിവേചനാധികാരിയുടെ സഹായമില്ലാതെ പരിഹരിക്കാവുന്ന ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് നൽകാം.

X 2 -32x + 255 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഒരു വിവേചനാധികാരം ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പരിഹരിക്കാനാകുമെന്ന് വ്യക്തം, പക്ഷേ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വേരുകൾ എടുക്കുന്നത് വേഗത്തിലാണ്.

x 1 \u003d 15

x 2 \u003d 17

അർത്ഥം x 2 -32x + 255 \u003d (x-15) (x-17).