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QUADAGONS.

§43. PARALLÉLOGRAMME.

1. Définition d'un parallélogramme.

Si nous croisons une paire de droites parallèles avec une autre paire de droites parallèles, nous obtenons un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Dans les quadrilatères ABC et EFNM (Fig. 224) ВD || AC et AB || CD;
FE || MN et EM || FN.

Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux s’appelle un parallélogramme.

2. Propriétés d'un parallélogramme.

Théorème. La diagonale d'un parallélogramme le divise en deux triangles égaux.

Soit un parallélogramme ABC (Fig. 225), dans lequel AB || CD et CA || ВD.

Vous devez prouver que la diagonale le divise en deux triangles égaux.

Traçons la diagonale CB du parallélogramme ABC. Prouvons que /\ CAB= /\ СДВ.

Le côté NE est commun à ces triangles ; / ABC = / BCD, comme angles transversaux internes avec AB et CD parallèles et CB sécants ; / DIA = / СВD, ainsi que les angles transversaux internes à AC et ВD parallèles et CB sécants (§ 38).

D'ici /\ CAB = /\ СДВ.

De la même manière, on peut prouver que la diagonale AD divisera le parallélogramme en deux triangles égaux ACD et ABD.

Conséquences. 1 . Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux.

/ UNE = / D, cela découle de l'égalité des triangles CAB et CDB.
De même / C = / DANS.

2. Les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux.

AB = CD et AC = BD, puisque ce sont des côtés de triangles égaux et des angles opposés égaux.

Théorème 2. Les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux au point de leur intersection.

Soient BC et AD les diagonales du parallélogramme ABC (Fig. 226). Montrons que AO = OD et CO = OB.

Pour ce faire, comparez une paire de triangles situés de manière opposée, par exemple /\ AOB et /\ MORUE.

Dans ces triangles AB = CD, comme les côtés opposés d'un parallélogramme ;
/ 1 = / 2, comme angles intérieurs croisés avec les parallèles AB et CD et sécants AD ;
/ 3 = / 4 pour la même raison, puisque AB || CD et CB sont leurs sécantes (§ 38).

Il s'ensuit que /\ AOB = /\ MORUE. Et dans les triangles égaux, les côtés égaux se trouvent en face des angles égaux. Par conséquent, AO = OD et CO = OB.

Théorème 3. La somme des angles adjacents à un côté d'un parallélogramme est égale à 2 d .

Prouvez-le vous-même.

3. Signes d'un parallélogramme.

Théorème. Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Soit le quadrilatère ABC (dessiné 227) AB = CD et AC = BD. Montrons que sous cette condition AB || CD et CA || ВD, c'est-à-dire le quadrilatère АВDC est un parallélogramme.
Connectons-nous avec un segment quelconque sommets opposés c'est un quadrilatère, par exemple C et B. Le quadrilatère ABCD est divisé en deux triangles égaux : /\ CAB et /\ СДВ. En fait, ils ont le même côté CB, AB = CD et AC = BD selon la condition. Ainsi, trois côtés d’un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d’un autre, donc /\ CAB = /\ СДВ.

Dans les triangles égaux, les angles égaux sont opposés aux côtés égaux, donc
/ 1 = / 2 et / 3 = / 4.

Les angles 1 et 2 sont des angles internes situés transversalement à l'intersection des droites AB et CD de la droite CB. Donc AB || CD.

De la même manière, les angles 3 et 4 sont des angles internes situés transversalement à l'intersection des droites CA et BD de la droite CB, donc CA || ВD (§ 35).

Ainsi, les côtés opposés du quadrilatère ABC sont parallèles deux à deux, c'est donc un parallélogramme, ce qu'il fallait prouver.

Théorème 2. Si deux côtés opposés d’un quadrilatère sont égaux et parallèles, alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Soit AB = CD dans le quadrilatère ABCD et AB || CD. Montrons que dans ces conditions le quadrilatère ABC est un parallélogramme (Fig. 228).

Relions les sommets C et B par un segment CB En raison du parallélisme des droites AB et CD, les angles 1 et 2, en tant qu'angles internes transversaux, sont égaux (§ 38).
Alors le triangle CAB est égal au triangle CDB, puisqu'ils ont un côté commun CB,
AB = CD selon les conditions du théorème et / 1 = / 2 selon prouvé. L'égalité de ces triangles implique l'égalité des angles 3 et 4, puisqu'ils se trouvent sur des côtés égaux opposés dans des triangles égaux.

Mais les angles 3 et 4 sont des angles transversaux internes formés par l'intersection des droites AC et BD de la droite CB, donc AC || ВD (§ 35), soit un quadrilatère
ABC est un parallélogramme.

Exercices.

1. Montrer que si les diagonales d'un quadrilatère au point de leur intersection mutuelle sont divisées en deux, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

2. Montrer qu'un quadrilatère dont la somme coins internes, adjacent à chacun des deux côtés adjacents, est égal à 2 d, il y a un parallélogramme.

3. Construisez un parallélogramme en utilisant deux côtés et l’angle qui les sépare :

a) utiliser le parallélisme des côtés opposés d'un parallélogramme ;
b) en utilisant l'égalité des côtés opposés d'un parallélogramme.

4. Construisez un parallélogramme en utilisant deux côtés adjacents et une diagonale.

5. Construisez un parallélogramme en utilisant ses deux diagonales et l’angle qui les sépare.

6. Construisez un parallélogramme en utilisant son côté et ses deux diagonales.

Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Cette définition est déjà suffisante, puisque les autres propriétés du parallélogramme en découlent et sont prouvées sous forme de théorèmes.

• Les principales propriétés d'un parallélogramme sont :
• un parallélogramme est un quadrilatère convexe ;
• Un parallélogramme a des côtés opposés égaux deux à deux ;
• Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux deux à deux ;

Les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par le point d'intersection.

Parallélogramme - quadrilatère convexe Démontrons d'abord le théorème selon lequel un parallélogramme est un quadrilatère convexe

. Un polygone est convexe si quel que soit son côté prolongé jusqu'à une ligne droite, tous les autres côtés du polygone seront du même côté de cette ligne droite.

Soit un parallélogramme ABCD, dans lequel AB est le côté opposé de CD et BC est le côté opposé de AD. Alors de la définition d'un parallélogramme il résulte que AB || CD, C.-B. || ANNONCE.

Les segments parallèles n'ont pas de points communs et ne se croisent pas. Cela signifie que CD se trouve d’un côté de AB. Puisque le segment BC relie le point B du segment AB au point C du segment CD et que le segment AD relie les autres points AB et CD, les segments BC et AD se trouvent également du même côté de la ligne AB où se trouve CD. Ainsi, les trois côtés – CD, BC, AD – se trouvent du même côté de AB.

De même, il est prouvé que par rapport aux autres côtés du parallélogramme, les trois autres côtés se trouvent du même côté.

Les côtés et angles opposés sont égaux L'une des propriétés d'un parallélogramme est que Dans un parallélogramme, les côtés opposés et les angles opposés sont égaux deux à deux

. Par exemple, si un parallélogramme ABCD est donné, alors il a AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ce théorème est prouvé comme suit.

Un parallélogramme est un quadrilatère. Cela signifie qu'il a deux diagonales. Puisqu’un parallélogramme est un quadrilatère convexe, chacun d’eux le divise en deux triangles. Dans le parallélogramme ABCD, considérons les triangles ABC et ADC obtenus en traçant la diagonale AC. Ces triangles ont un côté en commun : AC. Angle BCAégal à l'angle

CAD vertical avec BC et AD parallèles. Les angles BAC et ACD sont également égaux aux angles verticaux lorsque AB et CD sont parallèles. Par conséquent, ∆ABC = ∆ADC à deux angles et au côté qui les sépare.

L'angle B correspond à l'angle D, c'est-à-dire ∠B = ∠D. L'angle A d'un parallélogramme est la somme de deux angles - ∠BAC et ∠CAD. L'angle C est égal à ∠BCA et ∠ACD. Puisque les paires d’angles sont égales entre elles, alors ∠A = ∠C.

Ainsi, il est prouvé que dans un parallélogramme, les côtés et les angles opposés sont égaux.

Les diagonales sont divisées en deux

Puisqu’un parallélogramme est un quadrilatère convexe, il a deux diagonales qui se coupent. Soit le parallélogramme ABCD, ses diagonales AC et BD se coupent au point E. Considérons les triangles ABE et CDE qu'ils forment.

Ces triangles ont des côtés AB et CD égaux aux côtés opposés d'un parallélogramme. L'angle ABE est égal à l'angle CDE car il est transversal aux droites parallèles AB et CD. Pour la même raison, ∠BAE = ∠DCE. Cela signifie ∆ABE = ∆CDE à deux angles et le côté entre eux.

Vous pouvez également remarquer que les angles AEB et CED sont verticaux et donc égaux entre eux.

Puisque les triangles ABE et CDE sont égaux, alors tous leurs éléments correspondants sont égaux. Le côté AE du premier triangle correspond au côté CE du second, ce qui signifie AE = CE. De même BE = DE. Chaque paire de segments égaux constitue une diagonale d'un parallélogramme. Il est ainsi prouvé que Les diagonales d'un parallélogramme sont divisées en deux par leur point d'intersection.

Tout comme en géométrie euclidienne, le point et la droite sont les éléments principaux de la théorie des plans, le parallélogramme est l'une des figures clés des quadrilatères convexes. De là, comme les fils d'une boule, découlent les concepts de « rectangle », « carré », « losange » et d'autres grandeurs géométriques.

Définition du parallélogramme

quadrilatère convexe, constitué de segments de ligne dont chaque paire est parallèle, est connu en géométrie sous le nom de parallélogramme.

L'apparence d'un parallélogramme classique est représentée par un quadrilatère ABCD. Les côtés sont appelés bases (AB, BC, CD et AD), la perpendiculaire tirée de n'importe quel sommet jusqu'au côté opposé à ce sommet est appelée hauteur (BE et BF), les droites AC et BD sont appelées diagonales.

Attention! Le carré, le losange et le rectangle sont des cas particuliers de parallélogramme.

Côtés et angles : caractéristiques de la relation

Les propriétés clés, dans l’ensemble, prédéterminé par la désignation elle-même, ils sont prouvés par le théorème. Ces caractéristiques sont les suivantes :

1. Les côtés opposés sont identiques deux à deux.
2. Les angles opposés sont égaux deux à deux.

Preuve : Considérons ∆ABC et ∆ADC, qui sont obtenus en divisant le quadrilatère ABCD par la droite AC. ∠BCA=∠CAD et ∠BAC=∠ACD, puisque AC leur est commun ( angles verticaux pour BC||AD et AB||CD, respectivement). Il en résulte : ∆ABC = ∆ADC (le deuxième signe d'égalité des triangles).

Les segments AB et BC dans ∆ABC correspondent deux à deux aux droites CD et AD dans ∆ADC, ce qui signifie qu'ils sont identiques : AB = CD, BC = AD. Ainsi, ∠B correspond à ∠D et ils sont égaux. Puisque ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, qui sont également identiques par paire, alors ∠A = ∠C. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des diagonales d'une figure

Caractéristique principale de ces droites d'un parallélogramme : le point d'intersection les divise en deux.

Preuve : Soit i.e. le point d'intersection des diagonales AC et BD de la figure ABCD. Ils forment deux triangles proportionnés - ∆ABE et ∆CDE.

AB=CD puisqu’ils sont opposés. D'après les droites et la sécante, ∠ABE = ∠CDE et ∠BAE = ∠DCE.

D'après le deuxième critère d'égalité, ∆ABE = ∆CDE. Cela signifie que les éléments ∆ABE et ∆CDE : AE = CE, BE = DE et en même temps ils sont des parties proportionnelles de AC et BD. La propriété a été prouvée.

Caractéristiques des coins adjacents

Les côtés adjacents ont une somme d'angles égale à 180°, puisqu'ils se trouvent du même côté de lignes parallèles et transversales. Pour le quadrilatère ABCD :

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Propriétés de la bissectrice :

1. , abaissés d'un côté, sont perpendiculaires ;
2. les sommets opposés ont des bissectrices parallèles ;
3. le triangle obtenu en traçant une bissectrice sera isocèle.

Détermination des traits caractéristiques d'un parallélogramme à l'aide du théorème

Les caractéristiques de cette figure découlent de son théorème principal, qui énonce ce qui suit : un quadrilatère est considéré comme un parallélogramme dans le cas où ses diagonales se croisent, et ce point les divise en segments égaux.

Preuve : que les droites AC et BD du quadrilatère ABCD se coupent c'est-à-dire Puisque ∠AED = ∠BEC, et AE+CE=AC BE+DE=BD, alors ∆AED = ∆BEC (basé sur le premier critère d'égalité des triangles). Autrement dit, ∠EAD = ∠BCE. Ce sont aussi les angles transversaux internes de la sécante AC pour les droites AD et BC. Ainsi, par définition du parallélisme - AD || Colombie-Britannique Une propriété similaire des lignes BC et CD est également dérivée. Le théorème a été prouvé.

Calculer l'aire d'une figure

Aire de cette figure trouvé par plusieurs méthodes l'une des plus simples : multiplier la hauteur et la base sur laquelle il est dessiné.

Preuve : tracez les perpendiculaires BE et CF à partir des sommets B et C. ∆ABE et ∆DCF sont égaux, puisque AB = CD et BE = CF. ABCD est de taille égale au rectangle EBCF, puisqu'ils sont constitués de chiffres proportionnés : S ABE et S EBCD, ainsi que S DCF et S EBCD. Il s'ensuit que la zone de ceci figure géométrique se situe de la même manière qu'un rectangle :

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

Pour déterminer la formule générale de l'aire d'un parallélogramme, notons la hauteur comme hb, et le côté - b. Respectivement:

Autres moyens de trouver une zone

Calculs de superficie passant par les côtés du parallélogramme et l'angle, qu'ils forment, est la deuxième méthode connue.

,

Spr-ma - zone ;

a et b sont ses côtés

α est l'angle entre les segments a et b.

Cette méthode est pratiquement basée sur la première, mais elle est inconnue. coupe toujours triangle rectangle, dont les paramètres sont trouvés par des identités trigonométriques, c'est-à-dire . En transformant la relation, on obtient . Dans l'équation de la première méthode, on remplace la hauteur par ce produit et obtenons une preuve de la validité de cette formule.

A travers les diagonales d'un parallélogramme et l'angle, qu'ils créent lorsqu'ils se croisent, vous pouvez également trouver la zone.

Preuve : AC et BD se croisent pour former quatre triangles : ABE, BEC, CDE et AED. Leur somme est égale à l'aire de ce quadrilatère.

L'aire de chacun de ces ∆ peut être trouvée par l'expression , où a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Depuis , les calculs utilisent une seule valeur sinusoïdale. C'est . Puisque AE+CE=AC= d 1 et BE+DE=BD= d 2, la formule d'aire se réduit à :

.

Application en algèbre vectorielle

Les caractéristiques des parties constitutives de ce quadrilatère ont trouvé une application en algèbre vectorielle, à savoir l'addition de deux vecteurs. La règle du parallélogramme stipule que si on donne des vecteursEtPassont colinéaires, alors leur somme sera égale à la diagonale de cette figure dont les bases correspondent à ces vecteurs.

Preuve : à partir d'un début arbitrairement choisi - c'est-à-dire - construire des vecteurs et . Ensuite, nous construisons un parallélogramme OASV, où les segments OA et OB sont des côtés. Ainsi, le système d'exploitation repose sur le vecteur ou la somme.

Formules de calcul des paramètres d'un parallélogramme

Les identités sont données dans les conditions suivantes :

1. a et b, α - côtés et angle entre eux ;
2. d 1 et d 2, γ - diagonales et au point de leur intersection ;
3. h a et h b - hauteurs abaissées sur les côtés a et b ;

Paramètre	Formule
Trouver les côtés
le long des diagonales et du cosinus de l'angle qui les sépare
le long des diagonales et des côtés
à travers la hauteur et le sommet opposé
Trouver la longueur des diagonales
sur les côtés et la taille du sommet entre eux

Niveau intermédiaire

Parallélogramme, rectangle, losange, carré (2019)

1. Parallélogramme

Mot composé « parallélogramme » ? Et derrière cela se cache un personnage très simple.

Eh bien, nous avons pris deux lignes parallèles :

Traversé par deux autres :

Et à l'intérieur il y a un parallélogramme !

Quelles propriétés possède un parallélogramme ?

Propriétés d'un parallélogramme.

Autrement dit, que pouvez-vous utiliser si un parallélogramme est donné dans le problème ?

Le théorème suivant répond à cette question :

Dessinons tout en détail.

Qu'est-ce que ça veut dire premier point du théorème? Et le fait est que si vous AVEZ un parallélogramme, alors vous le ferez certainement

Le deuxième point signifie que s’il existe un parallélogramme, alors, encore une fois, certainement :

Eh bien, et enfin, le troisième point signifie que si vous AVEZ un parallélogramme, alors assurez-vous de :

Voyez-vous quelle richesse de choix il y a ? Que faut-il utiliser dans le problème ? Essayez de vous concentrer sur la question de la tâche, ou essayez simplement tout un par un - une « clé » fera l'affaire.

Posons-nous maintenant une autre question : comment reconnaître un parallélogramme « à vue » ? Que doit-il arriver à un quadrilatère pour qu’on ait le droit de lui donner le « titre » de parallélogramme ?

Plusieurs signes d'un parallélogramme répondent à cette question.

Signes d'un parallélogramme.

Attention! Commençons.

Parallélogramme.

Attention : si vous avez trouvé au moins un signe dans votre problème, alors vous avez définitivement un parallélogramme et vous pouvez utiliser toutes les propriétés d'un parallélogramme.

2. Rectangulaire

Je pense que ce ne sera pas du tout nouveau pour toi

Première question : un rectangle est-il un parallélogramme ?

Bien sûr que oui ! Après tout, il a - vous vous souvenez, notre signe 3 ?

Et de là, bien sûr, il s'ensuit que dans un rectangle, comme dans tout parallélogramme, les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection.

Mais le rectangle a aussi une propriété distinctive.

Propriété rectangulaire

Pourquoi cette propriété est-elle distinctive ? Parce qu’aucun autre parallélogramme n’a des diagonales égales. Formulons-le plus clairement.

Attention : pour devenir un rectangle, le quadrilatère doit d'abord devenir un parallélogramme, puis montrer l'égalité des diagonales.

3. Diamant

Et encore la question : un losange est-il un parallélogramme ou pas ?

De plein droit - un parallélogramme, car il a et (rappelez-vous notre fonctionnalité 2).

Et encore une fois, puisqu'un losange est un parallélogramme, alors il doit avoir toutes les propriétés d'un parallélogramme. Cela signifie que dans un losange, les angles opposés sont égaux, les côtés opposés sont parallèles et les diagonales se coupent en deux au point d'intersection.

Propriétés d'un losange

Regardez la photo :

Comme dans le cas d'un rectangle, ces propriétés sont distinctives, c'est-à-dire que pour chacune de ces propriétés, nous pouvons conclure qu'il ne s'agit pas simplement d'un parallélogramme, mais d'un losange.

Signes d'un diamant

Et encore une fois, faites attention : il ne doit pas y avoir seulement un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires, mais un parallélogramme. S'assurer:

Non, bien sûr, bien que ses diagonales soient perpendiculaires et que la diagonale soit la bissectrice des angles et. Mais... les diagonales ne sont pas divisées en deux par le point d'intersection, donc - PAS un parallélogramme, et donc PAS un losange.

Autrement dit, un carré est à la fois un rectangle et un losange. Voyons ce qui se passe.

Est-ce clair pourquoi ? - le losange est la bissectrice de l'angle A, qui est égale à. Cela signifie qu'il se divise (et aussi) en deux angles.

Eh bien, c'est très clair : les diagonales d'un rectangle sont égales ; Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, et en général, un parallélogramme de diagonales est divisé en deux par le point d'intersection.

NIVEAU MOYEN

Propriétés des quadrilatères. Parallélogramme

Propriétés d'un parallélogramme

Attention! Mots " propriétés d'un parallélogramme"ça veut dire que si dans ta tâche Il y a parallélogramme, alors tous les éléments suivants peuvent être utilisés.

Théorème sur les propriétés d'un parallélogramme.

Dans n'importe quel parallélogramme :

Comprenons pourquoi tout cela est vrai, en d'autres termes NOUS PROUVONS théorème.

Alors pourquoi 1) est-il vrai ?

Si c'est un parallélogramme, alors :

• mentir comme entrecroisé
• couchés comme des croix.

Cela signifie (selon le critère II : et - général.)

Eh bien, c'est ça, c'est ça ! - prouvé.

Mais au fait ! Nous avons également prouvé 2) !

Pourquoi? Mais (regardez la photo), c'est précisément parce que.

Il n'en reste que 3).

Pour ce faire, il faut encore tracer une deuxième diagonale.

Et maintenant nous voyons cela - selon la caractéristique II (les angles et le côté « entre » eux).

Propriétés prouvées ! Passons aux signes.

Signes d'un parallélogramme

Rappelons que le signe du parallélogramme répond à la question « comment savez-vous qu'une figure est un parallélogramme ?

En icônes, c'est comme ça :

Pourquoi? Ce serait bien de comprendre pourquoi - ça suffit. Mais regarde :

Eh bien, nous avons compris pourquoi le signe 1 est vrai.

Eh bien, c'est encore plus simple ! Traçons à nouveau une diagonale.

Ce qui veut dire :

ET C'est aussi facile. Mais... différent !

Moyens, . Ouah! Mais aussi - interne unilatéral avec une sécante !

Donc le fait que cela signifie cela.

Et si vous regardez de l'autre côté, alors - interne unilatéral avec une sécante ! Et c'est pourquoi.

Voyez-vous à quel point c'est génial ?!

Et encore une fois simple :

Exactement pareil, et.

Veuillez noter: si tu as trouvé au moins un signe de parallélogramme dans votre problème, alors vous avez exactement parallélogramme et vous pouvez utiliser tout le monde propriétés d'un parallélogramme.

Pour plus de clarté, regardez le schéma :

Propriétés des quadrilatères. Rectangle.

Propriétés du rectangle :

Le point 1) est assez évident - après tout, le signe 3 () est simplement rempli

Et point 2) - très important. Alors prouvons que

Cela signifie des deux côtés (et - en général).

Eh bien, puisque les triangles sont égaux, alors leurs hypoténuses sont également égales.

Je l'ai prouvé !

Et imaginez, l'égalité des diagonales est une propriété distinctive d'un rectangle parmi tous les parallélogrammes. Autrement dit, cette affirmation est vraie^

Comprenons pourquoi ?

Cela signifie (c'est-à-dire les angles d'un parallélogramme). Mais rappelons encore une fois qu'il s'agit d'un parallélogramme, et donc.

Moyens, . Eh bien, bien sûr, il s'ensuit que chacun d'eux ! Après tout, ils doivent tout donner !

Ils ont donc prouvé que si parallélogramme du coup (!) les diagonales s'avèrent égales, alors ça exactement un rectangle.

Mais! Faites attention! Nous parlons de parallélogrammes! Pas n'importe qui un quadrilatère avec des diagonales égales est un rectangle, et seulement parallélogramme!

Propriétés des quadrilatères. Rhombe

Et encore la question : un losange est-il un parallélogramme ou pas ?

De plein droit - un parallélogramme, car il en a (rappelez-vous notre fonctionnalité 2).

Et encore une fois, puisqu’un losange est un parallélogramme, il doit avoir toutes les propriétés d’un parallélogramme. Cela signifie que dans un losange, les angles opposés sont égaux, les côtés opposés sont parallèles et les diagonales se coupent en deux au point d'intersection.

Mais il existe aussi des propriétés particulières. Formulons-le.

Propriétés d'un losange

Pourquoi? Eh bien, puisqu'un losange est un parallélogramme, alors ses diagonales sont divisées en deux.

Pourquoi? Oui, c'est pourquoi !

En d’autres termes, les diagonales se sont révélées être les bissectrices des coins du losange.

Comme dans le cas d'un rectangle, ces propriétés sont distinctif, chacun d'eux est aussi le signe d'un losange.

Signes d'un diamant.

Pourquoi est-ce ? Et regarde,

Cela signifie les deux Ces triangles sont isocèles.

Pour être un losange, un quadrilatère doit d’abord « devenir » un parallélogramme, puis présenter la caractéristique 1 ou la caractéristique 2.

Propriétés des quadrilatères. Carré

Autrement dit, un carré est à la fois un rectangle et un losange. Voyons ce qui se passe.

Est-ce clair pourquoi ? Un carré - un losange - est la bissectrice d'un angle égal à. Cela signifie qu'il se divise (et aussi) en deux angles.

Eh bien, c'est très clair : les diagonales d'un rectangle sont égales ; Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, et en général, un parallélogramme de diagonales est divisé en deux par le point d'intersection.

Pourquoi? Eh bien, appliquons simplement le théorème de Pythagore à...

RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE

Propriétés d'un parallélogramme :

1. Les côtés opposés sont égaux : , .
2. Les angles opposés sont égaux : , .
3. Les angles d'un côté totalisent : , .
4. Les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection : .

Propriétés du rectangle :

1. Les diagonales du rectangle sont égales : .
2. Un rectangle est un parallélogramme (pour un rectangle toutes les propriétés d'un parallélogramme sont remplies).

Propriétés d'un losange :

1. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires : .
2. Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles : ; ; ; .
3. Un losange est un parallélogramme (pour un losange toutes les propriétés d'un parallélogramme sont remplies).

Propriétés d'un carré :

Un carré est à la fois un losange et un rectangle, donc pour un carré toutes les propriétés d'un rectangle et d'un losange sont remplies. Et aussi.