|
Trapetsi meetod
Peamine artikkel:Trapetsi meetod
Kui iga osalõigu funktsioon on ligikaudne läbiva sirgjoonega lõplikud väärtused, siis saame trapetsimeetodi.
Trapetsi pindala igal segmendil:
Ligikaudne viga igas segmendis:
 Kus 
Täielik valem trapets, kui kogu integreerimisintervall jagatakse võrdse pikkusega segmentideks:
 Kus
Trapetsi valemi viga:
 Kus 
Simpsoni meetod.
 Integrand f(x) asendatud interpolatsioonipolünoom teine aste P(x)– parabool, mis läbib näiteks kolme sõlme, nagu on näidatud joonisel ((1) – funktsioon, (2) – polünoom.
Vaatleme integreerimise kahte etappi ( h= const = x i+1 – x i), see tähendab kolm sõlme x 0, x 1, x 2, mille kaudu joonistame Newtoni võrrandi abil parabooli:
Lase z = x - x 0,
Siis
Nüüd, kasutades saadud seost, arvutame selle intervalli integraali:
.
Sest ühtlane võrk Ja paarisarv astmeid n Simpsoni valem on järgmisel kujul:
Siin  , A  integrandi neljanda tuletise järjepidevuse eeldusel.
[redigeeri] Suurenenud täpsus
Funktsiooni lähendamine ühe polünoomi järgi kogu integreerimisintervalli ulatuses toob reeglina kaasa suure vea integraali väärtuse hindamisel.
Vea vähendamiseks jagatakse integreerimissegment osadeks ja igaühel neist integraali hindamiseks kasutatakse numbrilist meetodit.
Kuna partitsioonide arv kipub lõpmatuseni, kaldub integraali hinnang iga numbrilise meetodi analüütiliste funktsioonide jaoks selle tegelikule väärtusele.
Ülaltoodud meetodid võimaldavad lihtsat sammu poole võrra vähendada, kusjuures iga samm nõuab funktsiooni väärtuste arvutamist ainult äsja lisatud sõlmedes. Arvutusvea hindamiseks kasutatakse Runge reeglit.
Runge reegli rakendamine
redigeerimine]Teatud integraali arvutamise täpsuse hindamine
Integraal arvutatakse valitud valemi (ristkülikud, trapetsid, Simpsoni paraboolid) abil sammude arvuga n ja seejärel sammude arvuga 2n. Integraali väärtuse arvutamise viga, mille astmete arv on võrdne 2n-ga, määratakse Runge'i valemiga:
, ristkülikute ja trapetside valemite ning Simpsoni valemi jaoks.
Seega arvutatakse integraal sammude arvu järjestikuste väärtuste jaoks, kus n 0 on sammude esialgne arv. Arvutusprotsess lõpeb, kui järgmise väärtuse N tingimus on täidetud, kus ε on määratud täpsus.
Veakäitumise tunnused.
Näib, milleks analüüsida erinevaid meetodeid integratsiooni, kui suudame saavutada kõrge täpsusega, vähendades lihtsalt integreerimise sammu suurust. Mõelge aga tagumise vea käitumise graafikule R numbrilise arvutuse tulemused sõltuvalt  ja numbrilt n intervallpartitsioonid (st etapis . Sektsioonis (1) väheneb viga sammu h vähenemise tõttu. Kuid jaotises (2) hakkab domineerima arvutusviga, mis kuhjub arvukate aritmeetiliste toimingute tulemusena. Seega iga meetodil on oma Rmin, mis sõltub paljudest teguritest, kuid eelkõige meetodi vea a priori väärtusest R.
Rombergi täpsustav valem.
Rombergi meetod seisneb integraali väärtuse järjestikuses täpsustamises partitsioonide arvu mitmekordse suurendamisega. Aluseks võib võtta ühtlaste astmetega trapetside valemi h.
Tähistame integraali partitsioonide arvuga n= 1 as  .
Vähendades sammu poole võrra, saame  .
Kui vähendame sammu järjestikku 2 n korda, saame arvutamiseks kordusseos.
Kindel integraal. Näited lahendustestTere jälle. Selles õppetükis uurime üksikasjalikult sellist imelist asja nagu kindel integraal. Seekordne tutvustus jääb lühikeseks. Kõik. Sest akna taga on lumetorm. Kindlate integraalide lahendamise õppimiseks peate:
1) oskama leida määramatud integraalid.
2) oskama arvutada kindel integraal.
Nagu näete, peab kindla integraali valdamiseks olema üsna hea arusaam "tavalistest" määramatutest integraalidest. Seega, kui alles hakkate integraalarvutusse sukelduma ja veekeetja pole veel üldse keema läinud, on parem alustada õppetunniga Määramatu integraal. Näited lahendustest.
IN üldine vaade kindel integraal kirjutatakse järgmiselt:
Mida lisandub ebamäärase integraaliga võrreldes? Rohkem integratsiooni piirid.
Integratsiooni alumine piir
Integratsiooni ülempiir tähistatakse tavaliselt tähega .
Segmenti nimetatakse integratsiooni segment.
Enne kui jõuame praktilisi näiteid, väike KKK kindla integraali kohta.
Mida tähendab kindla integraali lahendamine? Kindla integraali lahendamine tähendab arvu leidmist.
Kuidas lahendada kindlat integraali? Kasutades koolist tuttavat Newtoni-Leibnizi valemit:
Parem on kirjutada valem eraldi paberile, see peaks kogu õppetunni jooksul teie silme ees olema.
Kindla integraali lahendamise sammud on järgmised:
1) Esmalt leiame antiderivatiivse funktsiooni (määramatu integraal). Pange tähele, et konstant kindlas integraalis pole lisatud. Nimetus on puhtalt tehniline ja vertikaalpulgal pole tegelikult mingit matemaatilist tähendust, see on lihtsalt märgistus. Miks on salvestust ennast vaja? Ettevalmistus Newtoni-Leibnizi valemi rakendamiseks.
2) Asendage ülempiiri väärtus antiderivatiivi funktsiooniga: .
3) Asendage alampiiri väärtus antiderivatiivi funktsiooniga: .
4) Arvutame (ilma vigadeta!) erinevuse ehk leiame arvu.
Kas kindel integraal on alati olemas? Ei, mitte alati.
Näiteks integraali ei eksisteeri, kuna integratsiooni segment ei kuulu integrandi määratluspiirkonda (väärtused all ruutjuur ei saa olla negatiivne). Siin on vähem ilmne näide: . Sellist integraali pole ka olemas, kuna lõigu punktides pole puutujat. Muide, kes poleks seda veel lugenud? metoodiline materjal Elementaarfunktsioonide graafikud ja põhiomadused– nüüd on aeg seda teha. See on suurepärane abiks kogu kõrgema matemaatika kursuse jooksul.
Selle eest kindla integraali olemasoluks piisab, kui integrand on integratsiooni intervallil pidev.
Ülaltoodust tuleneb esimene oluline soovitus: enne kui hakkate lahendama mistahes kindlat integraali, peate veenduma, et integrand toimib on integratsiooni intervallil pidev. Üliõpilaspõlves juhtus mul korduvalt juhtum, kui vaevlesin pikka aega raske antiderivaadi leidmisega ja kui selle lõpuks leidsin, raputasin pead veel ühe küsimuse peale: “Mis lolluseks see välja tuli. ?” Lihtsustatud versioonis näeb olukord välja umbes selline:  ???! Negatiivseid numbreid ei saa juure all asendada! Mis kurat see on?! Esialgne tähelepanematus.
Kui lahendada (in proovitöö, kontrolltööl, eksamil) Sulle pakutakse olematut integraali nagu , siis tuleb anda vastus, et integraali pole olemas ja põhjendada, miks.
Kas kindel integraal võib olla võrdne negatiivne arv?
Võib-olla. Ja negatiivne arv. Ja null. See võib isegi osutuda lõpmatuseks, kuid see juba saab olema vale integraal, mida peetakse eraldi loenguna.
Kas integratsiooni alumine piir võib olla suurem kui integratsiooni ülempiir? Võib-olla juhtub see olukord praktikas.
– integraali saab hõlpsasti arvutada Newtoni-Leibnizi valemi abil.
Mis on kõrgmatemaatika asendamatu? Muidugi ilma igasuguste omadusteta. Seetõttu vaatleme kindla integraali mõningaid omadusi.
Kindlas integraalis saate ülemise ja alumise piiri ümber korraldada, muutes märki: 
Näiteks kindlas integraalis on enne integreerimist soovitatav muuta integreerimise piirid “tavapärasesse” järjestusse:
 – sellisel kujul on palju mugavam integreerida.
 – see kehtib mitte ainult kahe, vaid ka paljude funktsioonide kohta.
Kindlas integraalis saab läbi viia integratsioonimuutuja asendamine, võrreldes määramatu integraaliga on sellel aga oma spetsiifika, millest räägime hiljem.
Kindla integraali puhul kehtib järgmine: integreerimine osade valemiga:
Näide 1
Lahendus:
(1) Me võtame integraalimärgist välja konstandi.
(2) Integreerige üle tabeli, kasutades kõige populaarsemat valemit  . Soovitav on tekkiv konstant eraldada ja asetada see sulust väljapoole. Seda pole vaja teha, kuid see on soovitatav - milleks täiendavad arvutused?
 . Esmalt asendame ülemise piiri, seejärel alumise piiri. Teeme edasised arvutused ja saame lõpliku vastuse.
Näide 2
Arvutage kindel integraal
See on näide, mida saate ise lahendada, lahendus ja vastus on tunni lõpus.
Teeme ülesande pisut keerulisemaks:
Näide 3
Arvutage kindel integraal
Lahendus:
(1) Kasutame kindla integraali lineaarsuse omadusi.
(2) Integreerime vastavalt tabelile, võttes samas välja kõik konstandid - need ei osale ülemise ja alumise piiri asendamises.
(3) Kõigi kolme termini puhul rakendame Newtoni-Leibnizi valemit:
Nõrk lüli kindlas integraalis on arvutusvead ja levinud SEGADUS MÄRKIDES. Olge ettevaatlik! Erilist tähelepanu Keskendun kolmandale terminile:  – tähelepanematusest tingitud vigade hittparaadi esikoht, väga sageli kirjutavad need automaatselt  (eriti kui ülem- ja alampiiri asendamine toimub suuliselt ega ole nii detailselt välja kirjutatud). Veel kord uurige hoolikalt ülaltoodud näidet.
Tuleb märkida, et vaadeldav kindla integraali lahendamise meetod ei ole ainus. Teatud kogemusega saab lahendust oluliselt vähendada. Näiteks olen ise harjunud selliseid integraale lahendama:
Siin kasutasin verbaalselt lineaarsuse reegleid ja integreerisin verbaalselt tabeli abil. Lõppkokkuvõttes sain ainult ühe sulu, millele olid märgitud piirid:  (erinevalt esimese meetodi kolmest sulust). Ja “tervikliku” antiderivatiivse funktsiooni sisse asendasin kõigepealt 4, seejärel –2, tehes jällegi kõik toimingud meeles.
Millised on lühilahenduse puudused? Arvutuste ratsionaalsuse seisukohalt pole siin kõik kuigi hea, kuid isiklikult mind see ei huvita - harilikud murded Ma arvestan kalkulaatoriga.
Lisaks on suurem oht arvutustes eksida, seega on teeõpilasel parem kasutada esimest meetodit “minu” lahendusmeetodiga, märk läheb kindlasti kuhugi kaduma.
Siiski vaieldamatuid eeliseid Teiseks meetodiks on lahenduse kiirus, tähise kompaktsus ja see, et antiderivaat on ühes sulus.
Nõuanne: enne Newtoni-Leibnizi valemi kasutamist on kasulik kontrollida: kas antiderivaat ise leiti õigesti?
Seega, seoses vaadeldava näitega: enne ülemise ja alumise piiri asendamist antiderivatiivi funktsiooniga, on soovitatav mustandil kontrollida, kas määramatu integraal leiti õigesti? Teeme vahet:
Algne integrand on saadud, mis tähendab, et määramatu integraal on leitud õigesti. Nüüd saame rakendada Newtoni-Leibnizi valemit.
Selline kontroll ei ole ühegi kindla integraali arvutamisel üleliigne.
Näide 4
Arvutage kindel integraal
See on näide, mille saate ise lahendada. Proovige see lahendada lühidalt ja üksikasjalikult.
Muutuja muutmine kindlas integraalis
Kindla integraali puhul kehtivad kõik asendustüübid nagu määramata integraali puhul. Seega, kui te ei ole asendustega väga hea, peaksite õppetunni hoolikalt läbi lugema Asendusmeetod määramata integraalis.
Selles lõigus pole midagi hirmutavat ega rasket. Uudsus peitub küsimuses kuidas muuta integreerimise piire asendamisel.
Näidetes proovin tuua asendustüüpe, mida pole veel kuskilt saidilt leitud.
Näide 5
Arvutage kindel integraal
Põhiküsimus pole siin üldsegi kindla integraali kohta, vaid selles, kuidas asendamist õigesti läbi viia. Vaatame edasi integraalide tabel ja mõelge välja, milline meie integrandi funktsioon kõige rohkem välja näeb? Ilmselgelt pika logaritmi jaoks:  . Kuid on üks lahknevus, tabeli integraalis juure all ja meie omas - “x” neljanda astmeni. Asendusmõte tuleneb ka arutlusest - tore oleks meie neljas jõud kuidagi ruuduks muuta. See on tõeline.
Esiteks valmistame oma integraali asendamiseks ette:
Ülaltoodud kaalutlustest lähtudes tekib üsna loomulikult asendus:
Seega on nimetajas kõik korras: .
Saame teada, milleks integrandi ülejäänud osa muutub, selleks leiame diferentsiaali:
Võrreldes asendamisega määramata integraalis, lisame täiendava sammu.
Uute lõimumise piiride leidmine.
See on üsna lihtne. Vaatame oma asendust ja integratsiooni vanu piire, .
Esiteks asendame asendusavaldisega integratsiooni alumise piiri, st nulli:
Seejärel asendame asendusavaldisega integreerimise ülemise piiri, see tähendab kolme juure:
Valmis. Ja lihtsalt...
Jätkame lahendusega.
(1) Vastavalt asendamisele kirjutage uus integraal uute integratsioonipiirangutega.
(2) See on lihtsaim tabeliintegraal, integreerime tabeli kohal. Parem on jätta konstant sulgudest väljapoole (seda ei pea tegema), et see ei segaks edasisi arvutusi. Paremal joonistame joone, mis näitab integratsiooni uusi piire – see on ettevalmistus Newtoni-Leibnizi valemi rakendamiseks.
(3) Kasutame Newtoni-Leibnizi valemit  .
Püüame vastuse võimalikult palju kirja panna. kompaktne vorm, siin kasutasin logaritmide omadusi.
Teine erinevus määramata integraalist on see, et pärast asenduste tegemist ei ole vaja teha vastupidiseid asendusi.
Ja nüüd paar näidet sõltumatu otsus. Milliseid asendusi teha - proovige ise arvata.
Näide 6
Arvutage kindel integraal
Näide 7
Arvutage kindel integraal
Need on näited, mida saate ise lahendada. Lahendused ja vastused tunni lõpus.
Ja lõigu lõpus olulised punktid, mille analüüs ilmus tänu saidi külastajatele. Esimene puudutab asendamise seaduslikkus. Mõnel juhul ei saa seda teha! Seega näib, et näidet 6 saab lahendada kasutades universaalne trigonomeetriline asendus, aga integratsiooni ülempiir ("pi") ei kuulu hulka määratluspiirkond see puutuja ja seetõttu see asendamine on ebaseaduslik! Seega funktsioon "asendamine" peab olema pidev kokkuvõttes integratsioonisegmendi punktid.
Teises meili sisestatud järgmine küsimus: "Kas integreerimise piire on vaja muuta, kui lülitame funktsiooni diferentsiaalmärgi alla?" Algul tahtsin “lollusest lahti lasta” ja automaatselt vastata “muidugi mitte”, aga siis mõtlesin sellise küsimuse põhjuse peale ja avastasin järsku, et infot pole.
ei piisa. Kuid see, kuigi ilmne, on väga oluline:
Kui liita funktsioon diferentsiaalmärgi alla, siis ei ole vaja integreerimise piire muuta! Miks? Sest antud juhul tegelikku üleminekut uuele muutujale pole. Näiteks:
Ja siin on summeerimine palju mugavam kui akadeemiline asendamine integratsiooni uute piiride hilisema "maalimisega". Seega kui kindel integraal ei ole väga keeruline, siis proovi alati panna funktsioon diferentsiaalmärgi alla! See on kiirem, kompaktsem ja tavaline – nagu näete kümneid kordi!
Suur tänu kirjade eest!
Osade kaupa lõimimise meetod kindlasse integraali
Uudsust on siin veelgi vähem. Kõik artikli arvutused Osade kaupa integreerimine määramatus integraalis kehtivad täielikult kindla integraali kohta.
Osade kaupa integreerimise valemis on plussiks ainult üks detail, lisatakse integreerimise piirid:
Newtoni-Leibnizi valemit tuleb siin rakendada kaks korda: toote jaoks ja pärast integraali võtmist.
Näiteks valisin taas integraali tüübi, mida pole veel kuskilt saidilt leitud. Näide ei ole kõige lihtsam, kuid väga-väga informatiivne.
Näide 8
Arvutage kindel integraal
Otsustame.
Integreerime osade kaupa:
Kellel on integraaliga raskusi, vaadake õppetundi Trigonomeetriliste funktsioonide integraalid, sellest on seal üksikasjalikult juttu.
(1) Lahenduse kirjutame osade kaupa integreerimise valemi järgi.
(2) Toote puhul rakendame Newtoni-Leibnizi valemit. Ülejäänud integraali puhul kasutame lineaarsuse omadusi, jagades selle kaheks integraaliks. Ärge laske siltidest segadusse sattuda!
(4) Kahe leitud antiderivaadi jaoks rakendame Newtoni-Leibnizi valemit.
Ausalt öeldes mulle see valem ei meeldi.  ja kui võimalik, siis ... ma saan üldse ilma selleta! Vaatleme teist lahendust, minu seisukohast on see ratsionaalsem.
Arvutage kindel integraal
Esimeses etapis leian määramata integraali:
Integreerime osade kaupa:
Antiderivatiivne funktsioon on leitud. Pidevalt sisse antud juhul pole mõtet lisada.
Mis on sellise matka eelis? Lõimumise piire ei ole vaja “kaasa vedada”, võib olla väsitav, kui tosin korda üles kirjutada integratsiooni piiride väikesi sümboleid
Teises etapis kontrollin(tavaliselt mustandis).
Ka loogiline. Kui leidsin antiderivatiivse funktsiooni valesti, siis lahendan kindla integraali valesti. Parem on kohe teada saada, eristame vastust:
Saadud on algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et antiderivatiivne funktsioon on leitud õigesti.
Kolmas etapp on Newtoni-Leibnizi valemi rakendamine:
Ja siin on märkimisväärne kasu! “Minu” lahendusmeetodi puhul on palju väiksem oht asendustes ja arvutustes segadusse sattuda – Newtoni-Leibnizi valemit rakendatakse vaid üks kord. Kui teekann lahendab sarnase integraali valemi abil  (esimesel viisil), siis teeb ta kuskil kindlasti vea.
Vaadeldavat lahendusalgoritmi saab rakendada mis tahes kindla integraali jaoks.
Hea õpilane, printige ja salvestage:
Mida teha, kui sulle on antud kindel integraal, mis tundub keeruline või pole kohe selge, kuidas seda lahendada?
1) Esmalt leiame määramata integraali (antiderivatiivne funktsioon). Kui esimesel etapil tekkis põrm, pole mõtet Newtoni ja Leibniziga paati edasi kõigutada. On ainult üks võimalus – tõsta oma teadmiste ja oskuste taset lahendamisel määramata integraalid.
2) Leitud antiderivatiivset funktsiooni kontrollime diferentseerimise teel. Kui see leitakse valesti, on kolmas samm aja raiskamine.
3) Kasutame Newtoni-Leibnizi valemit. Teeme kõik arvutused ERITI HOOLIKALT – see on ülesande nõrgim lüli.
Ja suupisteks iseseisva lahenduse lahutamatu osa.
Näide 9
Arvutage kindel integraal
Lahendus ja vastus on kuskil lähedal.
Järgmine soovitatav õppetund sellel teemal on Kuidas arvutada figuuri pindala kindla integraali abil?
Integreerime osade kaupa:
Kas olete kindel, et lahendasite need ja saite samad vastused? ;-) Ja seal on pornot vana naise jaoks. |
Teoreem. Kui funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b], kus a< b
, ja kõigile x ∈ ebavõrdsus kehtib
Kasutades teoreemist saadud võrratusi, saab hinnata kindlat integraali, s.o. märkige piirid, mille vahel selle tähendus sisaldub. Need ebavõrdsused väljendavad kindla integraali hinnangut.
Teoreem [keskmise teoreem]. Kui funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b] ja kõigile x ∈ ebavõrdsused on rahuldatud m ≤ f(x) ≤ M, See
Kus m ≤ μ ≤ M.
Kommenteeri. Juhul kui funktsioon f(x) on pidev intervallil [ a, b], võtab teoreemi võrdus kuju
Kus c ∈. Number μ=f(c), mis on määratletud selle valemiga, nimetatakse keskmine väärtus funktsioonid f(x) segmendil [ a, b]. Sellel võrdsusel on järgmine geomeetriline tähendus: pideva joonega piiratud kõvera trapetsi pindala y=f(x) (f(x) ≤ 0), on võrdne sama aluse ja kõrgusega ristküliku pindalaga, mis on võrdne selle sirge mõne punkti ordinaadiga.
Antiderivaadi olemasolu pideva funktsiooni jaoks
Esiteks tutvustame muutuva ülempiiriga integraali mõistet.
Laske funktsioonil f(x) integreeritav intervalliga [ a, b]. Siis mis iganes number on x alates [ a, b], funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b]. Seetõttu intervallil [ a, b] funktsioon määratletud
mida nimetatakse muutuva ülempiiriga integraaliks.
Teoreem. Kui integrand on pidev intervallil [ a, b], siis on muutuva ülempiiriga kindla integraali tuletis olemas ja on võrdne selle piiri integrandi väärtusega, st
Tagajärg. Muutuva ülempiiriga kindel integraal on pideva integrandi üks antiderivaate. Teisisõnu, iga intervalli pideva funktsiooni jaoks on antiderivaat.
Märkus 1. Pange tähele, et kui funktsioon f(x) integreeritav intervalliga [ a, b], siis muutuva ülempiiriga integraal on sellel lõigul pidev ülempiiri funktsioon. Tõepoolest, alates St.2 ja keskmise väärtuse teoreem on meil
Märkus 2. Muutuva integreerimise ülemise piiriga integraali kasutatakse paljude uute funktsioonide määratlemisel, näiteks 
. Need funktsioonid ei ole elementaarsed; nagu juba märgitud, ei väljendata näidatud integrandide antituletisi elementaarfunktsioonide kaudu.
Integratsiooni põhireeglid
Newtoni-Leibnizi valem
Kuna mis tahes kaks antiderivatiivsed funktsioonid f(x) erinevad konstandi võrra, siis võib eelneva teoreemi järgi väita, et mis tahes antiderivaat Φ(x) pidev lõigul [ a, b] funktsioonid f(x) näeb välja nagu
Kus C- mõni konstantne.
Eeldusel, et selles valemis x=a Ja x=b, kasutades st.1 kindlaid integraale, leiame
Need võrdsused viitavad suhtele
mida nimetatakse Newtoni-Leibnizi valem.
Seega tõestasime järgmise teoreemi:
Teoreem. Pideva funktsiooni kindel integraal on võrdne selle mis tahes antiderivaadi väärtuste erinevusega integratsiooni ülemise ja alumise piiri jaoks.
Newtoni-Leibnizi valemi saab ümber kirjutada järgmiselt
Muutuja muutmine kindlas integraalis
Teoreem. Kui
- funktsiooni f(x) on pidev intervallil [ a, b];
- segment [ a, b] on funktsiooni väärtuste kogum φ(t), mis on segmendil määratletud α ≤ t ≤ β ja sellel on pidev tuletis;
- φ(α)=a, φ(β)=b
siis on valem õige
Osade kaupa integreerimise valem
Teoreem. Kui funktsioonid u=u(x), v=v(x) omama pidevaid tuletisi intervallil [ a, b], siis valem kehtib
Rakenduse väärtus keskväärtuste teoreemid
on saamise võimalus kvalitatiivne hindamine kindla integraali väärtus ilma seda arvutamata. Sõnastame
: kui funktsioon on intervallil pidev, siis selle intervalli sees on selline punkt, et 
.
See valem on üsna sobiv keeruka või tülika funktsiooni integraali ligikaudseks hindamiseks. Ainus punkt, mis teeb valemi ligikaudne
, on vajadus iseseisev valik
punktid Kui valime kõige lihtsama tee – integreerimisintervalli keskpaiga (nagu mitmetes õpikutes soovitatud), siis võib viga olla üsna märkimisväärne. Täpsema tulemuse saamiseks soovitame
tehke arvutused järgmises järjestuses:
Koostage funktsiooni graafik intervallile ;
Joonistage ristküliku ülemine piir nii, et funktsiooni graafiku lõikeosad oleksid pindalalt ligikaudu võrdne
(see on täpselt see, mis on näidatud ülaltoodud joonisel - kaks kõverjoonelist kolmnurka on peaaegu identsed);
Määrake jooniselt;
Kasutage keskmise väärtuse teoreemi.
Näiteks arvutame lihtsa integraali:
Täpne väärtus;
Intervalli keskpaigaks 
saame ka ligikaudse väärtuse, s.t. selgelt ebatäpne tulemus;
Koostades graafiku, mille ristküliku ülemine külg on joonistatud vastavalt soovitustele, saame , seega ligikaudse väärtuse . Üsna rahuldav tulemus, viga on 0,75%.
Trapetsi valem
Nagu näidatud, sõltub keskväärtuste teoreemi kasutavate arvutuste täpsus oluliselt visuaalne eesmärk
punktide ajakava järgi. Tõepoolest, valides samas näites punktid või , saate integraali muud väärtused ja viga võib suureneda. Tulemust mõjutavad suuresti subjektiivsed tegurid, graafiku mastaap ja joonistamise kvaliteet. See vastuvõetamatu
kriitilistes arvutustes, seega kehtib keskmise väärtuse teoreem ainult kiire kohta kvaliteet
integraalsed hinnangud.
Selles jaotises käsitleme üht kõige populaarsemat ligikaudse integreerimise meetodit - trapetsikujuline valem
. Selle valemi koostamise põhiidee põhineb asjaolul, et kõvera saab ligikaudu asendada katkendjoonega, nagu on näidatud joonisel.
Oletame kindluse mõttes (ja vastavalt joonisele), et integreerimisintervall on jagatud võrdne
(see on valikuline, kuid väga mugav) osad. Kõigi nende osade pikkus arvutatakse valemiga ja seda nimetatakse samm
. Jaotuspunktide abstsissid, kui need on antud, määratakse valemiga, kus . Tuntud abstsisside abil on lihtne ordinaate arvutada. Seega
See on juhtumi trapetsikujuline valem. Pange tähele, et esimene liige sulgudes on alg- ja lõppordinaatide poolsumma, millele liidetakse kõik vahepealsed ordinaadid. Sest suvaline number integreerimisintervalli partitsioonid trapetsi üldvalem
on kujul: kvadratuurivalemid: ristkülikud, Simpson, Gauss jne. Need põhinevad samal ideel kujutada kõverjoonelist trapetsi elementaaralade kaupa erinevaid kujundeid, seetõttu ei ole pärast trapetsikujulise valemi valdamist sarnaste valemite mõistmine keeruline. Paljud valemid ei ole nii lihtsad kui trapetsikujulised valemid, kuid need võimaldavad teil saada väikese arvu partitsioonidega suure täpsusega tulemusi.
Trapetsikujulise valemi (või sarnaste) abil on võimalik praktikas nõutava täpsusega arvutada nii “mittetäitvaid” integraale kui ka keerukate või tülikate funktsioonide integraale.
Varem pidasime kindlat integraali integrandi antiderivaadi väärtuste erinevuseks. Eeldati, et integrandil on integreerimisintervallil antiderivatiiv.
Juhul, kui antiderivaat väljendub elementaarfunktsioonide kaudu, võime olla kindlad selle olemasolus. Aga kui sellist väljendit pole, siis jääb lahtiseks küsimus antiderivaadi olemasolust ja me ei tea, kas vastav kindel integraal on olemas.
Geomeetrilised kaalutlused viitavad sellele, et kuigi näiteks funktsiooni y=e^(-x^2) puhul on võimatu väljendada antiderivatiivi elementaarfunktsioonide kaudu, on integraal \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx) on olemas ja võrdne pindalaga abstsissteljega piiratud joonis, funktsiooni y=e^(-x^2) graafik ja sirged x=a,~ x=b (joonis 6). Kuid rangema analüüsiga selgub, et juba pindala mõiste vajab põhjendamist ja seetõttu ei saa sellele tugineda antiderivaadi ja kindla integraali olemasolu küsimuste lahendamisel.
Tõestame seda igal intervallil pideval funktsioonil on sellel intervallil antiderivatiiv, ja seetõttu on sellel segmendil kindel integraal. Selleks vajame kindla integraali mõistele teistsugust lähenemist, mis ei tugine antiderivaadi olemasolu eeldusele.
Teeme kõigepealt kindlaks kindla integraali omadused, mida mõistetakse kui antiderivaadi väärtuste erinevust.
Kindlate integraalide hinnangud
1. teoreem. Olgu funktsioon y=f(x) piiratud intervalliga ja m=\min_(x\in)f(x) Ja M=\max_(x\in)f(x), vastavalt väikseim ja kõrgeim väärtus funktsioonid y=f(x) sisse , ja sellel lõigul on funktsioonil y=f(x) antiderivatiiv. Siis
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
Tõestus. Olgu F(x) üks funktsiooni y=f(x) antituletistest segmendil. Siis
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).
Lagrange'i teoreemi järgi F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), kus a \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).
Tingimuse järgi kehtib segmendi kõigi x väärtuste puhul järgmine ebavõrdsus: m\leqslant f(x)\leqslant M, Sellepärast m\leqslant f(c)\leqslant M ja seetõttu
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), see tähendab m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
Q.E.D.
Topeltvõrratus (1) annab ainult väga ligikaudse hinnangu kindla integraali väärtusele. Näiteks segmendil on funktsiooni y=x^2 väärtused vahemikus 1 kuni 25 ja seetõttu tekivad ebavõrdsused
4=1\cdot(5-1)\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
Täpsema hinnangu saamiseks jagage segment punktidega mitmeks osaks a=x_0 ja igale osale rakendatakse ebavõrdsust (1). Kui ebavõrdsus kehtib segmendi kohta, siis
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
kus \Delta x_k tähistab erinevust (x_(k+1)-x_k), st lõigu pikkust. Kirjutades need võrratused kõigi k väärtuste jaoks vahemikus 0 kuni n-1 ja liites need, saame:
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),
Kuid kindla integraali aditiivse omaduse järgi on lõigu kõikide osade integraalide summa võrdne selle lõigu integraaliga, s.t.
\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.
Tähendab,
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
Näiteks kui jagate lõigu 10 võrdseks osaks, millest igaühe pikkus on 0,4, siis osalisel lõigul
ebavõrdsus kehtib
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
Seetõttu on meil:
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\summa_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
Arvutades saame: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. See hinnang on palju täpsem kui varem saadud hinnang 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
Integraali veelgi täpsema hinnangu saamiseks peate lõigu jagama mitte 10, vaid näiteks 100 või 1000 osaks ja arvutama vastavad summad. Loomulikult on seda integraali lihtsam arvutada antiderivaadi abil:
\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\right|_(1)^(5)= \frac(1) (3) (125-1) = \frac(124) (3)\,.
Kui aga antiderivaadi avaldis on meile tundmatu, siis võrratused (2) võimaldavad hinnata integraali väärtust alt ja ülevalt.
Määratud integraal jagava arvuna
Võrratuses (2) sisalduvaid arve m_k ja M_k saab valida meelevaldselt, kui ebavõrdsus on täidetud igas segmendis m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Segmendi antud jaotuse integraali kõige täpsem hinnang saadakse, kui võtta kõigist võimalikest väärtustest M_k väikseim ja m_k suurim. See tähendab, et kui m_k peame võtma funktsiooni y=f(x) väärtuste täpse alumise piiri segmendil ja kui M_k nende väärtuste täpse ülemise piiri samal lõigul:
m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).
Kui y=f(x) on lõigul piiratud funktsioon, siis on see piiratud iga lõiguga ja seetõttu on selle jaoks arvud m_k ja M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. Selle arvude m_k ja M_k valikuga summad \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k) Ja \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k) nimetatakse vastavalt funktsiooni y=-f(x) alumist ja ülemist Darboux' integraalsummat antud partitsiooni P jaoks:
a=x_0
segment Tähistame need summad vastavalt s_(fP) ja S_(fP) ning kui funktsioon y=f(x) on fikseeritud, siis lihtsalt s_P ja S_P.
Ebavõrdsus (2) tähendab seda kui intervalliga piiratud funktsioonil y=f(x) on sellel intervallil antituletis, siis eraldab kindel integraal arvulised hulgad \(s_p\) ja \(S_P\) , mis koosnevad vastavalt kõigist alumisest ja ülemisest Darboux' summast kõikvõimalikud intervalli jaotised P. Üldiselt võib juhtuda, et neid kahte hulka eraldav arv ei ole kordumatu. Kuid allpool näeme, et kõige olulisemate funktsiooniklasside jaoks (eriti pidevate funktsioonide puhul) on see ainulaadne.
See võimaldab meil kasutusele võtta uue määratluse \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), mis ei põhine antiderivaadi kontseptsioonil, vaid kasutab ainult Darboux’ summasid.
Definitsioon. Intervalliga piiratud funktsiooni y=f(x) nimetatakse sellel intervallil integreeritavaks, kui on üks arv \ell, mis eraldab intervalli kõigi võimalike osade jaoks moodustatud alumiste ja ülemiste Darboux' summade hulki. Kui funktsioon y=f(x) on intervalliga integreeritav, siis ainsat neid hulki eraldavat arvu nimetatakse selle funktsiooni kindlaks integraaliks üle intervalli ja tähendab .
Oleme defineerinud integraali \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx) juhuks, kui a b , siis paneme
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.
See määratlus on loomulik, sest kui integreerimisintervalli suund muutub, muutuvad kõik erinevused \Delta x_k=x_(k+1)-x_k muutke märki ja seejärel muutke märke ja Darboux' summasid ja seeläbi neid eraldavat numbrit, st. lahutamatu.
Kuna kui a=b kõik \Delta x_k kaovad, siis määrame
\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.
Saime kindla integraali mõiste kaks definitsiooni: antiderivaadi väärtuste erinevus ja Darboux' summade jaotusarv. Need määratlused annavad kõige olulisematel juhtudel sama tulemuse:
2. teoreem. Kui funktsioon y=f(x) on piiratud intervalliga ja sellel on antituletis y=F(x) ning alumist ja ülemist Darboux' summat eraldab üks arv, siis on see arv võrdne F(b) )-F(a).
Tõestus. Eespool tõestasime, et arv F(a)-F(b) eraldab hulgad \(s_P\) ja \(S_P\) . Kuna tingimuse järgi on eraldusarv üheselt määratletud, langeb see kokku F(b)-F(a) .
Edaspidi kasutame tähistust \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx) ainult ühe arvu jaoks, mis eraldab hulki \(s_P\) ja \(S_P\) . Tõestatud teoreemist järeldub, et selle tähise mõistmisega, mida me eespool kasutasime, pole vastuolu.
Alumise ja ülemise Darboux' summade omadused
Selleks, et varem antud integraali definitsioon oleks mõttekas, on vaja tõestada, et ülemiste Darboux' summade hulk asub tõepoolest alumiste Darboux' summade hulgast paremal.
Lemma 1. Iga partitsiooni P puhul ei ületa vastav alumine Darboux' summa ülemist Darbouxi summat s_P\leqslant S_P .
Tõestus. Vaatleme mõnda segmendi partitsiooni P:
a=x_0 "
Ilmselgelt kehtib iga k ja mis tahes valitud partitsiooni P korral ebavõrdsus s_P\leqslant S_P. Seega m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, ja seetõttu
s_P= \summa_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
Q.E.D. Ebavõrdsus (4) kehtib ainult fikseeritud partitsiooni P puhul. Seetõttu ei saa veel väita, et ühe partitsiooni alumine Darboux' summa ei saa ületada teise partitsiooni ülemist Darboux' summat. Selle väite tõestamiseks vajame järgmist lemmat:
Lemma 2. Uue jagamispunkti lisamisel ei saa alumine Darboux' summa väheneda ja ülemine summa suureneda.
Tõestus. Valime segmendi mingi partitsiooni P ja lisame sellele uue jagamispunkti (x^(\ast)) . Tähistame uut partitsiooni P^(\ast) . Partitsioon P^(\ast) on partitsiooni P täpsustus, st. iga jaotuspunkt P on ühtlasi jaotuspunkt P^(\ast) .
Las punkt (x^(\ast)) langeb lõigule \koolon\, x_k . Vaatleme kahte saadud segmenti ja
ja tähistage funktsiooni väärtuste täpsed alumised piirid m_(k)^(\ast) ja m_(k)^(\ast\ast) ning täpsed ülemised piirid M_(k)^(\ast) ) ja M_(k )^(\ast\ast) .
Lisa m_k(x_(k+1)-m_(k)) Algne madalam Darboux' summa uues madalamas Darboux'i summas vastab kahele terminile:
m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).
Samal ajal m_k\leqslant m_(k)^(\ast) Ja m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), kuna m_k on funktsiooni f(x) väärtuste täpne alumine piir kogu lõigul ja m_(k)^(\ast) ja m_(k)^(\ast\ast) ainult selle lõigul. osad ja
vastavalt.
Hinnakem altpoolt saadud terminite summat:
\begin(joonatud) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1) )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(joondatud)
Kuna ülejäänud liikmed nii vanas kui ka uues madalamas Darboux' summas jäid muutumatuks, ei vähenenud madalam Darboux' summa uue jaotuspunkti s_P\leqslant S_P lisamisest.
Tõestatud väide jääb kehtima ka siis, kui partitsioonile P lisatakse mis tahes lõplik arv punkte.
Väide ülemise Darboux' summa kohta on tõestatud sarnaselt: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).
Liigume edasi mis tahes kahe partitsiooni Darboux' summade võrdlemisele.
Lemma 3. Ükski alumine Darboux' summa ei ületa ühtegi ülemist Darboux' summat (isegi kui see vastab segmendi erinevale partitsioonile).
Tõestus. Vaatleme segmendi kahte suvalist partitsiooni P_1 ja P_2 ning moodustame kolmanda partitsiooni P_3, mis koosneb kõigist partitsioonide P_1 ja P_2 punktidest. Seega on partitsioon P_3 nii partitsiooni P_1 kui ka partitsiooni P_2 täpsustus (joonis 7).
Tähistagem nende partitsioonide jaoks vastavalt alumist ja ülemist Darboux' summat s_1,~S_1.~s_2,~S_2 ja tõestage, et s_1\leqslant S_2 .
Kuna P_3 on partitsiooni P_1 täpsustus, siis s_1\leqslant s_3. Järgmiseks s_3\leqslant S_3 , kuna summad s_3 ja S_3 vastavad samale partitsioonile. Lõpuks S_3\leqslant S_2 , kuna P_3 on partitsiooni P_2 täpsustus.
Seega s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, st. s_1\leqslant S_2 , mida oli vaja tõestada.
Lemmast 3 järeldub, et alumiste Darboux' summade arvuline hulk X=\(s_P\) asub ülemiste Darboux' summade arvuhulgast Y=\(S_P\) vasakul.
Kahe arvuhulga1 eraldava arvu olemasolu teoreemi alusel on vähemalt üks arv /, mis eraldab hulki X ja Y, s.o. nii, et segmendi mis tahes jaotuse korral kehtib topeltvõrdsus:
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
Kui see number on kordumatu, siis \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).
Toome näite, mis näitab, et selline arv I ei ole üldiselt üheselt defineeritud. Tuletame meelde, et Dirichleti funktsioon on funktsioon y=D(x) võrdustega määratletud intervallil:
D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(on irratsionaalne arv);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is ratsionaalne arv).\end(juhtumid)
Ükskõik millise segmendi me võtame, sellel on nii ratsionaalsed kui ka irratsionaalsed punktid, s.t. ja punktid, kus D(x)=0, ja punktid, kus D(x)=1. Seetõttu on segmendi mis tahes partitsiooni puhul kõik m_k väärtused võrdsed nulliga ja kõik M_k väärtused on võrdsed ühega. Aga siis kõik madalamad Darboux summad \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr)) on võrdsed nulliga ja kõik ülemised Darboux' summad \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr)) võrdne ühega,
