I kako se razlikuje od kruga? Uzmite olovku ili boje i nacrtajte pravilan krug na komadu papira. Obojite cijelu sredinu dobivene figure plavom olovkom. Crveni obris koji označava granice oblika je krug. Ali plavi sadržaj unutar njega je krug.

Dimenzije kružnice i kruga određene su promjerom. Na crvenoj liniji koja označava krug označite dvije točke tako da budu zrcalne slike jedna druge. Spojite ih linijom. Segment će sigurno prolaziti kroz točku u središtu kruga. Taj segment koji spaja suprotne dijelove kruga u geometriji se naziva promjer.

Segment koji se ne proteže kroz središte kruga, već mu se spaja na suprotnim krajevima, naziva se tetiva. Prema tome, tetiva koja prolazi kroz središte kruga je njegov promjer.

Promjer je naznačen latinično pismo D. Možete pronaći promjer kruga pomoću vrijednosti kao što su površina, duljina i polumjer kruga.

Udaljenost od središnja točka na točku ucrtanu na kružnicu naziva se polumjer i označava se slovom R. Poznavanje vrijednosti polumjera pomaže izračunati promjer kružnice u jednom jednostavnom koraku:

Na primjer, radijus je 7 cm. Pomnožimo 7 cm sa 2 i dobijemo vrijednost jednaku 14 cm. Odgovor: D date figure je 14 cm.

Ponekad morate odrediti promjer kruga samo prema njegovoj duljini. Ovdje je potrebno primijeniti posebnu formulu za pomoć u određivanju Formule L = 2 Pi * R, gdje je 2 stalna vrijednost (konstanta), a Pi = 3,14. A budući da je poznato da je R = D * 2, formula se može prikazati na drugi način

Ovaj izraz je također primjenjiv kao formula za promjer kruga. Zamjenom poznatih veličina u zadatku rješavamo jednadžbu s jednom nepoznanicom. Recimo da je duljina 7 m. Prema tome:

Odgovor: promjer je 21,98 metara.

Ako je površina poznata, tada se može odrediti i promjer kruga. Formula koja se koristi u u ovom slučaju, izgleda ovako:

D = 2 * (S / Pi) * (1 / 2)

S - u ovom slučaju Recimo da je u problemu jednako 30 četvornih metara. m. Dobivamo:

D = 2 * (30 / 3, 14) * (1 / 2) D = 9, 55414

Kada je vrijednost navedena u zadatku jednaka volumenu (V) lopte, koristi se sljedeća formula za pronalaženje promjera: D = (6 V / Pi) * 1 / 3.

Ponekad morate pronaći promjer kruga upisanog u trokut. Da biste to učinili, upotrijebite formulu za pronalaženje polumjera prikazane kružnice:

R = S/p (S je površina zadanog trokuta, a p je opseg podijeljen s 2).

Dobiveni rezultat udvostručujemo, uzimajući u obzir da je D = 2 * R.

Često morate pronaći promjer kruga u svakodnevnom životu. Na primjer, kada se određuje što je ekvivalentno njegovom promjeru. Da biste to učinili, morate omotati prst potencijalnog vlasnika prstena koncem. Označite dodirne točke dvaju krajeva. Izmjerite duljinu od točke do točke pomoću ravnala. Dobivenu vrijednost množimo s 3,14, prema formuli za određivanje promjera s poznatom duljinom. Dakle, izjava da znanje geometrije i algebre nije korisno u životu nije uvijek istinita. I to je ozbiljan razlog za odgovornije pristupanje školskim predmetima.

1. Teže ih je pronaći opseg kroz promjer, pa pogledajmo prvo ovu opciju.

Primjer: Odredi opseg kruga čiji je promjer 6 cm. Koristimo gornju formulu za opseg kruga, ali prvo moramo pronaći polumjer. Da bismo to učinili, promjer od 6 cm podijelimo s 2 i dobijemo polumjer kruga od 3 cm.

Nakon toga, sve je krajnje jednostavno: pomnožite broj Pi s 2 i dobivenim radijusom od 3 cm.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. Sada ponovno pogledajmo jednostavnu opciju nađi opseg kruga, polumjer je 5 cm

Rješenje: Pomnožite polumjer od 5 cm s 2 i pomnožite s 3,14. Nemojte se uznemiriti, jer preuređivanje množitelja ne utječe na rezultat, i formula opsega može se koristiti bilo kojim redoslijedom.

5 cm * 2 * 3,14 = 10 cm * 3,14 = 31,4 cm - ovo je pronađeno opseg za polumjer od 5 cm!

Online kalkulator opsega

Naš kalkulator opsega izvršit će sve ove jednostavne izračune odmah i napisati rješenje u retku i s komentarima. Opseg ćemo izračunati za radijus od 3, 5, 6, 8 ili 1 cm, ili za promjer 4, 10, 15, 20 dm; našem kalkulatoru nije važno za koju vrijednost radijusa treba pronaći opseg.

Svi izračuni bit će točni, testirani od strane matematičara specijalista. Rezultati se mogu koristiti u rješavanju školskih zadataka iz geometrije ili matematike, kao iu radnim proračunima u građevinarstvu ili u popravcima i uređenju prostorija, kada su potrebni točni proračuni pomoću ove formule.

upute

Najprije su vam potrebni početni podaci za zadatak. Činjenica je da njegovo stanje ne može eksplicitno reći koliki je radijus krug. Umjesto toga, problem može dati duljina promjera krug. Promjer krug- segment koji povezuje dvije suprotne točke krug, prolazeći kroz njegovo središte. Nakon što smo analizirali definicije krug, možemo reći da je duljina promjera dvostruko veća od duljine polumjera.

Sada možemo prihvatiti radijus krug jednaka R. Zatim za duljinu krug morate koristiti formulu:
L = 2πR = πD, gdje je L duljina krug, D - promjer krug, što je uvijek 2 puta polumjer.

Bilješka

Kružnica se može upisati u poligon ili opisati oko njega. Štoviše, ako je krug upisan, tada će ih na mjestima kontakta sa stranama poligona podijeliti na pola. Da biste saznali radijus upisanog kruga, morate podijeliti površinu poligona na pola njegovog perimetra:
R = S/p.
Ako je krug opisan oko trokuta, tada se njegov polumjer nalazi pomoću sljedeće formule:
R = a*b*c/4S, gdje su a, b, c stranice zadanog trokuta, S je površina trokuta oko kojeg je krug opisan.
Ako želite opisati krug oko četverokuta, to možete učiniti ako su ispunjena dva uvjeta:
Četverokut mora biti konveksan.
Zbroj nasuprotnih kutova četverokuta treba biti 180°

Koristan savjet

Osim tradicionalnog kalibra, za crtanje kruga mogu se koristiti i šablone. Moderne šablone uključuju krug različitih promjera. Ove se šablone mogu kupiti u bilo kojoj trgovini uredskog materijala.

Izvori:

• Kako pronaći opseg kruga?

Kružnica je zatvorena kriva linija čije su sve točke na jednaka udaljenost iz jedne točke. Ta je točka središte kružnice, a segment između točke na krivulji i njezina središta naziva se polumjer kružnice.

upute

Ako je kroz središte kružnice povučena ravna crta, tada se njezin segment između dviju točaka sjecišta te linije s kružnicom naziva promjer dane kružnice. Pola promjera, od središta do točke gdje promjer siječe krug je radijus
krugovi. Ako se kružnica izreže u proizvoljnoj točki, izravna i izmjeri, tada je dobivena vrijednost duljina dane kružnice.

Nacrtajte nekoliko krugova drugačije rješenje kompas. Vizualna usporedba omogućuje nam zaključak da veći promjer obrisa veći krug, omeđen krugom veće duljine. Prema tome, postoji izravno proporcionalan odnos između promjera kruga i njegove duljine.

U svom fizičkom značenju, parametar "duljina opsega" odgovara omeđenom isprekidanom linijom. Ako u kružnicu upišemo pravilan n-kut sa stranicom b, tada je opseg takve figure P jednak umnošku stranice b s brojem stranica n: P=b*n. Strana b se može odrediti formulom: b=2R*Sin (π/n), gdje je R polumjer kružnice u koju je upisan n-kut.

Kako se broj stranica povećava, opseg upisanog mnogokuta će se sve više približavati L. R= b*n=2n*R*Sin (π/n)=n*D*Sin (π/n). Odnos između opsega L i njegovog promjera D je konstantan. Omjer L/D=n*Sin (π/n) kada broj stranica upisanog mnogokuta teži beskonačnosti teži broju π, konstantnoj vrijednosti koja se naziva "pi" i izražava se kao beskonačno decimal. Za proračune bez upotrebe računalne tehnologije uzima se vrijednost π=3,14. Opseg kruga i njegov promjer povezani su formulom: L= πD. Za krug, njegovu duljinu podijelite s π=3,14.

Često zvuči kao dio ravnine koji je omeđen krugom. Opseg kruga je ravna zatvorena krivulja. Sve točke koje se nalaze na krivulji jednako su udaljene od središta kruga. U krugu su mu duljina i opseg jednaki. Omjer duljine bilo kojeg kruga i njegovog promjera je konstantan i označava se brojem π = 3,1415.

Određivanje opsega kruga

Opseg kruga polumjera r jednak je dvostrukom umnošku polumjera r i broja π(~3,1415)

Formula opsega kruga

Opseg kruga radijusa \(r\):

\[ \LARGE(P) = 2 \cdot \pi \cdot r \]

\[ \LARGE(P) = \pi \cdot d \]

\(P\) – perimetar (opseg).

\(r\) – radijus.

\(d\) – promjer.

Ovo ćemo nazvati krugom geometrijski lik, koji će se sastojati od svih takvih točaka koje su na istoj udaljenosti od bilo koje zadane točke.

Središte kruga nazvat ćemo točku koja je navedena unutar definicije 1.

Polumjer kruga nazvat ćemo udaljenost od središta ove kružnice do bilo koje njezine točke.

U kartezijevom koordinatnom sustavu \(xOy\) također možemo uvesti jednadžbu bilo koje kružnice. Označimo središte kružnice točkom \(X\) , koja će imati koordinate \((x_0,y_0)\) . Neka polumjer te kružnice bude jednak \(τ\) . Uzmimo proizvoljnu točku \(Y\) čije koordinate označavamo sa \((x,y)\) (slika 2).

Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka u našem zadanom koordinatnom sustavu, dobivamo:

\(|XY|=\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) \)

S druge strane, \(|XY| \) je udaljenost od bilo koje točke na kružnici do središta koje smo odabrali. To jest, prema definiciji 3, dobivamo \(|XY|=τ\) , prema tome

\(\sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2)=τ \)

\((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=τ^2 \) (1)

Dakle, dobivamo da je jednadžba (1) jednadžba kružnice u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Opseg (opseg kruga)

Izvest ćemo duljinu proizvoljne kružnice \(C\) koristeći njen polumjer jednak \(τ\) .

Razmotrit ćemo dvije proizvoljne kružnice. Označimo njihove duljine s \(C\) i \(C"\) , čiji su polumjeri jednaki \(τ\) i \(τ"\) . U te kružnice upisat ćemo pravilne \(n\)-kute čiji su opsegi jednaki \(ρ\) i \(ρ"\), duljine stranica jednake \(α\) i \ (α"\), odnosno. Kao što znamo, stranica pravilnog \(n\) kvadrata upisanog u krug jednaka je

\(α=2τsin\frac(180^0)(n) \)

Onda ćemo to dobiti

\(ρ=nα=2nτ\frac(sin180^0)(n) \)

\(ρ"=nα"=2nτ"\frac(sin180^0)(n) \)

\(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2nτsin\frac(180^0)(n))(2nτ"\frac(sin180^0)(n))=\frac(2τ)(2τ" ) \)

Shvaćamo tu relaciju \(\frac(ρ)(ρ")=\frac(2τ)(2τ") \) bit će točna bez obzira na broj stranica upisanih pravilnih mnogokuta. To je

\(\lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(2τ)(2τ") \)

S druge strane, ako beskonačno povećavamo broj stranica upisanih pravilnih mnogokuta (tj. \(n→∞\)), dobivamo jednakost:

\(lim_(n\to\infty)(\frac(ρ)(ρ"))=\frac(C)(C") \)

Iz posljednje dvije jednakosti dobivamo da

\(\frac(C)(C")=\frac(2τ)(2τ") \)

\(\frac(C)(2τ)=\frac(C")(2τ") \)

Vidimo da je omjer opsega kruga i njegovog dvostrukog polumjera uvijek isti broj, bez obzira na izbor kruga i njegovih parametara, tj.

\(\frac(C)(2τ)=const \)

Ovu konstantu treba nazvati brojem "pi" i označiti \(π\). Otprilike, taj broj će biti jednak \(3,14\) (nema točne vrijednosti ovog broja, jer je iracionalan broj). Tako

\(\frac(C)(2τ)=π \)

Konačno, nalazimo da je opseg (opseg kruga) određen formulom

\(C=2πτ\)

Dakle, opseg ( C) može se izračunati množenjem konstante π po promjeru ( D), odnosno množenjem π dvostrukim radijusom, budući da je promjer jednak dvama radijusima. Stoga, formula opsega izgledat će ovako:

C = πD = 2πR

Gdje C- opseg, π - konstantno, D- promjer kruga, R- radijus kruga.

Budući da je krug granica kruga, opseg kruga se također može nazvati duljinom kruga ili opsegom kruga.

Problemi s opsegom

Zadatak 1. Odredi opseg kruga ako je njegov promjer 5 cm.

Budući da je opseg jednak π pomnožena s promjerom, tada će duljina kruga promjera 5 cm biti jednaka:

C≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)

Zadatak 2. Odredi duljinu kruga čiji je polumjer 3,5 m.

Najprije pronađite promjer kruga množenjem duljine polumjera s 2:

D= 3,5 2 = 7 (m)

Nađimo sada opseg množenjem π po promjeru:

C≈ 3,14 7 = 21,98 (m)

Zadatak 3. Odredi polumjer kružnice čija je duljina 7,85 m.

Da biste pronašli polumjer kruga na temelju njegove duljine, trebate podijeliti opseg s 2 π

Površina kruga

Površina kruga jednaka je proizvodu broja π po kvadratnom radijusu. Formula za pronalaženje površine kruga:

S = πr 2

Gdje S je površina kruga, i r- radijus kruga.

Budući da je promjer kruga jednak dvostrukom polumjeru, polumjer je jednak promjeru podijeljenom s 2:

Problemi koji uključuju područje kruga

Zadatak 1. Odredite površinu kruga ako je njegov polumjer 2 cm.

Budući da je površina kruga π pomnožen s kvadratom radijusa, tada će površina kruga s radijusom od 2 cm biti jednaka:

S≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm 2)

Zadatak 2. Odredite površinu kruga ako je njegov promjer 7 cm.

Najprije pronađite polumjer kruga tako da njegov promjer podijelite s 2:

7:2=3,5(cm)

Sada izračunajmo površinu kruga pomoću formule:

S = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm 2)

Ovaj problem se može riješiti na drugi način. Umjesto da prvo pronađete radijus, možete koristiti formulu za pronalaženje površine kruga pomoću promjera:

Zadatak 3. Odredi polumjer kružnice ako je njezina površina 12,56 m2.

Da biste pronašli polumjer kruga iz njegovog područja, morate podijeliti područje kruga π , a zatim izdvojiti iz dobivenog rezultata Korijen:

r = √S : π

stoga će radijus biti jednak:

r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)

Broj π

Opseg predmeta koji nas okružuju može se izmjeriti pomoću mjerne vrpce ili užeta (konca), čija se duljina zatim može zasebno izmjeriti. Ali u nekim slučajevima, mjerenje opsega je teško ili praktički nemoguće, na primjer, unutarnji opseg boce ili jednostavno opseg kruga nacrtanog na papiru. U takvim slučajevima možete izračunati opseg kruga ako znate duljinu njegovog promjera ili polumjera.

Da bismo razumjeli kako se to može učiniti, uzmimo nekoliko okruglih predmeta čiji se opseg i promjer mogu izmjeriti. Izračunajmo omjer duljine i promjera, a kao rezultat dobivamo sljedeći red brojevi:

Iz ovoga možemo zaključiti da je omjer duljine kruga i njegova promjera stalna vrijednost za svaki pojedinačni krug i za sve krugove u cjelini. Ovaj odnos je označen slovom π .

Koristeći ovo znanje, možete koristiti polumjer ili promjer kruga da biste pronašli njegovu duljinu. Na primjer, da biste izračunali duljinu kruga polumjera 3 cm, trebate pomnožiti polumjer s 2 (tako dobivamo promjer), a dobiveni promjer pomnožiti s π . Kao rezultat toga, koristeći broj π Naučili smo da je duljina kružnice polumjera 3 cm 18,84 cm.