155*. Définir grandeur nature segment droit AB position générale(Fig. 153, a).

Solution. Comme on le sait, la projection d'un segment de droite sur n'importe quel plan est égale au segment lui-même (en tenant compte de l'échelle du dessin), s'il est parallèle à ce plan

(Fig. 153, b). Il s'ensuit qu'en transformant le dessin il faut parvenir au parallélisme de ce segment carré. V ou carré H ou compléter le système V, H par un autre plan perpendiculaire au carré. V ou au pl. H et en même temps parallèle à ce segment.

En figue. 153, c montre l'introduction d'un plan supplémentaire S, perpendiculaire au carré. H et parallèle à un segment AB donné.

La projection a s b s est égale à la valeur naturelle du segment AB.

En figue. 153, d montre une autre technique : le segment AB tourne autour d'une droite passant par le point B et perpendiculaire au carré. H, vers une position parallèle

PL. V. Dans ce cas, le point B reste en place, et le point A prend une nouvelle position A 1. L'horizon est dans une nouvelle position. projection une 1 b || axe x La projection a" 1 b" est égale à la taille naturelle du segment AB.

156. Étant donné la pyramide SABCD (Fig. 154). Déterminez la taille réelle des arêtes AS et CS de la pyramide, en utilisant la méthode de changement des plans de projection, et des arêtes BS et DS, en utilisant la méthode de rotation, et prenez l'axe de rotation perpendiculaire au carré. H.

157*. Déterminez la distance du point A à la droite BC (Fig. 155, a).

Solution. La distance d'un point à une ligne est mesurée par un segment perpendiculaire tracé du point à la ligne.

Si la ligne droite est perpendiculaire à n'importe quel plan (Fig. 155.6), alors la distance du point à la ligne droite est mesurée par la distance entre la projection du point et la projection ponctuelle de la ligne droite sur ce plan. Si une ligne droite occupe une position générale dans le système V, H, alors pour déterminer la distance d'un point à une ligne droite en changeant les plans de projection, il est nécessaire d'introduire deux plans supplémentaires dans le système V, H.

Tout d'abord (Fig. 155, c), nous entrons dans le carré. S, parallèle au segment BC (le nouvel axe S/H est parallèle à la projection bc), et construisons les projections b s c s et a s. Ensuite (Fig. 155, d) nous introduisons un autre carré. T, perpendiculaire à la droite BC (le nouvel axe T/S est perpendiculaire à b s avec s). Nous construisons des projections d'une ligne droite et d'un point - avec t (b t) et a t. La distance entre les points a t et c t (b t) est égale à la distance l du point A à la droite BC.

En figue. 155, d, la même tâche est accomplie en utilisant la méthode de rotation dans sa forme, appelée méthode de mouvement parallèle. Premièrement, la droite BC et le point A, gardant leur position relative inchangée, pivotent autour d'une droite (non indiquée sur le dessin) perpendiculaire au carré. H, de sorte que la droite BC est parallèle au carré. V. Cela équivaut à déplacer les points A, B, C dans des plans parallèles au carré. H. En même temps, l'horizon. la projection d'un système donné (BC + A) ne change ni en taille ni en configuration, seule sa position par rapport à l'axe x change. Nous plaçons l'horizon. projection de la droite BC parallèle à l'axe des x (position b 1 c 1) et déterminer la projection a 1, en mettant de côté c 1 1 1 = c-1 et a 1 1 1 = a-1, et a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. En traçant des lignes droites b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 parallèles à l'axe des x, on retrouve le devant sur elles. projections b" 1, a" 1, c" 1. Ensuite, on déplace les points B 1, C 1 et A 1 dans des plans parallèles à la zone V (également sans changer leurs positions relatives), de manière à obtenir B 2 C 2 ⊥ carré H. Dans ce cas, la projection de la droite sera perpendiculaire au front axes x, b 2 c" 2 = b" 1 c" 1, et pour construire la projection a" 2 vous devez prendre b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, dessiner 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 et mettre de côté a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Maintenant, après avoir dépensé avec 1 avec 2 et un 1 un 2 || x 1 on obtient les projections b 2 de 2 et a 2 et la distance souhaitée l du point A à la droite BC. La distance de A à BC peut être déterminée en faisant tourner le plan défini par le point A et la droite BC autour de l'horizontale de ce plan jusqu'à la position T || PL. H (Fig. 155, f).

Dans le plan défini par le point A et la droite BC, tracez une ligne horizontale A-1 (Fig. 155, g) et faites pivoter le point B autour d'elle. Le point B se déplace vers un carré. R (précisé sur le dessin à côté de R h), perpendiculaire à A-1 ; au point O se trouve le centre de rotation du point B. Déterminons maintenant la valeur naturelle du rayon de rotation VO (Fig. 155, c). Dans la position requise, c'est-à-dire quand pl. T, déterminé par le point A et la droite BC, deviendra || PL. H, le point B sera sur R h à une distance Ob 1 du point O (il peut y avoir une autre position sur la même trace R h, mais de l'autre côté de O). Le point b 1 est l'horizon. projection du point B après l'avoir déplacé vers la position B 1 dans l'espace, lorsque le plan défini par le point A et la droite BC a pris la position T.

En traçant (Fig. 155, i) la droite b 1 1, on obtient l'horizon. projection de la droite BC, déjà localisée || PL. H est dans le même plan que A. Dans cette position, la distance de a à b 1 1 est égale à la distance l souhaitée. Le plan P, dans lequel se trouvent les éléments donnés, peut être combiné avec le carré. H (Fig. 155, j), tournant carré. R autour d'elle, c'est l'horizon. tracer. En passant de la spécification du plan par le point A et la droite BC à la spécification des droites BC et A-1 (Fig. 155, l), nous trouvons des traces de ces droites et traçons les traces P ϑ et P h à travers elles. Nous construisons (Fig. 155, m) combiné avec la place. Position H à l'avant. trace - P ϑ0 .

Par le point a, nous dessinons l'horizon. projection frontale; le front combiné passe par le point 2 de la trace P h parallèle à P ϑ0. Point A 0 - combiné avec le carré. H est la position du point A. De même, on retrouve le point B 0. Soleil direct combiné avec carré. La position H passe par le point B 0 et le point m (trace horizontale de la droite).

La distance du point A 0 à la droite B 0 C 0 est égale à la distance requise l.

Vous pouvez réaliser la construction indiquée en ne trouvant qu'une seule trace de P h (Fig. 155, n et o). L'ensemble de la construction s'apparente à une rotation autour d'une horizontale (voir Fig. 155, g, c, i) : la trace P h est une des horizontales pl. R.

Parmi les méthodes de transformation d'un dessin proposées pour résoudre ce problème, la méthode préférée est la rotation autour de l'horizontale ou frontale.

158. La pyramide SABC est donnée (Fig. 156). Déterminez les distances :

a) du haut B de la base jusqu'à son côté AC par la méthode du mouvement parallèle ;

b) du sommet S de la pyramide jusqu'aux côtés BC et AB de la base en tournant autour de l'horizontale ;

c) du sommet S vers le côté AC de la base en changeant les plans de projection.

159. Un prisme est donné (Fig. 157). Déterminez les distances :

a) entre les nervures AD et CF en changeant les plans de projection ;

b) entre les côtes BE et CF par rotation autour du frontal ;

c) entre les arêtes AD et BE par mouvement parallèle.

160. Déterminez la taille réelle du quadrilatère ABCD (Fig. 158) en l'alignant avec le carré. N. Utilisez uniquement la trace horizontale du plan.

161*. Déterminez la distance entre les droites croisées AB et CD (Fig. 159, a) et construisez des projections d'une perpendiculaire commune à celles-ci.

Solution. La distance entre les lignes qui se croisent est mesurée par un segment (MN) perpendiculaire aux deux lignes (Fig. 159, b). Évidemment, si l’une des lignes droites est placée perpendiculairement à n’importe quel carré. T, alors

le segment MN perpendiculaire aux deux droites sera parallèle au carré. Sa projection sur ce plan affichera la distance requise. Projection angle droit Menad MN n AB sur pl. T s'avère également être un angle droit entre m t n t et a t b t , puisque l'un des côtés de l'angle droit est AMN, à savoir MN. parallèle au carré T.

En figue. 159, c et d, la distance requise l est déterminée par la méthode de changement des plans de projection. Nous introduisons d’abord un carré supplémentaire. projections S, perpendiculaires au carré. H et parallèle à la droite CD (Fig. 159, c). Ensuite, nous introduisons un autre carré supplémentaire. T, perpendiculaire au carré. S et perpendiculaire à la même droite CD (Fig. 159, d). Vous pouvez maintenant construire une projection de la perpendiculaire générale en traçant m t n t à partir du point c t (d t) perpendiculaire à la projection a t b t. Les points m t et n t sont des projections des points d'intersection de cette perpendiculaire avec les droites AB et CD. En utilisant le point m t (Fig. 159, e), nous trouvons m s sur a s b s : la projection de m s n s doit être parallèle à l'axe T/S. Ensuite, à partir de m s et n s, nous trouvons m et n sur ab et cd, et à partir d'eux m" et n" sur a"b" et c"d".

En figue. 159, c montre la solution à ce problème en utilisant la méthode des mouvements parallèles. Nous plaçons d’abord la droite CD parallèle au carré. V : projection c 1 d 1 || X. Ensuite, nous déplaçons les droites CD et AB des positions C 1 D 1 et A 1 B 1 vers les positions C 2 B 2 et A 2 B 2 de sorte que C 2 D 2 soit perpendiculaire à H : projection c" 2 d" 2 ⊥ X. Le segment de la perpendiculaire recherchée est situé || PL. H, et donc m 2 n 2 exprime la distance l souhaitée entre AB et CD. On retrouve la position des projections m" 2, et n" 2 sur a" 2 b" 2 et c" 2 d" 2, puis les projections m" 1 et m" 1, n 1 et n" 1, enfin, les projections m" et n", m et n.

162. La pyramide SABC est donnée (Fig. 160). Déterminez la distance entre l'arête SB et le côté AC de la base de la pyramide et construisez des projections d'une perpendiculaire commune à SB et AC, en utilisant la méthode de changement de plan de projection.

163. La pyramide SABC est donnée (Fig. 161). Déterminez la distance entre l'arête SH et le côté BC de la base de la pyramide et construisez des projections de la perpendiculaire commune à SX et BC en utilisant la méthode du déplacement parallèle.

164*. Déterminer la distance du point A au plan dans les cas où le plan est spécifié par : a) le triangle BCD (Fig. 162, a) ; b) traces (Fig. 162, b).

Solution. Comme vous le savez, la distance d'un point à un plan se mesure par la valeur de la perpendiculaire tracée du point au plan. Cette distance est projetée sur n'importe quelle zone. projections en taille réelle, si ce plan est perpendiculaire au carré. projections (Fig. 162, c). Cette situation peut être obtenue en transformant le dessin, par exemple en changeant la zone. projections. Introduisons pl. S (Fig. 16c, d), perpendiculaire au carré. triangle BCD. Pour ce faire, nous passons sur la place. triangle horizontal B-1 et placez l'axe de projection S perpendiculairement à la projection b-1 horizontale. Nous construisons des projections d'un point et d'un plan - a s et d'un segment c s d s. La distance de a s à c s d s est égale à la distance souhaitée l du point au plan.

À Rio. 162, d la méthode du mouvement parallèle est utilisée. On déplace l'ensemble du système jusqu'à ce que le plan horizontal B-1 devienne perpendiculaire au plan V : la projection b 1 1 1 doit être perpendiculaire à l'axe x. Dans cette position, le plan du triangle deviendra frontal et la distance l du point A à celui-ci sera pl. V sans distorsion.

En figue. 162, b le plan est défini par des traces. Nous introduisons (Fig. 162, e) un carré supplémentaire. S, perpendiculaire au carré. P : l'axe S/H est perpendiculaire à P h. Le reste ressort clairement du dessin. En figue. 162, g le problème a été résolu en un seul mouvement : pl. P passe en position P1, c'est-à-dire qu'il devient projeté vers l'avant. Piste. P 1h est perpendiculaire à l'axe des x. Nous construisons le front dans cette position de l'avion. la trace horizontale est le point n" 1,n 1. La trace P 1ϑ passera par P 1x et n 1. La distance de a" 1 à P 1ϑ est égale à la distance requise l.

165. La pyramide SABC est donnée (voir Fig. 160). Déterminez la distance entre le point A et le bord de la pyramide SBC en utilisant la méthode du mouvement parallèle.

166. La pyramide SABC est donnée (voir Fig. 161). Déterminez la hauteur de la pyramide en utilisant la méthode du déplacement parallèle.

167*. Déterminez la distance entre les lignes de croisement AB et CD (voir Fig. 159,a) comme la distance entre les plans parallèles passant par ces lignes.

Solution. En figue. 163, et les plans P et Q sont parallèles entre eux, dont pl. Q est tracé par CD parallèlement à AB, et pl. P - passant par AB parallèle au carré. Q. La distance entre ces plans est considérée comme la distance entre les lignes droites AB et CD qui se croisent. Cependant, vous pouvez vous limiter à construire un seul plan, par exemple Q, parallèle à AB, puis déterminer la distance au moins du point A à ce plan.

En figue. 163, c montre le plan Q tracé par CD parallèlement à AB ; dans les projections réalisées avec "e" || a"b" et ce || un B. En utilisant la méthode de changement de pl. projections (Fig. 163, c), nous introduisons un carré supplémentaire. S, perpendiculaire au carré. V et en même temps

perpendiculaire au carré Q. Pour dessiner l'axe S/V, prenez le frontal D-1 dans ce plan. Dessinons maintenant S/V perpendiculairement à d"1" (Fig. 163, c). PL. Q sera représenté sur le carré. S comme une ligne droite avec s d s. Le reste ressort clairement du dessin.

168. La pyramide SABC est donnée (voir Fig. 160). Déterminez la distance entre les côtes SC et AB Appliquer : 1) méthode de changement de zone. projections, 2) méthode de mouvement parallèle.

169*. Déterminez la distance entre des plans parallèles dont l'un est défini par les droites AB et AC, et l'autre par les droites DE et DF (Fig. 164, a). Effectuez également la construction pour le cas où les plans sont spécifiés par des traces (Fig. 164, b).

Solution. La distance (Fig. 164, c) entre des plans parallèles peut être déterminée en traçant une perpendiculaire de n'importe quel point d'un plan à un autre plan. En figue. 164, g un carré supplémentaire a été introduit. S perpendiculaire au carré. H et aux deux avions donnés. L'axe S.H est perpendiculaire à l'horizontale. projection horizontale dessinée dans l'un des plans. On construit une projection de ce plan et un point dans un autre plan du carré. 5. La distance du point d s à la droite l s a s est égale à la distance requise entre les plans parallèles.

En figue. 164, d une autre construction est donnée (selon la méthode du mouvement parallèle). Pour que le plan exprimé par les droites sécantes AB et AC soit perpendiculaire au carré. V, horizon. Nous fixons la projection horizontale de ce plan perpendiculairement à l'axe des x : 1 1 2 1 ⊥ x. Distance entre l'avant. la projection d" 1 du point D et la droite a" 1 2" 1 (projection frontale du plan) est égale à la distance requise entre les plans.

En figue. 164, e montre l'introduction d'un carré supplémentaire. S, perpendiculaire à l'aire H et aux plans donnés P et Q (l'axe S/H est perpendiculaire aux traces P h et Q h). Nous construisons des traces de P s et Q s. La distance entre eux (voir Fig. 164, c) est égale à la distance souhaitée l entre les plans P et Q.

En figue. 164, g montre le mouvement des avions P 1 n Q 1, vers la position P 1 et Q 1, lorsque l'horizon. les traces s'avèrent perpendiculaires à l'axe des x. Distance entre les nouveaux fronts. les traces P 1ϑ et Q 1ϑ sont égales à la distance requise l.

170. Étant donné le parallélépipède ABCDEFGH (Fig. 165). Déterminer les distances : a) entre les bases du parallélépipède - l 1 ; b) entre les faces ABFE et DCGH - l 2 ; c) entre les faces de l'ADHE et du BCGF-l 3.

Cet article parle du sujet « distance d'un point à une ligne », Discute de la définition de la distance d'un point à une ligne avec des exemples illustrés en utilisant la méthode des coordonnées. Chaque bloc théorique à la fin montre des exemples de résolution de problèmes similaires.

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La distance d'un point à une ligne est trouvée en déterminant la distance d'un point à un autre. Regardons de plus près.

Soit une droite a et un point M 1 qui n'appartient pas à la droite donnée. À travers elle, nous traçons une droite b, située perpendiculairement à la droite a. Prenons le point d'intersection des droites comme H 1. On obtient que M 1 H 1 est une perpendiculaire qui a été abaissée du point M 1 à la droite a.

Définition 1

Distance du point M 1 à la droite a est appelée la distance entre les points M 1 et H 1.

Il existe des définitions qui incluent la longueur de la perpendiculaire.

Définition 2

Distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tracée d’un point donné à une ligne donnée.

Les définitions sont équivalentes. Considérez la figure ci-dessous.

On sait que la distance d’un point à une ligne est la plus petite possible. Regardons cela avec un exemple.

Si l'on prend un point Q situé sur une droite a, qui ne coïncide pas avec le point M 1, alors on constate que le segment M 1 Q est appelé segment incliné, abaissé de M 1 jusqu'à une droite a. Il faut indiquer que la perpendiculaire du point M 1 est inférieure à toute autre ligne inclinée tracée du point à la droite.

Pour le prouver, considérons le triangle M 1 Q 1 H 1, où M 1 Q 1 est l'hypoténuse. On sait que sa longueur est toujours supérieure à la longueur de n'importe laquelle des jambes. Cela signifie que nous avons que M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Les données initiales pour trouver d'un point à une ligne permettent d'utiliser plusieurs méthodes de solution : via le théorème de Pythagore, détermination du sinus, du cosinus, de la tangente d'un angle et autres. La plupart des tâches de ce type sont résolues à l'école pendant les cours de géométrie.

Lorsque, lors de la recherche de la distance d'un point à une ligne, il est possible d'introduire un système de coordonnées rectangulaires, la méthode des coordonnées est utilisée. Dans ce paragraphe, nous examinerons les deux principales méthodes pour trouver la distance requise à partir d'un point donné.

La première méthode consiste à rechercher la distance comme une perpendiculaire tracée de M 1 à la droite a. La deuxième méthode utilise l’équation normale de la droite a pour trouver la distance requise.

S'il y a un point sur le plan de coordonnées M 1 (x 1, y 1), situé dans un système de coordonnées rectangulaires, ligne droite a, et que vous devez trouver la distance M 1 H 1, vous pouvez faire le calcul en deux façons. Regardons-les.

Première façon

S'il existe des coordonnées du point H 1 égales à x 2, y 2, alors la distance du point à la ligne est calculée à l'aide des coordonnées de la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - oui 1) 2.

Passons maintenant à la recherche des coordonnées du point H 1.

On sait qu'une droite dans O x y correspond à l'équation d'une droite sur le plan. Prenons la méthode consistant à spécifier une droite a en écrivant équation généraleéquations de droite ou de pente. On compose l'équation d'une droite qui passe par le point M 1 perpendiculaire à une droite donnée a. Notons la ligne droite par la lettre b. H 1 est le point d'intersection des lignes a et b, ce qui signifie que pour déterminer les coordonnées, vous devez utiliser l'article dans lequel nous parlons de sur les coordonnées des points d'intersection de deux lignes.

On voit que l'algorithme pour trouver la distance d'un point donné M 1 (x 1, y 1) à la droite a est réalisé en fonction des points :

Définition 3

• trouver l'équation générale d'une droite a, ayant la forme A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, ou une équation avec un coefficient d'angle, ayant la forme y = k 1 x + b 1 ;
• obtenir une équation générale de la ligne b, ayant la forme A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ou une équation avec un coefficient angulaire y = k 2 x + b 2, si la ligne b coupe le point M 1 et est perpendiculaire à une ligne donnée a ;
• détermination des coordonnées x 2, y 2 du point H 1, qui est le point d'intersection de a et b, à cet effet le système est résolu équations linéaires A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 ou y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• calculer la distance requise d'un point à une ligne à l'aide de la formule M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Deuxième façon

Le théorème peut aider à répondre à la question de trouver la distance entre un point donné et une ligne droite donnée sur un plan.

Théorème

Le système de coordonnées rectangulaires a O x y a un point M 1 (x 1, y 1), à partir duquel une ligne droite est tracée vers le plan, donnée par l'équation normale du plan, ayant la forme cos α x + cos β y - p = 0, égal à La valeur absolue obtenue du côté gauche de l'équation normale de la droite, calculée à x = x 1, y = y 1, signifie que M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Preuve

La droite a correspond à l'équation normale du plan, ayant la forme cos α x + cos β y - p = 0, alors n → = (cos α, cos β) est considéré comme le vecteur normal de la droite a à distance du origine à la ligne a avec p unités. Il faut afficher toutes les données de la figure, ajouter un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1), où le rayon vecteur du point M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Il est nécessaire de tracer une ligne droite d'un point à une ligne droite, que nous notons M 1 H 1 . Il faut montrer les projections M 2 et H 2 des points M 1 et H 2 sur une droite passant par le point O de vecteur directeur de la forme n → = (cos α, cos β), et noter le projection numérique du vecteur comme O M 1 → = (x 1, y 1) dans la direction n → = (cos α , cos β) comme n p n → O M 1 → .

Les variations dépendent de la localisation du point M1 lui-même. Regardons la figure ci-dessous.

Nous fixons les résultats en utilisant la formule M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Ensuite, nous apportons l'égalité sous cette forme M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p afin d'obtenir n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Le produit scalaire des vecteurs donne une formule transformée de la forme n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , qui est un produit sous forme de coordonnées de la forme n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Cela signifie que nous obtenons que n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Il s'ensuit que M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Le théorème a été prouvé.

On constate que pour trouver la distance du point M 1 (x 1, y 1) à la droite a sur le plan, il faut effectuer plusieurs actions :

Définition 4

• obtenir l'équation normale de la droite a cos α · x + cos β · y - p = 0, à condition que ce ne soit pas dans la tâche ;
• calcul de l'expression cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, où la valeur résultante prend M 1 H 1.

Appliquons ces méthodes pour résoudre les problèmes liés à la recherche de la distance entre un point et un plan.

Exemple 1

Trouvez la distance entre le point de coordonnées M 1 (- 1, 2) et la droite 4 x - 3 y + 35 = 0.

Solution

Utilisons la première méthode pour résoudre.

Pour ce faire, il faut trouver l'équation générale de la droite b, qui passe par un point donné M 1 (- 1, 2), perpendiculaire à la droite 4 x - 3 y + 35 = 0. D'après la condition, il est clair que la droite b est perpendiculaire à la droite a, alors son vecteur directeur a des coordonnées égales à (4, - 3). Ainsi, nous avons la possibilité d'écrire l'équation canonique de la droite b sur le plan, puisqu'il existe des coordonnées du point M 1, qui appartient à la droite b. Déterminons les coordonnées du vecteur directeur de la droite b. On obtient que x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. L'équation canonique résultante doit être convertie en une équation générale. Ensuite, nous obtenons cela

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Trouvons les coordonnées des points d'intersection des droites, que nous prendrons comme désignation H 1. Les transformations ressemblent à ceci :

4 x - 3 ans + 35 = 0 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 x + 4 ans - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 3 3 4 ans - 35 4 + 4 ans - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 ans - 35 4 ans = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 ans = 5 ⇔ x = - 5 ans = 5

D'après ce qui a été écrit ci-dessus, nous déduisons que les coordonnées du point H 1 sont égales à (- 5 ; 5).

Il faut calculer la distance du point M 1 à la droite a. On a que les coordonnées des points M 1 (- 1, 2) et H 1 (- 5, 5), puis on les substitue dans la formule pour trouver la distance et obtenir cela

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Deuxième solution.

Pour résoudre autrement, il est nécessaire d’obtenir l’équation normale de la droite. Nous calculons la valeur du facteur de normalisation et multiplions les deux côtés de l'équation 4 x - 3 y + 35 = 0. De là, nous obtenons que le facteur de normalisation est égal à - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, et l'équation normale sera de la forme - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 oui - 7 = 0 .

Selon l'algorithme de calcul, il faut obtenir l'équation normale de la droite et la calculer avec les valeurs x = - 1, y = 2. Ensuite, nous obtenons cela

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

De là, nous obtenons que la distance du point M 1 (- 1, 2) à la droite donnée 4 x - 3 y + 35 = 0 a la valeur - 5 = 5.

Répondre: 5 .

On peut voir que dans cette méthode, il est important d'utiliser l'équation normale de la droite, puisque cette méthode est la plus courte. Mais la première méthode est pratique car elle est cohérente et logique, même si elle comporte plus de points de calcul.

Exemple 2

Sur le plan il y a un système de coordonnées rectangulaires O x y avec le point M 1 (8, 0) et la droite y = 1 2 x + 1. Trouver la distance entre un point donné et une ligne droite.

Solution

La première méthode consiste à réduire une équation donnée avec une pente à l'équation vue générale. Pour simplifier les choses, vous pouvez procéder différemment.

Si le produit des coefficients angulaires des droites perpendiculaires vaut - 1, alors pente la ligne perpendiculaire à celle donnée y = 1 2 x + 1 a la valeur 2. Nous obtenons maintenant l'équation d'une droite passant par un point de coordonnées M 1 (8, 0). Nous avons que y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nous procédons à la recherche des coordonnées du point H 1, c'est-à-dire les points d'intersection y = - 2 x + 16 et y = 1 2 x + 1. On compose un système d'équations et on obtient :

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Il s'ensuit que la distance du point de coordonnées M 1 (8, 0) à la droite y = 1 2 x + 1 est égale à la distance du point de départ et du point d'arrivée de coordonnées M 1 (8, 0) et H1 (6, 4) . Calculons et trouvons que M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

La deuxième solution consiste à passer d’une équation à coefficient à sa forme normale. Autrement dit, nous obtenons y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, alors la valeur du facteur de normalisation sera - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Il s'ensuit que l'équation normale de la droite prend la forme - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Effectuons le calcul du point M 1 8, 0 à une droite de la forme - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. On a:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Répondre: 2 5 .

Exemple 3

Il faut calculer la distance du point de coordonnées M 1 (- 2, 4) aux lignes 2 x - 3 = 0 et y + 1 = 0.

Solution

On obtient l'équation de la forme normale de la droite 2 x - 3 = 0 :

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Nous procédons ensuite au calcul de la distance du point M 1 - 2, 4 à la droite x - 3 2 = 0. On a:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

L'équation de la droite y + 1 = 0 a un facteur de normalisation de valeur égale à -1. Cela signifie que l'équation prendra la forme - y - 1 = 0. On procède au calcul de la distance du point M 1 (- 2, 4) à la droite - y - 1 = 0. On trouve qu'il est égal à - 4 - 1 = 5.

Répondre: 3 1 2 et 5.

Examinons de plus près comment trouver la distance entre un point donné de l'avion et axes de coordonnées O x et O y.

Dans un système de coordonnées rectangulaires, l'axe O y a une équation d'une ligne droite, qui est incomplète et a la forme x = 0, et O x - y = 0. Les équations sont normales pour les axes de coordonnées, il faut alors trouver la distance du point de coordonnées M 1 x 1, y 1 aux lignes. Ceci est fait sur la base des formules M 1 H 1 = x 1 et M 1 H 1 = y 1. Regardons la figure ci-dessous.

Exemple 4

Trouvez la distance du point M 1 (6, - 7) aux lignes de coordonnées situées dans le plan O x y.

Solution

Puisque l'équation y = 0 se rapporte à la droite O x, nous pouvons trouver la distance de M 1 s coordonnées données, à cette droite en utilisant la formule. Nous obtenons que 6 = 6.

Puisque l'équation x = 0 fait référence à la droite O y, vous pouvez trouver la distance de M 1 à cette droite à l'aide de la formule. Ensuite, nous obtenons cela - 7 = 7.

Répondre: la distance de M 1 à O x a une valeur de 6, et de M 1 à O y a une valeur de 7.

Lorsque dans l'espace tridimensionnel nous avons un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1), il faut trouver la distance du point A à la droite a.

Considérons deux méthodes qui permettent de calculer la distance d'un point à une droite a située dans l'espace. Le premier cas considère la distance du point M 1 à une ligne, où un point sur la ligne est appelé H 1 et est la base d'une perpendiculaire tracée du point M 1 à la ligne a. Le deuxième cas suggère qu'il faut rechercher les points de ce plan comme la hauteur du parallélogramme.

Première façon

De la définition on a que la distance du point M 1 situé sur la droite a est la longueur de la perpendiculaire M 1 H 1, puis on obtient celle avec les coordonnées trouvées du point H 1, puis on trouve la distance entre M 1 (x 1, y 1, z 1 ) et H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , basé sur la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

On constate que toute la solution va vers la recherche des coordonnées de la base de la perpendiculaire tracée de M 1 à la droite a. Cela se fait comme suit : H 1 est le point où la droite a coupe le plan qui passe par le point donné.

Cela signifie que l'algorithme pour déterminer la distance du point M 1 (x 1, y 1, z 1) à la ligne a dans l'espace implique plusieurs points :

Définition 5

• établir l'équation du plan χ comme une équation du plan passant par un point donné situé perpendiculairement à la droite ;
• détermination des coordonnées (x 2, y 2, z 2) appartenant au point H 1, qui est le point d'intersection de la droite a et du plan χ ;
• calculer la distance d'un point à une ligne en utilisant la formule M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Deuxième façon

A partir de la condition nous avons une droite a, alors nous pouvons déterminer le vecteur directeur a → = a x, a y, a z avec les coordonnées x 3, y 3, z 3 et un certain point M 3 appartenant à la droite a. Si vous avez les coordonnées des points M 1 (x 1, y 1) et M 3 x 3, y 3, z 3, vous pouvez calculer M 3 M 1 → :

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Il faut mettre de côté les vecteurs a → = a x , a y , a z et M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 à partir du point M 3 , les relier et obtenir un parallélogramme chiffre. M 1 H 1 est la hauteur du parallélogramme.

Regardons la figure ci-dessous.

On a que la hauteur M 1 H 1 est la distance requise, alors il faut la trouver à l'aide de la formule. Autrement dit, nous recherchons M 1 H 1.

Notons l'aire du parallélogramme par la lettre S, trouvée par la formule utilisant le vecteur a → = (a x, a y, a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3. oui 1 - oui 3, z 1 - z 3. La formule d'aire est S = a → × M 3 M 1 → . Aussi, l'aire de la figure est égale au produit des longueurs de ses côtés et de la hauteur, on obtient que S = a → · M 1 H 1 avec a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, qui est la longueur du vecteur a → = (a x, a y, a z), qui est égale au côté du parallélogramme. Cela signifie que M 1 H 1 est la distance du point à la ligne. On le trouve en utilisant la formule M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Pour trouver la distance d'un point de coordonnées M 1 (x 1, y 1, z 1) à une droite a dans l'espace, vous devez effectuer plusieurs étapes de l'algorithme :

Définition 6

• détermination du vecteur directeur de la droite a - a → = (a x, a y, a z) ;
• calculer la longueur du vecteur directeur a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• obtenir les coordonnées x 3 , y 3 , z 3 appartenant au point M 3 situé sur la droite a ;
• calculer les coordonnées du vecteur M 3 M 1 → ;
• trouver le produit vectoriel des vecteurs a → (a x , a y , a z) et M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 comme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 pour obtenir la longueur en utilisant la formule a → × M 3 M 1 → ;
• calculer la distance d'un point à une ligne M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Résoudre les problèmes de recherche de la distance entre un point donné et une ligne donnée dans l'espace

Trouvez la distance entre le point de coordonnées M 1 2, - 4, - 1 et la ligne x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Solution

La première méthode commence par écrire l'équation du plan χ passant par M 1 et perpendiculaire à un point donné. On obtient une expression du genre :

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Il faut trouver les coordonnées du point H 1, qui est le point d'intersection avec le plan χ avec la ligne spécifiée par la condition. Vous devez passer de la vue canonique à la vue croisée. On obtient alors un système d'équations de la forme :

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Il faut calculer le système x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 par la méthode de Cramer, alors on obtient ça :

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

De là, nous avons ce H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

La deuxième méthode doit commencer par rechercher des coordonnées dans l'équation canonique. Pour ce faire, vous devez faire attention aux dénominateurs de la fraction. Alors a → = 2, - 1, 5 est le vecteur directeur de la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Il faut calculer la longueur à l'aide de la formule a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Il est clair que la droite x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 coupe le point M 3 (- 1 , 0 , - 5), on a donc que le vecteur d'origine M 3 (- 1 , 0 , - 5) et sa fin au point M 1 2, - 4, - 1 est M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Trouvez le produit vectoriel a → = (2, - 1, 5) et M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

On obtient une expression de la forme a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · je → + 7 · j → - 5 · k →

nous constatons que la longueur du produit vectoriel est égale à a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Nous avons toutes les données pour utiliser la formule de calcul de la distance à partir d'un point pour une ligne droite, alors appliquons-la et obtenons :

M 1 H 1 = une → × M 3 M 1 → une → = 330 30 = 11

Répondre: 11 .

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Université technique maritime d'État de Saint-Pétersbourg

Département d'infographie et de support d'information

LECON 3

TÂCHE PRATIQUE N°3

Déterminer la distance d'un point à une ligne droite.

Vous pouvez déterminer la distance entre un point et une ligne droite en effectuant les constructions suivantes (voir Fig. 1) :

· du point AVEC abaisser la perpendiculaire à une ligne droite UN;

· marquer un point À intersection d'une perpendiculaire avec une droite ;

mesurer la longueur du segment KS, dont le début est un point donné et la fin est le point d'intersection marqué.

Fig. 1. Distance d'un point à une ligne.

La base pour résoudre des problèmes de ce type est la règle de projection à angle droit : un angle droit est projeté sans distorsion si au moins un de ses côtés est parallèle au plan de projection(c'est-à-dire occupe un poste privé). Commençons par un tel cas et considérons les constructions permettant de déterminer la distance à partir d'un point AVECà un segment de droite UN B.

Il n'y a pas d'exemples de test dans cette tâche et les options pour effectuer des tâches individuelles sont données dans tableau1 et tableau2. La solution au problème est décrite ci-dessous et les constructions correspondantes sont représentées sur la figure 2.

1. Déterminer la distance d'un point à une ligne particulière.

Tout d'abord, des projections d'un point et d'un segment sont construites. Projection A1B1 parallèle à l'axe X. Cela signifie que le segment UN B parallèle au plan P2. Si du point AVEC tracer perpendiculairement à UN B, alors l'angle droit est projeté sans distorsion sur le plan P2. Cela vous permet de tracer une perpendiculaire à partir d'un point C2à projeter A2B2.

Menu déroulant Segment de dessin (Dessiner- Doubler) . Placer le curseur au point C2 et fixez-le comme premier point du segment. Déplacez le curseur dans la direction de la normale au segment A2B2 et fixez le deuxième point dessus au moment où l'indice apparaît Normale (Perpendiculaire) . Marquer le point construit K2. Activer le mode ORTHO(ORTHO) , et du point de vue K2 tracez une ligne de connexion verticale jusqu'à ce qu'elle croise la projection A1B1. Désignez le point d'intersection par K1. Point À, couché sur le segment UN B, est le point d'intersection de la perpendiculaire tirée du point AVEC, avec segment UN B. Ainsi, le segment KS est la distance requise entre le point et la ligne.

D'après les constructions, il est clair que le segment KS occupe une position générale et, par conséquent, ses projections sont déformées. Quand on parle de distance, on veut toujours dire vraie valeur du segment, exprimant la distance. Par conséquent, nous devons trouver la vraie valeur du segment KS, en le faisant pivoter dans une position particulière, par exemple, KS|| P1. Le résultat des constructions est présenté sur la figure 2.

Des constructions représentées sur la Fig. 2, nous pouvons conclure : la position particulière de la ligne (le segment est parallèle P1 ou P2) permet de construire rapidement des projections de la distance d'un point à une ligne, mais elles sont déformées.

Fig.2. Déterminer la distance d'un point à une ligne particulière.

2. Déterminer la distance d'un point à une ligne générale.

Le segment n'occupe pas toujours une position particulière dans la condition initiale. Avec une position initiale générale, les constructions suivantes sont effectuées pour déterminer la distance d'un point à une ligne :

a) à l'aide de la méthode de transformation de dessin, convertir un segment d'une position générale à une position particulière - cela permettra de construire des projections de distance (déformées) ;

b) en utilisant à nouveau la méthode, traduisez le segment correspondant à la distance requise dans une position particulière - nous obtenons une projection de la distance en grandeur égale à la vraie.

Considérez la séquence de constructions pour déterminer la distance à partir d'un point UNà un segment en position générale Soleil(Fig. 3).

Au premier tour il faut obtenir la position particulière du segment DANSC. Pour faire cela dans le calque RMT il faut relier les points À 2 HEURES, C2 Et A2. Utilisation de la commande Changement-Rotation (Modifier – Tourner) Triangle В2С2А2 tourner autour d'un point C2à la position où la nouvelle projection B2*C2 sera situé strictement horizontalement (point AVEC est immobile et, par conséquent, sa nouvelle projection coïncide avec celle d'origine et la désignation C2* Et C1* peut ne pas être représenté sur le dessin). En conséquence, de nouvelles projections du segment seront obtenues B2*C2 et des points : A2*. Suivant à partir des points A2* Et À 2 HEURES* les verticaux sont effectués, et à partir des points EN 1 Et A1 lignes de communication horizontales. L'intersection des lignes correspondantes déterminera la position des points de la nouvelle projection horizontale : le segment B1*C1 et des points A1*.

Dans la position particulière résultante, on peut construire pour cela des projections de distance : à partir du point A1* la normale à B1*C1. Le point de leur intersection mutuelle est K1*. Une ligne de connexion verticale est tracée à partir de ce point jusqu'à ce qu'elle croise la projection B2*C2. Un point est marqué K2*. En conséquence, les projections du segment ont été obtenues AK, qui est la distance requise du point UNà un segment de droite Soleil.

Ensuite, il faut construire des projections de distance dans la condition initiale. Pour ce faire à partir du point K1* il est pratique de tracer une ligne horizontale jusqu'à ce qu'elle croise la projection В1С1 et marquez le point d'intersection K1. Alors un point est construit K2 sur la projection frontale du segment et des projections sont réalisées A1K1 Et A2K2. Grâce aux constructions, des projections de la distance ont été obtenues, mais à la fois dans la position initiale et dans la nouvelle position partielle du segment. soleil, segment de ligne AK occupe une position générale, ce qui conduit au fait que toutes ses projections sont déformées.

Lors de la deuxième rotation il faut faire pivoter le segment AKà une position particulière, ce qui nous permettra de déterminer la vraie valeur de la distance - projection A2*K2**. Le résultat de toutes les constructions est présenté sur la figure 3.

TÂCHE N° 3-1. AVEC vers une ligne droite de position particulière spécifiée par un segment UN B. Donnez la réponse en mm (Tableau 1).Retirer les lentilles de projection

Tableau 1

TÂCHE N° 3-2. Trouver la vraie distance d'un point Mà une droite en position générale donnée par le segment ED. Donnez la réponse en mm (Tableau 2).

Tableau 2

Vérification et réussite de la TÂCHE n°3 terminée.

Pour calculer la distance d'un point donné M à une droite L, vous pouvez utiliser différentes façons. Par exemple, si nous prenons un point arbitraire M 0 sur la droite L, alors nous pouvons déterminer projection orthogonale du vecteur M 0 M sur la direction du vecteur normal de la ligne. Cette projection, à un signe près, est la distance requise.

Une autre façon de calculer la distance d'un point à une ligne consiste à utiliser équation normale d'une droite. Soit la droite L donnée par l'équation normale (4.23). Si le point M(x; y) ne se trouve pas sur la droite L, alors la projection orthogonale pr n OM vecteur de rayon le point M à la direction du vecteur normal unitaire n de la droite L est égal au produit scalaire des vecteurs OM et n, c'est-à-dire x cosφ + y sinφ. La même projection est égale à la somme de la distance p de l'origine à la ligne et d'une certaine valeur δ (Fig. 4.10). La valeur de δ par valeur absolueégale à la distance du point M à la droite. Dans ce cas, δ > 0 si les points M et O sont situés des côtés opposés de la droite, et δ est l'écart du point M par rapport à la droite.

L'écart δ du point M(x; y) par rapport à la droite L est calculé comme la différence entre la projection pr n OM et la distance p de l'origine à la droite (voir Fig. 4.10), c'est-à-dire δ = x cosφ + y sinφ - p.

En utilisant cette formule, vous pouvez également obtenir la distance p(M, L) du point M(x; y) à la droite L, donnée par l'équation normale : p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Deux angles adjacents totalisent 180°

Compte tenu de la procédure de conversion ci-dessus équation générale de la droite dans son équation normale, on obtient une formule pour la distance du point M(x; y) à la droite L, donnée par son équation générale :

Exemple 4.8. Trouvons les équations générales de la hauteur AH, de la médiane AM et de la bissectrice AD ​​du triangle ABC, émergeant du sommet A. Les coordonnées des sommets du triangle sont connues : A(-1;- 3), B(7; 3 ), C(1;7).

Tout d'abord, clarifions la condition de l'exemple : par les équations indiquées, nous entendons les équations des droites L AH, L AM et L AD, sur lesquelles se trouvent la hauteur AH, la médiane AM et la bissectrice AD ​​du triangle spécifié. , respectivement (Fig. 4.11).

Pour trouver l'équation de la droite L AM, on utilise le fait que la médiane divise le côté opposé du triangle en deux. Après avoir trouvé les coordonnées (x 1 ; y 1) du milieu du côté BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, on écrit l'équation pour L SUIS sous la forme équations d'une droite passant par deux points,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Après transformations on obtient l'équation générale de la médiane 8x - 5y - 7 = 0./p>

Pour trouver l’équation de la hauteur L AH, on utilise le fait que la hauteur est perpendiculaire au côté opposé du triangle. Le vecteur BC est donc perpendiculaire à la hauteur AH et peut être choisi comme vecteur normal de la droite L AH. On obtient l'équation de cette droite à partir de (4.15) en substituant les coordonnées du point A et le vecteur normal de la droite L AH :

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Après transformations, on obtient l'équation générale de la hauteur 3x - 2y - 3 = 0.

Pour trouver l'équation de la bissectrice L AD, nous utilisons le fait que la bissectrice AD ​​appartient à l'ensemble des points N(x; y) qui sont équidistants des droites L AB et L AC. L'équation de cet ensemble a la forme

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

et il définit deux lignes passant par le point A et divisant par deux les angles entre les lignes L AB et L AC. A l'aide de l'équation d'une droite passant par deux points, on retrouve les équations générales des droites L AB et L AC :

L AB : (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC : (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Après transformations, on obtient L AB : 3x - 4y - 9 = 0, L AC : 5x - y + 2 = 0. En utilisant la formule (4.27) pour calculer la distance d'un point à une ligne, on écrit l'équation (4.28) dans la forme

Transformons-le en développant les modules :

En conséquence, nous obtenons les équations générales de deux droites

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Pour en sélectionner l'équation de la bissectrice, on prend en compte que les sommets B et C du triangle sont situés sur les côtés opposés de la droite souhaitée et substituons donc leurs coordonnées dans côté gauche l'équation générale de la droite L AD doit donner des valeurs avec différents signes. On choisit l'équation correspondant au signe supérieur, c'est-à-dire

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

La substitution des coordonnées du point B dans le côté gauche de cette équation donne une valeur négative, puisque

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

et le même signe est obtenu pour les coordonnées du point C, puisque

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Par conséquent, les sommets B et C sont situés du même côté de la droite avec l’équation choisie, et donc l’équation de la bissectrice est

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

La distance d'un point à une ligne est la longueur de la perpendiculaire tracée du point à la ligne. En géométrie descriptive, elle est déterminée graphiquement à l'aide de l'algorithme donné ci-dessous.

Algorithme

1. La ligne droite est déplacée vers une position dans laquelle elle sera parallèle à n'importe quel plan de projection. A cet effet, des méthodes de transformation de projections orthogonales sont utilisées.
2. A partir d'un point, une perpendiculaire est tracée à une ligne. Cette construction est basée sur le théorème de la projection d'un angle droit.
3. La longueur d'une perpendiculaire est déterminée en transformant ses projections ou en utilisant la méthode du triangle rectangle.

La figure suivante montre dessin complexe point M et ligne b définis par le segment CD. Vous devez trouver la distance qui les sépare.

Selon notre algorithme, la première chose à faire est de déplacer la ligne vers une position parallèle au plan de projection. Il est important de comprendre qu'une fois les transformations effectuées, la distance réelle entre le point et la ligne ne doit pas changer. C'est pourquoi il convient ici d'utiliser la méthode de remplacement du plan, qui n'implique pas de déplacement de figures dans l'espace.

Les résultats de la première étape de construction sont présentés ci-dessous. La figure montre comment un plan frontal supplémentaire P 4 est introduit parallèlement à b. DANS nouveau système(P 1, P 4) les points C"" 1, D"" 1, M"" 1 sont à la même distance de l'axe X 1 que C"", D"", M"" de l'axe X.

En effectuant la deuxième partie de l'algorithme, à partir de M"" 1 on abaisse la perpendiculaire M"" 1 N"" 1 jusqu'à la droite b"" 1, puisque l'angle droit MND entre b et MN est projeté sur le plan P 4 en taille réelle. A l'aide de la ligne de communication, on détermine la position du point N" et on réalise la projection M"N" du segment MN.

Au stade final, vous devez déterminer la taille du segment MN à partir de ses projections M"N" et M"" 1 N"" 1. Pour cela nous construisons triangle rectangle M"" 1 N"" 1 N 0, dont la branche N"" 1 N 0 est égale à la différence (Y M 1 – Y N 1) de la distance des points M" et N" à l'axe X 1. La longueur de l'hypoténuse M"" 1 N 0 du triangle M"" 1 N"" 1 N 0 correspond à la distance souhaitée de M à b.

Deuxième solution

• Parallèlement à CD, nous introduisons un nouveau plan frontal P 4. Il coupe P 1 le long de l'axe X 1, et X 1 ∥C"D". Conformément à la méthode de remplacement des plans, nous déterminons les projections des points C"" 1, D"" 1 et M"" 1, comme indiqué sur la figure.
• Perpendiculairement à C"" 1 D"" 1 nous construisons un supplémentaire plan horizontal P 5, sur laquelle est projetée la droite b jusqu'au point C" 2 = b" 2.
• La distance entre le point M et la ligne b est déterminée par la longueur du segment M" 2 C" 2, indiquée en rouge.

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