6.1. PÕHIMÕISTED JA MÕISTED

Matemaatika ja füüsika, bioloogia ja meditsiini erinevate ülesannete lahendamisel ei ole sageli võimalik koheselt luua funktsionaalset seost ühendava valemi kujul. muutujad, mis kirjeldavad uuritavat protsessi. Tavaliselt tuleb kasutada võrrandeid, mis sisaldavad lisaks sõltumatule muutujale ja tundmatule funktsioonile ka selle tuletisi.

Definitsioon. Nimetatakse võrrandit, mis ühendab sõltumatut muutujat, tundmatut funktsiooni ja selle erinevat järku tuletisi diferentsiaal.

Tavaliselt tähistatakse tundmatut funktsiooni y(x) või lihtsalt y, ja selle tuletised - y", y" jne.

Võimalikud on ka muud nimetused, näiteks: kui y= x(t), siis x"(t), x""(t)– selle tuletised ja t- sõltumatu muutuja.

Definitsioon. Kui funktsioon sõltub ühest muutujast, siis nimetatakse diferentsiaalvõrrandit tavaliseks. Üldvaade tavaline diferentsiaalvõrrand:

või

Funktsioonid F Ja f ei pruugi sisaldada mõningaid argumente, kuid selleks, et võrrandid oleksid diferentsiaalsed, on tuletise olemasolu hädavajalik.

Definitsioon.Diferentsiaalvõrrandi järjekord nimetatakse selles sisalduva kõrgeima tuletise järguks.

Näiteks x 2 a"- y= 0, y" + sin x= 0 on esimest järku võrrandid ja y"+ 2 y"+ 5 y= x- teist järku võrrand.

Diferentsiaalvõrrandite lahendamisel kasutatakse integreerimisoperatsiooni, mis on seotud suvalise konstandi ilmumisega. Kui integreerimistoimingut rakendatakse n korda, siis ilmselt lahus sisaldab n suvalised konstandid.

6.2. ESIMESE JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRDENDID

Üldvaade esimest järku diferentsiaalvõrrand on määratud väljendiga

Võrrand ei pruugi selgesõnaliselt sisaldada x Ja y, kuid sisaldab tingimata y".

Kui võrrandit saab kirjutada kujul

siis saame esimest järku diferentsiaalvõrrandi, mis on lahendatud tuletise suhtes.

Definitsioon. Esimest järku diferentsiaalvõrrandi (6.3) (või (6.4)) üldlahend on lahenduste hulk , Kus KOOS- suvaline konstant.

Diferentsiaalvõrrandi lahendi graafikut nimetatakse integraalkõver.

Suvalise konstandi andmine KOOS erinevad väärtused, võib saada osalahendusi. Lennukis xOyüldine lahendus tähistab igale konkreetsele lahendusele vastavate integraalkõverate perekonda.

Kui seate punkti A (x 0, y 0), millest integraalkõver peab läbima, siis reeglina funktsioonide hulgast Eraldi võib välja tuua ühe – privaatne lahendus.

Definitsioon.Eraldi otsus Diferentsiaalvõrrandi lahendus on selle lahendus, mis ei sisalda suvalisi konstante.

Kui on üldlahendus, siis tingimusest

võite leida konstanti KOOS. Tingimust nimetatakse esialgne seisund.

Algtingimust rahuldava diferentsiaalvõrrandi (6.3) või (6.4) konkreetse lahenduse leidmise probleem juures helistas Cauchy probleem. Kas sellel probleemil on alati lahendus? Vastus sisaldub järgmises teoreemis.

Cauchy teoreem(lahenduse olemasolu ja kordumatuse teoreem). Sisestage diferentsiaalvõrrand y"= f(x,y) funktsiooni f(x,y) ja tema

osaline tuletis mõnes määratletud ja pidev

piirkond D, sisaldab punkti Siis piirkonnas D on olemas

ainus lahendus võrrand, mis rahuldab algtingimust juures

Cauchy teoreem väidab, et teatud tingimustel eksisteerib ainulaadne integraalkõver y= f(x), punkti läbimine Punktid, kus teoreemi tingimused ei ole täidetud

Cauchiesid kutsutakse eriline. Nendel kohtadel see puruneb f(x, y) või.

Ainsuspunkti läbib mitu integraalkõverat või mitte ükski.

Definitsioon. Kui lahendus (6.3), (6.4) on leitud kujul f(x, y, C)= 0, ei ole lubatud y suhtes, siis kutsutakse seda üldine integraal diferentsiaalvõrrand.

Cauchy teoreem tagab ainult lahenduse olemasolu. Kuna lahenduse leidmiseks pole ühest meetodit, käsitleme ainult teatud tüüpi esimest järku diferentsiaalvõrrandeid, mida saab integreerida kvadratuurid.

Definitsioon. Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse integreeritav kvadratuuridesse, kui selle lahenduse leidmine taandub funktsioonide integreerimisele.

6.2.1. Eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandid

Definitsioon. Esimest järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse võrrandiks eraldatavad muutujad,

Võrrandi (6.5) parem pool on kahe funktsiooni korrutis, millest igaüks sõltub ainult ühest muutujast.

Näiteks võrrand on võrrand eraldamisega

segatud muutujatega
ja võrrand

ei saa esitada kujul (6.5).

Arvestades seda , kirjutame (6.5) vormi ümber

Sellest võrrandist saame eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi, milles diferentsiaalid on funktsioonid, mis sõltuvad ainult vastavast muutujast:

Meil on termini kaupa integreerimine

kus C = C 2 - C 1 - suvaline konstant. Avaldis (6.6) on võrrandi (6.5) üldintegraal.

Jagades võrrandi (6.5) mõlemad pooled, võime kaotada need lahendid, mille puhul Tõepoolest, kui juures

See ilmselt on võrrandi (6.5) lahendus.

Näide 1. Leidke võrrandile lahendus, mis rahuldab

tingimus: y= 6 kl x= 2 (y(2) = 6).

Lahendus. Me asendame y" siis . Korrutage mõlemad pooled arvuga

dx, kuna edasise integratsiooni käigus on võimatu lahkuda dx nimetajas:

ja jagades seejärel mõlemad osad arvuga saame võrrandi,

mida saab integreerida. Integreerime:

Siis ; võimendades saame y = C. (x + 1) - ob-

üldine lahendus.

Lähteandmete abil määrame suvalise konstandi, asendades need üldlahendusega

Lõpuks saame y= 2(x + 1) on konkreetne lahendus. Vaatame veel paar näidet eraldatavate muutujatega võrrandite lahendamisest.

Näide 2. Leidke võrrandi lahendus

Lahendus. Arvestades seda , saame .

Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame

kus

Näide 3. Leidke võrrandi lahendus Lahendus. Jagame võrrandi mõlemad pooled nendeks teguriteks, mis sõltuvad muutujast, mis ei lange kokku diferentsiaalmärgi all oleva muutujaga, s.t. ja integreerida. Siis saame

ja lõpuks

Näide 4. Leidke võrrandi lahendus

Lahendus. Teades, mida me saame. jaotis

lim muutujad. Siis

Integreerimine, saame

Kommenteeri. Näidetes 1 ja 2 soovitud funktsioon y sõnaselgelt väljendatud (üldlahendus). Näidetes 3 ja 4 - kaudselt (üldintegraal). Edaspidi otsuse vormi ei täpsustata.

Näide 5. Leidke võrrandi lahendus Lahendus.

Näide 6. Leidke võrrandi lahendus , rahuldav

tingimus ja(e)= 1.

Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile

Võrrandi mõlema poole korrutamine arvuga dx ja edasi, saame

Integreerides võrrandi mõlemad pooled (parempoolne integraal võetakse osade kaupa), saame

Aga vastavalt seisukorrale y= 1 at x= e. Siis

Asendame leitud väärtused KOOSüldisele lahendusele:

Saadud avaldist nimetatakse diferentsiaalvõrrandi osalahendiks.

6.2.2. Esimest järku homogeensed diferentsiaalvõrrandid

Definitsioon. Esimest järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse homogeenne, kui seda saab vormis esitada

Esitame homogeense võrrandi lahendamise algoritmi.

1. Selle asemel y tutvustame siis uut funktsiooni ja seetõttu

2. Funktsiooni poolest u võrrand (6.7) saab kuju

st asendamine vähendab homogeenne võrrand eraldatavate muutujatega võrrandisse.

3. Lahendades võrrandi (6.8), leiame esmalt u ja seejärel y= ux.

Näide 1. Lahenda võrrand Lahendus. Kirjutame võrrandi vormile

Teeme asendused:
Siis

Me asendame

Korrutage dx-ga: Jagage poolt x ja edasi Siis

Olles integreerinud võrrandi mõlemad pooled vastavate muutujate peale, on meil

või naastes vanade muutujate juurde, saame lõpuks

Näide 2.Lahenda võrrand Lahendus.Lase Siis

Jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga x2: Avame sulud ja korraldame terminid ümber:

Vanade muutujate juurde liikudes jõuame lõpptulemuseni:

Näide 3.Leidke võrrandi lahendus arvestades seda

Lahendus.Tavalise asendamise teostamine saame

või

või

See tähendab, et konkreetsel lahendusel on vorm Näide 4. Leidke võrrandi lahendus

Lahendus.

Näide 5.Leidke võrrandi lahendus Lahendus.

Iseseisev töö

Lahenduste leidmine eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrranditele (1-9).

Leia lahendus homogeensetele diferentsiaalvõrranditele (9-18).

6.2.3. Mõned esimest järku diferentsiaalvõrrandite rakendused

Radioaktiivse lagunemise probleem

Ra (raadiumi) lagunemise kiirus igal ajahetkel on võrdeline selle olemasoleva massiga. Leidke Ra radioaktiivse lagunemise seadus, kui on teada, et alghetkel oli Ra ja Ra poolväärtusaeg on 1590 aastat.

Lahendus. Olgu hetkel mass Ra x= x(t) g ja Siis on sumbumiskiirus Ra võrdne

Vastavalt probleemi tingimustele

Kus k

Eraldades muutujad viimases võrrandis ja integreerides, saame

kus

Et määrata C kasutame algtingimust: millal .

Siis ja seetõttu

Proportsionaalsustegur k alates määratud lisatingimus:

Meil on

Siit ja vajalik valem

Bakterite paljunemiskiiruse probleem

Bakterite paljunemise kiirus on võrdeline nende arvuga. Alguses oli 100 bakterit. 3 tunni jooksul nende arv kahekordistus. Leia bakterite arvu sõltuvus ajast. Mitu korda suureneb bakterite arv 9 tunni jooksul?

Lahendus. Lase x- bakterite arv korraga t. Siis vastavalt olukorrale

Kus k- proportsionaalsuskoefitsient.

Siit Seisundist on teada, et . Tähendab,

Lisatingimusest . Siis

Funktsioon, mida otsite:

Niisiis, millal t= 9 x= 800, st 9 tunni jooksul suurenes bakterite arv 8 korda.

Ensüümi koguse suurendamise probleem

Õllepärmi kultuuris on aktiivse ensüümi kasvukiirus võrdeline selle esialgse kogusega x. Ensüümi esialgne kogus a kahekordistus tunni jooksul. Leia sõltuvus

x(t).

Lahendus. Tingimuse järgi on protsessi diferentsiaalvõrrandil kuju

siit

Aga . Tähendab, C= a ja siis

Samuti on teada, et

Seega

6.3. TEIST JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRRADID

6.3.1. Põhimõisted

Definitsioon.Teist järku diferentsiaalvõrrand on seos, mis ühendab sõltumatu muutuja, soovitud funktsiooni ning selle esimese ja teise tuletise.

Erijuhtudel võib võrrandist puududa x, juures või y". Teist järku võrrand peab aga tingimata sisaldama y." Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt:

või võimaluse korral teise tuletise suhtes lahendatud kujul:

Nagu esimest järku võrrandi puhul, võib ka teist järku võrrandi puhul olla nii üld- kui ka erilahendused. Üldine lahendus on:

Konkreetse lahenduse leidmine

algtingimustel - antud

numbrid) kutsutakse Cauchy probleem. Geomeetriliselt tähendab see, et peame leidma integraalikõvera juures= y(x), antud punkti läbimine ja millel on puutuja selles punktis, mis on umbes

joondub positiivse telje suunaga Ox määratud nurk. e. (joonis 6.1). Cauchy probleemil on ainulaadne lahendus, kui võrrandi (6.10) parem pool, lakkamatu

on katkendlik ja sellel on pidevad osatuletised uh, uh" mõnes alguspunkti naabruses

Konstantide leidmiseks eralahendusse kaasatud, tuleb süsteem lahendada

Riis. 6.1. Integraalkõver

I. Tavalised diferentsiaalvõrrandid

1.1. Põhimõisted ja määratlused

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja x, vajalik funktsioon y ja selle tuletised või diferentsiaalid.

Sümboolselt kirjutatakse diferentsiaalvõrrand järgmiselt:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse tavaliseks, kui vajalik funktsioon sõltub ühest sõltumatust muutujast.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamine nimetatakse funktsiooniks, mis muudab selle võrrandi identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selles võrrandis sisalduva kõrgeima tuletise järjekord

Näited.

1. Vaatleme esimest järku diferentsiaalvõrrandit

Selle võrrandi lahenduseks on funktsioon y = 5 ln x. Tõepoolest, asendamine y" võrrandisse, saame identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon y = 5 ln x– on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

2. Vaatleme teist järku diferentsiaalvõrrandit y" - 5a" + 6y = 0. Funktsioon on selle võrrandi lahendus.

Tõesti,.

Asendades need avaldised võrrandisse, saame: , – identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite integreerimine on diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmise protsess.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend nimetatakse vormi funktsiooniks , mis sisaldab sama palju sõltumatuid suvalisi konstante kui võrrandi järjekord.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend on lahendus, mis saadakse suvaliste konstantide erinevate arvväärtuste üldlahendusest. Suvaliste konstantide väärtused leitakse argumendi ja funktsiooni teatud algväärtuste juures.

Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse graafikut nimetatakse integraalkõver.

Näited

1. Leidke konkreetne lahendus esimest järku diferentsiaalvõrrandile

xdx + ydy = 0, Kui y= 4 kl x = 3.

Lahendus. Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame

Kommenteeri. Integreerimise tulemusena saadud suvalist konstanti C saab esitada mis tahes kujul, mis sobib edasiste teisenduste jaoks. Sel juhul on ringi kanoonilist võrrandit arvesse võttes mugav suvalist konstanti C esitada kujul .

- diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Võrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele y = 4 kl x = 3 leitakse üldisest, asendades üldlahendiga algtingimused: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Asendades üldlahendisse C=5, saame x 2 + y 2 = 5 2 .

See on eriline lahendus diferentsiaalvõrrandile, mis on saadud üldlahendusest antud algtingimustes.

2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Selle võrrandi lahenduseks on mis tahes funktsioon kujul , kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, asendades võrranditesse , saame: , .

Järelikult on sellel diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendusi, kuna konstandi C erinevate väärtuste korral määrab võrdsus võrrandi erinevad lahendid.

Näiteks saate otsese asendamise abil kontrollida, kas funktsioonid toimivad on võrrandi lahendid.

Probleem, mille puhul peate leidma võrrandile konkreetse lahenduse y" = f(x,y) esialgset tingimust rahuldama y(x 0) = y 0, nimetatakse Cauchy probleemiks.

Võrrandi lahendamine y" = f(x,y), mis vastab esialgsele tingimusele, y(x 0) = y 0, nimetatakse Cauchy probleemi lahenduseks.

Cauchy probleemi lahendusel on lihtne geomeetriline tähendus. Tõepoolest, nende määratluste kohaselt lahendage Cauchy probleem y" = f(x,y) arvestades seda y(x 0) = y 0, tähendab võrrandi integraalkõvera leidmist y" = f(x,y) mis läbib antud punkti M 0 (x 0,y 0).

II. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

2.1. Põhimõisted

Esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand F(x,y,y") = 0.

Esimest järku diferentsiaalvõrrand sisaldab esimest tuletist ja ei sisalda kõrgemat järku tuletisi.

Võrrand y" = f(x,y) nimetatakse esimest järku võrrandiks, mis on lahendatud tuletise suhtes.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab ühte suvalist konstanti.

Näide. Mõelge esimest järku diferentsiaalvõrrandile.

Selle võrrandi lahendus on funktsioon.

Tõepoolest, asendades selle võrrandi selle väärtusega, saame

see tähendab 3x = 3x

Seetõttu on funktsioon mis tahes konstandi C võrrandi üldine lahendus.

Leidke sellele võrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y(1)=1 Algtingimuste asendamine x = 1, y = 1 võrrandi üldlahendisse, saame kust C=0.

Seega saame konkreetse lahenduse üldisest, asendades selle võrrandi saadud väärtuse C=0- privaatne lahendus.

2.2. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on järgmise kujuga võrrand: y"=f(x)g(y) või diferentsiaalide kaudu, kus f(x) Ja g(y)– määratud funktsioonid.

Nende jaoks y, mille jaoks võrrand y"=f(x)g(y) on võrdne võrrandiga, milles muutuja y on olemas ainult vasakul küljel ja muutuja x on ainult paremal. Nad ütlevad: "Eq. y"=f(x)g(y Eraldame muutujad."

Vormi võrrand nimetatakse eraldatud muutuja võrrandiks.

Võrrandi mõlema poole integreerimine Autor x, saame G(y) = F(x) + C on võrrandi üldlahend, kus G(y) Ja F(x)– mõned antiderivaadid vastavalt funktsioonide ja f(x), C suvaline konstant.

Algoritm eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

Näide 1

Lahenda võrrand y" = xy

Lahendus. Funktsiooni tuletis y" asendada see

eraldame muutujad

Integreerime võrdsuse mõlemad pooled:

Näide 2

2yy" = 1-3x2, Kui y 0 = 3 juures x 0 = 1

See on eraldatud muutuja võrrand. Kujutleme seda diferentsiaalides. Selleks kirjutame selle võrrandi ümber kujul Siit

Integreerides viimase võrdsuse mõlemad pooled, leiame

Algväärtuste asendamine x 0 = 1, y 0 = 3 me leiame KOOS 9=1-1+C, st. C = 9.

Seetõttu on vajalik osaline integraal või

Näide 3

Kirjutage võrrand punkti läbiva kõvera jaoks M(2;-3) ja millel on nurkkoefitsiendiga puutuja

Lahendus. Vastavalt seisundile

See on eraldatavate muutujatega võrrand. Jagades muutujad, saame:

Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame:

Kasutades algtingimusi, x = 2 Ja y = -3 me leiame C:

Seetõttu on nõutaval võrrandil vorm

2.3. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand y" = f(x)y + g(x)

Kus f(x) Ja g(x)- mõned täpsustatud funktsioonid.

Kui g(x)=0 siis nimetatakse lineaarset diferentsiaalvõrrandit homogeenseks ja selle kuju on: y" = f(x)y

Kui siis võrrand y" = f(x)y + g(x) nimetatakse heterogeenseks.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y on antud valemiga: kus KOOS– suvaline konstant.

Eelkõige siis, kui C = 0, siis on lahendus y = 0 Kui lineaarsel homogeensel võrrandil on vorm y" = ky Kus k on mingi konstant, siis on selle üldlahend kujul: .

Lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y + g(x) on antud valemiga ,

need. on võrdne vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahendi ja selle võrrandi konkreetse lahendi summaga.

Vormi lineaarse mittehomogeense võrrandi jaoks y" = kx + b,

Kus k Ja b- mõned arvud ja konkreetne lahendus on konstantne funktsioon. Seetõttu on üldlahendusel vorm .

Näide. Lahenda võrrand y" + 2a +3 = 0

Lahendus. Esitame võrrandit kujul y" = -2y - 3 Kus k = -2, b = -3Üldine lahendus on antud valemiga.

Seetõttu kus C on suvaline konstant.

2.4. Esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamine Bernoulli meetodil

Üldlahenduse leidmine esimest järku lineaarsele diferentsiaalvõrrandile y" = f(x)y + g(x) taandub kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks asendamise abil y=uv, Kus u Ja v- tundmatud funktsioonid x. Seda lahendusmeetodit nimetatakse Bernoulli meetodiks.

Algoritm esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

y" = f(x)y + g(x)

1. Sisestage asendus y=uv.

2. Eristage seda võrdsust y" = u"v + uv"

3. Asendus y Ja y" sellesse võrrandisse: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) või u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Rühmitage võrrandi liikmed nii, et u võtke see sulgudest välja:

5. Leia funktsioon sulust, võrdsustades selle nulliga

See on eraldatav võrrand:

Jagame muutujad ja saame:

Kus . .

6. Asendage saadud väärtus v võrrandisse (alates 4. sammust):

ja leidke funktsioon See on eraldatavate muutujatega võrrand:

7. Kirjutage üldlahendus kujul: , st. .

Näide 1

Leidke võrrandile konkreetne lahendus y" = -2y +3 = 0 Kui y=1 juures x = 0

Lahendus. Lahendame selle asendamise abil y=uv,.y" = u"v + uv"

Asendamine y Ja y" sellesse võrrandisse saame

Rühmitades võrrandi vasakule küljele teise ja kolmanda liikme, võtame välja ühisteguri u sulgudest välja

Võrdsustame sulgudes oleva avaldise nulliga ja pärast saadud võrrandi lahendamist leiame funktsiooni v = v(x)

Saame eraldatud muutujatega võrrandi. Integreerime selle võrrandi mõlemad pooled: Leia funktsioon v:

Asendame saadud väärtuse v võrrandisse saame:

See on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime võrrandi mõlemad pooled: Leiame funktsiooni u = u(x,c) Leiame üldise lahenduse: Leiame võrrandile konkreetse lahenduse, mis vastab algtingimustele y = 1 juures x = 0:

III. Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

3.1. Põhimõisted ja määratlused

Teist järku diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis sisaldab mitte kõrgemat kui teist järku tuletisi. Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt: F(x,y,y,y") = 0

Teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab kahte suvalist konstanti C 1 Ja C 2.

Teist järku diferentsiaalvõrrandi erilahendus on suvaliste konstantide teatud väärtuste üldlahendusest saadud lahendus C 1 Ja C 2.

3.2. Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos konstantsed koefitsiendid.

Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega nimetatakse vormi võrrandiks y" + py" +qy = 0, Kus lk Ja q- konstantsed väärtused.

Algoritm homogeensete konstantsete koefitsientidega teist järku diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks

1. Kirjutage diferentsiaalvõrrand kujul: y" + py" +qy = 0.

2. Loo selle karakteristlik võrrand, tähistades y" läbi r 2, y" läbi r, y 1-s: r 2 + pr + q = 0

Kas need on tuletise suhtes juba lahendatud või saab neid lahendada tuletise suhtes .

Intervalli tüüpi diferentsiaalvõrrandite üldlahendus X, mis on antud, saab leida, võttes selle võrdsuse mõlema poole integraali.

Me saame .

Kui vaatame määramata integraali omadusi, leiame soovitud üldlahenduse:

y = F(x) + C,

Kus F(x)- üks neist antiderivatiivsed funktsioonid f(x) vahepeal X, A KOOS- suvaline konstant.

Pange tähele, et enamiku probleemide korral on intervall Xära näita. See tähendab, et lahendus tuleb leida igaühe jaoks. x, mille jaoks ja soovitud funktsioon y, ja algne võrrand on mõistlik.

Kui teil on vaja arvutada diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimusele y(x 0) = y 0, siis pärast üldintegraali arvutamist y = F(x) + C, on siiski vaja määrata konstandi väärtus C = C 0, kasutades algtingimust. See tähendab, et konstant C = C 0 võrrandist määratud F(x 0) + C = y 0, ja diferentsiaalvõrrandi soovitud osalahend on järgmine:

y = F(x) + C 0.

Vaatame näidet:

Leiame diferentsiaalvõrrandile üldlahenduse ja kontrollime tulemuse õigsust. Leiame sellele võrrandile konkreetse lahenduse, mis rahuldaks algtingimust.

Lahendus:

Pärast antud diferentsiaalvõrrandi integreerimist saame:

.

Võtame selle integraali osade kaupa integreerimise meetodil:

See., on diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Veendumaks, et tulemus on õige, teeme kontrolli. Selleks asendame leitud lahendi antud võrrandiga:

.

See tähendab, millal algne võrrand muutub identiteediks:

seetõttu määrati diferentsiaalvõrrandi üldlahend õigesti.

Meie leitud lahendus on argumendi iga reaalväärtuse diferentsiaalvõrrandi üldine lahendus x.

Jääb välja arvutada konkreetne ODE lahendus, mis rahuldaks algtingimust. Teisisõnu on vaja arvutada konstandi väärtus KOOS, mille korral võrdsus on tõene:

.

.

Siis asendamine C = 2 ODE üldlahendisse saame diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse, mis rahuldab algtingimust:

.

Tavaline diferentsiaalvõrrand saab tuletise jaoks lahendada, jagades võrrandi kaks külge f(x). See teisendus on samaväärne, kui f(x) ei muutu mingil juhul nulliks x diferentsiaalvõrrandi integreerimisvahemikust X.

On tõenäolisi olukordi, kus mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X funktsioonid f(x) Ja g(x) muutuda samal ajal nulliks. Sest sarnased väärtused x diferentsiaalvõrrandi üldlahend on mis tahes funktsioon y, mis on neis määratletud, sest .

Kui mõne argumendi väärtuste puhul x ∈ X tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud juhul pole ODE-l lahendusi.

Kõigile teistele x intervallist X teisendatud võrrandist määratakse diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Vaatame näiteid:

Näide 1.

Leiame ODE-le üldise lahenduse: .

Lahendus.

Põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal on selge, et naturaallogaritmi funktsioon on defineeritud argumendi mittenegatiivsete väärtuste jaoks, seega avaldise määratluspiirkond ln(x+3) on vaheaeg x > -3 . See tähendab, et antud diferentsiaalvõrrand on loogiline x > -3 . Nende argumendi väärtuste jaoks avaldis x+3 ei kao, nii et saate tuletise ODE lahendada, jagades 2 osa arvuga x + 3.

Me saame .

Järgmisena integreerime saadud diferentsiaalvõrrandi, mis on lahendatud tuletise suhtes: . Selle integraali võtmiseks kasutame diferentsiaalmärgi liitmise meetodit.