이전 기사 중 하나에서 우리는 이미 숫자의 힘에 대해 언급했습니다. 오늘 우리는 그 의미를 찾는 과정을 탐색하려고 노력할 것입니다. 과학적으로 말하면 권력을 올바르게 키우는 방법을 알아 보겠습니다. 우리는 이 과정이 어떻게 수행되는지 알아내는 동시에 자연, 비합리, 유리, 정수 등 가능한 모든 지수를 다룰 것입니다.

이제 예제에 대한 솔루션을 자세히 살펴보고 그것이 의미하는 바를 알아 보겠습니다.

1. 개념의 정의.
2. 네거티브 아트로 키우기.
3. 정수 표시기.
4. 숫자 올리기 비합리적인 정도.

다음은 그 의미를 정확하게 반영하는 정의입니다. "지수화는 숫자의 거듭제곱 값에 대한 정의입니다."

따라서 Art에서 숫자 a를 높이십시오. r과 지수 r을 사용하여 a 정도의 값을 찾는 과정은 동일한 개념입니다. 예를 들어, 작업이 (0.6)6"의 거듭제곱 값을 계산하는 것이라면 "0.6을 6의 거듭제곱으로 올리세요"라는 표현으로 단순화할 수 있습니다.

그런 다음 건설 규칙으로 직접 진행할 수 있습니다.

마이너스 파워로 올리기

명확성을 위해 다음 표현 체인에 주의해야 합니다.

110=0.1=1* 10 빼기 1 큰술,

1100=0.01=1*10(마이너스 2도),

11000=0.0001=1*10 in 마이너스 3 st.,

110000=0.00001=1*10 ~ 마이너스 4도.

이러한 예 덕분에 10의 마이너스 거듭제곱을 즉시 계산하는 기능을 명확하게 볼 수 있습니다. 이를 위해서는 단순히 소수점 구성요소를 이동하는 것으로 충분합니다.

• 10에서 -1도 - 1이 되기 전에는 1의 0이 있습니다.
• -3 - 1 앞에 0이 3개 있습니다.
• -9에는 0이 9개 등이 있습니다.

이 다이어그램을 통해 10에서 5TBSP가 얼마나 될지 쉽게 이해할 수 있습니다. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

숫자를 자연 거듭제곱으로 올리는 방법

정의를 기억하면서 우리는 Art의 자연수 a를 고려합니다. n은 n 인자의 곱과 같고, 각 인자는 a와 같습니다. 예를 들어보겠습니다: (a*a*…a)n, 여기서 n은 곱해지는 숫자의 수입니다. 따라서 a를 n으로 올리려면 a*a*…a를 n번으로 나눈 형태의 곱을 계산해야 합니다.

이것으로부터 다음이 분명해진다. 자연적인 성으로 키우는 것. 곱셈을 수행하는 능력에 의존(이 자료는 실수 곱셈 섹션에서 다룹니다.) 문제를 살펴보겠습니다:

-2를 4번째로 올립니다.

우리는 자연 지표를 다루고 있습니다. 따라서 결정 과정은 다음과 같습니다. (-2) Art. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). 이제 남은 것은 정수를 곱하는 것입니다: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). 우리는 16을 얻습니다.

문제에 대한 답:

(-2) 예술. 4=16.

예:

값을 계산합니다: 3.2/7의 제곱입니다.

이 예는 다음 곱과 같습니다: 3.2/7에 3.2/7을 곱한 것입니다. 대분수를 곱하는 방법을 기억하여 구성을 완료합니다.

• 3.2/7을 곱합니다.
• 7분의 23에 7분의 23을 곱한 것과 같습니다.
• 529 사십구와 같습니다.
• 줄이면 10/39/49가 됩니다.

답변: 10 39/49

무리수 지수로 올리는 문제와 관련하여, 주어진 정확도로 값을 얻을 수 있는 임의의 자릿수에 대한 기초의 예비 반올림이 완료된 후에 계산이 수행되기 시작한다는 점에 유의해야 합니다. 예를 들어, 숫자 P(pi)를 제곱해야 합니다.

먼저 P를 100분의 1로 반올림하여 다음을 얻습니다.

P 제곱 = (3.14)2 = 9.8596. 그러나 P를 1만분의 1로 줄이면 P = 3.14159가 됩니다. 그런 다음 제곱하면 완전히 다른 숫자인 9.8695877281이 생성됩니다.

여기서 주목해야 할 점은 많은 문제에서 무리수를 거듭제곱할 필요가 없다는 것입니다. 일반적으로 답은 실제 차수의 형태로 입력됩니다(예: 6의 3제곱의 근) 또는 표현이 허용하는 경우 변환이 수행됩니다. 5의 근에서 7도 = 125 5의 루트입니다.

숫자를 정수 거듭제곱으로 올리는 방법

이 대수적 조작이 적절합니다 다음과 같은 경우를 고려하십시오.

• 정수의 경우;
• 0 표시기의 경우;
• 양의 정수 지수의 경우.

거의 모든 양의 정수는 자연수의 질량과 일치하므로 양의 정수 거듭제곱으로 설정하는 것은 Art에서 설정하는 것과 동일한 과정입니다. 자연스러운. 이전 단락에서 이 프로세스를 설명했습니다.

이제 st 계산에 대해 이야기 해 봅시다. 널. 우리는 위에서 숫자 a의 0승이 0이 아닌 a(실수)에 대해 결정될 수 있다는 것을 이미 알아냈습니다. 반면 a는 Art입니다. 0은 1과 같습니다.

따라서 실수를 0으로 올리십시오. 하나 줄게.

예를 들어 st에서 10은 0=1, (-3.65)0=1, st에서는 0입니다. 0은 판별할 수 없습니다.

정수 거듭제곱을 완료하려면 음의 정수 값에 대한 옵션을 결정해야 합니다. 우리는 그 예술을 기억합니다. 정수 지수 -z를 갖는 a에서 분수로 정의됩니다. 분수의 분모는 st입니다. 양의 정수 값으로, 그 값은 우리가 이미 찾는 방법을 배웠습니다. 이제 남은 것은 건설의 예를 고려하는 것입니다.

예:

음의 정수 지수로 세제곱된 숫자 2의 값을 계산합니다.

솔루션 프로세스:

음수 지수를 갖는 학위의 정의에 따르면 2 - 3도를 나타냅니다. 1 대 2의 3승과 같습니다.

분모는 간단히 계산됩니다: 2의 세제곱;

3 = 2*2*2=8.

답변: 2의 마이너스 3번째 예술입니다. = 8분의 1.

이번 자료에서는 숫자의 거듭제곱이 무엇인지 살펴보겠습니다. 기본 정의 외에도 자연, 정수, 유리수 및 무리수 지수를 사용하여 거듭제곱이 무엇인지 공식화합니다. 언제나 그렇듯이 모든 개념은 예제 문제를 통해 설명됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

먼저, 자연 지수를 사용하여 학위의 기본 정의를 공식화해 보겠습니다. 그러기 위해서는 곱셈의 기본 규칙을 기억해야 합니다. 지금은 실수(문자 a로 표시)를 밑수로, 자연수(문자 n으로 표시)를 사용한다는 점을 미리 명확히 하겠습니다.

정의 1

자연지수 n에 대한 숫자 a의 거듭제곱은 n번째 인수 수의 곱이며, 각 인수는 숫자 a와 같습니다. 학위는 다음과 같이 작성됩니다. 앤, 공식 형태로 그 구성은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

예를 들어, 지수가 1이고 밑이 a인 경우 a의 첫 번째 거듭제곱은 다음과 같이 작성됩니다. 1. a는 요인의 값이고 1은 요인의 개수라고 가정하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 1 = 에.

일반적으로 학위는 많은 수의 등수를 작성하는 편리한 형태라고 말할 수 있습니다. 그래서, 형식의 기록 8 8 8 8로 단축될 수 있다 8 4 . 마찬가지로 작업은 녹음을 피하는 데 도움이 됩니다. 큰 수항 (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; 우리는 자연수의 곱셈에 관한 기사에서 이미 이에 대해 논의했습니다.

학위 항목을 올바르게 읽는 방법은 무엇입니까? 일반적으로 허용되는 옵션은 "a의 n승"입니다. 또는 "a의 n제곱" 또는 "anth power"라고 말할 수도 있습니다. 예를 들어, 다음 항목을 만났다면 8 12 , "8의 12제곱", "8의 12제곱" 또는 "12의 8제곱"으로 읽을 수 있습니다.

숫자의 2승과 3승에는 정사각형과 정육면체라는 고유한 이름이 있습니다. 예를 들어 숫자 7(7 2)과 같은 두 번째 거듭제곱을 보면 "7의 제곱" 또는 "숫자 7의 제곱"이라고 말할 수 있습니다. 마찬가지로 세 번째 학위는 다음과 같습니다. 5 3 - 이것은 "숫자 5의 큐브" 또는 "5의 큐브"입니다. 그러나 표준 공식을 "2/3승"으로 사용할 수도 있습니다. 이는 실수가 아닙니다.

실시예 1

자연 지수가 포함된 학위의 예를 살펴보겠습니다. 5 7 5가 기본이 되고 7이 지수가 됩니다.

밑은 정수일 필요는 없습니다. (4 , 32) 9 밑수는 분수 4, 32이고 지수는 9입니다. 괄호에 주의하세요. 이 표기법은 자연수와 다른 밑수를 갖는 모든 거듭제곱에 대해 만들어졌습니다.

예: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

괄호는 무엇입니까? 계산 오류를 방지하는 데 도움이 됩니다. 두 개의 항목이 있다고 가정해 보겠습니다. (− 2) 3 그리고 − 2 3 . 첫 번째 의미 음수마이너스 2를 자연지수 3으로 거듭제곱합니다. 두 번째는 학위의 반대 값에 해당하는 숫자입니다. 2 3 .

때로는 책에서 숫자의 거듭제곱에 대해 약간 다른 철자를 찾을 수 있습니다. 에이^n(여기서 a는 밑수이고 n은 지수입니다). 즉, 4^9는 다음과 같습니다. 4 9 . n이 여러 자리 숫자인 경우 괄호 안에 표시됩니다. 예를 들어 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) 입니다. 하지만 우리는 표기법을 사용할 것입니다 앤더 일반적입니다.

정의에서 자연 지수를 사용하여 지수 값을 계산하는 방법을 추측하기 쉽습니다. n번째 곱하기만 하면 됩니다. 우리는 다른 기사에서 이에 대해 더 자세히 썼습니다.

정도의 개념은 또 다른 수학적 개념인 숫자의 근과 반대입니다. 거듭제곱과 지수의 값을 알면 그 밑수를 계산할 수 있습니다. 학위에는 문제 해결에 유용한 몇 가지 특정 속성이 있으며, 이에 대해서는 별도의 자료에서 논의했습니다.

지수에는 자연수뿐만 아니라 음수 1과 0을 포함한 일반적인 모든 정수 값도 포함될 수 있습니다. 왜냐하면 지수 집합에도 속하기 때문입니다.

정의 2

양의 정수 지수를 갖는 숫자의 거듭제곱은 공식으로 표현될 수 있습니다: .

이 경우 n은 양의 정수입니다.

0도의 개념을 이해해 봅시다. 이를 위해 우리는 동일한 밑수를 가진 거듭제곱의 몫 속성을 고려하는 접근 방식을 사용합니다. 이는 다음과 같이 공식화됩니다:

정의 3

평등 am: an = am − n다음 조건에서 참이 됩니다: m과 n은 자연수이고, m은< n , a ≠ 0 .

마지막 조건은 0으로 나누는 것을 방지하기 때문에 중요합니다. m과 n의 값이 같으면 다음과 같은 결과를 얻습니다. an: an = an − n = a 0

그러나 동시에 n: n = 1은 몫입니다. 같은 숫자 앤그리고 0이 아닌 숫자의 0승은 1과 같다는 것이 밝혀졌습니다.

그러나 그러한 증명은 0의 0승에는 적용되지 않습니다. 이를 위해서는 또 다른 권력의 속성, 즉 동일한 기반을 가진 권력의 산물의 속성이 필요합니다. 다음과 같습니다. am · ann = am + n .

n이 0이면, 오전 · 오전 0 = 오전(이 평등은 또한 우리에게 다음을 증명합니다. 0 = 1). 그러나 and 도 0이면 우리의 평등은 다음과 같은 형식을 취합니다. 0m · 0 0 = 0m, 이는 n의 모든 자연 값에 대해 참이 되며, 차수 값이 정확히 무엇인지는 중요하지 않습니다. 0 0 즉, 어떤 숫자와도 같을 수 있으며 이는 평등의 정확성에 영향을 미치지 않습니다. 따라서 다음 형식의 표기법은 0 0 그 자체로 특별한 의미가 없으므로 우리는 그것을 그것에 귀속시키지 않을 것입니다.

원한다면 쉽게 확인할 수 있습니다. 0 = 1학위 속성과 수렴 (am) n = a m n단, 학위의 밑은 0이 아닙니다. 따라서 지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1입니다.

실시예 2

특정 숫자가 포함된 예를 살펴보겠습니다. 5 0 - 단위, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , 그리고 값 0 0 정의되지 않았습니다.

0도 이후에는 음의 학위가 무엇인지 알아내면 됩니다. 이를 위해서는 위에서 이미 사용한 동일한 밑수를 가진 거듭제곱의 곱의 동일한 속성인 a m · an n = a m + n이 필요합니다.

조건을 소개하겠습니다: m = − n이면 a는 0이 되어서는 안 됩니다. 이것으로부터 다음과 같은 결과가 나온다. a − n · an = a − n + n = a 0 = 1. n과 a−n우리는 상호 역수를 가지고 있습니다.

결과적으로, 음의 정수에 대한 a는 분수 1 a n에 지나지 않습니다.

이 공식은 정수 음수 지수를 갖는 차수의 경우 자연 지수를 갖는 차수와 동일한 속성이 모두 유효함을 확인합니다(밑이 0이 아닌 경우).

실시예 3

음의 정수 지수 n을 갖는 거듭제곱 a는 분수 1 a n 으로 표현될 수 있습니다. 따라서 a - n = 1 an n은 다음과 같습니다. a ≠ 0 n은 임의의 자연수이다.

구체적인 예를 들어 우리의 아이디어를 설명해 보겠습니다.

실시예 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

단락의 마지막 부분에서 우리는 명확하게 언급된 모든 내용을 하나의 공식으로 묘사하려고 노력할 것입니다.

정의 4

자연 지수 z를 갖는 숫자의 거듭제곱은 다음과 같습니다. a z = a z, e와 l 및 z - 양의 정수 1, z = 0 및 a ≠ 0, (z = 0 및 a = 0의 경우 결과는 0 0입니다. 표현식 0 0의 값은 정의되지 않음) 1 a z, if 및 z가 음의 정수이고 a ≠ 0 (z가 음의 정수이고 a = 0이면 0 z를 얻음, egoz 값은 미정임)

유리수 지수를 갖는 거듭제곱은 무엇입니까?

지수에 정수가 포함된 경우를 조사했습니다. 그러나 지수에 분수가 포함된 경우에도 숫자를 거듭제곱할 수 있습니다. 이것을 C급이라고 합니다. 합리적인 지표. 이 섹션에서 우리는 그것이 다른 힘과 동일한 속성을 가지고 있음을 증명할 것입니다.

유리수란 무엇입니까? 그들의 다양성에는 전체와 분수, 분수는 일반 분수(양수 및 음수 모두)로 표시될 수 있습니다. 분수 지수 m / n을 사용하여 숫자 a의 거듭제곱의 정의를 공식화해 보겠습니다. 여기서 n은 자연수이고 m은 정수입니다.

우리는 분수 지수 a m n 으로 어느 정도의 차수를 가집니다. 거듭제곱의 속성이 유지되려면 a m n n = a m n · n = a m 등식이 참이어야 합니다.

n번째 근의 정의와 a m n n = a m이 주어지면 a m n이 주어진 m, n 및 a 값에 대해 의미가 있으면 조건 a m n = a m n을 받아들일 수 있습니다.

위의 정수 지수 속성은 a m n = a m n 조건에서 참이 됩니다.

우리 추론의 주요 결론은 다음과 같습니다. 분수 지수 m / n을 갖는 특정 숫자 a의 거듭제곱은 숫자 a의 m 거듭제곱의 n제곱근입니다. 주어진 m, n 및 a 값에 대해 a m n이라는 표현이 여전히 의미가 있다면 이는 사실입니다.

1. 우리는 도수 밑의 값을 제한할 수 있습니다. m의 양수 값은 0보다 크거나 같으며 음수 값은 엄격히 작습니다(m ≤ 0이므로) 우리는 얻는다 0m, 그러나 그러한 정도는 정의되지 않았습니다). 이 경우 분수 지수가 있는 학위의 정의는 다음과 같습니다.

일부에 대한 분수 지수 m/n의 거듭제곱 정수 a는 a의 m제곱의 n제곱근입니다. 이는 다음 공식으로 표현될 수 있습니다.

밑이 0인 거듭제곱의 경우에도 이 조항이 적합하지만 지수가 양수인 경우에만 가능합니다.

밑이 0이고 분수 양의 지수 m/n을 갖는 거듭제곱은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

0 m n = 0 m n = 0 단, m은 양의 정수이고 n은 자연수입니다.

음의 비율 m n의 경우< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

한 가지 점에 주목하자. a가 0보다 크거나 같은 조건을 도입했기 때문에 결국 일부 사례를 삭제하게 되었습니다.

a m n이라는 표현은 때때로 a와 일부 m의 일부 음수 값에 대해 여전히 의미가 있습니다. 따라서 올바른 항목은 (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4이며 밑이 음수입니다.

2. 두 번째 접근법은 짝수 지수와 홀수 지수를 갖는 근 a m n을 별도로 고려하는 것입니다. 그런 다음 조건을 하나 더 도입해야 합니다. 기약 가능한 일반 분수가 있는 지수의 차수 a는 해당 기약 분수가 있는 지수의 차수 a로 간주됩니다. 나중에 우리는 왜 이 조건이 필요한지, 왜 그렇게 중요한지 설명할 것입니다. 따라서 a m · k n · k 표기법이 있으면 이를 a m n으로 줄여 계산을 단순화할 수 있습니다.

n이 홀수이고 m의 값이 양수이고 a가 음수가 아닌 숫자이면 a m n 이 의미가 있습니다. a가 음수가 아닌 조건이 필요한 이유는 음수에서 짝수 근을 추출할 수 없기 때문입니다. m의 값이 양수이면 a는 음수이면서 0일 수 있습니다. 왜냐하면 홀수근은 임의의 실수에서 가져올 수 있습니다.

위의 모든 정의를 하나의 항목으로 결합해 보겠습니다.

여기서 m/n은 기약분수, m은 정수, n은 자연수를 의미합니다.

정의 5

일반적인 약분수 m · k n · k의 경우 차수는 a m n 으로 대체될 수 있습니다.

환원 불가능한 분수 지수 m / n을 갖는 숫자 a의 거듭제곱은 다음과 같은 경우 m n으로 표현될 수 있습니다. - 실수 a의 경우 정수 양수 값 m과 홀수 자연값 n. 예: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

0이 아닌 실수 a에 대해 m의 음의 정수 값과 n의 홀수 값(예: 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

음수가 아닌 a, 양의 정수 m 및 심지어 n의 경우, 예를 들어 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18입니다.

양의 a, 음의 정수 m 및 심지어 n의 경우, 예를 들어 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

다른 값의 경우 분수 지수를 사용한 정도는 결정되지 않습니다. 이러한 각도의 예: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

이제 위에서 논의한 조건의 중요성을 설명하겠습니다. 왜 환원 가능한 지수가 있는 분수를 기약 지수가 있는 분수로 대체해야 할까요? 이 작업을 수행하지 않았다면 다음과 같은 상황이 발생했을 것입니다. 예를 들어 6/10 = 3/5입니다. 그렇다면 이는 참이어야 합니다. (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , 그러나 - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 및 (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

먼저 제시한 분수지수를 사용한 학위의 정의는 두 번째 정의보다 실제로 사용하기 편리하므로 계속해서 사용하겠습니다.

정의 6

따라서 분수 지수 m/n을 갖는 양수 a의 거듭제곱은 0 m n = 0 m n = 0으로 정의됩니다. 부정적인 경우 에이 a m n 항목은 의미가 없습니다. 양의 분수 지수에 대한 0의 거듭제곱 m/n는 0 m n = 0 m n = 0 으로 정의됩니다. 음의 분수 지수에 대해서는 0의 정도를 정의하지 않습니다.

결론적으로, 분수 표시는 다음 형식으로 작성할 수 있습니다. 대분수, 그리고 형식으로 소수: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

계산할 때 지수를 일반 분수로 바꾼 다음 지수의 정의를 분수 지수로 사용하는 것이 좋습니다. 위의 예에서 다음을 얻습니다.

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

무리수와 실수 지수를 갖는 거듭제곱은 무엇입니까?

실수란 무엇입니까? 그 집합에는 유리수와 무리수가 모두 포함됩니다. 그러므로 실수지수를 갖는 학위가 무엇인지 이해하기 위해서는 유리수 지수와 무리수 지수를 사용하여 학위를 정의해야 합니다. 우리는 이미 위에서 합리적인 것들을 언급했습니다. 비합리적인 지표를 단계별로 다루겠습니다.

실시예 5

무리수 a 와 그 십진수 근사치 시퀀스 a 0 , a 1 , a 2 , 가 있다고 가정해 보겠습니다. . . . 예를 들어 a = 1.67175331 값을 가정해 보겠습니다. . . , 그 다음에

0 = 1, 6, 1 = 1, 67, 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .

우리는 근사 시퀀스를 a a 0 , a a 1 , a a 2 , 의 시퀀스와 연관시킬 수 있습니다. . . . 숫자를 합리적인 거듭제곱으로 올리는 것에 대해 앞서 말한 내용을 기억하면 이러한 거듭제곱의 값을 스스로 계산할 수 있습니다.

예를 들어보자 a = 3, a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . 등.

거듭제곱의 시퀀스는 숫자로 축소될 수 있으며, 이는 밑이 a이고 무리수 지수가 a인 거듭제곱의 값이 됩니다. 결과적으로 3 1, 67175331 형식의 무리수 지수를 갖는 학위입니다. . 숫자 6, 27로 줄일 수 있습니다.

정의 7

무리수 a에 대한 양수 a의 거듭제곱은 a로 표기됩니다. 그 값은 시퀀스 a a 0 , a a 1 , a a 2 , 의 극한입니다. . . , 여기서 a 0 , a 1 , a 2 , . . . 는 무리수 a의 연속적인 소수 근사치입니다. 0 a = 0 따라서 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0인 양의 무리수 지수에 대해 밑이 0인 차수를 정의할 수도 있습니다. 그러나 예를 들어 0 - 5, 0 - 2 π 값이 정의되지 않았기 때문에 음수에는 이를 수행할 수 없습니다. 예를 들어, 비합리적인 거듭제곱으로 올려진 단위는 단위로 유지되며 1 2, 1 5 in 2 및 1 - 5는 1과 같습니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

대수학과 모든 수학의 주요 특징 중 하나는 학위입니다. 물론 21세기에는 모든 계산을 온라인 계산기로 할 수 있지만 스스로 배우는 것이 두뇌 발달에 더 좋습니다.

이 기사에서는 이 정의와 관련된 가장 중요한 문제를 고려할 것입니다. 즉, 그것이 일반적으로 무엇인지, 주요 기능은 무엇인지, 수학에는 어떤 속성이 있는지 이해해 봅시다.

계산의 모양과 기본 공식이 무엇인지 예를 살펴 보겠습니다. 수량의 주요 유형과 다른 기능과의 차이점을 살펴보겠습니다.

이 수량을 이용하여 다양한 문제를 해결하는 방법을 알아봅시다. 우리는 0의 거듭제곱, 비합리적, 부정적 등으로 올리는 방법을 예제와 함께 보여 드리겠습니다.

온라인 지수 계산기

숫자의 거듭제곱이란 무엇인가요?

"숫자의 거듭제곱"이라는 표현은 무엇을 의미합니까?

숫자의 거듭제곱 n은 크기 인수를 n번 연속으로 곱한 것입니다.

수학적으로는 다음과 같습니다.

a n = a * a * a * ...an .

예를 들어:

• 2 3 = 3차에서는 2입니다. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4단계. 2 = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5단계. 4개 = 5*5*5*5 = 625;
• 10 5 = 5단계로 10입니다. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 4단계로 10입니다. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

아래에는 1부터 10까지의 정사각형과 큐브가 포함된 표가 있습니다.

1에서 10까지의 각도 표

다음은 자연수를 양의 거듭제곱("1에서 100까지")으로 올린 결과입니다.

도의 속성

그러한 수학적 함수의 특징은 무엇입니까? 기본 속성을 살펴보겠습니다.

과학자들은 다음과 같은 사실을 확립했습니다. 모든 학위의 특징적인 징후:

• n * a m = (a) (n+m) ;
• n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

예를 들어 확인해 보겠습니다.

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. 반면, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32입니다.

마찬가지로: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. 그렇지 않으면 2 3-2 = 2 1 =2입니다.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. 다르면 어떻게 되나요? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

보시다시피 규칙이 작동합니다.

하지만 어떨까요? 덧셈과 뺄셈으로? 간단합니다. 지수화가 먼저 수행된 다음 덧셈과 뺄셈이 수행됩니다.

예를 살펴보겠습니다:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. 참고: 먼저 빼면 규칙이 적용되지 않습니다: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

하지만 이 경우 괄호 안에 동작이 있으므로 먼저 덧셈을 계산해야 합니다: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

생산 방법 더 많은 계산 어려운 경우 ? 순서는 동일합니다.

• 대괄호가 있으면 그 대괄호부터 시작해야 합니다.
• 그런 다음 지수화;
• 그런 다음 곱셈과 나눗셈의 연산을 수행합니다.
• 덧셈, 뺄셈 후.

모든 학위의 특징이 아닌 특정 속성이 있습니다.

1. 숫자 a의 m차 n번째 루트는 a m / n으로 작성됩니다.
2. 분수를 거듭제곱할 때: 분자와 분모 모두 이 절차를 따릅니다.
3. 작품을 만들 때 다른 숫자거듭제곱에 대한 표현은 주어진 거듭제곱에 대한 이들 숫자의 곱에 해당합니다. 즉, (a * b) n = a n * b n 입니다.
4. 숫자를 음수로 올리려면 1을 같은 세기의 숫자로 나누어야 하지만 "+" 기호가 있어야 합니다.
5. 분수의 분모가 음의 거듭제곱인 경우, 이 표현식은 분자와 분모의 양의 거듭제곱을 곱한 것과 같습니다.
6. 0 = 1의 거듭제곱 및 거듭제곱에 대한 임의의 숫자입니다. 1 = 자신에게.

이러한 규칙은 어떤 경우에는 중요합니다. 아래에서 더 자세히 살펴보겠습니다.

음수 지수가 있는 학위

마이너스 등급으로 무엇을 해야 합니까? 즉, 지표가 음수일 때?

속성 4와 5를 기반으로 함(위의 내용 참조), 그것은 밝혀졌다:

A(-n) = 1/An, 5(-2) = 1/5 2 = 1/25.

그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

1 / A (-n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

분수라면 어떨까요?

(A/B) (-n) = (B/A)n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.

자연 지표가 있는 정도

이는 정수와 동일한 지수를 갖는 정도로 이해됩니다.

기억해야 할 사항:

0 = 1, 10 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...등등.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...등등.

또한 (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...이면 결과는 "+" 기호가 됩니다. 음수가 홀수로 거듭제곱되면 그 반대도 마찬가지입니다.

일반적인 속성과 위에서 설명한 모든 특정 기능도 해당 속성의 특징입니다.

분수도

이 유형은 A m / n 구성표로 작성할 수 있습니다. 다음과 같이 읽습니다: 숫자 A의 m제곱의 n제곱입니다.

분수 표시기로 원하는 것은 무엇이든 할 수 있습니다: 줄이기, 여러 부분으로 나누기, 다른 거듭제곱으로 올리기 등.

무리수 지수가 있는 정도

α를 무리수로, A ˃ 0으로 설정합니다.

이러한 지표를 통해 학위의 본질을 이해하려면, 가능한 다양한 사례를 살펴보겠습니다.

• A = 1. 결과는 1과 같습니다. 공리가 있으므로 모든 거듭제곱에서 1은 1과 같습니다.

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – 유리수;

• 0˂A˂1.

이 경우 두 번째 단락과 동일한 조건에서 반대 방향입니다. Ar 2 ˂ A α ˂ A r 1.

예를 들어 지수는 숫자 π입니다.합리적입니다.

r 1 – 이 경우에는 3과 같습니다.

r 2 – 4와 같습니다.

그러면 A = 1이면 1π = 1입니다.

A = 2, 그러면 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, 그다음 (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

이러한 학위는 다음과 같은 특징이 있습니다. 수학 연산및 위에서 설명한 특정 속성.

결론

요약해 보겠습니다. 이러한 수량은 무엇에 필요한가요? 이러한 기능의 장점은 무엇입니까? 물론, 우선 계산을 최소화하고, 알고리즘을 단축하고, 데이터를 체계화하는 등의 작업을 수행할 수 있기 때문에 예제를 풀 때 수학자 및 프로그래머의 삶을 단순화합니다.

이 지식이 또 어디에 유용할 수 있습니까? 언제든지 근무 전문: 의학, 약리학, 치과, 건축, 기술, 공학, 디자인 등

학위 공식방정식과 부등식을 풀 때 복잡한 표현을 줄이고 단순화하는 과정에 사용됩니다.

숫자 기음~이다 N-숫자의 거듭제곱 에이언제:

학위를 사용한 작업.

1. 동일한 밑수에 각도를 곱하면 표시기가 추가됩니다.

오전·an = a m + n .

2. 동일한 기준으로 각도를 나눌 때 해당 지수를 뺍니다.

3. 2개 이상의 요인의 곱의 정도는 다음 요인의 정도의 곱과 같습니다.

(abc…) n = an·bn·cn…

4. 분수의 차수는 피제수와 제수의 차수의 비율과 같습니다.

(a/b) n = a n /b n .

5. 거듭제곱을 거듭제곱하면 지수가 곱해집니다.

(am) n = a m n .

위의 각 공식은 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 또는 그 반대로 적용됩니다.

예를 들어. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

뿌리가 있는 작업.

1. 여러 요인의 곱의 근은 다음 요인의 근의 곱과 같습니다.

2. 비율의 근은 배당금과 근의 제수의 비율과 같습니다.

3. 근을 거듭제곱할 때 근수를 이 거듭제곱으로 올리는 것으로 충분합니다.

4. 뿌리의 정도를 높이면 N한 번에 동시에 구축 N제곱이 근수이면 근의 값은 변경되지 않습니다.

5. 뿌리의 정도를 감소시키는 경우 N동시에 뿌리를 뽑아낸다 N- 근수의 거듭제곱인 경우 근의 값은 변경되지 않습니다.

음수 지수가 있는 학위입니다.양수가 아닌(정수) 지수를 갖는 특정 숫자의 거듭제곱은 다음과 같은 지수를 갖는 동일한 숫자의 거듭제곱으로 나눈 값으로 정의됩니다. 절대값비양성 지표:

공식 오전:an =a m - n뿐만 아니라 사용할 수 있습니다 중> N, 뿐만 아니라 중< N.

예를 들어. 에이4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

공식으로 오전:an =a m - n공정해졌을 때 m=n, 0도가 필요합니다.

지수가 0인 학위입니다.지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1과 같습니다.

예를 들어. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

분수 지수가 있는 학위입니다.실수를 올리려면 에이정도 m/n, 루트를 추출해야합니다 N번째 학위 중- 이 숫자의 거듭제곱 에이.

숫자의 거듭제곱에 대한 대화를 계속하면서 거듭제곱의 값을 찾는 방법을 알아내는 것이 논리적입니다. 이 과정을 지수화. 이 기사에서는 지수 연산이 수행되는 방법을 연구하고 자연 지수, 정수 지수, 유리 지수, 무리 지수 등 가능한 모든 지수를 다룰 것입니다. 그리고 전통에 따라 숫자를 다양한 힘으로 높이는 예에 대한 자세한 솔루션을 고려할 것입니다.

페이지 탐색.

"지수화"는 무엇을 의미합니까?

지수라고 불리는 것이 무엇인지 설명하는 것부터 시작하겠습니다. 관련 정의는 다음과 같습니다.

정의.

지수화- 이것은 숫자의 거듭제곱의 가치를 찾는 것입니다.

따라서 지수 r을 사용하여 숫자 a의 거듭제곱 값을 찾는 것과 숫자 a를 r 거듭제곱하는 것은 동일한 것입니다. 예를 들어, 작업이 "(0.5) 5의 거듭제곱 값을 계산합니다"인 경우 "0.5의 5제곱을 숫자로 올리세요"와 같이 다시 공식화할 수 있습니다.

이제 지수 계산이 수행되는 규칙으로 직접 이동할 수 있습니다.

숫자를 자연제곱으로 올리기

실제로, 평등 기반 평등은 일반적으로 형식으로 적용됩니다. 즉, 숫자 a를 분수 m/n으로 올릴 때 먼저 숫자 a의 n제곱근을 취한 후 결과 결과를 정수 m으로 올립니다.

분수 거듭제곱의 예에 대한 해법을 살펴보겠습니다.

예.

학위의 가치를 계산합니다.

해결책.

우리는 두 가지 해결책을 보여줄 것입니다.

첫 번째 방법. 분수 지수를 사용하여 학위를 정의합니다. 루트 기호 아래의 각도 값을 계산한 다음 추출합니다. 큐브 루트: .

두 번째 방법. 분수 지수를 사용하고 근의 속성을 기반으로 도를 정의하면 다음과 같은 등식이 성립됩니다. . 이제 루트를 추출해보겠습니다. , 마지막으로 정수 거듭제곱으로 올립니다. .

분명히, 분수 거듭제곱으로 올린 결과는 일치합니다.

답변:

분수 지수는 소수 또는 대분수로 쓸 수 있으며, 이 경우 해당 일반 분수로 대체한 다음 거듭제곱해야 합니다.

예.

(44.89) 2.5를 계산합니다.

해결책.

지수를 형식으로 적어보자 공통 분수(필요하다면 기사를 참조하세요): . 이제 분수 거듭제곱을 수행합니다.

답변:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

또한 숫자를 합리적인 거듭제곱으로 높이는 것은 꽤 좋은 일이라고 말해야 합니다. 노동집약적인 프로세스(특히 분수 지수의 분자와 분모에 충분히 큰 숫자가 포함된 경우) 이는 일반적으로 컴퓨터 기술을 사용하여 수행됩니다.

이 점을 마무리하기 위해 숫자 0을 분수 거듭제곱으로 올리는 것에 대해 생각해 보겠습니다. 우리는 형식의 0의 분수 거듭제곱에 다음과 같은 의미를 부여했습니다. , 0에서는 m/n 거듭제곱이 정의되지 않습니다. 따라서 0의 분수 양의 거듭제곱은 0입니다. 예를 들어, . 그리고 분수 음수 거듭제곱의 0은 의미가 없습니다. 예를 들어 0 -4.3이라는 표현은 의미가 없습니다.

불합리한 힘으로 키우기

때로는 무리수 지수를 사용하여 숫자의 거듭제곱 값을 알아내는 것이 필요합니다. 이 경우 실제적인 목적을 위해서는 일반적으로 특정 부호에 대한 정확한 정도의 값을 얻는 것으로 충분합니다. 실제로 이 값은 전자 컴퓨터를 사용하여 계산된다는 점을 즉시 알아두십시오. 이 값을 비합리적인 거듭제곱으로 높이려면 많은 수의 번거로운 계산이 필요하기 때문입니다. 그러나 우리는 행동의 본질을 일반적인 용어로 설명할 것입니다.

무리수 지수가 있는 숫자 a의 거듭제곱의 대략적인 값을 얻으려면 지수의 소수 근사치를 취하고 거듭제곱의 값을 계산합니다. 이 값은 무리수 지수를 갖는 숫자 a의 거듭제곱의 대략적인 값입니다. 처음에 숫자의 소수점 근사치를 더 정확하게 취할수록 결국에는 더 정확한 각도 값을 얻게 됩니다.

예를 들어, 2 1.174367... 의 거듭제곱의 대략적인 값을 계산해 보겠습니다. 다음과 같은 십진법을 취해보자 비합리적인 지표: . 이제 2를 유리수 1.17로 올리면(이전 단락에서 이 과정의 본질을 설명했습니다) 2 1.17 ≒2.250116을 얻습니다. 따라서, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . 예를 들어, 무리 지수에 대해 더 정확한 십진 근사를 취하면 원래 지수의 더 정확한 값을 얻을 수 있습니다. 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

참고자료.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. 5학년 수학 교과서입니다. 교육 기관.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 7학년 교과서. 교육 기관.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 8학년 교과서. 교육 기관.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. 대수학: 9학년 교과서. 교육 기관.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10~11학년을 위한 교과서.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(전문학교 입학을 위한 매뉴얼).