غالباً امکان جداسازی وجود دارد ویژگی های مهمجنبش سیستم مکانیکیبدون توسل به یکپارچه سازی سیستم معادلات دیفرانسیلجنبش. این امر با بکارگیری قضایای کلی دینامیک به دست می آید.

5.1 مفاهیم و تعاریف اساسی

نیروهای خارجی و داخلیهر نیرویی که بر نقطه ای از یک سیستم مکانیکی وارد می شود ، لزوماً یا نیروی فعال است یا واکنش پیوندی. کل مجموعه نیروهایی که بر نقاط سیستم عمل می کنند را می توان به دو دسته تقسیم کرد: به نیروهای خارجی و نیروهای داخلی (شاخص های e و i - از کلمات لاتین externus - خارجی و internus - داخلی). نیروهای خارجی نیروهایی نامیده می شوند که بر نقاط سیستم از طرف نقاط و اجسامی که بخشی از سیستم مورد بررسی نیستند عمل می کنند. نیروهای داخلی نیروهای متقابل بین نقاط و بدنه سیستم مورد بررسی هستند.

این تقسیم بندی بستگی به این دارد که چه نقاط و اجسام مادی توسط محقق در سیستم مکانیکی در نظر گرفته شده گنجانده شود. اگر ترکیب سیستم گسترش یابد و شامل نقاط و بدنه های اضافی شود ، برخی از نیروهایی که برای سیستم قبلی خارجی بودند ، می توانند برای سیستم توسعه یافته داخلی شوند.

خواص نیروهای داخلیاز آنجا که این نیروها نیروهای متقابل بین اجزای سیستم هستند ، توسط "دو" ، که مطابق بدیهی عمل-واکنش سازماندهی شده اند ، در سیستم کامل نیروهای داخلی قرار می گیرند. هر یک از این "دو" نیرو

بردار اصلی و نکته اصلینسبت به یک مرکز دلخواه برابر صفر است. از آنجا که سیستم کامل نیروهای داخلی تنها شامل "دو" است ، پس

1) بردار اصلی سیستم نیروهای داخلی صفر است ،

2) لحظه اصلی سیستم نیروهای داخلی نسبت به یک نقطه دلخواه برابر صفر است.

جرم سیستم نامیده می شود جمع حسابیتوده های mk از تمام نقاط و اجسام تشکیل دهنده سیستم:

مرکز جرم(مرکز اینرسی) یک سیستم مکانیکی را نقطه هندسی C می نامند که بردار شعاع و مختصات آن توسط فرمول ها تعیین می شود.

بردارهای شعاع و مختصات نقاط تشکیل دهنده سیستم کجا هستند.

برای جامد، واقع در یک میدان گرانش یکنواخت ، موقعیت مرکز جرم و مرکز ثقل با هم منطبق است ، در موارد دیگر این نقاط هندسی متفاوت است.

همراه با چارچوب مرجع اینرسی ، یک چارچوب مرجع غیر اینرسی که به صورت ترجمه ای حرکت می کند ، اغلب به طور همزمان در نظر گرفته می شود. محورهای مختصات آن (محورهای کونیگ) به گونه ای انتخاب شده اند که مبدا C دائماً با مرکز جرم سیستم مکانیکی منطبق است. مطابق تعریف ، مرکز جرم در محورهای کونیگ ثابت شده و در مبدا قرار دارد.

لحظه سیستم اینرسینسبت به محور مقدار مقیاس نامیده می شود که برابر است با مجموع حاصلضربات توده های mk تمام نقاط سیستم بر اساس مربعات فاصله آنها تا محور:

اگر سیستم مکانیکی جامد است ، می توانید از فرمول برای پیدا کردن 12 استفاده کنید

چگالی ، حجم اشغال شده توسط بدن کجاست.

وزارت کشاورزی و مواد غذایی جمهوری بلاروس

موسسه آموزشی "بلغارستان ایالتی دولتی

دانشگاه فنی"

گروه مکانیک نظری و نظریه مکانیسم ها و ماشین ها

مکانیک نظری

مجتمع روش شناسی برای دانشجویان گروهی از تخصص ها

74 06 مهندسی کشاورزی

در 2 قسمت قسمت 1

UDC 531.3 (07) BBK 22.213ya7 T 33

گردآوری شده توسط:

نامزد علوم فیزیکی و ریاضی ، دانشیار S. Biza ، نامزد علوم فنی، دانشیار L. Rakova ، مدرس ارشد A. Tarasevich

داوران:

گروه مکانیک نظری موسسه آموزشی "دانشگاه ملی فنی بلاروس" (سر

گروه مکانیک نظری BNTU دکترای علوم فیزیکی و ریاضی ، پروفسور A. V. Chigarev) ؛

محقق برجسته آزمایشگاه "حفاظت از ارتعاشات سیستم های مکانیکی" موسسه علمی دولتی "موسسه مهندسی مکانیک متحد

NAS بلاروس "، نامزد علوم فنی ، دانشیار A. M. Goman

مکانیک نظری... بخش "پویایی": آموزشی

روش T33. پیچیده در 2 ساعت ، قسمت 1 / ترکیب: یو اس بیزا ، N. L. Rakova ، I. A. Tarasevich. - مینسک: BGATU ، 2013 .-- 120 ص.

شابک 978-985-519-616-8.

مجموعه آموزشی-روشی شامل مطالبی برای مطالعه بخش "دینامیک" ، قسمت 1 است ، که بخشی از رشته "مکانیک نظری" است. شامل یک دوره سخنرانی ، مواد اولیه برای پیاده سازی است آموزش عملی، تکالیف و نمونه تکالیف برای کار و کنترل مستقل فعالیتهای یادگیریدانش آموزان تمام وقت و پاره وقت.

UDC 531.3 (07) BBK 22.213ya7

معرفی

مکانیک نظری علم قوانین کلی حرکت مکانیکی ، تعادل و برهمکنش اجسام مادی است.

این یکی از اصلی ترین رشته های عمومی فیزیکی و ریاضی علمی است. این اساس نظری فناوری مدرن است.

مطالعه مکانیک نظری ، به همراه سایر رشته های فیزیکی و ریاضی ، به گسترش افق علمی کمک می کند ، توانایی تفکر ملموس و انتزاعی را ایجاد می کند و به افزایش فرهنگ فنی عمومی متخصص آینده کمک می کند.

مکانیک نظری ، به عنوان پایه علمی همه رشته های فنی ، به توسعه مهارت ها کمک می کند تصمیمات منطقیوظایف مهندسی مربوط به عملیات ، تعمیر و طراحی ماشین آلات و تجهیزات کشاورزی و احیای زمین.

با توجه به مسائل مورد بررسی ، مکانیک به استاتیک ، سینماتیک و دینامیک تقسیم می شود. دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام مادی را تحت تأثیر نیروهای اعمال شده مطالعه می کند.

V روش شناسی آموزشی complex (UMK) مطالبی را برای مطالعه بخش "دینامیک" ارائه می دهد که شامل دوره ای از سخنرانی ها ، مواد اولیه برای انجام است کار عملی، تکالیف و نمونه های اجرا برای کار مستقلو نظارت بر فعالیتهای آموزشی دانشجویان تمام وقت و پاره وقت.

V در نتیجه مطالعه بخش "پویایی" ، دانش آموز باید یاد بگیرد مبنای نظریپویایی و تسلط بر روشهای اساسی حل مسائل پویایی:

روشهای حل مشکلات دینامیک را بشناسید ، قضایای کلیپویایی ، اصول مکانیک ؛

قادر به تعیین قوانین حرکت یک جسم بسته به نیروهای وارد بر آن. اعمال قوانین و قضایای مکانیک برای حل مسائل ؛ تعیین واکنشهای ایستا و پویا محدودیتهای محدود کننده حرکت اجسام.

برنامه درسی رشته "مکانیک نظری" تعداد کل ساعات کلاس - 136 ساعت ، از جمله 36 ساعت برای مطالعه بخش "دینامیک" را ارائه می دهد.

1. محتوای علمی و نظری مجتمع آموزشی و روش شناختی

1.1 واژه نامه

استاتیک - بخشی از مکانیک ، که آموزه کلی نیروها را مشخص می کند ، کاهش را مطالعه می کند سیستم های پیچیدهنیروها به ساده ترین شکل و شرایط تعادل برقرار می شوند سیستم های مختلفنیروها

سینماتیک بخشی از مکانیک نظری است که در آن حرکت اجسام مادی بدون توجه به دلایلی که باعث این حرکت می شوند ، یعنی صرف نظر از نیروهای وارد بر این اجسام مورد مطالعه قرار می گیرد.

دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام مادی (نقاط) تحت تأثیر نیروهای اعمال شده را مطالعه می کند.

نکته مادی- یک بدن مادی ، تفاوت در حرکت نقاط آن ناچیز است.

جرم بدن یک مقدار مثبت مقیاس پذیر است که به مقدار ماده موجود در یک جسم معین بستگی دارد و اندازه اینرسی آن را در حین حرکت ترجمه تعیین می کند.

سیستم مرجع - یک سیستم مختصات مرتبط با یک بدن ، که در آن حرکت بدن دیگر مورد مطالعه قرار می گیرد.

سیستم اینرسی- سیستمی که در آن قوانین اول و دوم پویایی برآورده می شود.

تکانه نیرو اندازه گیری بردار عمل نیرو در طول زمان است.

میزان حرکت یک نقطه مادی آیا اندازه بردار حرکت آن برابر است با حاصلضرب جرم نقطه بردار سرعت آن.

انرژی جنبشی- حرکت مکانیکی پله ای

کار مقدماتی قدرتآیا مقدار مقیاس بی نهایت کوچک برابر است با محصول مقیاس بردار نیرو توسط بردار جابجایی بی نهایت کوچک نقطه اعمال نیرو.

انرژی جنبشیاندازه گیری مقیاس حرکت مکانیکی است.

انرژی جنبشی یک نقطه مقیاس پذیر است

مقدار منفی معادل نصف حاصلضرب جرم نقطه بر مجذور سرعت آن است.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی - حسابی-

مجموع انرژی جنبشی همه نقاط مادی این سیستم.

نیرو اندازه گیری تعامل مکانیکی اجسام است که شدت و جهت آن را مشخص می کند.

1.2 موضوعات سخنرانی و محتوای آنها

بخش 1. مقدمه ای بر پویایی. مفاهیم اساسی

مکانیک کلاسیک

موضوع 1. پویایی یک نقطه مادی

قوانین پویایی یک نقطه مادی (قوانین گالیله - نیوتن). معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی. دو مشکل اصلی دینامیک برای یک نقطه مادی. حل مشکل دوم پویایی ؛ ثابت های ادغام و تعیین آنها از شرایط اولیه

ادبیات: ، صص 180-196 ، صص 12-26.

موضوع 2. پویایی حرکت نسبی مواد

حرکت نسبی یک نقطه مادی. معادلات دیفرانسیل حرکت نسبی یک نقطه. نیروهای اینرسی قابل حمل و کوریولیس. اصل نسبیت در مکانیک کلاسیک موردی از آرامش نسبی

ادبیات: صص 180-196 ، صص 127-155.

موضوع 3. هندسه توده ها. مرکز ثقل سیستم مکانیکی

وزن سیستم مرکز جرم سیستم و مختصات آن.

ادبیات: صص 86-93 ، صص 264-265

موضوع 4. لحظات اینرسی بدن سخت

لحظاتی از اینرسی یک جسم سفت و سخت در مورد یک محور و یک قطب. شعاع چرخش. قضیه در مورد لحظه های اینرسی در مورد محورهای موازی لحظات محوری اینرسی برخی اجسام.

لحظات گریز از مرکز اینرسی به عنوان ویژگی عدم تقارن بدن

ادبیات: صص 265-271 ، صص 155-173.

بخش 2. قضایای کلی پویایی یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

مبحث 5. قضیه در مورد حرکت مرکز جرم سیستم

قضیه در مورد حرکت مرکز جرم سیستم. پیامدهای قضیه بر حرکت مرکز جرم سیستم.

ادبیات: صص 274-277 ، صص 175-192.

موضوع 6. میزان حرکت یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

میزان حرکت یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. انگیزه ابتدایی و انگیزه نیرو برای مدت زمان محدود. یک قضیه در مورد تغییر حرکت یک نقطه و یک سیستم در اشکال افتراقی و انتگرال. قانون حفظ شتاب

ادبیات: صص 280-284 ، صص 192-207.

موضوع 7. لحظه کمیت حرکت یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و محور

تکانه زاویه ای یک نقطه نسبت به مرکز و محور. قضیه در مورد تغییر شتاب زاویه ای یک نقطه. گشتاور جنبشی یک سیستم مکانیکی نسبت به مرکز و محور.

لحظه جنبشی یک جسم سفت و سخت در حال چرخش در مورد محور چرخش. قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای سیستم. قانون حفظ لحظه جنبشی

ادبیات: صص 292-298 ، صص 207-258.

موضوع 8. کار و قدرت نیروها

کار ابتدایی نیرو ، بیان تحلیلی آن. کار نیروی در راه نهایی. کار گرانش ، نیروی کشسان. برابر با صفر مجموع کار نیروهای داخلی که در یک جامد عمل می کنند. کار نیروهای اعمال شده بر یک جسم سفت و سخت که حول یک محور ثابت می چرخد. قدرت. بهره وری.

ادبیات: صص 208-213 ، صص 280-290.

موضوع 9. انرژی جنبشی یک نقطه مادی

و سیستم مکانیکی

انرژی جنبشی یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. محاسبه انرژی جنبشی یک جسم سفت و سخت در موارد مختلف حرکت آن. قضیه کونیگ قضیه ای در مورد تغییر انرژی جنبشی یک نقطه در اشکال دیفرانسیل و انتگرال. یک قضیه در مورد تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و انتگرال.

ادبیات: صص 301-310 ، صص 290-344.

موضوع 10. میدان نیروی بالقوه و پتانسیل

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و عملکرد نیرو. کار بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در یک میدان نیروی بالقوه. انرژی پتانسیل.

ادبیات: صص 317-320 ، صص 344-347.

موضوع 11. پویایی یک بدن سفت و سخت

معادلات دیفرانسیل حرکت ترجمه ای یک جسم سفت و سخت. معادله دیفرانسیل برای حرکت دورانی یک جسم سفت و سخت حول یک محور ثابت. پاندول فیزیکی. معادلات دیفرانسیل برای حرکت صفحه یک جسم سفت و سخت.

ادبیات: صص 323-334 ، صص 157-173.

بخش 1. مقدمه ای بر دینامیک. مفاهیم اساسی

مکانیک کلاسیک

دینامیک شاخه ای از مکانیک نظری است که حرکت اجسام مادی (نقاط) تحت تأثیر نیروهای اعمال شده را مطالعه می کند.

بدن مادی- جسمی با جرم

نکته مادی- یک بدن مادی ، تفاوت در حرکت نقاط آن ناچیز است. این می تواند هم جسمی باشد که ابعاد آن در حین حرکت نادیده گرفته می شود و هم جسمی از ابعاد محدود ، اگر به صورت ترجمه ای حرکت کند.

ذرات نیز نقاط مادی نامیده می شوند که هنگام تعیین برخی از ویژگی های پویا ، یک بدن سفت و سخت از نظر روانی شکسته می شود. نمونه هایی از نقاط مادی (شکل 1): الف - حرکت زمین به دور خورشید. زمین - نقطه مادی ؛ ب - حرکت ترجمه ای یک جسم سفت و سخت. بدن جامد - مادر-

نقطه ، زیرا V B = V A ؛ a B = a A ؛ ج - چرخش بدن به دور محور.

ذره ای از بدن یک نقطه مادی است.

اینرسی خاصیت اجسام مادی است که تحت تأثیر نیروهای اعمال شده ، سرعت حرکت خود را سریعتر یا کندتر تغییر دهند.

جرم بدن یک مقدار مثبت مقیاس پذیر است که به مقدار ماده موجود در یک جسم معین بستگی دارد و اندازه اینرسی آن را در حین حرکت ترجمه تعیین می کند. در مکانیک کلاسیک ، جرم یک مقدار ثابت است.

نیرو اندازه گیری کمی تعامل مکانیکی بین اجسام یا بین یک جسم (نقطه) و یک میدان (الکتریکی ، مغناطیسی و غیره) است.

نیرو یک مقدار بردار است که با مقدار ، نقطه کاربرد و جهت (خط عمل) مشخص می شود (شکل 2: A - نقطه کاربرد ؛ AB - خط عمل نیرو).

برنج. 2

در دینامیک ، همراه با نیروهای ثابت ، نیروهای متغیری نیز وجود دارند که می توانند به زمان t ، سرعت ، فاصله یا مجموع این مقادیر بستگی داشته باشند.

F = const؛

F = F (t) ؛

F = F () ؛

F = F (r) ؛

F = F (t ، r ،).

لوکوموتیو برقی ؛ c - F = F (r) - نیروی دافعه از مرکز O یا جذب به آن.

سیستم مرجع - یک سیستم مختصات مرتبط با یک بدن ، که در آن حرکت بدن دیگر مورد مطالعه قرار می گیرد.

سیستم اینرسی سیستمی است که در آن قوانین اول و دوم دینامیک انجام می شود. این یک سیستم مختصات ثابت یا یک سیستم است که به طور یکنواخت و در یک خط مستقیم حرکت می کند.

حرکت در مکانیک عبارت است از تغییر موقعیت یک جسم در فضا و در زمان نسبت به سایر اجسام.

فضا در مکانیک کلاسیک سه بعدی است و تابع هندسه اقلیدسی است.

زمان یک مقدار مقیاس پذیر است که به طور یکسان در هر سیستم مرجع جریان می یابد.

سیستم واحدها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری کمیت های فیزیکی است. برای اندازه گیری همه کمیت های مکانیکی ، سه واحد اساسی کافی است: واحد طول ، زمان ، جرم یا نیرو.

سایر واحدهای اندازه گیری مقادیر مکانیکی از این واحدها گرفته شده است. از دو نوع سیستم واحد استفاده می شود: سیستم بین المللی واحدهای SI (یا کوچکتر - CGS) و سیستم فنی واحدها - MKGSS.

موضوع 1 پویایی یک نقطه مادی

1.1 قوانین پویایی یک نقطه مادی (قوانین گالیله - نیوتن)

قانون اول (قانون اینرسی).

یک نقطه مادی جدا شده از تأثیرات خارجی حالت استراحت خود را حفظ می کند یا یکنواخت و مستقیم حرکت می کند تا زمانی که نیروهای اعمال شده آن را مجبور به تغییر این حالت کنند.

به حرکتی که در غیاب نیروها یا تحت تأثیر یک سیستم متعادل نیروها انجام می شود ، حرکت اینرسی می گویند.

به عنوان مثال ، حرکت یک بدن در امتداد صاف (نیروی اصطکاک صفر است)

سطح افقی (شکل 4: G - وزن بدن ؛ N - واکنش عادی هواپیما).

از آنجا که G = - N ، پس G + N = 0.

وقتی 0 ≠ 0، ، بدن با همان سرعت حرکت می کند. برای 0 = 0 بدن در حال استراحت است (ϑ 0 سرعت اولیه است).

قانون دوم (قانون اساسی دینامیک).

حاصلضرب جرم یک نقطه با شتابی که تحت تأثیر یک نیروی معین دریافت می کند از نظر قدر با این نیرو برابر است و جهت آن با جهت شتاب همزمان می شود.

a ب

از نظر ریاضی ، این قانون با برابری بردار بیان می شود

در F = 0 ، a 0 = 0 = ϑ 0 = const - نقطه به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند ، یا در 0 = 0 - در حالت استراحت است (قانون اینرسی). دومین

این قانون امکان برقراری رابطه بین جرم m یک جسم واقع در نزدیکی سطح زمین و وزن آن G.G = mg ، که در آن g -

شتاب گرانش

قانون سوم (قانون برابری عمل و عکس العمل). دو نقطه مادی با نیروهایی در اندازه یکسان و در امتداد یک خط مستقیم به هم متصل می شوند

این نقاط ، در جهت مخالف

از آنجا که نیروهای F 1 = - F 2 به نقاط مختلف اعمال می شوند ، سیستم نیروها (F 1 ، F 2) متعادل نیست ، یعنی (F 1 ، F 2) 0 (شکل 6).

جرم نقاط متقابل با شتاب آنها نسبت عکس دارد.

قانون چهارم (قانون استقلال عمل نیروها). شتاب دریافت شده توسط یک نقطه هنگام عمل به طور همزمان بر روی آن

اما چندین نیرو برابر است با مجموع هندسی آن شتابهایی که یک نقطه زمانی دریافت می کند که هر نیرو به طور جداگانه به آن وارد می شود.

توضیح (شکل 7).

t a n

a 1 a kF n

نیروهای R نتیجه (F 1 ، ... F k ، ... F n).

از آنجا که ma = R ، F 1 = ma 1 ، ... ، F k = ma k ، ... ، F n = ma n ، سپس

a = a 1 + ... + a k + ... + a n = ∑ a k ، یعنی قانون چهارم معادل

k = 1

قانون اضافه شدن نیروها

1.2 معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی

اجازه دهید چندین نیرو به طور همزمان روی یک نقطه مادی عمل کنند ، که در بین آنها هر دو ثابت و متغیر وجود دارد.

ما قانون دوم پویایی را در فرم می نویسیم

نقطه ، سپس (1.2) مشتقات r را شامل می شود و معادله دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی را به صورت بردار یا معادله اساسی دینامیک یک نقطه مادی را نشان می دهد.

پیش بینی برابری بردار (1.2): - در مختصات دکارتین (شکل 8 ، الف)

محور طبیعی (شکل 8 ، ب)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

معادلات (1.3) و (1.4) معادلات دیفرانسیل حرکت یک نقطه مادی هستند ، به ترتیب در محورهای مختصات دکارتی و محورهای طبیعی ، یعنی معادلات دیفرانسیل طبیعی که معمولاً در حرکت منحنی یک نقطه مورد استفاده قرار می گیرند. نقطه و شعاع انحنای آن مشخص است.

1.3 دو مشکل اصلی دینامیک برای یک نقطه مادی و راه حل آنها

اولین کار (مستقیم).

با دانستن قانون حرکت و جرم نقطه ، نیروی وارد بر نقطه را تعیین کنید.

برای حل این مشکل ، باید شتاب نقطه را بدانید. در مسائل از این نوع ، می توان آن را مستقیماً مشخص کرد ، یا قانون حرکت یک نقطه را مشخص کرد ، که بر اساس آن می توان آن را تعیین کرد.

1. بنابراین ، اگر حرکت یک نقطه در مختصات دکارتی مشخص شده باشد

x = f 1 (t) ، y = f 2 (t) و z = f 3 (t) ، سپس پیش بینی های شتاب

قضیه در مورد حرکت مرکز جرم.معادلات دیفرانسیل حرکت یک سیستم مکانیکی. قضیه ای در مورد حرکت مرکز جرم یک سیستم مکانیکی. قانون حفظ حرکت مرکز جرم.

قضیه تغییر مقدار حرکتمیزان حرکت یک نقطه مادی. انگیزه ابتدایی قدرت. تكانه نيرو در مدت زمان محدود و نمايش آن محورهای مختصات... قضیه ای در مورد تغییر تکانه یک نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و محدود.

میزان حرکت سیستم مکانیکی ؛ بیان آن از طریق جرم سیستم و سرعت مرکز جرم آن. یک قضیه در مورد تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و محدود. قانون حفظ شتاب مکانیکی

(مفهوم بدن و نقطه جرم متغیر. معادله مشچرسکی. فرمول سیولکوفسکی.)

قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای.تکانه زاویه ای یک نقطه مادی نسبت به مرکز و نسبت به محور. قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای یک نقطه مادی. قدرت مرکزی حفظ تکانه زاویه ای یک نقطه مادی در مورد یک نیروی مرکزی. (مفهوم سرعت بخش. قانون مناطق.)

لحظه اصلی کمیت های حرکت یا حرکت زاویه ای یک سیستم مکانیکی در مورد مرکز و محور. لحظه جنبشی یک جسم سفت و سخت در حال چرخش در مورد محور چرخش. قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای یک سیستم مکانیکی. قانون حفظ شتاب زاویه ای یک سیستم مکانیکی. (قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای یک سیستم مکانیکی در حرکت نسبی نسبت به مرکز جرم.)

قضیه تغییر انرژی جنبشیانرژی جنبشی یک نقطه مادی. کار برق اولیه ؛ بیان تحلیلی کار ابتدایی کار نیروی بر جابجایی نهایی نقطه کاربرد آن. کار نیروی جاذبه ، نیروی کشش و نیروی گرانش. قضیه ای در مورد تغییر انرژی جنبشی یک نقطه مادی در اشکال دیفرانسیل و محدود.

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی. فرمولهایی برای محاسبه انرژی جنبشی یک جسم سفت در حرکت انتقالی ، در چرخش حول یک محور ثابت و در مورد کلیحرکت (به ویژه ، با حرکت موازی صفحه). یک قضیه در مورد تغییر انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی در اشکال دیفرانسیل و محدود. برابر با صفر مجموع کار نیروهای داخلی در یک جامد. کار و قدرت نیروهایی که بر یک جسم سفت و سخت در حال چرخش حول یک محور ثابت اعمال می شود.

مفهوم میدان نیرو میدان نیروی بالقوه و عملکرد نیرو. بیان پیش بینی های نیرو از طریق تابع نیرو. سطوح با پتانسیل برابر. کار بر روی جابجایی نهایی یک نقطه در یک میدان نیروی بالقوه. انرژی پتانسیل. نمونه هایی از میدان های نیروی بالقوه: میدان گرانش همگن و میدان گرانشی. قانون حفظ انرژی مکانیکی

پویایی سفت و سخت بدنمعادلات دیفرانسیل حرکت ترجمه ای یک جسم سفت و سخت. معادله دیفرانسیل چرخش یک جسم صلب در مورد یک محور ثابت. پاندول فیزیکی. معادلات دیفرانسیل برای حرکت صفحه یک جسم سفت و سخت.

اصل d'Alembert.اصل D'Alembert برای یک نکته مادی ؛ نیروی اینرسی اصل d'Alembert برای یک سیستم مکانیکی. آوردن نیروهای اینرسی نقاط یک بدن سخت به مرکز ؛ بردار اصلی و لحظه اصلی نیروهای اینرسی

(تعیین واکنشهای پویا یاتاقانها هنگامی که جسم سفت و سخت حول محور ثابتی می چرخد. موردی که محور چرخش محور مرکزی اصلی اینرسی بدن است.)

اصل جابجایی های احتمالی و معادله کلی دینامیکمحدودیت هایی که بر سیستم مکانیکی اعمال می شود. حرکات احتمالی (یا مجازی) یک نقطه مادی و یک سیستم مکانیکی. تعداد درجات آزادی سیستم. اتصالات کامل اصل جابجایی های احتمالی معادله عمومی دینامیک

معادلات حرکت سیستم در مختصات تعمیم یافته (معادلات لاگرانژ).مختصات کلی سیستم ؛ سرعت های عمومی بیان کارهای ابتدایی در مختصات تعمیم یافته. نیروهای تعمیم یافته و محاسبه آنها ؛ در مورد نیروهای دارای پتانسیل شرایط تعادلی برای سیستم در مختصات تعمیم یافته. معادلات دیفرانسیل حرکت سیستم در مختصات تعمیم یافته یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم. معادلات لاگرانژ در مورد نیروهای بالقوه ؛ عملکرد لاگرانژ (پتانسیل جنبشی).

مفهوم ثبات تعادل. ارتعاشات کوچک کوچک یک سیستم مکانیکی با یک درجه آزادی در مورد موقعیت تعادلی پایدار سیستم و خواص آنها.

عناصر نظریه تاثیر.پدیده تاثیر. نیروی ضربه و ضربه ضربه. تأثیر ضربه بر یک نقطه مادی. قضیه در مورد تغییر حرکت یک سیستم مکانیکی بر اثر ضربه. تأثیر مستقیم مستقیم بدن بر سطح ثابت ؛ تاثیرات کشسان و غیر الاستیک ضریب بازیابی ضربه و تعیین تجربی آن ضربه مستقیم مرکز دو بدن. قضیه کارنو.

کتابشناسی - فهرست کتب

پایه ای

Butenin N.V. ، Lunts Ya- L. ، Merkin D.R.دوره مکانیک نظری. T. 1 ، 2. M. ، 1985 و چاپهای قبلی.

دوبرونراوف V.V. ، نیکیتین N.N.دوره مکانیک نظری. م. ، 1983

استارژینسکی V.M.مکانیک نظری. م. ، 1980.

تارگ S.M.یک دوره کوتاه مکانیک نظری. م. ، 1986 و چاپهای قبلی.

یابلونسکی A.A. ، Nikiforova V.M.دوره مکانیک نظری. قسمت 1. م. ، 1984 و چاپهای قبلی.

A. A. Yablonskyدوره مکانیک نظری. قسمت 2. م. ، 1984 و چاپهای قبلی.

I. V. مشچرسکیمجموعه مسائل مکانیک نظری م. ، 1986 و چاپهای قبلی.

مجموعه مسائل مکانیک نظری / ویرایش. K. S. Kolesnikova. م. ، 1983

اضافی

Bat M.I.، Dzhanelidze G.Yu.، Kelzon A.S.مکانیک نظری در مثالها و مسائل. قسمت 1 ، 2. M. ، 1984 و چاپهای قبلی.

مجموعه مشکلات مکانیک نظری / 5razhnichen / co N.A. ، Kan V.L. ، Mintsberg B.L.و همکاران M. ، 1987

نووژیلوف I.V. ، Zatsepin M.F.محاسبات معمولی در مکانیک نظری بر اساس رایانه. م. ، 1986 ،

مجموعه وظایف برای مقاله های ترمدر مورد مکانیک نظری / اد. A. A. Yablonsky. م. ، 1985 و چاپهای قبلی (شامل نمونه هایی از حل مسئله).

استفاده از OZMS در حل مشکلات با مشکلات خاصی همراه است. بنابراین ، معمولاً روابط اضافی بین ویژگیهای حرکت و نیروها ایجاد می شود ، که برای آنها راحت تر است کاربرد عملی... چنین روابطی وجود دارد قضایای کلی دینامیکآنها ، به عنوان یک نتیجه از OZMS ، وابستگی بین میزان تغییر برخی از اندازه گیری های خاص حرکت و ویژگی های نیروهای خارجی را ایجاد می کنند.

قضیه تغییر مقدار حرکت بیایید مفهوم بردار حرکت (R. Descartes) یک نقطه مادی را معرفی کنیم (شکل 3.4):

من i = t V هستم G (3.9)

برنج. 3.4

برای سیستم ، ما مفهوم را معرفی می کنیم بردار اصلی حرکت سیستمبه عنوان یک جمع هندسی:

Q = Y ، m "V r

طبق OZMS: Hu ، - ^ = i) ، یا X

R (E)

با در نظر گرفتن اینکه / w، = const ، به دست می آوریم: -Ym ،! "= R (E) ،

یا در شکل نهایی

dO / dі = A (E (3.11)

آن ها اولین مشتق بردار اصلی حرکت سیستم برابر با بردار اصلی نیروهای خارجی است.

قضیه در مورد حرکت مرکز جرم. مرکز جرم سیستمنقطه هندسی نامیده می شود که موقعیت آن بستگی دارد تی ،و یعنی از توزیع جرم / g / ، در سیستم و با بیان بردار شعاع مرکز جرم تعیین می شود (شکل 3.5):

جایی که r c -بردار شعاع مرکز جرم

برنج. 3.5

تماس بگیریم = t با جرم سیستمپس از ضرب ، عبارت

(3.12) با مخرج و تمایز هر دو قسمت از نیمه

ما برابری ارزشمندی خواهیم داشت: g s t s = ^ t = 0 ، یا 0 = t s U s

بنابراین بردار اصلی حرکت سیستم برابر است با حاصلضرب جرم سیستم و سرعت مرکز جرم. با استفاده از قضیه در تغییر حرکت (3.11) ، بدست می آوریم:

t با dU s / dі = A (E) ،یا

فرمول (3.13) قضیه را در مورد حرکت مرکز جرم بیان می کند: مرکز جرم سیستم به عنوان یک نقطه مادی با جرم سیستم حرکت می کند ، که توسط بردار اصلی نیروهای خارجی عمل می کند.

قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای. اجازه دهید مفهوم تکانه زاویه ای یک نقطه مادی را به عنوان بردار بردار شعاع آن و حرکت معرفی کنیم:

NS ، = bl NS که, (3.14)

جایی که به OI -تکانه زاویه ای یک نقطه مادی نسبت به یک نقطه ثابت O(شکل 3.6).

حال بیایید تکانه زاویه ای یک سیستم مکانیکی را به عنوان یک جمع هندسی تعریف کنیم:

К () = X ко ، = ЩУ ،؟ O-15>

با تمایز (3.15) ، بدست می آوریم:

سیک--- NS t і U. + r y NS t i

با توجه به آن = U G U i NS t i u i= 0 ، و فرمول (3.2) ، بدست می آوریم:

сіК а / с1ї - ї 0.

بر اساس عبارت دوم در (3.6) ، ما در نهایت یک قضیه در مورد تغییر در حرکت زاویه ای سیستم داریم:

اولین بار مشتق شده از حرکت زاویه ای سیستم مکانیکی نسبت به مرکز ثابت O برابر با گشتاور اصلی نیروهای خارجی وارد بر این سیستم نسبت به یک مرکز است.

در رابطه مشتق (3.16) ، فرض بر این بود که Oیک نقطه ثابت است با این حال ، می توان نشان داد که در تعدادی از موارد دیگر شکل رابطه (3.16) تغییر نخواهد کرد ، به ویژه اگر نقطه لحظه در مرکز جرم ، مرکز لحظه ای سرعتها یا شتابها در حین حرکت صفحه انتخاب شود. علاوه بر این ، اگر نکته Oهمزمان با یک نقطه مادی متحرک ، برابری (3.16) که برای این نقطه نوشته شده است به هویت 0 = 0 تبدیل می شود.

قضیه تغییر انرژی جنبشی وقتی یک سیستم مکانیکی حرکت می کند ، انرژی "خارجی" و داخلی سیستم تغییر می کند. اگر ویژگیهای نیروهای داخلی ، بردار اصلی و گشتاور اصلی ، بر تغییر بردار اصلی و لحظه اصلی تعداد شتابها تأثیری نداشته باشد ، نیروهای داخلی را می توان در ارزیابی فرایندهای وضعیت انرژی سیستم گنجاند.بنابراین ، هنگام در نظر گرفتن تغییرات در انرژی سیستم ، باید حرکات نقاط جداگانه را در نظر گرفت ، که نیروهای داخلی نیز به آنها اعمال می شود.

انرژی جنبشی یک نقطه مادی به عنوان مقدار تعریف می شود

T ^ tuTsr. (3.17)

انرژی جنبشی یک سیستم مکانیکی برابر است با مجموع انرژی جنبشی نقاط مادی سیستم:

توجه کنید که T> 0.

اجازه دهید قدرت نیرو را به عنوان محصول مقیاس بردار نیرو توسط بردار سرعت تعریف کنیم:

اجازه دهید حرکت یک سیستم خاص از حجم مواد نسبت به یک سیستم مختصات ثابت را در نظر بگیریم. وقتی سیستم آزاد نباشد ، اگر محدودیت های اعمال شده بر سیستم را کنار بگذاریم و واکنش های مناسب را جایگزین عمل آنها کنیم ، می توان آن را آزاد دانست.

بیایید همه نیروهای اعمال شده به سیستم را به خارجی و داخلی تقسیم کنیم. هر دو ممکن است شامل واکنش های دور انداخته شوند

اتصالات از طریق و ما بردار اصلی و لحظه اصلی نیروهای خارجی را نسبت به نقطه A نشان می دهیم.

1. قضیه در مورد تغییر در میزان حرکت.اگر مقدار حرکت سیستم است ، پس (نگاه کنید به)

یعنی قضیه صادق است: مشتق زمانی از حرکت سیستم با بردار اصلی همه نیروهای خارجی برابر است.

جايگزيني بردار از طريق بيان آن در جايي كه جرم سيستم است ، سرعت مركز جرم است ، به معادله (4.1) مي توان شكل متفاوتي داد:

این برابری بدین معناست که مرکز جرم سیستم مانند یک نقطه مادی حرکت می کند که جرم آن برابر با جرم سیستم است و نیرویی به آن اعمال می شود که از نظر هندسی برابر بردار اصلی همه نیروهای خارجی سیستم است. آخرین گزاره قضیه در مورد حرکت مرکز جرم (مرکز اینرسی) سیستم نامیده می شود.

اگر از (4.1) بدست می آید که بردار حرکت در اندازه و جهت ثابت است. با نمایش آن بر روی محور مختصات ، سه انتگرال مقیاس اول ، معادلات دیفرانسیل سیستم دو نقطه ای بدست می آوریم:

این انتگرال ها را انتگرال لحظه ای می نامند. هنگامی که سرعت مرکز جرم ثابت است ، یعنی به طور یکنواخت و مستقیم حرکت می کند.

اگر طرح بردار اصلی نیروهای خارجی بر روی هر محور ، به عنوان مثال ، در محور برابر صفر باشد ، در این صورت ما یک انتگرال اول داریم ، یا اگر دو برآورد بردار اصلی برابر صفر باشد ، دو عدد وجود دارد اجزای سازنده حرکت.

2. قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای.بگذارید A یک نقطه دلخواه در فضا باشد (متحرک یا ساکن) ، که لزوماً با هیچ نقطه مادی خاصی از سیستم در کل زمان حرکت منطبق نیست. سرعت آن در یک سیستم مختصات ثابت با قضیه تغییر در حرکت زاویه ای یک سیستم مادی نسبت به نقطه A نشان داده می شود

اگر نقطه A ثابت باشد ، تساوی (4.3) شکل ساده تری به خود می گیرد:

این برابری یک قضیه را در مورد تغییر حرکت زاویه ای سیستم نسبت به یک نقطه ثابت بیان می کند: زمان مشتق شده از حرکت زاویه ای سیستم ، که با توجه به یک نقطه ثابت محاسبه می شود ، برابر است با گشتاور اصلی همه خارجی نیروهای نسبت به این نقطه

اگر بر اساس (4.4) بردار حرکت زاویه ای از نظر اندازه و جهت ثابت باشد. با نمایش آن بر روی محور مختصات ، ما انتگرالهای مقیاس پذیر معادلات دیفرانسیل سیستم دوتایی را بدست می آوریم:

این انتگرال ها را انتگرال لحظه ای یا انتگرال ناحیه می نامند.

اگر نقطه A با مرکز جرم سیستم منطبق باشد ، سپس اولین عبارت در سمت راست برابری (4.3) از بین می رود و قضیه مربوط به تغییر حرکت زاویه ای همان شکل نوشتن (4.4) را دارد در مورد یک نقطه ثابت A. 4 از § 3) که در مورد مورد بررسی ، تکانه زاویه ای مطلق سیستم در سمت چپ برابری (4.4) را می توان با تکانه زاویه ای سیستم در آن جایگزین کرد حرکت نسبت به مرکز جرم ، مساوی با آن.

اجازه دهید یک محور ثابت یا یک محور جهت ثابت که از مرکز جرم سیستم می گذرد باشد ، و نسبت جنبشی این سیستم ، لحظه جنبشی سیستم باشد. از (4.4) چنین بر می آید که

لحظه نیروهای خارجی در مورد محور کجاست. اگر در تمام مدت زمان حرکت ، اولین انتگرال را داریم

در آثار S. A. Chaplygin ، چندین تعمیم قضیه در مورد تغییر حرکت زاویه ای بدست آمد ، که سپس برای حل تعدادی از مشکلات در مورد چرخش توپ ها مورد استفاده قرار گرفت. تعمیمهای بیشتر قضیه در مورد تغییر لحظه جنبشی و کاربردهای آنها در مسائل مربوط به دینامیک جسم سخت در مقالات موجود است. نتایج اصلی این آثار با قضیه مربوط به تغییر شتاب زاویه ای با توجه به حرکت متحرک مرتبط است و دائماً از نقطه متحرک A عبور می کند. اجازه دهید بردار واحد در امتداد این محور هدایت شود. با ضرب مقیاس در دو طرف برابری (4.3) و افزودن عبارت به هر دو طرف آن ، به دست می آوریم

وقتی شرایط سینماتیکی برآورده می شود

معادله (4.5) از (4.7) بدست می آید. و اگر شرط (4.8) در تمام مدت حرکت برآورده شود ، اولین انتگرال (4.6) وجود دارد.

اگر اتصالات سیستم ایده آل باشند و در تعداد جابجایی های مجازی ، چرخش سیستم به عنوان یک جسم سفت و سخت حول محور و سپس لحظه اصلی واکنشها در مورد محور و برابر با صفر باشد ، و سپس مقدار در سمت راست معادله (4.5) لحظه اصلی همه نیروهای فعال خارجی در مورد محور و ... از بین رفتن این لحظه و اعتبار رابطه (4.8) شرایط کافی برای وجود انتگرال (4.6) در مورد مورد بررسی خواهد بود.

اگر جهت محور بدون تغییر باشد ، شرط (4.8) در فرم نوشته می شود

این برابری بدین معناست که فرافکنی های سرعت مرکز جرم و سرعت نقطه A در محور و در صفحه عمود بر این موازی است. در آثار S. A. Chaplygin ، به جای (4.9) ، کمتر شرایط عمومیجایی که X یک ثابت دلخواه است.

توجه داشته باشید که شرط (4.8) بستگی به انتخاب نقطه در ندارد. در واقع ، اجازه دهید P یک نقطه دلخواه در محور باشد. سپس

و بنابراین

در نتیجه ، ما تفسیر هندسی رزال از معادلات (4.1) و (4.4) را یادداشت می کنیم: بردارهای سرعت مطلق انتهای بردارها و برابر بردار اصلی و لحظه اصلی همه نیروهای خارجی نسبت به نقطه هستند. آ.