Mõnikord tekib ülesanne - teha väljatõmbe või korstna jaoks kaitsevihmavari, ventilatsiooniks väljatõmbedeflektor jne. Kuid enne tootmise alustamist peate materjali jaoks tegema mustri (või skannima). Internetis on selliste pühkimiste arvutamiseks igasuguseid programme. Probleem on aga nii lihtsalt lahendatav, et arvutad selle kiiresti kalkulaatoriga (arvutis) välja, kui hakkad neid programme otsima, alla laadima ja nendega tegelema.

Alustame lihtsast võimalusest - lihtsa koonuse väljatöötamisest. Kõige lihtsam viis mustri arvutamise põhimõtet selgitada näite abil.

Oletame, et peame tegema koonuse, mille läbimõõt on D cm ja kõrgus H sentimeetrit. On täiesti selge, et lõigatud segmendiga ring toimib toorikuna. Teada on kaks parameetrit – läbimõõt ja kõrgus. Pythagorase teoreemi abil arvutame tooriku ringi läbimõõdu (ärge ajage seda raadiusega segi lõpetanud koonused). Pool läbimõõdust (raadiusest) ja kõrgusest moodustavad täisnurkse kolmnurga. Sellepärast:

Niisiis, nüüd teame tooriku raadiust ja saame ringi välja lõigata.

Arvutage ringist välja lõigatava sektori nurk. Me vaidleme järgmiselt: tooriku läbimõõt on 2R, mis tähendab, et ümbermõõt on Pi * 2 * R - st. 6,28*R. Tähistame seda L. Ring on täielik, s.t. 360 kraadi. Ja valmis koonuse ümbermõõt on Pi * D. Tähistame seda Lm-ga. See on loomulikult väiksem kui tooriku ümbermõõt. Peame lõikama segmendi, mille kaare pikkus on võrdne nende pikkuste vahega. Rakendage suhtereeglit. Kui 360 kraadi annab meile tooriku kogu ümbermõõdu, siis soovitud nurk peaks andma valmis koonuse ümbermõõdu.

Suhte valemist saame nurga suuruse X. Ja lõikesektor leitakse lahutades 360 - X.

Raadiusega R ümartoorikust tuleb lõigata nurgaga sektor (360-X). Jätke kindlasti väike riba kattuvast materjalist (kui koonuse kinnitus kattub). Pärast lõikesektori külgede ühendamist saame etteantud suurusega koonuse.

Näiteks: Vajame korstna õhupuhasti koonust kõrgusega (H) 100 mm ja läbimõõduga (D) 250 mm. Pythagorase valemi järgi saame tooriku raadiuse - 160 mm. Ja tooriku ümbermõõt vastavalt 160 x 6,28 = 1005 mm. Samal ajal on meile vajaliku koonuse ümbermõõt 250 x 3,14 = 785 mm.

Siis saame, et nurkade suhe on: 785 / 1005 x 360 = 281 kraadi. Sellest lähtuvalt on vaja sektorit lõigata 360 - 281 = 79 kraadi.

Tüvikoonuse mustritooriku arvutamine.

Sellist detaili on mõnikord vaja ühest läbimõõdust teise või Volpert-Grigorovitši või Khanzhenkovi deflektorite valmistamisel. Neid kasutatakse tõmbe parandamiseks korstnas või ventilatsioonitorus.

Ülesande muudab veidi keerulisemaks asjaolu, et me ei tea kogu koonuse kõrgust, vaid ainult selle kärbitud osa. Üldjuhul on kolm algnumbrit: kärbikoonuse kõrgus H, alumise ava (aluse) läbimõõt D ja ülemise ava läbimõõt Dm (täiskoonuse ristlõikes). Kuid me kasutame samu lihtsaid matemaatilisi konstruktsioone, mis põhinevad Pythagorase teoreemil ja sarnasusel.

Tõepoolest, on ilmne, et väärtus (D-Dm) / 2 (pool läbimõõtude erinevusest) on seotud kärbikoonuse H kõrgusega samamoodi nagu aluse raadius kogu koonuse kõrgusele, nagu poleks kärbitud. Sellest suhtest leiame kogukõrguse (P).

(D – Dm)/ 2H = D/2P

Seega Р = D x H / (D-Dm).

Teades nüüd koonuse kogukõrgust, saame ülesande lahenduse taandada eelmisele. Arvutage tooriku areng justkui täiskoonuse jaoks ja seejärel "lahutage" sellest selle ülemise, mittevajaliku osa areng. Ja me saame arvutada töödeldava detaili raadiused otse.

Pythagorase teoreemi abil saame tooriku suurema raadiuse - Rz. See on ruutjuur kõrguse P ja D/2 ruutude summast.

Väiksem raadius Rm on ruutude (P-H) ja Dm/2 summa ruutjuur.

Meie tooriku ümbermõõt on 2 x Pi x Rz või 6,28 x Rz. Ja koonuse aluse ümbermõõt on Pi x D ehk 3,14 x D. Nende pikkuste suhe annab sektorite nurkade suhte, kui eeldame, et tooriku täisnurk on 360 kraadi.

Need. X / 360 = 3,14 × D / 6,28 × Rz

Seega X \u003d 180 x D / Rz (See on nurk, mis tuleb jätta aluse ümbermõõdu saamiseks). Ja peate vastavalt lõikama 360–X.

Näiteks: Peame tegema kärbikoonuse kõrgusega 250 mm, aluse läbimõõduga 300 mm, ülemise ava läbimõõduga 200 mm.

Leiame täiskoonuse kõrguse P: 300 x 250 / (300 - 200) = 600 mm

Pythagorase meetodi järgi leiame tooriku välisraadiuse Rz: Ruutjuur (300/2) ^ 2 + 6002 = 618,5 mm

Sama teoreemiga leiame väiksema raadiuse Rm: Ruutjuur (600 - 250)^2 + (200/2)^2 = 364 mm.

Määrame oma tooriku sektori nurga: 180 x 300 / 618,5 = 87,3 kraadi.

Materjalile joonistame kaare raadiusega 618,5 mm, seejärel samast keskelt - kaare raadiusega 364 mm. Kaare nurk võib olla ligikaudu 90-100 kraadi. Joonistame raadiused, mille avanemisnurk on 87,3 kraadi. Meie ettevalmistus on valmis. Ärge unustage lubada õmbluse servi, kui need kattuvad.

Geomeetria kui teadus kujunes välja Vana-Egiptuses ja saavutas kõrge arengutaseme. Kuulus filosoof Platon asutas Akadeemia, kus pöörati suurt tähelepanu olemasolevate teadmiste süstematiseerimisele. Koonust kui üht geomeetrilist kujundit mainiti esmakordselt kuulsas Eukleidese traktaadis "Algused". Eukleides oli tuttav Platoni teostega. Nüüd teavad vähesed, et sõna "koonus" tähendab kreeka keeles "männikäbi". Aleksandrias elanud kreeka matemaatikut Eukleidest peetakse õigustatult geomeetrilise algebra rajajaks. Vanad kreeklased ei saanud mitte ainult egiptlaste teadmiste jätkajateks, vaid laiendasid oluliselt ka teooriat.

Koonuse määratluse ajalugu

Geomeetria kui teadus tekkis ehitamise ja looduse vaatlemise praktilistest nõuetest. Järk-järgult hakati eksperimentaalseid teadmisi üldistama, mõne keha omadusi tõestati teiste kaudu. Vanad kreeklased võtsid kasutusele aksioomide ja tõestuste mõiste. Aksioom on väide, mis on saadud praktilisel teel ja ei vaja tõestust.

Euclid andis oma raamatus koonuse definitsiooni kui kujundit, mis saadakse täisnurkse kolmnurga pööramisel ümber ühe jala. Talle kuulub ka põhiteoreem, mis määrab koonuse ruumala. Ja Vana-Kreeka matemaatik Eudoxus Knidusest tõestas selle teoreemi.

Teine Vana-Kreeka matemaatik, Apollonius Pergast, kes oli Eukleidese õpilane, töötas välja ja selgitas oma raamatutes koonuspindade teooriat. Talle kuulub koonilise pinna määratlus ja selle sekant. Tänapäeva koolilapsed õpivad eukleidilist geomeetriat, mis on säilitanud iidsetest aegadest peamised teoreemid ja määratlused.

Põhimääratlused

Parempoolne ringkoonus moodustub täisnurkse kolmnurga pöörlemisel ümber ühe jala. Nagu näete, pole koonuse mõiste Eukleidese ajast muutunud.

Täisnurkse kolmnurga AOS hüpotenuus AS moodustab ümber jala OS pöörlemisel koonuse külgpinna, seetõttu nimetatakse seda generatriksiks. Kolmnurga jala OS pöördub samaaegselt koonuse ja selle telje kõrguseks. Punkt S muutub koonuse tipuks. Jalg AO, kirjeldades ringi (aluse), pöördus koonuse raadiuseks.

Kui joonistada ülevalt läbi koonuse tipu ja telje tasapinna, siis näeme, et saadud telglõik on võrdhaarne kolmnurk, mille teljeks on kolmnurga kõrgus.

kus C- põhja ümbermõõt, l on koonuse generaatori pikkus, R on aluse raadius.

Koonuse ruumala arvutamise valem

Koonuse ruumala arvutamiseks kasutatakse järgmist valemit:

kus S on koonuse aluse pindala. Kuna alus on ring, arvutatakse selle pindala järgmiselt:

See tähendab:

kus V on koonuse ruumala;

n on arv, mis on võrdne 3,14;

R on aluse raadius, mis vastab segmendile AO joonisel fig 1;

H on segmendi OS kõrgus.

Tüvikoonus, maht

Seal on parempoolne ringikujuline koonus. Kui ülemine osa lõigatakse kõrgusega risti oleva tasapinnaga ära, saadakse kärbitud koonus. Selle kaks alust on ringikujulised raadiustega R 1 ja R 2 .

Kui täisnurkse kolmnurga pöörlemisel moodustub täiskoonus, siis tüvikoonus tekib täisnurkse trapetsi pööramisel ümber sirge külje.

Kärbitud koonuse maht arvutatakse järgmise valemi abil:

V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Koonus ja selle läbilõige tasapinnaga

Vana-Kreeka matemaatiku Apolloniuse Perga Peruu kuulub teoreetilisesse teosesse "Koonuslõiked". Tänu tema tööle geomeetria vallas tekkisid kõverate määratlused: parabool, ellips, hüperbool. Mõelge ja siin on koonus.

Võtke parem ümmargune koonus. Kui tasapind lõikub sellega risti teljega, siis moodustatakse lõigus ring. Kui sekant ületab koonuse telje suhtes nurga all, saadakse lõigus ellips.

Alusega risti ja koonuse teljega paralleelne lõiketasand moodustab pinnale hüperbooli. Tasand, mis lõikab koonust aluse suhtes nurga all ja paralleelselt koonuse puutujaga, loob pinnale kõvera, mida nimetatakse parabooliks.

Probleemi lahendus

Isegi lihtne ülesanne, kuidas teatud mahuga ämbrit teha, nõuab teadmisi. Näiteks peate arvutama ämbri mõõtmed nii, et selle maht oleks 10 liitrit.

V \u003d 10 l \u003d 10 dm 3;

Koonuse areng on joonisel 3 skemaatiliselt näidatud kujul.

L - koonuse generatrix.

Koppa pindala väljaselgitamiseks, mis arvutatakse järgmise valemi abil:

S \u003d n * (R 1 + R 2) * L,

on vaja arvutada generatriks. Leiame selle mahu väärtusest V \u003d n * (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2) * H / 3.

Seega H = 3 V/n* (R 1 2 + R 2 2 + R 1 * R 2).

Tüvikoonus moodustatakse ristkülikukujulise trapetsi pööramisel, mille külgmine külg on koonuse generatriks.

L 2 \u003d (R 2- R 1) 2 + H 2.

Nüüd on meil kõik andmed kopa joonise koostamiseks.

Miks on tuletõrjeämbrid koonuse kujulised?

Kes imestas, miks tuletõrjeämbrid on pealtnäha kummalise koonilise kujuga? Ja see pole ainult see. Selgub, et tulekahju kustutamisel on koonilisel ämbril palju eeliseid tavapärase, tüvikoonusekujulise ämbri ees.

Esiteks, nagu selgub, täitub tuleämber kiiremini veega ega valgu kandmisel maha. Tavalisest ämbrist suurem koonus võimaldab korraga kanda rohkem vett.

Teiseks saab sellest vett välja visata suuremale kaugusele kui tavalisest ämbrist.

Kolmandaks, kui kooniline ämber kukub käest ja kukub tulle, siis valatakse kogu vesi tulele.

Kõik need tegurid säästavad aega – peamist tegurit tulekahju kustutamisel.

Praktiline kasutamine

Koolilastel tekib sageli küsimus, miks õppida erinevate geomeetriliste kehade, sealhulgas koonuse ruumala arvutama.

Ja projekteerimisinsenerid seisavad pidevalt silmitsi vajadusega arvutada mehhanismi osade kooniliste osade maht. Need on puuride otsad, trei- ja freespinkide osad. Koonuse kuju võimaldab puuritel hõlpsasti materjali siseneda, ilma et oleks vaja spetsiaalset tööriistaga esmalt pesi.

Koonuse mahus on maapinnale valatud liiva- või mullahunnik. Vajadusel saate lihtsaid mõõtmisi tehes arvutada selle mahu. Mõne jaoks tekitab raskusi küsimus, kuidas teada saada liivahunniku raadiust ja kõrgust. Mõõdulindiga relvastatud mõõdame künka C ümbermõõtu. Valemi R \u003d C / 2n abil saame teada raadiuse. Visates köie (ruleti) üle tipu, leiame generatrixi pikkuse. Ja kõrguse arvutamine Pythagorase teoreemi ja ruumala abil pole keeruline. Loomulikult on selline arvutus ligikaudne, kuid see võimaldab teil kindlaks teha, kas teid ei petnud kuubiku asemel tonni liiva toomine.

Mõned hooned on tüvikoonuse kujulised. Näiteks Ostankino teletorn on lähenemas koonuse kuju. Seda võib kujutada kahest üksteise peale asetatud koonusest koosnevana. Iidsete losside ja katedraalide kuplid on koonus, mille ruumala muistsed arhitektid hämmastava täpsusega välja arvutasid.

Kui vaatate ümbritsevaid objekte tähelepanelikult, on paljud neist koonused:

• lehtrid vedelike valamiseks;
• sarv-valjuhääldi;
• parkimiskoonused;
• põrandalambi lambivari;
• tavaline jõulupuu;
• puhkpillid.

Nagu ülaltoodud näidetest näha, on koonuse ruumala, selle pindala arvutamise oskus vajalik nii töö- kui ka igapäevaelus. Loodame, et see artikkel aitab teid.

Kärbikoonuse määratlus

Tüvikoonuse saab tavalisest koonusest, kui sellist koonust lõikab alusega paralleelne tasapind. Siis nimetatakse kujundit, mis asub kahe tasandi (selle tasapinna ja tavalise koonuse aluse) vahel, tüvikoonuseks.

Tal on kaks alust, mis ümmarguse koonuse puhul on ringid ja üks neist on teisest suurem. Käbikoonusel on ka kõrgus- segment, mis ühendab kahte alust ja on nendega risti.

Interneti-kalkulaator

Kärbitud koonus võib olla otsene, siis projitseeritakse ühe aluse keskpunkt teise aluse keskpunkti. Kui koonus kaldu, siis sellist projektsiooni ei toimu.

Mõelge parempoolsele ringikujulisele koonusele. Selle näitaja mahtu saab arvutada mitmel viisil.

Tüvikoonuse ruumala valem aluste raadiuste ja nendevahelise kauguse järgi

Kui meile antakse ümmargune tüvikoonus, leiame selle ruumala järgmise valemi abil:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ )

R1, r2 r_1, r_2 r 1 ​ , r 2 ​ - koonuse aluste raadiused;
h h h- nende aluste vaheline kaugus (kärbitud koonuse kõrgus).

Kaaluge näidet.

Leidke kärbitud koonuse ruumala, kui on teada, et väikese aluse pindala on 64 π cm 2 64\pi\tekst( cm)^26 4 pi cm2 , suur - 169 π cm 2 169\pi\tekst( cm)^21 6 9 cm2 , ja selle kõrgus on 14 cm 14\tekst( cm) 1 4 cm.

Lahendus

S 1 \u003d 64 π S_1 \u003d 64 \ pi S 1 ​ = 6 4 pi
S 2 \u003d 169 π S_2 \u003d 169 \ pi S 2 ​ = 1 6 9
h=14 h=14 h =1 4

Leidke väikese aluse raadius:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2S 1 ​ = π ⋅ r 1 2 ​

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 π =π ⋅ r 1 2 ​

64=r 1 2 64=r_1^2 6 4 = r 1 2 ​

R1=8 r_1=8 r 1 ​ = 8

Samamoodi suure baasi jaoks:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2S 2 ​ = π ⋅ r 2 2 ​

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9π ⋅ r 2 2 ​

169=r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = r 2 2 ​

R2=13 r_2=13 r 2 ​ = 1 3

Arvutage koonuse ruumala:

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 3 V = 38 cm3 \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\umbes 4938\tekst( cm)^3V =3 1 ​ ⋅ π ⋅ h ⋅(r 1 2 ​ + r 1 ​ ⋅ r 2 ​ + r 2 2 ​ ) = 3 1 ​ ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 cm3

Vastus

4938 cm3. 4938\tekst(cm)^3.4 9 3 8 cm3 .

Tüvikoonuse ruumala valem aluste pindalade ja nende kauguse ülaosast

Oletame, et meil on kärbitud koonus. Lisage sellele mõtteliselt puuduv tükk, muutes sellest "tavalise koonuse" tipuga. Siis saab tüvikoonuse ruumala leida kahe vastava põhjaga koonuse ruumala ja nende kauguse (kõrguse) koonuse tipust erinevusena.

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V =3 1 ​ ⋅ S ⋅H-3 1 ​ ⋅ s⋅h =3 1 ​ ⋅ (S ⋅H-s⋅h)

S S S on suure koonuse aluse pindala;
H H H on selle (suure) koonuse kõrgus;
s s s- väikese koonuse aluse pindala;
h h h- selle (väikese) koonuse kõrgus;

Määrake tüvikoonuse ruumala, kui täiskoonuse kõrgus on H H H on võrdne 10 cm 10\tekst( cm) 1 0 cm, alumise aluse raadius R RR - 5 cm 5\tekst( cm)5 cm, üleval r rr - 4 cm 4\tekst( cm)4 cm, ja kärbikoonuse kõrgus on 8cm 8\tekst(cm)8 cm.

Lahendus

R=5 R=5R= 5
r=4 r=4r= 4
H = 10 H = 10H= 1 0
H - h = 8 H-h = 8H− h= 8 ,
kus h hh on väikese koonuse kõrgus.

Leidke koonuse mõlema aluse pindala:

$S=\pi \cdot R^{2=\pi \cdot 5^{2\approx 78.5}}$

$s=\pi \cdot r^{2=\pi \cdot 4^{2\approx 50.24}}$

Leidke väikese koonuse kõrgus h hh:

$H-h=8$

$h=H-8$

$h=10-8$

$h=2$

Maht on võrdne valemiga:

$V=31\cdot (S\cdot H-s\cdot h)\approx 31\cdot (78.5\cdot 10-50.24\cdot 2)\approx 228\text{cm3}$

Vastus

$228\text{cm3 .}$

Geomeetrias on tüvikoonus keha, mis moodustub ristkülikukujulise trapetsi pööramisel selle selle külje ümber, mis on risti alusega. Kuidas nad arvutavad kärbitud koonuse maht, teavad kõik kooli geomeetria kursusest ja praktikas kasutavad neid teadmisi sageli erinevate masinate ja mehhanismide projekteerijad, mõne tarbeeseme arendajad, aga ka arhitektid.

Tüvikoonuse ruumala arvutamine

Kärbitud koonuse ruumala arvutamise valem

Kärbitud koonuse maht arvutatakse järgmise valemi abil:

h- koonuse kõrgus

r- ülemise aluse raadius

R- põhja aluse raadius

V- kärbitud koonuse maht

π - 3,14

Selliste geomeetriliste kehadega nagu kärbitud koonused, igapäevaelus kohtab igaüks üsna sageli, kui mitte pidevalt. Nende kujul on lai valik igapäevaelus laialdaselt kasutatavaid anumaid: ämbrid, klaasid, mõned tassid. On ütlematagi selge, et need välja töötanud disainerid pidid kasutama valemit, mis arvutab kärbitud koonuse maht, kuna see väärtus on antud juhul väga oluline, kuna see määrab nii olulise omaduse nagu toote mahutavus.

Inseneristruktuurid, mis on kärbitud koonused, võib sageli näha suurtes tööstusettevõtetes, samuti soojus- ja tuumaelektrijaamades. Just selline vorm on jahutustornidel – seadmed, mis on mõeldud suurte veekoguste jahutamiseks, sundides atmosfääriõhu vastuvoolu. Kõige sagedamini kasutatakse neid konstruktsioone juhtudel, kui on vaja lühikese aja jooksul oluliselt vähendada suure koguse vedeliku temperatuuri. Nende struktuuride arendajad peavad kindlaks määrama kärbitud koonuse maht arvutamise valem on üsna lihtne ja kõigile teada, kes kunagi keskkoolis hästi õppisid.

Sellise geomeetrilise kujuga detaile leidub üsna sageli erinevate tehniliste seadmete disainis. Näiteks hammasrattaid, mida kasutatakse süsteemides, kus on vaja muuta kineetilise ülekande suunda, rakendatakse kõige sagedamini koonusülekannete abil. Need osad on lahutamatu osa väga erinevatest käigukastidest, aga ka kaasaegsetes autodes kasutatavatest automaat- ja manuaalkäigukastidest.

Tüvikoonuse kujul on mõned lõikeriistad, mida tootmises laialdaselt kasutatakse, näiteks freesid. Nende abiga saate töödelda kaldpindu teatud nurga all. Metalli- ja puidutöötlemisseadmete lõikurite teritamiseks kasutatakse sageli abrasiivseid rattaid, mis on samuti tüvikoonused. Pealegi, kärbitud koonuse maht on vaja määrata trei- ja freespinkide projekteerijad, mis hõlmavad koonilise varrega varustatud lõikeriista (puurid, hõõritsad jne) kinnitamist.