عقب به جلو

توجه! پیش نمایش اسلایدها فقط برای اهداف اطلاعاتی است و ممکن است همه گزینه های ارائه را نشان ندهند. اگر به این کار علاقه دارید، لطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

کلید واژه ها:ذوزنقه منحنی منحنی یکپارچه، ناحیه ای از شکل های محدود شده توسط نیلوفرها

تجهیزات: وایت برد، کامپیوتر، پروژکتور چند رسانه ای

نوع درس: درس-سخنرانی

اهداف درس:

• آموزشی:ایجاد فرهنگ کار ذهنی، ایجاد موقعیت موفقیت برای هر دانش آموز، ایجاد انگیزه مثبت برای یادگیری. توانایی صحبت کردن و گوش دادن به دیگران را توسعه دهید.
• در حال توسعه:شکل‌گیری استقلال دانش‌آموز در کاربرد دانش در موقعیت‌های مختلف، توانایی تجزیه و تحلیل و نتیجه‌گیری، توسعه منطق، توسعه توانایی طرح صحیح سؤالات و یافتن پاسخ برای آنها. بهبود شکل گیری محاسبات، مهارت های محاسباتی، توسعه تفکر دانش آموزان در دوره تکمیل وظایف پیشنهادی، توسعه فرهنگ الگوریتمی.
• آموزشی: برای شکل دادن به مفهوم ذوزنقه منحنی، انتگرال، مهارت های محاسبه مساحت ارقام مسطح

روش تدریس:توضیحی و گویا

در طول کلاس ها

در کلاس های قبل نحوه محاسبه مساحت اشکالی که مرز آنها خطوط چند ضلعی است را یاد گرفتیم. روش هایی در ریاضیات وجود دارد که به شما امکان می دهد مساحت اشکالی را که با منحنی محدود شده اند محاسبه کنید. چنین اشکالی ذوزنقه های منحنی نامیده می شوند و مساحت آنها با استفاده از ضد مشتقات محاسبه می شود.

ذوزنقه منحنی ( اسلاید 1)

ذوزنقه منحنی شکلی است که با نمودار یک تابع محدود شده است، schm)، سر راست x = aو x = bو آبسیسا

انواع ذوزنقه های منحنی ( اسلاید 2)

در نظر گرفتن انواع مختلفذوزنقه های منحنی و توجه: یکی از خطوط مستقیم به یک نقطه تبدیل می شود، نقش تابع محدود کننده توسط خط مستقیم ایفا می شود.

ناحیه ذوزنقه ای منحنی (اسلاید 3)

انتهای سمت چپ شکاف را ثابت کنید آ،و راست ایکستغییر خواهیم کرد، یعنی دیواره سمت راست ذوزنقه منحنی را جابجا می کنیم و شکلی در حال تغییر می گیریم. مساحت یک ذوزنقه منحنی متغیر که توسط نمودار تابع محدود شده است، ضد مشتق است. افبرای عملکرد f

و در بخش [ آ؛ ب] ناحیه ذوزنقه منحنی که توسط تابع تشکیل شده است f،برابر است با افزایش ضد مشتق این تابع:

تمرین 1:

مساحت ذوزنقه منحنی محدود شده با نمودار تابع را بیابید: f (x) = x 2و مستقیم y = 0، x = 1، x = 2.

راه حل: ( طبق اسلاید 3 الگوریتم)

بیایید یک نمودار از تابع و خطوط رسم کنیم

بیایید یکی از آنها را پیدا کنیم ضد مشتقات f (x) = x 2 :

خودآزمایی با اسلاید

انتگرال

ذوزنقه ای منحنی را در نظر بگیرید که توسط تابع داده شده است fدر بخش [ آ؛ ب]. بیایید این بخش را به چند قسمت تقسیم کنیم. مساحت کل ذوزنقه به مجموع مساحت ذوزنقه های منحنی کوچکتر تقسیم می شود. ( اسلاید 5)... هر یک از این ذوزنقه ها را می توان تقریباً یک مستطیل در نظر گرفت. مجموع مساحت این مستطیل ها تصوری تقریبی از کل مساحت ذوزنقه منحنی به دست می دهد. هر چه کوچکتر قسمت را تقسیم کنیم [ آ؛ ب]، هر چه مساحت را با دقت بیشتری محاسبه کنیم.

اجازه دهید این استدلال را در قالب فرمول بنویسیم.

تقسیم بخش [ آ؛ ب] به n قسمت توسط نقطه x 0 = a، x1، ...، xn = b.طول k-هفتم با نشان دادن xk = xk - xk-1... بیایید مقدار را جبران کنیم

از نظر هندسی، این مجموع مساحت شکل سایه دار در شکل ( متر.)

مجموع فرم را مجموع انتگرال تابع می نامند f. (شم.)

مجموع انتگرال مقدار تقریبی مساحت را نشان می دهد. مقدار دقیق با رفتن به حد به دست می آید. تصور کنید که ما پارتیشن بخش [ آ؛ ب] به طوری که طول تمام بخش های کوچک به صفر تمایل دارد. سپس ناحیه شکل تشکیل شده به ناحیه ذوزنقه منحنی نزدیک می شود. می توان گفت مساحت ذوزنقه منحنی برابر با حد مجموع انتگرال است. Sk.t. (شم.)یا یک انتگرال، یعنی

تعریف:

انتگرال تابع f (x)از جانب آقبل از بحد مجموع انتگرال نامیده می شود

= (شم.)

فرمول نیوتن لایب نیتس

به یاد داشته باشید که حد مجموع انتگرال برابر با مساحت ذوزنقه منحنی است، به این معنی که می توانید بنویسید:

Sk.t. = (شم.)

از طرف دیگر، مساحت ذوزنقه منحنی با فرمول محاسبه می شود

S K. t. (شم.)

با مقایسه این فرمول ها به این نتیجه می رسیم:

این برابری فرمول نیوتن-لایب نیتس نامیده می شود.

برای راحتی محاسبات، فرمول به شکل زیر نوشته شده است:

تکالیف: (شم.)

1. انتگرال را با فرمول نیوتن لایب نیتس محاسبه کنید: اسلاید 5 را بررسی کنید)

2. انتگرال ها را مطابق نقشه بسازید ( اسلاید 6 را بررسی کنید)

3. مساحت شکل محدود شده با خطوط را بیابید: y = x 3، y = 0، x = 1، x = 2. ( اسلاید 7)

پیدا کردن مساحت شکل های صاف ( اسلاید 8)

چگونه ناحیه شکل هایی را که ذوزنقه های منحنی نیستند پیدا می کنید؟

اجازه دهید دو تابع داده شود که نمودارهای آنها را در اسلاید می بینید ... (شم.)لازم است مساحت شکل پر شده را پیدا کنید ... (شم.)... شکل مورد نظر یک ذوزنقه منحنی است؟ و چگونه می توان مساحت آن را با استفاده از خاصیت افزایش سطح پیدا کرد؟ دو ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید و مساحت دیگری را از مساحت یکی از آنها کم کنید ( schm.)

بیایید یک الگوریتم برای یافتن منطقه توسط انیمیشن در یک اسلاید بسازیم:

1. نمودارهای تابع رسم
2. نقاط تقاطع نمودارها را روی محور آبسیسا طرح کنید
3. شکل به دست آمده را در تقاطع نمودارها سایه بزنید
4. ذوزنقه های منحنی را پیدا کنید که تقاطع یا اتحاد آنها یک شکل معین است.
5. مساحت هر یک از آنها را محاسبه کنید
6. تفاوت یا مجموع مساحت ها را پیدا کنید

تکلیف شفاهی: نحوه بدست آوردن مساحت یک شکل سایه دار (با کمک انیمیشن بگویید، اسلاید 8 و 9)

مشق شب:خلاصه، شماره 353 (الف)، شماره 364 (الف) را کار کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب

1. جبر و شروع تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 9-11 مدرسه عصر (نوبت) / ویرایش. G. D. گلیزر. - م: آموزش و پرورش، 1362.
2. باشماکوف M.I. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای کلاس های 10-11 دبیرستان / باشماکوف M.I. - م: آموزش و پرورش، 1370.
3. باشماکوف M.I. ریاضیات: کتاب درسی برای مؤسسات اولیه. و چهارشنبه پروفسور تحصیلات / M.I. باشماکوف - م: آکادمی، 2010.
4. کولموگروف A.N. جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: کتاب درسی برای پایه های 10-11. موسسات آموزشی / A.N. Kolmogorov. - م: آموزش و پرورش، 2010.
5. اس ال استروفسکی چگونه برای یک درس ارائه دهیم؟ / S.L. استروفسکی. - M .: 1 سپتامبر 2010.

مسئله شماره 3. یک نقاشی بکشید و مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

کاربرد یکپارچه برای حل مسائل کاربردی

محاسبه مساحت

انتگرال معین یک تابع غیرمنفی پیوسته f (x) از نظر عددی برابر استمساحت ذوزنقه منحنی محدود به منحنی y = f (x)، محور O x و خطوط مستقیم x = a و x = b. بر این اساس فرمول مساحت به صورت زیر نوشته می شود:

بیایید به چند مثال برای محاسبه مساحت ارقام مسطح نگاه کنیم.

مسئله شماره 1. مساحت محدود شده توسط خطوط y = x 2 +1، y = 0، x = 0، x = 2 را محاسبه کنید.

راه حل.بیایید رقمی بسازیم که مساحت آن را باید محاسبه کنیم.

y = x 2 + 1 سهمی است که شاخه های آن به سمت بالا هستند و سهمی نسبت به محور O y یک واحد به سمت بالا جابه جا می شود (شکل 1).

شکل 1. نمودار تابع y = x 2 + 1

مسئله شماره 2. مساحت محدود شده توسط خطوط y = x 2 - 1، y = 0 را در محدوده 0 تا 1 محاسبه کنید.

راه حل.نمودار این تابع سهمی شاخه است که به سمت بالا هدایت می شود و سهمی نسبت به محور O y یک واحد به سمت پایین جابجا می شود (شکل 2).

شکل 2. نمودار تابع y = x 2 - 1

مسئله شماره 3. یک نقاشی بکشید و مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید

y = 8 + 2x - x 2 و y = 2x - 4.

راه حل.اولی از این دو خط سهمی است که شاخه های آن به سمت پایین است، زیرا ضریب x 2 منفی است و خط دوم یک خط مستقیم است که هر دو محور مختصات را قطع می کند.

برای ساختن سهمی، مختصات راس آن را پیدا می کنیم: y ’= 2 - 2x; 2 - 2x = 0، x = 1 - آبسیسا رأس. y (1) = 8 + 2 ∙ 1 - 1 2 = 9 مختصات آن است، N (1؛ 9) راس آن است.

اکنون با حل سیستم معادلات نقاط تلاقی سهمی و خط مستقیم را پیدا می کنیم:

معادل سازی اضلاع راست معادله که اضلاع چپ آن مساوی است.

ما 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 یا x 2 - 12 = 0 دریافت می کنیم، از این رو .

بنابراین، نقاط، نقاط تقاطع سهمی و خط مستقیم هستند (شکل 1).

شکل 3 نمودارهای توابع y = 8 + 2x - x 2 و y = 2x - 4

بیایید یک خط مستقیم y = 2x - 4 بسازیم. از نقاط (0; -4)، (2; 0) روی محورهای مختصات می گذرد.

برای ساختن سهمی نیز می توانید نقاط تلاقی آن را با محور 0x داشته باشید، یعنی ریشه های معادله 8 + 2x - x 2 = 0 یا x 2 - 2x - 8 = 0. با قضیه ویتا، این کار آسان است. برای یافتن ریشه های آن: x 1 = 2، x 2 = 4.

شکل 3 یک شکل (قطعه سهموی M 1 N M 2) را نشان می دهد که توسط این خطوط محدود شده است.

بخش دوم کار این است که مساحت این شکل را پیدا کنید. منطقه آن را می توان با استفاده از انتگرال معینطبق فرمول .

با توجه به این شرط، انتگرال را به دست می آوریم:

2 محاسبه حجم یک بدنه چرخشی

حجم جسم به دست آمده از چرخش منحنی y = f (x) حول محور Ox با فرمول محاسبه می شود:

هنگام چرخش حول محور O y، فرمول به نظر می رسد:

مشکل شماره 4. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه منحنی که با خطوط مستقیم x = 0 x = 3 و منحنی y = حول محور Ox محدود شده است را تعیین کنید.

راه حل.بیایید یک تصویر بسازیم (شکل 4).

شکل 4. نمودار تابع y =

حجم مورد نیاز است

مشکل شماره 5. حجم جسم حاصل از چرخش ذوزنقه منحنی را که با منحنی y = x 2 و خطوط مستقیم y = 0 و y = 4 حول محور O y محدود شده است، محاسبه کنید.

راه حل.ما داریم:

سوالات را مرور کنید

یک ذوزنقه منحنی را در نظر بگیرید که با محور Ox، منحنی y = f (x) و دو خط مستقیم محدود شده است: x = a و x = b (شکل 85). بیایید مقدار دلخواه x را در نظر بگیریم (اما نه a و نه b). اجازه دهید به آن یک افزایش h = dx بدهیم و نواری را در نظر بگیریم که با خطوط مستقیم AB و CD، محور Ox و قوس BD محدود شده است که به منحنی مورد بررسی تعلق دارد. این نوار را نوار ابتدایی می نامند. مساحت یک نوار ابتدایی با مساحت مستطیل ACQB با یک مثلث منحنی BQD و مساحت دومی متفاوت است. مساحت کمترمستطیل BQDM با اضلاع BQ = h = dx) QD = Ay و مساحت برابر hAy = Ay dx. با کاهش ضلع h، ضلع Du نیز کاهش می یابد و همزمان با h به سمت صفر میل می کند. بنابراین، مساحت BQDM مرتبه دوم بینهایت کوچک است. مساحت یک نوار ابتدایی افزایش مساحت است و مساحت مستطیل ACQB برابر با AB-AC == / (x) dx> دیفرانسیل مساحت است. بنابراین، ما خود ناحیه را با ادغام دیفرانسیل آن پیدا می کنیم. در شکل در نظر گرفته شده، متغیر مستقل l: از a تا b متغیر است، بنابراین مساحت مورد نیاز 5 برابر با 5 = \ f (x) dx خواهد بود. (I) مثال 1. اجازه دهید مساحت محدود شده با سهمی y - 1 -x *، خطوط مستقیم X = - Fj-، x = 1 و محور O * را محاسبه کنیم (شکل 86). در شکل 87. شکل. 86. 1 در اینجا f (x) = 1 - n؟، حدود ادغام a = - و t = 1 است، بنابراین 3) | _ 2 3V 2 / J 3 24 24 * مثال 2. محاسبه مساحت محدود شده توسط سینوسی y = sinXy توسط محور Ox و خط مستقیم (شکل 87). با استفاده از فرمول (I)، Л 2 S = J sinxdx = [-cos x] Q = 0 - (- 1) = lf به دست می آوریم. مثال 3. مساحت محدود شده توسط قوس سینوسی ^ y = sin jc، محصور شده را محاسبه کنید. بین دو نقطه تقاطع مجاور با محور Ox (به عنوان مثال، بین مبدا و نقطه با abscissa i). توجه داشته باشید که از ملاحظات هندسی مشخص است که این مساحت دو برابر خواهد بود منطقه بیشترمثال قبلی با این حال، بیایید محاسبات را انجام دهیم: i 5 = | s \ nxdx = [- cosx) * - - cos i - (- cos 0) = 1 + 1 = 2. o در واقع، فرض ما درست بود. مثال 4. مساحت محدود شده توسط یک سینوسی و ^ توسط محور Ox را در یک دوره محاسبه کنید (شکل 88). ملاحظات اولیه به ما این امکان را می دهد که فرض کنیم مساحت چهار برابر بزرگتر از PR 2 خواهد بود. با این حال، پس از انجام محاسبات، "i G, * i S - \ sin x dx = [- cos x] 0 = = - به دست می آید. cos 2l - (- cos 0) = - 1 + 1 = 0. این نتیجه نیاز به توضیح دارد. برای روشن شدن اصل موضوع، مساحت محدود شده با همان سینوسی y = sin l: و محور Ox را در محدوده l تا 2i نیز محاسبه می کنیم. با استفاده از فرمول (I)، 2l $ 2l sin xdx = [- cosx] l = -cos 2ya ~) -c05ya = - 1-1 = -2 بدست می آوریم. بنابراین، می بینیم که این حوزه منفی است. با مقایسه آن با مساحت محاسبه شده در فصل 3، متوجه می شویم که آنها ارزش های مطلقیکسان هستند، اما نشانه ها متفاوت است. اگر خاصیت V را اعمال کنیم (به فصل XI، § 4 مراجعه کنید)، آنگاه 2l i 2l J sin xdx = J sin * dx [sin x dx = 2 + (- 2) = 0 به دست می آوریم آنچه در این مثال اتفاق افتاده است تصادفی نیست. . همیشه مساحت زیر محور Ox به شرط تغییر متغیر مستقل از چپ به راست، با محاسبه انتگرال های منفی به دست می آید. در این دوره، ما همیشه مربع های بدون علامت را در نظر خواهیم گرفت. بنابراین، پاسخ در مثال مورد تجزیه و تحلیل به صورت زیر خواهد بود: مساحت مورد نیاز برابر با 2 + | -2 | = 4. مثال 5. اجازه دهید مساحت OAB نشان داده شده در شکل را محاسبه کنیم. 89. این ناحیه با محور Ox، سهمی y = - xr و خط مستقیم y - = -x + \ محدود می شود. ناحیه ذوزنقه ای منحنی خط جستجو OAV از دو بخش OAM و MAV تشکیل شده است. از آنجایی که نقطه A نقطه تلاقی سهمی و خط مستقیم است، مختصات آن را با حل سیستم معادلات 3 2 Y = mx خواهیم یافت. (فقط باید آبسیسا نقطه A را پیدا کنیم). با حل سیستم، l را پیدا می کنیم. = ~ بنابراین، مساحت باید به صورت قسمتی، مربع اول محاسبه شود. OAM و سپس pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. تابع نمودار QAM- ^ x y = x 2 +2 واقع شده است بالای محور گاو نر ، از همین رو:

پاسخ: اس = 9 واحد مربع

پس از اتمام کار، نگاه کردن به طرح اولیه و برآورد واقعی بودن پاسخ همیشه مفید است. در این مورد، "با چشم" تعداد سلول های نقاشی را می شماریم - خوب، حدود 9 تایپ می شود، به نظر می رسد حقیقت باشد. کاملاً واضح است که اگر مثلاً پاسخ را دریافت کنیم: 20 واحد مربع ، پس بدیهی است که در جایی اشتباه شده است - رقم مورد بررسی به وضوح با 20 سلول و حداکثر ده خانه مطابقت ندارد. اگر پاسخ منفی است، تکلیف نیز به اشتباه حل شده است.

اگر ذوزنقه منحنی واقع شده باشد چه باید کرد زیر محور اوه؟

ب)مساحت شکل محدود شده با خطوط را محاسبه کنید y = -e x , x = 1 و محورهای مختصات.

راه حل.

بیایید نقاشی را کامل کنیم.

اگر ذوزنقه منحنی کاملاً در زیر محور قرار دارد اوه , سپس مساحت آن را می توان با فرمول پیدا کرد:

پاسخ: S = (e-1) واحدهای مربع "1.72 واحد مربع.

توجه! این دو نوع کار را نباید با هم اشتباه گرفت:

1) اگر از شما خواسته شود که فقط یک انتگرال معین را بدون هیچ معنای هندسی حل کنید، ممکن است منفی باشد.

2) اگر از شما خواسته شود که مساحت یک شکل را با استفاده از یک انتگرال معین پیدا کنید، مساحت همیشه مثبت است! به همین دلیل است که یک منهای در فرمول مورد نظر ظاهر می شود.

در عمل، اغلب شکل در هر دو نیم صفحه بالا و پایین قرار دارد.

با)مساحت یک شکل صاف که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید y = 2x-x 2، y = -x.

راه حل.

ابتدا باید نقاشی را کامل کنید. به طور کلی، هنگام ساخت یک نقشه در مسائل روی یک منطقه، بیشتر به نقاط تلاقی خطوط علاقه مند هستیم. نقاط تقاطع سهمی را بیابید و مستقیم این میتواند با دو راه انجام شود. راه اول تحلیلی است.

معادله را حل می کنیم:

از این رو، حد پایین ادغام a = 0 ، حد بالایی یکپارچگی b = 3 .

شما می توانید خطوط را نقطه به نقطه رسم کنید، در حالی که محدودیت های یکپارچه سازی به گونه ای مشخص می شوند که گویی "به خودی خود". با این وجود، روش تحلیلی یافتن محدودیت‌ها هنوز هم گاهی اوقات باید اعمال شود، اگر، برای مثال، نمودار به اندازه کافی بزرگ باشد، یا ساختار دقیق محدودیت‌های ادغام را آشکار نکند (آنها می‌توانند کسری یا غیرمنطقی باشند).

شکل مورد نیاز با یک سهمی در بالا و یک خط مستقیم در پایین محدود می شود.

در بخش ، طبق فرمول مربوطه:

پاسخ: اس = 4.5 واحد مربع