അച്ചുതണ്ട് ദിശയാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്കോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡയറക്ട് ലൈനിലേക്കോ ഉള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ഒരേപോലെ കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ്. പ്രൊജക്ഷൻ ബീജഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമാകാം. ജ്യാമിതീയമായി, ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു വെക്‌ടറായും ബീജഗണിതപരമായി ഒരു സംഖ്യയായും മനസ്സിലാക്കപ്പെടുന്നു. അതായത്, ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് പ്രൊജക്ഷൻ, ഒരു അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്ററിന്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ എന്നീ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

Yandex.RTB R-A-339285-1

നമുക്ക് ഒരു L അച്ചുതണ്ടും ഒരു നോൺസീറോ വെക്‌ടറും A B → ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ A 1 B 1 ⇀ നിർമ്മിക്കാം, അതിന്റെ പോയിന്റുകളുടെ A 1, B 1 എന്നിവയുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

A 1 B → 1 എന്നത് വെക്റ്റർ A B → L-ലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ആയിരിക്കും.

നിർവ്വചനം 1

വെക്‌ടറിന്റെ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻഒരു വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ തുടക്കവും അവസാനവും നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ തുടക്കത്തിന്റെയും അവസാനത്തിന്റെയും പ്രൊജക്ഷനുകളാണ്. n p എൽ എ ബി → → എ ബി → എൽ ലേക്ക് പ്രൊജക്ഷൻ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പതിവാണ്. L-ലേക്ക് ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, L-ലേക്കുള്ള ലംബങ്ങൾ ഡ്രോപ്പ് ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം.

ഓൺ കോർഡിനേറ്റ് വിമാനംഏകദേശം x y എന്ന പോയിന്റ് M 1 (x 1, y 1) നൽകിയിരിക്കുന്നു. പോയിന്റ് M 1 ന്റെ ആരം വെക്റ്ററിന്റെ ഇമേജിനായി O x, O y എന്നിവയിൽ പ്രൊജക്ഷനുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വെക്റ്ററുകളുടെ (x 1, 0), (0, y 1) കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

എങ്കിൽ ചോദ്യത്തിൽപ്രൊജക്ഷനെ കുറിച്ച് a → നോൺ സീറോ b → അല്ലെങ്കിൽ പ്രൊജക്ഷൻ a → ദിശ b →, അപ്പോൾ നമ്മൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് b → ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ a → എന്നാണ്. b → നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വരയിലേക്കുള്ള a → ന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ n p b → a → → കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ആംഗിൾ a →, b → എന്നിവയ്ക്കിടയിലായിരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് n p b → a → →, b → കോഡയറക്ഷണൽ എന്നിവ പരിഗണിക്കാം. ആംഗിൾ ചരിഞ്ഞിരിക്കുമ്പോൾ, n p b → a → →, b → എന്നിവ വിപരീത ദിശയിലാണ്. ലംബമായ സാഹചര്യത്തിൽ a →, b →, കൂടാതെ a → പൂജ്യമാണ്, b → ദിശയിലുള്ള a → യുടെ പ്രൊജക്ഷൻ പൂജ്യം വെക്‌ടറാണ്.

അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷന്റെ സംഖ്യാ സ്വഭാവം വെക്റ്ററിന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷനാണ്.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻഈ വെക്‌ടറിനും അച്ചുതണ്ടിന്റെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കുന്ന വെക്‌ടറിനും ഇടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറിന്റെ നീളത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ A B → onto L എന്നത് n p L A B → എന്നും a → onto b → - n p b → a → എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഫോർമുലയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, നമുക്ക് npb → a → = a → cos a →, b → ^ ലഭിക്കുന്നു, അവിടെ നിന്ന് a → വെക്‌ടറിന്റെ നീളമാണ് a →, a ⇀, b → ^ വെക്‌ടറുകൾക്ക് ഇടയിലുള്ള കോണാണ് a → b →.

സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും: n p b → a → = a → · cos a →, b → ^. അറിയപ്പെടുന്ന നീളങ്ങൾ a →, b → എന്നിവയ്ക്കും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിനും ഇത് ബാധകമാണ്. അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ a →, b → എന്നിവയ്‌ക്ക് ഫോർമുല ബാധകമാണ്, എന്നാൽ ഒരു ലളിതമായ ഫോം ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2

8 ന് തുല്യമായ → നീളവും 60 ഡിഗ്രി കോണും ഉള്ള b → ദിശയിലുള്ള ഒരു നേർരേഖയിൽ a → എന്ന സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുക. അനുമാനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഒരു ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° ഉണ്ട്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നു സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ n p b ⇀ a → = a → cos a →, b → ^ = 8 cos 60 ° = 8 1 2 = 4 എന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക്.

ഉത്തരം: 4.

നൽകിയിരിക്കുന്ന cos (a →, b → ^) = a ⇀, b → a → b →, നമുക്ക് a →, b → എന്നിവയുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നമായി ഒരു →, b → ഉണ്ട്. n p b → a → = a → cos a ⇀, b → ^ എന്ന ഫോർമുലയിൽ നിന്ന്, നമുക്ക് വെക്‌ടറിനൊപ്പം b → എന്ന സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുകയും n p b → a → = a →, b → b → ലഭിക്കുകയും ചെയ്യാം. ഖണ്ഡികയുടെ തുടക്കത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന നിർവചനത്തിന് തുല്യമാണ് ഫോർമുല.

നിർവ്വചനം 3

വെക്‌ടറിന്റെ a → ന്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ, b → യുടെ ദിശയിൽ ചേരുന്ന അക്ഷത്തിൽ a →, b → എന്നിവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ അനുപാതമാണ് നീളം b →. n p b → a → = a →, b → b → എന്ന ഫോർമുല a → ന്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന് ബാധകമാണ്, a →, b → കോർഡിനേറ്റുകൾ എന്നിവയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു നേർരേഖയിൽ.

ഉദാഹരണം 3

B → = (- 3, 4) നൽകിയിരിക്കുന്നു. L-ലേക്കുള്ള സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ a → = (1, 7) കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിൽ npb → a → = a →, b → b → എന്നതിന് npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2, ax, ay = (ax,ay = ) കൂടാതെ b → = bx, by. L അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്റർ a → ന്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്: np L a → = npb → a → = a →, b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

ഉത്തരം: 5.

ഉദാഹരണം 4

→ = - 2, 3, 1, b → = (3, - 2, 6) എന്നിവയുള്ള b → ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന, L-ൽ പ്രൊജക്ഷൻ a → കണ്ടെത്തുക. ഒരു ത്രിമാന സ്ഥലം നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം

a → = a x, a y, a z, b → = b x, b y, b z എന്നിവ നൽകിയാൽ, ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുന്നു: a ⇀, b → = a x b x + a y b y + a z b z. b → നീളം b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണ്ടെത്തുന്നത്. സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ a → നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതായിരിക്കും: n p b → a ⇀ = a →, b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2.

സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 ...

ഉത്തരം: - 6 7.

L-ലെ → യും L-ലെ ഒരു → പ്രൊജക്ഷൻ ദൈർഘ്യവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പരിഗണിക്കുക. ഒരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് L ലേക്ക് ഒരു →, b → എന്നിവ ചേർത്ത് എൽ-അക്ഷം വരയ്ക്കുക, അതിനുശേഷം നമ്മൾ അവസാനം a → ലേക്ക് L ലേക്ക് ഒരു ലംബ രേഖയും L ലേക്ക് പ്രൊജക്ഷൻ വരയ്ക്കുന്നു. ചിത്രത്തിന്റെ 5 വ്യതിയാനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

ആദ്യം a → = npb → a → → എന്നതിന്റെ അർത്ഥം a → = npb → a → →, അതിനാൽ ഇത് npb → a → = a → cos (a, → b → = ^) = a → npb → a → →.

രണ്ടാമത്കേസ് n p b → a → ⇀ = a → cos a →, b →, അതിനാൽ, n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = n p b → a →.

മൂന്നാമത്കേസ് വിശദീകരിക്കുന്നത് npb → a → → = 0 → നമുക്ക് npb ⇀ a → = a → cos (a →, b → ^) = a → cos 90 ° = 0, പിന്നെ npb → → a → a → = 0 = npb → a → →.

നാലാമത്തെകേസ് കാണിക്കുന്നു npb → a → → = a → cos (180 ° - a →, b → ^) = - a → cos (a →, b → ^), ഇത് npb → a → = a → cos, (a → cos, b → ^) = - npb → a → →.

അഞ്ചാമത്കേസ് a → = npb → a → → കാണിക്കുന്നു, അതായത് a → = npb → a → →, അതിനാൽ നമുക്ക് npb → a → = a → cos a →, b - → = a → ° 1 → ° - npb → a →.

നിർവ്വചനം 4

വെക്‌ടറിന്റെ a → ന്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷന് എൽ അക്ഷത്തിലേക്ക്, അത് b → പോലെ നയിക്കപ്പെടുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന അർത്ഥമുണ്ട്:

• വെക്‌ടറിന്റെ a →-ന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെ ദൈർഘ്യം, a →, b → എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോൺ 90 ഡിഗ്രിയിൽ കുറവോ 0: npb → a → = npb → a → → എന്ന അവസ്ഥയോടൊപ്പം 0 ≤ (a →) , b →) ^< 90 ° ;
• ലംബമായ a →, b → വ്യവസ്ഥയിൽ പൂജ്യം: n p b → a → = 0, എപ്പോൾ (a →, b → ^) = 90 °;
• പ്രൊജക്ഷന്റെ നീളം a → L-ൽ, -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ ഒരു ചരിഞ്ഞതോ മടക്കാത്തതോ ആയ ആംഗിൾ ഉള്ളപ്പോൾ: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° വ്യവസ്ഥയിൽ< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

ഉദാഹരണം 5

ഒരു → L-ലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ദൈർഘ്യം 2 ന് തുല്യമാണ്. ആംഗിൾ 5 π 6 റേഡിയൻ ആണെന്ന് കരുതി a → സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ഈ ആംഗിൾ മങ്ങിയതാണെന്ന് വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

ഉത്തരം: - 2.

ഉദാഹരണം 6

30 ഡിഗ്രി കോണിൽ 6 3, b → (- 2, 1, 2) എന്നതിന് തുല്യമായ വെക്റ്റർ നീളമുള്ള ഒരു തലം O x y z. L അക്ഷത്തിൽ പ്രൊജക്ഷൻ a → യുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ വെക്‌ടറിന്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണക്കാക്കുന്നു a →: n p L a → = n p b → a → = a → cos (a →, b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9.

അനുമാനം അനുസരിച്ച്, ആംഗിൾ നിശിതമാണ്, തുടർന്ന് സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ a → = വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെ നീളം a →: n p L a → = n p L a → → = 9. ഈ കാര്യം n p L a → →, b → വെക്‌ടറുകൾ കോഡയറക്ഷണൽ ആണെന്ന് കാണിക്കുന്നു, അതിനാൽ തുല്യത ശരിയാകുന്ന ഒരു സംഖ്യയുണ്ട്: n p L a → → = t b →. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് np L a → → = tb → എന്ന് കാണാം, അതിനാൽ നമുക്ക് t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 എന്ന പാരാമീറ്ററിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം. = 3.

അപ്പോൾ np L a → → = 3 b → വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം എൽ അക്ഷത്തിൽ a → ആണ് b → = (- 2, 1, 2), അവിടെ മൂല്യങ്ങളെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് np L a → → = (- 6 , 3, 6) ഉണ്ട്. ഉത്തരം: (- 6, 3, 6).

വെക്റ്റർ കോളിനാരിറ്റിയുടെ അവസ്ഥയെക്കുറിച്ച് മുമ്പ് പഠിച്ച വിവരങ്ങൾ ആവർത്തിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

വാചകത്തിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, ദയവായി അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Ctrl + Enter അമർത്തുക

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകട്ടെ. ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവെക്കുക ഒവെക്റ്ററുകൾ കൂടാതെ. കോർണർവെക്‌ടറുകൾക്കിടയിൽ, അതിനെ ഏറ്റവും ചെറിയ കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു .

അച്ചുതണ്ട് പരിഗണിക്കുക എൽഅതിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ ഇടുക (അതായത്, നീളം ഒന്നിന് തുല്യമായ വെക്റ്റർ).

വെക്റ്ററും അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള ആംഗിൾ എൽവെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ മനസ്സിലാക്കുക.

അതിനാൽ അനുവദിക്കുക എൽ- ചില അക്ഷവും - വെക്‌ടറും.

നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം എ 1ഒപ്പം ബി 1ആക്സിസ് പ്രൊജക്ഷൻ എൽയഥാക്രമം പോയിന്റുകൾ എഒപ്പം ബി... നമുക്ക് അത് നടിക്കാം എ 1ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ഉണ്ട് x 1, എ ബി 1- ഏകോപിപ്പിക്കുക x 2അച്ചുതണ്ടിൽ എൽ.

പിന്നെ പ്രൊജക്ഷൻഓരോ അക്ഷത്തിനും വെക്‌ടറുകൾ എൽവ്യത്യാസം വിളിച്ചു x 1 – x 2ഈ അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്ററിന്റെ അവസാനത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിന്റെയും പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കിടയിൽ.

ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ എൽസൂചിപ്പിക്കും.

വെക്റ്ററും അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള കോണാണെങ്കിൽ അത് വ്യക്തമാണ് എൽഅപ്പോൾ മൂർച്ച x 2> x 1, പ്രൊജക്ഷൻ x 2 – x 1> 0; ഈ ആംഗിൾ മങ്ങിയതാണെങ്കിൽ, പിന്നെ x 2< x 1പ്രൊജക്ഷനും x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси എൽ, പിന്നെ x 2= x 1ഒപ്പം x 2– x 1=0.

അങ്ങനെ, അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ എൽസെഗ്മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യമാണ് എ 1 ബി 1, ഒരു പ്രത്യേക അടയാളം എടുത്തത്. അതിനാൽ, ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു സംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ സ്കെയിലർ ആണ്.

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ മറ്റൊന്നിലേക്ക് സമാനമായ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 2nd വെക്റ്റർ കിടക്കുന്ന വരിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ അറ്റങ്ങളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ കാണപ്പെടുന്നു.

ചില പ്രധാന കാര്യങ്ങൾ നോക്കാം പ്രൊജക്ഷൻ പ്രോപ്പർട്ടികൾ.

ലീനിയർ ഡിപെൻഡന്റ് ആൻഡ് ലീനിയർ ഇൻഡിപെൻഡന്റ് വെക്റ്റർ സിസ്റ്റങ്ങൾ

നമുക്ക് നിരവധി വെക്റ്ററുകൾ പരിഗണിക്കാം.

ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻഈ വെക്റ്ററുകളെ ഫോമിന്റെ ഏതെങ്കിലും വെക്റ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവിടെ ചില സംഖ്യകൾ ഉണ്ട്. സംഖ്യകളെ ലീനിയർ കോമ്പിനേഷന്റെ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് ഈ വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുവെന്നും അവർ പറയുന്നു, അതായത്. രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയാൽ, വെക്റ്ററുകൾ അവയുടെ രേഖീയ സംയോജനമായി കണക്കാക്കാം:

ഒരു വെക്‌ടറിനെ ചില വെക്‌ടറുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായാണ് അവതരിപ്പിക്കുന്നതെങ്കിൽ, അവർ അത് പറയുന്നു ദ്രവിച്ചുഈ വെക്റ്ററുകൾക്കൊപ്പം.

വെക്റ്ററുകളെ വിളിക്കുന്നു രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നത്സംഖ്യകളുണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല ... ഈ വെക്‌ടറുകളിലേതെങ്കിലും മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

അല്ലെങ്കിൽ, അതായത്. എപ്പോൾ അനുപാതം എപ്പോൾ മാത്രമാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത് , ഈ വെക്റ്ററുകളെ വിളിക്കുന്നു രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ.

സിദ്ധാന്തം 1.ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നു, അവ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ മാത്രം.

തെളിവ്:

ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തവും സമാനമായി തെളിയിക്കാനാകും.

സിദ്ധാന്തം 2.മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നു.

തെളിവ്.

അടിസ്ഥാനം

അടിസ്ഥാനംപൂജ്യമല്ലാത്ത രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും.

മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ, വിമാനത്തിലെ രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടു. അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച്, മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ നിന്ന്, ഒരു തലത്തിലെ അടിസ്ഥാനം ഈ തലത്തിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളാണ്.

അതുപോലെ, ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്‌ടറുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. തൽഫലമായി, മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്റ്ററുകളെ ബഹിരാകാശത്ത് അടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം.ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു അടിസ്ഥാനം നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ ഏത് വെക്റ്ററും ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷനായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം , എവിടെ x, വൈ, z- ചില സംഖ്യകൾ. ഈ വിഘടനം അദ്വിതീയമാണ്.

തെളിവ്.

അതിനാൽ, അടിസ്ഥാനം ഓരോ വെക്‌ടറെയും ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു - അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഈ വെക്റ്ററിന്റെ വികാസത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ :. ഓരോ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകൾക്കും വിപരീതവും ശരിയാണ് x, y, zഒരു അടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾ ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ രചിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വെക്റ്ററുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്താനാകും .

അടിസ്ഥാനവും എങ്കിൽ , പിന്നെ അക്കങ്ങൾ x, y, zവിളിക്കുന്നു കോർഡിനേറ്റുകൾനൽകിയിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്റ്ററുകൾ. വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഡികാർട്ടിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ സിസ്റ്റം

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു പോയിന്റ് നൽകട്ടെ ഒകൂടാതെ മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്‌ടറുകളും.

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റംബഹിരാകാശത്ത് (ഒരു വിമാനത്തിൽ) ഒരു ബിന്ദുവും അടിസ്ഥാനവും എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. ഈ പോയിന്റിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ഒരു ബിന്ദുവും മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലാനർ വെക്‌ടറുകളും (2 നോൺ-കോളിനിയർ വെക്‌ടറുകൾ) ഒരു കൂട്ടം.

പോയിന്റ് ഒഉത്ഭവം വിളിച്ചു; അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളുടെ ദിശയിൽ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകളെ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു - abscissa, ordinate, applicate axes. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനങ്ങളെ കോർഡിനേറ്റ് വിമാനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക എം... പോയിന്റ് കോർഡിനേറ്റുകൾ എന്ന ആശയം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം എം... ഉത്ഭവത്തെ പോയിന്റുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വെക്റ്റർ എം... വിളിച്ചു ആരം വെക്റ്റർപോയിന്റുകൾ എം.

തിരഞ്ഞെടുത്ത അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ഒരു വെക്റ്റർ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം - അതിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: .

പോയിന്റ് റേഡിയസ് വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകൾ എം... വിളിക്കുന്നു പോയിന്റ് എം കോർഡിനേറ്റുകൾ... പരിഗണിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ. M (x, y, z)... ആദ്യത്തെ കോർഡിനേറ്റിനെ അബ്സിസ്സ എന്നും രണ്ടാമത്തേത് ഓർഡിനേറ്റ് എന്നും മൂന്നാമത്തേത് ആപ്ലിക്കേഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

വിമാനത്തിലെ കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റുകൾ സമാനമായ രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ പോയിന്റിന് രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ - അബ്സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും.

നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന് ഓരോ പോയിന്റിനും ചില കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറുവശത്ത്, ഓരോ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകൾക്കും, ഈ സംഖ്യകളെ കോർഡിനേറ്റുകളായി ഉള്ള ഒരൊറ്റ പോയിന്റ് ഉണ്ട്.

തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കുന്ന വെക്റ്ററുകൾക്ക് യൂണിറ്റ് നീളവും ജോടിയായി ലംബമാണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ വിളിക്കുന്നു കാർട്ടീഷ്യൻ ദീർഘചതുരം.

അത് കാണിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ ദിശ കോസൈനുകൾ അതിന്റെ ദിശയെ പൂർണ്ണമായി നിർവചിക്കുന്നു, എന്നാൽ അതിന്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും പറയുന്നില്ല.

ഒരു അക്ഷത്തിലോ മറ്റേതെങ്കിലും വെക്റ്ററിലോ അതിന്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷന്റെയും സംഖ്യാപരമായ (അല്ലെങ്കിൽ ബീജഗണിത) പ്രൊജക്ഷന്റെയും ആശയങ്ങളുണ്ട്. ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷന്റെ ഫലം ഒരു വെക്‌ടറും ബീജഗണിത പ്രൊജക്ഷന്റെ ഫലം ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമാണ്. എന്നാൽ ഈ ആശയങ്ങളിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, ആവശ്യമായ വിവരങ്ങൾ ഓർക്കുക.

പ്രാഥമിക വിവരം

ഒരു വെക്റ്റർ എന്ന ആശയം തന്നെയാണ് പ്രധാന ആശയം. ഒരു ജ്യാമിതീയ വെക്‌ടറിന്റെ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഒരു സെഗ്‌മെന്റ് എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കാം.

നിർവ്വചനം 1

പോയിന്റുകളുടെ രൂപത്തിൽ രണ്ട് അതിരുകളുള്ള ഒരു നേർരേഖയുടെ ഭാഗമാണ് സെഗ്മെന്റ്.

ഒരു വിഭാഗത്തിന് 2 ദിശകൾ ഉണ്ടാകാം. ദിശ സൂചിപ്പിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സെഗ്മെന്റിന്റെ അതിരുകളിൽ ഒന്നിനെ അതിന്റെ ആരംഭം എന്നും മറ്റേ അതിർത്തിയെ അതിന്റെ അവസാനം എന്നും വിളിക്കും. ദിശ അതിന്റെ തുടക്കം മുതൽ സെഗ്മെന്റിന്റെ അവസാനം വരെ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വെക്റ്റർ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡയറക്‌ട് സെഗ്‌മെന്റ് എന്നത് സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏത് അതിരുകളാണ് തുടക്കമായും അതിന്റെ അവസാനമായും കണക്കാക്കുന്നതെന്ന് അറിയാവുന്ന ഒരു സെഗ്‌മെന്റാണ്.

പദവി: രണ്ട് അക്ഷരങ്ങൾ: $ \ ഓവർലൈൻ (AB) $ - (ഇവിടെ $ A $ അതിന്റെ തുടക്കവും $ B $ അതിന്റെ അവസാനവുമാണ്).

ഒരു ചെറിയ അക്ഷരം: $ \ ഓവർലൈൻ (എ) $ (ചിത്രം 1).

വെക്റ്റർ എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കുറച്ച് ആശയങ്ങൾ കൂടി പരിചയപ്പെടുത്താം.

നിർവ്വചനം 3

രണ്ട് നോൺസീറോ വെക്‌ടറുകൾ ഒരേ നേർരേഖയിലോ നേർരേഖയിലോ പരസ്പരം സമാന്തരമായി കിടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അവയെ കോളിനിയർ എന്ന് വിളിക്കും (ചിത്രം 2).

നിർവ്വചനം 4

രണ്ട് നോൺ സീറോ വെക്റ്ററുകൾ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അവയെ കോഡയറക്ഷണൽ എന്ന് വിളിക്കും:

1. ഈ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണ്.
2. അവർ ഒരു ദിശയിൽ ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചാൽ (ചിത്രം 3).

പദവി: $ \ ഓവർലൈൻ (എ) \ ഓവർലൈൻ (ബി) $

നിർവ്വചനം 5

രണ്ട് നോൺ സീറോ വെക്റ്ററുകൾ രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അവയെ വിപരീത ദിശയിൽ വിളിക്കും:

1. ഈ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണ്.
2. അവർ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 4).

പദവി: $ \ ഓവർലൈൻ (എ) ↓ \ ഓവർലൈൻ (ഡി) $

നിർവ്വചനം 6

വെക്‌ടറിന്റെ ദൈർഘ്യം $ \ ഓവർലൈൻ (എ) $ എന്നത് $ a $ എന്ന സെഗ്‌മെന്റിന്റെ ദൈർഘ്യമാണ്.

കുറിപ്പ്: $ | \ ഓവർലൈൻ (എ) | $

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ തുല്യതയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം

നിർവ്വചനം 7

രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കപ്പെടും:

1. അവർ സഹസംവിധാനം ചെയ്യുന്നു;
2. അവയുടെ നീളം തുല്യമാണ് (ചിത്രം 5).

ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ

ഞങ്ങൾ നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷന്റെ ഫലം ഒരു വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും.

നിർവ്വചനം 8

വെക്‌ടറിന്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ $ \ ഓവർ‌ലൈൻ (AB) $ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ലഭിക്കുന്ന ഒരു വെക്‌ടറാണ്: $ A $ വെക്‌ടറിന്റെ ഉത്ഭവം ഈ അക്ഷത്തിൽ പ്രൊജക്‌റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് $ A "$ - ആവശ്യമുള്ള വെക്‌ടറിന്റെ ആരംഭം. വെക്‌ടറിന്റെ അവസാന പോയിന്റ് $ B $ ഈ അക്ഷത്തിൽ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് $ B" $ - ആവശ്യമുള്ള വെക്‌ടറിന്റെ അവസാനം ലഭിക്കും. വെക്റ്റർ $ \ ഓവർലൈൻ (A "B") $ ആയിരിക്കും ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ.

പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക:

ഉദാഹരണം 1

ചിത്രം 6 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന $ l $ അക്ഷത്തിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ $ \ ഓവർലൈൻ (AB) $ നിർമ്മിക്കുക.

$ A $ എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് $ l $ അക്ഷത്തിന് ലംബമായി വരയ്ക്കാം, നമുക്ക് $ A "$ എന്ന ബിന്ദു ലഭിക്കും. അടുത്തതായി, $ B $ a എന്ന ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് $ l $ അക്ഷത്തിന് ലംബമായി വരയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് പോയിന്റ് $ B" $ അതിൽ (ചിത്രം 7).

ഒരു വിമാനത്തിൽ വിവിധ ലൈനുകളും ഉപരിതലങ്ങളും രൂപകൽപ്പന ചെയ്യുന്നത് ഒരു ഡ്രോയിംഗിന്റെ രൂപത്തിൽ വസ്തുക്കളുടെ ഒരു വിഷ്വൽ ഇമേജ് നിർമ്മിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഡിസൈൻ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അതിൽ പ്രൊജക്ഷൻ കിരണങ്ങൾ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് ലംബമാണ്. വിമാനത്തിലെ വെക്‌ടറിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വെക്റ്റർ = (ചിത്രം 3.22) പരിഗണിക്കുക, അതിന്റെ ആരംഭത്തിൽ നിന്നും അവസാനത്തിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയ ലംബങ്ങൾക്കിടയിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

അരി. 3.23 അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിന്റെ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ.

വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിൽ, പലപ്പോഴും ഒരു വെക്‌ടറിനെ ആക്‌സിസിലേക്ക്, അതായത് ഒരു നിശ്ചിത ഓറിയന്റേഷനുള്ള നേർരേഖയിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വെക്റ്ററും എൽ-ആക്സിസും ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഈ ഡിസൈൻ എളുപ്പമാണ് (ചിത്രം 3.23). എന്നിരുന്നാലും, ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കാത്തപ്പോൾ ചുമതല കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. വെക്റ്ററും അച്ചുതണ്ടും ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ വെക്റ്ററിന്റെ പ്രൊജക്ഷൻ അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് നിർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 3.24).

അരി. 3.24 ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു
പൊതുവായി.

വെക്‌ടറിന്റെ അറ്റങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ നേർരേഖയായ L ലേക്ക് ലംബമായി പ്ലെയ്‌നുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. ഈ നേർരേഖയുമായുള്ള കവലയിൽ, ഈ വിമാനങ്ങൾ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ A1, B1 എന്നിവ നിർവചിക്കുന്നു - ഒരു വെക്റ്റർ, അതിനെ ഞങ്ങൾ ഈ വെക്റ്ററിന്റെ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കും. വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിൽ സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകളെ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം അച്ചുതണ്ടിനൊപ്പം ഒരേ തലത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുകയാണെങ്കിൽ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും.

വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനോടൊപ്പം, SCALAR പ്രൊജക്ഷനും ഉണ്ട്, ഇത് വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷന്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണ്, വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ എൽ അക്ഷത്തിന്റെ ഓറിയന്റേഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനും എൽ ആണെങ്കിൽ വിപരീത മൂല്യത്തിന് തുല്യവുമാണ്. അക്ഷത്തിന് വിപരീത ദിശകളാണുള്ളത്. സ്കെയിലർ പ്രൊജക്ഷൻ സൂചിപ്പിക്കും:

വെക്‌ടറും സ്‌കെലാർ പ്രൊജക്ഷനുകളും പ്രയോഗത്തിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും പദശാസ്ത്രപരമായി കർശനമായി വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നില്ല. സാധാരണയായി "വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ" എന്ന പദം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത് സ്കെലാർ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ. തീരുമാനിക്കുമ്പോൾ, ഈ ആശയങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യക്തമായി വേർതിരിച്ചറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സ്ഥാപിത പാരമ്പര്യത്തെ പിന്തുടർന്ന്, സ്ഥാപിത അർത്ഥത്തിന് അനുസൃതമായി, ഞങ്ങൾ "വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ", സ്കെലാർ പ്രൊജക്ഷൻ, "വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ" എന്നീ പദങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിന്റെ സ്കെയിലർ പ്രൊജക്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 5. ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ എൽ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ വെക്‌ടറിനും അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ മൊഡ്യൂളിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്

(3.5)

അരി. 3.25 വെക്‌ടറും സ്കെയിലറും കണ്ടെത്തുന്നു
എൽ അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനുകൾ
(ഒപ്പം എൽ അച്ചുതണ്ട് തുല്യ ഓറിയന്റഡ് ആണ്).

തെളിവ്. ആംഗിൾ കണ്ടെത്താൻ നമുക്ക് മുൻകൂട്ടി നിർമ്മിക്കാം ജിവെക്റ്ററിനും എൽ-ആക്സിസിനും ഇടയിൽ, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, എൽ-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി, പോയിന്റ് O-യിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖ MN നിർമ്മിക്കുക - വെക്റ്ററിന്റെ ആരംഭം (ചിത്രം 3.25). ആംഗിൾ ആവശ്യമുള്ള കോണായിരിക്കും. A, O എന്നീ പോയിന്റുകളിലൂടെ L അക്ഷത്തിന് ലംബമായി രണ്ട് തലങ്ങൾ വരയ്ക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

എൽ-ആക്സിസും ലൈൻ MN ഉം സമാന്തരമായതിനാൽ.

വെക്‌ടറിന്റെയും എൽ അക്ഷത്തിന്റെയും പരസ്പര സ്ഥാനത്തിന്റെ രണ്ട് കേസുകൾ നമുക്ക് ഒറ്റപ്പെടുത്താം.

1. വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനും എൽ-ആക്സിസും ഒരേപോലെ ഓറിയന്റഡ് ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 3.25). അപ്പോൾ അനുബന്ധ സ്കെയിലർ പ്രൊജക്ഷൻ .

2. ലെറ്റ്, എൽ എന്നിവ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിൽ ഓറിയന്റഡ് ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 3.26).

അരി. 3.26 ഒരു വെക്‌ടറിന്റെ വെക്‌ടറിന്റെയും സ്‌കെലാർ പ്രൊജക്ഷനുകളുടെയും എൽ-ആക്‌സിസിൽ കണ്ടെത്തൽ (ഒപ്പം എൽ-അക്ഷം എതിർദിശകളിലേക്കാണ്).

അതിനാൽ, രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ വാദം ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 6. വെക്‌ടറിന്റെ ഉത്ഭവം എൽ അക്ഷത്തിൽ ഒരു ബിന്ദുവായി കുറയുകയും ഈ അക്ഷം s തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുകയും ചെയ്‌താൽ, വെക്‌ടർ വെക്‌റ്റർ പ്രൊജക്ഷനുമായി s തലത്തിലേക്ക് ഒരു കോണും വെക്‌റ്റർ പ്രൊജക്ഷനുമായി ഒരു കോണും ഉണ്ടാക്കുന്നു. എൽ അച്ചുതണ്ടിലേക്ക്; കൂടാതെ, വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനുകൾ തന്നെ അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു കോണായി മാറുന്നു