مساحت سطح جانبی هرم دلخواه برابر است با مجموع مساحت وجوه جانبی آن. ارائه یک فرمول خاص برای بیان این ناحیه در مورد هرم منظم منطقی است. بنابراین، اجازه دهید یک هرم منتظم به ما داده شود که در قاعده آن یک n-ضلعی منتظم با ضلع برابر با a قرار دارد. فرض کنید h ارتفاع صورت کناری باشد که به آن نیز گفته می شود حکماهرام مساحت یک طرف وجه 1/2 ساعت و کل آن است سطح جانبیهرم مساحتی برابر با n/2 هکتار دارد، از آنجایی که na محیط قاعده هرم است، می‌توانیم فرمول پیدا شده را به شکل زیر بنویسیم.

سطح جانبییک هرم منتظم برابر است با حاصلضرب آپوتم آن و نصف محیط قاعده.

در رابطه با سطح کل، سپس به سادگی مساحت پایه را به کناری اضافه می کنیم.

کره و گوی کتیبه و محصور. لازم به ذکر است که مرکز کره حک شده در هرم در محل تلاقی صفحات نیمساز زوایای دو وجهی داخلی هرم قرار دارد. مرکز کره توصیف شده در نزدیکی هرم در تقاطع صفحاتی قرار دارد که از نقاط میانی لبه های هرم و عمود بر آنها عبور می کنند.

هرم کوتاه شده.اگر یک هرم توسط صفحه ای موازی با قاعده آن بریده شود، آنگاه قسمت محصور بین صفحه برش و پایه نامیده می شود. هرم کوتاه شدهشکل یک هرم را نشان می دهد که قسمت آن را که بالای صفحه برش قرار دارد دور می اندازد. واضح است که هرم کوچک دور ریخته شده با هرم بزرگی که مرکز همتگی در راس آن قرار دارد، یکسان است. ضریب تشابه برابر است با نسبت ارتفاع: k=h 2 /h 1، یا لبه های جانبی، یا سایر مربوطه ابعاد خطیهر دو هرم می دانیم که مساحت های شکل های مشابه مانند مربع هایی با ابعاد خطی به هم مرتبط هستند. بنابراین مساحت قاعده های هر دو هرم (یعنی مساحت پایه های هرم ناقص) به صورت مرتبط است.

در اینجا S 1 مساحت قاعده پایینی است و S 2 مساحت قاعده بالایی هرم کوتاه شده است. سطوح جانبی اهرام در یک رابطه هستند. قانون مشابهی برای حجم ها وجود دارد.

حجم اجسام مشابهمانند مکعب هایی از ابعاد خطی خود مرتبط هستند. به عنوان مثال، حجم اهرام به عنوان حاصل ضرب ارتفاع آنها و مساحت پایه ها به هم مربوط می شود، که قانون ما بلافاصله از آن به دست می آید. ماهیت کاملاً کلی دارد و مستقیماً از این واقعیت ناشی می شود که حجم همیشه دارای بعد قدرت سوم طول است. با استفاده از این قانون، فرمولی استخراج می کنیم که حجم یک هرم کوتاه را از طریق ارتفاع و مساحت پایه ها بیان می کند.

اجازه دهید یک هرم کوتاه با ارتفاع h و مناطق پایه S 1 و S 2 داده شود. اگر تصور کنیم که آن را به یک هرم کامل بسط می دهیم، آنگاه ضریب شباهت بین هرم کامل و هرم کوچک را می توان به راحتی به عنوان ریشه نسبت S 2 / S 1 یافت. ارتفاع یک هرم کوتاه به صورت h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) بیان می شود. اکنون برای حجم یک هرم ناقص داریم (V 1 و V 2 حجم هرم کامل و کوچک را نشان می دهد)

فرمول حجم یک هرم کوتاه

اجازه دهید فرمول مساحت S سطح جانبی یک هرم منقطع منظم را از طریق محیط‌های P 1 و P 2 قاعده‌ها و طول آپوتم a استخراج کنیم. ما دقیقاً به همان روشی که فرمول حجم را استخراج می کنیم، استدلال می کنیم. تکمیل هرم قسمت بالا، داریم P 2 = kP 1، S 2 = k 2 S 1، که k ضریب شباهت، P 1 و P 2 محیط پایه ها، و S 1 و S 2 مساحت سطوح جانبی هستند. کل هرم حاصل و قسمت بالایی آن به ترتیب. برای سطح جانبی که پیدا می کنیم (a 1 و a 2 اهرام اهرام هستند، a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

فرمول مساحت سطح جانبی یک هرم منقطع منظم

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط مشی رازداری ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً شیوه های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و در صورت داشتن هر گونه سوال به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم ایمیلو غیره

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و به شما اطلاع دهیم پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و رویدادهای دیگر و رویدادهای آینده.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، در محاکمهو/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان‌های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

استوانه جسمی هندسی است که توسط دو صفحه موازی محدود شده است و سطح استوانه ای. در مقاله در مورد چگونگی پیدا کردن مساحت یک استوانه صحبت خواهیم کرد و با استفاده از فرمول، چندین مشکل را به عنوان مثال حل خواهیم کرد.

یک استوانه دارای سه سطح است: یک سطح بالا، یک پایه و یک سطح جانبی.

قسمت بالایی و پایه یک استوانه دایره ای است و به راحتی قابل تشخیص است.

مشخص است که مساحت یک دایره برابر با πr 2 است. بنابراین، فرمول مساحت دو دایره (بالا و پایه استوانه) πr 2 + πr 2 = 2πr 2 خواهد بود.

سومین سطح جانبی سیلندر، دیواره منحنی سیلندر است. برای تصور بهتر این سطح، بیایید سعی کنیم آن را تغییر دهیم تا شکل قابل تشخیصی به دست بیاوریم. تصور کنید که سیلندر معمولی است قلع، که پوشش بالایی یا پایینی ندارد. بیایید یک برش عمودی روی دیوار کناری از بالا تا پایه قوطی ایجاد کنیم (مرحله 1 در شکل) و سعی کنیم شکل به دست آمده را تا حد امکان باز کنیم (صاف کنید) (مرحله 2).

پس از باز شدن کامل شیشه حاصل، یک شکل آشنا خواهیم دید (مرحله 3)، این یک مستطیل است. مساحت یک مستطیل به راحتی قابل محاسبه است. اما قبل از آن، اجازه دهید برای لحظه ای به سیلندر اصلی برگردیم. راس استوانه اصلی یک دایره است و می دانیم که محیط با فرمول محاسبه می شود: L = 2πr. با رنگ قرمز در شکل مشخص شده است.

وقتی دیواره کناری استوانه کاملاً باز شد، می بینیم که محیط به طول مستطیل حاصل می شود. اضلاع این مستطیل محیط (L = 2πr) و ارتفاع استوانه (h) خواهد بود. مساحت یک مستطیل برابر است با حاصل ضرب اضلاع آن - S = طول x عرض = L x h = 2πr x h = 2πrh. در نتیجه، فرمولی برای محاسبه مساحت سطح جانبی سیلندر به دست آوردیم.

فرمول سطح جانبی یک استوانه
سمت S = 2πrh

مساحت کل یک سیلندر

در نهایت، اگر مساحت هر سه سطح را اضافه کنیم، فرمول کل سطح یک استوانه را بدست می آوریم. مساحت استوانه برابر است با مساحت بالای سیلندر + مساحت پایه سیلندر + مساحت سطح جانبی سیلندر یا S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. گاهی اوقات این عبارت یکسان با فرمول 2πr (r + h) نوشته می شود.

فرمول مساحت کل یک استوانه
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r - شعاع سیلندر، h - ارتفاع سیلندر

نمونه هایی از محاسبه مساحت سطح یک استوانه

برای درک فرمول های بالا، بیایید سعی کنیم سطح یک استوانه را با استفاده از مثال ها محاسبه کنیم.

1. شعاع پایه استوانه 2، ارتفاع 3 است. مساحت سطح جانبی استوانه را تعیین کنید.

سطح کل با استفاده از فرمول: سمت S محاسبه می شود. = 2πrh

سمت S = 2 * 3.14 * 2 * 3

سمت S = 6.28 * 6

سمت S = 37.68

سطح جانبی سیلندر 37.68 است.

2. اگر ارتفاع استوانه 4 و شعاع آن 6 باشد چگونه مساحت سطح استوانه را پیدا کنیم؟

سطح کل با فرمول محاسبه می شود: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

• مسئله 1. مساحت کل هرم را پیدا کنید
• مسئله 2. مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را پیدا کنید

مشکل 1. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

راه حل.

در قاعده یک هرم مثلثی منظم یک مثلث متساوی الاضلاع قرار دارد.
بنابراین برای حل مشکل از خواص یک مثلث منظم استفاده می کنیم:

ما ارتفاع مثلث را می دانیم، از جایی که می توانیم مساحت آن را پیدا کنیم.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

از آنجایی که مساحت پایه برابر خواهد بود با:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بیایید از جدول مقادیر توابع مثلثاتی استفاده کنیم و مقادیر شناخته شده را جایگزین کنیم.

OK / MK = √2/2

بیایید در نظر بگیریم که OK برابر با شعاع دایره محاط است. سپس
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

سپس
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

سپس مساحت وجه جانبی برابر با نصف حاصلضرب ارتفاع و قاعده مثلث است.
ساید = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

بنابراین، مساحت کل هرم برابر خواهد بود
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

پاسخ دهید: 3√3 + 18/√6

مشکل 2. مساحت سطح جانبی یک هرم منظم را پیدا کنید

راه حل.

از آنجایی که قاعده یک هرم مثلثی منتظم یک مثلث متساوی الاضلاع است، AO شعاع دایره ای است که دور قاعده محصور شده است.
(این نتیجه از)

شعاع دایره ای را که به دور یک مثلث متساوی الاضلاع احاطه شده است را از ویژگی های آن می یابیم

از این رو طول لبه های یک هرم مثلثی منتظم برابر خواهد بود با:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ارتفاع هرم با شرط (10 سانتی متر)، AO = 16√3/3 شناخته می شود.
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

هر ضلع هرم یک مثلث متساوی الساقین است. مربع مثلث متساوی الساقینما از اولین فرمول ارائه شده در زیر می یابیم

S = 1/2 * 16 مربع ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 متر مربع ((556/3) - 64)
S = 8 متر مربع (364/3)
S = 16 متر مربع (91/3)

از آنجایی که هر سه وجه هرم منظم با هم برابر هستند، سطح جانبی برابر خواهد بود
3S = 48 √(91/3)

پاسخ: 48 √(91/3)

مسئله 3. مساحت کل یک هرم منظم را پیدا کنید

ضلع هرم مثلثی منظم 3 سانتی متر و زاویه بین وجه جانبی و قاعده هرم 45 درجه است. مساحت کل هرم را پیدا کنید.

راه حل.
از آنجایی که هرم منظم است، یک مثلث متساوی الاضلاع در قاعده آن وجود دارد. بنابراین مساحت پایه است


بنابراین = 9 * √3/4

برای یافتن مساحت وجه جانبی، ارتفاع کیلومتر را محاسبه می کنیم. با توجه به مشکل، زاویه OKM 45 درجه است.
بدین ترتیب:
OK / MK = cos 45
بهره ببریم

شکلی چند وجهی است که قاعده آن چند ضلعی است و وجوه باقیمانده با مثلث هایی با راس مشترک نشان داده می شوند.

اگر قاعده مربع باشد، هرم نامیده می شود چهار گوش، اگر یک مثلث - پس مثلثی. ارتفاع هرم از بالای آن عمود بر قاعده کشیده شده است. همچنین برای محاسبه مساحت استفاده می شود حکم- ارتفاع صورت کناری، از بالای آن پایین آمده است.
فرمول مساحت سطح جانبی هرم، مجموع مساحت وجوه جانبی آن است که با یکدیگر برابر هستند. با این حال، این روش محاسبه بسیار به ندرت استفاده می شود. اساساً مساحت هرم از طریق محیط قاعده و آپوتم محاسبه می شود:

بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم را در نظر بگیریم.

بگذارید یک هرم با پایه ABCDE و بالای F داده شود. AB = BC = DE = 3 سانتی متر a = 5 سانتی متر مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
بیایید محیط را پیدا کنیم. از آنجایی که تمام لبه های پایه برابر هستند، محیط پنج ضلعی برابر است با:
اکنون می توانید ناحیه جانبی هرم را پیدا کنید:

مساحت یک هرم مثلثی منظم

هرم مثلثی منتظم از قاعده ای تشکیل شده است که در آن یک مثلث منظم و سه وجه ضلعی که مساحت آنها برابر است، قرار دارد.
فرمول سطح جانبی هرم مثلثی منظم را می توان محاسبه کرد به روش های مختلف. می توانید فرمول محاسبه معمول را با استفاده از محیط و آپوتم اعمال کنید یا می توانید مساحت یک وجه را پیدا کنید و آن را در سه ضرب کنید. از آنجایی که صورت هرم مثلث است، فرمول مساحت مثلث را اعمال می کنیم. به یک آپوتم و طول پایه نیاز دارد. بیایید مثالی از محاسبه مساحت سطح جانبی یک هرم مثلثی منظم را در نظر بگیریم.

یک هرم با آپوتم a = 4 سانتی متر و وجه پایه b = 2 سانتی متر در نظر گرفته می شود، مساحت سطح جانبی هرم را پیدا کنید.
ابتدا مساحت یکی از وجه های کناری را پیدا کنید. در در این مورداو خواهد کرد:
مقادیر را در فرمول جایگزین کنید:
از آنجایی که در یک هرم معمولی همه اضلاع یکسان هستند، مساحت سطح جانبی هرم برابر با مجموع مساحت سه وجه خواهد بود. به ترتیب:

مساحت یک هرم ناقص

کوتاه شدههرم چند وجهی است که توسط یک هرم و سطح مقطع آن موازی با قاعده تشکیل شده است.
فرمول سطح جانبی هرم کوتاه بسیار ساده است. مساحت برابر است با حاصل ضرب نصف مجموع محیط قاعده ها و آپوتم: