Površina bočne površine proizvoljne piramide jednaka je zbroju površina njezinih bočnih stranica. Ima smisla dati posebnu formulu za izražavanje ove površine u slučaju pravilne piramide. Dakle, neka nam je dana pravilna piramida u čijoj osnovi leži pravilan n-kut sa stranicom jednakom a. Neka je h visina bočne strane, koja se također naziva apotema piramide. Površina jedne bočne plohe jednaka je 1/2ah, a cijela bočna ploha piramide ima površinu jednaku n/2ha. Kako je na opseg baze piramide, možemo napisati pronađenu formulu u obliku:

Bočna površina pravilne piramide jednak je umnošku njezina apotema i polovice opsega baze.

O ukupna površina, onda jednostavno dodamo površinu baze bočnoj.

Upisana i opisana kugla i kugla. Treba primijetiti da središte sfere upisane u piramidu leži u sjecištu simetrala unutarnjih diedarskih kutova piramide. Središte sfere opisane u blizini piramide nalazi se u sjecištu ravnina koje prolaze središtima bridova piramide i okomite su na njih.

Krnja piramida. Ako je piramida presječena ravninom paralelnom s bazom, tada se dio između rezne ravnine i baze naziva krnja piramida. Na slici je prikazana piramida; odbacivanjem njenog dijela koji leži iznad rezne ravnine, dobivamo krnju piramidu. Jasno je da je mala odbačena piramida homotetična velikoj piramidi sa središtem homotetije na vrhu. Koeficijent sličnosti jednak je omjeru visina: k=h 2 /h 1, ili bočnih rubova, ili drugih odgovarajućih linearne dimenzije obje piramide. Znamo da su površine sličnih likova međusobno povezane poput kvadrata linearnih dimenzija; pa su površine baza obiju piramida (tj. površina baza krnje piramide) povezane kao

Ovdje je S 1 područje donje baze, a S 2 područje gornje baze krnje piramide. Bočne plohe piramida su u istom odnosu. Slično pravilo postoji i za volumene.

Volumeni sličnih tijela međusobno su povezani kao kocke svojih linearnih dimenzija; na primjer, volumeni piramida povezani su kao umnožak njihovih visina i površine baza, iz čega se odmah dobiva naše pravilo. Posve je općenite naravi i izravno proizlazi iz činjenice da volumen uvijek ima dimenziju treće potencije duljine. Koristeći ovo pravilo, izvodimo formulu koja izražava volumen krnje piramide kroz visinu i površinu baza.

Neka je zadana krnja piramida visine h i baza S 1 i S 2 . Ako zamislimo da se produži na punu piramidu, tada se koeficijent sličnosti između pune piramide i male piramide lako može pronaći kao korijen omjera S 2 /S 1 . Visina krnje piramide izražava se kao h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sada imamo za volumen krnje piramide (V 1 i V 2 označavaju volumen pune i male piramide)

formula za volumen krnje piramide

Izvedimo formulu za površinu S bočne plohe pravilne krnje piramide kroz opsege P 1 i P 2 baza i duljinu apoteme a. Rezoniramo na potpuno isti način kao kod izvođenja formule za volumen. Nadopunjavanje piramide gornji dio, imamo P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, gdje je k koeficijent sličnosti, P 1 i P 2 su opsegi baza, a S 1 i S 2 su površine bočnih površina cijelu dobivenu piramidu odnosno njen gornji dio. Za bočnu površinu nalazimo (a 1 i a 2 su apoteme piramida, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula za bočnu površinu pravilne krnje piramide

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu E-mail itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da Vas kontaktiramo i informiramo jedinstvene ponude, promocije i druga događanja te nadolazeća događanja.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Također možemo koristiti osobne podatke u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Po potrebi - sukladno zakonu, sudskom postupku, u suđenje, i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - otkriti vaše osobne podatke. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Valjak je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravninama i cilindrična površina. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.

Cilindar ima tri površine: vrh, bazu i bočnu površinu.

Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljena stijenka cilindra. Kako bismo bolje zamislili ovu plohu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar običan kositar, koji nema gornji ili donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnoj stijenci od vrha do dna limenke (Korak 1 na slici) i pokušajmo što više otvoriti (ispraviti) dobivenu figuru (Korak 2).

Nakon što se staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (3. korak), ovo je pravokutnik. Površina pravokutnika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak na izvorni cilindar. Vrh izvornog valjka je kružnica, a znamo da se opseg izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označen crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno otvori, vidimo da opseg postaje duljina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice tog pravokutnika bit će opseg (L = 2πr) i visina valjka (h). Površina pravokutnika jednaka je umnošku njegovih stranica - S = duljina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.

Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh

Ukupna površina cilindra

Na kraju, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobivamo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini baze cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – polumjer cilindra, h – visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra pomoću primjera.

1. Polumjer baze cilindra je 2, visina je 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina izračunava se po formuli: S strana. = 2πrh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu valjka ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina izračunava se po formuli: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Problem 1. Pronađite ukupnu površinu piramide
• Problem 2. Pronađite površinu bočne površine pravilne trokutaste piramide

Problem 1. Nađite ukupnu površinu pravilne piramide

Riješenje.

U osnovi pravilne trokutaste piramide nalazi se jednakostranični trokut.
Stoga ćemo za rješavanje problema koristiti svojstva pravilnog trokuta:

Znamo visinu trokuta, odakle možemo pronaći njegovu površinu.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Otuda će površina baze biti jednaka:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema zadatku, kut OKM je 45 stupnjeva.
Tako:
OK / MK = cos 45
Upotrijebimo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija i zamijenimo poznate vrijednosti.

OK / MK = √2/2

Uzmimo u obzir da je OK jednak polumjeru upisane kružnice. Zatim
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Zatim
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Površina bočne strane tada je jednaka polovici umnoška visine i osnovice trokuta.
Sstrana = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Dakle, ukupna površina piramide bit će jednaka
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Odgovor: 3√3 + 18/√6

Problem 2. Nađite površinu bočne površine pravilne piramide

Riješenje.

Budući da je baza pravilne trokutaste piramide jednakostraničan trokut, AO je polumjer kružnice opisane oko baze.
(Ovo slijedi iz)

Polumjer kružnice opisane oko jednakostraničnog trokuta nalazimo iz njegovih svojstava

Otuda će duljina bridova pravilne trokutaste piramide biti jednaka:
AM 2 = MO 2 + AO 2
visina piramide poznata je po uvjetu (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Svaka stranica piramide je jednakokračni trokut. Kvadrat jednakokračan trokut nalazimo iz prve formule prikazane u nastavku

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Budući da su sva tri lica pravilne piramide jednaka, površina bočne površine bit će jednaka
3S = 48 √(91/3)

Odgovor: 48 √(91/3)

Zadatak 3. Pronađite ukupnu površinu pravilne piramide

Stranica pravilne trokutaste piramide je 3 cm, a kut između bočne strane i baze piramide je 45 stupnjeva. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Riješenje.
Budući da je piramida pravilna, u njenoj osnovi nalazi se jednakostranični trokut. Stoga je površina baze


Dakle = 9 * √3/4

Da bismo pronašli površinu bočne strane, izračunavamo visinu KM. Prema zadatku, kut OKM je 45 stupnjeva.
Tako:
OK / MK = cos 45
Iskoristimo

je višestrani lik, čija je baza mnogokut, a preostala lica predstavljena su trokutima sa zajedničkim vrhom.

Ako je baza kvadrat, tada se zove piramida četverokutan, ako je trokut – onda trokutasti. Visina piramide povučena je od njenog vrha okomito na bazu. Također se koristi za izračunavanje površine apotema– visina bočne strane, spuštena od njenog vrha.
Formula za površinu bočne površine piramide je zbroj površina njezinih bočnih strana, koje su međusobno jednake. Međutim, ova metoda izračuna se koristi vrlo rijetko. U osnovi, površina piramide izračunava se kroz obod baze i apoteme:

Razmotrimo primjer izračuna površine bočne površine piramide.

Neka je dana piramida s bazom ABCDE i vrhom F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apotem a = 5 cm. Odredite površinu bočne površine piramide.
Nađimo opseg. Budući da su svi rubovi baze jednaki, opseg peterokuta bit će jednak:
Sada možete pronaći bočno područje piramide:

Površina pravilne trokutaste piramide

Pravilna trokutasta piramida sastoji se od baze u kojoj leži pravilan trokut i tri bočne strane koje su jednake površine.
Može se izračunati formula za bočnu površinu pravilne trokutaste piramide različiti putevi. Možete primijeniti uobičajenu formulu za izračun pomoću perimetra i apoteme ili možete pronaći područje jednog lica i pomnožiti ga s tri. Budući da je lice piramide trokut, primjenjujemo formulu za površinu trokuta. To će zahtijevati apotemu i duljinu baze. Razmotrimo primjer izračuna bočne površine pravilne trokutaste piramide.

Dana je piramida s apotemom a = 4 cm i osnovnom plohom b = 2 cm. Odredite površinu bočne plohe piramide.
Prvo pronađite područje jedne od bočnih strana. U u ovom slučaju Ona će biti:
Zamijenite vrijednosti u formulu:
Budući da su u pravilnoj piramidi sve strane iste, površina bočne površine piramide bit će jednaka zbroju površina tri lica. Odnosno:

Površina krnje piramide

Krnji Piramida je poliedar kojeg čine piramida i njezin presjek paralelan s bazom.
Formula za bočnu površinu krnje piramide vrlo je jednostavna. Površina je jednaka umnošku polovine zbroja opsega baza i apoteme: