ആദ്യ പോയിന്റ്, പതിവുപോലെ, ആർക്സിൻ (-a) \u003d - ആർക്സിന. രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റിലേക്ക് പോകാൻ, ഞങ്ങൾ മുകളിലെ പാതയിലേക്ക്, അതായത് ആംഗിൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന ദിശയിലേക്ക് പോകുന്നു.

ഈ സമയം നമ്മൾ n ന് മുകളിലൂടെ പോകുന്നു. നമ്മൾ എത്രത്തോളം പോകും? ആർക്ക്സിൻ x- ൽ. അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് n + arcsin x ആണ്. എന്തുകൊണ്ട് മൈനസ് ഇല്ല? കാരണം -arcsin ലെ ഒരു മൈനസ് ഘടികാരദിശയിലുള്ള ചലനത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ അതിനെതിരെ പോയി. ഉപസംഹാരമായി, ഇടവേളയുടെ ഓരോ അറ്റത്തും ഞങ്ങൾ 2pn ചേർക്കുന്നു.

5) sinx\u003e a if a\u003e 1.

യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ പൂർണ്ണമായും y \u003d a എന്ന വരിയുടെ കീഴിലാണ്. ലൈനിന് മുകളിൽ ഒരു പോയിന്റുമില്ല. അതിനാൽ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

6) sinx\u003e -a, ഇവിടെ a\u003e 1.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുഴുവൻ യൂണിറ്റ് സർക്കിളും y \u003d a എന്ന വരിക്ക് മുകളിലാണ്. അതിനാൽ, ഏത് പോയിന്റും sinx\u003e a എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. X എന്നത് ഏത് സംഖ്യയുമാണ്.

കർശനമായ അസമത്വം sinx\u003e -1 ന് വിപരീതമായി -n / 2 + 2nn പോയിന്റുകൾ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ ഇവിടെ x എന്നത് ഏത് സംഖ്യയാണ്. തള്ളിക്കളയാൻ ഒന്നുമില്ല.

ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സർക്കിളിലെ ഏക പോയിന്റ് n / 2 ആണ്. സൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം x \u003d n / 2 + 2n പോയിന്റുകളുടെ ഗണമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, അസമത്വം പരിഹരിക്കുക sinx\u003e -1/2:

A, b എന്ന രൂപത്തിന്റെ ബന്ധങ്ങളാണ് അസമത്വങ്ങൾ, ഇവിടെ a, b എന്നിവ കുറഞ്ഞത് ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളാണ്. അസമത്വങ്ങൾ കർശനമായിരിക്കാം - ‹,›, കർശനമല്ലാത്തത് - ≥,.

ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ ഈ രൂപത്തിന്റെ പ്രകടനങ്ങളാണ്: F (x) ›a, F (x)‹ a, F (x) ≤ a, F (x) ≥ a, ഇതിൽ F (x) ഒന്നോ അതിലധികമോ ത്രികോണമിതി ഫംഗ്ഷനുകൾ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം: പാപം x ‹1/2. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഗ്രാഫിക്കലായിട്ടാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, കാരണം ഈ രണ്ട് രീതികളും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്.

രീതി 1 - ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്ത് അസമത്വം പരിഹരിക്കുക

വ്യവസ്ഥകളുടെ അസമത്വം പാപം x ‹1/2 തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു വിടവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ പാലിക്കണം:

1. ന് കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷം  ഒരു സിനുസോയ്ഡ് നിർമ്മിക്കുക y \u003d പാപം x.
2. ഒരേ അക്ഷത്തിൽ, അസമത്വത്തിന്റെ സംഖ്യാ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കുക, അതായത്, ഓർഡിനേറ്റ് ОY പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരി.
3. രണ്ട് ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക.
4. വരിയുടെ നിഴലിന്, ഒരു ഉദാഹരണത്തിന്റെ പരിഹാരം.

ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ കർശനമായ അടയാളങ്ങൾ\u200c ഉള്ളപ്പോൾ\u200c, കവല പോയിന്റുകൾ\u200c പരിഹാരമല്ല. ഒരു സിനുസോയിഡിന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ് 2π ആയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഇപ്രകാരം എഴുതുന്നു:

പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അടയാളങ്ങൾ\u200c കർശനമല്ലെങ്കിൽ\u200c, തീരുമാന ഇടവേള ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ\u200c ഉൾ\u200cപ്പെടുത്തണം -. പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം മറ്റൊരു അസമത്വം എന്നും എഴുതാം:

രീതി 2 - യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് ത്രികോണമിതി അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിളിന്റെ സഹായത്തോടെ സമാന പ്രശ്നങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും. ഉത്തരം തിരയൽ അൽ\u200cഗോരിതം വളരെ ലളിതമാണ്:

1. ആദ്യം, ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ വരയ്ക്കുക.
2. സർക്കിളിലെ ആർക്ക് അസമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്തെ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ആർക്ക് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.
3. അബ്സിസ്സ ആക്സിസിന് (OX) സമാന്തരമായി ആർക്ക് ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
4. അതിനുശേഷം, ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആർക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, ഇത് ത്രികോണമിതി അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ്.
5. ആവശ്യമായ ഫോമിൽ ഉത്തരം രേഖപ്പെടുത്തുക.

പാപം x ›1/2 എന്ന അസമത്വത്തിന്റെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരത്തിന്റെ ഘട്ടങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാം. പോയിന്റുകൾ α, β എന്നിവ ഒരു സർക്കിളിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു - മൂല്യങ്ങൾ

തന്നിരിക്കുന്ന അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരത്തിന്റെ ഇടവേളയാണ് α, above എന്നിവയ്ക്ക് മുകളിലുള്ള ആർക്ക് പോയിന്റുകൾ.

Cos- നുള്ള ഉദാഹരണം നിങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ഉത്തര ആർക്ക് OY അല്ല, OX അക്ഷത്തിലേക്ക് സമമിതിയായി സ്ഥിതിചെയ്യും. ചുവടെയുള്ള ഡയഗ്രാമുകളിൽ പാപത്തിനുള്ള പരിഹാര ഇടവേളകളും കോസും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം നിങ്ങൾക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ടാൻജെന്റ്, കോട്ടാൻജെന്റ് അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള ഗ്രാഫിക് പരിഹാരങ്ങൾ സൈനിൽ നിന്നും കോസൈനിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകളാണ് ഇതിന് കാരണം.

ആർക്ക് ടാൻജെന്റും ആർക്ക് ടാൻജെന്റും ത്രികോണമിതി സർക്കിളുമായി ടാൻജെന്റാണ്, രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോസിറ്റീവ് കാലയളവ് is ആണ്. രണ്ടാമത്തെ രീതി വേഗത്തിലും കൃത്യമായും ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, ഏത് അക്ഷത്തിൽ പാപം, കോസ്, ടിജി, സിടിജി എന്നീ മൂല്യങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ടാൻജെന്റ് ടാൻജെന്റ് OY അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഒരു യൂണിറ്റ് സർക്കിളിൽ ആർക്റ്റാൻ എ യുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ മാറ്റിവയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, ആവശ്യമായ രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് ഡയഗണൽ ക്വാർട്ടറിൽ സ്ഥിതിചെയ്യും. കോണുകൾ

അവ ഫംഗ്ഷന്റെ ബ്രേക്ക് പോയിന്റുകളാണ്, കാരണം ഗ്രാഫ് അവയിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, പക്ഷേ അവ ഒരിക്കലും എത്തിച്ചേരില്ല.

കോട്ടാൻജന്റിന്റെ കാര്യത്തിൽ, ടാൻജെന്റ് OX അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, കൂടാതെ function, 2π പോയിന്റുകളിൽ പ്രവർത്തനം തടസ്സപ്പെടുന്നു.

സങ്കീർണ്ണമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ

അസമത്വ ഫംഗ്ഷന്റെ ആർഗ്യുമെൻറ് ഒരു വേരിയബിളിനാൽ മാത്രമല്ല, അജ്ഞാതമായ ഒരു മുഴുവൻ പദപ്രയോഗത്തിലൂടെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നത് സങ്കീർണ്ണമായ അസമത്വത്തെക്കുറിച്ചാണ്. അതിന്റെ പരിഹാരത്തിന്റെ ഗതിയും ക്രമവും മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതികളിൽ നിന്ന് അൽപം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വത്തിന് നിങ്ങൾ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

X ന്റെ അനിയന്ത്രിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു പരമ്പരാഗത സിനുസോയ്ഡ് y \u003d sin x ന്റെ നിർമ്മാണം ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഗ്രാഫിന്റെ നിയന്ത്രണ പോയിന്റുകൾക്കായി കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പട്ടിക കണക്കാക്കുന്നു:

ഫലം മനോഹരമായ ഒരു വക്രമായിരിക്കണം.

പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള എളുപ്പത്തിനായി, സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക

മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും ത്രികോണമിതി അസമത്വം ഇഷ്ടപ്പെടുന്നില്ല. എന്നാൽ വെറുതെ. ഒരു കഥാപാത്രം പറയുന്നതുപോലെ

“അവ എങ്ങനെ പാചകം ചെയ്യണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയില്ല”

അതിനാൽ എങ്ങനെ “പാചകം” ചെയ്യാമെന്നും സൈനുമായി അസമത്വം എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്നും ഈ ലേഖനത്തിൽ നമുക്ക് മനസ്സിലാകും. ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും കൂടുതൽ തീരുമാനിക്കും ലളിതമായ രീതിയിൽ  - യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം ആവശ്യമാണ്.

  സൈനുമായുള്ള അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

1. സൈൻ അക്ഷത്തിൽ ഞങ്ങൾ $ a എന്ന സംഖ്യ നീട്ടിവെക്കുകയും കോസൈൻ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
2. അസമത്വം കർശനമല്ലെങ്കിൽ\u200c, അസമത്വം കർശനമാണെങ്കിൽ\u200c പൂരിപ്പിക്കാതിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ\u200c ഈ വൃത്തത്തിലുള്ള ഈ നേർ\u200cരേഖയുടെ വിഭജന പോയിൻറുകൾ\u200c പൂരിപ്പിക്കും;
3. അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരം “the\u003e $” ചിഹ്നം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരം രേഖയ്ക്കും സർക്കിളിനും മുകളിലായിരിക്കും, അസമത്വം “$<$”;
4. ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ \\ \\ sin (x) \u003d a $ എന്ന ത്രികോണമിതി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു, നമുക്ക് $ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (a) + \\ pi n get;
5. setting n \u003d 0 setting ക്രമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുന്നു (ഇത് ആദ്യത്തെ അല്ലെങ്കിൽ നാലാം പാദത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു);
6. രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഏത് വിഭജന പോയിന്റിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഏത് ദിശയിലേക്കാണ് പോകുന്നതെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു: പോസിറ്റീവ് ദിശയിലാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ $ n \u003d 1 take എടുക്കണം, നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ $ n \u003d -1 $;
7. പ്രതികരണമായി, ഇടവേള ചെറിയ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റായ $ + 2 \\ pi n from മുതൽ വലിയ $ + 2 \\ pi n to വരെ എഴുതുന്നു.

  അൽഗോരിതം പരിധി

പ്രധാനം: dഅൽഗോരിതം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല  ഫോമിന്റെ അസമത്വങ്ങൾക്ക് $ \\ sin (x)\u003e 1; \\ \\ sin (x) \\ geq 1, \\ \\ sin (x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

  സൈനുമായുള്ള അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക കേസുകൾ

മുകളിലുള്ള അൽ\u200cഗോരിതം ഉപയോഗിക്കാതെ യുക്തിപരമായി പരിഹരിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതും പ്രധാനമാണ്.

പ്രത്യേക കേസ് 1.   അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$ \\ sin (x) \\ leq 1. $

മൂല്യത്തിന്റെ ശ്രേണി കാരണം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം  $ y \u003d \\ sin (x) $ $ 1 $ മൊഡ്യൂളിനേക്കാൾ വലുതല്ല, തുടർന്ന് ഇടത് വശം  അസമത്വങ്ങൾ ആർക്കുംഡെഫനിഷൻ ഡൊമെയ്\u200cനിൽ നിന്നുള്ള $ x ((സൈൻ ഡെഫനിഷൻ ഡൊമെയ്\u200cൻ എല്ലാം യഥാർത്ഥ അക്കങ്ങളാണ്) $ 1 than ൽ കൂടുതലാകരുത്. അതിനാൽ, പ്രതികരണമായി, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു: R $ ൽ $ x \\.

പരിണതഫലങ്ങൾ:

$ \\ sin (x) \\ geq -1. $

  പ്രത്യേക കേസ് 2.  അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$ \\ പാപം (x)< 1.$

പ്രത്യേക കേസ് 1 ന് സമാനമായ ആർഗ്യുമെന്റുകൾ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, R \\ sin (x) \u003d 1 the എന്ന സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമായ പോയിന്റുകൾ ഒഴികെ, അസമത്വത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് R $ ലെ എല്ലാ $ x for നും $ 1 than ൽ കുറവാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഇവ ഉണ്ടാകും:

$ x \u003d (-1) ^ (n) \\ arcsin (1) + \\ pi n \u003d (-1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n. $

അതിനാൽ, പ്രതികരണമായി, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു: \\ x \\ R \\ ബാക്ക്\u200cസ്ലാഷ് \\ ഇടത് \\ ((- 1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (2) + \\ pi n \\ right \\) $.

പരിണതഫലങ്ങൾ:  അസമത്വം സമാനമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു

$ \\ പാപം (x)\u003e -1. $

  ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ.

  ഉദാഹരണം 1:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$ \\ sin (x) \\ geq \\ frac (1) (2). $

1. സൈനുകളുടെ അക്ഷത്തിൽ കോർഡിനേറ്റ് $ \\ frac (1) (2) mark ഞങ്ങൾ അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു.
2. കൊസൈനുകളുടെ അച്ചുതണ്ടിന് സമാന്തരമായി ഈ വരയിലൂടെ കടന്നുപോകുക.
3. കവല പോയിന്റുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. അസമത്വം കർശനമല്ലാത്തതിനാൽ അവ തണലാകും.
4. അസമത്വ ചിഹ്നം $ \\ geq is ആണ്, അതിനർത്ഥം ഞങ്ങൾ ലൈനിന് മുകളിലുള്ള ഭാഗത്ത് പെയിന്റ് ചെയ്യുന്നു, അതായത്. ചെറിയ അർദ്ധവൃത്തം.
5. ആദ്യത്തെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അസമത്വം തുല്യതയാക്കി പരിഹരിക്കുന്നു: $ \\ sin (x) \u003d \\ frac (1) (2) \\ \\ വലതുവശത്ത് \\ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ frac (1) (2) ) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi n $. ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ $ n \u003d 0 ume എടുക്കുകയും ആദ്യത്തെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു: $ x_ (1) \u003d \\ frac (\\ pi) (6) $.
6. രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുക. ഞങ്ങളുടെ പ്രദേശം ആദ്യ പോയിന്റിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ $ n $ $ 1 to ന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുന്നു: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (1) \\ frac (\\ pi) (6) + \\ pi \\ cdot 1 \u003d \\ അങ്ങനെ, തീരുമാനം ഫോം എടുക്കും:

\\ ഇടത് $ x \\ [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ വലത്], Z n Z Z. $

  ഉദാഹരണം 2:

സൈൻ അക്ഷത്തിൽ ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് $ - \\ frac (1) (2) അടയാളപ്പെടുത്തുകയും കോസൈൻ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുകയും ഈ പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു. കവല പോയിന്റുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ അവ നിറയുകയില്ല. അസമത്വ ചിഹ്നം $അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$ \\ പാപം (x)< -\frac{1}{2}$

$ \\ sin (x) \u003d - \\ frac (1) (2) $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$ x \u003d (- 1) ^ (n) \\ arcsin (\\ ഇടത് (- \\ frac (1) (2) \\ വലത്)) + \\ pi n \u003d (- 1) ^ (n + 1) \\ frac (\\ pi ) (6) + \\ pi n $.

കൂടുതൽ $ n \u003d 0 Set സജ്ജമാക്കുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ വിഭജന പോയിന്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: $ x_ (1) \u003d - \\ frac (\\ pi) (6) $. ഞങ്ങളുടെ പ്രദേശം ആദ്യ പോയിന്റിൽ നിന്ന് നെഗറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് പോകുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ $ n $ $ -1 to ന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുന്നു: $ x_ (2) \u003d (- 1) ^ (- 1 + 1) \\ frac (\\ pi) (6) + i pi \\ cdot (-1) \u003d - \\ pi + \\ frac (\\ pi) (6) \u003d - \\ frac (5 \\ pi) (6) $.

  അതിനാൽ, ഈ അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം വിടവാണ്:

{!LANG-c94830e92f7f81b298fef7023501bc06!}

\\ x \\ ഇടത് (- \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n; - \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ വലത്), Z n Z Z. $

  ഉദാഹരണം 3:അസമത്വം പരിഹരിക്കുക:

$ 1 - 2 \\ പാപം (\\ ഇടത് (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ വലത്)) \\ leq 0. $

ഒരു അൽ\u200cഗോരിത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ ഈ ഉദാഹരണം ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ\u200c കഴിയില്ല. ആദ്യം നിങ്ങൾ അത് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. സമവാക്യം പോലെ ഞങ്ങൾ കൃത്യമായി ചെയ്യുന്നു, പക്ഷേ ചിഹ്നത്തെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയോ ഗുണിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.

അതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം അടങ്ങിയിട്ടില്ലാത്ത എല്ലാം ഞങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

$ - 2 \\ പാപം (\\ ഇടത് (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ വലത്)) \\ leq -1. $

ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ $ -2 by കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (ചിഹ്നത്തെക്കുറിച്ച് മറക്കരുത്!). ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉണ്ടായിരിക്കും:

$ \\ പാപം (\\ ഇടത് (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ വലത്)) \\ geq \\ frac (1) (2). $

അൽ\u200cഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ\u200c കഴിയാത്ത ഒരു അസമത്വം വീണ്ടും ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഇവിടെ ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ മതിയാകും:

$ t \u003d \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6). $

ഞങ്ങൾക്ക് ത്രികോണമിതി അസമത്വം ലഭിക്കുന്നു, ഇത് അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകും:

$ \\ sin (t) \\ geq \\ frac (1) (2). $

ഈ അസമത്വം ഉദാഹരണം 1 ൽ പരിഹരിച്ചു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അവിടെ നിന്ന് ഉത്തരം കടമെടുക്കുന്നു:

\\ t \\ ഇടത് [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ right]. $

എന്നിരുന്നാലും, തീരുമാനം ഇതുവരെ അവസാനിച്ചിട്ടില്ല. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങേണ്ടതുണ്ട്.

\\ (\\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6)) \\ ഇടത് [\\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n; \\ frac (5 \\ pi) (6) + 2 \\ pi n \\ right]. $

ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ രൂപത്തിലുള്ള വിടവ് സങ്കൽപ്പിക്കുക:

$ \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (സി) \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n, \\\\ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ($ \\ frac (x) (4) + \\ frac (\\ pi) (6) $) എന്ന പദപ്രയോഗമുണ്ട്, അത് വിടവിന്റേതാണ്. ആദ്യത്തെ അസമത്വത്തിന്, വിടവിന്റെ ഇടത് അതിർത്തി ഉത്തരവാദിയാണ്, രണ്ടാമത്തേതിന് വലത്. മാത്രമല്ല, ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു: ബ്രാക്കറ്റ് ചതുരമാണെങ്കിൽ, അസമത്വം കർശനമല്ല, അത് വൃത്താകൃതിയിലാണെങ്കിൽ കർശനമായിരിക്കും. ഇടതുവശത്ത് $ x get നേടുക എന്നതാണ് ഞങ്ങളുടെ ചുമതല

രണ്ട് അസമത്വങ്ങളിലും $ \\ Frac (\\ pi) (6) left ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തേക്ക് നീക്കുക, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:.

$ \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (സി) \\ frac (x) (4) \\ geq \\ frac (\\ pi) (6) + 2 \\ pi n - \\ frac (\\ pi) (6), \\\\ ലളിതമാക്കുന്നത്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവ ഉണ്ടാകും:

$ \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (സി) \\ frac (x) (4) \\ geq 2 \\ pi n, \\\\ \\ frac (x) (4) \\ leq \\ frac (2 \\ pi) (3) + 2 \\ pi n. \\ അവസാനം (അറേ) \\ വലത്. $

ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ $ 4 by കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

$ \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (സി) x \\ geq 8 \\ pi n, \\\\ x \\ leq \\ frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n. \\ end (array) \\ right. $

സിസ്റ്റത്തെ വിടവിലാക്കി, ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും:

\\ ഇടത് $ x \\ [8 \\ pi n; \\ frac (8 \\ pi) (3) + 8 \\ pi n \\ വലത്], Z n Z Z. $

1. വാദം സങ്കീർണ്ണമാണെങ്കിൽ (അതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്

x

{!LANG-8de71d4f7530e70976aa1a4622eb137d!} {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}), തുടർന്ന് ഇത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ടി.

2. ഞങ്ങൾ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് തലം നിർമ്മിക്കുന്നു tOy  ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ y \u003d ചെലവ്  ഒപ്പം y \u003d a.

3. അത്തരം കണ്ടെത്തുക അടുത്തുള്ള രണ്ട് ഗ്രാഫ് ക്രോസിംഗ് പോയിന്റുകൾഅവയ്ക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു നേർരേഖയേക്കാൾ ഉയർന്നത് y \u003d a. ഈ പോയിന്റുകളുടെ അബ്\u200cസിസ്സകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

4. വാദത്തിന് ഞങ്ങൾ ഇരട്ട അസമത്വം എഴുതുന്നു ടികോസൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ ( ടി  കണ്ടെത്തിയ അബ്സിസ്സകൾക്കിടയിലായിരിക്കും).

5. വിപരീത പകരക്കാരൻ ചെയ്യുക (യഥാർത്ഥ ആർഗ്യുമെന്റിലേക്ക് മടങ്ങുക) മൂല്യം പ്രകടിപ്പിക്കുക {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}  ഇരട്ട അസമത്വത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ ഉത്തരം എഴുതുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

അടുത്തതായി, അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച്, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ആ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു ടിഅതിൽ സിനുസോയ്ഡ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ഉയർന്നത്   ഋജുവായത്. കോസൈൻ ഫംഗ്ഷന്റെ ആനുകാലികത കണക്കിലെടുത്ത് ഇരട്ട അസമത്വത്തിന്റെ രൂപത്തിലാണ് ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങൾ എഴുതുന്നത്, തുടർന്ന് യഥാർത്ഥ വാദത്തിലേക്ക് മടങ്ങുക {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}.

ഉദാഹരണം 2

മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി തിരഞ്ഞെടുക്കുക ടിഅതിൽ സിനുസോയിഡ് നേർരേഖയ്ക്ക് മുകളിലാണ്.

മൂല്യങ്ങളെ ഇരട്ട അസമത്വം എന്ന് മാറ്റിയെഴുതുക ടി  അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഫംഗ്ഷന്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ കാലയളവ് എന്നത് മറക്കരുത് y \u003d ചെലവ്  എന്നതിന് തുല്യമാണ് 2π. വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുക {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}, ഇരട്ട അസമത്വത്തിന്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും ക്രമേണ ലളിതമാക്കുന്നു.

അസമത്വം കർശനമായിരുന്നില്ല എന്നതിനാൽ, അടച്ച സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിലാണ് ഉത്തരം എഴുതിയിരിക്കുന്നത്.

ഉദാഹരണം 3

മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും ടിഅതിൽ സിനുസോയിഡിന്റെ പോയിന്റുകൾ രേഖയ്ക്ക് മുകളിലായിരിക്കും.

മൂല്യങ്ങൾ ടി  ഞങ്ങൾ ഇരട്ട അസമത്വത്തിന്റെ രൂപത്തിലാണ് എഴുതുന്നത്, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ അതേ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിയെഴുതുന്നു 2x  പ്രകടിപ്പിക്കുക {!LANG-296d1e4e7179dd24be3a5fab3ecc8f8f!}. ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യാ ഇടവേളയുടെ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു.

പിന്നെയും സമവാക്യം   ചെലവ്\u003e a.

എങ്കിൽ ചെലവ്\u003e a, (-1≤ഒപ്പം1), തുടർന്ന്   - ആർക്കോസ് a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുക, നിങ്ങൾ പരീക്ഷാ പരിശോധനയിൽ സമയം ലാഭിക്കും.

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോമിന്റെ ത്രികോണമിതി അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ യുഎൻ\u200cടി അല്ലെങ്കിൽ കേന്ദ്രീകൃത ടെസ്റ്റ് പരീക്ഷയിൽ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതാണ്   ചെലവ്

എങ്കിൽ ചെലവ് , (-1≤ഒപ്പം1), തുടർന്ന്   arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് വളരെ വേഗത്തിലും ഗ്രാഫുകളില്ലാതെയും ഉത്തരം ലഭിക്കും!

സൈൻ ഫംഗ്ഷന്റെ ആനുകാലികത കണക്കിലെടുത്ത്, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഇരട്ട അസമത്വം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു ടിഅവസാന അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. യഥാർത്ഥ വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഇരട്ട അസമത്വം ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു xഉത്തരം ഒരു വിടവിന്റെ രൂപത്തിലാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്.

രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഫോമിന്റെ അസമത്വം നേടുന്നതിന് ഇരട്ട ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ സൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ അസമത്വത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്: sint≥a.  അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം പിന്തുടർന്നു.

മൂന്നാമത്തെ അസമത്വം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:

പ്രിയ ബിരുദധാരികളും അപേക്ഷകരും! മുകളിലുള്ള ഗ്രാഫിക് രീതി പോലുള്ള ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും ഒരുപക്ഷേ, നിങ്ങൾക്കറിയാമോ, ഒരൊറ്റ ത്രികോണമിതി സർക്കിളിന്റെ (ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ) സഹായത്തോടെ പരിഹരിക്കുന്ന രീതി ബാധകമാകുന്നത് “ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുക” എന്ന ത്രികോണമിതി വിഭാഗത്തിന്റെ പഠനത്തിന്റെ ആദ്യ ഘട്ടങ്ങളിൽ മാത്രമാണ്. ഗ്രാഫുകളോ സർക്കിളോ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങൾ തുടക്കത്തിൽ പരിഹരിച്ചതായി നിങ്ങൾ ഓർമിക്കുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ രീതിയിൽ ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് സംഭവിക്കുന്നില്ല. അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അത് ശരിയാണ്. അതിനാൽ ത്രിഗുണമിതി അസമത്വം ഫോർമുലകളാൽ പരിഹരിക്കപ്പെടണം, പ്രത്യേകിച്ചും പരിശോധനയിൽ, എപ്പോൾ ഓരോ മിനിറ്റും എണ്ണുന്നു. അതിനാൽ, ഉചിതമായ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ പാഠത്തിന്റെ മൂന്ന് അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

എങ്കിൽ sint\u003e aഇവിടെ -1≤ a1 പിന്നെ   arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn,   nєZ.

സമവാക്യങ്ങൾ മനസിലാക്കുക!

ഒടുവിൽ: ഗണിതശാസ്ത്രം നിർവചനങ്ങൾ, നിയമങ്ങൾ, ഫോർമുലകൾ എന്നിവയാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമോ?!

തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്കറിയാം! ഏറ്റവും ക urious തുകകരമായ, ഈ ലേഖനം പഠിക്കുകയും വീഡിയോ കാണുകയും ചെയ്തുകൊണ്ട് ഇങ്ങനെ ഉദ്\u200cഘോഷിച്ചു: “എത്രനാൾ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്! ഗ്രാഫുകളും സർക്കിളുകളും ഇല്ലാതെ അത്തരം അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല ഉണ്ടോ? ” അതെ, തീർച്ചയായും ഉണ്ട്!

പ്രത്യേകതകൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്: സിന്റ് (-1≤ഒപ്പം1) ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ശരിയാണ്:

- π - ആർക്ക്സിൻ a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് പ്രയോഗിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് വളരെ വേഗത്തിൽ ഉത്തരം ലഭിക്കും!

ഉപസംഹാരം: സുഹൃത്തുക്കളേ, ഫോർമുലകൾ മനസിലാക്കുക!

പേജ് 1 ന്റെ 1 1

ഒരു പ്രായോഗിക പാഠത്തിൽ, "ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാന ജോലികൾ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കും, വർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശകലനം ചെയ്യുകയും വിവിധ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളും അവയുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യും.

ബി 5, ബി 7, സി 1, സി 3 എന്നീ ജോലികളിൽ ഒന്ന് തയ്യാറാക്കാൻ ഈ പാഠം നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.

"ത്രികോണമിതി" എന്ന വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള പ്രധാന ജോലികൾ ആവർത്തിച്ചുകൊണ്ട് ആരംഭിക്കുകയും നിലവാരമില്ലാത്ത നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. കോണുകളെ റേഡിയൻസിലേക്കും ഡിഗ്രികളിലേക്കും പരിവർത്തനം ചെയ്യുക: a); b)

a) ഡിഗ്രികളെ റേഡിയൻസിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു

നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം അതിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

b) റേഡിയൻസിനെ ഡിഗ്രികളിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു

നമുക്ക് പകരക്കാരൻ ചെയ്യാം .

ഉത്തരം. ഒപ്പം) ; b)

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. കണക്കുകൂട്ടുക: a); b)

a) ആംഗിൾ പട്ടികയ്\u200cക്ക് അപ്പുറത്തേക്ക് പോകുന്നതിനാൽ, സൈൻ പിരീഡ് കുറച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അത് കുറയ്ക്കുന്നു. കാരണം റേഡിയൻ\u200cസിൽ\u200c ആംഗിൾ\u200c സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന്\u200c ഞങ്ങൾ\u200c കാലഘട്ടത്തെ പരിഗണിക്കും.

b) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സ്ഥിതി സമാനമാണ്. ആംഗിൾ ഡിഗ്രികളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ടാൻജെന്റ് പിരീഡും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആംഗിൾ, കാലഘട്ടത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിലും വലുതാണ്, അതിനർത്ഥം ഇത് മേലിൽ പ്രധാനത്തെയല്ല, പട്ടികയുടെ വിപുലീകൃത ഭാഗത്തെയാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ട്രൈഗോ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ വിപുലീകൃത പട്ടിക ഓർത്തിരിക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങളുടെ മെമ്മറി വീണ്ടും പരിശീലിപ്പിക്കാതിരിക്കാൻ, ടാൻജെന്റ് കാലയളവ് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും കുറയ്ക്കുന്നു:

വിചിത്രമായ ടാൻജെന്റ് ഫംഗ്ഷൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു.

ഉത്തരം. a) 1; b)

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. കണക്കാക്കുക , എങ്കിൽ.

ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗത്തെയും ടാൻജെന്റുകളായി കുറയ്ക്കുന്നു, ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിനെയും ഡിനോമിനേറ്ററിനെയും ഹരിച്ചാണ്. മാത്രമല്ല, ഞങ്ങൾക്ക് അത് ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ടാൻജെന്റ് മൂല്യം നിലവിലില്ല.

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

കാസ്റ്റ് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത്. ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് അവ അസാധാരണമായി റെക്കോർഡുചെയ്യുന്നു എന്നത് മാത്രമാണ്. ആദ്യ പദപ്രയോഗം പൊതുവെ ഒരു സംഖ്യയാണ്. എല്ലാ ട്രിഗോ ഫംഗ്ഷനുകളും ലളിതമാക്കുക:

കാരണം , തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ കോ-ഫംഗ്ഷനായി മാറുന്നു, അതായത്. കോട്ടാൻജെന്റിൽ, ആംഗിൾ രണ്ടാം പാദത്തിലേക്ക് വീഴുന്നു, അതിൽ പ്രാരംഭ ടാൻജെന്റിന് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

മുമ്പത്തെ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അതേ കാരണങ്ങളാൽ, പ്രവർത്തനം സഹകരണത്തിലേക്ക് മാറുന്നു, അതായത്. ആദ്യ പാദത്തിൽ കോണിൽ വീഴുന്നു, അതിൽ പ്രാരംഭ ടാൻജെന്റിന് പോസിറ്റീവ് ചിഹ്നമുണ്ട്.

എല്ലാം ലളിതമായ പദപ്രയോഗത്തിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

ടാസ്ക് നമ്പർ 5. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

അനുബന്ധ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇരട്ട കോണിന്റെ ടാൻജെന്റ് എഴുതുകയും പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

അവസാന ഐഡന്റിറ്റി കോസൈനിന്റെ സാർവത്രിക മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്.

ടാസ്ക് നമ്പർ 6. കണക്കാക്കാൻ.

പ്രധാന കാര്യം ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് വരുത്തരുത്, കൂടാതെ പദപ്രയോഗം തുല്യമാണെന്ന് ഉത്തരം നൽകരുത്. ആർക്റ്റാൻജന്റിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതിനടുത്തായി ഒരു ഡ്യൂസിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു ഗുണിതമുണ്ട്. അതിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടുന്നതിന്, ഇരട്ട കോണിന്റെ ടാൻജെന്റിന്റെ സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു പദപ്രയോഗം എഴുതുകയും അതേ സമയം ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു സാധാരണ വാദമായി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യും.

ആർക്ക് ടാൻജെന്റിന്റെ പ്രധാന സ്വത്ത് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും, അതിന്റെ സംഖ്യാ ഫലത്തിന് നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്ന് ഓർക്കുക.

ടാസ്ക് നമ്പർ 7. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഭിന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, എല്ലായ്പ്പോഴും ന്യൂമറേറ്റർ പൂജ്യമാണെന്നും ഡിനോമിനേറ്റർ അല്ലെന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കാരണം പൂജ്യത്താൽ വിഭജിക്കാനാവില്ല.

ആദ്യത്തെ സമവാക്യം ലളിതമായ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്, ഇത് ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കും. ഈ പരിഹാര രീതി സ്വയം ഓർക്കുക. രണ്ടാമത്തെ അസമത്വം ടാൻജെന്റിന്റെ വേരുകളുടെ പൊതു സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ സമവാക്യമായി പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, എന്നാൽ ചിഹ്നത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തോടെ മാത്രമേ അസമത്വം ഉണ്ടാകൂ.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു കുടുംബം വേരുകൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത വേരുകളുടെ രൂപത്തിൽ സമാനമായി മറ്റൊന്നിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു. ആ. വേരുകളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം. വേരുകളൊന്നുമില്ല.

ടാസ്ക് നമ്പർ 8. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

നമുക്ക് പൊതുവായ ഘടകം പുറത്തെടുത്ത് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക:

നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ സമവാക്യം ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവയിലൊന്ന് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ മറ്റൊന്ന് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തേതോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ഒരു കൂട്ടം സമവാക്യങ്ങളായി ഞങ്ങൾ ഇത് എഴുതുന്നു:

ആദ്യത്തെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലളിതമായവയുടെ പ്രത്യേക കേസുകളാണ്, അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പലതവണ നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്, അതിനാൽ അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉടനടി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം ഇരട്ട-ആംഗിൾ സൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരൊറ്റ ഫംഗ്ഷനായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

അവസാന സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല, കാരണം സൈൻ മൂല്യത്തിനപ്പുറം പോകാൻ കഴിയില്ല .

അതിനാൽ, പരിഹാരം വേരുകളുടെ ആദ്യ രണ്ട് കുടുംബങ്ങൾ മാത്രമാണ്, അവ ഒന്നായി കൂട്ടിച്ചേർക്കാം, ഇത് ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ കാണിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

ഇത് എല്ലാ ഭാഗങ്ങളുടെയും ഒരു കുടുംബമാണ്, അതായത്.

ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു. ആദ്യം, പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാതെ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സമീപനം ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും, പക്ഷേ ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിളിന്റെ സഹായത്തോടെ.

ടാസ്ക് നമ്പർ 9. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

സൈൻ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ ത്രികോണമിതി സർക്കിളിൽ നമുക്ക് ഒരു സഹായ രേഖ വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന കോണുകളുടെ ഇടവേള കാണിക്കുക.

ലഭിച്ച കോണുകളുടെ ഇടവേള എങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കണം എന്ന് മനസിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, അതായത്. അതിന്റെ ആരംഭം എന്താണ്, അവസാനം എന്താണ്. ഞങ്ങൾ എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ നീങ്ങിയാൽ വിടവിന്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ പ്രവേശിക്കുന്ന പോയിന്റുമായി യോജിക്കുന്ന കോണാണ് വിടവിന്റെ ആരംഭം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഇത് ഇടതുവശത്തുള്ള പോയിന്റാണ്, കാരണം എതിർ ഘടികാരദിശയിൽ സഞ്ചരിച്ച് ശരിയായ പോയിന്റ് കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ കോണുകളുടെ ആവശ്യമായ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് പുറത്തുകടക്കുന്നു. അതിനാൽ ശരിയായ പോയിന്റ് വിടവിന്റെ അവസാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടും.

അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ വിടവിന്റെ ആരംഭത്തിന്റെയും അവസാനത്തിന്റെയും കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മനസിലാക്കേണ്ടത് ഇപ്പോൾ ആവശ്യമാണ്. വലത് പോയിന്റ് ഒരു കോണിനും ഇടത്തേയ്ക്കും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഉടനടി സൂചിപ്പിച്ച് ഉത്തരം നൽകുക എന്നതാണ് ഒരു സാധാരണ തെറ്റ്. ഇത് സത്യമല്ല! സർക്കിളിന്റെ മുകൾ ഭാഗവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന വിടവ് ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക, താഴത്തെ ഭാഗത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിലും, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നമുക്ക് ആവശ്യമായ തീരുമാന ഇടവേളയുടെ തുടക്കവും അവസാനവും ഞങ്ങൾ ചേർത്തു.

ഇടവേള വലത് പോയിന്റിലെ കോണിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നതിനും ഇടത് പോയിന്റിലെ കോണിൽ അവസാനിക്കുന്നതിനും, ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ച ആംഗിൾ രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നെഗറ്റീവ് റഫറൻസ് ദിശയിൽ ശരിയായ പോയിന്റിന്റെ കോൺ അളക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്. ഘടികാരദിശയിൽ അത് തുല്യമായിരിക്കും. അതിനുശേഷം, ഘടികാരദിശയിൽ\u200c നിന്നും ഒരു പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക്\u200c നീങ്ങാൻ\u200c ആരംഭിക്കുമ്പോൾ\u200c, ഞങ്ങൾ\u200c ഇടത് പോയിന്റിന് ശേഷം വലത് പോയിന്റിലേക്ക് പോയി അതിനുള്ള ആംഗിൾ\u200c മൂല്യം നേടും. ഇപ്പോൾ കോണുകളുടെ ഇടവേളയുടെ ആരംഭം അവസാനത്തേക്കാൾ കുറവാണ്, കൂടാതെ കാലയളവ് കണക്കിലെടുക്കാതെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഇടവേള രേഖപ്പെടുത്താൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയും:

അത്തരം ഇടവേളകൾ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകളുടെ എണ്ണം തിരിവുകൾക്ക് ശേഷം അനന്തമായ തവണ ആവർത്തിക്കുമെന്നതിനാൽ, സൈൻ കാലയളവ് കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം നേടുന്നു:

അസമത്വം കർശനമായതിനാൽ ഞങ്ങൾ പരാൻതീസിസ് ഇടുന്നു, ഒപ്പം വിടവുകളുടെ അറ്റങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന സർക്കിളിലെ പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ പഞ്ചർ ചെയ്യുന്നു.

പ്രഭാഷണത്തിൽ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ച പൊതു പരിഹാരത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യവുമായി ലഭിച്ച ഉത്തരം താരതമ്യം ചെയ്യുക.

ഉത്തരം. .

ലളിതമായ ത്രികോണങ്ങളുടെ പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എവിടെ നിന്ന് വരുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ സൂചിപ്പിച്ച രീതി നല്ലതാണ്. കൂടാതെ, ഈ മടിയുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളെല്ലാം പഠിക്കാൻ മടിയുള്ളവർക്ക് ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, രീതി തന്നെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, പരിഹാരത്തിനുള്ള ഏത് സമീപനമാണ് നിങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും സൗകര്യപ്രദമെന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

ത്രികോണമിതി അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, യൂണിറ്റ് സർക്കിൾ ഉപയോഗിച്ച് കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രീതിക്ക് സമാനമായി സഹായ രേഖ നിർമ്മിച്ച ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളും ഉപയോഗിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരത്തിനുള്ള ഈ സമീപനം സ്വയം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ, ലളിതമായ ത്രികോണമിതി അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ പൊതു സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 10. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

അസമത്വം കർശനമല്ലെന്ന് കണക്കിലെടുത്ത് ഞങ്ങൾ പൊതു പരിഹാര സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ:

ഉത്തരം.

ടാസ്ക് നമ്പർ 11. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക.

കർശനമായ അസമത്വത്തിന് ഞങ്ങൾ പൊതു പരിഹാര സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഉത്തരം. .

ടാസ്ക് നമ്പർ 12. അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക: a); b)

സൂചിപ്പിച്ച അസമത്വങ്ങളിൽ, പൊതുവായ പരിഹാരങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളോ ഒരു ത്രികോണമിതി സർക്കിളോ ഉപയോഗിക്കാൻ ഒരാൾ തിരക്കുകൂട്ടേണ്ടതില്ല; സൈനിന്റെയും കോസൈൻ മൂല്യങ്ങളുടെയും വ്യാപ്തി ഓർമ്മിപ്പിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.

a) മുതൽ അസമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

b) കാരണം അതുപോലെ, ഏതൊരു വാദത്തിന്റെയും സൈൻ എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ, വാദത്തിന്റെ സാധുവായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും അസമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഉത്തരം. a) തീരുമാനങ്ങളൊന്നുമില്ല; b)

ടാസ്ക് 13. അസമത്വം പരിഹരിക്കുക .