Arvutuspraktikas tuleb sageli tegeleda funktsioonidega, mis on määratud nende väärtuste tabelites mõne lõpliku väärtuste hulga jaoks X : .

Probleemi lahendamise käigus on vaja väärtusi kasutada
argumendi vahepealsete väärtuste jaoks. Sel juhul konstrueerige arvutusteks piisavalt lihtne funktsioon Ф(x), mis antud punktides x 0 , x 1 ,...,x n , nimetatakse interpolatsioonisõlmedeks, võtab väärtused ja definitsioonipiirkonda kuuluva segmendi (x 0 ,x n) ülejäänud punktides
, tähistab ligikaudu funktsiooni
erineva täpsusastmega.

Probleemi lahendamisel antud juhul funktsiooni asemel
toimida funktsiooniga Ф(x). Sellise funktsiooni Ф(x) konstrueerimise ülesannet nimetatakse interpolatsiooniülesandeks. Kõige sagedamini leitakse interpoleerimisfunktsioon Ф(x) algebralise polünoomi kujul.

1. Interpolatsiooni polünoom

Iga funktsiooni jaoks
, määratletud [ a,b] ja mis tahes sõlmede komplekt x 0 , x 1 ,....,x n (x i
[a,b], x i x j i juures j) algebraliste polünoomide hulgas, mille aste ei ületa n, on ainulaadne interpolatsioonipolünoom Ф(x), mille saab kirjutada kujul:

, (3.1)

Kus
- n-nda astme polünoom, millel on järgmine omadus:

Interpolatsioonipolünoomi puhul polünoom
on kujul:

See polünoom (3.1) lahendab interpolatsiooniülesande ja seda nimetatakse Lagrange'i interpolatsioonipolünoomiks.

Vaatleme näiteks vormi funktsiooni
intervallil
täpsustatud tabelina.

Vajalik on määrata funktsiooni väärtus punktis x-2.5. Kasutame selleks Lagrange'i polünoomi. Valemite (3.1 ja 3.3) põhjal kirjutame selle polünoomi selgesõnalisel kujul:

(3.4).

Seejärel, asendades meie tabelis olevad algväärtused valemiga (3.4), saame

Saadud tulemus vastab teooriale st. .

1. Lagrange'i interpolatsiooni valem

Lagrange'i interpolatsioonipolünoomi saab kirjutada muul kujul:

(3.5)

Polünoomi kirjutamine kujul (3.5) on programmeerimiseks mugavam.

Interpolatsiooniülesande lahendamisel kogus n nimetatakse interpoleeriva polünoomi järjekorraks. Sel juhul, nagu on näha valemitest (3.1) ja (3.5), on interpolatsioonisõlmede arv alati võrdne n+1 ja tähendus x, mille väärtus määratakse
, peab asuma interpolatsioonisõlmede määratlusalas need.

. (3.6)

Mõnel praktilisel juhul interpolatsioonisõlmede teadaolev koguarv m võib olla suurem kui interpoleeriva polünoomi järjekord n.

Sel juhul tuleb enne valemi (3.5) järgi interpoleerimisprotseduuri rakendamist määrata need interpolatsioonisõlmed, mille puhul kehtib tingimus (3.6). Tuleb meeles pidada, et väärtuse leidmisel saavutatakse väikseim viga x interpolatsiooniala keskel. Selle tagamiseks soovitatakse järgmist protseduuri:

Interpoleerimise põhieesmärk on arvutada tabelifunktsiooni väärtused mittesõlmeliste (vahepealsete) argumentide väärtuste jaoks, mistõttu interpoleerimist nimetatakse sageli "ridadevahelise tabeli lugemise kunstiks".

Lagrange'i polünoom

Lagrange'i interpolatsiooni polünoom- minimaalse astme polünoom, mis võtab antud punktide komplektis antud väärtused. Sest n+ 1 numbripaar, kus kõik x i on ainulaadne polünoom L(x) kraadi enam mitte n, mille jaoks L(x i) = y i .

Kõige lihtsamal juhul ( n= 1) on lineaarne polünoom, mille graafik on kahte etteantud punkti läbiv sirge.

Definitsioon

See näide näitab Lagrange'i interpolatsioonipolünoomi nelja punkti (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2) ja (7,9) jaoks, samuti polünoomid y j l j (x), millest igaüks läbib ühte valitud punktidest ja võtab ülejäänutes nullväärtuse x i

Laske funktsiooni jaoks f(x) väärtused on teada y j = f(x j) mõnes punktis. Seejärel saame selle funktsiooni interpoleerida kui

Eelkõige

Integraalide väärtused alates l j ei sõltu f(x) ja neid saab järjestust teades eelnevalt välja arvutada x i .

Interpolatsioonisõlmede ühtlase jaotuse korral segmendis

Sel juhul saame väljendada x i läbi interpolatsioonisõlmede h ja alguspunkti vahelise kauguse x 0 :

ja seetõttu

Asendades need avaldised põhipolünoomi valemiga ja võttes lugeja ja nimetaja korrutusmärkidest välja h, saame

Nüüd saate sisse viia muutuja muudatuse

ja saada polünoom y, mis on koostatud ainult täisarvude aritmeetika abil. Selle lähenemisviisi puuduseks on lugeja ja nimetaja faktorite keerukus, mis nõuab mitmebaidise arvude esitusega algoritmide kasutamist.

Välised lingid

Wikimedia sihtasutus.

2010. aasta.

Vaadake, mis on "Lagrange'i polünoom" teistes sõnaraamatutes: N-astme polünoomi (Lagrange'i interpolatsiooni polünoom) tähistus, mis interpoleerib antud funktsiooni f(x) sõlmedes x 0, x1,..., x n: juhul, kui x i väärtused on võrdsel kaugusel, st. kasutades tähistust (x x0)/h=t valemit (1)… …

Matemaatiline entsüklopeedia

Matemaatikas on ühe muutuja polünoomid või polünoomid funktsioonid kujul, kus ci on fikseeritud koefitsiendid ja x on muutuja. Polünoomid on üks olulisemaid elementaarfunktsioonide klasse. Polünoomvõrrandite ja nende lahenduste uurimine... ... Wikipedia

Arvutusmatemaatikas on Bernsteini polünoomid algebralised polünoomid, mis on Bernsteini põhipolünoomide lineaarne kombinatsioon. Stabiilne algoritm polünoomide arvutamiseks Bernsteini kujul on algoritm... ... Wikipedia

Minimaalse astme polünoom, mis võtab antud punktide komplektis antud väärtused. Arvupaaride puhul, kus kõik on erinevad, on kõige rohkem mille jaoks kordumatu astmepolünoom. Kõige lihtsamal juhul (... Wikipedia

Minimaalse astme polünoom, mis võtab antud punktide komplektis antud väärtused. Arvupaaride puhul, kus kõik on erinevad, on kõige rohkem mille jaoks kordumatu astmepolünoom. Kõige lihtsamal juhul (... Wikipedia

Lagrange'i interpolatsiooni polünoom Minimaalse astme polünoom, mis võtab antud punktide komplektis etteantud väärtused. N + 1 arvupaari puhul, kus kõik xi on erinevad, on ainulaadne polünoom L(x), mille aste on maksimaalselt n, mille puhul L(xi) = yi.... ... Wikipedia

Funktsiooni kohta vt: Interpolant. Arvutusmatemaatika interpolatsioon on meetod suuruse vaheväärtuste leidmiseks olemasolevast diskreetsest teadaolevate väärtuste komplektist. Paljud neist, kes tegelevad sageli teaduslike ja tehniliste arvutustega... Wikipedia

Funktsiooni kohta vt: Interpolant. Interpolatsioon, interpolatsioon arvutusmatemaatikas on meetod suuruse vaheväärtuste leidmiseks olemasolevast diskreetsest teadaolevate väärtuste komplektist. Paljud neist, kes puutuvad kokku teadusliku ja... ... Vikipeediaga

Konstrueerime interpolatsioonipolünoomi kujul kus on polünoomid, mille aste ei ole suurem kui p,

millel on järgmine omadus: Tõepoolest, antud juhul polünoom (4.9) igas sõlmes, x j j=0,1,…n , on võrdne vastava funktsiooni väärtusega, st. on interpolatiivne.

Koostame sellised polünoomid. Kuna x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n , saame faktoriseerida järgmiselt

kus c on konstant. Tingimusest, mille me selle saame

Interpolatsioonipolünoom (4.1), kirjutatud kujul

nimetatakse Lagrange'i interpolatsioonipolünoomiks.

Funktsiooni ligikaudne väärtus punktis x*, mis arvutatakse Lagrange'i polünoomi abil, on jääkviga (4.8). Kui funktsiooni väärtused y i interpolatsiooni sõlmedes x i on antud ligikaudu sama absoluutveaga, siis täpse väärtuse asemel arvutatakse ligikaudne väärtus ja

kus on Lagrange'i interpolatsioonipolünoomi arvutuslik absoluutviga. Lõpuks on meil järgmine hinnang ligikaudse väärtuse koguvea kohta.

Eelkõige on sellise kujuga esimese ja teise astme Lagrange'i polünoomid

ja nende vead punktis x *

Sama interpolatsioonipolünoomi (4.1) kirjutamiseks on ka teisi vorme, näiteks Newtoni jagatud erinevustega interpolatsioonivalem ja selle allpool vaadeldavad variandid. Väärtuse täpsel arvutamisel Pn(x *), mis on saadud samade sõlmede abil konstrueeritud erinevatest interpolatsioonivalemitest, langevad kokku. Arvutusvea olemasolu põhjustab nendest valemitest saadud väärtuste erinevusi. Polünoomi kirjutamine Lagrange'i kujul toob tavaliselt kaasa väiksema arvutusvea.

Interpoleerimisel tekkivate vigade hindamise valemite kasutamine oleneb ülesande sõnastusest. Näiteks kui on teada sõlmede arv ja funktsioon on antud piisavalt suure arvu õigete märkidega, siis saame seada ülesandeks arvutada f(x *) võimalikult suure täpsusega. Kui vastupidi, õigete märkide arv on väike ja sõlmede arv suur, siis saame arvutamise probleemiks f(x *) täpsusega, mida funktsiooni tabeli väärtus võimaldab, ja selle probleemi lahendamiseks võib olla vajalik nii tabeli harvendamine kui tihendamine.

§4.3. Eraldatud erinevused ja nende omadused.

Jagatud erinevuse mõiste on tuletise üldistatud mõiste. Olgu funktsioonide väärtused antud punktides x 0 , x 1 ,…x n f(x 0), f(x 1),…, f(x n). Esimest järku jagatud erinevused määratakse võrdustega

eraldatud teist järku erinevused võrdustega,

ja jagatud erinevused k järjekord määratakse järgmise korduva valemiga:

Jaotatud erinevused paigutatakse tavaliselt tabelisse järgmiselt:

Mõelge jagatud erinevuste järgmistele omadustele.

1. Kõikide järkude jagatud erinevused on väärtuste lineaarsed kombinatsioonid f(x i), st. kehtib järgmine valem:

Tõestame selle valemi kehtivust erinevuste järjekorras induktsiooniga. Esimese järjekorra erinevuste jaoks

Valem (4.12) on õige. Oletame nüüd, et see kehtib kõigi järjestuse erinevuste puhul.

Seejärel vastavalt (4.11) ja (4.12) järjekorra erinevustele k=n+1 meil on

Tingimused, mis sisaldavad f(x 0) Ja f(x n +1), omama nõutavat vormi. Vaatleme termineid, mis sisaldavad f(x i), i=1, 2, …,n. Selliseid termineid on kaks - esimesest ja teisest summast:

need. valem (4.12) kehtib järjestuse erinevuse korral k=n+1, on tõend täielik.

2. Jagatud erinevus on selle argumentide x 0 , x 1 ,…x n sümmeetriline funktsioon (see tähendab, et see ei muutu ühegi ümberpaigutusega):

See omadus tuleneb otseselt võrdsusest (4.12).

3. Lihtne jagatud erinevuse seos f ja tuletis f(n)(x) annab järgmise teoreemi.

Olgu sõlmed x 0 , x 1 ,…x n segmenti kuuluvad ja funktsioon f(x) on sellel intervallil järjestuse pidev tuletis n. Siis on selline punkt xÎ, Mida

Tõestame esmalt seose kehtivust

Vastavalt (4.12) nurksulgudes olev avaldis on

f.

Võrdlusest (4.14) avaldisega (4.7) ülejäänud liikme jaoks R n (x) = f (x) - L n (x) saame (4.13), on teoreem tõestatud.

Sellest teoreemist tuleneb lihtne järeldus. Polünoomi jaoks n aste

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

tellimuse tuletis n, ilmselgelt on olemas

ja seos (4.13) annab jagatud erinevusele väärtuse

Niisiis, igal polünoomil on kraadid n eraldatud järjekorra erinevused n on võrdsed konstantse väärtusega – polünoomi kõrgeima astme koefitsiendiga. Eraldatud erinevused kõrgematest tellimustest
(rohkem n), on ilmselgelt võrdsed nulliga. See järeldus kehtib aga ainult siis, kui eraldatud erinevustes pole arvutusvigu.

§4.4. Newtoni jagatud erinevuse interpolatsiooni polünoom

Kirjutame Lagrange'i interpolatsioonipolünoomi järgmisel kujul:

Kus L 0 (x) = f (x 0) = y 0, A Lk(x)– Lagrange'i interpolatsiooni astmepolünoom k, ehitatud sõlmede poolt x 0, x 1, …,x k. Siis on astme polünoom k, mille juured on punktid x 0, x 1, …,x k -1. Seetõttu saab seda faktoriseerida

kus A k on konstant.

Kooskõlas punktiga (4.14) saame

Võrreldes (4.16) ja (4.17) leiame, et ka (4.15) võtab kuju

mida nimetatakse Newtoni jagatud erinevuse interpolatsiooni polünoomiks.

Seda tüüpi interpolatsioonipolünoomi tähistus on visuaalsem (ühe sõlme lisamine vastab ühe liikme ilmumisele) ja võimaldab paremini jälgida teostatavate konstruktsioonide analoogiat matemaatilise analüüsi põhikonstruktsioonidega.

Newtoni interpolatsioonipolünoomi jääkviga väljendatakse valemiga (4.8), kuid (4.13) arvesse võttes saab selle kirjutada ka muul kujul

need. jääkviga saab hinnata polünoomi esimese kõrvalejäetud liikme mooduli järgi Nn(x*).

Arvutusviga Nn(x*) määratakse eraldatud erinevuste vigade järgi. Interpoleeritud väärtusele lähimad interpolatsioonisõlmed x*, avaldab interpolatsioonipolünoomile suurem mõju, kaugemal asuvatel on väiksem mõju. Seetõttu on võimalusel soovitatav x 0 Ja x 1 võtke need, mis on kõige lähemal x* interpolatsioonisõlmed ja teostage esmalt mööda neid sõlme lineaarne interpolatsioon. Seejärel tõmba järk-järgult ligi järgmised sõlmed, et need paikneksid suhtes võimalikult sümmeetriliselt x*, kuni järgmine liige absoluutväärtuses on väiksem kui selles sisalduva jagatud erinevuse absoluutviga.

Laske segment edasi funktsiooni y=f(x) on antud tabelis, s.o. (x i , y i), (i=0,1,..,n), Kus y i =f(x i). Seda antud funktsiooni nimetatakse " võrk».

Probleemi avaldus: leia algebraline polünoom (polünoom):

kraadi mitte kõrgem n selline et

L n (x i) = y i , juures i= 0,1,..,n,(5.6)

need. millel on antud sõlmedes xi, (i=0,1,..,n) samad väärtused mis ruudustiku funktsioonil juures=f(x).

Polünoom ise Ln(x) helistas interpolatsioonipolünoom, ja ülesanne on polünoomiline interpolatsioon .

Leia polünoom L n (x)- see tähendab leida selle koefitsiendid a 0 , a 1 ,…,a n. Selle jaoks on olemas n+ 1 tingimus (5.6), mis on kirjutatud tundmatute lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemina ai,(i=0, 1,…,n):

Kus x mina ja y i( i=0,1,…,n) – argumendi ja funktsiooni tabeliväärtused.

Algebra kursusest teame, et selle süsteemi determinant, mida nimetatakse Vandermonde determinandiks:

nullist erinev ja seetõttu on süsteemil (5.7) olemas ainus lahendus.

Olles määranud koefitsiendid a 0 , a 1 ,…,a n, lahendades süsteemi (5.7), saame nn Lagrange'i interpolatsiooni polünoom funktsiooni jaoks f(x):

(5.8)

mille saab kirjutada järgmiselt:

On tõestatud, et antud n Funktsiooni väärtused +1 saab joonistada Lagrange'i ainus interpolatsioonipolünoom(5.8).

Praktikas Lagrange'i interpolatsioonipolünoomid esimese ( n= 1) ja teine ​​( n= 2) kraadid.

Kell n= 1 teave interpoleeritud funktsiooni kohta y=f(x) on täpsustatud kahes punktis: (x 0 , y 0 ) ja (x 1 , y 1 ), ja Lagrange'i polünoomil on vorm

Sest n= 2 Lagrange'i polünoom konstrueeritakse kolmepunktitabeli abil

Lahendus: Asendame algandmed valemiga (5.8). Saadud Lagrange'i polünoomi aste ei ole suurem kui kolmandik, kuna funktsioon määratakse nelja väärtusega:

Lagrange'i interpolatsioonipolünoomi abil saate funktsiooni väärtuse leida mis tahes vahepunktis, näiteks X=4:

= 43

Lagrange'i interpolatsiooni polünoomid sisse kasutatud lõplike elementide meetod, kasutatakse laialdaselt ehitusprobleemide lahendamisel.

Tuntud on ka teisi interpolatsioonivalemeid, näiteks Newtoni interpolatsiooni valem, mida kasutatakse interpoleerimiseks võrdse vahemaa sõlmede või interpolatsioonipolünoomi korral Ermita.

Splaini interpolatsioon. Suure hulga interpolatsioonisõlmede kasutamisel kasutatakse spetsiaalset tehnikat - tükikaupa polünoomiline interpolatsioon, kui funktsioon on interpoleeritud astme polünoomiga T mis tahes külgnevate võrgusõlmede vahel.

Funktsioonide ruutkeskmine lähendus

Probleemi avaldus

RMS lähendus Funktsioonid on veel üks lähenemisviis funktsioonide lähendamiseks analüütiliste avaldiste saamiseks. Selliste probleemide tunnuseks on asjaolu, et teatud mustrite koostamise algandmed on ilmselgelt olemas ligikaudne iseloom.

Need andmed saadakse mõne katse või mõne arvutusprotsessi tulemusena. Vastavalt sellele sisaldavad need andmed katsevigu (vead mõõtmisseadmetes ja -tingimustes, juhuslikud vead jne) või ümardamisvigu.

Oletame, et uurime mõnda nähtust või protsessi. Üldiselt võib uurimisobjekti kujutada joonisel kujutatud küberneetilise süsteemiga (“must kast”).

Muutuv X on sõltumatu, juhitav muutuja (sisendparameeter).

Muutuv Y– see on uurimisobjekti reaktsioon (vastus) sisendparameetri mõjule. See on sõltuv muutuja.

Oletame, et selle katse tulemuste töötlemisel avastatakse teatud funktsionaalne sõltuvus y=f(x) sõltumatu muutuja vahel X ja sõltuv muutuja u. See sõltuvus on esitatud tabeli kujul. 5.1 tähendused x i , y i (i=1,2,…,n), mis on saadud katse käigus.

Tabel 5.1

Kui funktsiooni analüütiline väljendus y=f(x) tundmatu või väga raske, siis tekib ülesanne leida funktsioon y= j (X), mille väärtused on x=xi, võib-olla oli see natuke teistmoodi eksperimentaalsete andmete põhjal ja mina, (i=1,..,n). Seega on uuritav sõltuvus ligikaudne funktsiooniga y= j (X) segmendil [ x 1 ,xn]:

f(x)@ j (X). (5.9)

Lähendamisfunktsioon y= j (X) helistas empiiriline valem (EF) või regressioonivõrrand (RE).

Empiirilised valemid ei pretendeeri loodusseadustele, vaid on vaid hüpoteesid, mis kirjeldavad enam-vähem adekvaatselt katseandmeid. Nende tähtsus on aga väga suur. Teaduse ajaloos on juhtumeid, kui sellest tulenev edukas empiiriline valem viis suurte teaduslike avastusteni.

Empiiriline valem on piisav, kui sellega saab uuritavat objekti praktikaks piisava täpsusega kirjeldada.

Milleks see sõltuvus?

Kui leitakse ligikaudne väärtus (5.9), siis on võimalik:

Tehke ennustus uuritava objekti käitumise kohta väljaspool segmenti ( ekstrapoleerimine );

Vali optimaalne uuritava protsessi arengusuund.

Regressioonivõrrand võib olla erineva kuju ja keerukuse tasemega sõltuvalt uuritava objekti omadustest ja nõutavast esitustäpsusest.

Geomeetriliselt Regressioonivõrrandi koostamise ülesanne on kõvera joonistamine L: y= j (X) « ehk lähemale» külgneb katsepunktide süsteemiga M i (x i, y i), i= 1,2,...,n, antud tabeli järgi. 5.1 (joonis 5.2).

Regressioonivõrrandi (empiirilise funktsiooni) koostamine koosneb kahest etapist:

1. üldvaate valimine regressioonivõrrandid,

2. selle parameetrite määramine.

Edukas valik Regressioonivõrrand sõltub suuresti mis tahes protsessi või nähtust uuriva eksperimenteerija kogemusest.

Sageli valitakse regressioonivõrrandiks polünoom (polünoom):

Teine ülesanne parameetrite leidmine regressioonivõrrandid lahendatakse tavaliste meetoditega, näiteks vähimruutude meetod(LSM), mida kasutatakse laialdaselt mis tahes vaatlustel või katsetel põhineva mustri uurimisel.

Selle meetodi väljatöötamist seostatakse mineviku kuulsate matemaatikute - K. Gaussi ja A. Legendre - nimedega.

Vähimruutude meetod

Oletame, et katse tulemused on esitatud tabelina. 5.1. Ja regressioonivõrrand kirjutatakse kujul (5.11), st. oleneb ( m+1) parameeter

Need parameetrid määravad regressioonivõrrandi graafiku asukoha katsepunktide suhtes M i (x i, y i), i= 1,2,...,n(joonis 5.2).

Neid parameetreid ei ole aga üheselt määratud. Parameetrid tuleb valida nii, et regressioonivõrrandi graafik asuks " nii lähedal kui võimalik» nende katsepunktide süsteemi.

Tutvustame kontseptsiooni kõrvalekalded regressioonivõrrandi (5.11) väärtused tabeli väärtusest y i Sest x i : , i= 1,2,...,n.

Mõelgem ruudu hälvete summa, mis oleneb ( m+1) parameeter

OLS-i järgi parimad koefitsiendid a i(i=0,1,..,m) on need, mis minimeerivad hälvete ruudu summa, s.o. funktsiooni

Kasutades funktsiooni ekstreemumi jaoks vajalikud tingimused mitu muutujat, saame nn tavaline süsteem tundmatute koefitsientide määramiseks :

Lähendamisfunktsiooni (5.11) jaoks on süsteem (5.14) tundmatute lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem .

Võimalikud juhtumid:

1. Kui , siis on lõpmata palju polünoome (5.11), mis minimeerivad funktsiooni (5.13).

2. Kui m = n–1, siis on ainult üks polünoom (5.11), mis minimeerib funktsiooni (5.13).

Mida vähem m, seda lihtsam on empiiriline valem, kuid see pole alati parem. Tuleb meeles pidada, et saadud empiiriline valem peab olema piisav uuritav objekt.