Sihtmärk:

• Antiderivaadi mõiste kujunemine.
• Ettevalmistus integraali tajumiseks.
• Arvutusoskuste kujunemine.
• Ilumeele arendamine (oskus näha ilu ebatavalises).

Matemaatiline analüüs on matemaatika harude kogum, mis on pühendatud funktsioonide ja nende üldistuste uurimisele diferentsiaal- ja integraalarvutuse meetoditega.

Seni oleme uurinud matemaatilise analüüsi haru nimega diferentsiaalarvutus, mille põhiolemus on funktsiooni uurimine “väikeses”.

Need. funktsiooni uurimine iga määratluspunkti piisavalt väikestes piirkondades. Üks diferentseerimisoperatsioone on tuletise (diferentsiaali) leidmine ja selle rakendamine funktsioonide uurimisel.

Pöördprobleem pole vähem oluline. Kui funktsiooni käitumine tema definitsiooni iga punkti läheduses on teada, siis kuidas saab rekonstrueerida funktsiooni tervikuna, s.t. kogu selle määratluse ulatuses. See probleem on nn integraalarvutuse uurimisobjekt.

Integratsioon on diferentseerumise pöördtegevus. Või funktsiooni f(x) taastamine antud tuletisest f`(x). Ladinakeelne sõna "integro" tähendab taastamist.

Näide nr 1.

Olgu (x) = 3x 2.
Leiame f(x).

Lahendus:

Diferentseerimise reegli põhjal pole raske arvata, et f(x) = x 3, sest (x 3)` = 3x 2
Siiski on lihtne märgata, et f(x) ei ole ainulaadne.
Kui f(x) saame võtta
f(x)= x 3 +1
f(x)= x 3 +2
f(x)= x 3 -3 jne.

Sest igaühe tuletis on 3x 2. (Konstandi tuletis on 0). Kõik need funktsioonid erinevad üksteisest konstantse liikme poolest. Sellepärast ühine otsusülesande saab kirjutada kujul f(x)= x 3 +C, kus C on mis tahes konstantne reaalarv.

Kutsutakse välja mis tahes leitud funktsioon f(x). PRIMODIUM funktsiooni F`(x)= 3x 2 jaoks

Definitsioon. Funktsiooni F(x) nimetatakse antud intervalli J funktsiooni f(x) antituletiseks, kui kõigi selle intervalli x jaoks F`(x)= f(x). Seega on funktsioon F(x)=x 3 antituletis f(x)=3x 2 korral (- ∞ ; ∞).
Kuna kõigi x ~R puhul on võrdsus tõene: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Nagu oleme juba märganud, seda funktsiooni omab lõpmatult palju antiderivaate (vt näide nr 1).

Näide nr 2. Funktsioon F(x)=x on antituletis kõigi f(x)= 1/x jaoks vahemikus (0; +), sest kõigi selle intervalli x kohta kehtib võrdsus.
F`(x)= (x 1/2)`=1/2x -1/2 =1/2x

Näide nr 3. Funktsioon F(x)=tg3x on antituletis f(x)=3/cos3x intervallil (-n/ 2; P/ 2),
sest F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Näide nr 4. Funktsioon F(x)=3sin4x+1/x-2 on antituletis f(x)=12cos4x-1/x 2 intervallil (0;∞)
sest F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

2. loeng.

Teema: Antiderivaat. Antiderivatiivse funktsiooni peamine omadus.

Antiderivaadi uurimisel tugineme järgmisele väitele. Funktsiooni püsivuse märk: Kui intervallil J funktsiooni tuletis Ψ(x) on 0, siis sellel intervallil on funktsioon Ψ(x) konstantne.

Seda väidet saab demonstreerida geomeetriliselt.

On teada, et Ψ`(x)=tgα, γde α on funktsiooni Ψ(x) graafiku puutuja kaldenurk punktis, mille abstsiss on x 0. Kui Ψ`(υ)=0 mis tahes punktis intervallis J, siis tanα=0 δ funktsiooni Ψ(x) graafiku mis tahes puutuja korral. See tähendab, et funktsiooni graafiku puutuja mis tahes punktis on paralleelne abstsissteljega. Seetõttu kattub näidatud intervallil funktsiooni Ψ(x) graafik sirge lõiguga y=C.

Seega on funktsioon f(x)=c intervallil J konstantne, kui sellel intervallil f`(x)=0.

Tõepoolest, suvalise x 1 ja x 2 jaoks vahemikust J, kasutades funktsiooni keskmise väärtuse teoreemi, saame kirjutada:
f(x 2) - f(x 1) = f`(c) (x 2 - x 1), sest f`(c)=0, siis f(x2)= f(x1)

Teoreem: (Antiderivatiivse funktsiooni peamine omadus)

Kui F(x) on üks funktsiooni f(x) antituletistest intervallil J, siis on selle funktsiooni kõigi antiderivatiivide hulk järgmine: F(x) + C, kus C on mis tahes reaalarv.

Tõestus:

Olgu F`(x) = f(x), siis (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f (x) x Є J puhul.
Oletame, et eksisteerib Φ(x) – teine ​​antiderivaat f (x) jaoks intervallil J, st. Φ`(x) = f (x),
siis (Φ(x) - F(x)) = f (x) – f (x) = 0, x Є J korral.
See tähendab, et Φ(x) - F(x) on intervallil J konstantne.
Seetõttu Φ(x) - F(x) = C.
Kust Φ(x)= F(x)+C.
See tähendab, et kui F(x) on funktsiooni f (x) antituletis intervallil J, siis on selle funktsiooni kõigi antiderivatiivide hulk järgmine: F(x)+C, kus C on mis tahes reaalarv.
Järelikult erinevad antud funktsiooni mis tahes kaks antiderivatiivi üksteisest konstantse liikme võrra.

Näide: Leia funktsiooni f (x) = cos x antiderivaatide hulk. Joonistage graafikud esimese kolme kohta.

Lahendus: Sin x on funktsiooni f (x) = cos x üks antiderivaatidest
F(x) = Sin x+C – kõigi antiderivaatide hulk.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) = Sin x+1

Geomeetriline illustratsioon: Mis tahes antiderivatiiv F(x)+C graafiku saab saada antiderivaati F(x) graafikult paralleelülekande r (0;c) abil.

Näide: Funktsiooni f (x) = 2x jaoks leidke antiderivatiiv, mille graafik läbib t.M (1;4)

Lahendus: F(x)=x 2 +C – kõigi antiderivaatide hulk, F(1)=4 - vastavalt ülesande tingimustele.
Seetõttu 4 = 1 2 +C
C = 3
F(x) = x 2 +3

Antiderivaat.

Antiderivaati on näite abil lihtne mõista.

Võtame funktsiooni y = x 3. Nagu eelmistest osadest teame, tuletis X 3 on 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Seega funktsioonist y = x 3 saame uus funktsioon: juures = 3X 2 .
Piltlikult öeldes funktsioon juures = X 3 toodetud funktsioon juures = 3X 2 ja on selle "vanem". Matemaatikas pole sõna "vanem", kuid on sellega seotud mõiste: antiderivaat.

See on: funktsioon y = x 3 on funktsiooni antiderivaat juures = 3X 2 .

Antiderivaadi määratlus:

Meie näites ( X 3)" = 3X 2 seega y = x 3 – antiderivaat jaoks juures = 3X 2 .

Integratsioon.

Teatavasti nimetatakse antud funktsiooni tuletise leidmise protsessi diferentseerimiseks. Ja pöördoperatsiooni nimetatakse integreerimiseks.

Näide-seletus:

juures = 3X 2 + patt x.

Lahendus:

Teame, et antiderivaat 3 X 2 on X 3 .

Antiderivaat patu jaoks x on –cos x.

Lisame kaks antiderivatiivi ja saame antud funktsiooni jaoks antiderivaadi:

y = x 3 + (–cos x),

y = x 3 – cos x.

Vastus:
funktsiooni jaoks juures = 3X 2 + patt x y = x 3 – cos x.

Näide-seletus:

Leiame funktsioonile antiderivaadi juures= 2 patt x.

Lahendus:

Märgime, et k = 2. Patu antiderivaat x on –cos x.

Seega funktsiooni jaoks juures= 2 patt x antiderivaat on funktsioon juures= –2cos x.
Koefitsient 2 funktsioonis y = 2 sin x vastab antiderivaadi koefitsiendile, millest see funktsioon moodustati.

Näide-seletus:

Leiame funktsioonile antiderivaadi y= patt 2 x.

Lahendus:

Märkame seda k= 2. Antiderivaat patu jaoks x on –cos x.

Funktsiooni antiderivaadi leidmiseks rakendame oma valemit y= cos 2 x:

1
y= - · (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Vastus: funktsiooni jaoks y= patt 2 x antiderivaat on funktsioon y = – ----
2

(4)

Näide-seletus.

Võtame funktsiooni eelmisest näitest: y= patt 2 x.

Selle funktsiooni jaoks on kõigil antiderivaatidel järgmine vorm:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Selgitus.

Võtame esimese rea. See kõlab järgmiselt: kui funktsioon y = f( x) on 0, siis selle antiderivaat on 1. Miks? Kuna ühtsuse tuletis on null: 1" = 0.

Ülejäänud read loetakse samas järjekorras.

Kuidas kirjutada andmeid tabelist? Võtame kaheksa rea:

(-cos x)" = patt x

Teise osa kirjutame tuletismärgiga, seejärel võrdusmärgi ja tuletise.

Loeme: funktsiooni sin antiderivaat x on -cos funktsioon x.

Või: funktsioon -cos x on funktsiooni sin antiderivaat x.

Vaatleme punkti liikumist mööda sirget. Las see võtab aega t liikumise algusest on punkt läbinud vahemaa s(t). Siis hetkekiirus v(t) võrdne funktsiooni tuletisega s(t), see on v(t) = s"(t).

Praktikas puutume kokku pöördprobleemiga: arvestades punkti liikumiskiirust v(t) leida tee, mille ta valis s(t), st leida selline funktsioon s(t), mille tuletis on võrdne v(t). Funktsioon s(t), selline, et s"(t) = v(t), nimetatakse funktsiooni antiderivaadiks v(t).

Näiteks kui v(t) = аt, Kus A on antud arv, siis funktsioon
s(t) = (аt 2) / 2v(t), sest
s"(t) = ((аt 2) / 2) " = аt = v(t).

Funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni antiderivaadiks f(x) mõnel intervallil, kui kõigi jaoks X sellest lõhest F"(x) = f(x).

Näiteks funktsioon F(x) = sin x on funktsiooni antiderivaat f(x) = cos x, sest (sin x)" = cos x; funktsiooni F(x) = x 4/4 on funktsiooni antiderivaat f(x) = x 3, sest (x 4 / 4)" = x 3.

Mõelgem probleemile.

Ülesanne.

Tõesta, et funktsioonid x 3 /3, x 3 /3 + 1, x 3 /3 – 4 on sama funktsiooni f(x) = x 2 antituletised.

Lahendus.

1) Tähistame F 1 (x) = x 3 /3, siis F" 1 (x) = 3 ∙ (x 2 /3) = x 2 = f (x).

2) F 2 (x) = x 3 / 3 + 1, F" 2 (x) = (x 3 / 3 + 1)" = (x 3 / 3)" + (1)" = x 2 = f( x).

3) F 3 (x) = x 3 /3 – 4, F" 3 (x) = (x 3 /3 - 4)" = x 2 = f (x).

Üldiselt on iga funktsioon x 3 /3 + C, kus C on konstant, funktsiooni x 2 antituletis. See tuleneb sellest, et konstandi tuletis on null. See näide näitab, et antud funktsiooni puhul määratakse selle antiderivaat mitmetähenduslikult.

Olgu F 1 (x) ja F 2 (x) kaks sama funktsiooni f(x) antiderivatiivi.

Siis F 1 "(x) = f(x) ja F" 2 (x) = f(x).

Nende erinevuse tuletis g(x) = F 1 (x) – F 2 (x) on võrdne nulliga, kuna g"(x) = F" 1 (x) – F" 2 (x) = f(x) ) – f (x) = 0.

Kui g"(x) = 0 teatud intervallil, siis funktsiooni y = g(x) graafiku puutuja selle intervalli igas punktis on paralleelne Ox teljega. Seetõttu on funktsiooni y = graafik g(x) on sirge, mis on paralleelne Ox teljega, st g(x) = C, kus C on mingi konstant g(x) = C, g(x) = F 1 (x). – F 2 (x) järeldub, et F 1 (x) = F 2 (x) + S.

Seega, kui funktsioon F(x) on funktsiooni f(x) antituletis teatud intervallil, siis kõik funktsiooni f(x) antituletised kirjutatakse kujul F(x) + C, kus C on suvaline konstant.

Vaatleme antud funktsiooni f(x) kõigi antiderivaatide graafikuid. Kui F(x) on üks funktsiooni f(x) antituletistest, siis saadakse selle funktsiooni mis tahes antituletis F(x)-le mingi konstandi liitmisel: F(x) + C. Funktsioonide y = F( x) + C saadakse graafikult y = F(x) nihkega piki Oy telge. Valides C, saate tagada, et antiderivaadi graafik läbib antud punkti.

Pöörame tähelepanu antiderivaatide leidmise reeglitele.

Tuletame meelde, et antud funktsiooni tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist. Nimetatakse pöördoperatsioon antud funktsiooni antiderivaadi leidmiseks integratsiooni(ladina sõnast "taastama").

Antiderivaatide tabel mõne funktsiooni puhul saab selle koostada tuletise tabeli abil. Näiteks teades seda (cos x)" = -sin x, saame (-cos x)" = sin x, millest järeldub, et kõik antiderivatiivsed funktsioonid sin x on kirjutatud kujul -cos x + C, Kus KOOS- konstantne.

Vaatame mõningaid antiderivaatide tähendusi.

1) Funktsioon: x p, p ≠ -1. Antiderivaat: (x p+1) / (p+1) + C.

2) Funktsioon: 1/x, x > 0. Antiderivaat: ln x + C.

3) Funktsioon: x p, p ≠ -1. Antiderivaat: (x p+1) / (p+1) + C.

4) Funktsioon: e x. Antiderivaat: e x + C.

5) Funktsioon: sin x. Antiderivaat: -cos x + C.

6) Funktsioon: (kx + b) p, р ≠ -1, k ≠ 0. Antiderivaat: (((kx + b) p+1) / k(p+1)) + C.

7) Funktsioon: 1/(kx + b), k ≠ 0. Antiderivaat: (1/k) ln (kx + b)+ C.

8) Funktsioon: e kx + b, k ≠ 0. Antiderivaat: (1/k) e kx + b + C.

9) Funktsioon: sin (kx + b), k ≠ 0. Antiderivaat: (-1/k) cos (kx + b).

10) Funktsioon: cos (kx + b), k ≠ 0. Antiderivaat: (1/k) sin (kx + b).

Integratsioonireeglid saab kasutades diferentseerimisreeglid. Vaatame mõnda reeglit.

Lase F(x) Ja G(x)– vastavate funktsioonide antiderivaadid f(x) Ja g(x) mingi intervalliga. Seejärel:

1) funktsiooni F(x) ± G(x) on funktsiooni antiderivaat f(x) ± g(x);

2) funktsiooni aF(x) on funktsiooni antiderivaat af(x).

veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Integraalide lahendamine on lihtne ülesanne, kuid ainult mõne valitud jaoks. See artikkel on mõeldud neile, kes soovivad õppida integraalidest aru saama, kuid ei tea neist midagi või peaaegu mitte midagi. Integraalne... Milleks seda vaja on? Kuidas seda arvutada? Mis on kindlad ja määramata integraalid? Kui ainuke integraali kasutusala, mida te teate, on integraali ikooni kujuline heegelnõel, et sealt midagi kasulikku hankida raskesti ligipääsetavad kohad, siis tere tulemast! Siit saate teada, kuidas integraale lahendada ja miks ilma selleta hakkama ei saa.

Uurime mõistet "integraal"

Integratsioonist teati juba aastal Iidne Egiptus. Muidugi mitte sisse kaasaegne vorm, aga siiski. Sellest ajast peale on matemaatikud sellel teemal palju raamatuid kirjutanud. Eriti silma paistnud Newton Ja Leibniz , kuid asjade olemus pole muutunud. Kuidas integraalidest nullist aru saada? Pole võimalik! Selle teema mõistmiseks on teil siiski vaja algteadmisi matemaatilise analüüsi põhitõdedest. Just selle põhiteabe leiate meie blogist.

Määramatu integraal

Olgu meil mingi funktsioon f(x) .

Määramatu integraalfunktsioon f(x) seda funktsiooni nimetatakse F(x) , mille tuletis on võrdne funktsiooniga f(x) .

Teisisõnu, integraal on pöörd- või antiderivaat. Muide, lugege meie artiklist, kuidas.

Kõigi pidevate funktsioonide jaoks on olemas antiderivaat. Samuti lisatakse antiderivaadile sageli konstantmärk, kuna konstandi võrra erinevate funktsioonide tuletised langevad kokku. Integraali leidmise protsessi nimetatakse integreerimiseks.

Lihtne näide:

Et mitte arvutada pidevalt elementaarfunktsioonide antiderivaate, on mugav need tabelisse kokku võtta ja kasutada valmisväärtusi:

Kindel integraal

Integraali mõiste käsitlemisel on tegemist lõpmata väikeste suurustega. Integraal aitab arvutada figuuri pindala, ebaühtlase keha massi, ebaühtlase liikumise ajal läbitud vahemaa ja palju muud. Tuleks meeles pidada, et integraal on lõpmatult suure hulga lõpmata väikeste liikmete summa.

Kujutage näiteks ette mõne funktsiooni graafikut. Kuidas leida funktsiooni graafikuga piiratud joonise pindala?

Integraali kasutamine! Jagame koordinaattelgede ja funktsiooni graafikuga piiratud kõverjoonelise trapetsi lõpmata väikesteks segmentideks. Nii jagatakse joonis õhukesteks veergudeks. Veergude pindalade summa on trapetsi pindala. Kuid pidage meeles, et selline arvutus annab ligikaudse tulemuse. Kuid mida väiksemad ja kitsamad segmendid, seda täpsem on arvutus. Kui me vähendame neid nii palju, et pikkus kipub nulli, siis segmentide pindalade summa kaldub joonise pindalale. See on kindel integraal, mis on kirjutatud järgmiselt:

Punkte a ja b nimetatakse integratsiooni piirideks.

Bari Alibasov ja rühm "Integral"

Muideks! Meie lugejatele on nüüd 10% allahindlus

Mannekeenide integraalide arvutamise reeglid

Määramata integraali omadused

Kuidas lahendada määramata integraali? Siin vaatleme määramatu integraali omadusi, mis on kasulikud näidete lahendamisel.

• Integraali tuletis on võrdne integrandiga:

• Konstandi saab integraalimärgi alt välja võtta:

• Summa integraal on võrdne integraalide summaga. See kehtib ka erinevuse kohta:

Kindla integraali omadused

• Lineaarsus:

• Integraali märk muutub, kui integreerimise piire vahetatakse:

• Kell ükskõik milline punktid a, b Ja Koos:

Oleme juba teada saanud, et kindel integraal on summa piir. Kuidas aga näite lahendamisel saada konkreetne väärtus? Selleks on Newtoni-Leibnizi valem:

Integraalide lahendamise näited

Allpool vaatleme mitmeid näiteid määramata integraalide leidmisest. Kutsume teid lahenduse keerukusest ise välja mõtlema ja kui midagi jääb ebaselgeks, esitage kommentaarides küsimusi.

Materjali tugevdamiseks vaadake videot, kuidas integraale praktikas lahendatakse. Ärge heitke meelt, kui integraali kohe ei anta. Küsige ja nad räägivad teile kõike, mida nad integraalide arvutamise kohta teavad. Meie abiga on iga kolmekordne või kumer integraal suletud pinna kohal teie võimuses.

Funktsioon F(x ) helistas antiderivaat funktsiooni jaoks f(x) teatud intervalliga, kui kõigi jaoks x sellest intervallist kehtib võrdsus

F"(x ) = f(x ) .

Näiteks funktsioon F(x) = x 2 f(x ) = 2X , sest

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Antiderivaadi peamine omadus

Kui F(x) - funktsiooni antiderivaat f(x) antud intervallil, siis funktsioon f(x) on lõpmatult palju antiderivaate ja kõik need antiderivaadid saab kirjutada kujule F(x) + C, Kus KOOS on suvaline konstant.

Antiderivaatide arvutamise reeglid

1. Kui F(x) - antiderivaat jaoks f(x) , A G(x) - antiderivaat jaoks g(x) , See F(x) + G(x) - antiderivaat jaoks f(x) + g(x) . Teisisõnu, summa antiderivaat on võrdne antiderivatiivide summaga .
2. Kui F(x) - antiderivaat jaoks f(x) , Ja k - siis pidev k · F(x) - antiderivaat jaoks k · f(x) . Teisisõnu, konstantse teguri saab tuletise märgist välja võtta .
3. Kui F(x) - antiderivaat jaoks f(x) , Ja k,b- pidev ja k ≠ 0 , See 1 / k F( k x+ b ) - antiderivaat jaoks f(k x+ b) .

Määramatu integraal

Mitte kindel integraal funktsioonist f(x) nimetatakse väljendiks F(x) + C, st antud funktsiooni kõigi antiderivaatide kogum f(x) . Määramatu integraal on tähistatud järgmiselt:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- nad helistavad integrandi funktsioon ;

f(x) dx- nad helistavad integrand ;

x - nad helistavad integratsioonimuutuja ;

F(x) - üks primitiivsetest funktsioonidest f(x) ;

KOOS on suvaline konstant.

Näiteks, ∫ 2 x dx =X 2 + KOOS , ∫ cosx dx = patt X + KOOS ja nii edasi. ◄

Sõna "integraal" pärineb ladinakeelsest sõnast täisarv , mis tähendab "taastatud". Arvestades määramatut integraali 2 x, näib funktsiooni taastavat X 2 , mille tuletis on võrdne 2 x. Funktsiooni taastamist selle tuletisest või, mis on sama, määramatu integraali leidmist antud integrandi kohal nimetatakse integratsiooni seda funktsiooni. Integreerimine on diferentseerimise pöördoperatsioon Selleks, et kontrollida, kas integreerimine toimus õigesti, piisab tulemuse diferentseerimisest ja integrandi saamisest.

Määramata integraali põhiomadused

1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Integrandi konstantse teguri saab integraalimärgist välja võtta:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Funktsioonide summa (erinevuse) integraal on võrdne nende funktsioonide integraalide summaga (erinevus):

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Kui k,b- pidev ja k ≠ 0 , See

∫ f ( k x+ b) dx = 1 / k F( k x+ b ) + C .

Antiderivaatide ja määramata integraalide tabel

Kindel integraal

Lase vahele [a; b] on antud pidev funktsioon y = f(x) , Siis kindel integraal a-st b-ni funktsioonid f(x) nimetatakse antiderivaadi juurdekasvuks F(x) see funktsioon, see tähendab

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Numbrid a Ja b kutsutakse vastavalt madalam Ja üleval integratsiooni piirid.

Kindla integraali arvutamise põhireeglid

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) kus k - konstantne;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), kus f(x) — ühtlane funktsioon;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), kus f(x) on paaritu funktsioon.

Kommenteeri . Kõikidel juhtudel eeldatakse, et integrandid on integreeritavad arvulistel intervallidel, mille piirid on integreerimise piirid.

Kindla integraali geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Geomeetriline tähendus kindel integraal	Füüsiline tähendus kindel integraal
Ruut S kõverjooneline trapets (intervalli pideva positiivse graafikuga piiratud arv [a; b] funktsioonid f(x) , telg Ox ja otse x=a , x=b ) arvutatakse valemiga $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Tee s, mille materiaalne punkt on ületanud, liikudes sirgjooneliselt vastavalt seadusele muutuva kiirusega v(t) , teatud aja jooksul a ; b], siis nende funktsioonide graafikute ja sirgjoontega piiratud joonise pindala x = a , x = b , arvutatakse valemiga $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Näiteks. Arvutame joonise pindala, piiratud joontega y = x 2 Ja y= 2-x . Kujutagem skemaatiliselt nende funktsioonide graafikuid ja tõstkem erineva värviga esile joonis, mille pindala on vaja leida. Integratsiooni piiride leidmiseks lahendame võrrandi: x 2 = 2-x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \parem )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Revolutsiooni keha maht

	Kui keha saadakse ümber telje pöörlemise tulemusena Ox kõverjooneline trapets, mis on piiratud intervalli pideva ja mittenegatiivse graafikuga [a; b] funktsioonid y = f(x) ja otse x = a Ja x = b , siis nimetatakse seda pöörlemiskeha . Pöördekeha ruumala arvutatakse valemiga $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Kui funktsioonide graafikutega ülalt ja altpoolt piiratud kujundi pöörlemise tulemusena saadakse pöördekeha y = f(x) Ja y = g(x) , vastavalt siis $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Näiteks. Arvutame raadiusega koonuse ruumala r ja kõrgus h . Positsioneerime koonuse ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis nii, et selle telg langeb kokku teljega Ox , ja aluse keskpunkt asus algpunktis. Generaatori pöörlemine AB määratleb koonuse. Alates võrrandist AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
ja meil oleva koonuse mahu kohta $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄