함수 그래프에 대한 접선 방정식

P. 로마노프, T. 로마노바,
마그니토고르스크,
첼랴빈스크 지역

함수 그래프에 대한 접선 방정식

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~에 현대 무대교육의 발전, 주요 임무 중 하나는 창의적으로 생각하는 성격을 형성하는 것입니다. 학생들의 창의성 능력은 연구활동의 기초에 체계적으로 참여해야만 키워질 수 있습니다. 학생들이 자신의 창의력, 능력, 재능을 발휘할 수 있는 기반은 본격적인 지식과 기술을 형성하는 것입니다. 이런 점에서 학교 수학 과정의 각 주제에 대한 기본 지식과 기술 시스템을 구성하는 문제는 그다지 중요하지 않습니다. 동시에, 본격적인 기술은 개별 작업의 교훈적인 목표가 아니라 신중하게 생각한 시스템의 교훈적 목표여야 합니다. 매우 넓은 의미에서시스템은 무결성과 안정적인 구조를 갖춘 상호 연결된 상호 작용 요소의 집합으로 이해됩니다.

함수 그래프에 접하는 방정식을 작성하는 방법을 학생들에게 가르치는 기술을 고려해 보겠습니다. 본질적으로 접선 방정식을 찾는 모든 문제는 특정 요구 사항을 충족하는 선 세트(번들, 패밀리)에서 선택해야 한다는 필요성으로 귀결됩니다. 즉, 특정 함수의 그래프에 접합니다. 이 경우 선택이 수행되는 행 세트는 두 가지 방법으로 지정할 수 있습니다.

a) xOy 평면에 있는 점(중앙 연필)
b) 각도 계수(직선의 평행 빔).

이와 관련하여 시스템의 요소를 분리하기 위해 "함수 그래프에 접하는" 주제를 연구할 때 우리는 두 가지 유형의 문제를 식별했습니다.

1) 통과하는 지점에 의해 주어진 접선에 관한 문제;
2) 기울기에 의해 주어진 접선에 관한 문제.

탄젠트 문제 해결 훈련은 A.G.가 제안한 알고리즘을 사용하여 수행되었습니다. 모르드코비치. 이미 알려진 것과 근본적인 차이점은 접선 점의 가로좌표가 문자 a (x0 대신)로 표시되므로 접선 방정식은 다음과 같은 형식을 취한다는 것입니다.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)과 비교). 우리 의견으로는 이 방법론적 기법을 통해 학생들은 현재 지점의 좌표가 어디에 쓰여 있는지 빠르고 쉽게 이해할 수 있습니다. 일반적인 접선 방정식과 접촉점은 어디에 있습니까?

함수 y = f(x)의 그래프에 대한 접선 방정식을 구성하는 알고리즘

1. 접선점의 가로좌표를 문자 a로 지정합니다.
2. f(a)를 구하세요.
3. f "(x)와 f "(a)를 찾으세요.
4. 찾은 숫자 a, f(a), f "(a)를 일반 방정식탄젠트 y = f(a) = f "(a)(x – a).

이 알고리즘은 학생들의 독립적인 작업 식별과 구현 순서를 기반으로 컴파일될 수 있습니다.

연습에 따르면 알고리즘을 사용하여 각 주요 문제를 순차적으로 해결하면 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 단계적으로 작성하는 기술을 개발할 수 있으며 알고리즘의 단계는 작업의 기준점 역할을 합니다. . 이 접근 방식은 P.Ya가 개발한 정신적 행동의 점진적 형성 이론에 해당합니다. 갈페린과 N.F. Talyzina.

첫 번째 유형의 작업에서는 두 가지 주요 작업이 식별되었습니다.

• 접선은 곡선 위에 있는 점을 통과합니다(문제 1).
• 접선은 곡선 위에 있지 않은 점을 통과합니다(문제 2).

작업 1. 함수 그래프의 접선에 대한 방정식 작성 M(3; – 2) 지점에서.

해결책. 점 M(3; – 2)는 접선점입니다. 왜냐하면

1. a = 3 – 접선점의 가로좌표.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – 접선 방정식.

문제 2. 점 M(– 3; 6)을 통과하는 함수 y = – x 2 – 4x + 2의 그래프에 모든 접선의 방정식을 쓰십시오.

해결책. 점 M(– 3; 6)은 접점이 아닙니다. f(– 3)이기 때문입니다. 6 (그림 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – 접선 방정식.

접선은 점 M(– 3; 6)을 통과하므로 해당 좌표는 접선 방정식을 충족합니다.

6 = – 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

a = – 4이면 접선 방정식은 y = 4x + 18입니다.

a = – 2이면 접선 방정식의 형식은 y = 6입니다.

두 번째 유형의 주요 작업은 다음과 같습니다.

• 접선은 어떤 선과 평행합니다(문제 3).
• 접선은 주어진 선에 특정 각도로 전달됩니다(문제 4).

문제 3. y = 9x + 1 선에 평행한 함수 y = x 3 – 3x 2 + 3의 그래프에 모든 접선의 방정식을 쓰세요.

해결책.

1. a – 접선점의 가로좌표.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

그러나 반면에 f "(a) = 9 (병렬 조건)입니다. 이는 방정식 3a 2 – 6a = 9를 풀어야 함을 의미합니다. 그 근은 a = – 1, a = 3입니다 (그림 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – 접선 방정식;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – 접선 방정식.

문제 4. 직선 y = 0에 45° 각도로 지나가는 함수 y = 0.5x 2 – 3x + 1의 그래프에 대한 접선 방정식을 작성합니다(그림 4).

해결책. 조건 f "(a) = tan 45°에서 a: a – 3 = 1을 찾습니다.^a = 4.

1. a = 4 – 접선점의 가로좌표.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – 접선 방정식.

다른 문제에 대한 해결책은 결국 하나 이상의 핵심 문제를 해결하는 데 있음을 보여주는 것은 쉽습니다. 다음 두 가지 문제를 예로 들어보겠습니다.

1. 접선이 직각으로 교차하고 그 중 하나가 가로좌표 3이 있는 점에서 포물선에 닿는 경우 포물선 y = 2x 2 – 5x – 2에 대한 접선 방정식을 작성합니다(그림 5).

해결책. 접선점의 가로좌표가 제공되므로 해의 첫 번째 부분은 핵심 문제 1로 축소됩니다.

1. a = 3 – 측면 중 하나의 접선 지점의 가로좌표 직각.
2. f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – 첫 번째 접선의 방정식.

하자 – 첫 번째 접선의 경사각. 접선이 수직이므로 두 번째 접선의 경사각은 입니다. 첫 번째 접선의 방정식 y = 7x – 20에서 우리는 tg를 얻습니다. a = 7. 찾아보자

이는 두 번째 접선의 기울기가 와 같다는 것을 의미합니다.

추가 솔루션은 핵심 작업 3으로 귀결됩니다.

B(c; f(c))를 두 번째 선의 접선 지점으로 설정하면

1. – 두 번째 접선점의 가로좌표.
2.
3.
4.
– 두 번째 탄젠트의 방정식.

메모. 접선의 각도 계수는 학생들이 수직선 계수 k 1 k 2 = – 1의 비율을 알면 더 쉽게 찾을 수 있습니다.

2. 함수 그래프에 모든 공통 접선의 방정식을 작성합니다.

해결책. 작업은 공통 접선의 접선 점의 가로좌표를 찾는 것, 즉 주요 문제 1을 일반 형식으로 풀고 방정식 시스템을 작성한 다음 해결하는 것입니다 (그림 6).

1. a를 함수 y = x 2 + x + 1의 그래프에 있는 접선점의 가로좌표로 둡니다.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. c를 함수 그래프에 있는 접선점의 가로좌표로 설정합니다.
2.
3. f "(c) = c.
4.

접선은 일반적이므로

따라서 y = x + 1과 y = – 3x – 3은 공통 접선입니다.

고려된 과제의 주요 목표는 학생들이 더 많은 문제를 해결할 때 주요 문제의 유형을 독립적으로 인식할 수 있도록 준비하는 것입니다. 복잡한 작업, 특정 연구 기술(분석, 비교, 일반화, 가설 제시 등)이 필요합니다. 이러한 작업에는 주요 작업이 구성 요소로 포함되는 모든 작업이 포함됩니다. 접선족에서 함수를 찾는 문제(문제 1의 반대)를 예로 들어 보겠습니다.

3. b와 c에 대해 함수 y = x 2 + bx + c의 그래프에 접하는 선 y = x 및 y = – 2x는 무엇입니까?

해결책.

t를 포물선 y = x 2 + bx + c와 함께 직선 y = x의 접선점의 가로좌표로 설정합니다. p는 포물선 y = x 2 + bx + c를 갖는 직선 y = – 2x의 접선점의 가로좌표입니다. 그러면 접선 방정식 y = x는 y = (2t + b)x + c – t 2 형식을 취하고 접선 방정식 y = – 2x는 y = (2p + b)x + c – p 2 형식을 취합니다. .

연립방정식을 구성하고 풀자

답변:

독립적으로 해결해야 할 문제

1. 그래프와 선 y = x + 3의 교차점에서 함수 y = 2x 2 – 4x + 3의 그래프에 그려진 접선 방정식을 작성합니다.

답: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. 가로좌표가 x 0 = 1인 그래프 점에서 함수 y = x 2 – ax의 그래프에 그려진 접선이 점 M(2; 3)을 통과하는 a의 값은 무엇입니까?

답: a = 0.5.

3. 어떤 p 값에 대해 직선 y = px – 5가 곡선 y = 3x 2 – 4x – 2와 접촉합니까?

답: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. 함수 y = 3x – x 3 그래프의 모든 공통점과 점 P(0; 16)을 통해 이 그래프에 그려진 접선을 찾습니다.

답: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. 포물선 y = x 2 + 6x + 10과 직선 사이의 최단 거리를 찾습니다.

답변:

6. y = x 2 – x + 1 곡선에서 그래프의 접선이 직선 y – 3x + 1 = 0과 평행한 점을 찾습니다.

답: M(2; 3).

7. 함수 y = x 2 + 2x – |의 그래프에 대한 접선 방정식을 작성합니다. 4x |, 두 지점에 닿습니다. 그림을 그리세요.

답: y = 2x – 4.

8. 직선 y = 2x – 1이 곡선 y = x 4 + 3x 2 + 2x와 교차하지 않음을 증명하십시오. 가장 가까운 지점 사이의 거리를 찾으십시오.

답변:

9. 포물선 y = x 2에서 가로좌표 x 1 = 1, x 2 = 3을 사용하여 두 점을 가져옵니다. 이 점을 통해 시컨트가 그려집니다. 포물선의 어느 지점에서 접선이 할선과 평행을 이루나요? 시컨트 방정식과 탄젠트 방정식을 작성합니다.

답: y = 4x – 3 – 시컨트 방정식; y = 4x – 4 – 접선 방정식.

10. 각도 q를 구하세요. 가로좌표 0과 1이 있는 점에 그려진 함수 y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1의 그래프에 대한 접선 사이.

답: q = 45°.

11. 함수 그래프의 접선이 Ox 축과 135°의 각도를 이루는 지점은 어디입니까?

답: A(0; – 1), B(4; 3).

12. 곡선의 A(1; 8) 지점에서 접선이 그려집니다. 좌표축 사이의 접선 세그먼트의 길이를 찾습니다.

답변:

13. 함수 y = x 2 – x + 1 및 y = 2x 2 – x + 0.5의 그래프에 모든 공통 접선의 방정식을 작성합니다.

답: y = – 3x 및 y = x.

14. x축에 평행한 함수 그래프의 접선 사이의 거리를 구합니다.

답변:

15. 포물선 y = x 2 + 2x – 8이 x축과 교차하는 각도를 결정합니다.

답: q 1 = 아크탄탄값 6, q 2 = 아크탄탄값(– 6).

16. 함수 그래프 이 그래프의 각 접선이 좌표의 양의 반축과 교차하여 동일한 세그먼트를 잘라내는 모든 점을 찾습니다.

답: A(– 3; 11).

17. 직선 y = 2x + 7과 포물선 y = x 2 – 1은 점 M과 N에서 교차합니다. 점 M과 N에서 포물선에 접하는 선의 교차점 K를 찾습니다.

답: K(1; – 9).

18. b의 어떤 값에 대해 함수 y = x 3 – 3x + 15의 그래프에 접하는 선 y = 9x + b가 있습니까?

답: – 1; 31.

19. 어떤 k 값에 대해 직선 y = kx – 10이 함수 y = 2x 2 + 3x – 2의 그래프와 단 하나의 공통점을 가지나요? 찾은 k 값에 대해 점의 좌표를 결정합니다.

답: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. 가로좌표 x 0 = 2인 점에서 함수 y = bx 3 – 2x 2 – 4의 그래프에 그려진 탄젠트가 점 M(1; 8)을 통과하는 b 값은 무엇입니까?

답: b = – 3.

21. 황소 축에 꼭지점이 있는 포물선은 점 B에서 점 A(1; 2)와 B(2; 4)를 통과하는 선과 접촉합니다. 포물선의 방정식을 구합니다.

답변:

22. 포물선 y = x 2 + kx + 1이 Ox 축에 닿는 계수 k의 값은 무엇입니까?

답: k = d 2.

23. 직선 y = x + 2와 곡선 y = 2x 2 + 4x – 3 사이의 각도를 구합니다.

29. 함수 그래프의 접선과 45° 각도에서 Ox 축의 양의 방향을 갖는 생성기 사이의 거리를 구합니다.

답변:

30. 선 y = 4x – 1에 접하는 y = x 2 + ax + b 형식의 모든 포물선 꼭지점의 자취를 구합니다.

답: 직선 y = 4x + 3.

문학

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. 대수학 및 분석의 시작: 학생 및 대학 입학자를 위한 3600 문제. – 엠., 버스타드, 1999.
2. Mordkovich A. 젊은 교사를 위한 세미나 4. 주제: 파생 응용 프로그램. – M., “수학”, No. 21/94.
3. 정신적 활동의 점진적인 동화 이론에 기초한 지식과 기술의 형성.

/ 에드. P.Ya. 갈페리나, N.F. Talyzina. – 모스크바 주립대학교 석사, 1968년.현재 교육 발전 단계에서 주요 임무 중 하나는 창의적으로 생각하는 성격을 형성하는 것입니다. 학생들의 창의성 능력은 연구활동의 기초에 체계적으로 참여해야만 발달할 수 있습니다. 학생들이 자신의 창의력, 능력, 재능을 발휘할 수 있는 기반은 본격적인 지식과 기술을 형성하는 것입니다. 이에 각 주제에 대한 기초지식과 기술의 체계를 구성하는 문제

학교 과정

수학은 그다지 중요하지 않습니다. 동시에, 본격적인 기술은 개별 작업의 교훈적인 목표가 아니라 신중하게 생각한 시스템의 교훈적 목표여야 합니다. 가장 넓은 의미에서 시스템은 무결성과 안정적인 구조를 갖춘 상호 연결된 상호 작용 요소 집합으로 이해됩니다.
b) 각도 계수(직선의 평행 빔).

이와 관련하여 시스템의 요소를 분리하기 위해 "함수 그래프에 접하는" 주제를 연구할 때 우리는 두 가지 유형의 문제를 식별했습니다.

1) 통과하는 지점에 의해 주어진 접선에 관한 문제;
2) 기울기에 의해 주어진 접선에 관한 문제.

탄젠트 문제 해결 훈련은 A.G.가 제안한 알고리즘을 사용하여 수행되었습니다. 모르드코비치. 이미 알려진 것과 근본적인 차이점은 접선 점의 가로좌표가 문자 a (x0 대신)로 표시되므로 접선 방정식은 다음과 같은 형식을 취한다는 것입니다.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)과 비교). 우리 의견으로는 이 방법론적 기법을 통해 학생들은 현재 지점의 좌표가 어디에 쓰여 있는지 빠르고 쉽게 이해할 수 있습니다. 일반적인 접선 방정식과 접촉점은 어디에 있습니까?

함수 y = f(x)의 그래프에 대한 접선 방정식을 구성하는 알고리즘

1. 접선점의 가로좌표를 문자 a로 지정합니다.
2. f(a)를 구하세요.
3. f "(x)와 f "(a)를 찾으세요.
4. 발견된 숫자 a, f(a), f "(a)를 일반 접선 방정식 y = f(a) = f "(a)(x – a)로 대체합니다.

이 알고리즘은 학생들의 독립적인 작업 식별과 구현 순서를 기반으로 컴파일될 수 있습니다.

연습에 따르면 알고리즘을 사용하여 각 주요 문제를 순차적으로 해결하면 함수 그래프에 대한 접선 방정식을 단계적으로 작성하는 기술을 개발할 수 있으며 알고리즘의 단계는 작업의 기준점 역할을 합니다. . 이 접근 방식은 P.Ya가 개발한 정신적 행동의 점진적 형성 이론에 해당합니다. 갈페린과 N.F. Talyzina.

첫 번째 유형의 작업에서는 두 가지 주요 작업이 식별되었습니다.

• 접선은 곡선 위에 있는 점을 통과합니다(문제 1).
• 접선은 곡선 위에 있지 않은 점을 통과합니다(문제 2).

작업 1. 함수 그래프의 접선에 대한 방정식 작성 M(3; – 2) 지점에서.

해결책. 점 M(3; – 2)는 접선점입니다. 왜냐하면

1. a = 3 – 접선점의 가로좌표.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – 접선 방정식.

문제 2. 점 M(– 3; 6)을 통과하는 함수 y = – x 2 – 4x + 2의 그래프에 모든 접선의 방정식을 쓰십시오.

해결책. 점 M(– 3; 6)은 f(– 3) 6(그림 2)이므로 접선점이 아닙니다.

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – 접선 방정식.

접선은 점 M(– 3; 6)을 통과하므로 해당 좌표는 접선 방정식을 충족합니다.

6 = – 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.

a = – 4이면 접선 방정식은 y = 4x + 18입니다.

a = – 2이면 접선 방정식의 형식은 y = 6입니다.

두 번째 유형의 주요 작업은 다음과 같습니다.

• 접선은 어떤 선과 평행합니다(문제 3).
• 접선은 주어진 선에 특정 각도로 전달됩니다(문제 4).

문제 3. y = 9x + 1 선에 평행한 함수 y = x 3 – 3x 2 + 3의 그래프에 모든 접선의 방정식을 쓰세요.

1. a – 접선점의 가로좌표.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

그러나 반면에 f "(a) = 9 (병렬 조건)입니다. 이는 방정식 3a 2 – 6a = 9를 풀어야 함을 의미합니다. 그 근은 a = – 1, a = 3입니다 (그림 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(-1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – 접선 방정식;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – 접선 방정식.

문제 4. 직선 y = 0에 45° 각도로 지나가는 함수 y = 0.5x 2 – 3x + 1의 그래프에 대한 접선 방정식을 작성합니다(그림 4).

해결책. 조건 f "(a) = tan 45°에서 a: a – 3 = 1 ^ a = 4를 찾습니다.

1. a = 4 – 접선점의 가로좌표.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – 접선 방정식.

다른 문제에 대한 해결책은 결국 하나 이상의 핵심 문제를 해결하는 데 있음을 보여주는 것은 쉽습니다. 다음 두 가지 문제를 예로 들어보겠습니다.

1. 접선이 직각으로 교차하고 그 중 하나가 가로좌표 3이 있는 점에서 포물선에 닿는 경우 포물선 y = 2x 2 – 5x – 2에 대한 접선 방정식을 작성합니다(그림 5).

해결책. 접선점의 가로좌표가 제공되므로 해의 첫 번째 부분은 핵심 문제 1로 축소됩니다.

1. a = 3 – 직각 변 중 하나의 접선 지점의 가로좌표입니다.
2. f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – 첫 번째 접선의 방정식.

a를 첫 번째 접선의 경사각이라고 하자. 접선이 수직이므로 두 번째 접선의 경사각은 입니다. 첫 번째 접선의 방정식 y = 7x – 20에서 tg a = 7을 얻습니다.

이는 두 번째 접선의 기울기가 와 같다는 것을 의미합니다.

추가 솔루션은 핵심 작업 3으로 귀결됩니다.

B(c; f(c))를 두 번째 선의 접선 지점으로 설정하면

1. – 두 번째 접선점의 가로좌표.
2.
3.
4.
– 두 번째 탄젠트의 방정식.

메모. 접선의 각도 계수는 학생들이 수직선 계수 k 1 k 2 = – 1의 비율을 알면 더 쉽게 찾을 수 있습니다.

2. 함수 그래프에 모든 공통 접선의 방정식을 작성합니다.

해결책. 작업은 공통 접선의 접선 점의 가로좌표를 찾는 것, 즉 주요 문제 1을 일반 형식으로 풀고 방정식 시스템을 작성한 다음 해결하는 것입니다 (그림 6).

1. a를 함수 y = x 2 + x + 1의 그래프에 있는 접선점의 가로좌표로 둡니다.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. c를 함수 그래프에 있는 접선점의 가로좌표로 설정합니다.
2.
3. f "(c) = c.
4.

접선은 일반적이므로

따라서 y = x + 1과 y = – 3x – 3은 공통 접선입니다.

고려된 과제의 주요 목표는 학생들이 특정 연구 기술(분석, 비교, 일반화, 가설 제시 능력 등)이 필요한 보다 복잡한 문제를 해결할 때 주요 문제의 유형을 독립적으로 인식할 수 있도록 준비하는 것입니다. 이러한 작업에는 주요 작업이 구성 요소로 포함되는 모든 작업이 포함됩니다. 접선족에서 함수를 찾는 문제(문제 1의 반대)를 예로 들어 보겠습니다.

3. b와 c에 대해 함수 y = x 2 + bx + c의 그래프에 접하는 선 y = x 및 y = – 2x는 무엇입니까?

t를 포물선 y = x 2 + bx + c와 함께 직선 y = x의 접선점의 가로좌표로 설정합니다. p는 포물선 y = x 2 + bx + c를 갖는 직선 y = – 2x의 접선점의 가로좌표입니다. 그러면 접선 방정식 y = x는 y = (2t + b)x + c – t 2 형식을 취하고 접선 방정식 y = – 2x는 y = (2p + b)x + c – p 2 형식을 취합니다. .

연립방정식을 구성하고 풀자

답변:

이 기사에서는 파생어의 정의, 기하학적 의미에 대한 자세한 설명을 제공합니다. 그래픽 기호. 접선의 방정식을 예제와 함께 고려하고, 2차 곡선에 대한 접선의 방정식을 구합니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1

직선 y = k x + b의 경사각을 각도 α라고 하며, 이는 x 축의 양의 방향에서 양의 방향의 직선 y = k x + b까지 측정됩니다.

그림에서 x 방향은 녹색 화살표와 녹색 원호로 표시되고, 경사각은 빨간색 원호로 표시됩니다. 파란색 선은 직선을 의미합니다.

정의 2

직선 y = k x + b의 기울기를 수치 계수 k라고 합니다.

각도 계수는 직선의 탄젠트, 즉 k = t g α와 같습니다.

• 직선의 경사각은 x에 대해 평행하고 기울기가 0인 경우에만 0과 같습니다. 왜냐하면 0의 접선은 0과 같기 때문입니다. 이는 방정식의 형태가 y = b가 됨을 의미합니다.
• 직선 y = k x + b의 경사각이 예각이면 조건 ​​0이 충족됩니다.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается 정수, 탄젠트 값이 t g α > 0 조건을 만족하고 그래프가 증가하기 때문입니다.
• α = π 2이면 선의 위치는 x에 수직입니다. 동등성은 x = c로 지정되며 c 값은 실수입니다.
• 직선 y = k x + b의 경사각이 둔각이면 조건 ​​π 2에 해당합니다.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

시컨트는 함수 f(x)의 두 점을 지나는 선입니다. 즉, 시컨트는 주어진 함수 그래프의 두 점을 지나는 직선입니다.

그림에서 A, B는 시컨트, f(x)는 검은색 곡선, α는 빨간색 원호로 시컨트의 경사각을 나타냅니다.

직선의 각도 계수가 경사각의 탄젠트와 같을 때 직각 삼각형 A B C의 탄젠트는 인접한 변에 대한 대변의 비율로 찾을 수 있음이 분명합니다.

정의 4

우리는 다음 형식의 시컨트를 찾는 공식을 얻습니다.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, 여기서 점 A와 B의 가로 좌표는 x A, x B 및 f (x A), f (x B)는 이 지점에서의 가치 함수입니다.

분명히 시컨트의 각도 계수는 k = f (x B) - f (x A) x B - x A 또는 k = f (x A) - f (x B) x A - x B 등식을 사용하여 결정됩니다. , 방정식은 y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) 또는로 작성되어야 합니다.
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

시컨트는 그래프를 시각적으로 세 부분으로 나눕니다. A 지점의 왼쪽, A에서 B, B의 오른쪽입니다. 아래 그림은 일치하는 것으로 간주되는 세 개의 시컨트가 있음을 보여줍니다. 즉, 시컨트는 다음을 사용하여 설정됩니다. 비슷한 방정식.

정의에 따르면 직선과 그 시컨트는 다음과 같습니다. 이 경우성냥.

시컨트는 주어진 함수의 그래프와 여러 번 교차할 수 있습니다. 시컨트에 대해 y = 0 형식의 방정식이 있는 경우 정현파와의 교차점 수는 무한합니다.

정의 5

x 0 지점에서 함수 f(x)의 그래프에 접합니다. f (x 0)는 주어진 점 x 0을 통과하는 직선입니다. f (x 0), x 0에 가까운 x 값이 많은 세그먼트가 있습니다.

실시예 1

아래 예를 자세히 살펴보겠습니다. 그러면 함수 y = x + 1에 의해 정의된 선이 좌표 (1; 2)가 있는 점에서 y = 2 x에 접하는 것으로 간주된다는 것이 분명합니다. 명확성을 위해 (1; 2)에 가까운 값을 갖는 그래프를 고려할 필요가 있습니다. 함수 y = 2 x는 검은색으로 표시되며 파란색 선은 접선, 빨간색 점은 교차점입니다.

분명히 y = 2 x는 y = x + 1 선과 병합됩니다.

접선을 결정하려면 점 B가 점 A에 무한히 접근할 때 접선 A B의 동작을 고려해야 합니다.

파란색 선으로 표시된 할선 A B는 접선 자체의 위치를 ​​향하는 경향이 있으며, 할선 α의 경사각은 접선 자체의 경사각 α x를 향하는 경향이 있습니다.

정의 6

점 A에서 함수 y = f(x)의 그래프에 대한 접선은 B가 A를 향하는 경향이 있으므로 시컨트 A B의 제한 위치, 즉 B → A로 간주됩니다.

이제 한 지점에서 함수 도함수의 기하학적 의미를 고려해 보겠습니다.

함수 f (x)에 대한 시컨트 A B를 고려해 보겠습니다. 여기서 좌표 x 0, f (x 0) 및 x 0 + Δ x, f (x 0 + Δ x) 및 Δ x가 있는 A와 B는 다음과 같습니다. 인수의 증분으로 표시됩니다. 이제 함수는 Δ y = Δ f (x) = f (x 0 + Δ x) - f (Δ x) 형식을 취합니다. 명확성을 위해 그림의 예를 들어 보겠습니다.

결과를 고려해 봅시다 직각삼각형 A B C. 우리는 접선의 정의를 사용하여 해결합니다. 즉, 관계 Δ y Δ x = t g α 를 얻습니다. 접선의 정의에 따르면 lim Δ x → 0 Δ y Δ x = t g α x 입니다. 한 지점에서의 미분 규칙에 따르면, x 0 지점에서의 미분 f (x)를 인수 증분에 대한 함수 증분 비율의 한계라고 합니다. 여기서 Δ x → 0 , f (x 0) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x 로 나타냅니다.

f " (x 0) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = t g α x = k x, 여기서 k x는 접선의 기울기로 표시됩니다.

즉, 우리는 f'(x)가 x 0 지점에 존재할 수 있으며 x 0과 동일한 접선 지점에서 함수의 주어진 그래프에 대한 접선과 마찬가지로 f 0 (x 0)의 값이 존재할 수 있음을 발견합니다. 점에서 접선의 기울기는 점 x 0 의 도함수와 같습니다. 그러면 우리는 k x = f " (x 0) 을 얻습니다.

한 점에서 함수 도함수의 기하학적 의미는 같은 점에서 그래프에 대한 접선이 존재한다는 개념을 제공한다는 것입니다.

평면 위의 직선의 방정식을 쓰려면 직선이 통과하는 점에 대한 각도 계수가 필요합니다. 그 표기법은 교차점에서 x 0으로 간주됩니다.

x 0, f 0 (x 0) 지점에서 함수 y = f (x)의 그래프에 대한 접선 방정식은 y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) 형식을 취합니다.

무슨 뜻인가요? 최종 값미분 f "(x 0) 접선의 위치를 ​​결정할 수 있습니다. 즉, lim x → x 0 + 0 f " (x) = 및 lim x → x 0 - 0 f " (x) 조건에서 수직으로 위치를 결정할 수 있습니다. lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

접선의 위치는 각도 계수 k x = f "(x 0)의 값에 따라 달라집니다. o x 축에 평행하면 k k = 0, o y - k x = 에 평행하면 k k = 0을 얻습니다. 접선 방정식 x = x 0은 k x > 0에 따라 증가하고 k x에 따라 감소합니다.< 0 .

실시예 2

좌표 (1; 3)가 있는 점에서 함수 y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 그래프의 접선에 대한 방정식을 작성하고 경사각을 결정합니다.

해결책

조건에 따라 함수는 모든 실수에 대해 정의됩니다. 우리는 조건 (1; 3)에 의해 지정된 좌표를 가진 점이 접선점이고 x 0 = - 1, f(x 0) = - 3임을 알 수 있습니다.

값이 -1인 점에서 도함수를 구해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

접선점에서의 f'(x) 값은 접선의 기울기이며, 이는 접선의 접선과 같습니다.

그러면 k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

α x = a r c t g 3 3 = π 6

답변:접선 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

명확성을 위해 그래픽 그림으로 예를 제공합니다.

원래 함수의 그래프에는 검정색을 사용하고, 파란색– 접선 이미지, 빨간색 점 – 접선 지점. 오른쪽 그림은 확대된 모습을 보여줍니다.

실시예 3

주어진 함수의 그래프에 대한 접선의 존재를 확인합니다.
y = 3 · x - 1 5 + 1 좌표가 (1 ; 1) 인 점. 방정식을 작성하고 경사각을 결정하십시오.

해결책

조건에 따라 주어진 함수의 정의 영역은 모든 실수의 집합으로 간주됩니다.

파생 상품을 찾는 것으로 넘어 갑시다

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1이면 f' (x)는 정의되지 않지만 극한은 lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5로 작성됩니다. · 1 + 0 = + 및 lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + , 이는 다음을 의미합니다. 점 (1; 1)에 수직 접선이 존재합니다.

답변:방정식은 x = 1 형식을 취하며, 여기서 경사각은 π 2와 같습니다.

명확성을 위해 그래픽으로 설명하겠습니다.

실시예 4

함수 y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2의 그래프에서 점을 찾습니다.

1. 접선이 없습니다.
2. 접선은 x와 평행합니다.
3. 접선은 선 y = 8 5 x + 4와 평행합니다.

해결책

정의의 범위에 주의할 필요가 있다. 조건에 따라 함수는 모든 실수 집합에 대해 정의됩니다. 우리는 모듈을 확장하고 x ∈ - Infini 간격으로 시스템을 푼다. 2 및 [ - 2 ; + ) . 우리는 그것을 얻습니다

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + )

기능의 차별화가 필요합니다. 우리는 그것을 가지고 있습니다

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + )

x = − 2이면 해당 지점에서 단측 극한이 동일하지 않기 때문에 도함수가 존재하지 않습니다.

림 x → - 2 - 0 y " (x) = 림 x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

우리는 x = - 2 지점에서 함수의 값을 계산합니다.

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, 즉 점에서의 접선 ( - 2; - 2) 존재하지 않습니다.
2. 기울기가 0일 때 접선은 x와 평행합니다. 그러면 k x = t g α x = f "(x 0)입니다. 즉, 함수의 미분이 0으로 바뀔 때 이러한 x의 값을 찾아야 합니다. 즉, f '의 값 (x)는 접선이 x와 평행한 접선 지점이 됩니다.

x ∈ - Infini 일 때 ; - 2, 그런 다음 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0이고 x ∈ (- 2; + )에 대해 우리는 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0을 얻습니다.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; + Infini

해당 함수 값을 계산합니다.

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

따라서 - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 은 함수 그래프의 필수 포인트로 간주됩니다.

고려해 봅시다 그래픽 이미지솔루션.

검은색 선은 함수의 그래프이고, 빨간색 점은 접선점입니다.

1. 선이 평행하면 각도 계수가 동일합니다. 그런 다음 함수 그래프에서 기울기가 값 8 5와 같은 점을 검색해야 합니다. 이렇게 하려면 y "(x) = 8 5 형식의 방정식을 풀어야 합니다. 그런 다음 x ∈ - ; - 2이면 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8을 얻습니다. 5이고 x ∈ ( - 2 ; + )이면 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5입니다.

첫 번째 방정식에는 근이 없습니다. 왜냐하면 판별식이 0보다 작음. 그걸 적어보자

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

또 다른 방정식에는 두 개의 실수 근이 있습니다.

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; + Infini

함수의 값을 찾는 것으로 넘어 갑시다. 우리는 그것을 얻습니다

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

값이 있는 포인트 - 1; 4 15, 5; 8 3 은 접선이 선 y = 8 5 x + 4와 평행한 점입니다.

답변:검은색 선 – 함수 그래프, 빨간색 선 – y = 8 5 x + 4 그래프, 파란색 선 – 점의 접선 - 1; 4 15, 5; 8 3.

주어진 함수에 대해 무한한 수의 접선이 있을 수 있습니다.

실시예 5

직선 y = - 2 x + 1 2에 수직인 함수 y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3의 모든 사용 가능한 접선 방정식을 작성합니다.

해결책

접선 방정식을 작성하려면 선의 직각 조건을 기준으로 접선점의 계수와 좌표를 구해야 합니다. 정의는 다음과 같습니다. 직선에 수직인 각도 계수의 곱은 - 1과 같습니다. 즉, k x · k ⊥ = - 1로 표시됩니다. 조건에 따르면 각도 계수는 선에 수직이고 k ⊥ = - 2와 같고, k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2입니다.

이제 터치 포인트의 좌표를 찾아야 합니다. 주어진 함수에 대한 x와 그 값을 찾아야 합니다. 점에서 도함수의 기하학적 의미로부터 주목하세요
x 0 우리는 k x = y "(x 0)를 얻습니다. 이 동등성에서 우리는 접촉점에 대한 x 값을 찾습니다.

우리는 그것을 얻습니다

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 죄 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 죄 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ 죄 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

이것 삼각 방정식접선점의 좌표를 계산하는 데 사용됩니다.

3 2 x 0 - π 4 = 아크 사인 - 1 9 + 2 πk 또는 3 2 x 0 - π 4 = π - 아크 사인 - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk 또는 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk 또는 x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z는 정수 집합입니다.

x개의 연락처가 발견되었습니다. 이제 y 값을 검색해야 합니다.

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - 죄 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 또는 y 0 = 3 - 1 - 죄 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 또는 y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 또는 y 0 = - 4 5 + 1 3

이것으로부터 우리는 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk 를 얻습니다. 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + 아크사인 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3은 접선점입니다.

답변:필요한 방정식은 다음과 같이 작성됩니다.

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - 아크 사인 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + 아크 사인 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

시각적 표현의 경우 좌표선의 함수와 접선을 고려하세요.

그림은 함수가 구간 [-10; 10 ], 여기서 검은색 선은 함수의 그래프이고, 파란색 선은 y = - 2 x + 1 2 형식의 주어진 선에 수직으로 위치하는 접선입니다. 빨간색 점은 터치 포인트입니다.

2차 곡선의 표준 방정식은 단일 값 함수가 아닙니다. 이에 대한 접선 방정식은 알려진 방식에 따라 컴파일됩니다.

원에 접함

x center점을 중심으로 원을 정의하려면; y center 및 반경 R에 대해 x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 공식을 적용합니다.

이 동등성은 두 가지 함수의 합집합으로 작성될 수 있습니다.

y = R 2 - x - x 중심 2 + y 중심 y = - R 2 - x - x 중심 2 + y 중심

그림과 같이 첫 번째 기능은 상단에 있고 두 번째 기능은 하단에 있습니다.

x 0 지점에서 원의 방정식을 컴파일하려면 다음과 같이 하십시오. 위쪽 또는 아래쪽 반원에 위치한 y 0 , y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r 또는 y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + 형식의 함수 그래프 방정식을 찾아야 합니다. 표시된 지점의 중앙에 위치하세요.

x center 지점에 있을 때; y center + R 및 x center ; y center - R 접선은 방정식 y = y center + R 및 y = y center - R로 주어질 수 있으며, x center r + R 지점에서; Y 센터와
x 중심 - R ; y c e n t e r은 o y와 평행할 것이며 x = x c e n t e r + R 및 x = x c e n t e r - R 형식의 방정식을 얻습니다.

타원에 접함

타원의 중심이 x center 에 있을 때; 반축 a와 b를 갖는 y center는 방정식 x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1을 사용하여 지정할 수 있습니다.

타원과 원은 두 가지 기능, 즉 위쪽 반타원과 아래쪽 반타원을 결합하여 나타낼 수 있습니다. 그러면 우리는 그것을 얻습니다

y = b a · a 2 - (x - x 중심) 2 + y 중심 y = - b a · a 2 - (x - x 중심) 2 + y 중심

접선이 타원의 꼭짓점에 위치하면 x 또는 y에 대해 평행합니다. 아래에서는 명확성을 위해 그림을 고려하십시오.

실시예 6

x 값이 x = 2인 점에서 타원 x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1에 대한 접선 방정식을 작성합니다.

해결책

x = 2 값에 해당하는 접선점을 찾아야 합니다. 우리는 타원의 기존 방정식으로 대체하여 다음을 찾습니다.

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

그런 다음 2; 5 3 2 + 5 및 2; - 5 3 2 + 5는 위쪽 및 아래쪽 반타원에 속하는 접선점입니다.

y에 대한 타원 방정식을 찾아 해결해 봅시다. 우리는 그것을 얻습니다

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

분명히 위쪽 절반 타원은 y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 형식의 함수를 사용하여 지정되고 아래쪽 절반 타원 y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2입니다.

한 점에서 함수 그래프의 접선에 대한 방정식을 생성하기 위해 표준 알고리즘을 적용해 보겠습니다. 점 2의 첫 번째 접선에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다. 5 3 2 + 5는 다음과 같습니다

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

우리는 점에서의 값을 갖는 두 번째 탄젠트의 방정식을 찾습니다.
2 ; - 5 3 2 + 5 형식을 취합니다.

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

그래픽적으로 접선은 다음과 같이 지정됩니다.

쌍곡선에 접함

쌍곡선의 중심이 x center 에 있을 때; y 중심과 꼭짓점 x center + α ; y center 및 x center - α ; y center , 정점 x center 가 있는 경우 부등식 x - x center 2 α 2 - y - y center 2 b 2 = 1이 발생합니다. y center + b 및 x center ; y center r - b 는 부등식 x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y center 2 b 2 = - 1 을 사용하여 지정됩니다.

쌍곡선은 다음 형식의 두 가지 결합된 함수로 표현될 수 있습니다.

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y center 또는 y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x 중심) 2 + a 2 + y 중심

첫 번째 경우에는 접선이 y에 평행하고 두 번째 경우에는 x에 평행합니다.

따라서 쌍곡선에 대한 접선의 방정식을 찾으려면 접선점이 어느 함수에 속하는지 알아내는 것이 필요합니다. 이를 결정하려면 방정식을 대입하고 동일성을 확인해야 합니다.

실시예 7

점 7에서 쌍곡선 x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1에 대한 접선 방정식을 작성하십시오. - 3 3 - 3 .

해결책

쌍곡선을 찾기 위해서는 2가지 함수를 사용하여 해 기록을 변환해야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 및 y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

좌표 7을 가진 주어진 점이 어떤 기능에 속하는지 식별해야 합니다. - 3 3 - 3 .

분명히 첫 번째 함수를 확인하려면 y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3이 필요하며, 그러면 해당 점이 그래프에 속하지 않습니다. 평등이 성립하지 않으니까.

두 번째 함수의 경우 y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3이며 이는 해당 점이 주어진 그래프에 속한다는 것을 의미합니다. 여기에서 경사를 찾아야합니다.

우리는 그것을 얻습니다

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

답변:탄젠트 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

다음과 같이 명확하게 표현되어 있습니다.

포물선에 접하는

x 0, y (x 0) 지점에서 포물선 y = a x 2 + b x + c에 대한 접선에 대한 방정식을 만들려면 표준 알고리즘을 사용해야 하며 방정식은 y = y "(x 형식을 취해야 합니다. 0) x - x 0 + y ( x 0) 꼭지점에서의 접선은 x와 평행합니다.

포물선 x = a y 2 + b y + c를 두 함수의 합집합으로 정의해야 합니다. 그러므로 우리는 y에 대한 방정식을 풀어야 합니다. 우리는 그것을 얻습니다

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다.

x 0, y(x 0) 점이 함수에 속하는지 여부를 확인하려면 표준 알고리즘에 따라 천천히 진행하세요. 이러한 접선은 포물선을 기준으로 oy와 평행합니다.

실시예 8

접선 각도가 150°일 때 그래프 x - 2 y 2 - 5 y + 3에 대한 접선 방정식을 작성합니다.

해결책

포물선을 두 개의 함수로 표현하여 솔루션을 시작합니다. 우리는 그것을 얻습니다

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

기울기의 값은 이 함수의 x 0 지점에서의 미분 값과 같고 경사각의 탄젠트와 같습니다.

우리는 다음을 얻습니다:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

여기에서 접촉 지점의 x 값을 결정합니다.

첫 번째 함수는 다음과 같이 작성됩니다.

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

분명히 음수 값을 얻었으므로 실제 뿌리는 없습니다. 우리는 그러한 함수에 대해 150° 각도의 접선이 없다고 결론을 내립니다.

두 번째 함수는 다음과 같이 작성됩니다.

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

접촉 지점은 23 4 입니다. - 5 + 3 4 .

답변:접선 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

이를 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다.

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

접선은 직선이다 , 이는 함수 그래프의 한 지점과 접촉하고 모든 지점이 함수 그래프에서 가장 짧은 거리에 있습니다. 따라서 접선은 특정 각도에서 함수의 그래프에 접선을 통과하며, 서로 다른 각도의 여러 접선은 접선점을 통과할 수 없습니다. 함수 그래프에 대한 접선 방정식과 정규 방정식은 도함수를 사용하여 구성됩니다.

접선 방정식은 선 방정식에서 파생됩니다. .

접선 방정식을 유도한 다음 함수 그래프의 법선 방정식을 유도해 보겠습니다.

와이 = kx + 비 .

그 안에 케이- 각도 계수.

여기에서 다음 항목을 얻습니다.

와이 - 와이 0 = 케이(엑스 - 엑스 0 ) .

파생가치 에프 "(엑스 0 ) 기능 와이 = 에프(엑스) 그 시점에 엑스0 경사와 동일 케이= TG φ 점을 통해 그려진 함수의 그래프에 접하는 것 중0 (엑스 0 , 와이 0 ) , 어디 와이0 = 에프(엑스 0 ) . 이것은 파생어의 기하학적 의미 .

따라서 우리는 교체할 수 있습니다. 케이~에 에프 "(엑스 0 ) 그리고 다음을 얻으세요 함수 그래프에 대한 접선의 방정식 :

와이 - 와이 0 = 에프 "(엑스 0 )(엑스 - 엑스 0 ) .

함수 그래프에 대한 접선 방정식을 구성하는 문제(곧 이에 대해 다룰 것임)에서 위 공식에서 얻은 방정식을 다음과 같이 줄여야 합니다. 일반 형태의 직선 방정식. 이렇게 하려면 모든 문자와 숫자를 다음으로 전송해야 합니다. 왼쪽방정식을 실행하고 오른쪽에 0을 남겨두세요.

이제 정규 방정식에 대해 알아보겠습니다. 정상 - 접선에 수직인 함수 그래프의 접선점을 지나는 직선입니다. 정규방정식 :

(엑스 - 엑스 0 ) + 에프 "(엑스 0 )(와이 - 와이 0 ) = 0

워밍업을 위해 첫 번째 예를 직접 해결한 다음 솔루션을 살펴보세요. 이 작업이 독자들에게 "찬 소나기"가 되지 않기를 바라는 데에는 충분한 이유가 있습니다.

예시 0.한 점에서 함수 그래프에 대한 접선 방정식과 정규 방정식을 만듭니다. 중 (1, 1) .

예시 1.함수 그래프의 접선 방정식과 정규 방정식 작성 , 가로좌표가 접선인 경우.

함수의 미분을 찾아봅시다:

이제 우리는 접선 방정식을 얻기 위해 이론적 도움말에 제공된 항목으로 대체해야 하는 모든 것을 갖췄습니다. 우리는 얻는다

이 예에서는 운이 좋았습니다. 기울기가 0으로 판명되었으므로 방정식을 별도로 다음과 같이 줄입니다. 일반적인 모습필요하지 않았습니다. 이제 정규 방정식을 만들 수 있습니다.

아래 그림에서: 부르고뉴 색상의 함수 그래프, 접선 녹색, 오렌지색 보통.

다음 예도 복잡하지 않습니다. 이전 예와 마찬가지로 함수도 다항식이지만 기울기는 0이 아니므로 한 단계가 더 추가되어 방정식을 일반 형식으로 만듭니다.

예시 2.

해결책. 접선점의 세로 좌표를 찾아보겠습니다.

함수의 미분을 찾아봅시다:

.

접선점, 즉 접선의 기울기에서 도함수 값을 구해 보겠습니다.

얻은 모든 데이터를 "빈 공식"으로 대체하고 접선 방정식을 얻습니다.

방정식을 일반 형식으로 가져옵니다(왼쪽에는 0이 아닌 모든 문자와 숫자를 수집하고 오른쪽에는 0을 남겨둡니다).

우리는 정규 방정식을 구성합니다.

예시 3.가로좌표가 접선점인 경우 함수 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식을 작성합니다.

해결책. 접선점의 세로 좌표를 찾아보겠습니다.

함수의 미분을 찾아봅시다:

.

접선점, 즉 접선의 기울기에서 도함수 값을 구해 보겠습니다.

.

우리는 접선 방정식을 찾습니다:

방정식을 일반 형식으로 만들기 전에 약간 "빗질"해야 합니다. 항마다 항에 4를 곱합니다. 이렇게 하면 방정식을 일반 형식으로 가져옵니다.

우리는 정규 방정식을 구성합니다.

예시 4.가로좌표가 접선점인 경우 함수 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식을 작성합니다.

해결책. 접선점의 세로 좌표를 찾아보겠습니다.

.

함수의 미분을 찾아봅시다:

접선점, 즉 접선의 기울기에서 도함수 값을 구해 보겠습니다.

.

우리는 접선 방정식을 얻습니다.

방정식을 일반적인 형태로 가져옵니다.

우리는 정규 방정식을 구성합니다.

접선 방정식과 정규 방정식을 작성할 때 흔히 저지르는 실수는 예제에 제공된 함수가 복잡하다는 사실을 알아차리지 못하고 그 도함수를 간단한 함수의 도함수로 계산하는 것입니다. 다음 예는 이미 복잡한 기능(해당 강의가 새 창에서 열립니다).

실시예 5.가로좌표가 접선점인 경우 함수 그래프에 접선 방정식과 법선 방정식을 작성합니다.

해결책. 접선점의 세로 좌표를 찾아보겠습니다.

주목! 이 기능- 접선 인수(2) 이후로 복잡합니다. 엑스) 자체가 함수입니다. 따라서 우리는 복잡한 함수의 도함수로서 함수의 도함수를 찾습니다.

예시 1.주어진 함수 에프(엑스) = 3엑스 2 + 4엑스– 5. 함수의 그래프에 접선의 방정식을 써보자 에프(엑스) 가로좌표가 있는 그래프 지점 엑스 0 = 1.

해결책.함수의 파생 에프(엑스)는 모든 x에 대해 존재합니다. 아르 자형 . 그녀를 찾아보자:

= (3엑스 2 + 4엑스– 5)' = 6 엑스 + 4.

그 다음에 에프(엑스 0) = 에프(1) = 2; (엑스 0) = = 10. 탄젠트 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

와이 = (엑스 0) (엑스 – 엑스 0) + 에프(엑스 0),

와이 = 10(엑스 – 1) + 2,

와이 = 10엑스 – 8.

답변. 와이 = 10엑스 – 8.

예시 2.주어진 함수 에프(엑스) = 엑스 3 – 3엑스 2 + 2엑스+ 5. 함수의 그래프에 접선의 방정식을 쓰자 에프(엑스), 선과 평행 와이 = 2엑스 – 11.

해결책.함수의 파생 에프(엑스)는 모든 x에 대해 존재합니다. 아르 자형 . 그녀를 찾아보자:

= (엑스 3 – 3엑스 2 + 2엑스+ 5)' = 3 엑스 2 – 6엑스 + 2.

함수의 그래프에 대한 접선이기 때문에 에프(엑스) 가로좌표 지점에서 엑스 0은 선과 평행하다 와이 = 2엑스– 11이면 기울기는 2와 같습니다. 즉 ( 엑스 0) = 2. 3이라는 조건에서 이 가로좌표를 구해보겠습니다. 엑스– 6엑스 0 + 2 = 2. 이 평등은 다음 경우에만 유효합니다. 엑스 0 = 0 및 엑스 0 = 2. 두 경우 모두 에프(엑스 0) = 5, 그다음 직선 와이 = 2엑스 + 비점(0; 5) 또는 점(2; 5)에서 함수 그래프에 닿습니다.

첫 번째 경우에는 수치 평등 5 = 2×0 +가 참입니다. 비, 어디 비= 5이고 두 번째 경우에는 수치 동등성 5 = 2×2 +가 참입니다. 비, 어디 비 = 1.

따라서 두 개의 접선이 있습니다. 와이 = 2엑스+ 5 및 와이 = 2엑스함수 그래프에 + 1 에프(엑스), 선과 평행 와이 = 2엑스 – 11.

답변. 와이 = 2엑스 + 5, 와이 = 2엑스 + 1.

예시 3.주어진 함수 에프(엑스) = 엑스 2 – 6엑스+ 7. 함수 그래프에 접선의 방정식을 쓰자 에프(엑스), 지점을 통과 에이 (2; –5).

해결책.왜냐하면 에프(2) -5, 그 다음 포인트 에이함수의 그래프에 속하지 않습니다 에프(엑스). 허락하다 엑스 0 - 접선점의 가로좌표입니다.

함수의 파생 에프(엑스)는 모든 x에 대해 존재합니다. 아르 자형 . 그녀를 찾아보자:

= (엑스 2 – 6엑스+ 1)' = 2 엑스 – 6.

그 다음에 에프(엑스 0) = 엑스– 6엑스 0 + 7; (엑스 0) = 2엑스 0 – 6. 접선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

와이 = (2엑스 0 – 6)(엑스 – 엑스 0) + 엑스– 6엑스+ 7,

와이 = (2엑스 0 – 6)엑스– 엑스+ 7.

시점부터 에이접선에 속하면 수치 평등이 참입니다.

–5 = (2엑스 0 – 6)×2– 엑스+ 7,

어디 엑스 0 = 0 또는 엑스 0 = 4. 이는 점을 통과한다는 의미입니다. 에이함수 그래프에 두 개의 접선을 그릴 수 있습니다 에프(엑스).

만약에 엑스 0 = 0이면 탄젠트 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 와이 = –6엑스+ 7. 만약 엑스 0 = 4이면 탄젠트 방정식의 형식은 다음과 같습니다. 와이 = 2엑스 – 9.

답변. 와이 = –6엑스 + 7, 와이 = 2엑스 – 9.

예시 4.주어진 기능 에프(엑스) = 엑스 2 – 2엑스+ 2 및 g(엑스) = –엑스 2 – 3. 이 함수의 그래프에 대한 공통 탄젠트 방정식을 작성해 봅시다.

해결책.허락하다 엑스 1 - 함수 그래프와 원하는 선의 접선 지점 가로좌표 에프(엑스), 에이 엑스 2 - 함수 그래프와 동일한 선의 접선 지점 가로좌표 g(엑스).

함수의 파생 에프(엑스)는 모든 x에 대해 존재합니다. 아르 자형 . 그녀를 찾아보자:

= (엑스 2 – 2엑스+ 2)' = 2 엑스 – 2.

그 다음에 에프(엑스 1) = 엑스– 2엑스 1 + 2; (엑스 1) = 2엑스 1 – 2. 접선 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

와이 = (2엑스 1 – 2)(엑스 – 엑스 1) + 엑스– 2엑스 1 + 2,

와이 = (2엑스 1 – 2)엑스 – 엑스+ 2. (1)

함수의 미분을 구해보자 g(엑스):

= (–엑스 2 – 3)' = –2 엑스.