Definitsioon. Prisma on hulktahukas, mille kõik tipud paiknevad kahel paralleelsel tasapinnal ja neil samadel kahel tasapinnal asuvad prisma kaks tahku, mis on võrdsed hulknurgad vastavalt paralleelsete külgedega ja kõik servad, mis neil tasapindadel ei asu, on paralleelsed.

Kaks võrdsed näod kutsutakse prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad prisma külgpind .

Kõik prisma külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Neid servi, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal on segment, mille otsad on prisma kaks tippu, mis ei asu samal pinnal (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Nimetus:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse läbimise järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise aluse tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, tähistatakse ainult ühes aluses asuvad tipud tähtede järgi ilma indeksita ja teises - indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on aluses viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga sellepärast sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku - prisma alused, 5 tahku - rööpkülikukujulised, - selle külgpinnad)

Sirgete prismade seas paistab see silma privaatne vaade: õiged prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Parallelepiped

Ristkülikukujuline rööptahukas- parempoolne rööptahukas, mille põhi on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

,

kus d on ruudu diagonaal;
a on ruudu külg.

Prismast annab ettekujutuse:

• mitmesugused arhitektuursed struktuurid;
• laste mänguasjad;
• pakkekarbid;
• disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpinna pindala

S täis = S pool + 2S põhi,

Kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S alus- baaspindala

Sirge prisma külgpind on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool= P põhi * h,

Kus S pool- sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, mis on võrdne külgservaga.

Prisma maht

Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

IN kooli õppekava Stereomeetria kursusel alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).

Kuidas prisma välja näeb?

Tavaline nelinurkne prisma on kuusnurk, mille alused on 2 ruutu ja külgpinnad on kujutatud ristkülikutega. Teine nimi sellele geomeetriline kujund- sirge rööptahukas.

Allpool on näidatud nelinurkse prisma joonis.

Pildil ka näha olulised elemendid, millest geomeetriline keha koosneb. Nende hulka kuuluvad:

Mõnikord võib geomeetriaülesannetes kohata lõigu mõistet. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik lõiketasandisse kuuluvad mahulise keha punktid. Lõige võib olla risti (lõikab joonise servi 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne konstrueeritavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.

Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.

Antud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid seoseid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria kursusest (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).

Pindala ja maht

Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse pindala ja kõrgust:

V = Sbas h

Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:

V = a²·h

Kui me räägime kuubist - tavaline prisma koos võrdse pikkusega, laius ja kõrgus, arvutatakse maht järgmiselt:

Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle arengut.

Jooniselt on selge, et külgmine pind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:

Sside = Posn h

Võttes arvesse, et ruudu ümbermõõt on võrdne P = 4a, valem on järgmisel kujul:

Sside = 4a h

Kuubiku jaoks:

Sside = 4a²

Prisma kogupindala arvutamiseks peate külgpinnale lisama 2 aluspinda:

Täis = Sside + 2Smain

Nelinurkse korrapärase prisma suhtes näeb valem välja järgmine:

Kokku = 4a h + 2a²

Kuubi pindala jaoks:

Täis = 6a²

Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.

Prisma elementide leidmine

Sageli on probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab valemeid tuletada:

• põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
• kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
• baaspindala: Sbas = V/h;
• külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.

Et määrata, kui suur pindala on diagonaalil, peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Sellest järeldub:

Sdiag = ah√2

Prisma diagonaali arvutamiseks kasutage valemit:

dprize = √(2a² + h²)

Et mõista, kuidas antud seoseid rakendada, saab harjutada ja lahendada mitmeid lihtsaid ülesandeid.

Näited probleemidest koos lahendustega

Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamite ülesanded.

Ülesanne 1.

Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm. Milline on liivatase, kui viia see sama kujuga, kuid kaks korda pikema põhjaga anumasse?

Seda tuleks põhjendada järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkust saab tähistada tähisega a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:

V₁ = ha² = 10a²

Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Sest V1 = V2, saame võrdsustada väljendeid:

10a² = 4ha²

Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:

Selle tulemusena uus tase liiva tuleb h = 10/4 = 2,5 cm.

2. ülesanne.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on õige prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.

Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.

Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võime järeldada, et põhjas on ruut diagonaaliga 6√2. Külgkülje diagonaal on sama suur, seetõttu on ka külgpind alusega võrdne ruudu kuju. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.

Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kogupindala leitakse kuubi valemi abil:

Täis = 6a² = 6 6² = 216

3. ülesanne.

Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on kõige madalam hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?

Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised ehk korrapärased nelinurgad ning selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, siis võib järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.

Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.

Ala kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².

Selle ruumi tapeedi maksumus on madalaim 50·30 = 1500 rubla

Seega probleemide lahendamiseks edasi ristkülikukujuline prisma Piisab, kui oskad arvutada ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõtu, samuti tead ruumala ja pindala leidmise valemeid.

Kuidas leida kuubi pindala

Polyhedra

Stereomeetria peamine uurimisobjekt on ruumilised kehad. Keha kujutab teatud pinnaga piiratud ruumi osa.

Polüheder on keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest. Polüeedrit nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv. Kumera hulktahuka tahud on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetatakse hulktahuka servad, ja tipud on hulktahuka tipud.

Näiteks kuubik koosneb kuuest ruudust, mis on selle tahud. Sellel on 12 serva (ruutude küljed) ja 8 tippu (ruutude tipud).

Lihtsamad hulktahukad on prismad ja püramiidid, mida uurime edasi.

Prisma

Prisma definitsioon ja omadused

Prisma on hulktahukas, mis koosneb kahest lamedast hulknurgast, mis asuvad paralleelsetes tasandites, mis on kombineeritud paralleelse translatsiooniga, ja kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest lõikudest. Hulknurki nimetatakse prisma alused, ja hulknurkade vastavaid tippe ühendavad segmendid on prisma külgmised servad.

Prisma kõrgus nimetatakse kauguseks selle aluste tasapindade vahel (). Nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku prisma diagonaal(). Prismat nimetatakse n-süsinik, kui selle alus on n-nurk.

Igal prismal on järgmised omadused, mis tulenevad sellest, et prisma alused ühendatakse paralleeltõlke abil:

1. Prisma alused on võrdsed.

2. Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

Prisma pind koosneb alustest ja külgmine pind. Prisma külgpind koosneb rööpkülikutest (see tuleneb prisma omadustest). Prisma külgpinna pindala on külgpindade pindalade summa.

Sirge prisma

Prismat nimetatakse otsene, kui selle külgmised servad on alustega risti. Muidu nimetatakse prismat kaldu.

Parempoolse prisma küljed on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus on võrdne selle külgpindadega.

Täisprisma pind nimetatakse külgpinna ja aluste pindalade summaks.

Õige prismaga nimetatakse täisprismaks, mille põhjas on korrapärane hulknurk.

Teoreem 13.1. Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne prisma perimeetri ja kõrguse korrutisega (või, mis on sama, külgserva võrra).

Tõestus. Täpse prisma külgmised tahud on ristkülikud, mille alusteks on prisma põhjades olevate hulknurkade küljed ja kõrgusteks prisma külgservad. Siis definitsiooni järgi on külgpindala:

,

kus on sirge prisma aluse ümbermõõt.

Parallelepiped

Kui rööpkülikud asuvad prisma alustel, siis nimetatakse seda rööptahukas. Rööptahuka kõik tahud on rööpkülikukujulised. Sel juhul on rööptahuka vastasküljed paralleelsed ja võrdsed.

Teoreem 13.2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja jagatakse lõikepunktiga pooleks.

Tõestus. Mõelge näiteks kahele suvalisele diagonaalile ja . Sest rööptahuka tahud on rööpkülikukujulised, siis ja , mis tähendab, et vastavalt To on kaks sirget paralleelselt kolmandaga. Lisaks tähendab see, et sirgjooned ja asuvad samal tasapinnal (tasapinnal). See tasapind lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid jooni ja . Seega on nelinurk rööpkülik ja rööpküliku omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid ja jagatakse pooleks lõikepunktiga, mida oli vaja tõestada.

Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik ristkülikukujuline rööptahukas. Ristkülikukujulise rööptahuka kõik tahud on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mitteparalleelsete servade pikkusi nimetatakse selle lineaarsed mõõtmed(mõõtmised). Selliseid suurusi on kolm (laius, kõrgus, pikkus).

Teoreem 13.3. Ristkülikukujulise rööptahuka puhul on iga diagonaali ruut võrdne selle kolme mõõtme ruutude summaga (tõestatud Pythagorase T kahekordse rakendamisega).

Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik.

Ülesanded

13.1 Mitu diagonaali sellel on? n- süsinikuprisma

13.2 Kaldkujulises kolmnurkprismas on külgservade vahelised kaugused 37, 13 ja 40. Leia kaugus suurema külgserva ja vastaskülgserva vahel.

13.3 Tasapind tõmmatakse läbi korrapärase kolmnurkse prisma alumise aluse külje, mis lõikab külgpindu piki segmente, mille vahel on nurk. Leidke selle tasandi kaldenurk prisma aluse suhtes.

Matemaatika haru, mis tegeleb erinevate kujundite (punktid, sirged, nurgad, kahe- ja kolmemõõtmelised objektid) omaduste, nende suuruste ja suhteliste asukohtade uurimisega. Õpetamise hõlbustamiseks jagatakse geomeetria planimeetriaks ja stereomeetriaks. IN…… Collieri entsüklopeedia

Ruumide geomeetria, mille mõõtmed on suuremad kui kolm; terminit kasutatakse nende ruumide kohta, mille geomeetria töötati algselt välja kolme mõõtme jaoks ja alles seejärel üldistati mõõtmete arvuks n>3, peamiselt eukleidiline ruum, ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

N-mõõtmeline eukleidiline geomeetria on eukleidilise geomeetria üldistus rohkematele mõõtmetele. Kuigi füüsiline ruum on kolmemõõtmeline ja inimese meeled on loodud tajuma kolme dimensiooni, N-mõõtmelist... ... Wikipedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Pyramidatsu (tähendused). Artikli selle lõigu usaldusväärsus on seatud kahtluse alla. Peate kontrollima selles jaotises esitatud faktide õigsust. Jutulehel võivad olla selgitused... Vikipeedia

- Modelleerimisel kasutatav (Constructive Solid Geometry, CSG) tehnoloogia tahked ained. Konstruktiivne plokkide geomeetria on sageli, kuid mitte alati, viis modelleerimiseks 3D-graafikas ja CAD-is. See võimaldab luua keeruka stseeni või... Wikipedia

Konstruktiivne tahke geomeetria (CSG) on tahkete osakeste modelleerimisel kasutatav tehnoloogia. Konstruktiivne plokkide geomeetria on sageli, kuid mitte alati, viis modelleerimiseks 3D-graafikas ja CAD-is. Ta... ... Wikipedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Maht (tähendused). Maht on komplekti (mõõdu) aditiivne funktsioon, mis iseloomustab selle ruumi pindala mahtu. Esialgu tekkis ja rakendati ilma range... ... Wikipedia

Kuubik Tüüp Regulaarne hulktahukas Nägu ruut tipud servad näod ... Wikipedia

Maht on komplekti (mõõdu) aditiivne funktsioon, mis iseloomustab selle ruumi pindala mahtu. Algselt tekkis see ja seda rakendati ilma range määratluseta seoses kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi kolmemõõtmeliste kehadega.... ... Wikipedia

Ruumiosa, mis on piiratud piiratud arvu tasapinnaliste hulknurkade kogumiga (vt GEOMEETIA), mis on ühendatud nii, et iga hulknurga kumbki külg on täpselt ühe teise hulknurga külg (nn... ... Collieri entsüklopeedia

Raamatud

• Tabelite komplekt. Geomeetria. 10. klass. 14 tabelit + metoodika,. Tabelid on trükitud paksule trükitud papile mõõtudega 680 x 980 mm. Kaasas brošüür koos metoodilisi soovitusi

õpetaja jaoks.
Õppealbum 14 lehest...
Definitsioon 1. Prismaatiline pind
Teoreem 1. Prismaatilise pinna paralleellõigetel
Definitsioon 2. Prismaatilise pinna ristilõige
Definitsioon 3. Prisma
Definitsioon 4. Prisma kõrgus

Definitsioon 5. Paremprisma
Teoreem 2. Prisma külgpinna pindala
Parallelelepped:
Definitsioon 6. Parallelepped
Teoreem 3. Rööptahuka diagonaalide lõikepunktist
Definitsioon 7. Parempoolne rööptahukas
Definitsioon 8. Ristkülikukujuline rööptahukas
Definitsioon 9. Rööptahuka mõõtmised
Definitsioon 10. Kuubik
Definitsioon 11. Romboeeder
Teoreem 4. Ristkülikukujulise rööptahuka diagonaalidel
Teoreem 5. Prisma ruumala

Prisma Teoreem 6. Sirge prisma ruumala
Teoreem 7. Ristkülikukujulise rööptahuka ruumala on hulktahukas, mille kaks tahku (põhja) asetsevad paralleelsetes tasapindades ja servad, mis nendel tahkudel ei asu, on üksteisega paralleelsed..
Muid nägusid peale aluste nimetatakse külgmine Külgpindade ja aluste külgi nimetatakse prisma ribid, nimetatakse servade otsad prisma tipud. Külgmised ribid nimetatakse servi, mis ei kuulu aluste hulka. Külgpindade liitu nimetatakse prisma külgpind, ja kõigi nägude liitu nimetatakse prisma täispind. Prisma kõrgus nimetatakse risti, mis on langetatud ülemise aluse punktist alumise aluse tasapinnale või selle risti pikkusele. Sirge prisma nimetatakse prismaks, mille külgmised ribid on risti aluste tasanditega.

Õige
nimetatakse sirgeks prismaks (joon. 3), mille põhjas asub korrapärane hulknurk.
Nimetused:
l - külgribi;
P - baasi ümbermõõt;
S o - baaspindala;
H - kõrgus;
P^ - risti lõigu ümbermõõt;
S p on prisma kogupinna pindala.

2. definitsioon . Prismaatilise pinna ristilõige on selle pinna läbilõige selle servadega risti oleva tasapinnaga. Eelneva teoreemi alusel on sama prismaatilise pinna kõik risti olevad lõigud võrdsed hulknurgad.

3. määratlus . Prisma on hulktahukas, mida piirab prismaatiline pind ja kaks üksteisega paralleelset tasandit (kuid mitte paralleelsed prismaatilise pinna servadega).
Nendes viimastes tasapindades lebavaid nägusid nimetatakse prisma alused; prismaatilisele pinnale kuuluvad näod - külgmised näod; prismaatilise pinna servad - prisma külgmised ribid. Eelmise teoreemi kohaselt on prisma alus võrdsed hulknurgad. Prisma kõik külgmised pinnad - rööpkülikuid; kõik külgmised ribid on üksteisega võrdsed.
Ilmselgelt kui on antud prisma ABCDE alus ja üks serv AA" suuruselt ja suunast, siis on võimalik prisma konstrueerida, tõmmates servad BB", CC", ... võrdsed ja paralleelsed servaga AA" .

4. määratlus . Prisma kõrgus on selle aluste tasandite vaheline kaugus (HH").

Definitsioon 5 . Prismat nimetatakse sirgeks, kui selle alused on prismapinna risti lõigud. Sel juhul on prisma kõrgus loomulikult selle külgribi; külgmised servad saavad olema ristkülikud.
Prismasid saab klassifitseerida külgpindade arvu järgi, võrdne arv selle aluseks oleva hulknurga küljed. Seega võivad prismad olla kolmnurksed, nelinurksed, viisnurksed jne.

2. teoreem . Prisma külgpinna pindala on võrdne külgserva ja ristlõike perimeetri korrutisega.
Olgu ABCDEA"B"C"D"E" antud prisma ja abcde selle ristilõige, nii et lõigud ab, bc, .. on risti selle külgmiste servadega. Tahk ABA"B" on rööpkülik, selle pindala on võrdne aluse AA korrutisega kõrgusele, mis langeb kokku ab-ga; näo pindala ВСВ "С" võrdub aluse ВВ korrutisega kõrgusega bc jne. Järelikult on külgpind (st külgpindade pindalade summa) võrdne korrutisega külgservast, teisisõnu kogupikkus segmendid AA", BB", .. summa ab+bc+cd+de+ea jaoks.