അച്ചുതണ്ട് ദിശയാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്കോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡയറക്റ്റ് ലൈനിലേക്കോ ഉള്ള പ്രൊജക്ഷൻ തുല്യമായി കണക്കാക്കുന്നു എന്നാണ്. പ്രൊജക്ഷൻ ബീജഗണിതമോ ജ്യാമിതീയമോ ആകാം. ജ്യാമിതീയ പദങ്ങളിൽ, ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് പ്രൊജക്ഷൻ ചെയ്യുന്നത് ഒരു വെക്റ്ററായും ബീജഗണിതത്തിൽ അത് ഒരു സംഖ്യയായും മനസ്സിലാക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് പ്രൊജക്ഷൻ, ഒരു അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്ററിൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ എന്നീ ആശയങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

Yandex.RTB R-A-339285-1

നമുക്ക് ഒരു L അക്ഷവും പൂജ്യമല്ലാത്ത വെക്‌ടറും A B → ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ A 1 B 1 ⇀ നിർമ്മിക്കാം, അതിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളുടെ A 1, B 1 എന്നിവയുടെ പ്രൊജക്ഷനുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

A 1 B → 1 എന്നത് വെക്റ്റർ A B → L-ലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ആയിരിക്കും.

നിർവ്വചനം 1

അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻനൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറിൻ്റെ തുടക്കത്തിൻ്റെയും അവസാനത്തിൻ്റെയും പ്രൊജക്ഷനുകളാണ് വെക്‌ടർ. n p L A B → → പ്രൊജക്ഷൻ A B → L ലേക്ക് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പതിവാണ്. L-ലേക്ക് ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, L-ലേക്ക് ലംബങ്ങൾ ഇടുന്നു.

ഉദാഹരണം 1

ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം.

ഓൺ കോർഡിനേറ്റ് വിമാനംഏകദേശം x y എന്ന പോയിൻ്റ് M 1 (x 1 , y 1) വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. പോയിൻ്റ് M 1 ൻ്റെ ആരം വെക്റ്റർ ചിത്രീകരിക്കുന്നതിന് O x, O y എന്നിവയിൽ പ്രൊജക്ഷനുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വെക്റ്ററുകളുടെ (x 1, 0), (0, y 1) കോർഡിനേറ്റുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും.

എങ്കിൽ ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് a → ൻ്റെ പ്രൊജക്ഷനെ കുറിച്ച് പൂജ്യമല്ലാത്ത b → അല്ലെങ്കിൽ a → ദിശ b → ലേക്ക് , അപ്പോൾ നമ്മൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് a → ദിശ b → യോജിച്ച അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്. b → നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വരയിലേക്കുള്ള a → ൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ n p b → a → → എന്ന് നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. a →, b →, n p b → a → →, b → എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള കോണിനെ കോഡയറക്ഷണൽ ആയി കണക്കാക്കുമ്പോൾ അറിയാം. ആംഗിൾ അവ്യക്തമായ സാഹചര്യത്തിൽ, n p b → a → →, b → എന്നിവ വിപരീത ദിശകളിലാണ്. ലംബമായ സാഹചര്യത്തിൽ a →, b →, a → പൂജ്യമാണ്, b → ദിശയിലുള്ള a → ൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ പൂജ്യം വെക്‌ടറാണ്.

ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ അക്ഷത്തിൽ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ സംഖ്യാപരമായ സ്വഭാവം ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത അക്ഷത്തിലേക്ക് സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ ആണ്.

നിർവ്വചനം 2

അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻതന്നിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെയും അക്ഷത്തിൻ്റെ ദിശ നിർണ്ണയിക്കുന്ന വെക്‌ടറിനും വെക്‌ടറിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യയാണ്.

A B →-ൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ n p L A B → എന്നും a → onto b → - n p b → a → എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഫോർമുലയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, നമുക്ക് n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , ഇവിടെ നിന്ന് a → എന്നത് വെക്‌ടറിൻ്റെ നീളം a → , a ⇀ , b → ^ എന്നത് വെക്‌ടറുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണാണ് a → കൂടാതെ ബി →.

സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . അറിയപ്പെടുന്ന നീളം a →, b → എന്നിവയ്ക്കും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിനും ഇത് ബാധകമാണ്. അറിയപ്പെടുന്ന കോർഡിനേറ്റുകൾ a →, b → എന്നിവയ്‌ക്ക് ഫോർമുല ബാധകമാണ്, എന്നാൽ ഒരു ലളിതമായ ഫോം ഉണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2

b → ദിശയിലുള്ള ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് a → ൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുക, a → 8 ന് തുല്യമായ നീളവും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും 60 ഡിഗ്രിയാണ്. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നമുക്ക് ഒരു ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. അതിനാൽ, നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾഫോർമുലയിൽ n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

ഉത്തരം: 4.

അറിയപ്പെടുന്ന cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , നമുക്ക് a → , b → എന്നിവയുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നമായി ഒരു → , b → ഉണ്ട്. n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ എന്ന ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് a → വെക്റ്റർ b → സഹിതം നയിക്കുന്ന സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തി n p b → a → = a → , b → ലഭിക്കും. ഖണ്ഡികയുടെ തുടക്കത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനത്തിന് തുല്യമാണ് ഫോർമുല.

നിർവ്വചനം 3

വെക്‌ടറിൻ്റെ a → ൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ, b → യുടെ ദിശയിൽ ഒത്തുപോകുന്ന ഒരു അക്ഷത്തിൽ, a →, b → എന്നിവയുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ നീളം b → അനുപാതമാണ്. n p b → a → = a → , b → b → എന്ന സൂത്രവാക്യം a → ൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടുപിടിക്കാൻ ബാധകമാണ്, b → എന്ന ദിശയിൽ, അറിയപ്പെടുന്ന a →, b → കോർഡിനേറ്റുകൾ.

ഉദാഹരണം 3

നൽകിയിരിക്കുന്നത് b → = (- 3 , 4) . L-ലേക്കുള്ള സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ a → = (1, 7) കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

കോർഡിനേറ്റ് പ്ലെയിനിൽ n p b → a → = a → , b → b → എന്നതിന് n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + a , ഒപ്പം a x 2 + a y, കൂടെ a y b → = b x, b y. L അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്റർ a → ൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ആവശ്യമാണ്: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 = 1 y (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

ഉത്തരം: 5.

ഉദാഹരണം 4

ഒരു → = - 2, 3, 1, b → = (3, - 2, 6) എന്നിവയുള്ള b → ദിശയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന, L-ൽ a → ൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുക. ത്രിമാന സ്ഥലം വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

പരിഹാരം

a → = a x , a y , a z, b → = b x , b y , b z എന്നിവ നൽകിയാൽ, ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുന്നു: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് നീളം b → കണ്ടെത്തുന്നത്. സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ a → നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇതായിരിക്കും: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 2 + z.

സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

ഉത്തരം: - 6 7.

L-ലെ a →, L-ലെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ നീളം a → എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നോക്കാം. L-ലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് a →, b → എന്നിവ ചേർത്ത് നമുക്ക് ഒരു അക്ഷം L വരയ്ക്കാം, അതിന് ശേഷം നമ്മൾ a → മുതൽ L വരെ ഒരു ലംബ രേഖ വരച്ച് L-ലേക്ക് ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ വരയ്ക്കുക. ചിത്രത്തിൻ്റെ 5 വ്യതിയാനങ്ങൾ ഉണ്ട്:

ആദ്യം a → = n p b → a → → എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥം a → = n p b → a → → , അതിനാൽ n p b → a → = a → · cos (a , → b → = a → ° · a → = a → n p b → a → → .

രണ്ടാമത്കേസ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , അതായത് n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p→ →

മൂന്നാമത് n p b → a → → = 0 → നമുക്ക് n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , തുടർന്ന് n p→ → എന്ന് കേസ് വിശദീകരിക്കുന്നു കൂടാതെ n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

നാലാമത്തെകേസ് കാണിക്കുന്നത് n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , പിന്തുടരുന്നു n p b → a → = a a → , b → ^) = - n p b → a → → .

അഞ്ചാമത്കേസ് a → = n p b → a → → കാണിക്കുന്നു, അതായത് a → = n p b → a → → , അതിനാൽ നമുക്ക് n p b → a → = a → · cos a → , b →° 8 ° ^ = a = → ° a → = - n p b → a → .

നിർവ്വചനം 4

വെക്റ്റർ a → ൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷന് എൽ അക്ഷത്തിലേക്ക്, അത് b → യുടെ അതേ രീതിയിൽ നയിക്കപ്പെടുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യമുണ്ട്:

• വെക്‌ടറിൻ്റെ a → L-ലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ്റെ നീളം, a →, b → എന്നിവയ്‌ക്കിടയിലുള്ള ആംഗിൾ 90 ഡിഗ്രിയിൽ കുറവോ 0: n p b → a → = n p b → a → → എന്ന അവസ്ഥയിൽ 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• പൂജ്യം നൽകിയത് a →, b → എന്നിവ ലംബമാണ്: n p b → a → = 0, എപ്പോൾ (a → , b → ^) = 90 °;
• പ്രൊജക്ഷൻ്റെ നീളം a → L-ലേക്കുള്ള, -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, a →, b → വെക്‌ടറുകളുടെ ഒരു ചരിഞ്ഞതോ നേർരേഖയോ ഉള്ളപ്പോൾ: n p b → a → = - n p b → a → → 90 ° എന്ന അവസ്ഥയിൽ< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

ഉദാഹരണം 5

പ്രൊജക്ഷൻ്റെ ദൈർഘ്യം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ a → L-ലേക്ക്, 2 ന് തുല്യമാണ്. ആംഗിൾ 5 π 6 റേഡിയൻ ആണെങ്കിൽ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ a → കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ഈ ആംഗിൾ മങ്ങിയതാണെന്ന് വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

ഉത്തരം: - 2.

ഉദാഹരണം 6

30 ഡിഗ്രി കോണിൽ 6 3, b → (- 2, 1, 2) എന്നതിന് തുല്യമായ വെക്റ്റർ നീളമുള്ള ഒരു തലം O x y z നൽകുന്നു. പ്രൊജക്ഷൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക a → എൽ അക്ഷത്തിലേക്ക്.

പരിഹാരം

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ വെക്‌ടറിൻ്റെ സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ കണക്കാക്കുന്നു a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, ആംഗിൾ നിശിതമാണ്, തുടർന്ന് സംഖ്യാ പ്രൊജക്ഷൻ a → = വെക്‌ടറിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ നീളം a →: n p L a → = n p L a → → = 9. ഈ കാര്യം n p L a → →, b → എന്നീ വെക്‌ടറുകൾ സഹ-ഡയറക്ടഡ് ആണെന്ന് കാണിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം തുല്യത ശരിയാകുന്ന ഒരു സംഖ്യ t ഉണ്ടെന്നാണ്: n p L a → → = t · b → . ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് n p L a → → = t · b → എന്ന് കാണാം, അതായത് t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

തുടർന്ന് n p L a → → = 3 · b → വെക്റ്റർ a → ൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് b → = (- 2 , 1 , 2) ന് തുല്യമായ L അക്ഷത്തിലേക്ക് , മൂല്യങ്ങൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് 3. നമുക്ക് n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . ഉത്തരം: (- 6, 3, 6).

വെക്റ്ററുകളുടെ കോളിനാരിറ്റിയുടെ അവസ്ഥയെക്കുറിച്ച് മുമ്പ് പഠിച്ച വിവരങ്ങൾ ആവർത്തിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് നൽകട്ടെ. ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് മാറ്റിവയ്ക്കാം ഒവെക്റ്ററുകൾ കൂടാതെ. കോൺവെക്‌ടറുകൾക്കിടയിൽ ഏറ്റവും ചെറിയ കോണുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിയുക്തമാക്കിയത് .

അച്ചുതണ്ട് പരിഗണിക്കുക എൽഅതിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് വെക്റ്റർ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക (അതായത്, നീളം ഒന്നിന് തുല്യമായ വെക്റ്റർ).

വെക്റ്ററിനും അച്ചുതണ്ടിനും ഇടയിലുള്ള ഒരു കോണിൽ എൽവെക്റ്ററുകൾ തമ്മിലുള്ള കോൺ മനസ്സിലാക്കുക.

അതിനാൽ അനുവദിക്കുക എൽചില അച്ചുതണ്ട് ഒരു വെക്റ്റർ ആണ്.

എന്ന് നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം എ 1ഒപ്പം ബി 1അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷനുകൾ എൽയഥാക്രമം പോയിൻ്റുകൾ എഒപ്പം ബി. നമുക്ക് അങ്ങനെ നടിക്കാം എ 1ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ഉണ്ട് x 1, എ ബി 1- ഏകോപിപ്പിക്കുക x 2അച്ചുതണ്ടിൽ എൽ.

പിന്നെ പ്രൊജക്ഷൻഓരോ അക്ഷത്തിനും വെക്റ്റർ എൽവ്യത്യാസം വിളിച്ചു x 1 – x 2ഈ അക്ഷത്തിൽ വെക്റ്ററിൻ്റെ അവസാനത്തിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൻ്റെയും പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കിടയിൽ.

അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ എൽഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും.

വെക്റ്ററും അച്ചുതണ്ടും തമ്മിലുള്ള കോൺ ആണെങ്കിൽ അത് വ്യക്തമാണ് എൽപിന്നെ എരിവും x 2> x 1, പ്രൊജക്ഷൻ x 2 – x 1> 0; ഈ ആംഗിൾ മങ്ങിയതാണെങ്കിൽ, പിന്നെ x 2< x 1പ്രൊജക്ഷനും x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси എൽ, അത് x 2= x 1ഒപ്പം x 2– x 1=0.

അങ്ങനെ, അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ എൽസെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണ് എ 1 ബി 1, ഒരു പ്രത്യേക അടയാളം എടുത്തത്. അതിനാൽ, അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ ഒരു സംഖ്യ അല്ലെങ്കിൽ സ്കെയിലർ ആണ്.

ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ മറ്റൊന്നിലേക്ക് സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ വെക്റ്ററിൻ്റെ അറ്റങ്ങളുടെ പ്രൊജക്ഷനുകൾ 2-ാമത്തെ വെക്റ്റർ കിടക്കുന്ന വരിയിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

ചില അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ നോക്കാം പ്രൊജക്ഷനുകളുടെ സവിശേഷതകൾ.

രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നതും രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രവുമായ വെക്റ്റർ സംവിധാനങ്ങൾ

നമുക്ക് നിരവധി വെക്റ്ററുകൾ പരിഗണിക്കാം.

ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻഈ വെക്റ്ററുകളിൽ ഫോമിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വെക്റ്റർ ആണ്, ചില സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്. സംഖ്യകളെ രേഖീയ സംയോജന ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് ഈ വെക്റ്ററിലൂടെ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുവെന്നും അവർ പറയുന്നു, അതായത്. രേഖീയ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അവയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന വെക്റ്ററുകൾ അവയുടെ രേഖീയ സംയോജനമായി കണക്കാക്കാം:

ഒരു വെക്‌ടറിനെ ചില വെക്‌ടറുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായാണ് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, അത് എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു വെച്ചുഈ വെക്റ്ററുകൾക്കൊപ്പം.

വെക്റ്ററുകളെ വിളിക്കുന്നു രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നത്, അക്കങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അത്തരത്തിലുള്ള . ഈ വെക്‌ടറുകളിലേതെങ്കിലും മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

അല്ലെങ്കിൽ, അതായത്. എപ്പോൾ അനുപാതം എപ്പോൾ മാത്രം നിർവഹിച്ചു , ഈ വെക്റ്ററുകൾ വിളിക്കുന്നു രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ.

സിദ്ധാന്തം 1.ഏതെങ്കിലും രണ്ട് വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നു, അവ കോളിനിയറാണെങ്കിൽ മാത്രം.

തെളിവ്:

ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തവും സമാനമായി തെളിയിക്കാനാകും.

സിദ്ധാന്തം 2.മൂന്ന് വെക്‌ടറുകൾ കോപ്ലനാർ ആണെങ്കിൽ മാത്രം രേഖീയമായി ആശ്രയിക്കുന്നു.

തെളിവ്.

അടിസ്ഥാനം

അടിസ്ഥാനംപൂജ്യമല്ലാത്ത രേഖീയ സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകളുടെ ഒരു ശേഖരമാണ്. അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കും.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, ഒരു വിമാനത്തിലെ രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്‌ടറുകൾ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടു. അതിനാൽ, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച്, ഒരു തലത്തിലെ അടിസ്ഥാനം ഈ തലത്തിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് നോൺ-കോളിനിയർ വെക്റ്ററുകളാണ്.

അതുപോലെ, ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്‌ടറുകൾ ബഹിരാകാശത്ത് രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമാണ്. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾ മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്റ്ററുകളെ ബഹിരാകാശത്തെ അടിസ്ഥാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം.ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു അടിസ്ഥാനം നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ ഏത് വെക്റ്ററും ഒരു രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം , എവിടെ x, വൈ, z- ചില സംഖ്യകൾ. ഇതാണ് ഏക വിഘടനം.

തെളിവ്.

അങ്ങനെ, അടിസ്ഥാനം ഓരോ വെക്‌ടറിനെയും ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകളുമായി അദ്വിതീയമായി ബന്ധപ്പെടുത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു - ഈ വെക്‌ടറിൻ്റെ വിപുലീകരണത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ അടിസ്ഥാന വെക്‌ടറുകളിലേക്ക്: . ഓരോ മൂന്ന് സംഖ്യകൾക്കും വിപരീതവും ശരിയാണ് x, y, zഅടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾ ഒരു ലീനിയർ കോമ്പിനേഷൻ ഉണ്ടാക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് വെക്റ്റർ താരതമ്യം ചെയ്യാം .

അടിസ്ഥാനവും എങ്കിൽ , പിന്നെ അക്കങ്ങൾ x, y, zവിളിക്കുന്നു കോർഡിനേറ്റുകൾഒരു നിശ്ചിത അടിസ്ഥാനത്തിൽ വെക്റ്റർ. വെക്റ്റർ കോർഡിനേറ്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം

ബഹിരാകാശത്ത് ഒരു പോയിൻ്റ് നൽകട്ടെ ഒകൂടാതെ മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലനാർ വെക്‌ടറുകളും.

കാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റംബഹിരാകാശത്ത് (വിമാനത്തിൽ) ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെയും ശേഖരമാണ്, അതായത്. ഈ ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് പുറപ്പെടുന്ന ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ഒരു കൂട്ടവും മൂന്ന് നോൺ-കോപ്ലാനർ വെക്‌ടറുകളും (2 നോൺ-കോളിനിയർ വെക്‌ടറുകൾ).

ഡോട്ട് ഒഉത്ഭവം വിളിച്ചു; അടിസ്ഥാന വെക്റ്ററുകളുടെ ദിശയിൽ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകളെ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു - അബ്സിസ്സ, ഓർഡിനേറ്റ്, അപ്ലൈക്കേറ്റ് അക്ഷം. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന വിമാനങ്ങളെ കോർഡിനേറ്റ് വിമാനങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ് പരിഗണിക്കുക എം. പോയിൻ്റ് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ആശയം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം എം. ഉത്ഭവത്തെ ഒരു ബിന്ദുവിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വെക്റ്റർ എം. വിളിച്ചു ആരം വെക്റ്റർപോയിൻ്റുകൾ എം.

തിരഞ്ഞെടുത്ത അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ഒരു വെക്റ്ററിനെ മൂന്നിരട്ടി സംഖ്യകളുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താം - അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ: .

പോയിൻ്റിൻ്റെ ആരം വെക്‌ടറിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എം. വിളിക്കുന്നു പോയിൻ്റ് എം കോർഡിനേറ്റുകൾ. പരിഗണനയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ. M(x,y,z). ആദ്യത്തെ കോർഡിനേറ്റിനെ അബ്സിസ്സ എന്നും രണ്ടാമത്തേത് ഓർഡിനേറ്റ് എന്നും മൂന്നാമത്തേത് ആപ്ലിക്കേഷൻ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

വിമാനത്തിലെ കാർട്ടിസിയൻ കോർഡിനേറ്റുകളും സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇവിടെ പോയിൻ്റിന് രണ്ട് കോർഡിനേറ്റുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ - അബ്സിസ്സയും ഓർഡിനേറ്റും.

നൽകിയിരിക്കുന്ന കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന് ഓരോ പോയിൻ്റിനും ചില കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറുവശത്ത്, ഓരോ ട്രിപ്പിൾ സംഖ്യകൾക്കും ഈ സംഖ്യകൾ കോർഡിനേറ്റുകളായി ഉള്ള ഒരു അദ്വിതീയ പോയിൻ്റുണ്ട്.

തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ അടിസ്ഥാനമായി എടുത്ത വെക്‌ടറുകൾക്ക് യൂണിറ്റ് നീളവും ജോടിയായി ലംബമാണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ വിളിക്കുന്നു കാർട്ടീഷ്യൻ ദീർഘചതുരം.

അത് കാണിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഒരു വെക്റ്ററിൻ്റെ ദിശ കോസൈനുകൾ അതിൻ്റെ ദിശ പൂർണ്ണമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നു, പക്ഷേ അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെക്കുറിച്ച് ഒന്നും പറയില്ല.

ഒരു അക്ഷത്തിലോ മറ്റേതെങ്കിലും വെക്റ്ററിലോ അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ്റെയും സംഖ്യാപരമായ (അല്ലെങ്കിൽ ബീജഗണിത) പ്രൊജക്ഷൻ്റെയും ആശയങ്ങളുണ്ട്. ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ ഫലം ഒരു വെക്‌ടറും ബീജഗണിത പ്രൊജക്ഷൻ്റെ ഫലം ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയും ആയിരിക്കും. എന്നാൽ ഈ ആശയങ്ങളിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ്, ആവശ്യമായ വിവരങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

പ്രാഥമിക വിവരം

ഒരു വെക്റ്റർ എന്ന ആശയം തന്നെയാണ് പ്രധാന ആശയം. ഒരു ജ്യാമിതീയ വെക്റ്ററിൻ്റെ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കുന്നതിന്, ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കാം.

നിർവ്വചനം 1

പോയിൻ്റുകളുടെ രൂപത്തിൽ രണ്ട് അതിരുകളുള്ള ഒരു വരിയുടെ ഭാഗമാണ് സെഗ്മെൻ്റ്.

ഒരു വിഭാഗത്തിന് 2 ദിശകൾ ഉണ്ടാകാം. ദിശ സൂചിപ്പിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അതിരുകളിൽ ഒന്നിനെ അതിൻ്റെ ആരംഭം എന്നും മറ്റേ അതിരിനെ അതിൻ്റെ അവസാനം എന്നും വിളിക്കും. ദിശ അതിൻ്റെ തുടക്കം മുതൽ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അവസാനം വരെ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2

ഒരു വെക്റ്റർ അല്ലെങ്കിൽ ഡയറക്‌ട് സെഗ്‌മെൻ്റ് ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റായിരിക്കും, അതിനായി സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അതിരുകളിൽ ഏതാണ് തുടക്കമായും അതിൻ്റെ അവസാനമായും കണക്കാക്കുന്നത്.

പദവി: രണ്ട് അക്ഷരങ്ങളിൽ: $\overline(AB)$ – (ഇവിടെ $A$ അതിൻ്റെ തുടക്കവും $B$ അതിൻ്റെ അവസാനവുമാണ്).

ഒരു ചെറിയ അക്ഷരത്തിൽ: $\overline(a)$ (ചിത്രം 1).

വെക്റ്റർ എന്ന ആശയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കുറച്ച് ആശയങ്ങൾ കൂടി പരിചയപ്പെടുത്താം.

നിർവ്വചനം 3

രണ്ട് നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകൾ ഒരേ വരിയിലോ അല്ലെങ്കിൽ പരസ്പരം സമാന്തരമായ വരികളിലോ ആണെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ കോളിനെയർ എന്ന് വിളിക്കും (ചിത്രം 2).

നിർവ്വചനം 4

രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ട് നോൺ-സീറോ വെക്‌ടറുകളെ കോഡയറക്ഷണൽ എന്ന് വിളിക്കും:

1. ഈ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണ്.
2. അവർ ഒരു ദിശയിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 3).

കുറിപ്പ്: $\overline(a)\overline(b)$

നിർവ്വചനം 5

രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, വിപരീത ദിശയിലുള്ള രണ്ട് നോൺ-സീറോ വെക്റ്ററുകളെ ഞങ്ങൾ വിളിക്കും:

1. ഈ വെക്‌ടറുകൾ കോളിനിയറാണ്.
2. അവർ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ചിത്രം 4).

കുറിപ്പ്: $\overline(a)↓\overline(d)$

നിർവ്വചനം 6

$\overline(a)$ വെക്‌ടറിൻ്റെ ദൈർഘ്യം $a$ എന്ന സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമായിരിക്കും.

കുറിപ്പ്: $|\overline(a)|$

രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ തുല്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം

നിർവ്വചനം 7

രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ രണ്ട് വെക്റ്ററുകൾ തുല്യമെന്ന് വിളിക്കും:

1. അവർ കോ-ഡയറക്ഷണൽ ആണ്;
2. അവയുടെ നീളം തുല്യമാണ് (ചിത്രം 5).

ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ

ഞങ്ങൾ നേരത്തെ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ ഫലം ഒരു വെക്റ്റർ ആയിരിക്കും.

നിർവ്വചനം 8

വെക്‌ടറിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ $\overline(AB)$ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ലഭിക്കുന്ന ഒരു വെക്‌ടറാണ്: $A$ വെക്‌ടറിൻ്റെ ഉത്ഭവസ്ഥാനം ഈ അക്ഷത്തിൽ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾ $A"$ എന്ന പോയിൻ്റ് നേടുന്നു - ആവശ്യമുള്ള വെക്‌ടറിൻ്റെ ആരംഭം. വെക്‌ടറിൻ്റെ അവസാന പോയിൻ്റ് $B$ ഈ അക്ഷത്തിൽ പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് $B"$ പോയിൻ്റ് ലഭിക്കും - ആവശ്യമുള്ള വെക്‌ടറിൻ്റെ അവസാനം. വെക്റ്റർ $\overline(A"B")$ ആയിരിക്കും ആവശ്യമുള്ള വെക്റ്റർ.

നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം:

ഉദാഹരണം 1

ചിത്രം 6-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന $l$ അക്ഷത്തിൽ $\overline(AB)$ ഒരു ജ്യാമിതീയ പ്രൊജക്ഷൻ നിർമ്മിക്കുക.

നമുക്ക് $A$ മുതൽ അക്ഷം $l$ വരെ ലംബമായി വരയ്ക്കാം, അതിൽ നമുക്ക് $A"$ എന്ന പോയിൻ്റ് ലഭിക്കും. അടുത്തതായി, $B$ മുതൽ അക്ഷം $l$ വരെ ഒരു ലംബമായി വരയ്ക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് $B പോയിൻ്റ് ലഭിക്കും. "$ അതിൽ (ചിത്രം 7).

ഒരു വിമാനത്തിലേക്ക് വിവിധ ലൈനുകളും ഉപരിതലങ്ങളും പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നത് ഒരു ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ രൂപത്തിൽ വസ്തുക്കളുടെ ഒരു വിഷ്വൽ ഇമേജ് നിർമ്മിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും, അതിൽ പ്രൊജക്ഷൻ കിരണങ്ങൾ പ്രൊജക്ഷൻ തലത്തിന് ലംബമാണ്. ഒരു വിമാനത്തിൽ വെക്‌ടറിൻ്റെ പ്രൊജക്ഷൻ വെക്റ്റർ = (ചിത്രം 3.22) പരിഗണിക്കുക, അതിൻ്റെ ആരംഭത്തിൽ നിന്നും അവസാനത്തിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയ ലംബങ്ങൾക്കിടയിൽ ഘടിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

അരി. 3.23 ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ.

വെക്റ്റർ ബീജഗണിതത്തിൽ, ഒരു വെക്‌ടറിനെ ഒരു ആക്‌സിസിലേക്ക്, അതായത് ഒരു നിശ്ചിത ഓറിയൻ്റേഷൻ ഉള്ള ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. വെക്റ്ററും എൽ അക്ഷവും ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ അത്തരം ഡിസൈൻ എളുപ്പമാണ് (ചിത്രം 3.23). എന്നിരുന്നാലും, ഈ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കാത്തപ്പോൾ ചുമതല കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. വെക്റ്ററും അച്ചുതണ്ടും ഒരേ തലത്തിൽ കിടക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ നമുക്ക് വെക്റ്ററിൻ്റെ ഒരു പ്രൊജക്ഷൻ അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് നിർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 3.24).

അരി. 3.24 ഒരു വെക്റ്റർ ഒരു അച്ചുതണ്ടിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നു
പൊതുവായി.

വെക്‌ടറിൻ്റെ അറ്റങ്ങളിലൂടെ ഞങ്ങൾ ലൈനിലേക്ക് ലംബമായി പ്ലെയ്‌നുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. ഈ ലൈനുമായുള്ള കവലയിൽ, ഈ വിമാനങ്ങൾ A1, B1 എന്നീ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ നിർവചിക്കുന്നു - ഒരു വെക്റ്റർ, അതിനെ ഞങ്ങൾ ഈ വെക്റ്ററിൻ്റെ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കും. വെക്റ്റർ ആൾജിബ്രയിൽ സ്വതന്ത്ര വെക്റ്ററുകളെ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ വെക്റ്റർ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ അതേ തലത്തിലേക്ക് വെക്റ്റർ കൊണ്ടുവന്നാൽ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം കൂടുതൽ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാനാകും.

വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനോടൊപ്പം, ഒരു സ്കെലാർ പ്രൊജക്ഷനും ഉണ്ട്, വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ എൽ അക്ഷത്തിൻ്റെ ഓറിയൻ്റേഷനുമായി ഒത്തുപോകുകയാണെങ്കിൽ വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ്റെ മോഡുലസിന് തുല്യമാണ്, വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനും എൽ ആണെങ്കിൽ അതിൻ്റെ വിപരീത മൂല്യത്തിന് തുല്യവുമാണ്. അക്ഷത്തിന് വിപരീത ഓറിയൻ്റേഷൻ ഉണ്ട്. ഞങ്ങൾ സ്കെയിലർ പ്രൊജക്ഷൻ സൂചിപ്പിക്കും:

വെക്റ്റർ, സ്കെലാർ പ്രൊജക്ഷനുകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രായോഗികമായി കർശനമായി ടെർമിനോളജിക്കൽ വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നില്ല. "വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ" എന്ന പദം സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത് വെക്റ്ററിൻ്റെ സ്കെലാർ പ്രൊജക്ഷൻ. ഒരു തീരുമാനമെടുക്കുമ്പോൾ, ഈ ആശയങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യക്തമായി വേർതിരിച്ചറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സ്ഥാപിത പാരമ്പര്യത്തെ പിന്തുടർന്ന്, സ്ഥാപിത അർത്ഥത്തിന് അനുസൃതമായി, "വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ", സ്കെലാർ പ്രൊജക്ഷൻ, "വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷൻ" എന്നീ പദങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും.

തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്ററിൻ്റെ സ്കെയിലർ പ്രൊജക്ഷൻ കണക്കാക്കാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 5. ഒരു വെക്‌ടറിൻ്റെ എൽ അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള പ്രൊജക്ഷൻ അതിൻ്റെ മോഡുലസിൻ്റെ ഗുണനത്തിനും വെക്‌ടറിനും അക്ഷത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണിൻ്റെ കോസൈനും തുല്യമാണ്, അതായത്

(3.5)

അരി. 3.25 വെക്റ്ററും സ്കെയിലറും കണ്ടെത്തുന്നു
L അക്ഷത്തിലേക്കുള്ള വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനുകൾ
(ഒപ്പം എൽ അച്ചുതണ്ട് തുല്യമായി ഓറിയൻ്റഡ് ആണ്).

തെളിവ്. ആദ്യം നമുക്ക് ആംഗിൾ കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്ന നിർമ്മാണങ്ങൾ നടത്താം ജിവെക്‌ടറിനും എൽ അക്ഷത്തിനുമിടയിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖ എംഎൻ നിർമ്മിക്കും, എൽ അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി പോയിൻ്റ് O വഴി കടന്നുപോകുന്നു - വെക്‌ടറിൻ്റെ ആരംഭം (ചിത്രം 3.25). ആംഗിൾ ആവശ്യമുള്ള കോണായിരിക്കും. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന L അക്ഷത്തിന് ലംബമായി A, O എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ രണ്ട് തലങ്ങൾ വരയ്ക്കാം:

L അച്ചുതണ്ടും MN നേർരേഖയും സമാന്തരമായതിനാൽ.

വെക്‌ടറിൻ്റെയും എൽ അക്ഷത്തിൻ്റെയും ആപേക്ഷിക സ്ഥാനത്തിൻ്റെ രണ്ട് കേസുകൾ നമുക്ക് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാം.

1. വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനും എൽ അക്ഷവും ഒരുപോലെ ഓറിയൻ്റഡ് ആയിരിക്കട്ടെ (ചിത്രം 3.25). അപ്പോൾ അനുബന്ധ സ്കെയിലർ പ്രൊജക്ഷൻ .

2. എൽ, എന്നിവ വ്യത്യസ്ത ദിശകളിൽ ഓറിയൻ്റഡ് ആകട്ടെ (ചിത്രം 3.26).

അരി. 3.26 വെക്‌ടറിൻ്റെ വെക്‌ടറും സ്‌കെലാർ പ്രൊജക്ഷനുകളും എൽ ആക്സിസിലേക്ക് കണ്ടെത്തുന്നു (ഒപ്പം എൽ അക്ഷം എതിർദിശകളിലേക്കാണ്).

അതിനാൽ, രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്.

സിദ്ധാന്തം 6. വെക്‌ടറിൻ്റെ ഉത്ഭവം എൽ അക്ഷത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ഈ അക്ഷം s തലത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുകയും ചെയ്‌താൽ, വെക്‌റ്റർ s തലത്തിലെ വെക്‌റ്റർ പ്രൊജക്ഷനുമായി ഒരു കോണും വെക്‌ടറുമായി ഒരു കോണും ഉണ്ടാക്കുന്നു. എൽ അച്ചുതണ്ടിലെ പ്രൊജക്ഷൻ, കൂടാതെ, വെക്റ്റർ പ്രൊജക്ഷനുകൾ തന്നെ പരസ്പരം ഒരു കോണായി മാറുന്നു.