호출되는 형태의 함수 이차 함수.

이차 함수 그래프 – 포물선.

다음과 같은 경우를 고려해 봅시다:

I CASE, 고전적 포물선

그건 , ,

구성하려면 x 값을 공식에 ​​대체하여 표를 작성하십시오.

포인트(0;0)를 표시합니다. (1;1); (-1;1) 등 ~에 좌표평면(x 값을 취하는 단계가 작을수록 ( 이 경우 1 단계) 더 많은 x 값을 취할수록 곡선이 더 매끄러워집니다. 포물선을 얻습니다.

, , , 즉, 축을 중심으로 대칭인 포물선을 얻는다는 것을 쉽게 알 수 있습니다(오). 비슷한 표를 작성하면 이를 쉽게 확인할 수 있습니다.

II CASE, "a"는 UNITY와 다릅니다.

, , 을 취하면 어떻게 될까요? 포물선의 동작은 어떻게 변할까요? 제목="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

첫 번째 그림(위 참조)에서는 포물선 (1;1), (-1;1)에 대한 표의 점이 점 (1;4), (1;-4)로 변환된 것을 명확하게 볼 수 있습니다. 즉, 동일한 값을 사용하면 각 점의 세로 좌표에 4가 곱해집니다. 이는 원본 테이블의 모든 주요 점에 발생합니다. 그림 2와 3의 경우에도 비슷하게 추론합니다.

그리고 포물선이 포물선보다 "더 넓어지는" 경우:

요약해보자:

1)계수의 부호에 따라 가지의 방향이 결정됩니다. 제목="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) 절대값 계수(계수)는 포물선의 "팽창" 및 "압축"을 담당합니다. 가 클수록 포물선은 좁아지고, |a|가 작을수록 포물선은 넓어집니다.

III 사례, "C"가 나타남

이제 게임에 대해 소개하겠습니다(즉, 경우를 고려). 형식의 포물선을 고려해 보겠습니다. 포물선이 부호에 따라 축을 따라 위 또는 아래로 이동할 것이라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다(항상 표를 참조할 수 있음).

IV 사례, "b"가 나타남

포물선은 언제 축에서 "분리"되고 최종적으로 전체 좌표 평면을 따라 "걷게"됩니까? 언제 평등이 사라질 것인가?

포물선을 구성하려면 여기에 필요합니다. 정점 계산 공식: , .

따라서 이 시점에서(지점 (0;0)에서와 같이) 새로운 시스템좌표) 우리는 이미 할 수 있는 포물선을 만들 것입니다. 사례를 다루는 경우 꼭지점에서 하나의 단위 세그먼트를 오른쪽으로, 하나를 위로 배치합니다. 결과 지점은 우리의 것입니다(마찬가지로 왼쪽으로 한 단계, 위로 한 단계가 우리 지점입니다). 예를 들어, 정점에서 하나의 단위 세그먼트를 오른쪽으로, 두 개를 위쪽으로 배치합니다.

예를 들어 포물선의 꼭지점은 다음과 같습니다.

이제 이해해야 할 가장 중요한 점은 이 꼭지점에서 포물선 패턴에 따라 포물선을 만들 것이라는 것입니다. 왜냐하면 우리의 경우이기 때문입니다.

포물선을 만들 때 꼭지점의 좌표를 찾은 후다음 사항을 고려하는 것이 편리합니다.

1) 포물선 반드시 그 지점을 통과할 것이다 . 실제로 x=0을 공식에 ​​대입하면 다음을 얻습니다. 즉, 포물선과 축(oy)의 교점의 세로 좌표는 입니다. 위의 예에서 포물선은 점 에서 세로좌표와 교차합니다.

2) 대칭축 포물선 는 직선이므로 포물선의 모든 점이 이에 대해 대칭이 됩니다. 이 예에서는 즉시 점 (0; -2)을 가져와 포물선의 대칭 축을 기준으로 대칭을 이루며 포물선이 통과하는 점 (4; -2)을 얻습니다.

3) 와 동일하게, 우리는 포물선과 축(오)의 교차점을 알아냅니다. 이를 위해 방정식을 푼다. 판별식에 따라 하나(, ), 둘( title="Rendered by QuickLaTeX.com)을 얻게 됩니다." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . 이전 예에서 판별식의 근은 정수가 아닙니다. 구성할 때 근을 찾는 것은 별 의미가 없지만 축과 두 개의 교차점이 있다는 것을 분명히 알 수 있습니다. (이후 제목="QuickLaTeX.com에 의해 렌더링됨)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

그럼 해결해 봅시다

포물선을 구성하는 알고리즘은 다음과 같은 형식으로 제공됩니다.

1) 가지의 방향을 결정합니다(a>0 – 위쪽, a<0 – вниз)

2) 공식을 사용하여 포물선의 정점 좌표를 찾습니다.

3) 자유항을 사용하여 포물선과 축(oy)의 교차점을 찾고, 포물선의 대칭축을 기준으로 이 점에 대칭인 점을 구성합니다(표시하는 것이 수익성이 없다는 점에 유의해야 합니다). 예를 들어 이 지점은 값이 크기 때문에... 이 지점을 건너뜁니다...)

4) 발견된 지점(포물선의 정점(새 좌표계의 지점(0;0)))에서 포물선을 구성합니다. 제목="QuickLaTeX.com에서 렌더링됨)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) 다음 방정식을 풀어 포물선과 축(oy)의 교차점을 찾습니다(아직 "표면화"되지 않은 경우).

실시예 1

실시예 2

참고 1.포물선이 처음에 형식으로 우리에게 주어지면 , 숫자는 어디에 있습니까 (예: ), 정점의 좌표가 이미 주어졌기 때문에 구성하기가 훨씬 더 쉬울 것입니다 . 왜?

이차 삼항식을 취하고 그 안의 완전한 정사각형을 분리해 보겠습니다. 보세요, 우리는 , 을 얻었습니다. 당신과 나는 이전에 포물선의 꼭지점, 즉 지금을 이라고 불렀습니다.

예를 들어, . 우리는 평면에 포물선의 꼭지점을 표시하고 가지가 아래쪽을 향하고 포물선이 확장된다는 것을 이해합니다. 즉, 우리는 포인트 1을 수행합니다. 삼; 4; 포물선을 구성하는 알고리즘의 5 (위 참조).

노트 2.포물선이 이와 유사한 형태로 주어지면(즉, 두 선형 요소의 곱으로 표시됨) 포물선과 축(ox)의 교차점을 즉시 볼 수 있습니다. 이 경우 – (0;0) 및 (4;0). 나머지는 알고리즘에 따라 대괄호를 여는 것입니다.

학교 수학 수업에서 여러분은 이미 함수의 가장 간단한 속성과 그래프에 대해 알게 되었습니다. 와이 = x 2. 대한 지식을 넓혀보자 이차 함수.

연습 1.

함수 그래프 와이 = x 2. 척도: 1 = 2cm Oy 축에 점을 표시합니다. 에프(0; 1/4). 나침반이나 종이 조각을 사용하여 지점으로부터의 거리를 측정합니다. 에프어느 시점에는 중포물선. 그런 다음 스트립을 M 지점에 고정하고 수직이 될 때까지 해당 지점을 중심으로 회전합니다. 스트립의 끝은 x축보다 약간 아래로 떨어집니다. (그림 1). x축을 넘어 얼마나 멀리 확장되는지 스트립에 표시합니다. 이제 포물선의 다른 점을 선택하고 측정을 다시 반복하십시오. 스트립의 가장자리가 x축 아래로 얼마나 떨어져 있습니까?

결과:포물선 y = x 2의 어떤 점을 선택하더라도 이 점에서 점 F(0; 1/4)까지의 거리는 같은 점에서 가로축까지의 거리보다 항상 같은 숫자만큼 큽니다. 1/4.

다르게 말할 수 있습니다. 포물선의 한 점에서 점 (0; 1/4)까지의 거리는 포물선의 같은 점에서 직선 y = -1/4까지의 거리와 같습니다. 이 멋진 점 F(0; 1/4)은 다음과 같습니다. 집중하다포물선 y = x 2, 직선 y = -1/4 – 여자 교장이 포물선. 모든 포물선에는 준선과 초점이 ​​있습니다.

포물선의 흥미로운 특성:

1. 포물선의 모든 점은 포물선의 초점이라고 하는 어떤 점과 그 준선이라고 하는 일부 직선으로부터 등거리에 있습니다.

2. 대칭축을 중심으로 포물선을 회전하면(예: Oy 축을 중심으로 포물선 y = x 2) 회전 포물면이라는 매우 흥미로운 표면을 얻게 됩니다.

회전하는 용기의 액체 표면은 회전 포물면 모양을 갖습니다. 불완전한 차 한잔에 숟가락으로 세게 저은 다음 숟가락을 꺼내면 이러한 표면을 볼 수 있습니다.

3. 수평선에 대해 특정 각도로 빈 공간에 돌을 던지면 포물선 모양으로 날아갑니다. (그림 2).

4. 원뿔의 표면과 원뿔의 생성선 중 하나에 평행한 평면을 교차하면 단면은 포물선이 됩니다. (그림 3).

5. 놀이공원에는 때때로 Paraboloid of Wonders라는 재미있는 놀이기구가 있습니다. 회전하는 포물면 안에 서있는 모든 사람들은 그가 바닥에 서 있고 나머지 사람들은 어떻게 든 기적적으로 벽을 붙잡고있는 것처럼 보입니다.

6. 반사 망원경에는 포물선 거울도 사용됩니다. 평행 광선으로 들어오는 먼 별의 빛이 망원경 거울에 떨어지면 초점이 맞춰집니다.

7. 스포트라이트는 일반적으로 포물면 모양의 거울을 가지고 있습니다. 포물면의 초점에 광원을 놓으면 포물면 거울에서 반사된 광선이 평행한 광선을 형성합니다.

2차 함수 그래프 그리기

수학 수업에서 함수 y = x 2의 그래프에서 다음 형식의 함수 그래프를 얻는 방법을 배웠습니다.

1) y = 도끼 2– |a|에서 Oy 축을 따라 그래프 y = x 2를 늘립니다. 번 (|a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, 쌀. 4).

2) y = x 2 + n– Oy 축을 따라 n 단위만큼 그래프를 이동하고 n > 0이면 이동이 위쪽으로 이동하고 n이면< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– Ox 축을 따라 m 단위로 그래프 이동: m인 경우< 0, то вправо, а если m >0, 그 다음 왼쪽, (그림 5).

4) y = -x 2– 그래프의 Ox 축을 기준으로 대칭 표시 y = x 2 .

함수 플롯을 자세히 살펴보겠습니다. y = a(x – m) 2 + n.

y = ax 2 + bx + c 형식의 이차 함수는 항상 다음 형식으로 축소될 수 있습니다.

y = a(x – m) 2 + n, 여기서 m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

그것을 증명해 봅시다.

정말,

y = 도끼 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

새로운 표기법을 소개하겠습니다.

허락하다 m = -b/(2a), ㅏ n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

그러면 y = a(x – m) 2 + n 또는 y – n = a(x – m) 2가 됩니다.

좀 더 치환을 해보자: y – n = Y, x – m = X (*).

그런 다음 그래프가 포물선인 함수 Y = aX 2를 얻습니다.

포물선의 꼭지점은 원점에 있습니다. X = 0; Y = 0.

꼭지점 좌표를 (*)로 대체하면 그래프의 꼭지점 좌표 y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n을 얻습니다.

따라서, 다음과 같이 표현되는 이차 함수를 플롯하기 위해

y = a(x – m) 2 + n

변환을 통해 다음과 같이 진행할 수 있습니다.

ㅏ)함수 y = x 2 를 플롯합니다.

비) Ox 축을 따라 m 단위로, Oy 축을 따라 n 단위로 평행 이동 - 포물선의 꼭지점을 원점에서 좌표(m; n)가 있는 점으로 전송합니다. (그림 6).

녹음 변환:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

예.

변환을 사용하여 데카르트 좌표계에서 함수 y = 2(x – 3) 2의 그래프를 구성합니다. – 2.

해결책.

변환 체인:

와이 = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

플롯은 다음과 같습니다. 쌀. 7.

스스로 이차 함수 그래프를 그리는 연습을 할 수 있습니다. 예를 들어, 변환을 사용하여 하나의 좌표계에서 함수 y = 2(x + 3) 2 + 2의 그래프를 작성합니다. 질문이 있거나 교사로부터 조언을 받고 싶다면 다음을 수행할 수 있습니다. 온라인 튜터와의 무료 25분 수업등록 후 . 을 위한 추가 작업선생님과 함께 자신에게 맞는 요금제를 선택하실 수 있습니다.

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중요 사항!
1. 수식 대신 gobbledygook이 표시되면 캐시를 삭제하세요. 브라우저에서 이를 수행하는 방법은 다음과 같습니다.
2. 기사를 읽기 전에 우리의 네비게이터에서 가장 유용한 리소스를 확인하세요.

여기에 쓰여질 내용을 이해하려면 이차 함수가 무엇인지, 무엇과 함께 사용되는지 잘 알아야 합니다. 자신이 이차 함수 전문가라고 생각한다면 환영합니다. 하지만 그렇지 않다면 스레드를 읽어야 합니다.

작은 것부터 시작해보자 체크 무늬:

1. 일반 형태(공식)에서 이차 함수는 어떻게 생겼나요?
2. 이차 함수의 그래프를 무엇이라고 하나요?
3. 선행 계수는 이차 함수의 그래프에 어떤 영향을 줍니까?

이러한 질문에 즉시 답할 수 있었다면 계속해서 읽어보세요. 하나 이상의 질문으로 인해 어려움이 발생한 경우 다음으로 이동하세요.

따라서 여러분은 이미 2차 함수를 처리하고, 그래프를 분석하고, 점별로 그래프를 작성하는 방법을 알고 있습니다.

음, 여기 있습니다: .

그들이 하는 일을 간단히 기억해 봅시다. 승산.

1. 선행 계수는 포물선의 "가파름", 즉 폭에 대한 책임이 있습니다. 포물선이 클수록 포물선이 좁아지고(가파르게) 작을수록 포물선이 넓어집니다(더 평평해집니다).
2. 자유 항은 포물선과 세로축의 교차점 좌표입니다.
3. 그리고 계수는 좌표 중심에서 포물선의 변위를 담당합니다. 이제 이것에 대해 더 자세히 이야기합시다.

우리는 항상 포물선을 만들기 시작하는 곳이 어디입니까? 그 차별점은 무엇인가?

이것 꼭지점. 꼭지점의 좌표를 찾는 방법을 기억하시나요?

가로좌표는 다음 공식을 사용하여 검색됩니다.

이렇게: 보다 더, 저것들 왼쪽으로포물선의 꼭지점이 움직입니다.

정점의 세로좌표는 다음 함수로 대체하여 찾을 수 있습니다.

직접 대체하고 계산해 보세요. 무슨 일이에요?

모든 작업을 올바르게 수행하고 결과 표현식을 최대한 단순화하면 다음을 얻을 수 있습니다.

그럴수록 모듈로, 저것들 더 높은~ 할 것이다 꼭지점포물선.

마지막으로 그래프를 그리는 것으로 넘어 갑시다.
가장 쉬운 방법은 위에서부터 포물선을 만드는 것입니다.

예:

함수의 그래프를 구성합니다.

해결책:

먼저 계수를 결정해 보겠습니다.

이제 꼭지점의 좌표를 계산해 보겠습니다.

이제 기억하세요. 동일한 선행 계수를 갖는 모든 포물선은 동일하게 보입니다. 이는 포물선을 만들고 정점을 한 점으로 이동하면 필요한 그래프를 얻을 수 있음을 의미합니다.

간단하죠?

남은 질문은 하나뿐입니다. 포물선을 빠르게 그리는 방법은 무엇입니까? 꼭지점을 원점으로 하여 포물선을 그리더라도 한 점씩 그려야 해서 시간이 오래 걸리고 불편합니다. 하지만 모든 포물선은 똑같이 생겼는데, 그리는 속도를 높일 수 있는 방법이 있을까요?

내가 학교에 다닐 때 수학 선생님은 모든 사람에게 판지에서 포물선 모양의 스텐실을 잘라내어 빨리 그릴 수 있도록 하라고 말씀하셨습니다. 하지만 스텐실을 들고 어디든 돌아 다닐 수 없으며 시험에 가져갈 수도 없습니다. 이는 이물질을 사용하지 않고 패턴을 찾겠다는 의미입니다.

가장 간단한 포물선을 생각해 봅시다. 단계별로 빌드해 보겠습니다.

이것이 여기의 패턴입니다. 꼭지점에서 오른쪽으로(축을 따라) 이동하고 위쪽으로(축을 따라) 이동하면 포물선 지점에 도달하게 됩니다. 추가: 이 지점에서 오른쪽 위로 이동하면 다시 포물선 지점에 도달하게 됩니다. 다음: 바로 계속해서. 무엇 향후 계획? 계속해서 계속됩니다. 등등: 하나를 오른쪽으로 이동하고 다음 홀수를 위로 이동합니다. 그런 다음 왼쪽 가지에도 동일한 작업을 수행합니다(결국 포물선은 대칭입니다. 즉, 가지가 동일하게 보입니다).

좋아요, 이것은 선행 계수가 다음과 같은 꼭지점에서 포물선을 구성하는 데 도움이 될 것입니다. 예를 들어, 우리는 포물선의 꼭지점이 한 점에 있다는 것을 배웠습니다. 이 포물선을 (당신 자신을 종이 위에) 구성해보세요.

세워짐?

다음과 같아야 합니다.

이제 결과 점을 연결합니다.

그게 다야.

좋아요, 이제 포물선만 만들 수 있나요?

당연히 아니지. 이제 그들과 함께 무엇을 해야할지 알아 봅시다.

몇 가지 대표적인 사례를 살펴보겠습니다.

좋습니다. 포물선을 그리는 방법을 배웠습니다. 이제 실제 함수를 사용하여 연습해 보겠습니다.

따라서 다음 함수의 그래프를 그리십시오.

답변:

3. 상단: .

선배 계수가 작을 경우 어떻게 해야 하는지 기억하시나요?

우리는 분수의 분모를 봅니다. 그것은 같습니다. 그래서 우리는 다음과 같이 움직일 것입니다:

• 바로
• 바로
• 바로

그리고 왼쪽에도:

4. 상단: .

아, 어떻게 해야 할까요? 정점이 선 사이에 있는 경우 셀을 측정하는 방법은 무엇입니까?..

그리고 우리는 속일 것입니다. 먼저 포물선을 그린 다음 꼭지점을 한 점으로 이동해 보겠습니다. 아니, 좀 더 교활한 일을 해보자. 포물선을 그린 다음 축 이동:- 에 아래에, a - 켜짐 오른쪽:

이 기술은 포물선의 경우 매우 편리합니다. 기억하세요.

함수를 다음 형식으로 표현할 수 있다는 점을 상기시켜 드리겠습니다.

예를 들어: .

이것이 우리에게 무엇을 주는가?

사실 괄호 () 안의 숫자는 포물선 꼭지점의 가로좌표이고, 괄호 () 밖의 항은 꼭지점의 세로좌표입니다.

이는 포물선을 구성한 후에는 다음이 필요하다는 것을 의미합니다. 축을 왼쪽으로 이동하고 축을 아래로 이동합니다.

예: 함수 그래프를 만들어 보겠습니다.

완전한 정사각형을 선택해 보겠습니다.

무슨 숫자야? 공제됨괄호 안에? 이것은 (생각 없이 결정할 수 있는 방법이 아닙니다).

이제 포물선을 만들어 보겠습니다.

이제 축을 아래, 즉 위로 이동합니다.

그리고 지금 - 왼쪽, 즉 오른쪽 :

그게 다야. 이는 정점이 있는 포물선을 원점에서 한 점으로 이동하는 것과 같습니다. 곡선 포물선보다 직선 축만 이동하는 것이 훨씬 쉽습니다.

이제 평소와 같이 나 자신은 다음과 같습니다.

그리고 지우개로 오래된 축을 지우는 것도 잊지 마세요!

나는 답변확인하기 위해 이 포물선의 꼭지점의 세로 좌표를 적어 드리겠습니다.

모든 것이 하나로 합쳐졌나요?

그렇다면 당신은 훌륭합니다! 포물선을 다루는 방법을 아는 것은 매우 중요하고 유용하며, 여기서 우리는 그것이 전혀 어렵지 않다는 것을 알게 되었습니다.

이차 함수의 그래프 구성. 주요 사항에 대해 간략하게

이차 함수 - 형식의 함수, 여기서 및 는 임의의 숫자(계수)입니다. - 자유 용어.

이차 함수의 그래프는 포물선입니다.

포물선의 꼭지점:
, 즉. \displaystyle b 가 클수록 포물선의 꼭지점이 더 왼쪽으로 이동합니다.
이를 함수에 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
, 즉. \displaystyle b의 절대값이 클수록 포물선의 꼭지점은 더 높아집니다.

자유 항은 포물선과 세로축의 교차점 좌표입니다.

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으면 당신은 이 5% 안에 속합니다!

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그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.

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