هنگام مطالعه استریومتری، یکی از موضوعات اصلی "سیلندر" است. مساحت سطح جانبی، اگر اصلی نباشد، فرمول مهمی در هنگام حل مسائل هندسی در نظر گرفته می شود. با این حال، یادآوری تعاریفی که به شما در پیمایش مثال‌ها و هنگام اثبات قضایای مختلف کمک می‌کند، مهم است.

مفهوم سیلندر

ابتدا باید چند تعریف را در نظر گرفت. فقط پس از مطالعه آنها می توانیم سؤال فرمول مساحت سطح جانبی یک استوانه را در نظر بگیریم. بر اساس این رکورد می توان عبارات دیگری را محاسبه کرد.

• سطح استوانه‌ای به عنوان صفحه‌ای توصیف می‌شود که توسط یک ژنراتیکس توصیف می‌شود که حرکت می‌کند و به موازات یک جهت معین باقی می‌ماند و در امتداد یک منحنی موجود می‌لغزد.
• همچنین یک تعریف دوم وجود دارد: یک سطح استوانه ای توسط مجموعه ای از خطوط موازی که یک منحنی معین را قطع می کنند تشکیل می شود.
• ژنراتیکس معمولاً ارتفاع سیلندر نامیده می شود. هنگامی که حول محوری که از مرکز پایه می گذرد حرکت می کند، بدنه هندسی نشان داده شده به دست می آید.
• منظور از محور، خط مستقیمی است که از هر دو پایه شکل می گذرد.
• استوانه یک جسم استریومتریک است که توسط یک سطح جانبی متقاطع و دو صفحه موازی محدود شده است.

انواع مختلفی از این شکل حجمی وجود دارد:

1. منظور از دایره، استوانه ای است که راهنمای آن دایره است. اجزای اصلی آن شعاع پایه و ژنراتیکس هستند. دومی برابر با ارتفاع شکل است.
2. یک استوانه مستقیم وجود دارد. نام خود را به دلیل عمود بودن شکل شکل دهنده به پایه ها دریافت کرد.
3. نوع سوم استوانه ای اریب است. در کتاب های درسی می توانید نام دیگری برای آن بیابید: "استوانه ای دایره ای با پایه اریب". این رقم با شعاع پایه، حداقل و حداکثر ارتفاع تعیین می شود.
4. استوانه متساوی الاضلاع به جسمی گفته می شود که ارتفاع و قطر یک صفحه دایره ای برابر دارد.

افسانه

به طور سنتی، "اجزای" اصلی سیلندر به شرح زیر نامیده می شود:

• شعاع پایه R است (همچنین جایگزین مقدار مشابه یک شکل استریومتریک می شود).
• ژنراتور - L.
• قد - H.
• مساحت پایه پایه S است (به عبارت دیگر لازم است پارامتر مشخص شده دایره را پیدا کنید).
• ارتفاع استوانه اریب h 1، h 2 (حداقل و حداکثر) است.
• سطح جانبی ضلع S است (اگر آن را باز کنید، نوعی مستطیل خواهید داشت).
• حجم یک شکل استریومتریک V است.
• سطح کل - S.

"اجزای" یک شکل استریومتریک

هنگام مطالعه یک استوانه، سطح جانبی نقش مهمی ایفا می کند. این به این دلیل است که این فرمول در چندین فرمول پیچیده دیگر گنجانده شده است. بنابراین لازم است که در تئوری تسلط کامل داشته باشیم.

اجزای اصلی شکل عبارتند از:

1. سطح جانبی. همانطور که مشخص است، به دلیل حرکت ژنراتیکس در امتداد یک منحنی مشخص به دست می آید.
2. سطح کامل شامل پایه های موجود و صفحه جانبی می باشد.
3. سطح مقطع یک استوانه، به عنوان یک قاعده، مستطیلی است که به موازات محور شکل قرار دارد. در غیر این صورت به آن هواپیما می گویند. به نظر می رسد که طول و عرض نیز اجزای دیگر شکل ها هستند. بنابراین، به طور معمول، طول بخش ژنراتور است. عرض - آکوردهای موازی یک شکل استریومتریک.
4. منظور ما از مقطع محوری، محل قرارگیری هواپیما از مرکز بدنه است.
5. و در نهایت یک تعریف نهایی. مماس صفحه ای است که از ژنراتیکس استوانه می گذرد و در زاویه قائم به بخش محوری قرار دارد. در این صورت یک شرط باید رعایت شود. ژنراتیکس مشخص شده باید در صفحه بخش محوری گنجانده شود.

فرمول های اساسی برای کار با سیلندر

برای پاسخ به این سوال که چگونه مساحت سطح یک استوانه را پیدا کنیم، لازم است "اجزای" اصلی یک شکل استریومتریک و فرمول های پیدا کردن آنها را مطالعه کنیم.

این فرمول ها از این جهت متفاوت هستند که ابتدا عبارات برای یک استوانه اریب و سپس برای یک استوانه مستقیم داده می شود.

نمونه هایی با محلول جدا شده

لازم است مساحت سطح جانبی سیلندر را دریابید. قطر مقطع AC = 8 سانتی متر داده شده است (و محوری است). پس از تماس با ژنراتیکس معلوم می شود< ACD = 30°

راه حل. از آنجایی که مقادیر مورب و زاویه مشخص هستند، در این مورد:

• CD = AC * cos 30 درجه.

یک نظر. مثلث ACD، در مثال خاص، مستطیل شکل. این بدان معنی است که ضریب CD و AC = کسینوس زاویه موجود. معنی توابع مثلثاتیرا می توان در یک جدول خاص یافت.

به طور مشابه، می توانید مقدار AD را پیدا کنید:

• AD = AC*sin 30°

اکنون باید نتیجه مورد نظر را با استفاده از فرمول زیر محاسبه کنید: مساحت سطح جانبی استوانه برابر با دو برابر حاصل ضرب "pi"، شعاع شکل و ارتفاع آن است. فرمول دیگری باید استفاده شود: مساحت پایه سیلندر. برابر است با حاصل ضرب "pi" در مربع شعاع. و در نهایت آخرین فرمول: مساحت کلسطوح برابر است با مجموع دو ناحیه قبلی.

سیلندر داده می شود. حجم آنها = 128 * p cm³. کدام استوانه کمترین مساحت کل را دارد؟

راه حل. ابتدا باید از فرمول های حجم یک شکل و ارتفاع آن استفاده کنید.

از آنجایی که سطح کل استوانه از نظر تئوری مشخص است، لازم است فرمول آن اعمال شود.

اگر فرمول به دست آمده را تابعی از مساحت سیلندر در نظر بگیریم، حداقل "نشانگر" در نقطه منتهی به دست می آید. برای به دست آوردن آخرین مقدار، باید از تمایز استفاده کنید.

فرمول ها را می توان در یک جدول ویژه برای یافتن مشتقات مشاهده کرد. پس از آن، نتیجه یافت شده برابر با صفر می شود و یک راه حل برای معادله پیدا می شود.

پاسخ: S min در h = 1/32 سانتی متر، R = 64 سانتی متر به دست می آید.

یک شکل استریومتریک داده می شود - یک استوانه و یک بخش. دومی به گونه ای انجام می شود که به موازات محور بدنه استریومتریک قرار دارد. استوانه دارای پارامترهای زیر است: VK = 17 سانتی متر، h = 15 سانتی متر، R = 5 سانتی متر لازم است فاصله بین مقطع و محور را پیدا کنید.

از آنجایی که سطح مقطع یک استوانه به عنوان VSKM، یعنی مستطیل درک می شود، پس ضلع آن BM = h. VMC باید در نظر گرفته شود. مثلث یک مثلث قائم الزاویه است. بر اساس این عبارت، می‌توانیم این فرض درست را استنباط کنیم که MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

از این می توان نتیجه گرفت که MK = BC = 8 سانتی متر.

مرحله بعدی کشیدن یک مقطع از پایه شکل است. لازم است صفحه حاصل را در نظر بگیرید.

AD قطر یک شکل استریومتریک است. موازی با بخش ذکر شده در بیانیه مشکل است.

BC یک خط مستقیم است که در صفحه مستطیل موجود قرار دارد.

ABCD - ذوزنقه. در این مورد خاص، متساوی الساقین در نظر گرفته می شود، زیرا یک دایره در اطراف آن محصور شده است.

اگر ارتفاع ذوزنقه به دست آمده را بیابید، می توانید پاسخ داده شده در ابتدای مسئله را دریافت کنید. یعنی: یافتن فاصله بین محور و مقطع ترسیم شده.

برای انجام این کار، باید مقادیر AD و OS را پیدا کنید.

پاسخ: مقطع در فاصله 3 سانتی متری از محور قرار دارد.

وظایف برای ادغام مواد

یک سیلندر داده شده است. سطح جانبی در محلول بعدی استفاده می شود. پارامترهای دیگر شناخته شده است. مساحت پایه Q است، سطح مقطع محوری M است. لازم است S را پیدا کنید. به عبارت دیگر، مساحت کل استوانه است.

یک سیلندر داده شده است. مساحت سطح جانبی باید در یکی از مراحل حل مشکل پیدا شود. مشخص است که ارتفاع = 4 سانتی متر، شعاع = 2 سانتی متر لازم است که مساحت کل شکل استریومتری را پیدا کنید.

تعداد زیادی از مشکلات مربوط به سیلندر وجود دارد. در آنها باید شعاع و ارتفاع بدن یا نوع بخش آن را پیدا کنید. به علاوه، گاهی اوقات باید مساحت یک سیلندر و حجم آن را محاسبه کنید.

کدام بدنه استوانه ای است؟

میدانم برنامه آموزشی مدرسهیک استوانه دایره ای، یعنی یکی در پایه، مورد مطالعه قرار می گیرد. اما ظاهر بیضوی این شکل نیز متمایز است. از نام آن مشخص است که پایه آن بیضی یا بیضی خواهد بود.

سیلندر دو پایه دارد. آنها با یکدیگر برابر هستند و توسط قطعاتی که نقاط مربوط به پایه ها را ترکیب می کنند به هم متصل می شوند. به آنها مولدهای سیلندر می گویند. همه ژنراتورها موازی با یکدیگر و برابر هستند. سطح جانبی بدن را تشکیل می دهند.

که در مورد کلیسیلندر یک بدنه مایل است. اگر ژنراتورها با پایه ها یک زاویه قائمه ایجاد کنند، آنگاه از یک شکل مستقیم صحبت می کنیم.

جالب اینجاست که یک استوانه مدور بدنه ای از چرخش است. با چرخاندن یک مستطیل به دور یکی از اضلاع آن به دست می آید.

عناصر اصلی سیلندر

عناصر اصلی سیلندر به این صورت است.

1. ارتفاع این کمترین فاصله بین پایه های سیلندر است. اگر مستقیم باشد، ارتفاع با ژنراتیکس منطبق است.
2. شعاع. منطبق بر آن چیزی است که می توان در پایه ترسیم کرد.
3. محور. این یک خط مستقیم است که شامل مرکز هر دو پایه است. محور همیشه با همه ژنراتورها موازی است. در یک استوانه مستقیم بر پایه ها عمود است.
4. بخش محوری. زمانی تشکیل می شود که یک استوانه صفحه حاوی یک محور را قطع کند.
5. هواپیمای مماس. از یکی از ژنراتیکس ها عبور می کند و عمود بر قسمت محوری است که از این ژنراتیکس کشیده شده است.

چگونه استوانه ای به منشوری که در آن حک شده و یا اطراف آن توصیف شده است متصل می شود؟

گاهی اوقات مشکلاتی وجود دارد که در آنها باید مساحت یک استوانه را محاسبه کنید، اما برخی از عناصر منشور مرتبط شناخته شده است. این ارقام چگونه به هم مرتبط هستند؟

اگر منشوری در یک استوانه حک شده باشد، پایه های آن چند ضلعی های مساوی هستند. علاوه بر این، آنها در پایه های مربوط به سیلندر حک شده اند. لبه های جانبی منشور با ژنراتورها منطبق است.

منشور توصیف شده دارای چندضلعی های منظم در قاعده خود است. آنها در اطراف دایره های استوانه، که پایه های آن هستند، توصیف شده اند. صفحاتی که شامل وجه های منشور هستند، استوانه را در امتداد ژنراتورهای خود لمس می کنند.

در ناحیه سطح جانبی و پایه یک استوانه دایره ای راست

اگر سطح کناری را باز کنید، یک مستطیل خواهید داشت. اضلاع آن با ژنراتیکس و محیط پایه منطبق خواهد بود. بنابراین مساحت جانبی سیلندر برابر حاصلضرب این دو مقدار خواهد بود. اگر فرمول را یادداشت کنید، موارد زیر را دریافت خواهید کرد:

سمت S = l * n،

جایی که n مولد، l محیط است.

علاوه بر این، آخرین پارامتر با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

l = 2 π * r،

در اینجا r شعاع دایره است، π عدد "pi" برابر با 3.14 است.

از آنجایی که پایه یک دایره است، مساحت آن با استفاده از عبارت زیر محاسبه می شود:

S اصلی = π * r 2 .

در مساحت کل سطح یک استوانه دایره ای راست

از آنجایی که توسط دو پایه و یک سطح جانبی تشکیل شده است، باید این سه مقدار را اضافه کنید. یعنی مساحت کل سیلندر با فرمول محاسبه می شود:

S طبقه = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

اغلب به شکل دیگری نوشته می شود:

S طبقه = 2 π * r (n + r).

در نواحی یک استوانه دایره ای مایل

در مورد پایه ها، همه فرمول ها یکسان هستند، زیرا آنها هنوز دایره هستند. اما سطح جانبی دیگر مستطیل نمی دهد.

برای محاسبه مساحت سطح جانبی یک استوانه شیبدار، باید مقادیر ژنراتیکس و محیط مقطع را که عمود بر ژنراتیکس انتخاب شده است ضرب کنید.

فرمول به صورت زیر است:

سمت S = x * P،

که در آن x طول ژنراتیکس سیلندر است، P محیط مقطع است.

به هر حال، بهتر است قسمتی را طوری انتخاب کنید که بیضی شکل بگیرد. سپس محاسبات محیط آن ساده می شود. طول بیضی با استفاده از فرمولی که جواب تقریبی می دهد محاسبه می شود. اما اغلب برای وظایف یک دوره مدرسه کافی است:

l = π * (a + b)،

که در آن "a" و "b" نیم محورهای بیضی هستند، یعنی فاصله مرکز تا نزدیکترین و دورترین نقاط آن.

مساحت کل سطح باید با استفاده از عبارت زیر محاسبه شود:

S طبقه = 2 π * r 2 + x * R.

چند بخش از استوانه دایره ای راست چیست؟

هنگامی که یک مقطع از یک محور عبور می کند، مساحت آن به عنوان حاصل ضرب ژنراتیکس و قطر پایه تعیین می شود. این با این واقعیت توضیح داده می شود که شکل یک مستطیل دارد که اضلاع آن با عناصر تعیین شده منطبق است.

برای یافتن سطح مقطع استوانه ای که موازی با محوری است، به فرمولی برای مستطیل نیز نیاز دارید. در این حالت یک ضلع آن همچنان با ارتفاع منطبق است و دیگری برابر با وتر پایه خواهد بود. دومی با خط مقطع در امتداد پایه منطبق است.

هنگامی که مقطع عمود بر محور باشد، مانند یک دایره به نظر می رسد. علاوه بر این، مساحت آن با پایه شکل یکسان است.

همچنین امکان تقاطع در زاویه ای نسبت به محور وجود دارد. سپس مقطع منجر به یک بیضی یا قسمتی از آن می شود.

نمونه مشکلات

وظیفه شماره 1.با توجه به یک استوانه مستقیم که مساحت پایه آن 12.56 سانتی متر مربع است. اگر ارتفاع سیلندر 3 سانتی متر باشد، باید مساحت کل استوانه را محاسبه کرد.

راه حل. استفاده از فرمول برای مساحت کل یک استوانه دایره ای مستقیم ضروری است. اما فاقد داده است، یعنی شعاع پایه. اما مساحت دایره مشخص است. محاسبه شعاع از روی آن آسان است.

معلوم می شود که برابر است با جذر ضریب که با تقسیم مساحت پایه بر پی بدست می آید. از تقسیم 12.56 بر 3.14 عدد 4 بدست می آید. ریشه دوماز 4، این 2 است. بنابراین، شعاع دقیقاً این مقدار را خواهد داشت.

جواب: کف S = 50.24 سانتی متر مربع.

وظیفه شماره 2.استوانه ای به شعاع 5 سانتی متر توسط صفحه ای موازی با محور بریده می شود. فاصله از مقطع تا محور 3 سانتی متر است. ارتفاع استوانه باید سطح مقطع را پیدا کنید.

راه حل. شکل مقطع مستطیل است. یکی از اضلاع آن با ارتفاع استوانه منطبق است و دیگری برابر با وتر است. اگر مقدار اول مشخص باشد، باید مقدار دوم را پیدا کرد.

برای انجام این کار، ساخت و ساز اضافی باید ساخته شود. در پایه ما دو بخش ترسیم می کنیم. هر دو از مرکز دایره شروع خواهند شد. اولین در مرکز وتر و برابر با فاصله شناخته شده از محور به پایان می رسد. دومی در پایان آکورد است.

یک مثلث قائم الزاویه بدست خواهید آورد. هیپوتنوز و یکی از پاها در آن شناخته شده است. هیپوتنوس با شعاع منطبق است. پای دوم برابر با نصف وتر است. ساق مجهول ضرب در 2 طول وتر مورد نظر را به دست می دهد. بیایید ارزش آن را محاسبه کنیم.

برای پیدا کردن پای مجهول، باید هیپوتانوس و پای شناخته شده را مربع کنید، دومی را از اولی کم کنید و جذر آن را بگیرید. مربع ها 25 و 9 هستند. اختلاف آنها 16 است. پس از گرفتن ریشه، 4 پای مورد نظر باقی می ماند.

وتر برابر با 4 * 2 = 8 (سانتی متر) خواهد بود. اکنون می توانید سطح مقطع را محاسبه کنید: 8 * 4 = 32 (cm 2).

پاسخ: ضربدر S برابر با 32 سانتی متر مربع است.

وظیفه شماره 3.محاسبه سطح مقطع محوری سیلندر ضروری است. معلوم است که مکعبی با لبه 10 سانتی متر در آن حک شده است.

راه حل. بخش محوری استوانه منطبق بر مستطیلی است که از چهار راس مکعب می گذرد و مورب های پایه های آن را در بر می گیرد. طرف مکعب ژنراتیکس استوانه است و مورب پایه با قطر منطبق است. حاصلضرب این دو مقدار مساحتی را می دهد که باید در مسئله پیدا کنید.

برای یافتن قطر، باید از دانش استفاده کنید که پایه مکعب مربع است و مورب آن متساوی الاضلاع است. راست گوشه. هیپوتانوس آن قطر مورد نظر شکل است.

برای محاسبه آن به فرمول قضیه فیثاغورث نیاز دارید. باید ضلع مکعب را مربع کنید، آن را در 2 ضرب کنید و جذر آن را بگیرید. ده به توان دوم صد است. ضرب در 2 می شود دویست. جذر 200 برابر 10√2 است.

این بخش دوباره یک مستطیل با اضلاع 10 و 10√2 است. مساحت آن را می توان به راحتی با ضرب این مقادیر محاسبه کرد.

پاسخ. بخش S = 100√2 سانتی متر مربع.

مساحت سطح جانبی یک استوانه برابر است با مساحت مستطیلی که قاعده آن 2π است. r، و ارتفاع برابر با ارتفاع استوانه است ساعت، یعنی 2π rh.

سطح کل سیلندر خواهد بود: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ ساعت).

مساحت سطح جانبی سیلندر در نظر گرفته می شود منطقه جاروسطح جانبی آن

بنابراین، مساحت سطح جانبی یک استوانه دایره ای راست برابر با مساحت مستطیل مربوطه است (شکل) و با فرمول محاسبه می شود.

سال قبل از میلاد مسیح = 2πRH، (1)

اگر مساحت دو پایه آن را به سطح جانبی استوانه اضافه کنیم، سطح کل استوانه را به دست می آوریم.

اس پر =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

حجم یک استوانه مستقیم

که در آن Q مساحت پایه و H ارتفاع استوانه است.

از آنجایی که مساحت قاعده استوانه Q است، پس دنباله هایی از چندضلعی های محصور و محاطی با مساحت Q وجود دارد. nو س' nبه طوری که

\(\lim_(n \راست فلش \infty)\) Q n= \(\lim_(n \پیکان راست \infty)\) Q' n= س.

اجازه دهید دنباله‌ای از منشورها بسازیم که پایه‌های آن چند ضلعی‌های توصیف‌شده و محاط شده‌ای است که در بالا توضیح داده شد، و لبه‌های جانبی آن‌ها موازی با ژنراتیکس استوانه داده‌شده و دارای طول H هستند. حجم آنها با فرمول ها پیدا می شود

V n= س n H و V' n= Q' nاچ.

از این رو،

V= \(\lim_(n \راست فلش \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \پیکان راست \infty)\) Q' n H = QH.

نتیجه.
حجم یک استوانه دایره ای راست با فرمول محاسبه می شود

V = π R 2 H

که در آن R شعاع پایه و H ارتفاع استوانه است.

از آنجایی که پایه یک استوانه دایره ای دایره ای به شعاع R است، پس Q = π R 2، و بنابراین

بدنه های چرخشی که در مدرسه مورد مطالعه قرار می گیرند، استوانه، مخروط و توپ هستند.

اگر در یک مشکل در امتحان دولتی واحد در ریاضیات باید حجم یک مخروط یا مساحت یک کره را محاسبه کنید، خود را خوش شانس بدانید.

فرمول های حجم و سطح استوانه، مخروط و کره را اعمال کنید. همه آنها در جدول ما هستند. با جان و دل یاد گرفتن. اینجاست که دانش استریومتری آغاز می شود.

گاهی اوقات خوب است که منظره را از بالا بکشیم. یا، مانند این مشکل، از پایین.

2. حجم مخروطی که در اطراف یک هرم چهار گوش منتظم قرار دارد چند برابر حجم مخروطی محاط شده در این هرم بیشتر است؟

ساده است - نمای زیر را بکشید. می بینیم که شعاع دایره بزرگتربار بزرگتر از شعاع کوچکتر. ارتفاع هر دو مخروط یکسان است. بنابراین، حجم مخروط بزرگتر دو برابر بزرگتر خواهد بود.

یکی دیگر نکته مهم. به یاد داشته باشید که در مسائل قسمت ب گزینه های آزمون دولتی یکپارچهدر ریاضیات پاسخ به صورت یک عدد صحیح یا محدود نوشته می شود اعشاری. بنابراین، در قسمت B نباید هیچ یا در پاسخ شما وجود داشته باشد. نیازی به جایگزینی مقدار تقریبی عدد نیز نیست! حتما باید کوچک شود! برای این منظور است که در برخی از مسائل این کار به عنوان مثال به صورت زیر فرموله می شود: "مساحت سطح جانبی استوانه تقسیم بر" را پیدا کنید.

فرمول های حجم و سطح بدنه های انقلاب کجا دیگر استفاده می شود؟ البته در مسئله C2 (16). ما نیز در مورد آن به شما خواهیم گفت.

استوانه (از زبان یونانی، از کلمات "غلتک"، "غلتک") یک جسم هندسی است که از خارج توسط یک سطح به نام استوانه و دو صفحه محدود شده است. این صفحات سطح شکل را قطع می کنند و موازی یکدیگر هستند.

سطح استوانه ای به سطحی گفته می شود که از یک خط مستقیم در فضا تشکیل می شود. این حرکات به گونه ای است که نقطه انتخاب شده از این خط مستقیم در امتداد منحنی نوع صفحه حرکت می کند. به چنین خط مستقیمی مولد و خط منحنی را راهنما می گویند.

استوانه از یک جفت پایه و یک طرف تشکیل شده است سطح استوانه ای. انواع مختلفی از سیلندر وجود دارد:

1. استوانه دایره ای و مستقیم. چنین استوانه ای دارای پایه و راهنمای عمود بر خط تولید است و وجود دارد

2. سیلندر شیبدار. زاویه آن بین خط تولید و پایه مستقیم نیست.

3. استوانه ای با شکل متفاوت. هایپربولیک، بیضوی، سهمی و دیگران.

مساحت یک استوانه و همچنین مساحت کل هر استوانه با اضافه کردن مساحت پایه های این شکل و مساحت سطح جانبی به دست می آید.

فرمول محاسبه مساحت کل استوانه برای یک استوانه دایره ای و مستقیم:

Sp = 2p Rh + 2p R2 = 2p R (h+R).

مساحت سطح جانبی کمی پیچیده تر از مساحت کل استوانه است که با ضرب طول خط ژنراتیکس در محیط مقطع تشکیل شده توسط صفحه ای که عمود است محاسبه می شود. به خط ژنراتیکس.

استوانه داده شده برای یک استوانه دایره ای و مستقیم با توسعه این جسم تشخیص داده می شود.

توسعه مستطیلی است که دارای ارتفاع h و طول P است که برابر با محیط قاعده است.

نتیجه این است که مساحت جانبی سیلندر برابر با مساحت جارو است و با استفاده از این فرمول قابل محاسبه است:

اگر یک استوانه دایره ای و مستقیم بگیریم، برای آن:

P = 2p R و Sb = 2p Rh.

اگر استوانه مایل باشد، مساحت سطح جانبی باید برابر با حاصل ضرب طول خط مولد آن و محیط مقطعی باشد که عمود بر این خط مولد است.

متأسفانه هیچ فرمول ساده ای برای بیان سطح جانبی یک استوانه شیبدار بر حسب ارتفاع و پارامترهای پایه آن وجود ندارد.

برای محاسبه سیلندر، باید چند واقعیت را بدانید. اگر مقطعی با صفحه اش پایه ها را قطع کند، چنین مقطعی همیشه مستطیل است. اما این مستطیل ها بسته به موقعیت مقطع متفاوت خواهند بود. یکی از اضلاع مقطع محوری شکل که بر پایه ها عمود است برابر با ارتفاع و دیگری برابر با قطر پایه استوانه است. و مساحت چنین مقطعی، بر این اساس، برابر است با حاصلضرب یک ضلع مستطیل در طرف دیگر، عمود بر اول، یا حاصل ضرب ارتفاع یک شکل معین و قطر قاعده آن.

اگر مقطع عمود بر پایه های شکل باشد، اما از محور چرخش عبور نکند، مساحت این مقطع برابر با ضرب ارتفاع این استوانه و یک وتر معین خواهد بود. برای به دست آوردن یک وتر، باید یک دایره در پایه استوانه بسازید، یک شعاع بکشید و فاصله ای که بخش در آن قرار دارد را روی آن رسم کنید. و از این نقطه باید عمود بر شعاع از تقاطع با دایره رسم کنید. نقاط تقاطع به مرکز متصل می شوند. و قاعده مثلث مورد نظر است که با صداهایی مانند این جستجو می شود: "مجموع مربع های دو پایه برابر است با مربع فرضی":

C2 = A2 + B2.

اگر قسمت بر پایه استوانه تأثیر نداشته باشد و خود استوانه دایره ای و مستقیم باشد، مساحت این بخش به عنوان مساحت دایره در نظر گرفته می شود.

مساحت دایره عبارت است از:

S env. = 2p R2.

برای پیدا کردن R، باید طول آن را بر 2n تقسیم کنید:

R = C\2n، که در آن n pi است، یک ثابت ریاضی محاسبه شده برای کار با داده های دایره و برابر با 3.14.