연방 교육 기관

교육 발전 연구소

“매개변수를 사용하여 방정식과 부등식을 해결하기 위한 그래픽 방법”

완전한

수학 선생님

시립교육기관 제62중학교

리페츠크 2008

소개................................................. ....... ................................................. ............. .삼

엑스;~에) 4

1.1. 병렬 전송........................................................... ................................... 5

1.2. 회전하다................................................. ................................................. ...... 9

1.3. 동질성. 직선으로 압축.................................................. ..................... 13

1.4. 평면 위의 두 직선.......................................................... ....................................... 15

2. 그래픽 기술. 좌표평면( 엑스;ㅏ) 17

결론................................................. ................................................ 20

참고문헌 목록..................................................... .................................... 22

소개

비표준 방정식과 불평등을 풀 때 학생들이 겪는 문제는 이러한 문제의 상대적 복잡성과 일반적으로 학교가 표준 문제 해결에 중점을 둔다는 사실로 인해 발생합니다.

많은 학생들은 매개변수를 "일반" 숫자로 인식합니다. 실제로 일부 문제에서는 매개변수가 상수 값으로 간주될 수 있지만 이 상수 값은 알 수 없는 값을 갖습니다. 그러므로 이 상수의 가능한 모든 값에 대한 문제를 고려할 필요가 있다. 다른 문제에서는 미지수 중 하나를 매개변수로 인위적으로 선언하는 것이 편리할 수 있습니다.

다른 학생들은 매개변수를 알 수 없는 수량으로 취급하고 당황하지 않고 답변에서 매개변수를 변수로 표현할 수 있습니다. 엑스.

기말고사와 입시에서는 주로 두 가지 유형의 매개변수 문제가 출제됩니다. 단어로 즉시 구별할 수 있습니다. 첫째: "각 매개변수 값에 대해 일부 방정식이나 부등식에 대한 모든 해를 찾습니다." 둘째: "주어진 방정식이나 부등식에 대해 특정 조건을 충족하는 매개변수의 모든 값을 찾습니다." 따라서 이 두 가지 유형의 문제에 대한 답은 본질적으로 다릅니다. 첫 번째 유형의 문제에 대한 답은 매개변수의 가능한 모든 값을 나열하고 이러한 각 값에 대해 방정식의 해법이 작성됩니다. 두 번째 유형의 문제에 대한 답은 문제에 지정된 조건이 충족되는 모든 매개변수 값을 나타냅니다.

주어진 매개 변수의 고정 값에 대한 매개 변수가 있는 방정식의 해는 미지의 값이며, 이를 방정식에 대입하면 후자는 올바른 수치 등식으로 변합니다. 매개변수가 있는 부등식에 대한 해법도 비슷하게 결정됩니다. 매개변수를 사용하여 방정식(부등식)을 푼다는 것은 허용되는 각 매개변수 값에 대해 주어진 방정식(부등식)에 대한 모든 해의 집합을 찾는 것을 의미합니다.

1. 그래픽 기술. 좌표평면( 엑스;~에)

매개변수 문제를 해결하기 위한 기본 분석 기술 및 방법과 함께 시각적, 그래픽적 해석을 사용하는 방법이 있습니다.

문제에서 매개변수가 할당된 역할(변수와 같지 않거나 같음)에 따라 두 가지 주요 그래픽 기술을 구분할 수 있습니다. 첫 번째는 좌표 평면에 그래픽 이미지를 구성하는 것입니다. (엑스;와이),두 번째 - 에 (엑스; ㅏ).

평면(x; y)에서 함수 와이 =에프 (엑스; ㅏ)매개변수에 따라 곡선군을 정의합니다. ㅏ.분명한 것은 모든 가족이 에프특정 속성을 가지고 있습니다. 우리는 패밀리의 한 곡선에서 다른 곡선으로 이동하기 위해 어떤 종류의 평면 변환(평행 평행 이동, 회전 등)을 사용할 수 있는지에 주로 관심을 가질 것입니다. 이러한 각 변환에 대해서는 별도의 단락에서 다루겠습니다. 이러한 분류를 통해 결정자가 필요한 그래픽 이미지를 더 쉽게 찾을 수 있는 것 같습니다. 이 접근 방식을 사용하면 솔루션의 이데올로기적 부분은 어떤 도형(직선, 원, 포물선 등)이 곡선 계열의 구성원인지에 따라 달라지지 않습니다.

물론 가족의 그래픽 이미지가 항상 그런 것은 아닙니다. 와이 =에프 (엑스;ㅏ)간단한 변환으로 설명됩니다. 따라서 이러한 상황에서는 동일한 패밀리의 곡선이 어떻게 관련되어 있는지가 아니라 곡선 자체에 초점을 맞추는 것이 유용합니다. 즉, 우리는 해결 방법의 아이디어가 주로 특정 문제의 속성을 기반으로 하는 또 다른 유형의 문제를 구별할 수 있습니다. 기하학적 모양, 가족 전체가 아닙니다. 우선 우리는 어떤 인물(더 정확하게는 이 인물의 가족)에 관심을 갖게 될까요? 이들은 직선과 포물선입니다. 이 선택은 선형 및 이차 함수학교 수학에서.

그래픽 방법에 관해 말하면 경쟁 시험 연습에서 "생성된"한 가지 문제를 피하는 것은 불가능합니다. 우리는 그래픽적 고려에 기초한 결정의 엄격함, 즉 적법성에 대한 문제를 언급하고 있습니다. 의심할 바 없이 형식적인 관점에서 볼 때 분석적으로 뒷받침되지 않는 "그림"에서 가져온 결과는 엄격하게 얻어지지 않았습니다. 그러나 고등학생이 지켜야 할 엄격함의 수준은 누가, 언제, 어디서 결정하는가? 우리 의견으로는 학생의 수학적 엄격함 수준에 대한 요구 사항은 상식에 따라 결정되어야 합니다. 우리는 그러한 관점의 주관성의 정도를 이해합니다. 더욱이 그래픽 방식은 명확성을 제공하는 수단 중 하나일 뿐입니다. 그리고 가시성은 속일 수 있습니다..gif" width="232" height="28"> 해결책은 하나뿐입니다.

해결책.편의상 LG로 표기하겠습니다. b = 에이.원래 방정식과 동일한 방정식을 작성해 보겠습니다. https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

함수 그래프 작성 정의 영역과 (그림 1). 결과 그래프는 직선군입니다. 와이=아한 지점에서만 교차해야 합니다. 그림은 이 요구 사항이 다음 경우에만 충족됨을 보여줍니다. 에이 > 2, 즉 LG 비> 2, 비> 100.

답변. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> 방정식에 대한 해의 수를 결정합니다. .

해결책. 102" height="37" style="vertical-align:top"> 함수를 플로팅해 보겠습니다.

고려해 봅시다. 이는 OX축과 평행한 직선입니다.

답변..gif" width="41" height="20">, 그러면 3가지 솔루션;

그렇다면 2개의 솔루션;

만약 , 4가지 해결책.

새로운 일련의 작업으로 넘어가겠습니다..gif" width="107" height="27 src=">.

해결책.직선을 만들어보자 ~에= 엑스+1 (그림 3)..gif" width="92" height="57">

방정식( 엑스+1)2 = 엑스 + ㅏ have one root..gif" width="44 height=47" height="47"> 원래 부등식에는 해결책이 없습니다. 도함수에 익숙한 사람은 이 결과를 다르게 얻을 수 있습니다.

다음으로 "반포물선"을 왼쪽으로 이동하여 그래프가 나타나는 마지막 순간을 수정하겠습니다. ~에 = 엑스+ 1이고 두 개의 공통점이 있습니다(위치 III). 이 배열은 요구 사항에 의해 보장됩니다 ㅏ= 1.

세그먼트의 경우 [ 엑스 1; 엑스 2], 여기서 엑스 1과 엑스 2 – 그래프 교차점의 가로 좌표는 원래 부등식에 대한 솔루션이 됩니다..gif" width="68 height=47" height="47">, 그런 다음

"반포물선"과 직선이 한 점에서만 교차하는 경우(이 경우에 해당함) 에이 > 1) 그러면 솔루션은 세그먼트 [- ㅏ; 엑스 2"], 여기서 엑스 2" – 가장 큰 뿌리 엑스 1과 엑스 2(위치 IV).

실시예 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . 여기에서 우리는 얻는다 .

기능과 기능을 살펴보겠습니다. . 그중 하나만이 곡선군을 정의합니다. 이제 우리는 교체가 의심할 여지 없는 이점을 가져왔다는 것을 알 수 있습니다. 동시에, 이전 문제에서 유사한 대체를 사용하여 "반포물선" 이동이 아니라 직선을 만들 수 있다는 점에 주목합니다. 그림을 살펴보자. 4. 분명히, "반포물선" 꼭지점의 가로좌표가 1보다 큰 경우, 즉 -3 ㅏ > 1, , 그러면 방정식에는 근이 없으며..gif" width="89" height="29"> 단조성이 다릅니다.

답변.그렇다면 방정식에는 하나의 근이 있습니다. https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">인 경우

솔루션을 가지고 있습니다.

해결책.직계 가족 https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 " >

의미 k1우리는 시스템의 첫 번째 방정식에 쌍 (0;0)을 대입하여 찾을 것입니다. 여기에서 케이1 =-1/4. 의미 케이 2 우리는 시스템에 요구하여 얻습니다.

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> 일 때 케이> 0에는 루트가 하나 있습니다. 여기에서 k2= 1/4.

답변. .

한 가지 발언을 해보자. 이 점에 대한 몇 가지 예에서 우리는 표준 문제를 해결해야 합니다. 선군에 대해 곡선과 접하는 순간에 해당하는 기울기를 찾습니다. 이 작업을 수행하는 방법을 보여드리겠습니다. 일반적인 견해파생어를 사용합니다.

만약에 (x0; 와이 0) = 회전 중심, 그 다음 좌표 (엑스 1; ~에 1) 곡선과 접하는 점 와이 =에프엑스(f(x))시스템을 풀어보면 알 수 있다

필요한 경사 케이동일 .

실시예 6. 매개변수의 어떤 값에 대해 방정식에 고유한 솔루션이 있습니까?

해결책..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, 호 AB.

OA와 OB 사이를 통과하는 모든 광선은 한 지점에서 호 AB와 교차하고 한 지점에서 호 AB OB 및 OM(접선)과도 교차합니다..gif" width="16" height="48 src=">. 경사 계수탄젠트는 와 같습니다. 시스템에서 쉽게 찾을 수 있음

따라서 직계 가족 https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

답변. .

실시예 7..gif" width="160" height="25 src="> 해결책이 있나요?

해결책..gif" width="61" height="24 src="> 로 감소합니다. 점이 최대점입니다.

함수는 https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28">이 호 AB인 점을 통과하는 직선군입니다. 직선 직선 OA와 OB 사이에 위치할 선은 문제의 조건을 만족합니다..gif" width="17" height="47 src=">.

답변..gif" width="15" height="20">해결책이 없습니다.

1.3. 동질성. 직선으로 압축합니다.

실시예 8.시스템에는 몇 개의 솔루션이 있습니까?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> 시스템에 해결책이 없습니다. 고정된 경우 에이 > 0 첫 번째 방정식의 그래프는 정점이 있는 정사각형입니다( ㅏ; 0), (0;-ㅏ), (-ㅏ;0), (0;ㅏ).따라서 패밀리의 구성원은 동형 정사각형입니다(동형의 중심은 점 O(0; 0)입니다).

그림을 살펴보자. 8..gif" width="80" height="25"> 정사각형의 각 변에는 원과 두 개의 공통점이 있으며, 이는 시스템에 8개의 솔루션이 있음을 의미합니다. 원이 정사각형에 내접되는 것으로 밝혀지면, 즉, 다시 네 가지 솔루션이 있을 것입니다. 분명히 시스템에는 솔루션이 없습니다.

답변.만약에 ㅏ< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, 그러면 네 가지 해결책이 있습니다. 그렇다면 8개의 솔루션이 있습니다.

실시예 9. 방정식이 https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src=">인 매개변수의 모든 값을 찾습니다. ..jpg" width="195" height="162"> 함수를 고려해보세요.

반원의 반지름이 , 즉보다 크거나 작을 때 루트의 수는 숫자 8에 해당합니다. 가 있다는 점에 유의하세요.

답변. 또는 .

1.4. 평면 위의 두 직선

본질적으로 이 단락의 문제를 해결하려는 아이디어는 두 직선의 상대적 위치를 연구하는 문제에 기초합니다. 그리고 . 이 문제에 대한 해결책을 일반적인 형태로 보여주는 것은 쉽습니다. 우리는 문제의 일반적인 측면을 손상시키지 않을 것이라고 생각하는 구체적이고 일반적인 예를 직접 살펴볼 것입니다.

실시예 10.시스템은 무엇을 위해 a와 b를 수행합니까?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

시스템의 부등식은 경계가 있는 반평면을 정의합니다. ~에= 2배– 1(그림 10). 결과 시스템에 직선이 있으면 솔루션이 있음을 쉽게 알 수 있습니다. 아 += 5로반평면의 경계와 교차하거나 이에 평행하여 반평면에 위치 ~에– 2배 + 1 < 0.

사건부터 시작해보자 비 = 0. 그렇다면 방정식은 다음과 같습니다. 오+ =에 의해 5는 분명히 선과 교차하는 수직선을 정의합니다. 와이 = 2엑스 - 1. 그러나 이 설명은 ..gif" width="43" height="20 src="> 시스템에 솔루션 ..gif" width="99" height="48">이 있는 경우에만 해당됩니다. 이 경우 선의 교차 조건은 , 즉 ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> 및 , 또는 및 에서 달성됩니다. 또는 https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

- B 좌표평면 xOa 함수를 플로팅합니다.

− 직선을 고려하고 이 직선이 다음 조건을 충족하는 Oa 축의 간격을 선택합니다. a) https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 함수의 그래프와 교차하지 않습니다. .gif" width="69" height ="24"> 한 지점에서, c) 두 지점에서, d) 세 지점에서 등등.

− x 값을 찾는 것이 작업인 경우, 발견된 a 값의 각 간격에 대해 x를 a로 개별적으로 표현합니다.

매개변수를 동일한 변수로 보는 방식은 그래픽 방식에 반영됩니다..jpg" width="242" height="182">

답변. a = 0 또는 a = 1입니다.

결론

분석된 문제가 제안된 방법의 효율성을 설득력 있게 입증할 수 있기를 바랍니다. 그러나 안타깝게도 이러한 방법의 적용 범위는 그래픽 이미지를 구성할 때 발생할 수 있는 어려움으로 인해 제한됩니다. 정말 그렇게 나쁜가요? 분명히 그렇지 않습니다. 실제로 이 접근 방식을 사용하면 미니어처 연구 모델로서 매개 변수 문제의 주요 교훈적 가치가 크게 손실됩니다. 그러나 위의 고려 사항은 교사에게 적용되며 지원자에게는 공식이 상당히 수용 가능합니다. 목적이 수단을 정당화합니다. 더욱이, 상당수의 대학에서 매개변수와 관련된 경쟁 문제를 편집하는 사람들은 그림에서 조건까지의 경로를 따른다고 자유롭게 말할 수 있습니다.

이 문제에서는 방정식이나 부등식의 왼쪽과 오른쪽에 포함된 함수 그래프를 종이에 그릴 때 우리에게 열리는 매개변수로 문제를 해결할 수 있는 가능성에 대해 논의했습니다. 매개변수가 임의의 값을 취할 수 있기 때문에 표시된 그래프 중 하나 또는 둘 다 평면에서 특정 방식으로 이동합니다. 매개변수의 다양한 값에 따라 전체 그래프 계열이 얻어졌다고 말할 수 있습니다.

두 가지 세부 사항을 강력하게 강조하겠습니다.

첫째, 우리는 "그래픽" 솔루션을 말하는 것이 아닙니다. 모든 값, 좌표, 근은 해당 방정식 및 시스템에 대한 솔루션으로 엄격하고 분석적으로 계산됩니다. 그래프를 터치하거나 교차하는 경우에도 마찬가지입니다. 이는 육안으로 결정되는 것이 아니라 판별자, 파생어 및 기타 도구를 사용하여 결정됩니다. 그림은 해결책을 제시할 뿐입니다.

둘째, 표시된 그래프와 관련된 문제를 해결할 방법을 찾지 못하더라도 문제에 대한 이해가 크게 확장되고 자체 테스트를 위한 정보를 받게 되며 성공 가능성이 크게 높아집니다. 문제가 발생했을 때 무슨 일이 일어나는지 정확하게 상상함으로써 다른 의미매개변수를 사용하면 올바른 솔루션 알고리즘을 찾을 수 있습니다.

그러므로 우리는 긴급한 문장으로 이 말을 마무리하겠습니다. 어려운 일그래프를 그리는 방법을 아는 기능이 있으므로 꼭 해보세요. 후회하지 않을 것입니다.

참고문헌 목록

1. Cherkasov,: 고등학생 및 대학 지원자를 위한 핸드북 [텍스트] /, . – M .: AST-PRESS, 2001. – 576p.

2. Gorshtein, 매개변수 포함 [텍스트]: 3판, 확장 및 개정됨 / , . – M.: Ilexa, Kharkov: 체육관, 1999. – 336 p.

허락하다 에프(x,y)그리고 g(x, y)- 변수가 있는 두 가지 표현식 엑스그리고 ~에및 범위 엑스. 그런 다음 형식의 불평등 f(x, y) > g(x, y)또는 f(x, y) < g(x, y)~라고 불리는 두 변수가 있는 부등식 .

변수의 의미 엑스, 와이많은 사람들로부터 엑스, 불평등이 진정한 수치적 불평등으로 바뀌는 경우, 이를 다음과 같이 부릅니다. 결정 지정되어 있으며 (x, y). 불평등 해결 - 이는 그러한 쌍을 많이 찾는 것을 의미합니다.

각 숫자 쌍의 경우 (x, y)해의 집합에서 부등식까지, 요점을 일치시키세요 M(x, y), 우리는 이 부등식으로 지정된 평면의 점 집합을 얻습니다. 그는 불린다 이 부등식의 그래프 . 부등식의 그래프는 일반적으로 평면 위의 영역입니다.

불평등에 대한 일련의 해결책을 묘사하기 위해 f(x, y) > g(x, y), 다음과 같이 진행하십시오. 먼저, 부등식 기호를 등호로 바꾸고 방정식이 포함된 선을 찾습니다. 에프(x,y) = g(x,y). 이 선은 평면을 여러 부분으로 나눕니다. 이후 각 부분에서 한 점을 취하여 현 시점에서 부등식이 만족되는지 확인하면 충분하다. f(x, y) > g(x, y). 이 시점에서 실행하면 이 시점이 있는 부분 전체에서 실행됩니다. 이러한 부품을 결합하여 우리는 많은 솔루션을 얻습니다.

일. 와이 > 엑스.

해결책.먼저, 부등호를 등호로 대체하고 다음 방정식을 갖는 직교 좌표계에서 선을 구성합니다. 와이 = 엑스.

이 선은 평면을 두 부분으로 나눕니다. 이후 각 부분에서 한 점을 취하여 이 시점에서 부등식을 만족하는지 확인한다. 와이 > 엑스.

일.불평등을 그래픽으로 해결
엑스 2 + ~에 2 £25.

두 개의 부등식을 주자 에프 1(x, y) > g 1(x, y)그리고 에프 2(x, y) > g 2(x, y).

두 개의 변수가 있는 부등식 집합 시스템

불평등 시스템 ~이다 당신 자신 이러한 불평등의 결합. 시스템 솔루션 모든 의미는 (x, y), 이는 각 불평등을 실제 수치적 불평등으로 바꿉니다. 다양한 솔루션 시스템 불평등은 주어진 시스템을 형성하는 불평등에 대한 일련의 솔루션의 교차점입니다.

불평등의 집합 ~이다 당신 자신 이들의 분리 불평등 총체적 해결로 모든 의미는 (x, y), 이는 부등식 세트 중 적어도 하나를 실제 수치 부등식으로 변환합니다. 다양한 솔루션 전체 집합을 형성하는 불평등에 대한 해법 집합의 합집합입니다.

일.불평등 시스템을 그래픽으로 해결

해결책. 와이 = 엑스그리고 엑스 2 + ~에 2 = 25. 우리는 시스템의 각 부등식을 해결합니다.

시스템의 그래프는 첫 번째와 두 번째 부등식에 대한 해 집합의 교차점(이중 해칭)인 평면의 점 집합이 됩니다.

일.일련의 부등식을 그래픽으로 해결

독립적인 작업을 위한 연습

1. 부등식을 그래픽으로 해결합니다. a) ~에> 2엑스; 비) ~에< 2엑스 + 3;

V) 엑스 2+ y 2 > 9; G) 엑스 2+ y 2 £4.

2. 불평등 시스템을 그래픽으로 해결합니다.

가) 나)

10학년 학생 Yuri Kotovchikhin

학생들은 이르면 6학년부터 모듈을 사용하여 방정식을 공부하기 시작합니다. 하위 모듈 식의 상수 부호 간격에 대한 모듈 확장을 사용하는 표준 솔루션 방법을 배웁니다. 제가 이 특정 주제를 선택한 이유는 모듈의 문제가 학생들에게 큰 어려움을 야기하기 때문에 더 깊이 있고 철저한 연구가 필요하다고 믿기 때문입니다. 안에 학교 커리큘럼시험에는 모듈이 포함된 작업이 복잡해지기 때문에 이러한 작업에 직면할 준비가 되어 있어야 합니다.

다운로드:

시사:

시립 교육 기관

평균 종합 학교 №5

주제에 대한 연구 작업:

« 모듈러스를 포함하는 방정식 및 부등식의 대수적 및 그래픽 솔루션»

나는 작업을 완료했습니다:

10학년 학생

코토브치킨 유리

감독자:

수학 교사

샨타 N.P.

우류핀스크

1.소개.................................................................................3

2. 개념과 정의................................................................5

3. 정리의 증명................................................................................6

4. 모듈이 포함된 방정식을 푸는 방법................................7

4.1 숫자 a와 b, 해당 모듈과 사각형 사이의 종속성을 이용한 해법 ..............................................................................................12

4.2.방정식을 풀기 위해 모듈의 기하학적 해석을 사용...........................................................................................14

4.3.절대값의 부호를 포함하는 가장 간단한 함수의 그래프.

………………………………………………………………………15

4.4.모듈이 포함된 비표준 방정식 풀기....16

5. 결론..........................................................................17

6. 참고문헌 목록.......................................................18

작업 목적: 학생들은 6학년부터 모듈을 사용하여 방정식을 공부하기 시작합니다. 하위 모듈 표현식의 상수 부호 간격에 대한 모듈 확장을 사용하는 표준 솔루션 방법을 배웁니다. 제가 이 특정 주제를 선택한 이유는 모듈의 문제가 학생들에게 큰 어려움을 야기하기 때문에 더 깊이 있고 철저한 연구가 필요하다고 믿기 때문입니다. 학교 커리큘럼에는 모듈이 포함된 과제가 있으며 시험에는 복잡성이 증가하는 과제가 있으므로 이러한 과제에 직면할 준비가 되어 있어야 합니다.

1. 소개:

"모듈"이라는 단어는 "측정"을 의미하는 라틴어 "모듈러스"에서 유래되었습니다. 이것은 많은 의미를 가지며 수학뿐만 아니라 건축, 물리학, 기술, 프로그래밍 및 기타 정밀 과학에서도 사용되는 다의미적 단어(동음이의어)입니다.

아키텍처에서 이는 특정 항목에 대해 설정된 초기 측정 단위입니다. 건축 구조그리고 그 구성 요소들의 다양한 비율을 표현하는 역할을 합니다.

기술에서는 기술의 여러 분야에서 사용되는 용어로 보편적인 의미는 없으며 결합계수(engagement modulus), 탄성계수(elastic modulus) 등 다양한 계수와 양을 지정하는 역할을 한다.

벌크 모듈러스(물리학)는 재료의 수직 응력과 상대 신장률의 비율입니다.

2. 개념과 정의

실수 A의 계수(절대값)는 |A|로 표시됩니다.

이 주제를 깊이 연구하려면 필요한 가장 간단한 정의를 알아야 합니다.

방정식은 변수를 포함하는 등식입니다.

모듈러스가 있는 방정식은 절대값 기호(모듈러스 기호 아래) 아래에 변수를 포함하는 방정식입니다.

방정식을 푼다는 것은 방정식의 근을 모두 찾거나 근이 없음을 증명하는 것을 의미합니다.

3.정리의 증명

정리 1. 절대값실수의 는 두 숫자 a 또는 -a 중 더 큰 숫자와 같습니다.

증거

1. 숫자 a가 양수이면 -a는 음수입니다. 즉, -a

예를 들어 숫자 5는 양수, -5는 음수, -5는

이 경우에는 |a| =a, 즉 |a| 두 숫자 a와 - a 중 더 큰 숫자와 일치합니다.

2. a가 음수이면 -a는 양수이고 a는

결과. |-a| = |아|.

사실, 와 는 둘 다 숫자 -a와 a 중 더 큰 숫자와 같습니다. 이는 서로 같다는 것을 의미합니다.

정리 2. 실수 a의 절대값은 산술과 같습니다. 제곱근 A에서 2 .

실제로 숫자의 모듈러스 정의에 따라 lАl>0이 됩니다. 반면에 A>0의 경우 |a| = √A 2

만약 2

이 정리를 사용하면 일부 문제를 해결할 때 |a|를 대체할 수 있습니다. ~에

기하학적으로 |a| 숫자 a를 나타내는 점에서 원점까지의 좌표선 상의 거리를 의미합니다.

그렇다면 좌표선에 0에서 등거리에 있는 두 점 a와 -a가 있으며 그 모듈은 동일합니다.

a = 0이면 좌표선 |a| 점 0으로 표시

4. 계수가 포함된 방정식을 푸는 방법.

절대값의 부호가 포함된 방정식을 풀기 위해 숫자의 모듈러스 정의와 숫자의 절대값 속성에 의존합니다. 우리는 몇 가지 예를 해결할 것입니다 다른 방법들모듈러스가 포함된 방정식을 푸는 데 어떤 방법이 더 쉬운지 살펴보겠습니다.

예 1. 방정식 |x + 2|를 분석적이고 그래픽적으로 풀어보겠습니다. = 1.

해결책

분석 솔루션

첫 번째 방법

모듈의 정의를 기반으로 추론해 보겠습니다. 모듈러스 아래의 표현식이 음수가 아닌 경우(예: x + 2 ≥0), 모듈러스 기호 아래에서 더하기 기호가 표시되고 방정식은 x + 2 = 1 형식을 취합니다. 모듈러스 기호 아래의 표현식 값이 음수이면 정의에 따라 다음과 같습니다. 또는 x + 2=-1

따라서 x + 2 = 1 또는 x + 2 = -1을 얻습니다. 결과 방정식을 풀면 다음을 알 수 있습니다. X+2=1 또는 X+2+-1

X=-1 X=3

답: -3;-1.

이제 우리는 결론을 내릴 수 있습니다. 어떤 표현식의 모듈러스가 양의 실수 a와 같으면 모듈러스 아래의 표현식은 a 또는 -a입니다.

그래픽 솔루션

모듈이 포함된 방정식을 푸는 방법 중 하나는 그래픽 방법입니다. 이 방법의 핵심은 이러한 함수의 그래프를 작성하는 것입니다. 그래프가 교차하는 경우 이 그래프의 교차점이 방정식의 근이 됩니다. 그래프가 교차하지 않으면 방정식에 근이 없다고 결론을 내릴 수 있습니다. 이 방법은 모듈러스가 포함된 방정식을 풀 때 다른 방법보다 덜 자주 사용됩니다. 왜냐하면 첫째, 시간이 많이 걸리고 항상 합리적인 것은 아니며, 둘째, 그래프를 그릴 때 얻은 결과가 항상 정확하지는 않기 때문입니다.

모듈러스가 포함된 방정식을 푸는 또 다른 방법은 수직선을 간격으로 분할하는 것입니다. 이 경우 모듈러스의 정의에 따라 이러한 간격의 절대값 부호를 제거할 수 있도록 수직선을 분할해야 합니다. 그런 다음 각 구간에 대해 이 방정식을 풀고 결과 근에 대한 결론을 도출해야 합니다(구간을 만족하는지 여부). 격차를 해소하는 뿌리가 최종 답을 줄 것입니다.

두 번째 방법

모듈이 0과 같은 x 값을 설정해 보겠습니다. |X+2|=0 , X=2

우리는 방정식을 푸는 두 개의 간격을 얻습니다.

우리는 두 가지 혼합 시스템을 얻습니다.

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

각 시스템을 해결해 보겠습니다.

X=-3 X=-1

답: -3;-1.

그래픽 솔루션

y= |X+2|, y= 1.

그래픽 솔루션

방정식을 그래픽으로 풀려면 함수 그래프를 작성하고

함수 그래프를 작성하려면 함수 그래프를 작성해 보겠습니다. 이는 OX 축과 OY 축을 점에서 교차하는 함수입니다.

함수 그래프의 교차점의 가로좌표는 방정식에 대한 해를 제공합니다.

함수 y=1의 직선 그래프가 함수 y=|x + 2|의 그래프와 교차합니다. 좌표가 (-3; 1) 및 (-1; 1)인 점에서 방정식의 해는 점의 가로좌표가 됩니다.

x=-3, x=-1

답: -3;-1

예 2. 방정식 1 + |x|를 분석적이고 그래픽적으로 풀어보세요. = 0.5.

해결책:

분석 솔루션

방정식을 변형해 보겠습니다. 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

정의에 따라 모듈러스는 항상 음수가 아니기 때문에 이 경우 방정식에는 해가 없다는 것이 분명합니다.

답변: 해결책이 없습니다.

그래픽 솔루션

방정식을 변형해 보겠습니다: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

함수의 그래프는 광선(첫 번째 및 두 번째 좌표 각도의 이등분선)입니다. 함수의 그래프는 OX축에 평행하고 OY축의 -0.5점을 통과하는 직선입니다.

그래프가 교차하지 않습니다. 이는 방정식에 해가 없음을 의미합니다.

답변: 해결책이 없습니다.

예 3. 방정식 |-x + 2|를 분석적이고 그래픽적으로 풀어보세요. = 2x + 1.

해결책:

분석 솔루션

첫 번째 방법

먼저 변수에 허용되는 값의 범위를 설정해야 합니다. 자연스러운 질문이 생깁니다. 이전 예에서는 왜 이렇게 할 필요가 없었는데 지금은 그렇게 되었습니까?

사실 이 예에서 방정식의 왼쪽에는 일부 표현식의 계수가 있고 오른쪽에는 숫자가 아니라 변수가 있는 표현식이 있습니다. 구별되는 중요한 상황입니다. 이 예이전 것에서.

왼쪽에는 모듈러스가 있고 오른쪽에는 변수를 포함하는 표현식이 있으므로 이 표현식은 음수가 아니어야 합니다. 즉, 유효한 범위는

모듈러스 값

이제 우리는 예제 1과 같은 방식으로 추론할 수 있습니다. 정수. 우리는 두 가지 혼합 시스템을 얻습니다.

(1) -X+2≥0 및 (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

각 시스템을 해결해 보겠습니다.

(1)은 구간에 포함되며 방정식의 근입니다.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3은 구간에 포함되지 않으며 방정식의 근이 아닙니다.

답: ⅓.

4.1 숫자 a와 b, 해당 모듈 및 이 숫자의 제곱 사이의 종속성을 사용하는 솔루션.

위에 제시한 방법 외에도 숫자와 주어진 숫자의 모듈 사이뿐만 아니라 사각형과 주어진 숫자의 모듈 사이에도 일정한 동등성이 있습니다.

|a|=|b| a=b 또는 a=-b

A2=b2 a=b 또는 a=-b

여기에서 우리는 차례로 다음을 얻습니다.

|a|=|b| a 2 =b 2

예 4. 방정식 |x + 1|=|2x - 5| 풀기 두 가지 다른 방법으로.

1. 관계식 (1)을 고려하여 다음을 얻습니다.

X + 1=2x - 5 또는 x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

첫 번째 방정식의 근 x=6, 두 번째 방정식의 근 x=11/3

따라서 원래 방정식 x의 근은 1 =6, x 2 =11/3

2. 관계식 (2)를 통해 우리는 다음을 얻습니다.

(x + 1)2=(2x - 5)2, 또는 x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>방정식에는 2개의 서로 다른 근이 있습니다.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

해법에서 알 수 있듯이 이 방정식의 근은 숫자 11/3과 6이기도 합니다.

답: x 1 =6, x 2 =11/3

예 5. 방정식 풀기 (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

관계식 (2)를 고려하면 |2x + 3|=|x - 1|을 얻습니다. 이로부터 이전 예의 예에 따라(그리고 관계식 (1)에 따라):

2x + 3=x - 1 또는 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

따라서 방정식의 근은 x1 = -4, x2 = -0입니다. (6)

답: x1=-4, x2 =0,(6)

예 6. 방정식 |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

관계를 사용하여 다음을 얻습니다.

x - 6=x2 - 5x + 9 또는 x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 r.k.

==> 뿌리가 없습니다.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

확인: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(나)

답: x 1 =1; x 2 =3

4.2.방정식을 풀기 위해 모듈의 기하학적 해석을 사용합니다.

양 사이의 차이 계수의 기하학적 의미는 양 사이의 거리입니다. 예를 들어, |x - a |라는 표현의 기하학적 의미는 다음과 같습니다. - 세그먼트의 길이 좌표축, 점을 가로좌표 a와 x로 연결합니다. 대수 문제를 기하학적 언어로 번역하면 번거로운 해결책을 피할 수 있는 경우가 많습니다.

실시예 7. 방정식 |x - 1|을 풀어봅시다. + |x - 2|=1 계수의 기하학적 해석을 사용합니다.

우리는 다음과 같이 추론할 것입니다: 모듈의 기하학적 해석을 기반으로, 왼쪽방정식은 특정 가로좌표 점 x에서 가로좌표 1과 2가 있는 두 고정점까지의 거리의 합입니다. 그러면 선분의 가로좌표가 있는 모든 점에 필요한 속성이 있지만 이 선분 외부에 있는 점은 그렇지 않다는 것이 분명합니다. 따라서 답은 다음과 같습니다. 방정식에 대한 해의 집합은 세그먼트입니다.

답변:

실시예8. 방정식 |x - 1|을 풀어봅시다. - |x - 2|=1 1 모듈러스의 기하학적 해석을 사용합니다.

이전 예와 비슷하게 추론하고 가로 좌표 1과 2가 있는 점까지의 거리 차이는 숫자 2의 오른쪽에 있는 좌표축에 위치한 점에 대해서만 1과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이 방정식은 점 1과 2 사이에 포함된 세그먼트가 아니며 점 2에서 나와 OX 축의 양의 방향으로 향하는 광선이 아닙니다.

답변: )