Suvalise püramiidi külgpinna pindala on võrdne selle külgpindade pindalade summaga. Selle ala väljendamiseks on otstarbekas anda tavapüramiidi puhul spetsiaalne valem. Niisiis, andke meile korrapärane püramiid, mille põhjas asub korrapärane n-nurk, mille külg on võrdne a-ga. Olgu h külgpinna kõrgus, mida nimetatakse ka apoteem püramiidid. Ühe külgpinna pindala on 1/2ah ja kogu külgmine pind püramiidi pindala on n/2ha. Kuna na on püramiidi aluse ümbermõõt, saame leitud valemi kirjutada kujul:

Külgmine pindala tavalise püramiidi korrutis on võrdne selle apoteemi ja poole aluse perimeetri korrutisega.

Seoses kogupindala, siis lisame aluse pindala lihtsalt küljele.

Sissekirjutatud ja piiritletud kera ja kera. Tuleb märkida, et püramiidi sisse kirjutatud sfääri keskpunkt asub püramiidi sisemiste kahetahuliste nurkade poolitajate tasandite ristumiskohas. Püramiidi lähedal kirjeldatud sfääri keskpunkt asub püramiidi servade keskpunkte läbivate ja nendega risti olevate tasandite ristumiskohas.

Kärbitud püramiid. Kui püramiidi lõigatakse selle põhjaga paralleelse tasapinnaga, siis lõiketasandi ja aluse vahele jäävat osa nimetatakse nn. kärbitud püramiid. Joonisel on kujutatud püramiidi, visates selle lõiketasandist kõrgemale, saame kärbitud püramiidi. On selge, et väike äravisatud püramiid on homoteetiline suure püramiidiga, mille tipus on homoteetsuse keskpunkt. Sarnasuskoefitsient võrdub kõrguste suhtega: k=h 2 /h 1 ehk külgservad või muu vastav lineaarsed mõõtmed mõlemad püramiidid. Teame, et sarnaste kujundite alad on seotud nagu lineaarsete mõõtmetega ruudud; seega on mõlema püramiidi aluste pindalad (st kärbitud püramiidi aluste pindala) seotud

Siin on S 1 alumise aluse pindala ja S 2 on kärbitud püramiidi ülemise aluse pindala. Püramiidide külgpinnad on samas suhtes. Sarnane reegel kehtib ka mahtude kohta.

Sarnaste kehade mahud on omavahel seotud nagu nende lineaarsete mõõtmetega kuubikud; Näiteks püramiidide mahud on seotud nende kõrguste ja aluste pindala korrutisega, millest saadakse kohe meie reegel. See on täiesti üldist laadi ja tuleneb otseselt sellest, et mahul on alati pikkuse kolmanda astme mõõde. Seda reeglit kasutades tuletame valemi, mis väljendab kärbitud püramiidi mahtu läbi aluste kõrguse ja pindala.

Olgu antud kärbitud püramiid kõrgusega h ja aluse pindaladega S 1 ja S 2. Kui kujutada ette, et see on laiendatud täispüramiidini, siis on täispüramiidi ja väikese püramiidi sarnasuskoefitsient lihtne leida suhte S 2 /S 1 juurena. Tüvipüramiidi kõrgust väljendatakse h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Nüüd on meil kärbitud püramiidi ruumala (V 1 ja V 2 tähistavad täis- ja väikese püramiidi ruumala)

kärbitud püramiidi ruumala valem

Tuletame aluste perimeetrite P 1 ja P 2 läbiva korrapärase tüvipüramiidi külgpinna pindala S ja apoteemi a pikkuse valem. Arutleme täpselt samamoodi nagu mahu valemi tuletamisel. Püramiidi täiendamine ülemine osa, meil on P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, kus k on sarnasustegur, P 1 ja P 2 on aluste perimeetrid ning S 1 ja S 2 on külgpindade pindalad. vastavalt kogu saadud püramiid ja selle ülemine osa. Külgpinna jaoks leiame (a 1 ja a 2 on püramiidide apoteemid, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

tavalise kärbitud püramiidi külgpinna valem

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil päringu, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi meili jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuprotsess ja/või Vene Föderatsiooni avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel – avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Silinder on geomeetriline keha, mis on piiratud kahe paralleelse tasandiga ja silindriline pind. Artiklis räägime sellest, kuidas leida silindri pindala, ja valemi abil lahendame näitena mitu probleemi.

Silindril on kolm pinda: ülemine, põhi ja külgpind.

Silindri ülaosa ja põhi on ringid ja neid on lihtne tuvastada.

On teada, et ringi pindala on võrdne πr 2. Seetõttu on kahe ringi (silindri ülaosa ja põhi) pindala valem πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Kolmas, silindri külgpind, on silindri kumer sein. Et seda pinda paremini ette kujutada, proovime seda transformeerida, et saada äratuntav kuju. Kujutage ette, et silinder on tavaline tina, millel ei ole ülemist katet ega põhja. Teeme külgseinale vertikaalse lõike ülaosast purgi põhjani (joonisel 1. samm) ja proovime saadud kujundit nii palju kui võimalik avada (sirgendada) (2. samm).

Pärast seda, kui saadud purk on täielikult avatud, näeme tuttavat kujundit (3. samm), see on ristkülik. Ristküliku pindala on lihtne arvutada. Aga enne seda pöördume korraks tagasi algse silindri juurde. Algsilindri tipuks on ring ja me teame, et ümbermõõt arvutatakse valemiga: L = 2πr. See on joonisel märgitud punasega.

Kui silindri külgsein on täielikult avatud, näeme, et ümbermõõt muutub saadud ristküliku pikkuseks. Selle ristküliku külgedeks on silindri ümbermõõt (L = 2πr) ja kõrgus (h). Ristküliku pindala on võrdne selle külgede korrutisega - S = pikkus x laius = L x h = 2πr x h = 2πrh. Selle tulemusena saime valemi silindri külgpinna pindala arvutamiseks.

Silindri külgpinna valem
S pool = 2πrh

Silindri kogupindala

Lõpuks, kui lisame kõigi kolme pinna pindala, saame silindri kogupindala valemi. Silindri pindala on võrdne silindri ülaosa pindalaga + silindri põhja pindalaga + silindri külgpinna pindalaga või S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Mõnikord kirjutatakse see avaldis identseks valemiga 2πr (r + h).

Silindri kogupindala valem
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – silindri raadius, h – silindri kõrgus

Näited silindri pindala arvutamiseks

Ülaltoodud valemite mõistmiseks proovime näidete abil välja arvutada silindri pindala.

1. Silindri aluse raadius on 2, kõrgus on 3. Määrake silindri külgpinna pindala.

Kogupindala arvutatakse valemiga: S pool. = 2πrh

S pool = 2 * 3,14 * 2 * 3

S pool = 6,28 * 6

S pool = 37,68

Silindri külgpindala on 37,68.

2. Kuidas leida silindri pindala, kui kõrgus on 4 ja raadius on 6?

Kogupindala arvutatakse valemiga: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Ülesanne 1. Leidke püramiidi kogupindala
• Ülesanne 2. Leidke korrapärase kolmnurkse püramiidi külgpindala

Probleem 1. Leidke tavalise püramiidi kogupindala

Lahendus.

Korrapärase kolmnurkse püramiidi põhjas asub võrdkülgne kolmnurk.
Seetõttu kasutame ülesande lahendamiseks tavalise kolmnurga omadusi:

Teame kolmnurga kõrgust, kust leiame selle pindala.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Kust aluse pindala võrdub:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Külgpinna pindala leidmiseks arvutame kõrguse KM. Probleemi järgi on nurk OKM 45 kraadi.
Seega:
OK / MK = cos 45
Kasutame trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelit ja asendame teadaolevad väärtused.

OK / MK = √2/2

Arvestame, et OK võrdub sisse kirjutatud ringi raadiusega. Siis
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Siis
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Külgpinna pindala on siis võrdne poolega kolmnurga kõrguse ja aluse korrutisest.
külg = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6

Seega on püramiidi kogupind võrdne
S = 3√3 + 3*6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Vastus: 3√3 + 18/√6

Probleem 2. Leidke tavalise püramiidi külgpindala

Lahendus.

Kuna korrapärase kolmnurkse püramiidi alus on võrdkülgne kolmnurk, on AO ümber aluse ümbritsetud ringi raadius.
(See tuleneb sellest)

Võrdkülgse kolmnurga ümber piiratud ringi raadiuse saab leida selle omadustest

Siit on tavalise kolmnurkse püramiidi servade pikkus võrdne:
AM 2 = MO 2 + AO 2
püramiidi kõrgus on teada tingimuse järgi (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Püramiidi kumbki külg on võrdhaarne kolmnurk. Ruut võrdhaarne kolmnurk leiame esimesest allpool esitatud valemist

S = 1/2 * 16 ruutmeetrit ((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 ruutmeetrit ((556/3) - 64)
S = 8 ruutmeetrit (364/3)
S = 16 ruutmeetrit (91/3)

Kuna tavalise püramiidi kõik kolm tahku on võrdsed, on külgpind võrdne
3S = 48 √ (91/3)

Vastus: 48 √(91/3)

Ülesanne 3. Leidke tavalise püramiidi kogupindala

Tavalise kolmnurkse püramiidi külg on 3 cm ja nurk püramiidi külgpinna ja aluse vahel on 45 kraadi. Leidke püramiidi kogupindala.

Lahendus.
Kuna püramiid on korrapärane, on selle põhjas võrdkülgne kolmnurk. Seetõttu on aluse pindala


Seega = 9 * √3/4

Külgpinna pindala leidmiseks arvutame kõrguse KM. Probleemi järgi on nurk OKM 45 kraadi.
Seega:
OK / MK = cos 45
Kasutame ära

on mitmetahuline kujund, mille alus on hulknurk ja ülejäänud tahud on kujutatud ühise tipuga kolmnurkadega.

Kui alus on ruut, siis nimetatakse püramiidi nelinurkne, kui kolmnurk – siis kolmnurkne. Püramiidi kõrgus tõmmatakse selle tipust risti alusega. Kasutatakse ka pindala arvutamiseks apoteem– külgpinna kõrgus, ülaosast allapoole langetatud.
Püramiidi külgpinna pindala valem on selle külgpindade pindalade summa, mis on üksteisega võrdsed. Seda arvutusmeetodit kasutatakse aga väga harva. Põhimõtteliselt arvutatakse püramiidi pindala läbi aluse ja apoteemi perimeetri:

Vaatleme näidet püramiidi külgpinna pindala arvutamisest.

Olgu antud püramiid, mille alus on ABCDE ja ülaosa F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Leidke püramiidi külgpinna pindala.
Leiame perimeetri. Kuna aluse kõik servad on võrdsed, on viisnurga ümbermõõt võrdne:
Nüüd leiate püramiidi külgmise ala:

Korrapärase kolmnurkse püramiidi pindala

Tavaline kolmnurkne püramiid koosneb alusest, milles asub tavaline kolmnurk, ja kolmest külgpinnast, mille pindala on võrdne.
Tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna pindala valemi saab arvutada erinevatel viisidel. Võite rakendada tavalist arvutusvalemit perimeetri ja apoteemi abil või leida ühe näo pindala ja korrutada see kolmega. Kuna püramiidi tahk on kolmnurk, rakendame kolmnurga pindala valemit. See nõuab apoteemi ja aluse pikkust. Vaatleme näidet tavalise kolmnurkse püramiidi külgpinna arvutamiseks.

Antud püramiid, mille apoteem a = 4 cm ja aluspind b = 2 cm, leidke püramiidi külgpinna pindala.
Esiteks leidke ühe külgpinna ala. IN antud juhul ta teeb:
Asendage väärtused valemisse:
Kuna tavalises püramiidis on kõik küljed ühesugused, on püramiidi külgpinna pindala võrdne kolme tahu pindalade summaga. Vastavalt:

Tüvipüramiidi pindala

Kärbitud Püramiid on hulktahukas, mille moodustab püramiid ja mille ristlõige on paralleelne alusega.
Kärbitud püramiidi külgpinna valem on väga lihtne. Pindala on võrdne poole aluste perimeetrite ja apoteemi summa korrutisega: