Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke. U članku" " Obećao sam vam da ću pogledati drugi način rješavanja prikazanih problema nalaženja derivacije, s obzirom na graf funkcije i tangentu na ovaj graf. O ovoj metodi ćemo raspravljati u , Ne propustite! Zašto u sljedećem?

Činjenica je da će se tamo koristiti formula za jednadžbu ravne linije. Naravno, mogli bismo jednostavno pokazati ovu formulu i savjetovati vam da je naučite. Ali bolje je objasniti odakle dolazi (kako je izvedeno). Potrebno je! Ako ga zaboravite, možete ga brzo vratitineće biti teško. Sve je detaljno opisano u nastavku. Dakle, imamo koordinatna ravnina postoje dvije točke A(x 1; y 1) i B(x 2; y 2), kroz navedene točke povučena je ravna linija:

Evo same izravne formule:

*Odnosno, zamjenom određenih koordinata točaka dobivamo jednadžbu oblika y=kx+b.

**Ako jednostavno "napametite" ovu formulu, postoji velika vjerojatnost da ćete se zbuniti s indeksima kada x. Osim toga, indeksi se mogu označiti na različite načine, na primjer:

Zato je važno razumjeti značenje.

Sada izvođenje ove formule. Sve je vrlo jednostavno!

Trokuti ABE i ACF slični su po šiljastom kutu (prvi znak sličnosti pravokutni trokuti). Iz ovoga slijedi da su omjeri odgovarajućih elemenata jednaki, tj.

Sada te segmente jednostavno izrazimo kroz razliku u koordinatama točaka:

Naravno, neće biti pogreške ako napišete odnose elemenata drugačijim redoslijedom (glavno je održati dosljednost):

Rezultat će biti ista jednadžba pravca. Ovo je sve!

To jest, bez obzira kako su same točke (i njihove koordinate) označene, razumijevanjem ove formule uvijek ćete pronaći jednadžbu ravne linije.

Formula se može izvesti pomoću svojstava vektora, ali će princip izvođenja biti isti, budući da ćemo govoriti o proporcionalnosti njihovih koordinata. U ovom slučaju radi ista sličnost pravokutnih trokuta. Po mom mišljenju, gore opisani zaključak je jasniji)).

Pregledajte izlaz preko vektorskih koordinata >>>

Neka je na koordinatnoj ravnini konstruirana pravac koja prolazi kroz dvije zadane točke A(x 1;y 1) i B(x 2;y 2). Označimo proizvoljnu točku C na pravcu s koordinatama ( x; g). Također označavamo dva vektora:

Poznato je da su za vektore koji leže na paralelnim pravcima (ili na istom pravcu) odgovarajuće koordinate proporcionalne, tj.

— zapisujemo jednakost omjera odgovarajućih koordinata:

Pogledajmo primjer:

Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije točke s koordinatama (2;5) i (7:3).

Ne morate čak ni izgraditi samu ravnu liniju. Primjenjujemo formulu:

Važno je da shvatite korespondenciju prilikom sastavljanja omjera. Ne možete pogriješiti ako napišete:

Odgovor: y=-2/5x+29/5 idi y=-0,4x+5,8

Kako biste bili sigurni da je dobivena jednadžba točna, svakako provjerite - zamijenite koordinate podataka u uvjetima točaka u nju. Jednadžbe bi trebale biti točne.

To je sve. Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander.

P.S: Bio bih vam zahvalan ako biste mi rekli nešto o stranici na društvenim mrežama.

Neka se daju dvije točke M 1 (x 1,y 1) I M 2 (x 2, y 2). Napišimo jednadžbu pravca u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:

Od točke M 2 pripada zadanoj liniji, tada njegove koordinate zadovoljavaju jednadžbu (5): . Izražavanjem odavde i zamjenom u jednadžbu (5), dobivamo traženu jednadžbu:

Ako ova se jednadžba može prepisati u obliku koji je prikladniji za pamćenje:

(6)

Primjer. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)

Riješenje. . Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobivamo opća jednadžba ravno:

Kut između dviju ravnih linija

Razmotrimo dvije ravne linije l 1 I l 2:

l 1: , , i

l 2: , ,

φ je kut između njih (). Iz slike 4 jasno je: .

Odavde , ili

Pomoću formule (7) možete odrediti jedan od kutova između ravnih linija. Drugi kut je jednak .

Primjer. Dvije ravne crte dane su jednadžbama y=2x+3 i y=-3x+2. nađite kut između ovih pravaca.

Riješenje. Iz jednadžbi je jasno da je k 1 =2, a k 2 =-3. Zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7), nalazimo

. Dakle, kut između ovih linija je jednak.

Uvjeti paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija

Ako je ravno l 1 I l 2 paralelni su, dakle φ=0 I tgφ=0. iz formule (7) slijedi da je , odakle k 2 =k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dvaju pravaca je jednakost njihovih kutnih koeficijenata.

Ako je ravno l 1 I l 2 okomiti su, dakle φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Dakle, uvjet za okomitost dviju ravnih linija je da su njihovi kutni koeficijenti inverzne veličine i suprotnog predznaka.

Udaljenost od točke do linije

Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do pravca Ax + Bu + C = 0 određuje kao

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadanu ravnicu. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći rješavanjem sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz ovu točku M 0 je okomit na zadanu ravnu liniju.

Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Primjer. Pokažite da su pravci 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomiti.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nađite jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Nalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k= . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njegove koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.

Udaljenost od točke do pravca određena je duljinom okomice povučene iz točke na pravac.

Ako je pravac paralelan s ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od točke A na ravnu liniju h potrebno je spustiti okomicu s točke A na horizontalu h.

Razmotrimo složeniji primjer, kada ravna linija traje opći položaj. Neka je potrebno odrediti udaljenost od točke M na ravnu liniju A opći položaj.

Zadatak utvrđivanja udaljenosti između paralelnih pravaca rješava se slično kao i prethodni. Na jednom pravcu se uzme točka i s nje se spusti okomica na drugi pravac. Duljina okomice jednaka je udaljenosti između usporednih pravaca.

Krivulja drugog reda je pravac definiran jednadžbom drugog stupnja u odnosu na trenutne kartezijeve koordinate. U opći slučaj Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey +F = 0,

gdje su A, B, C, D, E, F realni brojevi i barem jedan od brojeva A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Krug

Središte kruga– to je geometrijsko mjesto točaka u ravnini jednako udaljenih od točke u ravnini C(a,b).

Krug je dan sljedećom jednadžbom:

Gdje su x,y koordinate proizvoljne točke na krugu, R je polumjer kruga.

Predznak jednadžbe kruga

1. Nedostaje član s x, y

2. Koeficijenti za x 2 i y 2 su jednaki

Elipsa

Elipsa naziva se geometrijsko mjesto točaka u ravnini, od kojih se zbroj udaljenosti svake od dviju zadanih točaka ove ravnine naziva žarištima (stalna vrijednost).

Kanonska jednadžba elipse:

X i y pripadaju elipsi.

a – velika poluos elipse

b – mala poluos elipse

Elipsa ima 2 osi simetrije OX i OU. Osi simetrije elipse su njene osi, a točka njihovog sjecišta je središte elipse. Os na kojoj se nalaze žarišta naziva se žarišna os. Sjecište elipse s osima je vrh elipse.

Omjer kompresije (napetosti): ε = s/a– ekscentričnost (karakterizira oblik elipse), što je manja, to je elipsa manje izvučena duž žarišne osi.

Ako središta elipse nisu u središtu C(α, β)

Hiperbola

Hiperbola naziva se geometrijsko mjesto točaka u ravnini, apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima, od kojih je svaka od dvije zadane točke ove ravnine, zvane žarišta, konstantna vrijednost različita od nule.

Jednadžba kanonske hiperbole

Hiperbola ima 2 osi simetrije:

a – realna poluos simetrije

b – zamišljena poluos simetrije

Asimptote hiperbole:

Parabola

Parabola je geometrijsko mjesto točaka u ravnini jednako udaljenih od zadane točke F, koja se naziva žarište, i zadanog pravca, koji se naziva direktrisa.

Kanonska jednadžba parabole:

U 2 =2rh, gdje je r udaljenost od fokusa do direktrise (parabole parabole)

Ako je vrh parabole C (α, β), tada je jednadžba parabole (y-β) 2 = 2r(x-α)

Ako se žarišna os uzme kao ordinatna os, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 =2qu

Neka pravac prolazi kroz točke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba pravca koja prolazi točkom M 1 ima oblik y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Gdje k - još nepoznati koeficijent.

Budući da pravac prolazi točkom M 2 (x 2 y 2), koordinate te točke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednadžbu (10.6), dobivamo jednadžbu pravca koji prolazi točkama M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 = x 2, tada je pravac koji prolazi kroz točke M 1 (x 1,y I) i M 2 (x 2,y 2) paralelan s osi ordinata. Njegova jednadžba je x = x 1 .

Ako je y 2 = y I, tada se jednadžba pravca može napisati kao y = y 1, pravac M 1 M 2 je paralelan s osi apscisa.

Jednadžba pravca u segmentima

Neka pravac siječe os Ox u točki M 1 (a;0), a os Oy u točki M 2 (0;b). Jednadžba će imati oblik:
oni.
. Ova se jednadžba zove jednadžba pravca u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente pravac odsijeca na koordinatnim osima.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor

Nađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku Mo (x O; y o) okomito na zadani vektor n = (A; B).

Uzmimo proizvoljnu točku M(x; y) na pravcu i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Budući da su vektori n i M o M okomiti, njihov je skalarni produkt jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednadžba (10.8) naziva se jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor .

Vektor n= (A; B), okomit na pravac, nazivamo normalom vektor normale ove linije .

Jednadžba (10.8) može se prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni član. Jednadžba (10.9) je opća jednadžba pravca(vidi sliku 2).

sl.1 sl.2

Kanonske jednadžbe pravca

,

Gdje
- koordinate točke kroz koju pravac prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od dane točke, koja se naziva središtem.

Kanonska jednadžba kruga radijusa R centriran u točki
:

Konkretno, ako se središte udjela podudara s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup točaka na ravnini, zbroj udaljenosti od svake od njih do dvije zadane točke I , koji se nazivaju žarišta, konstantna je veličina
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čiji fokusi leže na Ox osi, a ishodište koordinata u sredini između fokusa ima oblik
G de a duljina polu-velike osi; b – duljina male poluosi (slika 2).

Svojstva pravca u euklidskoj geometriji.

Kroz bilo koju točku može se povući beskonačan broj ravnih linija.

Kroz bilo koje dvije točke koje se ne podudaraju može se povući jedna ravna crta.

Dvije divergentne linije u ravnini se sijeku u jednoj točki ili se

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dviju linija:

• linije se sijeku;

• linije su paralelne;

• ravne linije se sijeku.

Ravno crta— algebarska krivulja prvog reda: ravna crta u Kartezijevom koordinatnom sustavu

dana je na ravnini jednadžbom prvog stupnja (linearna jednadžba).

Opća jednadžba pravca.

Definicija. Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nisu u isto vrijeme jednaki nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se Općenito

jednadžba ravne linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I S Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ravna linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ravna linija paralelna s osi Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna linija paralelna s osi OU

. B = C = 0, A ≠0- ravna linija se poklapa s osi OU

. A = C = 0, B ≠0- ravna linija se poklapa s osi Oh

Jednadžba ravne linije može se prikazati u u raznim oblicima ovisno o bilo kojoj danosti

početni uvjeti.

Jednadžba pravca iz točke i normalnog vektora.

Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B)

okomito na pravac zadan jednadžbom

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Pronađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Riješenje. Uz A = 3 i B = -1, sastavimo jednadžbu ravne linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C

Zamijenimo u dobiveni izraz koordinate zadane točke A. Dobivamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednadžba: 3x - y - 1 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.

Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Zatim jednadžba pravca,

prolazeći kroz ove točke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu. Na

ravnine, gore napisana jednadžba ravne linije je pojednostavljena:

Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .

Frakcija = k nazvao nagib ravno.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1, 2) i B(3, 4).

Riješenje. Primjenom gore napisane formule dobivamo:

Jednadžba pravca pomoću točke i nagiba.

Ako je opća jednadžba pravca Ax + Wu + C = 0 dovesti do:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednadžba naziva

jednadžba pravca s nagibom k.

Jednadžba pravca iz točke i vektora smjera.

Analogno s točkom koja razmatra jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti zadatak

pravac kroz točku i smjerni vektor pravca.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uvjet

Aα 1 + Bα 2 = 0 nazvao vektor usmjeravanja pravca.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) koji prolazi točkom A(1, 2).

Riješenje. Jednadžbu željenog pravca tražit ćemo u obliku: Ax + By + C = 0. Prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

na x = 1, y = 2 dobivamo C/A = -3, tj. potrebna jednadžba:

x + y - 3 = 0

Jednadžba pravca u segmentima.

Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Vu + S = 0 S≠0, tada, dijeljenjem s -S, dobivamo:

ili gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata presječne točke

ravno s osi Oh, A b- koordinata sjecišta pravca s osi OU.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x - y + 1 = 0. Pronađite jednadžbu ovog pravca u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba pravca.

Ako obje strane jednadžbe Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

faktor normalizacije, onda dobivamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednadžba pravca.

Predznak ± normalizirajućeg faktora mora biti odabran tako da μ*C< 0.

R- duljina okomice spuštene iz ishodišta na ravnu crtu,

A φ - kut koji čini ova okomica s pozitivnim smjerom osi Oh.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca 12x - 5y - 65 = 0. Obavezan za pisanje Različite vrste jednadžbe

ovu ravnu liniju.

Jednadžba ovog pravca u segmentima:

Jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)

Jednadžba pravca:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije,

paralelno s osi ili prolazeći kroz ishodište.

Kut između ravnih linija u ravnini.

Definicija. Ako su zadane dvije crte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, To oštar kut između ovih redaka

definirat će se kao

Dva pravca su paralelna ako k 1 = k 2. Dvije linije su okomite

Ako k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelno kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 = λB. Ako također S 1 = λS, onda se linije podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju linija

nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi ovih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac.

Definicija. Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) a okomito na pravac y = kx + b

predstavljena jednadžbom:

Udaljenost od točke do pravca.

Teorema. Ako se da bod M(x 0, y 0), zatim udaljenost do pravca Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Neka točka M 1 (x 1, y 1)- osnovica okomice spuštene s točke M za dano

direktno. Zatim udaljenost između točaka M I M 1:

(1)

Koordinate x 1 I u 1 može se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M 0 okomito

dana ravna linija. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.