പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ, ഗ്രാഫുകൾ എന്നിവയിലെ ചുമതലകൾ ഗുരുതരമായ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഇത് തികച്ചും വിചിത്രമാണ്, കാരണം അവർ എട്ടാം ക്ലാസിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നു, തുടർന്ന് 9-ാം ക്ലാസിൻ്റെ ആദ്യ പാദത്തിലുടനീളം അവർ പരാബോളയുടെ ഗുണങ്ങളെ "പീഡിപ്പിക്കുകയും" വിവിധ പാരാമീറ്ററുകൾക്കായി അതിൻ്റെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

പരാബോളകൾ നിർമ്മിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ നിർബന്ധിക്കുമ്പോൾ, അവർ ഗ്രാഫുകൾ "വായിക്കാൻ" പ്രായോഗികമായി സമയം ചെലവഴിക്കുന്നില്ല, അതായത്, ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ അവർ പരിശീലിക്കുന്നില്ല എന്നതാണ് ഇതിന് കാരണം. പ്രത്യക്ഷത്തിൽ, ഒരു ഡസനോ രണ്ടോ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിച്ച ശേഷം, ഒരു മിടുക്കനായ വിദ്യാർത്ഥി സ്വയം ഫോർമുലയിലെ ഗുണകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണ്ടെത്തുകയും രൂപപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. രൂപംഗ്രാഫിക്സ്. പ്രായോഗികമായി ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല. അത്തരമൊരു സാമാന്യവൽക്കരണത്തിന്, ഗണിതശാസ്ത്ര മിനി-ഗവേഷണത്തിൽ ഗുരുതരമായ അനുഭവം ആവശ്യമാണ്, അത് മിക്ക ഒമ്പതാം ക്ലാസുകാർക്കും തീർച്ചയായും ഇല്ല. അതേസമയം, ഷെഡ്യൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ സ്റ്റേറ്റ് ഇൻസ്പെക്ടറേറ്റ് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

സ്കൂൾ കുട്ടികളിൽ നിന്ന് അസാധ്യമായത് ഞങ്ങൾ ആവശ്യപ്പെടില്ല, അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ വാഗ്ദാനം ചെയ്യും.

അതിനാൽ, ഫോമിൻ്റെ ഒരു പ്രവർത്തനം y = കോടാലി 2 + bx + cക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, പ്രധാന പദം കോടാലി 2. അതായത് എപൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത്, ശേഷിക്കുന്ന ഗുണകങ്ങൾ ( ബിഒപ്പം കൂടെ) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകും.

അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ രൂപത്തെ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.

ഗുണകത്തിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ ആശ്രിതത്വം എ. മിക്ക സ്കൂൾ കുട്ടികളും ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ ഉത്തരം നൽകുന്നു: “എങ്കിൽ എ> 0, അപ്പോൾ പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, എങ്കിൽ എ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой എ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ എ = 0,5

ഇപ്പോൾ വേണ്ടി എ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ എ = - 0,5

ഗുണകത്തിൻ്റെ ആഘാതം കൂടെഇത് പിന്തുടരാനും വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തണമെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം എക്സ്= 0. ഫോർമുലയിൽ പൂജ്യം പകരം വയ്ക്കുക:

വൈ = എ 0 2 + ബി 0 + സി = സി. അത് മാറുന്നു y = c. അതായത് കൂടെ y-ആക്സിസുമായി പരാബോളയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ആണ്. സാധാരണഗതിയിൽ, ഈ പോയിൻ്റ് ഗ്രാഫിൽ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്. അത് പൂജ്യത്തിന് മുകളിലാണോ താഴെയാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. അതായത് കൂടെ> 0 അല്ലെങ്കിൽ കൂടെ < 0.

കൂടെ > 0:

y = x 2 + 4x + 3

കൂടെ < 0

y = x 2 + 4x - 3

അതനുസരിച്ച്, എങ്കിൽ കൂടെ= 0, അപ്പോൾ പരാബോള അനിവാര്യമായും ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകും:

y = x 2 + 4x

പരാമീറ്ററിൽ കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് ബി. നമ്മൾ അത് കണ്ടെത്തുന്ന പോയിൻ്റ് മാത്രമല്ല ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നത് ബിമാത്രമല്ല നിന്ന് എ. പരവലയത്തിൻ്റെ മുകൾഭാഗമാണിത്. അതിൻ്റെ abscissa (അക്ഷം കോർഡിനേറ്റ് എക്സ്) ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു x in = - b/(2a). അങ്ങനെ, b = - 2ax in. അതായത്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു: ഗ്രാഫിൽ ഞങ്ങൾ പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം കണ്ടെത്തി, അതിൻ്റെ അബ്സിസ്സയുടെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്തേക്ക് നോക്കുന്നു ( x ഇൻ> 0) അല്ലെങ്കിൽ ഇടത്തേക്ക് ( x ഇൻ < 0) она лежит.

എന്നിരുന്നാലും, അത് മാത്രമല്ല. ഗുണകത്തിൻ്റെ അടയാളവും നാം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട് എ. അതായത്, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ എവിടെയാണ് നയിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കുക. അതിനുശേഷം മാത്രം, ഫോർമുല അനുസരിച്ച് b = - 2ax inഅടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക ബി.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം:

ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അതായത് എ> 0, പരവലയം അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നു ചെയ്തത്പൂജ്യത്തിന് താഴെ, അതായത് കൂടെ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x ഇൻ> 0. അങ്ങനെ b = - 2ax in = -++ = -. ബി < 0. Окончательно имеем: എ > 0, ബി < 0, കൂടെ < 0.

വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു പ്രവർത്തനം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് - പരവലയം.

നമുക്ക് കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം:

ഐ കേസ്, ക്ലാസിക്കൽ പരാബോള

അതായത്,,

നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഫോർമുലയിലേക്ക് x മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് പട്ടിക പൂരിപ്പിക്കുക:

പോയിൻ്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക (0;0); (1;1); (-1;1), മുതലായവ. ഓൺ കോർഡിനേറ്റ് വിമാനം(ഞങ്ങൾ x മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ചെറിയ ഘട്ടം (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഘട്ടം 1), കൂടുതൽ x മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, വക്രം സുഗമമായിരിക്കും), നമുക്ക് ഒരു പരവലയം ലഭിക്കും:

നമ്മൾ കേസ് എടുത്താൽ, , , അതായത്, അച്ചുതണ്ടിന് (ഓ) സമമിതിയുള്ള ഒരു പരവലയം ലഭിക്കുന്നത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. സമാനമായ ഒരു പട്ടിക പൂരിപ്പിച്ച് ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

II കേസ്, "a" യൂണിറ്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്

നമ്മൾ എടുത്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും ,,? പരവലയത്തിൻ്റെ സ്വഭാവം എങ്ങനെ മാറും? ശീർഷകത്തോടെ="(! LANG: QuickLaTeX.com റെൻഡർ ചെയ്തത്" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

ആദ്യ ചിത്രത്തിൽ (മുകളിൽ കാണുക) പരവലയത്തിനായുള്ള പട്ടികയിൽ നിന്നുള്ള പോയിൻ്റുകൾ (1;1), (-1;1) പോയിൻ്റുകളായി രൂപാന്തരപ്പെട്ടതായി വ്യക്തമായി കാണാം (1;4), (1;-4), അതായത്, ഒരേ മൂല്യങ്ങളോടെ, ഓരോ പോയിൻ്റിൻ്റെയും ഓർഡിനേറ്റ് 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ പട്ടികയിലെ എല്ലാ പ്രധാന പോയിൻ്റുകളിലും ഇത് സംഭവിക്കും. 2, 3 ചിത്രങ്ങളുടെ കാര്യത്തിലും ഞങ്ങൾ സമാനമായി ന്യായവാദം ചെയ്യുന്നു.

പരവലയത്തേക്കാൾ പരാബോള "വിശാലമാകുമ്പോൾ":

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം:

1)ഗുണകത്തിൻ്റെ അടയാളം ശാഖകളുടെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ശീർഷകത്തോടെ="(! LANG: QuickLaTeX.com റെൻഡർ ചെയ്തത്" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യം പരാബോളയുടെ "വികസനം", "കംപ്രഷൻ" എന്നിവയ്ക്ക് കോ എഫിഷ്യൻ്റ് (മോഡുലസ്) ഉത്തരവാദിയാണ്. വലുത്, ഇടുങ്ങിയ പരവലയം;

III കേസ്, "C" ദൃശ്യമാകുന്നു

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഗെയിമിലേക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം (അതായത്, എപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക), ഫോമിൻ്റെ പരാബോളകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും . ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ച് പരവലയം അച്ചുതണ്ടിലൂടെ മുകളിലേക്കോ താഴേക്കോ മാറുമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല (നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും പട്ടികയെ റഫർ ചെയ്യാം):

IV കേസ്, "b" ദൃശ്യമാകുന്നു

എപ്പോഴാണ് പരവലയം അച്ചുതണ്ടിൽ നിന്ന് "പൊട്ടിപ്പോവുകയും" ഒടുവിൽ മുഴുവൻ കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിലും "നടക്കുകയും" ചെയ്യുന്നത്? അത് എപ്പോഴാണ് തുല്യത നിർത്തുന്നത്?

ഇവിടെ നമുക്ക് ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കാൻ ആവശ്യമാണ് ശീർഷകം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം: , .

അതിനാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ (ബിന്ദു പോലെ (0;0) പുതിയ സംവിധാനംകോർഡിനേറ്റുകൾ) ഞങ്ങൾ ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കും, അത് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഞങ്ങൾ കേസ് കൈകാര്യം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റ് വലത്തേക്ക്, ഒന്ന് മുകളിലേക്ക് ഇടുന്നു - തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിൻ്റ് നമ്മുടേതാണ് (അതുപോലെ, ഇടത്തേക്ക് ഒരു പടി, ഒരു പടി മുകളിലേക്ക് നമ്മുടെ പോയിൻ്റ്); ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ശീർഷത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഒരു യൂണിറ്റ് സെഗ്‌മെൻ്റ് വലത്തേക്ക്, രണ്ട് - മുകളിലേക്ക്, മുതലായവ ഇടുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം:

ഇപ്പോൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം, ഈ ശീർഷത്തിൽ നമ്മൾ പരവലയ പാറ്റേൺ അനുസരിച്ച് ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കും, കാരണം നമ്മുടെ കാര്യത്തിൽ.

ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ശീർഷത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തിയ ശേഷംഇനിപ്പറയുന്ന പോയിൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

1) പരവലയം തീർച്ചയായും പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകും . തീർച്ചയായും, ഫോർമുലയിലേക്ക് x=0 പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും. അതായത്, പരവലയത്തെ അച്ചുതണ്ടുമായി (oy) ഛേദിക്കുന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് ആണ്. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ (മുകളിൽ), പരാബോള ഓർഡിനേറ്റിനെ ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു, മുതൽ .

2) സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ട് പരവലയങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയാണ്, അതിനാൽ പരവലയത്തിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അതിനെ സംബന്ധിച്ച് സമമിതിയിലായിരിക്കും. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഉടൻ പോയിൻ്റ് (0; -2) എടുത്ത് പരാബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അത് സമമിതിയായി നിർമ്മിക്കുന്നു, പരാബോള കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റ് (4; -2) നമുക്ക് ലഭിക്കും.

3) ലേക്ക് തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, പരവലയത്തെ അക്ഷവുമായി (ഓ) വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. വിവേചനം കാണിക്കുന്ന വ്യക്തിയെ ആശ്രയിച്ച്, നമുക്ക് ഒന്ന് (, ), രണ്ട് (ശീർഷകം="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com) ലഭിക്കും." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, വിവേചനത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് വലിയ അർത്ഥമില്ല, പക്ഷേ നമുക്ക് അച്ചുതണ്ടുമായി രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ വ്യക്തമായി കാണുന്നു (ഓ) (ശീർഷകം = "(! LANG: QuickLaTeX.com റെൻഡർ ചെയ്തത്" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

അതുകൊണ്ട് നമുക്ക് അത് പരിഹരിക്കാം

രൂപത്തിൽ നൽകിയാൽ ഒരു പരാബോള നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1) ശാഖകളുടെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കുക (a>0 - മുകളിലേക്ക്, എ<0 – вниз)

2) സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

3) സ്വതന്ത്ര പദം ഉപയോഗിച്ച് പരവലയത്തെ അച്ചുതണ്ടുമായി (oy) വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, പരവലയത്തിൻ്റെ സമമിതി അക്ഷവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഈ പോയിൻ്റിലേക്ക് സമമിതിയുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് നിർമ്മിക്കുക (ഇത് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നത് ലാഭകരമല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. പോയിൻ്റ്, ഉദാഹരണത്തിന്, മൂല്യം വലുതായതിനാൽ... ഞങ്ങൾ ഈ പോയിൻ്റ് ഒഴിവാക്കുന്നു...)

4) കണ്ടെത്തിയ പോയിൻ്റിൽ - പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം (പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് (0;0) പോലെ) ഞങ്ങൾ ഒരു പരവലയം നിർമ്മിക്കുന്നു. ശീർഷകം=" QuickLaTeX.com റെൻഡർ ചെയ്തത്" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) സമവാക്യം പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് പരവലയത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ (oy) (അവ ഇതുവരെ "ഉപരിതലത്തിൽ" വന്നിട്ടില്ലെങ്കിൽ) വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

ഉദാഹരണം 2

കുറിപ്പ് 1.ചില സംഖ്യകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ) എന്ന രൂപത്തിലാണ് പരാബോള ആദ്യം നമുക്ക് നൽകിയതെങ്കിൽ, അത് നിർമ്മിക്കുന്നത് കൂടുതൽ എളുപ്പമായിരിക്കും, കാരണം നമുക്ക് ഇതിനകം തന്നെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. എന്തുകൊണ്ട്?

എടുക്കാം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംഅതിൽ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക: നോക്കൂ, ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിച്ചു , . നിങ്ങളും ഞാനും മുമ്പ് പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു, അതായത് ഇപ്പോൾ,.

ഉദാഹരണത്തിന്, . ഞങ്ങൾ വിമാനത്തിൽ പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു, ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു, പരവലയം വികസിക്കുന്നു (ആപേക്ഷികമായി). അതായത്, ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് 1 നടപ്പിലാക്കുന്നു; 3; 4; ഒരു പരാബോള നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതത്തിൽ നിന്ന് 5 (മുകളിൽ കാണുക).

കുറിപ്പ് 2.പരവലയം ഇതിന് സമാനമായ ഒരു രൂപത്തിലാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ (അതായത്, രണ്ട് രേഖീയ ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നമായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു), അപ്പോൾ നമുക്ക് ഉടൻ തന്നെ പരവലയത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുമായി (കാള) വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ കാണാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ - (0;0) ഒപ്പം (4;0). ബാക്കിയുള്ളവർക്കായി, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു.

സ്കൂളിലെ ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഗുണങ്ങളും ഗ്രാഫും നിങ്ങൾ ഇതിനകം പരിചയപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. y = x 2. നമുക്ക് നമ്മുടെ അറിവ് വികസിപ്പിക്കാം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനം.

ടാസ്ക് 1.

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക y = x 2. സ്കെയിൽ: 1 = 2 സെൻ്റീമീറ്റർ Oy അക്ഷത്തിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് അടയാളപ്പെടുത്തുക എഫ്(0; 1/4). ഒരു കോമ്പസ് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്ട്രിപ്പ് പേപ്പർ ഉപയോഗിച്ച്, പോയിൻ്റിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം അളക്കുക എഫ്ചില ഘട്ടങ്ങളിലേക്ക് എംപരവലയങ്ങൾ. തുടർന്ന് എം പോയിൻ്റിൽ സ്ട്രിപ്പ് പിൻ ചെയ്യുക, അത് ലംബമാകുന്നതുവരെ ആ പോയിൻ്റിന് ചുറ്റും തിരിക്കുക. സ്ട്രിപ്പിൻ്റെ അവസാനം x-അക്ഷത്തിന് അല്പം താഴെയായി വീഴും (ചിത്രം 1). അത് x-അക്ഷത്തിന് അപ്പുറം എത്രത്തോളം വ്യാപിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് സ്ട്രിപ്പിൽ അടയാളപ്പെടുത്തുക. ഇപ്പോൾ പരവലയത്തിൽ മറ്റൊരു പോയിൻ്റ് എടുത്ത് വീണ്ടും അളവ് ആവർത്തിക്കുക. സ്ട്രിപ്പിൻ്റെ അറ്റം x-അക്ഷത്തിന് താഴെ എത്രത്തോളം വീണിരിക്കുന്നു?

ഫലം:നിങ്ങൾ പരവലയത്തിലെ y = x 2 ഏത് പോയിൻ്റ് എടുത്താലും, ഈ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് F(0; 1/4) എന്ന ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം ഒരേ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് abscissa അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ എപ്പോഴും ഒരേ സംഖ്യയിൽ കൂടുതലായിരിക്കും - 1/4.

നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി പറയാം: പരവലയത്തിൻ്റെ ഏത് പോയിൻ്റിൽ നിന്നും പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം (0; 1/4) പരവലയത്തിൻ്റെ അതേ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് നേർരേഖയായ y = -1/4 വരെയുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ്. ഈ അത്ഭുതകരമായ പോയിൻ്റ് F(0; 1/4) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുകപരവലയം y = x 2, നേർരേഖ y = -1/4 – പ്രധാനാധ്യാപികഈ പരവലയം. എല്ലാ പരാബോളയ്ക്കും ഒരു ഡയറക്‌ട്രിക്‌സും ഫോക്കസും ഉണ്ട്.

ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ രസകരമായ ഗുണങ്ങൾ:

1. പരവലയത്തിൻ്റെ ഏത് ബിന്ദുവും ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്, അതിനെ പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ് എന്നും ചില നേർരേഖയെ അതിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് എന്നും വിളിക്കുന്നു.

2. നിങ്ങൾ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടിന് ചുറ്റും ഒരു പരവലയം തിരിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, Oy അക്ഷത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള പരവലയ y = x 2), നിങ്ങൾക്ക് വിപ്ലവത്തിൻ്റെ പരാബോളോയിഡ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന വളരെ രസകരമായ ഒരു ഉപരിതലം ലഭിക്കും.

കറങ്ങുന്ന പാത്രത്തിലെ ദ്രാവകത്തിൻ്റെ ഉപരിതലത്തിന് ഭ്രമണത്തിൻ്റെ ഒരു പരാബോളോയിഡിൻ്റെ ആകൃതിയുണ്ട്. അപൂർണ്ണമായ ഒരു ഗ്ലാസ് ചായയിൽ ഒരു സ്പൂൺ ഉപയോഗിച്ച് ശക്തമായി ഇളക്കി, തുടർന്ന് സ്പൂൺ നീക്കം ചെയ്താൽ നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഉപരിതലം കാണാൻ കഴിയും.

3. ചക്രവാളത്തിലേക്ക് ഒരു നിശ്ചിത കോണിലുള്ള ശൂന്യതയിലേക്ക് നിങ്ങൾ ഒരു കല്ല് എറിയുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു പരവലയത്തിൽ പറക്കും. (ചിത്രം 2).

4. നിങ്ങൾ ഒരു കോണിൻ്റെ ഉപരിതലത്തെ അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിന് സമാന്തരമായി ഒരു തലം ഉപയോഗിച്ച് വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ക്രോസ് സെക്ഷൻ ഒരു പരവലയത്തിന് കാരണമാകും. (ചിത്രം 3).

5. അമ്യൂസ്‌മെൻ്റ് പാർക്കുകളിൽ ചിലപ്പോൾ പാരബോളോയിഡ് ഓഫ് വണ്ടേഴ്‌സ് എന്ന രസകരമായ ഒരു യാത്രയുണ്ട്. കറങ്ങുന്ന പാരബോളോയിഡിനുള്ളിൽ നിൽക്കുന്ന എല്ലാവർക്കും അവൻ തറയിൽ നിൽക്കുന്നതായി തോന്നുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവർ എങ്ങനെയോ അത്ഭുതകരമായി മതിലുകളിൽ മുറുകെ പിടിക്കുന്നു.

6. പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ദൂരദർശിനികളിൽ, പരാബോളിക് മിററുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഒരു സമാന്തര ബീമിൽ വരുന്ന, ദൂരദർശിനി കണ്ണാടിയിൽ വീഴുന്ന ഒരു വിദൂര നക്ഷത്രത്തിൻ്റെ പ്രകാശം ഫോക്കസിലേക്ക് ശേഖരിക്കപ്പെടുന്നു.

7. സ്പോട്ട്ലൈറ്റുകൾക്ക് സാധാരണയായി ഒരു പാരാബോളോയിഡിൻ്റെ ആകൃതിയിലുള്ള ഒരു കണ്ണാടി ഉണ്ടാകും. നിങ്ങൾ ഒരു പാരാബോളോയിഡിൻ്റെ ഫോക്കസിൽ ഒരു പ്രകാശ സ്രോതസ്സ് സ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരവലയ കണ്ണാടിയിൽ നിന്ന് പ്രതിഫലിക്കുന്ന കിരണങ്ങൾ ഒരു സമാന്തര ബീം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുന്നു

ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ, y = x 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഫോമിൻ്റെ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ എങ്ങനെ നേടാമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിച്ചു:

1) y = കോടാലി 2– Oy അക്ഷത്തിൽ y = x 2 ഗ്രാഫ് വലിച്ചുനീട്ടുന്നു |a| തവണ ( |a| കൂടെ.< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, അരി. 4).

2) y = x 2 + n- Oy അക്ഷത്തിൽ n യൂണിറ്റുകൾ കൊണ്ട് ഗ്രാഫ് മാറ്റുക, n > 0 ആണെങ്കിൽ, ഷിഫ്റ്റ് മുകളിലേക്ക് ആണ്, n ആണെങ്കിൽ< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2- ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൽ m യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഗ്രാഫിൻ്റെ ഷിഫ്റ്റ്: m ആണെങ്കിൽ< 0, то вправо, а если m >0, തുടർന്ന് ഇടത്, (ചിത്രം 5).

4) y = -x 2- y = x 2 എന്ന ഗ്രാഫിൻ്റെ ഓക്സ് അക്ഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമമിതി ഡിസ്പ്ലേ.

ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് അടുത്തറിയാം y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c ഫോമിൻ്റെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലായ്പ്പോഴും ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കാം

y = a(x – m) 2 + n, ഇവിടെ m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ശരിക്കും,

y = കോടാലി 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

നമുക്ക് പുതിയ നൊട്ടേഷനുകൾ അവതരിപ്പിക്കാം.

അനുവദിക്കുക m = -b/(2a), എ n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

അപ്പോൾ നമുക്ക് y = a(x – m) 2 + n അല്ലെങ്കിൽ y – n = a(x – m) 2 ലഭിക്കും.

നമുക്ക് കുറച്ച് കൂടി പകരം വയ്ക്കാം: y – n = Y, x – m = X (*).

അപ്പോൾ നമുക്ക് Y = aX 2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ലഭിക്കും, ഇതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്.

പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം ഉത്ഭവസ്ഥാനത്താണ്. X = 0; Y = 0.

ശീർഷകത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (*) ആയി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ഗ്രാഫിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും y = a (x - m) 2 + n: x = m, y = n.

അങ്ങനെ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നതിനായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

y = a(x – m) 2 + n

പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മുന്നോട്ട് പോകാം:

a)ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് y = x 2 ;

b)ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൽ m യൂണിറ്റുകളാലും Oy അക്ഷത്തിൽ n യൂണിറ്റുകളാലും സമാന്തര വിവർത്തനം വഴി - പരാബോളയുടെ ശീർഷകം ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിലേക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റുക (m; n) (ചിത്രം 6).

റെക്കോർഡിംഗ് പരിവർത്തനങ്ങൾ:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

ഉദാഹരണം.

പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ y = 2(x – 3) 2 ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക – 2.

പരിഹാരം.

പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ശൃംഖല:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

പ്ലോട്ടിംഗ് കാണിച്ചിരിക്കുന്നു അരി. 7.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഗ്രാഫിംഗ് ചെയ്യാൻ നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിശീലിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ y = 2(x + 3) 2 + 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക ഒരു ഓൺലൈൻ ട്യൂട്ടറുമായി സൗജന്യ 25 മിനിറ്റ് പാഠംരജിസ്ട്രേഷന് ശേഷം. വേണ്ടി കൂടുതൽ ജോലിനിങ്ങളുടെ അധ്യാപകനോടൊപ്പം നിങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമായ താരിഫ് പ്ലാൻ തിരഞ്ഞെടുക്കാം.

ഇപ്പോഴും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടോ? ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എങ്ങനെ ഗ്രാഫ് ചെയ്യണമെന്ന് അറിയില്ലേ?
ഒരു അധ്യാപകനിൽ നിന്ന് സഹായം ലഭിക്കാൻ, രജിസ്റ്റർ ചെയ്യുക.
ആദ്യ പാഠം സൗജന്യമാണ്!

വെബ്‌സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയൽ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുമ്പോൾ, ഉറവിടത്തിലേക്കുള്ള ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.

പാഠം 15.
സാധ്യതകളുടെ ആഘാതംഎ, ബി ഒപ്പംകൂടെ ലൊക്കേഷനിലേക്ക്
ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്

ലക്ഷ്യങ്ങൾ:ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യാനും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ പട്ടികപ്പെടുത്താനുമുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കുന്നത് തുടരുക; ഗുണകങ്ങളുടെ സ്വാധീനം തിരിച്ചറിയുക എ, ബിഒപ്പം കൂടെഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്ഥാനം.

പാഠ പുരോഗതി

I. സംഘടനാ നിമിഷം.

II. വാക്കാലുള്ള ജോലി.

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് നിർണ്ണയിക്കുക:

ചെയ്തത് = എക്സ് 2 – 2എക്സ് – 1;

ചെയ്തത് = –2എക്സ് 2 – 8എക്സ്;

ചെയ്തത് = എക്സ് 2 – 4എക്സ് – 1;

ചെയ്തത് = 2എക്സ് 2 + 8എക്സ് + 7;

ചെയ്തത് = 2എക്സ് 2 – 1.

b)

ചെയ്തത് = എക്സ് 2 – 2എക്സ്;

ചെയ്തത് = –എക്സ് 2 + 4എക്സ് + 1;

ചെയ്തത് = –എക്സ് 2 – 4എക്സ് + 1;

ചെയ്തത് = –എക്സ് 2 + 4എക്സ് – 1;

ചെയ്തത് = –എക്സ് 2 + 2എക്സ് – 1.

III. കഴിവുകളുടെയും കഴിവുകളുടെയും രൂപീകരണം.

വ്യായാമങ്ങൾ:

1. നമ്പർ 127 (എ).

പരിഹാരം

ഋജുവായത് ചെയ്തത് = 6എക്സ് + ബിഒരു പരവലയത്തെ സ്പർശിക്കുന്നു ചെയ്തത് = എക്സ് 2 + 8, അതായത്, സമവാക്യം 6 ആകുമ്പോൾ ഇതിന് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ എക്സ് + ബി = എക്സ് 2 + 8 ഉണ്ടായിരിക്കും ഒരേയൊരു പരിഹാരം.

ഈ സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണ്, നമുക്ക് അതിൻ്റെ വിവേചനം കണ്ടെത്താം:

എക്സ് 2 – 6എക്സ് + 8 + ബി = 0;

ഡി 1 = 9 – (8 – ബി) = 1 + ബി;

ഡി 1 + ആണെങ്കിൽ 1 = 0 ബി= 0, അതായത് ബി= –1.

ഉത്തരം: ബി= –1.

3. ഗുണകങ്ങളുടെ സ്വാധീനം തിരിച്ചറിയുക എ, ബിഒപ്പം കൂടെഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്ഥാനത്ത് ചെയ്തത് = ഓ 2 + bx + കൂടെ.

ഈ ചുമതല സ്വതന്ത്രമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് മതിയായ അറിവുണ്ട്. അവരുടെ എല്ലാ കണ്ടെത്തലുകളും ഒരു നോട്ട്ബുക്കിൽ എഴുതാൻ അവരെ ക്ഷണിക്കണം, ഓരോ ഗുണകങ്ങളുടെയും "പ്രധാന" പങ്ക് എടുത്തുകാണിക്കുന്നു.

1) ഗുണകം എപരവലയ ശാഖകളുടെ ദിശയെ സ്വാധീനിക്കുന്നു: എപ്പോൾ എ> 0 - ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു എ < 0 – вниз.

2) ഗുണകം ബിപരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ സ്ഥാനത്തെ ബാധിക്കുന്നു. ചെയ്തത് ബി= 0 ശീർഷകം അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നു ഓ.

3) ഗുണകം കൂടെഅച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ് കാണിക്കുന്നു Op-amp.

ഇതിനുശേഷം, ഗുണകങ്ങളെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണിക്കാൻ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം എ, ബിഒപ്പം കൂടെഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച്.

അർത്ഥം കൂടെകൃത്യമായി വിളിക്കാം: ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നതിനാൽ Op-ampപോയിൻ്റിൽ (0; 1), തുടർന്ന് കൂടെ = 1.

ഗുണകം എപൂജ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം: പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ താഴേക്ക് നയിക്കുന്നതിനാൽ എ < 0.

ഗുണക ചിഹ്നം ബിപരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സ നിർണ്ണയിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്താനാകും: ടി=, മുതൽ എ < 0 и ടി= 1, അപ്പോൾ ബി> 0.

4. ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് നിർണ്ണയിക്കുക എ, ബിഒപ്പം കൂടെ.

ചെയ്തത് = –എക്സ് 2 + 2എക്സ്;

ചെയ്തത് = എക്സ് 2 + 2എക്സ് + 2;

ചെയ്തത് = 2എക്സ് 2 – 3എക്സ് – 2;

ചെയ്തത് = എക്സ് 2 – 2.

പരിഹാരം

എ, ബിഒപ്പം കൂടെ:

എ> 0, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കുന്നതിനാൽ;

ബി Op-amp;

കൂടെ= –2, കാരണം പരാബോള ഓർഡിനേറ്റിനെ പോയിൻ്റിൽ (0; –2) വിഭജിക്കുന്നു.

ചെയ്തത് = 2എക്സ് 2 – 3എക്സ് – 2.

ചെയ്തത് = എക്സ് 2 – 2എക്സ്;

ചെയ്തത് = –2എക്സ് 2 + എക്സ് + 3;

ചെയ്തത് = –3എക്സ് 2 – എക്സ് – 1;

ചെയ്തത് = –2,7എക്സ് 2 – 2എക്സ്.

പരിഹാരം

കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഷെഡ്യൂൾ അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ചെയ്യുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങൾഗുണകങ്ങളെക്കുറിച്ച് എ, ബിഒപ്പം കൂടെ:

എ < 0, так как ветви параболы направлены вниз;

ബി≠ 0, കാരണം പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ല Op-amp;

കൂടെ= 0, കാരണം പരവലയം അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുന്നു Op-ampപോയിൻ്റിൽ (0; 0).

ഈ വ്യവസ്ഥകളെല്ലാം ഫംഗ്‌ഷൻ കൊണ്ട് മാത്രം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു ചെയ്തത് = –2,7എക്സ് 2 – 2എക്സ്.

5. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച് ചെയ്തത് = ഓ 2 + bx + കൂടെ എ, ബിഒപ്പം കൂടെ:

എ) b)

പരിഹാരം

a) പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ എ > 0.

പരാബോള താഴത്തെ അർദ്ധതലത്തിൽ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്നു, അതിനാൽ കൂടെ < 0. Чтобы узнать знак коэффициента ബിപരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സ കണ്ടെത്താൻ നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: ടി= . ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് അത് മനസ്സിലാക്കാം ടി < 0, и мы определим, что എ> 0. അതുകൊണ്ട് ബി> 0.

b) അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു എ, ബിഒപ്പം കൂടെ:

എ < 0, കൂടെ > 0, ബി< 0.

അക്കാദമികമായി ശക്തരായ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് നമ്പർ 247 പൂർത്തിയാക്കാൻ ഒരു അധിക ഓപ്ഷൻ നൽകാം.

പരിഹാരം

ചെയ്തത് = എക്സ് 2 + px + q.

a) വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, എങ്കിൽ എന്ന് അറിയാം എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 - സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ എക്സ് 2 +
+ px + q= 0 (അതായത്, ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ), തുടർന്ന് എക്സ് 1 · എക്സ് 2 = qഒപ്പം എക്സ് 1 + എക്സ് 2 = –ആർ. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു q= 3 4 = 12 ഒപ്പം ആർ = –(3 + 4) = –7.

b) അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിൻ്റെ വിഭജന പോയിൻ്റ് Op-ampപാരാമീറ്റർ മൂല്യം നൽകും q, അതായത് q= 6. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടിനെ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഓപോയിൻ്റിൽ (2; 0), അപ്പോൾ സംഖ്യ 2 ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എക്സ് 2 + px + q= 0. മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എക്സ്= 2 ഈ സമവാക്യത്തിൽ, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും ആർ = –5.

c) ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷത്തിൽ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യത്തിൽ എത്തുന്നു, അതിനാൽ , എവിടെ നിന്ന് ആർ= –12. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മൂല്യം ചെയ്തത് = എക്സ് 2 – 12എക്സ് + qപോയിൻ്റിൽ x= 6 സമം 24. പകരമായി x= 6 ഒപ്പം ചെയ്തത്= 24 വി ഈ പ്രവർത്തനം, ഞങ്ങൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു q= 60.

IV. ടെസ്റ്റ് വർക്ക്.

ഓപ്ഷൻ 1

1. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക ചെയ്തത് = 2എക്സ് 2 + 4എക്സ്- 6 ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക:

a) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ;

ബി) ഏത് ഇടവേളകളിൽ ചെയ്തത്> 0 ഒപ്പം വൈ < 0;

d) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം;

ഇ) ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി.

2. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യാതെ ചെയ്തത് = –എക്സ് 2 + 4എക്സ്, കണ്ടെത്തുക:

a) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ;

c) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരിധി.

3. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച് ചെയ്തത് = ഓ 2 + bx + കൂടെഗുണകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക എ, ബിഒപ്പം കൂടെ:

ഓപ്ഷൻ 2

1. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യുക ചെയ്തത് = –എക്സ് 2 + 2എക്സ്+ 3 ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക:

a) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ;

ബി) ഏത് ഇടവേളകളിൽ ചെയ്തത്> 0 ഒപ്പം വൈ < 0;

സി) വർദ്ധിച്ചുവരുന്നതും കുറയുന്നതുമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ;

ജി) ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംപ്രവർത്തനങ്ങൾ;

ഇ) ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി.

2. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചെയ്യാതെ ചെയ്തത് = 2എക്സ് 2 + 8എക്സ്, കണ്ടെത്തുക:

a) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പൂജ്യങ്ങൾ;

ബി) ഫംഗ്ഷനുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന ഇടവേളകൾ;

c) പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരിധി.

3. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അനുസരിച്ച് ചെയ്തത് = ഓ 2 + bx + കൂടെഗുണകങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുക എ, ബിഒപ്പം കൂടെ:

വി. പാഠ സംഗ്രഹം.

പതിവായി ചോദിക്കുന്ന ചോദ്യങ്ങൾ:

- ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം വിവരിക്കുക.

- ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ലിസ്റ്റ് ചെയ്യുക ചെയ്തത് = ഓ 2 + bx + കൂടെചെയ്തത് എ> 0 ഒപ്പം എ < 0.

- സാധ്യതകൾ എങ്ങനെ ബാധിക്കുന്നു എ, ബിഒപ്പം കൂടെഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്ഥാനം?

ഹോം വർക്ക്: നമ്പർ 127 (ബി), നമ്പർ 128, നമ്പർ 248.

അധികമായി: നമ്പർ 130.