از راس مخالف) و حاصل ضرب را بر دو تقسیم کنید. در شکل به نظر می رسد این است:

S = ½ * a * h،

جایی که:
S مساحت مثلث است،
a طول ضلع آن است،
h ارتفاعی است که به این سمت پایین آمده است.

طول و ارتفاع ضلع باید در یک واحد ارائه شود. در این حالت ، مساحت مثلث در واحدهای "" مربوطه معلوم می شود.

مثال.
در یکی از اضلاع مثلث اسکلن به طول 20 سانتی متر، یک عمود از راس مخالف به طول 10 سانتی متر پایین آمده است.
مساحت مثلث مورد نیاز است.
راه حل.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

اگر طول هر دو ضلع مثلث اسکلن و زاویه بین آنها را می دانید، از فرمول استفاده کنید:

S = ½ * a * b * sinγ,

که در آن: a، b طول دو ضلع دلخواه، و γ زاویه بین آنها است.

در عمل، به عنوان مثال، هنگام اندازه گیری زمین، استفاده از فرمول های بالا گاهی اوقات دشوار است، زیرا نیاز به ساخت و سازهای اضافی و اندازه گیری زوایا دارد.

اگر طول هر سه ضلع مثلث اسکلن را می دانید، از فرمول هرون استفاده کنید:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))،

a، b، c طول اضلاع مثلث هستند،
р – نیم محیط: p = (a+b+c)/2.

اگر علاوه بر طول همه اضلاع، شعاع دایره محاط شده در مثلث مشخص باشد، از فرمول فشرده زیر استفاده کنید:

که در آن: r شعاع دایره محاطی است (p نیمه محیط است).

برای محاسبه مساحت مثلث مقیاس دایره محدود شده و طول اضلاع آن، از فرمول استفاده کنید:

جایی که: R شعاع دایره محدود شده است.

اگر طول یکی از ضلع های مثلث و سه زاویه مشخص باشد (در اصل، دو زاویه کافی است - مقدار سوم از برابری مجموع سه زاویه مثلث محاسبه می شود - 180 درجه)، پس از آن استفاده کنید. فرمول:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα،

که α مقدار زاویه مقابل ضلع a است.
β، γ مقادیر دو زاویه باقیمانده مثلث هستند.

نیاز به پیدا کردن عناصر مختلف، از جمله منطقه مثلث، قرن ها قبل از عصر ما در بین ستاره شناسان ظاهر شد یونان باستان. مربع مثلثقابل محاسبه است روش های مختلفبا استفاده از فرمول های مختلف روش محاسبه بستگی به عناصر دارد مثلثشناخته شده.

دستورالعمل

اگر از شرط، مقادیر دو ضلع b، c و زاویه تشکیل شده توسط آنها را بدانیم، آنگاه مساحت مثلث ABC با فرمول پیدا می شود:
S = (bcsin؟)/2.

اگر از شرط، مقادیر دو ضلع a، b و زاویه تشکیل نشده توسط آنها را بدانیم؟، پس مساحت مثلث ABC به صورت زیر یافت می شود:
پیدا کردن زاویه؟، گناه؟ = bsin؟ / a، در ادامه جدول، خود زاویه را تعیین می کنیم.
پیدا کردن زاویه؟ = 180 درجه -?-?.
خود مساحت S = (absin؟)/2 را بیابید.

اگر از شرط فقط مقادیر سه ضلع را بدانیم مثلث a، b و c، سپس منطقه مثلث ABC با فرمول پیدا می شود:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) که p نیمه محیطی p = (a+b+c)/2 است

اگر از شرط مسئله ارتفاع را بدانیم مثلث h و سمتی که این ارتفاع به آن پایین آمده، سپس ناحیه مثلث ABC بر اساس فرمول:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

اگر ارزش طرفین را بدانیم مثلث a، b، c و شعاع محدود نزدیک به داده شده مثلث R، سپس مساحت این مثلث ABC با فرمول تعیین می شود:
S = abc/4R.
اگر سه ضلع a، b، c و شعاع حک شده در مشخص باشد، مساحت مثلث ABC با فرمول پیدا می شود:
S = pr، جایی که p نیمه محیط است، p = (a+b+c)/2.

اگر ABC متساوی الاضلاع باشد، مساحت با فرمول بدست می آید:
S = (a^2v3)/4.
اگر مثلث ABC متساوی الساقین باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود:
S = (cv(4a^2-c^2))/4، جایی که c است مثلث.
اگر مثلث ABC یک مثلث قائم الزاویه باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود:
S = ab/2، که در آن a و b پاها هستند مثلث.
اگر مثلث ABC یک مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود:
S = c^2/4 = a^2/2، که در آن c فرضیه است مثلث، a=b - ساق.

ویدیو های مرتبط

منابع:

• نحوه اندازه گیری مساحت مثلث

نکته 3: چگونه مساحت یک مثلث را در صورت شناخت زاویه پیدا کنید

دانستن تنها یک پارامتر (مقدار زاویه) برای یافتن مساحت کافی نیست سه مربع . اگر ابعاد اضافی وجود دارد، برای تعیین مساحت، می توانید یکی از فرمول هایی را انتخاب کنید که در آن مقدار زاویه نیز به عنوان یکی از متغیرهای شناخته شده استفاده می شود. تعدادی از رایج ترین فرمول های مورد استفاده در زیر ذکر شده است.

دستورالعمل

اگر علاوه بر زاویه (γ) که توسط دو طرف تشکیل شده است سه مربع طول این اضلاع (A و B) نیز مشخص است، پس مربع(S) ارقام را می توان به عنوان نصف حاصلضرب طول ضلع و سینوس این زاویه شناخته شده تعریف کرد: S=½×A×B×sin(γ).

مثلث است شکل هندسی، که از سه خط تشکیل شده است که در نقاطی که روی یک خط قرار ندارند به هم می پیوندند. نقاط اتصال خطوط رئوس مثلث هستند که مشخص می شوند با حروف لاتین(به عنوان مثال، A، B، C). خطوط مستقیم متصل کننده یک مثلث را پاره می گویند که معمولاً با حروف لاتین نیز مشخص می شوند. انواع مثلث های زیر وجود دارد:

• مستطیل شکل.
• دیر فهم.
• حاد زاویه دار.
• همه کاره.
• متساوی الاضلاع.
• متساوی الساقین.

فرمول های کلی برای محاسبه مساحت یک مثلث

فرمول مساحت مثلث برای طول و ارتفاع

S=a*h/2،
در جایی که a طول ضلع مثلثی است که مساحت آن پیدا می شود، h طول ارتفاع کشیده شده به قاعده است.

فرمول هرون

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c)،
کجا √ است ریشه دوم، p نصف محیط مثلث است، a,b,c طول هر ضلع مثلث است. نیم محیط مثلث را می توان با استفاده از فرمول p=(a+b+c)/2 محاسبه کرد.

فرمول مساحت یک مثلث بر حسب زاویه و طول قطعه

S = (a*b*sin(α))/2،
جایی که b,c استطول اضلاع مثلث، sin (α) سینوس زاویه بین دو ضلع است.

فرمول مساحت یک مثلث با توجه به شعاع دایره محاطی و سه ضلع

S=p*r،
جایی که p نیمه محیط مثلثی است که مساحت آن پیدا می شود، r شعاع دایره ای است که در این مثلث محاط شده است.

فرمول مساحت یک مثلث با سه ضلع و شعاع دایره ای که دور آن محصور شده است.

S= (a*b*c)/4*R،
که در آن a,b,c طول هر ضلع مثلث است، R شعاع دایره محصور شده به دور مثلث است.

فرمول مساحت مثلث در مختصات دکارتی نقاط

مختصات دکارتی نقاط مختصاتی در سیستم xOy هستند که x ابسیسا و y مختصات است. سیستم مختصات دکارتی xOy در صفحه، محورهای عددی متقابل عمود بر Ox و Oy با شروع مشترکمرجع در نقطه O. اگر مختصات نقاط در این صفحه به شکل A (x1، y1)، B (x2، y2) و C (x3، y3) داده شده باشد، می توانید مساحت \u200b را محاسبه کنید. مثلث با استفاده از فرمول زیر که از حاصل ضرب متقاطع دو بردار به دست می آید.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
کجا || مخفف ماژول است.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث قائم الزاویه

مثلث قائم الزاویه مثلثی است که یک زاویه آن 90 درجه باشد. یک مثلث فقط می تواند یک چنین زاویه داشته باشد.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه روی دو پا

S=a*b/2،
که در آن a,b طول پاها است. پاها به اضلاع مجاور زاویه راست گفته می شود.

فرمول مساحت یک مثلث قائم الزاویه با توجه به هیپوتنوس و زاویه تند

S = a*b*sin(α)/ 2،
که در آن a، b پایه های مثلث هستند، و sin(α) سینوس زاویه ای است که خطوط a، b در آن قطع می شوند.

فرمول مساحت مثلث قائم الزاویه بر پایه و زاویه مخالف

S = a*b/2*tg(β)،
که در آن a، b پایه های مثلث هستند، tg(β) مماس زاویه ای است که در آن پایه های a، b به هم متصل می شوند.

نحوه محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین

مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع مساوی داشته باشد. این اضلاع را اضلاع و طرف دیگر قاعده نامیده می شود. برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین می توانید از یکی از فرمول های زیر استفاده کنید.

فرمول اصلی برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین

S=h*c/2،
جایی که c قاعده مثلث است، h ارتفاع مثلثی است که به قاعده پایین آمده است.

فرمول مثلث متساوی الساقین در ضلع و قاعده جانبی

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4)،
جایی که c قاعده مثلث است، a مقدار یکی از اضلاع مثلث متساوی الساقین است.

نحوه پیدا کردن مساحت مثلث متساوی الاضلاع

مثلث متساوی الاضلاع مثلثی است که همه اضلاع آن برابر باشند. برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع می توانید از فرمول زیر استفاده کنید:
S = (√3*a*a)/4،
که در آن a طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.

فرمول های فوق به شما امکان می دهد مساحت مورد نیاز مثلث را محاسبه کنید. لازم به یادآوری است که برای محاسبه فاصله مثلث ها، باید نوع مثلث و داده های موجود را که می توان برای محاسبه استفاده کرد، در نظر گرفت.

برای تعیین مساحت یک مثلث، می توانید از فرمول های مختلفی استفاده کنید. از بین همه روش ها، ساده ترین و رایج ترین روش ضرب ارتفاع در طول پایه و سپس تقسیم نتیجه بر دو است. با این حال، این روش به دور از تنها روش است. در زیر می توانید نحوه پیدا کردن مساحت مثلث را با استفاده از فرمول های مختلف بخوانید.

به طور جداگانه، ما روش هایی را برای محاسبه مساحت انواع خاص مثلث - مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع در نظر خواهیم گرفت. ما هر فرمول را با توضیح کوتاهی همراه می کنیم که به شما در درک ماهیت آن کمک می کند.

روش های جهانی برای یافتن مساحت مثلث

فرمول های زیر از نشانه گذاری ویژه استفاده می کنند. ما هر یک از آنها را رمزگشایی می کنیم:

• a, b, c طول سه ضلع شکل مورد نظر ما هستند.
• r شعاع دایره ای است که می تواند در مثلث ما حک شود.
• R شعاع دایره ای است که می توان در اطراف آن توصیف کرد.
• α - مقدار زاویه تشکیل شده توسط اضلاع b و c.
• β زاویه بین a و c است.
• γ - مقدار زاویه تشکیل شده توسط اضلاع a و b.
• h ارتفاع مثلث ما است که از زاویه α به ضلع a پایین آمده است.
• p نصف مجموع اضلاع a، b و c است.

منطقاً واضح است که چرا می توانید مساحت یک مثلث را به این ترتیب پیدا کنید. مثلث به راحتی به یک متوازی الاضلاع کامل می شود که در آن یک ضلع مثلث به عنوان یک مورب عمل می کند. مساحت متوازی الاضلاع با ضرب طول یکی از اضلاع آن در مقدار ارتفاع کشیده شده به سمت آن به دست می آید. قطر این متوازی الاضلاع شرطی را به 2 مثلث یکسان تقسیم می کند. بنابراین، کاملاً واضح است که مساحت مثلث اصلی ما باید برابر با نصف مساحت این متوازی الاضلاع کمکی باشد.

S=½ a b sin γ

طبق این فرمول مساحت مثلث با ضرب طول دو ضلع آن یعنی a و b در سینوس زاویه ای که تشکیل می دهند به دست می آید. این فرمول به طور منطقی از فرمول قبلی گرفته شده است. اگر ارتفاع را از زاویه β به ضلع b کم کنیم، با توجه به ویژگی های مثلث قائم الزاویه، هنگام ضرب طول ضلع a در سینوس زاویه γ، ارتفاع مثلث یعنی h به دست می آید.

مساحت شکل مورد نظر با ضرب نصف شعاع دایره ای که می توان در آن حک شد در محیط آن به دست می آید. به عبارت دیگر حاصل ضرب نیم محیط و شعاع دایره مذکور را می یابیم.

S= a b c/4R

بر اساس این فرمول، مقدار مورد نیاز ما را می توان با تقسیم حاصلضرب اضلاع شکل بر 4 شعاع دایره ای که دور آن احاطه شده است، پیدا کرد.

این فرمول ها جهانی هستند، زیرا تعیین مساحت هر مثلث (مقیاس، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، راست زاویه) را ممکن می سازند. این را می توان با کمک محاسبات پیچیده تری انجام داد، که ما در مورد جزئیات آن صحبت نمی کنیم.

مساحت مثلث ها با ویژگی های خاص

چگونه مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟ از ویژگی های این فیگور این است که دو ضلع آن به طور همزمان ارتفاعات آن است. اگر a و b پاها باشند و c تبدیل به هیپوتونوس شود، ناحیه به صورت زیر پیدا می شود:

چگونه مساحت مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم؟ دارای دو ضلع به طول a و یک ضلع به طول b است. بنابراین، مساحت آن را می توان با تقسیم بر 2 حاصل ضرب مجذور ضلع a بر سینوس زاویه γ تعیین کرد.

چگونه مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنیم؟ در آن طول همه ضلع ها a و مقدار تمام زوایا α است. ارتفاع آن نصف حاصلضرب طول ضلع ضربدر جذر 3 است. برای یافتن مساحت یک مثلث منظم باید مربع ضلع a را در جذر 3 ضرب و بر 4 تقسیم کرد.

دستورالعمل

مهمانیو گوشه ها عناصر اساسی محسوب می شوند آ. یک مثلث کاملاً با هر یک از عناصر اصلی زیر تعریف می شود: یا سه ضلع، یا یک ضلع و دو زاویه، یا دو ضلع و یک زاویه بین آنها. برای وجود مثلثبا سه ضلع a، b، c تعریف می شود، لازم و کافی است که نابرابری ها، نامساوی نامیده می شوند. مثلث:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

برای ساخت مثلثدر سه ضلع a , b , c باید از نقطه C از قطعه CB=a چگونه با قطب نما دایره ای به شعاع b رسم کرد. سپس به همین ترتیب از نقطه B دایره ای به شعاع ضلع c رسم کنید. نقطه تقاطع آنها A سومین راس مورد نظر است مثلث ABC، که در آن AB=c، CB=a، CA=b - اضلاع مثلث. اگر اضلاع a، b، c، نابرابری ها را برآورده کنند، مشکل وجود دارد مثلثدر مرحله 1 مشخص شده است.

منطقه S به این ترتیب ساخته شده است مثلث ABC با احزاب شناخته شده a, b, c با فرمول هرون محاسبه می شود:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c))،
که در آن a، b، c اضلاع هستند مثلث، p نیم محیط است.
p = (a+b+c)/2

اگر مثلث متساوی الاضلاع باشد یعنی تمام اضلاع آن مساوی باشد (a=b=c) مساحت مثلثبا فرمول محاسبه می شود:
S=(a^2 v3)/4

اگر مثلث قائم الزاويه باشد، يعني يكي از زواياي آن 90 درجه باشد و اضلاع تشكيل دهنده آن پايه باشند، ضلع سوم هيپوتنوس است. AT این مورد مربعبرابر است با حاصل ضرب پاها تقسیم بر دو.
S=ab/2

برای پیدا کردن مربع مثلث، می توانید از یکی از چندین فرمول استفاده کنید. بسته به داده هایی که قبلاً شناخته شده است، فرمول را انتخاب کنید.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش فرمول های یافتن مساحت مثلث

دستورالعمل

اگر مقدار یکی از اضلاع و مقدار ارتفاع پایین‌آمده به این سمت از گوشه مقابل را می‌دانید، می‌توانید با استفاده از موارد زیر مساحت را پیدا کنید: S = a*h/2، که در آن S مساحت ​مثلث a یکی از اضلاع مثلث است و h - ارتفاع به ضلع a.

در صورتی که سه ضلع مثلث مشخص باشد، روشی شناخته شده برای تعیین مساحت یک مثلث وجود دارد. او فرمول هرون است. برای ساده کردن ضبط آن، یک مقدار میانی معرفی شده است - یک نیم محیط: p \u003d (a + b + c) / 2، که در آن a، b، c - . سپس فرمول هرون به صورت زیر است: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ توان.

فرض کنید یکی از اضلاع مثلث و سه زاویه را می شناسید. سپس به راحتی می توان مساحت مثلث را پیدا کرد: S = a²sinα sinγ / (2sinβ)، که β زاویه مقابل ضلع a است و α و γ زوایای مجاور ضلع هستند.

ویدیو های مرتبط

توجه داشته باشید

کلی ترین فرمولی که برای همه موارد مناسب است، فرمول هرون است.

منابع:

نکته 3: چگونه مساحت یک مثلث را با سه ضلع پیدا کنیم

یافتن مساحت مثلث یکی از رایج ترین کارها در پلان سنجی مدرسه است. دانستن سه ضلع مثلث برای تعیین مساحت هر مثلث کافی است. در موارد خاص و مثلث های متساوی الاضلاع کافی است به ترتیب طول دو و یک ضلع را بدانیم.

شما نیاز خواهید داشت

• طول ضلع مثلث ها، فرمول هرون، قضیه کسینوس

دستورالعمل

فرمول هرون برای مساحت مثلث به شرح زیر است: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). اگر نیم محیط p را رنگ کنید، آنگاه دریافت می کنید: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

همچنین می توانید فرمولی برای مساحت مثلث از ملاحظات به دست آورید، به عنوان مثال، با اعمال قضیه کسینوس.

طبق قانون کسینوس، AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). با استفاده از نماد معرفی شده، اینها همچنین می توانند به شکل زیر باشند: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). بنابراین، cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

مساحت یک مثلث نیز با فرمول S = a*c*sin(ABC)/2 از طریق دو ضلع و زاویه بین آنها پیدا می شود. سینوس زاویه ABC را می توان بر حسب آن با استفاده از هویت مثلثاتی اصلی بیان کرد: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) با جایگزینی سینوس به فرمول مساحت و رنگ آمیزی آن، می توانید به فرمول مساحت مثلث ABC برسیم.

ویدیو های مرتبط

برای تعمیر کارممکن است نیاز به اندازه گیری داشته باشد مربعدیوارها. محاسبه مقدار مورد نیاز رنگ یا کاغذ دیواری آسان تر است. برای اندازه گیری، بهتر است از یک متر نوار یا نوار سانتی متر استفاده کنید. اندازه گیری ها باید بعد از آن انجام شود دیوارهاتراز شده اند.

شما نیاز خواهید داشت

• -رولت؛
• -نردبان.

دستورالعمل

برای شمردن مربعدیوارها، باید ارتفاع دقیق سقف ها را بدانید و همچنین طول را در امتداد کف اندازه گیری کنید. این کار به صورت زیر انجام می شود: یک سانتی متر بردارید، آن را روی پایه قرار دهید. معمولاً یک سانتی متر برای کل طول کافی نیست، بنابراین آن را در گوشه ای ثابت کنید، سپس آن را باز کنید. حداکثر طول. در این مرحله، یک علامت با مداد بگذارید، نتیجه را یادداشت کنید و اندازه گیری های بعدی را به همین ترتیب، از آخرین نقطه اندازه گیری شروع کنید.

سقف های استاندارددر معمولی - 2 متر 80 سانتی متر، 3 متر و 3 متر 20 سانتی متر، بسته به خانه. اگر خانه قبل از دهه 50 ساخته شده باشد، به احتمال زیاد ارتفاع واقعی کمی کمتر از آنچه نشان داده شده است. اگر در حال محاسبه هستید مربعبرای کار تعمیر، پس از آن یک حاشیه کوچک ضرری نخواهد داشت - بر اساس استاندارد در نظر بگیرید. اگر هنوز نیاز به دانستن دارید ارتفاع واقعی- اندازه گیری کنید اصل مشابه اندازه گیری طول است، اما شما به یک پله نیاز دارید.

ارقام حاصل را ضرب کنید - این است مربعشما دیوارها. درست است، در کار نقاشییا برای اینکه باید کم کنید مربعدرب و بازشوهای پنجره. برای انجام این کار، یک سانتی متر در امتداد دهانه قرار دهید. اگر یک ما داریم صحبت می کنیمدر مورد دری که متعاقباً می خواهید عوض کنید، سپس آن را با آن خرج کنید چارچوب در، فقط با در نظر گرفتن مربعخود باز شدن مساحت پنجره در امتداد محیط قاب آن محاسبه می شود. بعد از مربعپنجره و درگاه محاسبه شده، نتیجه را از کل مساحت اتاق به دست آمده کم کنید.

لطفا توجه داشته باشید که اندازه گیری طول و عرض اتاق با هم انجام می شود، راحت تر است که یک سانتی متر یا اندازه گیری نوار را ثابت کنید و بر این اساس، نتیجه دقیق تری به دست آورید. چندین بار اندازه گیری را انجام دهید تا مطمئن شوید اعدادی که به دست می آورید دقیق هستند.

ویدیو های مرتبط

یافتن حجم یک مثلث در واقع یک کار غیر ضروری است. واقعیت این است که یک مثلث یک شکل دو بعدی است، یعنی. به طور کامل در یک صفحه قرار دارد، به این معنی که به سادگی حجم ندارد. البته شما نمی توانید چیزی را پیدا کنید که وجود نداشته باشد. اما بیایید تسلیم نشویم! ما می توانیم فرض زیر را انجام دهیم - حجم یک شکل دو بعدی، این مساحت آن است. ما به دنبال مساحت مثلث هستیم.

شما نیاز خواهید داشت

• ورق کاغذ، مداد، خط کش، ماشین حساب

دستورالعمل

با خط کش و مداد روی یک ورق کاغذ بکشید. با بررسی دقیق مثلث، می توانید مطمئن شوید که واقعاً ندارد، زیرا روی یک صفحه کشیده شده است. اضلاع مثلث را علامت بزنید: بگذارید یک ضلع ضلع "الف"، ضلع دیگر "ب" و ضلع سوم "ج" باشد. رئوس مثلث را با حروف "A" "B" و "C" برچسب بزنید.

هر ضلع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه را یادداشت کنید. پس از آن، عمود بر ضلع اندازه گیری شده را از راس مخالف بازگردانید، چنین عمودی ارتفاع مثلث خواهد بود. در حالتی که در شکل نشان داده شده است، عمود «h» به ضلع «c» از راس «A» بازگردانده شده است. ارتفاع حاصل را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه اندازه گیری را ثبت کنید.

ممکن است اتفاق بیفتد که بازیابی عمود دقیق برای شما مشکل باشد. در این مورد، شما باید از فرمول متفاوتی استفاده کنید. تمام اضلاع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید. پس از آن، نیم محیط مثلث "p" را با جمع کردن طول های حاصل از اضلاع و تقسیم مجموع آنها به نصف محاسبه کنید. با در اختیار داشتن مقدار نیم محیط، می توانید از فرمول Heron استفاده کنید. برای این کار باید جذر عبارات زیر را بگیرید: p(p-a)(p-b)(p-c).

شما دریافت کردید مقدار مورد نظرمساحت یک مثلث مشکل یافتن حجم مثلث حل نشده است، اما همانطور که در بالا ذکر شد، حجم حل نشده است. شما می توانید حجمی را که اساساً یک مثلث است در دنیای سه بعدی پیدا کنید. اگر تصور کنیم که مثلث اصلی ما تبدیل به یک هرم سه بعدی شده است، حجم چنین هرمی حاصل ضرب طول قاعده آن و مساحت مثلثی است که دریافت کرده ایم.

توجه داشته باشید

هر چه اندازه گیری ها را با دقت بیشتری انجام دهید، محاسبات دقیق تر خواهند بود.

منابع:

• ماشین حساب همه به همه - پورتال مرجع
• حجم مثلث در سال 2019

سه نقطه ای که یک مثلث را در سیستم مختصات دکارتی به طور منحصر به فردی تعریف می کنند رئوس آن هستند. با دانستن موقعیت آنها نسبت به هر یک از محورهای مختصات، می توانید هر پارامتری را محاسبه کنید شکل تخت، شامل و محدود به محیط آن است مربع. این را از راه های گوناگون می توان انجام داد.

دستورالعمل

از فرمول هرون برای محاسبه مساحت استفاده کنید مثلث. این شامل ابعاد سه ضلع شکل است، بنابراین محاسبات را با آن شروع کنید. طول هر ضلع باید برابر با ریشه مجموع مربعات طول برآمدگی های آن باشد. محورهای مختصات. اگر مختصات A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) و C(X3,Y3,Z3) را نشان دهیم، طول اضلاع آنها را می توان به صورت زیر بیان کرد: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²)، BC = √(((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²)، AC = √(( X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3)²).

برای ساده کردن محاسبات، یک متغیر کمکی - نیم محیط (P) را وارد کنید. از این نظر این نصف مجموع طول همه ضلع ها است: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z₂)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).

مثلث یک شکل شناخته شده است. و این، با وجود تنوع غنی از اشکال آن. مستطیل، متساوی الاضلاع، حاد، متساوی الساقین، منفرد. هر کدام از آنها تا حدودی متفاوت است. اما برای هر کسی باید مساحت مثلث را دانست.

فرمول های رایج برای همه مثلث هایی که از طول اضلاع یا ارتفاع استفاده می کنند

نام های اتخاذ شده در آنها: طرف - a، b، c. ارتفاعات در اضلاع مربوطه در a، n در، n s.

1. مساحت مثلث حاصل ضرب ½، ضلع و ارتفاع کم شده روی آن محاسبه می شود. S = ½ * a * n a. به طور مشابه، باید برای دو طرف دیگر فرمول بنویسید.

2. فرمول هرون که در آن نیم محیط ظاهر می شود (معروف است بر خلاف محیط کامل آن را با حرف کوچک p نشان می دهند). نیم محیط باید به صورت زیر محاسبه شود: همه اضلاع را جمع کنید و آنها را بر 2 تقسیم کنید. فرمول نیم محیط: p \u003d (a + b + c) / 2. سپس برابری برای مساحت ​شکل به این شکل است: S \u003d √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. اگر نمی خواهید از یک نیمه محیطی استفاده کنید، چنین فرمولی مفید خواهد بود، که در آن فقط طول اضلاع وجود دارد: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( ب + ج - الف) * (الف + ج - ج) * (الف + ب - ج)). تا حدودی طولانی تر از قبلی است، اما اگر فراموش کرده اید که چگونه نیم محیط را پیدا کنید، به شما کمک می کند.

فرمول های کلی که در آن زوایای مثلث ظاهر می شود

نمادی که برای خواندن فرمول ها لازم است: α، β، γ - زاویه. آنها به ترتیب در طرف مقابل a، b، c قرار دارند.

1. بر اساس آن، نصف حاصلضرب دو ضلع و سینوس زاویه بین آنها برابر با مساحت مثلث است. یعنی: S = ½ a * b * sin γ. فرمول دو مورد دیگر باید به روشی مشابه نوشته شود.

2. مساحت یک مثلث را می توان از یک ضلع و سه زاویه شناخته شده محاسبه کرد. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. همچنین فرمولی با یک ضلع شناخته شده و دو زاویه مجاور آن وجود دارد. به نظر می رسد این است: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

دو فرمول آخر ساده ترین نیستند. به خاطر سپردن آنها بسیار سخت است.

فرمول های کلی برای موقعیتی که شعاع دایره های محاطی یا محاطی مشخص است

نام های اضافی: r، R - شعاع. اولین مورد برای شعاع دایره محاطی استفاده می شود. دومی مربوط به موردی است که توضیح داده شد.

1. اولین فرمولی که مساحت یک مثلث را با آن محاسبه می کنند مربوط به نیم محیط است. S = r * r. به روشی دیگر می توان آن را به صورت زیر نوشت: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. در حالت دوم، شما باید تمام اضلاع مثلث را ضرب کنید و آنها را بر شعاع چهارگانه دایره محدود شده تقسیم کنید. AT بیان تحت اللفظیبه نظر می رسد این است: S = (a * b * c) / (4R).

3. موقعیت سوم به شما امکان می دهد بدون دانستن اضلاع انجام دهید، اما به مقادیر هر سه زاویه نیاز دارید. S \u003d 2 R 2 * sin α * گناه β * گناه γ.

مورد خاص: مثلث قائم الزاویه

این ساده ترین حالت است، زیرا فقط طول هر دو پا مورد نیاز است. آنها با حروف لاتین a و b نشان داده می شوند. مساحت مثلث قائم الزاویه برابر با نصف مساحت مستطیل اضافه شده به آن است.

از نظر ریاضی، به این صورت است: S = ½ a * b. او ساده ترین برای به خاطر سپردن است. از آنجایی که به نظر می رسد فرمول مساحت یک مستطیل است، فقط یک کسری ظاهر می شود که نشان دهنده نصف است.

مورد خاص: مثلث متساوی الساقین

از آنجایی که دو طرف آن برابر است، برخی از فرمول‌ها برای مساحت آن تا حدودی ساده به نظر می‌رسند. برای مثال، فرمول هرون که مساحت یک مثلث متساوی الساقین را محاسبه می کند، به شکل زیر است:

S = ½ اینچ √((a + ½ اینچ)*(a - ½ اینچ)).

اگر آن را تبدیل کنید کوتاهتر می شود. در این مورد، فرمول هرون برای مثلث متساوی الساقین به صورت زیر نوشته می شود:

S = ¼ در √(4 * a 2 - b 2).

اگر اضلاع و زاویه بین آنها مشخص باشد، فرمول مساحت تا حدودی ساده تر از یک مثلث دلخواه به نظر می رسد. S \u003d ½ a 2 * sin β.

حالت خاص: مثلث متساوی الاضلاع

معمولاً در مشکلاتی که درباره او وجود دارد، طرف شناخته می شود یا به نوعی می توان آن را شناخت. سپس فرمول برای یافتن مساحت چنین مثلثی به شرح زیر است:

S = (a 2 √3) / 4.

اگر مثلث روی کاغذ شطرنجی به تصویر کشیده شود، وظایف پیدا کردن منطقه

ساده ترین حالت زمانی است که یک مثلث قائم الزاویه رسم می شود به طوری که پاهای آن با خطوط کاغذ منطبق می شود. سپس شما فقط باید تعداد سلول هایی که در پاها قرار می گیرند را بشمارید. سپس آنها را ضرب کرده و بر دو تقسیم کنید.

وقتی مثلث حاد یا منفرد است، باید به سمت یک مستطیل کشیده شود. سپس در شکل حاصل 3 مثلث وجود خواهد داشت. یکی آن است که در تکلیف داده شده است. و دو تای دیگر کمکی و مستطیلی هستند. مساحت دو مورد آخر باید با روشی که در بالا توضیح داده شد تعیین شود. سپس مساحت مستطیل را محاسبه کرده و مساحت مستطیل های کمکی را از آن کم کنید. مساحت مثلث مشخص می شود.

وضعیتی که در آن هیچ یک از اضلاع مثلث با خطوط کاغذ منطبق نباشد بسیار دشوارتر است. سپس باید آن را در یک مستطیل نوشته شود تا رئوس شکل اصلی در طرفین آن قرار گیرد. در این حالت سه مثلث قائم الزاویه کمکی وجود خواهد داشت.

مثالی از یک مسئله در فرمول هرون

وضعیت. بعضی مثلث ها اضلاع دارند. آنها برابر با 3، 5 و 6 سانتی متر هستند، باید مساحت آن را بدانید.

اکنون می توانید مساحت یک مثلث را با استفاده از فرمول بالا محاسبه کنید. زیر جذر حاصل ضرب چهار عدد است: 7، 4، 2 و 1. یعنی مساحت √ (4 * 14) = 2 √ (14) است.

اگر به دقت بیشتری نیاز ندارید، می توانید جذر 14 را بگیرید. 3.74 است. سپس مساحت برابر با 7.48 خواهد بود.

پاسخ. S \u003d 2 √14 سانتی متر مربع یا 7.48 سانتی متر مربع.

مثالی از مسئله مثلث قائم الزاویه

وضعیت. یکی از پایه های مثلث قائم الزاویه 31 سانتی متر از دومی بلندتر است و اگر مساحت مثلث 180 سانتی متر مربع باشد باید طول آنها را فهمید.
راه حل. شما باید یک سیستم دو معادله را حل کنید. اولی مربوط به منطقه است. دومی با نسبت پاها است که در مسئله آورده شده است.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
ابتدا مقدار "a" باید در معادله اول جایگزین شود. به نظر می رسد: 180 \u003d ½ (در + 31) * اینچ. این فقط یک کمیت مجهول دارد، بنابراین حل آن آسان است. پس از باز کردن پرانتز، دریافت می کنیم معادله درجه دوم: در 2 + 31 در - 360 = 0. دو مقدار برای "in" می دهد: 9 و - 40. عدد دوم به عنوان پاسخ مناسب نیست، زیرا طول ضلع مثلث نمی تواند منفی باشد. ارزش.

باقی مانده است که مرحله دوم را محاسبه کنیم: به عدد حاصل 31 اضافه کنید. معلوم می شود 40. اینها مقادیری هستند که در مسئله جستجو می شوند.

پاسخ. پایه های مثلث 9 و 40 سانتی متر است.

وظیفه یافتن ضلع از طریق مساحت، ضلع و زاویه یک مثلث

وضعیت. مساحت یک مثلث 60 سانتی متر مربع است. اگر ضلع دوم 15 سانتی متر و زاویه بین آنها 30 درجه باشد، باید یکی از اضلاع آن را محاسبه کرد.

راه حل. بر اساس نامگذاری های پذیرفته شده، طرف مورد نظر "a"، "b" شناخته شده، زاویه داده شده "γ" است. سپس فرمول مساحت را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. در اینجا سینوس 30 درجه 0.5 است.

پس از تبدیل، "a" برابر با 60 / (0.5 * 0.5 * 15) می شود. یعنی 16.

پاسخ. ضلع مورد نظر 16 سانتی متر است.

مسئله مربع محاط شده در مثلث قائم الزاویه

وضعیت. راس مربعی با ضلع 24 سانتی متر با زاویه قائم مثلث منطبق است. دو نفر دیگر روی پاها دراز می کشند. سومی متعلق به هیپوتنوز است. طول یکی از پاها 42 سانتی متر است مساحت مثلث قائم الزاویه چقدر است؟

راه حل. دو را در نظر بگیرید راست گوشه. اولین مورد در کار مشخص شده است. مورد دوم بر اساس پایه شناخته شده مثلث اصلی است. شبیه هم هستند چون زاویه مشترکی دارند و از خطوط موازی تشکیل شده اند.

سپس نسبت پاهای آنها برابر است. پایه های مثلث کوچکتر 24 سانتی متر (ضلع مربع) و 18 سانتی متر (پایه داده شده 42 سانتی متر منهای ضلع مربع 24 سانتی متر) است. پایه های مربوط به مثلث بزرگ 42 سانتی متر و x سانتی متر است. این "x" است که برای محاسبه مساحت مثلث مورد نیاز است.

18/42 \u003d 24 / x ، یعنی x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (سانتی متر).

سپس مساحت برابر حاصلضرب 56 و 42 تقسیم بر دو یعنی 1176 سانتی متر مربع است.

پاسخ. مساحت مورد نظر 1176 سانتی متر مربع است.