شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه خواص اشکال مختلف (نقاط، خطوط، زوایا، اجسام دو بعدی و سه بعدی)، اندازه و موقعیت نسبی آنها می پردازد. برای سهولت آموزش، هندسه به پلان سنجی و استریومتری تقسیم می شود. در…… دایره المعارف کولیر

هندسه فضاهای با ابعاد بزرگتر از سه. این اصطلاح به فضاهایی اطلاق می شود که هندسه آنها در ابتدا برای حالت سه بعدی توسعه یافته بود و تنها پس از آن به تعداد ابعاد n>3 تعمیم داده شد، در درجه اول فضای اقلیدسی، ... ... دایره المعارف ریاضی

هندسه اقلیدسی N بعدی تعمیم هندسه اقلیدسی به فضایی با ابعاد بیشتر است. هر چند فضای فیزیکیسه بعدی است و حواس انسان برای درک سه بعدی طراحی شده است، N-بعدی... ... ویکی پدیا

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به Pyramidatsu (معانی) مراجعه کنید. پایایی این بخش از مقاله زیر سوال رفته است. شما باید صحت حقایق ذکر شده در این بخش را بررسی کنید. ممکن است توضیحاتی در صفحه بحث وجود داشته باشد... ویکی پدیا

- فناوری (Constructive Solid Geometry, CSG) مورد استفاده در مدل سازی جامدات. هندسه بلوک سازنده اغلب، اما نه همیشه، راهی برای مدل سازی در گرافیک های سه بعدی و CAD است. به شما اجازه می دهد یک صحنه پیچیده یا ... ویکی پدیا ایجاد کنید

هندسه جامد سازنده (CSG) یک فناوری است که در مدل سازی جامدات استفاده می شود. هندسه بلوک سازنده اغلب، اما نه همیشه، راهی برای مدل سازی در گرافیک های سه بعدی و CAD است. او... ... ویکی پدیا

این اصطلاح معانی دیگری دارد، به حجم (معانی) مراجعه کنید. حجم یک تابع افزایشی یک مجموعه (معیار) است که ظرفیت فضایی را که اشغال می کند مشخص می کند. در ابتدا پدید آمد و بدون سخت گیری... ... ویکی پدیا اعمال شد

نوع مکعب چند وجهی منظم صورت مربع رئوس لبه ها چهره ... ویکی پدیا

حجم یک تابع افزایشی یک مجموعه (معیار) است که ظرفیت فضایی را که اشغال می کند مشخص می کند. در ابتدا بوجود آمد و بدون تعریف دقیق در رابطه با اجسام سه بعدی فضای سه بعدی اقلیدسی به کار رفت. ... ویکی پدیا

بخشی از فضای محدود شده توسط مجموعه ای از تعداد محدودی از چند ضلعی های مسطح (نگاه کنید به هندسه) به گونه ای متصل شده اند که هر ضلع هر چند ضلعی دقیقاً ضلعی از یک چند ضلعی دیگر باشد (به نام ... ... دایره المعارف کولیر

کتاب ها

• مجموعه میز. هندسه. کلاس دهم. 14 جدول + روش شناسی، . میزها بر روی مقوای ضخیم چاپ شده در ابعاد 680 در 980 میلی متر چاپ شده اند. شامل بروشور باتوصیه های روش شناختی

برای معلم

آلبوم آموزشی 14 برگ…

استریومتری شاخه ای از هندسه است که به بررسی شکل هایی می پردازد که در یک صفحه قرار ندارند. یکی از موضوعات مطالعه استریومتری منشورها هستند. در این مقاله منشور را از نظر هندسی تعریف می کنیم و همچنین ویژگی های مشخصه آن را به اختصار فهرست می کنیم.

شکل هندسی تعریف منشور در هندسه به این صورت است: یک شکل فضایی متشکل از دو n-گونهای یکسان که در صفحات موازی قرار دارند و توسط رئوس آنها به یکدیگر متصل می شوند.گرفتن منشور کار سختی نیست. بیایید تصور کنیم که دو n-gon یکسان وجود دارد که n تعداد اضلاع یا رئوس است. آنها را طوری قرار دهیم که موازی یکدیگر باشند. پس از این، رئوس یک چند ضلعی باید به رئوس مربوط به دیگری متصل شود. شکل به دست آمده از دو ضلع n ضلعی تشکیل شده است که پایه نامیده می شوند و n ضلع چهار گوش که عبارتند از

راه دیگری برای به دست آوردن شکل مورد نظر از نظر هندسی وجود دارد. بنابراین، اگر یک n-gon بگیرید و آن را با استفاده از قطعات موازی به صفحه دیگری منتقل کنید طول مساوی، سپس در صفحه جدید چند ضلعی اصلی را بدست می آوریم. هم چند ضلعی ها و هم تمام قطعات موازی که از رئوس آنها کشیده شده اند، یک منشور را تشکیل می دهند.

تصویر بالا این را نشان می دهد زیرا پایه های آن مثلث هستند.

عناصری که یک شکل را تشکیل می دهند

تعریف منشور در بالا ارائه شد که از آن مشخص می شود که عناصر اصلی شکل لبه ها یا اضلاع آن هستند که تمام نقاط داخلی منشور را از فضای خارجی محدود می کند. هر صورت از شکل مورد نظر متعلق به یکی از دو نوع است:

• جانبی
• زمینه ها

n قطعه جانبی وجود دارد و متوازی الاضلاع یا انواع خاص آنها (مستطیل، مربع) هستند. به طور کلی، چهره های جانبی با یکدیگر متفاوت هستند. فقط دو وجه از پایه وجود دارد. بنابراین، هر منشوری n+2 ضلع دارد.

این شکل علاوه بر اضلاع، با رئوس آن مشخص می شود. آنها نقاطی را نشان می دهند که سه چهره به طور همزمان با هم تماس دارند. علاوه بر این، دو وجه از سه صورت همیشه به سطح جانبی و یکی به پایه تعلق دارند. بنابراین، در یک منشور، یک راس اختصاص داده شده خاص وجود ندارد، به عنوان مثال، در یک هرم، همه آنها برابر هستند. تعداد راس های شکل 2*n (n قطعه برای هر پایه) است.

در نهایت، سوم عنصر مهممنشورها لبه های آن هستند. اینها قطعاتی با طول مشخص هستند که در نتیجه تقاطع اضلاع یک شکل تشکیل می شوند. مانند صورت ها، لبه ها نیز دارای دو هستند انواع مختلف:

• یا فقط توسط طرفین تشکیل شده است.
• یا در محل اتصال متوازی الاضلاع و ضلع قاعده n-ضلعی بوجود می آیند.

بنابراین تعداد یال ها برابر با 3*n است و 2*n از آنها متعلق به نوع دوم از انواع نامگذاری شده است.

انواع منشور

روش های مختلفی برای طبقه بندی منشورها وجود دارد. با این حال، همه آنها بر اساس دو ویژگی شکل هستند:

• بر اساس نوع پایه n کربن؛
• در نوع جانبی

ابتدا به ویژگی دوم می پردازیم و تعریفی از خط مستقیم ارائه می دهیم. اگر حداقل یک ضلع متوازی الاضلاع عمومی باشد، آن شکل را مایل یا مایل می نامند. اگر همه متوازی الاضلاع مستطیل یا مربع باشند، منشور مستقیم خواهد بود.

این تعریف را نیز می توان کمی متفاوت بیان کرد: شکل مستقیم منشوری است که لبه های جانبی و وجوه آن بر پایه های آن عمود هستند. شکل دو شکل چهار گوش را نشان می دهد. سمت چپ راست است، سمت راست مایل است.

حال بیایید به طبقه بندی بر اساس نوع n-gon قرار گرفته در پایه ها برویم. ممکن است اضلاع و زوایای یکسان یا متفاوت داشته باشد. در حالت اول، چند ضلعی منظم نامیده می شود. اگر شکل مورد نظر در قاعده خود دارای چند ضلعی با اضلاع و زوایای مساوی و راست باشد، به آن منتظم می گویند. طبق این تعریف، منشور منتظم در قاعده خود می تواند دارای مثلث متساوی الاضلاع، مربع، پنج ضلعی منتظم یا شش ضلعی و غیره باشد. ارقام منظم فهرست شده در شکل ارائه شده است.

پارامترهای خطی منشورها

برای توصیف اندازه شکل های مورد نظر از پارامترهای زیر استفاده می شود:

• ارتفاع؛
• طرفین پایه؛
• طول دنده های جانبی؛
• قطرهای حجمی؛
• مورب اضلاع و پایه ها.

برای منشورهای منظم، همه این کمیت ها به یکدیگر مرتبط هستند. به عنوان مثال، طول دنده های کناری یکسان و برابر با ارتفاع است. برای یک شکل منظم n-gonal خاص، فرمول هایی وجود دارد که به شما امکان می دهد تمام موارد دیگر را با استفاده از هر دو پارامتر خطی تعیین کنید.

سطح یک شکل

اگر به تعریف منشور که در بالا داده شد اشاره کنیم، درک اینکه سطح شکل چه چیزی را نشان می دهد دشوار نخواهد بود. سطح مساحت همه چهره هاست. برای منشور مستقیم با فرمول محاسبه می شود:

S = 2 * S o + P o * h

جایی که S o مساحت پایه است، P o محیط n-gon در پایه، h ارتفاع (فاصله بین پایه ها) است.

حجم شکل

همراه با سطح برای تمرین، دانستن حجم منشور مهم است. با استفاده از فرمول زیر می توان آن را تعیین کرد:

این عبارت برای مطلقاً هر نوع منشوری معتبر است، از جمله آنهایی که متمایل هستند و توسط چندضلعی های نامنظم تشکیل می شوند.

برای موارد صحیح، تابعی از طول ضلع پایه و ارتفاع شکل است. برای منشور n-ضلعی مربوطه، فرمول V شکل خاصی دارد.

حفظ حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک سیاست حفظ حریم خصوصی ایجاد کرده ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را شرح می دهد. لطفاً رویه‌های حفظ حریم خصوصی ما را مرور کنید و اگر سؤالی دارید به ما اطلاع دهید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

ممکن است در هر زمانی که با ما تماس می گیرید از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی را جمع آوری می کنیم:

• وقتی درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس شما را جمع آوری کنیم ایمیلو غیره

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و به شما اطلاع دهیم پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و رویدادهای دیگر و رویدادهای آینده.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و ارتباطات مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدمات ارائه شده و ارائه توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما استفاده کنیم.
• اگر در قرعه کشی جوایز، مسابقه یا تبلیغات مشابه شرکت می کنید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می دهید برای اجرای چنین برنامه هایی استفاده کنیم.

افشای اطلاعات به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثنائات:

• در صورت لزوم - طبق قانون، رویه قضایی، در محاکمهو/یا بر اساس درخواست‌های عمومی یا درخواست‌های سازمان‌های دولتی در فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف مهم عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعاتی درباره شما فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به شخص ثالث جانشین مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

احترام به حریم خصوصی شما در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، استانداردهای حریم خصوصی و امنیتی را به کارمندان خود ابلاغ می کنیم و شیوه های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می کنیم.

چه شکلی است

ویژگی های یک منشور مستطیل شکل

اطلاعات کلی در مورد منشور مستقیم

سطح جانبی یک منشور (به طور دقیق تر، سطح جانبی) نامیده می شود مجموعنواحی صورت های جانبی سطح کل منشور برابر است با مجموع سطح جانبی و مساحت پایه ها.

قضیه 19.1. سطح جانبی یک منشور مستقیم برابر است با حاصل ضرب محیط پایه و ارتفاع منشور، یعنی طول لبه جانبی.

اثبات وجوه جانبی منشور مستقیم مستطیل هستند. پایه های این مستطیل ها اضلاع چند ضلعی هستند که در قاعده منشور قرار دارند و ارتفاع آنها برابر با طول لبه های جانبی است. به دنبال آن است سطح جانبیمنشور برابر است

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl،

که در آن a 1 و n طول لبه های پایه، p محیط قاعده منشور، و I طول لبه های کناری است. قضیه ثابت شده است.

کار عملی

مشکل (22) . در یک منشور مایل انجام می شود بخش، عمود بر دنده های کناری و قطع کننده تمام دنده های کناری. اگر محیط مقطع برابر با p و لبه های جانبی برابر با l باشد، سطح جانبی منشور را بیابید.

راه حل. صفحه بخش ترسیم شده منشور را به دو قسمت تقسیم می کند (شکل 411). اجازه دهید یکی از آنها را با ترکیب پایه های منشور تحت ترجمه موازی قرار دهیم. در این حالت منشوری مستقیم بدست می آوریم که پایه آن مقطع منشور اصلی است و لبه های کناری آن برابر با l است. این منشور دارای سطح جانبی مشابه با منشور اصلی است. بنابراین، سطح جانبی منشور اصلی برابر با pl است.

خلاصه ای از موضوع تحت پوشش

اکنون بیایید سعی کنیم موضوعی را که در مورد منشورها توضیح دادیم خلاصه کنیم و به یاد بیاوریم که یک منشور چه ویژگی هایی دارد.

خواص منشور

اولاً، یک منشور همه پایه هایش را چندضلعی های مساوی دارد.
ثانیاً، در یک منشور، تمام وجوه جانبی آن متوازی الاضلاع هستند.
ثالثاً، در چنین شکل چند وجهی مانند منشور، تمام لبه های جانبی برابر هستند.

همچنین، باید به خاطر داشت که چندوجهی مانند منشور می تواند مستقیم یا مایل باشد.

کدام منشور را منشور مستقیم می نامند؟

اگر لبه جانبی یک منشور عمود بر صفحه قاعده آن قرار گیرد، چنین منشوری را منشور مستقیم می نامند.

یادآوری این نکته که وجوه جانبی منشور مستقیم مستطیل هستند، اضافی نخواهد بود.

چه نوع منشوری مورب نامیده می شود؟

اما اگر لبه کناری یک منشور عمود بر صفحه قاعده آن قرار نگیرد، به جرات می توان گفت که یک منشور مایل است.

کدام منشور صحیح نامیده می شود؟

اگر یک چندضلعی منتظم در قاعده یک منشور مستقیم قرار گیرد، چنین منشوری منظم است.

حال بیایید ویژگی هایی را که یک منشور معمولی دارد به یاد بیاوریم.

خواص یک منشور منظم

اولاً، چند ضلعی های منظم همیشه به عنوان پایه یک منشور منظم عمل می کنند.
ثانیاً، اگر وجوه جانبی یک منشور منظم را در نظر بگیریم، آنها همیشه مستطیل های مساوی هستند.
ثالثاً، اگر اندازه های دنده های جانبی را با هم مقایسه کنید، در یک منشور معمولی آنها همیشه برابر هستند.
چهارم، منشور صحیح همیشه مستقیم است.
پنجم، اگر در یک منشور منتظم وجوه جانبی شکل مربع داشته باشند، چنین شکلی معمولاً چندضلعی نیمه منتظم نامیده می شود.

مقطع منشوری

حال بیایید به مقطع منشور نگاه کنیم:

مشق شب

حال بیایید سعی کنیم موضوعی را که آموخته ایم با حل مسائل تثبیت کنیم.

بیایید یک منشور مثلثی مایل رسم کنیم، فاصله بین لبه های آن برابر با: 3 سانتی متر، 4 سانتی متر و 5 سانتی متر و سطح جانبی این منشور برابر با 60 سانتی متر مربع خواهد بود. با داشتن این پارامترها، لبه کناری این منشور را پیدا کنید.

آیا می دانید که اشکال هندسیمدام ما را نه تنها در درس های هندسه، بلکه در آن نیز احاطه می کنند زندگی روزمرهاشیایی وجود دارند که شبیه یک شکل هندسی هستند.

هر خانه، مدرسه یا محل کار دارای یک کامپیوتر است که واحد سیستم آن شبیه یک منشور مستقیم است.

اگر یک مداد ساده را بردارید، می بینید که قسمت اصلی مداد یک منشور است.

با قدم زدن در خیابان مرکزی شهر، می بینیم که زیر پای ما کاشی است که شکل یک منشور شش ضلعی دارد.

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی