تعریف. منشورچند ضلعی است که همه رئوس آن در دو صفحه موازی قرار دارند و در همین دو صفحه دو وجه از منشور قرار دارند که چندضلعی های مساوی با اضلاع مشابه هستند و تمام یال هایی که در این صفحه ها قرار ندارند موازی هستند.

دو چهره های برابرنامیده می شوند پایه های منشوری(ABCDE، A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

تمام وجوه دیگر منشور نامیده می شوند صورت های جانبی(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

تمام صورت های جانبی تشکیل می شود سطح جانبی منشور .

تمام وجوه جانبی منشور متوازی الاضلاع هستند .

لبه هایی که در پایه ها قرار ندارند، لبه های جانبی منشور نامیده می شوند. AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

منشور مورب قطعه ای است که انتهای آن دو رأس منشوری است که روی یک وجه قرار ندارند (میلادی 1).

طول پاره ای که پایه های منشور و عمود بر هر دو پایه را به طور همزمان وصل می کند نامیده می شود. ارتفاع منشور .

تعیین نام:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (ابتدا در ترتیب پیمایش، رئوس یک پایه مشخص می شود و سپس به همان ترتیب، رئوس پایه دیگر مشخص می شود؛ انتهای هر لبه کناری با حروف مشابه مشخص می شود، فقط رئوس در یک پایه قرار دارند. با حروف بدون نمایه و در دیگری - با نمایه مشخص می شوند)

نام منشور با تعداد زوایای شکل که در پایه آن قرار دارد مرتبط است، به عنوان مثال، در شکل 1 یک پنج ضلعی در پایه وجود دارد، بنابراین منشور نامیده می شود. منشور پنج ضلعی. اما چون چنین منشوری دارای 7 وجه است، سپس آن را هفت وجهی(2 وجه - پایه های منشور، 5 وجه - متوازی الاضلاع، - وجه های جانبی آن)

در میان منشورهای مستقیم، برجسته است نمای خصوصی: منشورهای صحیح

منشور مستقیم نامیده می شود درست،اگر پایه های آن چند ضلعی منتظم باشد.

موازی شکل

متوازی الاضلاع مستطیلی- متوازی الاضلاع راست که قاعده آن مستطیل است.

خواص و قضایا:

,

جایی که d مورب مربع است.
a ضلع مربع است.

یک ایده از یک منشور توسط:

• مختلف سازه های معماری;
• اسباب بازی های کودکان؛
• جعبه های بسته بندی؛
• اقلام طراح و غیره

مساحت سطح کل و جانبی منشور

S کامل = سمت S + 2S اصلی,

کجا اس پر- مساحت کل، سمت S- سطح جانبی، پایه S- مساحت پایه

مساحت سطح جانبی منشور مستقیم برابر است با حاصل ضرب محیط قاعده و ارتفاع منشور..

سمت S= P پایه * h،

کجا سمت S- مساحت سطح جانبی یک منشور مستقیم،

P اصلی - محیط پایه یک منشور مستقیم،

h ارتفاع منشور مستقیم برابر با لبه کناری است.

حجم منشور

حجم یک منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده و ارتفاع.

در برنامه درسی مدرسهدر یک دوره استریومتری، مطالعه اشکال سه بعدی معمولاً با یک جسم هندسی ساده - چند وجهی یک منشور - آغاز می شود. نقش پایه های آن توسط 2 چندضلعی مساوی که در صفحات موازی قرار دارند انجام می شود. یک مورد خاص یک منشور چهار گوش منظم است. پایه های آن 2 چهار ضلعی منظم یکسان است که اضلاع بر آنها عمود هستند و شکل متوازی الاضلاع دارند (یا مستطیل، اگر منشور متمایل نباشد).

منشور چگونه به نظر می رسد؟

منشور چهار گوش منتظم یک شش ضلعی است که پایه های آن 2 مربع است و وجوه جانبی آن با مستطیل نشان داده می شود. نام دیگر این است شکل هندسی- متوازی الاضلاع مستقیم

طرحی که منشور چهار گوش را نشان می دهد در زیر نشان داده شده است.

در تصویر هم می توانید ببینید عناصر ضروری، که جسم هندسی از آن تشکیل شده است. این موارد عبارتند از:

گاهی اوقات در مسائل هندسه می توانید با مفهوم مقطع مواجه شوید. تعریف به این صورت خواهد بود: یک بخش تمام نقاط یک بدنه حجمی متعلق به یک صفحه برش است. بخش می تواند عمود باشد (لبه های شکل را با زاویه 90 درجه قطع می کند). برای یک منشور مستطیلی، یک مقطع مورب نیز در نظر گرفته می شود (حداکثر تعداد مقاطع قابل ساخت 2 است)، که از 2 لبه و مورب های پایه عبور می کند.

اگر برش به گونه ای ترسیم شود که صفحه برش با پایه ها یا وجه های جانبی موازی نباشد، نتیجه یک منشور کوتاه است.

برای یافتن عناصر منشوری داده شده از روابط و فرمول های مختلفی استفاده می شود. برخی از آنها از درس پلان سنجی شناخته شده اند (مثلاً برای یافتن مساحت قاعده منشور کافی است فرمول مساحت مربع را به خاطر بسپارید).

مساحت و حجم

برای تعیین حجم یک منشور با استفاده از فرمول، باید مساحت پایه و ارتفاع آن را بدانید:

V = Sbas h

از آنجایی که قاعده منشور چهار وجهی منظم مربعی با ضلع است یک،می توانید فرمول را به شکل دقیق تری بنویسید:

V = a²·h

اگر ما در مورد یک مکعب صحبت می کنیم - یک منشور منظم با طول مساوی، عرض و ارتفاع، حجم به صورت زیر محاسبه می شود:

برای درک چگونگی پیدا کردن سطح جانبی یک منشور، باید توسعه آن را تصور کنید.

از نقاشی مشخص است که سطح جانبیاز 4 مستطیل مساوی تشکیل شده است. مساحت آن به عنوان حاصل ضرب محیط پایه و ارتفاع شکل محاسبه می شود:

ساید = Posn h

با در نظر گرفتن اینکه محیط مربع برابر است با P = 4a،فرمول به شکل زیر است:

ساید = 4ah

برای مکعب:

سمت = 4a²

برای محاسبه سطح کل منشور، باید 2 ناحیه پایه را به سطح جانبی اضافه کنید:

Sfull = Side + 2Smain

در رابطه با یک منشور منظم چهار گوش، فرمول به نظر می رسد:

Stotal = 4a h + 2a²

برای مساحت یک مکعب:

Sfull = 6a²

با دانستن حجم یا سطح، می توانید عناصر تکی یک جسم هندسی را محاسبه کنید.

یافتن عناصر منشور

اغلب مشکلاتی وجود دارد که در آن حجم داده می شود یا مقدار سطح جانبی مشخص می شود، جایی که لازم است طول ضلع پایه یا ارتفاع تعیین شود. در چنین مواردی، فرمول ها را می توان استخراج کرد:

• طول ضلع پایه: a = سمت / 4h = √(V / h);
• ارتفاع یا طول دنده کناری: h = کناری / 4a = V / a²؛
• مساحت پایه: Sbas = V / h;
• ناحیه صورت جانبی: سمت gr = کناری / 4.

برای تعیین مساحت قسمت مورب، باید طول قطر و ارتفاع شکل را بدانید. برای یک مربع d = a√2.از این به دست می آید:

Sdiag = ah√2

برای محاسبه قطر منشور از فرمول استفاده کنید:

dprize = √(2a² + h²)

برای درک نحوه اعمال روابط داده شده، می توانید چندین کار ساده را تمرین و حل کنید.

نمونه هایی از مشکلات با راه حل ها

در اینجا برخی از وظایف موجود در امتحانات نهایی دولتی در ریاضیات آورده شده است.

وظیفه 1.

ماسه در جعبه ای به شکل یک منشور چهار گوش معمولی ریخته می شود. ارتفاع سطح آن 10 سانتی متر است اگر آن را در ظرفی به همان شکل، اما با پایه دوبرابر بلندتر منتقل کنید.

باید به شرح زیر استدلال شود. مقدار ماسه ظرف اول و دوم تغییر نکرده است یعنی حجم آن در آنها یکسان است. می توانید طول پایه را با نشان دهید الف. در این حالت، برای جعبه اول حجم ماده به صورت زیر خواهد بود:

V1 = ha2 = 10a2

برای جعبه دوم، طول پایه است 2a، اما ارتفاع سطح ماسه مشخص نیست:

V2 = h (2a)² = 4 هکتار مربع

از آنجایی که V1 = V2، می توانیم عبارات را معادل سازی کنیم:

10a² = 4 هکتار مربع

پس از کاهش هر دو طرف معادله a2، به دست می آید:

در نتیجه سطح جدیدشن و ماسه خواهد بود h = 10 / 4 = 2.5سانتی متر

وظیفه 2.

ABCDA1B1C1D1 یک منشور صحیح است. مشخص است که BD = AB1 = 6√2. کل سطح بدن را پیدا کنید.

برای سهولت در درک عناصر شناخته شده، می توانید یک شکل بکشید.

از آنجایی که ما در مورد یک منشور منظم صحبت می کنیم، می توانیم نتیجه بگیریم که در قاعده مربعی با قطر 6√2 وجود دارد. مورب وجه جانبی هم اندازه است، بنابراین وجه جانبی هم شکل مربعی برابر با قاعده دارد. معلوم می شود که هر سه بعد - طول، عرض و ارتفاع - برابر هستند. می توان نتیجه گرفت که ABCDA1B1C1D1 یک مکعب است.

طول هر لبه از طریق یک مورب مشخص تعیین می شود:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

مساحت کل با استفاده از فرمول یک مکعب بدست می آید:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

وظیفه 3.

اتاق در حال بازسازی است. مشخص است که کف آن به شکل مربع به مساحت 9 متر مربع است. ارتفاع اتاق 2.5 متر است اگر 1 متر مربع 50 روبل هزینه داشته باشد، کمترین هزینه کاغذ دیواری برای اتاق است؟

از آنجایی که کف و سقف مربع، یعنی چهار گوش منظم و دیوارهای آن عمود بر سطوح افقی هستند، می‌توان نتیجه گرفت که یک منشور منظم است. تعیین مساحت سطح جانبی آن ضروری است.

طول اتاق است a = √9 = 3متر

منطقه با کاغذ دیواری پوشانده می شود ساید = 4 3 2.5 = 30 متر مربع.

کمترین هزینه کاغذ دیواری برای این اتاق خواهد بود 50·30 = 1500روبل

بنابراین، برای حل مشکلات در منشور مستطیلیکافی است بتوانید مساحت و محیط مربع و مستطیل را محاسبه کنید و همچنین فرمول های یافتن حجم و مساحت را بدانید.

چگونه مساحت یک مکعب را پیدا کنیم

چند وجهی

هدف اصلی مطالعه استریومتری اجسام فضایی است. بدننشان دهنده بخشی از فضا است که توسط یک سطح مشخص محدود شده است.

چند وجهیجسمی است که سطح آن از تعداد محدودی چند ضلعی مسطح تشکیل شده است. یک چندوجهی محدب نامیده می شود که در یک طرف صفحه هر چندضلعی صفحه روی سطح خود قرار گیرد. قسمت مشترک چنین صفحه ای و سطح یک چندوجهی نامیده می شود لبه. وجه های یک چند وجهی محدب چند ضلعی های محدب مسطح هستند. کناره های صورت ها نامیده می شود لبه های چند وجهی، و رئوس هستند رئوس چند وجهی.

به عنوان مثال، یک مکعب از شش مربع تشکیل شده است که وجه های آن هستند. این شامل 12 لبه (اضلاع مربع ها) و 8 راس (بالای مربع ها) است.

ساده ترین چند وجهی منشورها و اهرام هستند که در ادامه به بررسی آنها خواهیم پرداخت.

منشور

تعریف و خواص منشور

منشوریک چندوجهی متشکل از دو چند ضلعی مسطح است که در صفحات موازی قرار گرفته اند که با ترجمه موازی ترکیب شده اند و تمام بخش هایی که نقاط متناظر این چند ضلعی ها را به هم متصل می کنند. چند ضلعی نامیده می شود پایه های منشوری، و پاره های متصل کننده رئوس مربوط به چند ضلعی ها هستند لبه های جانبی منشور.

ارتفاع منشورفاصله بین صفحات پایه های آن () نامیده می شود. قطعه ای که دو راس منشور را که به یک صورت تعلق ندارند را به هم متصل می کند منشور مورب(). منشور نامیده می شود n-کربن، اگر پایه آن دارای یک n-gon باشد.

هر منشوری دارای ویژگی های زیر است که از ترکیب پایه های منشور با ترجمه موازی ناشی می شود:

1. پایه های منشور برابر است.

2. لبه های جانبی منشور موازی و مساوی هستند.

سطح منشور از پایه و سطح جانبی. سطح جانبی منشور از متوازی الاضلاع تشکیل شده است (این از ویژگی های منشور است). مساحت سطح جانبی یک منشور مجموع مساحت وجوه جانبی است.

منشور مستقیم

منشور نامیده می شود مستقیم، اگر لبه های جانبی آن عمود بر پایه ها باشد. در غیر این صورت منشور نامیده می شود متمایل شد.

وجوه یک منشور راست مستطیل هستند. ارتفاع یک منشور مستقیم برابر با وجوه جانبی آن است.

سطح منشور کاملمجموع سطح جانبی و مساحت پایه ها نامیده می شود.

با منشور مناسبمنشور راست با چند ضلعی منظم در قاعده آن نامیده می شود.

قضیه 13.1. مساحت سطح جانبی یک منشور مستقیم برابر است با حاصلضرب محیط و ارتفاع منشور (یا با لبه جانبی که یکسان است).

اثبات وجوه جانبی منشور راست مستطیل هایی هستند که پایه های آنها اضلاع چند ضلعی های پایه منشور و ارتفاعات لبه های جانبی منشور هستند. سپس طبق تعریف، مساحت سطح جانبی عبارت است از:

,

محیط قاعده منشور مستقیم کجاست.

موازی شکل

اگر متوازی الاضلاع در پایه یک منشور قرار بگیرند، آن را می نامند موازی شکل. تمام وجوه یک متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع هستند. در این حالت وجوه مخالف متوازی الاضلاع موازی و مساوی هستند.

قضیه 13.2. مورب های یک متوازی الاضلاع در یک نقطه قطع می شوند و بر نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند.

اثبات به عنوان مثال، دو قطر دلخواه را در نظر بگیرید و . چون وجه های یک متوازی الاضلاع متوازی الاضلاع هستند، سپس و، که به این معنی است که طبق To دو خط مستقیم موازی با خط سوم وجود دارد. علاوه بر این، این بدان معنی است که خطوط مستقیم و در یک صفحه (صفحه) قرار دارند. این صفحه صفحات موازی و در امتداد خطوط موازی را قطع می کند و . بنابراین، چهار ضلعی متوازی الاضلاع است و با خاصیت متوازی الاضلاع، قطرهای آن با هم قطع می شوند و با نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند، که همان چیزی بود که باید ثابت می شد.

متوازی الاضلاع راست که قاعده آن مستطیل است نامیده می شود متوازی الاضلاع مستطیلی. تمام وجوه یک متوازی الاضلاع مستطیلی مستطیل هستند. طول لبه های غیر موازی یک متوازی الاضلاع مستطیلی را آن می نامند ابعاد خطی(اندازه گیری ها). سه اندازه از این قبیل (عرض، ارتفاع، طول) وجود دارد.

قضیه 13.3. در یک متوازی الاضلاع مستطیلی، مربع هر قطری برابر است با مجموع مربع های سه بعدی آن. (با استفاده از فیثاغورث دو بار ثابت شد).

متوازی الاضلاع مستطیلی با تمام لبه های آن برابر نامیده می شود مکعب.

وظایف

13.1 چند قطر دارد؟ n-منشور کربن

13.2 در یک منشور مثلثی مایل، فاصله بین لبه های جانبی 37، 13 و 40 است. فاصله بین لبه کناری بزرگتر و لبه طرف مقابل را بیابید.

13.3 صفحه ای از ضلع پایه پایینی یک منشور مثلثی منظم کشیده می شود و وجوه جانبی را در امتداد بخش هایی با زاویه بین آنها قطع می کند. زاویه تمایل این صفحه به قاعده منشور را پیدا کنید.

شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه خواص اشکال مختلف (نقاط، خطوط، زوایا، اجسام دو بعدی و سه بعدی)، اندازه و موقعیت نسبی آنها می پردازد. برای سهولت آموزش، هندسه به پلان سنجی و استریومتری تقسیم می شود. در…… دایره المعارف کولیر

هندسه فضاهای با ابعاد بزرگتر از سه. این اصطلاح به فضاهایی اطلاق می شود که هندسه آنها در ابتدا برای حالت سه بعدی توسعه یافته بود و تنها پس از آن به تعداد ابعاد n>3 تعمیم داده شد، در درجه اول فضای اقلیدسی، ... ... دایره المعارف ریاضی

هندسه اقلیدسی N بعدی تعمیم هندسه اقلیدسی به فضایی با ابعاد بیشتر است. هر چند فضای فیزیکیسه بعدی است و حواس انسان برای درک سه بعدی طراحی شده است، N-بعدی... ... ویکی پدیا

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به Pyramidatsu (معانی) مراجعه کنید. پایایی این بخش از مقاله زیر سوال رفته است. شما باید صحت حقایق ذکر شده در این بخش را بررسی کنید. ممکن است توضیحاتی در صفحه بحث وجود داشته باشد... ویکی پدیا

- فناوری (Constructive Solid Geometry, CSG) مورد استفاده در مدلسازی جامدات. هندسه بلوک سازنده اغلب، اما نه همیشه، راهی برای مدل سازی در گرافیک های سه بعدی و CAD است. به شما اجازه می دهد یک صحنه پیچیده یا ... ویکی پدیا بسازید

هندسه جامد سازنده (CSG) یک فناوری است که در مدل سازی جامدات استفاده می شود. هندسه بلوک سازنده اغلب، اما نه همیشه، راهی برای مدل سازی در گرافیک های سه بعدی و CAD است. او... ... ویکی پدیا

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به حجم (معانی) مراجعه کنید. حجم یک تابع افزایشی یک مجموعه (اندازه) است که ظرفیت فضایی را که اشغال می کند مشخص می کند. در ابتدا پدید آمد و بدون سخت گیری... ... ویکی پدیا اعمال شد

نوع مکعب چند وجهی منظم صورت مربع رئوس لبه ها چهره ... ویکی پدیا

حجم یک تابع افزایشی یک مجموعه (اندازه) است که ظرفیت فضایی را که اشغال می کند مشخص می کند. در ابتدا بوجود آمد و بدون تعریف دقیق در رابطه با اجسام سه بعدی فضای سه بعدی اقلیدسی به کار رفت. ... ویکی پدیا

بخشی از فضای محدود شده توسط مجموعه ای از تعداد محدودی از چند ضلعی های مسطح (نگاه کنید به هندسه) به گونه ای متصل شده اند که هر ضلع هر چند ضلعی دقیقاً ضلعی از یک چند ضلعی دیگر باشد (به نام ... ... دایره المعارف کولیر

کتاب ها

• مجموعه میز. هندسه. کلاس دهم. 14 جدول + روش شناسی، . میزها بر روی مقوای ضخیم چاپ شده در ابعاد 680 در 980 میلی متر چاپ شده اند. کیت شامل بروشور باتوصیه های روش شناختی

برای معلم
آلبوم آموزشی 14 برگ…
تعریف 1. سطح منشوری
قضیه 1. در مقاطع موازی یک سطح منشوری
تعریف 2. مقطع عمود بر سطح منشوری
تعریف 3. منشور
تعریف 4. ارتفاع منشور

تعریف 5. منشور راست
قضیه 2. مساحت سطح جانبی منشور
موازی :
تعریف 6. موازی شکل
قضیه 3. در مورد تقاطع قطرهای یک متوازی الاضلاع
تعریف 7. متوازی الاضلاع راست
تعریف 8. متوازی الاضلاع مستطیل شکل
تعریف 9. اندازه گیری های موازی
تعریف 10. مکعب
تعریف 11. لوزی
قضیه 4. روی قطرهای یک متوازی الاضلاع مستطیلی شکل
قضیه 5. حجم یک منشور

منشورقضیه 6. حجم منشور مستقیم
قضیه 7. حجم یک متوازی الاضلاع مستطیل شکل چندوجهی است که دو وجه (پایه) آن در صفحات موازی قرار دارند و لبه هایی که در این وجوه قرار ندارند با یکدیگر موازی هستند..
صورت هایی غیر از پایه ها نامیده می شود جانبیاضلاع وجوه جانبی و پایه ها نامیده می شود دنده های منشوری، انتهای لبه ها نامیده می شود رئوس منشور دنده های جانبیلبه هایی که به پایه ها تعلق ندارند نامیده می شوند. اتحاد وجوه جانبی نامیده می شود سطح جانبی منشور، و اتحاد همه صورت ها نامیده می شود سطح کامل منشور ارتفاع منشوربه آن عمود افت شده از نقطه قاعده بالا به صفحه قاعده پایین یا طول این عمود می گویند. منشور مستقیممنشوری نامیده می شود که لبه های کناری آن بر صفحات قاعده ها عمود هستند.

درست است
منشور مستقیم نامیده می شود (شکل 3)، که در قاعده آن یک چندضلعی منتظم قرار دارد.
نامگذاری ها:
ل - دنده جانبی؛
P - محیط پایه؛
S o - منطقه پایه؛
H - ارتفاع؛
P^ - محیط مقطع عمودی؛
S p مساحت کل سطح منشور است.

تعریف 2 . برش عمود بر یک سطح منشوری بخشی از این سطح توسط صفحه ای عمود بر لبه های آن است. بر اساس قضیه قبلی، تمام مقاطع عمود بر یک سطح منشوری یکسان چندضلعی خواهند بود.

تعریف 3 . منشور چند وجهی است که توسط یک سطح منشوری و دو صفحه موازی با یکدیگر (اما نه موازی با لبه های سطح منشوری) محدود شده است.
چهره هایی که در این آخرین هواپیماها قرار دارند نامیده می شوند پایه های منشوری; چهره های متعلق به سطح منشوری - صورت های جانبی; لبه های سطح منشوری - دنده های جانبی منشور. بر اساس قضیه قبلی، پایه منشور است چند ضلعی های مساوی. تمام وجوه جانبی منشور - متوازی الاضلاع; همه دنده های کناری با یکدیگر برابر هستند.
بدیهی است که اگر پایه منشور ABCDE و یکی از یال های AA در اندازه و جهت داده شود، می توان با کشیدن لبه های BB، CC، ... مساوی و موازی با لبه AA، منشوری ساخت. .

تعریف 4 . ارتفاع یک منشور فاصله بین صفحات پایه های آن (HH") است.

تعریف 5 . منشوری را در صورتی مستقیم می نامند که پایه های آن عمود بر سطح منشوری باشد. در این مورد، ارتفاع منشور، البته، آن است دنده کناری; لبه های جانبی خواهد بود مستطیل ها.
منشورها را می توان بر اساس تعداد وجه های جانبی طبقه بندی کرد. تعداد مساویاضلاع چند ضلعی که به عنوان پایه آن عمل می کند. بنابراین، منشورها می توانند مثلثی، چهار گوش، پنج ضلعی و غیره باشند.

قضیه 2 . مساحت سطح جانبی منشور برابر است با حاصلضرب لبه جانبی و محیط بخش عمود بر آن.
فرض کنید ABCDEA"B"C"D"E" یک منشور معین باشد و برش عمود بر آن را abcde کنید، به طوری که پاره های ab، bc، .. بر لبه های جانبی آن عمود باشند. وجه ABA"B" متوازی الاضلاع است؛ مساحت آن برابر است با حاصلضرب پایه AA به ارتفاعی که با ab منطبق است. مساحت صورت ВСВ "С" برابر با حاصلضرب پایه ВВ در ارتفاع bc و غیره است. در نتیجه سطح جانبی (یعنی مجموع مساحت وجوه جانبی) برابر با حاصلضرب است. از لبه جانبی، به عبارت دیگر، طول کلبخش های AA، BB، ..، برای مقدار ab+bc+cd+de+ea.