قضایای کلی پویایی یک سیستم از اجسام. قضایایی در مورد حرکت مرکز جرم ، در مورد تغییر حرکت ، در مورد تغییر لحظه اصلی حرکت ، در مورد تغییر انرژی جنبشی. اصول D'Alembert و جابجایی های احتمالی. معادله عمومی دینامیک معادلات لاگرانژ

قضایای کلی پویایی یک بدن صلب و یک سیستم از اجسام

قضایای کلی دینامیکیک قضیه در مورد حرکت مرکز جرم است سیستم مکانیکی، قضیه تغییر مقدار حرکت ، قضیه تغییر لحظه اصلی زاویه حرکت (حرکت زاویه ای) و قضیه تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی.

قضیه در مورد حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی

قضیه در مورد حرکت مرکز جرم.
حاصلضرب جرم سیستم با شتاب مرکز جرم آن برابر است با مجموع بردار تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم:
.

در اینجا M جرم سیستم است:
;
a C - شتاب مرکز جرم سیستم:
;
v C سرعت مرکز جرم سیستم است:
;
r C - بردار شعاع (مختصات) مرکز جرم سیستم:
;
- مختصات (نسبت به یک مرکز ثابت) و توده نقاط تشکیل دهنده سیستم.

قضیه تغییر مقدار حرکت (حرکت)

میزان حرکت (ضربه) سیستمبرابر است با حاصلضرب جرم کل سیستم با سرعت مرکز جرم یا مجموع حرکت (مجموع تکانه ها) نقاط یا قسمتهای تشکیل دهنده سیستم:
.

قضیه تغییر حرکت در شکل دیفرانسیل.
مشتق زمانی حرکت (حرکت) سیستم برابر است با مجموع بردار تمام نیروهای خارجی که بر سیستم تأثیر می گذارند:
.

قضیه تغییر حرکت در شکل انتگرال.
تغییر حرکت (ضربه) سیستم در یک بازه زمانی مشخص برابر است با مجموع تکانه های نیروهای خارجی در یک بازه زمانی مشابه:
.

قانون حفظ حرکت (حرکت).
اگر مجموع تمام نیروهای خارجی وارد بر سیستم برابر صفر باشد ، بردار حرکت سیستم ثابت خواهد بود. یعنی همه پیش بینی های آن در محورهای مختصات مقادیر ثابت را حفظ می کند.

اگر مجموع پیش بینی نیروهای خارجی بر روی هر محور صفر باشد ، در آن صورت پیش بینی حرکت حرکت سیستم در این محور ثابت خواهد بود.

قضیه تغییر لحظه اصلی حرکت (قضیه لحظه ها)

گشتاور اصلی حرکت سیستم نسبت به یک مرکز معین O مقدار برابر با مجموع بردار لحظه های کمیت حرکت همه نقاط سیستم نسبت به این مرکز نامیده می شود:
.
در اینجا ، پرانتز مربع محصول متقاطع را نشان می دهد.

سیستم های ثابت

قضیه زیر به موردی اشاره می کند که سیستم مکانیکی دارای نقطه یا محور ثابتی است که نسبت به چارچوب مرجع اینرسی ثابت است. به عنوان مثال ، یک بدن ثابت با یاتاقان کروی. یا سیستمی از اجسام که در اطراف یک مرکز ثابت حرکت می کنند. همچنین می تواند یک محور ثابت باشد که جسم یا سیستمی از اجسام به دور آن می چرخد. در این حالت ، گشتاورها را باید لحظات ضربه و نیروها نسبت به محور ثابت دانست.

قضیه تغییر لحظه اصلی حرکت (قضیه لحظه ها)
مشتق زمانی از تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به برخی از مراکز ثابت O برابر است با مجموع گشتاور تمام نیروهای خارجی سیستم نسبت به یک مرکز.

قانون حفظ تکانه اصلی زاویه ای (حرکت زاویه ای).
اگر مجموع گشتاور تمام نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم نسبت به یک مرکز ثابت معین O برابر صفر باشد ، پس نکته اصلیمقدار حرکت سیستم نسبت به این مرکز ثابت خواهد بود. یعنی همه پیش بینی های آن در محورهای مختصات مقادیر ثابت را حفظ می کند.

اگر مجموع گشتاور نیروهای خارجی نسبت به برخی محورهای ثابت برابر صفر باشد ، در این صورت تکانه زاویه ای سیستم نسبت به این محور ثابت خواهد بود.

سیستم های دلخواه

قضیه بعدی کلی است. هم برای سیستمهای ثابت و هم برای سیستمهای متحرک آزاد قابل اجرا است. در مورد سیستم های لنگر خورده ، واکنش پیوندها در نقاط لنگر باید در نظر گرفته شود. تفاوت آن با قضیه قبلی این است که به جای نقطه ثابت O ، باید مرکز جرم C سیستم را گرفت.

مرکز قضیه لحظه جرم
مشتق زمانی حرکت اصلی زاویه ای سیستم نسبت به مرکز جرم C برابر است با مجموع گشتاور تمام نیروهای خارجی سیستم نسبت به یک مرکز.

قانون حفظ شتاب زاویه ای
اگر مجموع گشتاور تمام نیروهای خارجی اعمال شده به سیستم نسبت به مرکز جرم C برابر صفر باشد ، آنگاه تکانه زاویه ای اصلی سیستم نسبت به این مرکز ثابت خواهد بود. یعنی همه پیش بینی های آن در محورهای مختصات مقادیر ثابت را حفظ می کند.

لحظه بی تحرکی بدن

اگر بدن حول محور z بچرخدبا سرعت زاویهایω z ، سپس حرکت زاویه ای آن (حرکت زاویه ای) نسبت به محور z با فرمول تعیین می شود:
L z = J z ω z،
جایی که J z لحظه اینرسی بدن نسبت به محور z است.

لحظه اینرسی بدن در مورد محور zبا فرمول تعیین می شود:
,
جایی که h k فاصله از نقطه جرم m k تا محور z است.
برای حلقه نازکی از جرم M و شعاع R یا استوانه ای که جرم آن در لبه آن توزیع شده است ،
J z = M R 2 .
برای حلقه یا استوانه یکنواخت جامد ،
.

قضیه استاینر-هویگنس
اجازه دهید Cz محوری باشد که از مرکز جرم بدن عبور می کند ، Oz محور موازی با آن است. سپس لحظه های اینرسی بدن در مورد این محورها با نسبت مربوط می شود:
J Oz = J Cz + M a 2 ,
جایی که M وزن بدن است ؛ a فاصله بین محورها است.

در بیشتر مورد کلی :
,
کشش اینرسی بدن کجاست.
در اینجا بردار از مرکز جرم بدن به نقطه ای با جرم m k رسم شده است.

قضیه تغییر انرژی جنبشی

اجازه دهید جسمی با جرم M حرکت انتقالی و چرخشی را با سرعت زاویه ω در اطراف برخی از محور z انجام دهد. سپس انرژی جنبشی بدن با فرمول تعیین می شود:
,
جایی که v C سرعت حرکت مرکز جرم بدن است.
J Cz - لحظه اینرسی بدن در مورد محور عبوری از مرکز جرم بدن به موازات محور چرخش. جهت محور چرخش می تواند در طول زمان تغییر کند. فرمول مشخص شده ارزش لحظه ای انرژی جنبشی را می دهد.

قضیه ای در مورد تغییر انرژی جنبشی یک سیستم در شکل دیفرانسیل.
دیفرانسیل (افزایش) انرژی جنبشی سیستم برای برخی از جابجایی های آن برابر است با مجموع دیفرانسیل کار بر روی این جابجایی تمام نیروهای خارجی و داخلی اعمال شده به سیستم:
.

قضیه تغییر انرژی جنبشی سیستم به شکل انتگرال
تغییر در انرژی جنبشی سیستم با جابجایی آن برابر است با مجموع کار بر روی این جابجایی تمام نیروهای خارجی و داخلی اعمال شده به سیستم:
.

کاری که قدرت انجام می دهد، برابر محصول مقیاس بردارهای نیرو و جابجایی بی نهایت کوچک نقطه کاربرد آن است:
,
یعنی حاصل مقادیر مطلق بردارهای F و ds توسط کسینوس زاویه بین آنها است.

کاری که لحظه نیروها انجام می دهد، برابر با محصول مقیاس بردارهای لحظه و زاویه بی نهایت کوچک چرخش است:
.

اصل D'Alembert

اصل اصل آلبرت این است که مشکلات دینامیک را به مسائل استاتیک تقلیل دهیم. برای این ، فرض می شود (یا از قبل مشخص است) که اجسام سیستم دارای شتاب های مشخص (زاویه ای) هستند. در مرحله بعد ، نیروهای اینرسی و (یا) گشتاور نیروهای اینرسی معرفی می شوند که از نظر اندازه برابر و از جهت جهت مخالف نیروها و گشتاور نیروها هستند ، که طبق قوانین مکانیک ، شتاب یا شتاب زاویه ای مشخصی ایجاد می کند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم. در راه ، بدن حرکت رو به جلو انجام می دهد و نیروهای خارجی روی آن عمل می کنند. علاوه بر این ، ما فرض می کنیم که این نیروها شتاب مرکز جرم سیستم را ایجاد می کنند. با توجه به قضیه حرکت مرکز جرم ، اگر نیرویی بر جسم وارد شود ، مرکز جرم یک جسم یکسان خواهد داشت. در مرحله بعد ، نیروی اینرسی را معرفی می کنیم:
.
پس از آن ، مشکل دینامیک:
.
;
.

برای حرکت دوار ، به همین ترتیب عمل کنید. اجازه دهید بدن حول محور z بچرخد و گشتاورهای خارجی نیروهای M e zk روی آن عمل می کنند. فرض می کنیم که این لحظه ها شتاب زاویه ای ε z ایجاد می کنند. در مرحله بعد ، ما لحظه نیروهای اینرسی M И = - J z ε z را معرفی می کنیم. پس از آن ، مشکل دینامیک:
.
تبدیل به یک کار استاتیک:
;
.

اصل جابجایی های احتمالی

از اصل جابجایی های احتمالی برای حل مسائل ایستایی استفاده می شود. در برخی مشکلات ، راه حل کوتاهتری نسبت به نوشتن معادلات تعادل ارائه می دهد. این امر به ویژه در مورد سیستمهای دارای محدودیت (به عنوان مثال ، سیستمهای بدنه متصل به نخ و بلوک) ، که از بدنهای زیادی تشکیل شده است ، صادق است.

اصل جابجایی های احتمالی.
برای تعادل یک سیستم مکانیکی با محدودیت های ایده آل ، لازم و کافی است که مجموع کارهای ابتدایی همه نیروهای فعال که بر روی آن برای هرگونه جابجایی احتمالی سیستم عمل می کنند ، برابر صفر باشد.

حرکت احتمالی سیستم- این یک جابجایی کوچک است که اتصالات تحمیل شده به سیستم را نمی شکند.

اتصالات کامل- اینها اتصالی هستند که هنگام جابجایی سیستم کار نمی کنند. به طور دقیق تر ، میزان کار انجام شده توسط خود پیوندها هنگام حرکت سیستم برابر با صفر است.

معادله عمومی دینامیک (d'Alembert - اصل لاگرانژ)

اصل d'Alembert-Lagrange ترکیبی از اصل d'Alembert با اصل جابجایی های احتمالی است. یعنی هنگام حل مسئله دینامیک ، نیروهای اینرسی را معرفی می کنیم و مشکل را به مشکل استاتیک تقلیل می دهیم ، که با استفاده از اصل جابجایی های احتمالی حل می کنیم.

D'Alembert - اصل لاگرانژ.
هنگامی که یک سیستم مکانیکی با محدودیت های ایده آل در هر لحظه از زمان حرکت می کند ، مجموع کار ابتدایی همه نیروهای فعال اعمال شده و تمام نیروهای اینرسی در هر جابجایی احتمالی سیستم برابر صفر است:
.
این معادله نامیده می شود معادله کلی دینامیک.

معادلات لاگرانژ

مختصات عمومی q 1 ، q 2 ، ... ، q n مجموعه ای از n مقادیر است که به طور منحصر به فرد موقعیت سیستم را تعیین می کند.

تعداد مختصات تعمیم یافته n با تعداد درجه های آزادی سیستم مطابقت دارد.

سرعتهای عمومیمشتقات مختصات تعمیم یافته با توجه به زمان t هستند.

نیروهای عمومی Q 1 ، Q 2 ، ... ، Q n .
یک حرکت احتمالی سیستم را در نظر بگیرید ، که در آن مختصات q k یک حرکت δq k دریافت می کند. بقیه مختصات بدون تغییر باقی می مانند. اجازه دهید δA k کار انجام شده توسط نیروهای خارجی در طول چنین جابجایی باشد. سپس
δA k = Q k δq k ، یا
.

اگر با حرکت احتمالی سیستم ، همه مختصات تغییر کنند ، کار انجام شده توسط نیروهای خارجی در طول چنین حرکتی به شکل زیر است:
δA = Q 1 δq 1 + Q 2 δq 2 + ... + Q n δq n.
سپس نیروهای تعمیم یافته مشتقات جزئی از کار در مورد جابجایی ها هستند:
.

برای نیروهای بالقوهبا پتانسیل Π ،
.

معادلات لاگرانژمعادلات حرکت یک سیستم مکانیکی در مختصات کلی عبارتند از:

در اینجا T انرژی جنبشی است. این تابع مختصات ، سرعتها و احتمالاً زمان کلی است. بنابراین ، مشتق جزئی آن نیز تابعی از مختصات ، سرعتها و زمان کلی است. علاوه بر این ، باید توجه داشته باشید که مختصات و سرعت توابع زمان هستند. بنابراین ، برای یافتن مشتق کل زمان ، لازم است که قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال کنیم:
.

منابع:
S. M. Targ ، دوره کوتاهمکانیک نظری ، "دبیرستان" ، 2010.

(سیستم های مکانیکی) - گزینه IV

1. معادله اساسی دینامیک یک نقطه مادی ، همانطور که مشخص است ، توسط معادله بیان می شود. معادلات دیفرانسیلحرکت نقاط دلخواه یک سیستم مکانیکی غیر آزاد با توجه به دو روش تقسیم نیروها را می توان به دو صورت نوشت:

(1) ، که در آن k = 1 ، 2 ، 3 ،… ، n تعداد نقاط سیستم مادی است.

(2)

جرم نقطه k کجاست بردار شعاع نقطه k است ، نیروی داده شده (فعال) است که بر نقطه k عمل می کند یا نتیجه همه نیروهای فعال است که بر نقطه k عمل می کند. - نتیجه نیروهای واکنش پیوندها ، عمل بر روی نقطه k-th ؛ - نتیجه نیروهای داخلی که در نقطه k عمل می کنند ؛ نتیجه نیروهای خارجی است که بر روی نقطه k عمل می کنند.

با استفاده از معادلات (1) و (2) ، می توان برای حل مسائل اول و دوم دینامیک تلاش کرد. با این حال ، حل مشکل دوم پویایی برای سیستم نه تنها از نظر ریاضی ، بلکه به این دلیل که ما با مشکلات اساسی روبرو هستیم ، بسیار پیچیده می شود. آنها شامل این واقعیت هستند که هم برای سیستم (1) و هم برای سیستم (2) تعداد معادلات به طور قابل توجهی است تعداد کمترناشناس.

بنابراین ، اگر از (1) استفاده کنیم ، دینامیک برای مشکل دوم (معکوس) شناخته می شود و ناشناخته خواهد بود. معادلات بردار " n"، و ناشناخته ها -" 2n ".

اگر از سیستم معادلات (2) استفاده کنیم ، برخی از نیروهای خارجی نیز شناخته می شوند. چرا جدا شدن؟ واقعیت این است که نیروهای خارجی شامل واکنشهای خارجی پیوندها نیز هستند که ناشناخته هستند. علاوه بر این ، ناشناخته نیز خواهد بود.

بنابراین ، هر دو سیستم (1) و سیستم (2) بسته نمی شوند. لازم است معادلات را با در نظر گرفتن معادلات محدودیت ها اضافه کنید ، و شاید هنوز لازم باشد محدودیت هایی را برای خود محدودیت ها اعمال کنید. چه باید کرد؟

اگر از (1) پیش برویم ، می توانیم مسیر ترسیم معادلات لاگرانژ از نوع اول را دنبال کنیم. اما این مسیر منطقی نیست زیرا چه چیزی کار آسان تر(درجات آزادی کمتر) ، حل آن از نظر ریاضی دشوارتر است.

سپس به سیستم (2) توجه کنید ، جایی که - همیشه ناشناخته هستند. اولین قدم برای حل یک سیستم حذف این مجهولات است. باید در نظر داشت که به عنوان یک قاعده ، ما در هنگام حرکت سیستم به نیروهای داخلی علاقه نداریم ، یعنی هنگام حرکت سیستم ، لازم نیست بدانیم که هر نقطه از سیستم چگونه حرکت می کند ، اما این به اندازه کافی می دانم که سیستم به طور کلی چگونه حرکت می کند.

بنابراین اگر راه های مختلفنیروهای ناشناخته را از سیستم حذف کنید (2) ، سپس برخی روابط ، یعنی برخی را بدست می آوریم ویژگیهای کلیبرای سیستمی که آگاهی از آن قضاوت در مورد نحوه حرکت سیستم به طور کلی را ممکن می سازد. این ویژگیها با استفاده از اصطلاحاً معرفی می شوند قضایای کلی دینامیک چهار چنین قضیه ای وجود دارد:

1. قضیه درباره حرکت مرکز جرم سیستم مکانیکی;

2. قضیه درباره تغییر شتاب یک سیستم مکانیکی;

3. قضیه درباره تغییر در حرکت زاویه ای سیستم مکانیکی;

4. قضیه درباره تغییر در انرژی جنبشی سیستم مکانیکی.

غالباً امکان جداسازی وجود دارد ویژگی های مهمحرکت یک سیستم مکانیکی بدون توسل به یکپارچه سازی سیستم معادلات دیفرانسیل حرکت. این امر با بکارگیری قضایای کلی دینامیک به دست می آید.

5.1 مفاهیم و تعاریف اساسی

نیروهای خارجی و داخلیهر نیرویی که بر نقطه ای در یک سیستم مکانیکی وارد می شود ، لزوماً یا نیروی فعال است یا واکنش پیوندی. کل مجموعه نیروهایی که بر نقاط سیستم عمل می کنند را می توان به دو دسته تقسیم کرد: به نیروهای خارجی و نیروهای داخلی (شاخص های e و i - از کلمات لاتین externus - خارجی و internus - داخلی). نیروهای خارجی نیروهایی نامیده می شوند که بر روی نقاط سیستم از نقاط و اجسامی که بخشی از سیستم مورد بررسی نیستند عمل می کنند. نیروهای داخلی نیروهای متقابل بین نقاط و بدنه سیستم مورد بررسی هستند.

این تقسیم بندی بستگی به این دارد که چه نقاط و اجسام مادی توسط محقق در سیستم مکانیکی در نظر گرفته شده گنجانده شود. اگر ترکیب سیستم گسترش یابد و شامل نقاط و بدنه های اضافی شود ، برخی از نیروهایی که برای سیستم قبلی خارجی بودند ، می توانند برای سیستم توسعه یافته داخلی شوند.

خواص نیروهای داخلیاز آنجا که این نیروها نیروهای متقابل بین اجزای سیستم هستند ، توسط "دو" ، که مطابق بدیهی عمل-واکنش سازماندهی شده اند ، در سیستم کامل نیروهای داخلی قرار می گیرند. هر یک از این "دو" نیرو

بردار اصلی و لحظه اصلی در مورد یک مرکز دلخواه برابر صفر است. از آنجا که سیستم کامل نیروهای داخلی تنها شامل "دو" است ، پس

1) بردار اصلی سیستم نیروهای داخلی صفر است ،

2) لحظه اصلی سیستم نیروهای داخلی نسبت به یک نقطه دلخواه برابر صفر است.

جرم سیستم نامیده می شود جمع حسابیتوده های mk از همه نقاط و اجسام تشکیل دهنده سیستم:

مرکز جرم(مرکز اینرسی) یک سیستم مکانیکی را نقطه هندسی C می نامند که بردار شعاع و مختصات آن توسط فرمول ها تعیین می شود.

بردارهای شعاع و مختصات نقاط تشکیل دهنده سیستم کجا هستند.

برای جامد، واقع در یک میدان گرانش همگن ، موقعیت مرکز جرم و مرکز ثقل همزمان است ، در موارد دیگر این نقاط هندسی متفاوت است.

همراه با چارچوب مرجع اینرسی ، یک چارچوب مرجع غیر اینرسی که به صورت ترجمه ای حرکت می کند ، اغلب به طور همزمان در نظر گرفته می شود. محورهای مختصات آن (محورهای کونیگ) به گونه ای انتخاب می شوند که مبدا C دائماً با مرکز جرم سیستم مکانیکی منطبق باشد. مطابق تعریف ، مرکز جرم در محورهای کونیگ ثابت شده و در مبدا قرار دارد.

لحظه سیستم اینرسینسبت به محور ، مقدار مقیاس نامیده می شود که برابر است با مجموع حاصلضربات توده های mk تمام نقاط سیستم بر اساس مربعات فاصله آنها تا محور:

اگر سیستم مکانیکی جامد است ، می توانید از فرمول برای پیدا کردن 12 استفاده کنید

چگالی ، حجم اشغال شده توسط بدن کجاست.

با تعداد زیادی از نقاط مادی که بخشی از یک سیستم مکانیکی هستند ، یا اگر شامل اجسام کاملاً صلب () ، انجام حرکت غیر ترجمه ای ، استفاده از سیستم معادلات دیفرانسیل حرکت در حل مشکل اصلی دینامیک یک سیستم مکانیکی عملاً غیرممکن است. با این حال ، هنگام حل بسیاری از مشکلات مهندسی ، نیازی به تعیین حرکت هر نقطه از سیستم مکانیکی به طور جداگانه نیست. گاهی اوقات به نظر می رسد که می توان بدون حل کامل سیستم معادلات حرکت ، در مورد مهمترین جنبه های روند مورد مطالعه حرکت نتیجه گیری کرد. این نتیجه گیری از معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی ، محتوای قضایای کلی دینامیک را تشکیل می دهد. قضایای عمومی ، ابتدا ، از انجام هرگونه تغییر ریاضی که در مسائل مختلف متداول است ، رهایی می بخشد و هنگام استخراج قضایا از معادلات دیفرانسیل حرکت ، یکبار برای همیشه انجام می شود. ثانیاً ، قضایای عمومی ارتباطی بین ویژگیهای کلی حرکت یک سیستم مکانیکی ایجاد می کند ، که دارای معنای فیزیکی روشنی است. این ویژگیهای کلی مانند حرکت ، حرکت زاویه ای ، انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی نامیده می شوند اندازه گیری حرکت سیستم مکانیکی

اولین اندازه گیری حرکت ، میزان حرکت یک سیستم مکانیکی است

مقدار حرکت یک نقطه مادی اندازه گیری بردار حرکت آن است ، برابر با حاصلضرب جرم نقطه با سرعت آن:

.

مقدار حرکت یک سیستم مکانیکی اندازه بردار حرکت آن است ، برابر با مجموع کمیت حرکت نقاط آن:

, (13.1)

ما سمت راست فرمول (23.1) را تبدیل می کنیم:

جایی که
- جرم کل سیستم ،
سرعت مرکز جرم است.

در نتیجه، حرکت یک سیستم مکانیکی برابر با حرکت مرکز جرم آن است ، اگر کل جرم سیستم در آن متمرکز باشد:

.

ضربه نیرو

حاصل یک نیرو در یک دوره ابتدایی عمل است
به آن انگیزه ابتدایی نیرو می گویند.

انگیزه قدرت در طول یک دوره زمانی ، انتگرال نیروی ابتدایی نیرو نامیده می شود

.

قضیه در مورد تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی

اجازه دهید برای هر نقطه
سیستم مکانیکی تحت تأثیر نیروهای خارجی عمل می کند و نتیجه نیروهای داخلی است .

معادلات اساسی دینامیک یک سیستم مکانیکی را در نظر بگیرید

افزودن معادلات دوره به دوره (13.2) برای nنقاط سیستم را بدست می آوریم

(13.3)

اولین جمع در سمت راست برابر بردار اصلی است نیروهای خارجی سیستم مجموع دوم بر حسب ویژگی نیروهای داخلی سیستم برابر صفر است. در نظر گرفتن سمت چپبرابری ها (13.3):

بنابراین ، به دست می آوریم:

, (13.4)

یا در پیش بینی در محورهای مختصات

(13.5)

معادلات (13.4) و (13.5) قضیه را در مورد تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی بیان می کنند:

مشتق زمانی حرکت از یک سیستم مکانیکی برابر با بردار اصلی همه نیروهای خارجی سیستم مکانیکی است.

این قضیه همچنین می تواند با ادغام هر دو طرف برابری (13.4) در طول زمان در محدوده از t 0 تا t:

, (13.6)

جایی که
، و انتگرال در سمت راست ، انگیزه نیروهای خارجی در پشت است

زمان t-t 0 .

برابری (13.6) قضیه را به صورت انتگرال نشان می دهد:

افزایش تکانه یک سیستم مکانیکی در یک زمان محدود برابر است با ضربه نیروهای خارجی در این مدت.

قضیه نیز نامیده می شود قضیه ضربه

در پیش بینی های مربوط به محورهای مختصات ، قضیه به شکل زیر نوشته می شود:

پیامدها (قوانین حفظ حرکت)

یک) اگر بردار اصلی نیروهای خارجی برای مدت زمان در نظر گرفته شده برابر با صفر باشد ، در این صورت تکانه سیستم مکانیکی ثابت است ، به عنوان مثال. اگر
,
.

2) اگر برآورد اصلی بردار نیروهای خارجی در هر محور برای بازه زمانی در نظر گرفته شده برابر با صفر باشد ، در این صورت فشرده سازی تکانه سیستم مکانیکی در این محور ثابت است ،

آن ها اگر
سپس
.

قضیه در مورد حرکت مرکز جرم.معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی. قضیه ای در مورد حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی. قانون حفظ حرکت مرکز جرم.

قضیه تغییر مقدار حرکتمیزان حرکت یک نقطه مادی. انگیزه ابتدایی قدرت. ضربه نیرو در یک دوره زمانی محدود و نمایش آن محورهای مختصات... قضیه ای در مورد تغییر تکانه یک نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و محدود.

میزان حرکت سیستم مکانیکی ؛ بیان آن از طریق جرم سیستم و سرعت مرکز جرم آن. یک قضیه در مورد تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و محدود. قانون حفاظت از شتاب مکانیکی

(مفهوم بدن و نقطه جرم متغیر. معادله مشچرسکی. فرمول سیولکوفسکی.)

قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ایتکانه زاویه ای یک نقطه مادی نسبت به مرکز و نسبت به محور. قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای یک نقطه مادی. قدرت مرکزی حفظ تکانه زاویه ای یک نقطه مادی در مورد یک نیروی مرکزی. (مفهوم سرعت بخش. قانون مناطق.)

لحظه اصلی کمیت های حرکت یا حرکت زاویه ای یک سیستم مکانیکی در مورد مرکز و محور. گشتاور جنبشی یک جسم سفت و سخت در حال چرخش در مورد محور چرخش. قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای یک سیستم مکانیکی. قانون حفظ شتاب زاویه ای یک سیستم مکانیکی. (قضیه تغییر تکانه زاویه ای یک سیستم مکانیکی در حرکت نسبی نسبت به مرکز جرم.)

قضیه تغییر انرژی جنبشیانرژی جنبشی یک نقطه مادی. کار برق اولیه ؛ بیان تحلیلی کار ابتدایی کار نیروی بر جابجایی نهایی نقطه کاربرد آن. کار نیروی جاذبه ، نیروی کشش و نیروی گرانش. قضیه ای در مورد تغییر انرژی جنبشی یک نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و محدود.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی. فرمولهایی برای محاسبه انرژی جنبشی یک جسم سفت در حرکت ترجمه ای ، در چرخش حول یک محور ثابت و در حالت کلی حرکت (به ویژه ، در یک حرکت موازی صفحه). قضیه ای در مورد تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و محدود. برابر با صفر مجموع کار نیروهای داخلی در یک جامد. کار و قدرت نیروهایی که بر یک جسم سفت و سخت در حال چرخش حول یک محور ثابت اعمال می شود.

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و عملکرد نیرو. بیان پیش بینی های نیرو از طریق تابع نیرو. سطوح با پتانسیل برابر. کار بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در یک میدان نیروی بالقوه. انرژی پتانسیل. نمونه هایی از میدان های نیروی بالقوه: میدان گرانش همگن و میدان گرانشی. قانون حفظ انرژی مکانیکی

دینامیک سفت و سخت بدنمعادلات دیفرانسیل حرکت ترجمه ای یک جسم سفت و سخت. معادله دیفرانسیل چرخش یک جسم صلب در مورد یک محور ثابت. پاندول فیزیکی. معادلات دیفرانسیل برای حرکت صفحه یک جسم سفت و سخت.

اصل d'Alembert.اصل D'Alembert برای یک نکته مادی ؛ نیروی اینرسی اصل d'Alembert برای یک سیستم مکانیکی. آوردن نیروهای اینرسی نقاط یک بدن سخت به مرکز ؛ بردار اصلی و لحظه اصلی نیروهای اینرسی

(تعیین واکنشهای پویا یاتاقان ها هنگام چرخش یک جسم سفت و سخت در اطراف یک محور ثابت. موردی که محور چرخش محور اصلی اصلی اینرسی بدن است.)

اصل جابجایی های احتمالی و معادله کلی دینامیکمحدودیت هایی که بر سیستم مکانیکی اعمال می شود. حرکات احتمالی (یا مجازی) یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. تعداد درجات آزادی سیستم. اتصالات کامل اصل جابجایی های احتمالی معادله عمومی دینامیک

معادلات حرکت سیستم در مختصات تعمیم یافته (معادلات لاگرانژ).مختصات کلی سیستم ؛ سرعت های عمومی بیان کارهای ابتدایی در مختصات تعمیم یافته. نیروهای تعمیم یافته و محاسبه آنها ؛ در مورد نیروهای دارای پتانسیل شرایط تعادلی سیستم در مختصات تعمیم یافته معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم در مختصات تعمیم یافته یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم. معادلات لاگرانژ در مورد نیروهای بالقوه ؛ عملکرد لاگرانژ (پتانسیل جنبشی).

مفهوم ثبات تعادل. ارتعاشات کوچک آزاد یک سیستم مکانیکی با یک درجه آزادی در مورد موقعیت تعادلی پایدار سیستم و خواص آنها.

عناصر نظریه تاثیر.پدیده تاثیر. نیروی ضربه و ضربه ضربه. تأثیر ضربه بر یک نقطه مادی. قضیه در مورد تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی بر اثر ضربه. تأثیر مستقیم مستقیم بدن بر سطح ثابت ؛ تاثیرات کشسان و غیر الاستیک ضریب بازیابی ضربه و تعیین تجربی آن ضربه مستقیم مرکز دو بدن. قضیه کارنو.

کتابشناسی - فهرست کتب

پایه ای

Butenin N.V. ، Lunts Ya- L. ، Merkin D.R.دوره مکانیک نظری. T. 1 ، 2. M. ، 1985 و چاپهای قبلی.

دوبرونراوف V.V. ، نیکیتین N.N.دوره مکانیک نظری. م. ، 1983

استارژینسکی V.M.مکانیک نظری. م. ، 1980.

تارگ S.M.یک دوره کوتاه مکانیک نظری. م. ، 1986 و چاپهای قبلی.

یابلونسکی A.A. ، Nikiforova V.M.دوره مکانیک نظری. قسمت 1. م. ، 1984 و چاپهای قبلی.

A. A. Yablonskyدوره مکانیک نظری. قسمت 2. م. ، 1984 و چاپهای قبلی.

I. V. مشچرسکیمجموعه وظایف برای مکانیک نظری... م. ، 1986 و چاپهای قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری / ویرایش. K. S. Kolesnikova. م. ، 1983

اضافی

Bat M.I.، Dzhanelidze G.Yu.، Kelzon A.S.مکانیک نظری در مثالها و مسائل. قسمت 1 ، 2. M. ، 1984 و چاپهای قبلی.

مجموعه مشکلات مکانیک نظری / 5razhnichen / co N.A. ، Kan V.L. ، Mintsberg B.L.و همکاران M. ، 1987.

نووژیلوف I.V. ، Zatsepin M.F.محاسبات معمولی در مکانیک نظری بر اساس رایانه. م. ، 1986 ،

مجموعه وظایف برای مقاله های ترمدر مورد مکانیک نظری / اد. A. A. Yablonsky. م. ، 1985 و چاپهای قبلی (شامل نمونه هایی از حل مسئله).