Внимание!
   Има допълнителни теми за тази тема.
   Материали в специален раздел 555.
   За тези, които са силно "не много ..."
   И за тези, които са "много ...")

Аритметичната прогресия е поредица от числа, в които всяко число е по-голямо (или по-малко) от предходното със същото количество.

Тази тема често изглежда сложна и неразбираема. Индексите на буквите, n-тия термин на прогресията, разликата в прогресията - всичко това някак обърква, да ... Ще разберем значението на аритметичната прогресия и всичко ще се получи веднага.)

Концепцията за аритметична прогресия.

Аритметичната прогресия е много проста и ясна концепция. Съмнявате се? Напразно.) Вижте сами.

Ще напиша незавършена поредица от числа:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Можете ли да разширите този ред? Какви числа ще продължат за петте? Всеки ... ъ-ъ ..., накратко, всеки ще разбере, че числата 6, 7, 8, 9 и т.н. ще продължат.

Нека усложним задачата. Давам незавършена серия от числа:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Можете да хванете шаблона, да удължите серията и да се обадите 7-ми  номер на ред?

Ако осъзнаете, че това е числото 20, поздравявам ви! Вие не само сте се чувствали ключови точки на аритметичната прогресия,  но и успешно ги използва в бизнеса! Ако не сте го разбрали, четем.

И сега ще преведем основните точки от усещанията в математиката.)

Първият ключов момент.

Аритметичната прогресия се занимава с редове от числа.  Това е объркващо в началото. Свикнали сме да решаваме уравнения, да изграждаме графики и всичко това ... И след това разширете реда, намерете номера на реда ...

Няма за какво да се притеснявате. Просто прогресията е първото запознаване с нов раздел от математиката. Секцията се нарича "Редове" и работи с редове от числа и изрази. Свикнете с това.)

Вторият ключов момент.

При аритметична прогресия всяко число се различава от предходното със същата сума.

В първия пример тази разлика е една. Какъвто и номер да вземете, той е един повече от предишния. Във втория - три. Всяко число е три пъти по-голямо от предходното. Всъщност именно този момент ни дава възможност да хванем шаблона и да изчислим следващите числа.

Третият ключов момент.

Този момент не е поразителен, да ... Но много, много важен. Ето го: всяко число на прогресията стои на мястото си.  Има първо число, има седмо, има четиридесет и пето и т.н. Ако те са объркани така или иначе, моделът ще изчезне. Аритметичната прогресия също ще изчезне. Остава само серия от числа.

Това е целият смисъл.

Разбира се, в новата тема се появяват нови термини и символи. Трябва да ги познавате. В противен случай няма да разберете задачата. Например, трябва да решите нещо като:

Напишете първите шест термина от аритметичната прогресия (a n), ако a 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Вдъхновява?) Писма, някакви индекси ... И задачата, между другото - никъде не е по-проста. Просто трябва да разберете значението на термините и понятието. Сега ще овладеем този бизнес и ще се върнем към задачата.

Условия и нотация.

Аритметична прогресия  е поредица от числа, в които всяко число се различава от предходното със същата сума.

Това количество се нарича , Ще се справим с тази концепция по-подробно.

Разликата на аритметичната прогресия.

Разлика аритметична прогресия  е стойността, с която произволен брой прогресия по-голям  предишната.

Един важен момент. Моля, обърнете внимание на думата "Още".  Математически това означава, че се получава всяко число за прогресия чрез добавяне  разликата на аритметичната прогресия спрямо предходното число.

За да изчислим, да речем, втори  редове номера, е необходимо да първият  числото добавен  тази разлика на аритметичната прогресия. За изчисление пети  - разликата е необходима добавен  за четвъртата  добре и т.н.

Разлика аритметична прогресия  може да бъде положителен,  тогава всяко число от поредицата е истинско повече от предходната.  Тази прогресия се нарича увеличава.  Например:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Тук се получава всяко число чрез добавяне  положително число, +5 спрямо предходното.

Разликата може да бъде отрицателни,  тогава всеки номер на ред ще се окаже по-малко от предишното.  Тази прогресия се нарича (няма да повярвате!) намалява.

Например:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Тук се получава и всяко число чрез добавяне към предишното, но вече отрицателно число, -5.

Между другото, когато работите с прогресия, е много полезно незабавно да определите неговата същност - дали се увеличава или намалява. Много помага да се ориентирате в решението, да определите грешките си и да ги поправите, преди да е станало твърде късно.

Разлика аритметична прогресия  обозначен като правило от буквата г.

Как да намерите г  ? Много просто. Необходимо е да се отнеме от произволен брой редове предишен  номер. Изваждане. Между другото, резултатът от изваждането се нарича "разликата".)

Определете например г  за увеличаване на аритметичната прогресия:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Взимаме произволен брой от сериите, които искаме, например 11. Изваждаме от него предишен номер  т.е. 8:

Това е правилният отговор. За тази аритметична прогресия разликата е три.

Можете да го вземете произволен брой прогресия,  защото за конкретна прогресия d -винаги едно и също нещо.  Поне някъде в началото на реда, поне в средата, поне навсякъде. Не можете да вземете само първия номер. Само защото още първия ден   няма предишен.)

Между другото, знаейки това d \u003d 3, намирането на седмото число на тази прогресия е много просто. Добавете 3 към петото число - получаваме шестото, то ще е 17. Добавете три към шестото число, получаваме седмото число - двадесет.

дефинира г  за намаляване на аритметичната прогресия:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Припомням, че, независимо от знаците, да се определи г  нужда от който и да е номер вземете предишната.  Изберете произволен брой прогресии, например -7. Предишният е числото -2. След това:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Разликата на аритметичната прогресия може да бъде произволно число: цяло число, дробно, ирационално, всяко.

Други термини и обозначения.

Повиква се всеки номер на ред член на аритметичната прогресия.

Всеки член на прогресията има неговия номер.  Числата вървят строго по ред, без никакви трикове. Първо, второ, трето, четвърто и т.н. Например, в прогресия 2, 5, 8, 11, 14, ... два е първият срок, пет е вторият, единадесет е четвъртият, добре, разбирате ...) Моля, разберете ясно - самите номера  може да има абсолютно всякакви, цели, дробни, отрицателни, които са ужасни, но бройни числа  - строго в ред!

Как да напиша прогресия като цяло? Няма въпрос! Всеки номер на реда се записва като буква. По правило буквата се използва за означаване на аритметична прогресия. а, Номерът на члена се обозначава с индекса в долната дясна част. Членовете се пишат със запетая (или запетая), като този:

a 1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1е първото число a 3  - трета и т.н. Нищо сложно. Можете да напишете тази серия накратко така: (a n).

Има прогресии краен и безкраен.

Последна дума  прогресията има ограничен брой членове. Пет, тридесет и осем, колкото искате. Но - ограничено число.

безкраен  прогресия - има безкраен брой членове, както може би се досещате.)

Можете да напишете окончателната прогресия чрез серия като тази, всички членове и точка в края:

a 1, 2, 3, 4, 5.

Или така, ако има много членове:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

В кратък запис ще трябва допълнително да се посочи броят на членовете. Например (за двадесет членове), като този:

(a n), n \u003d 20

Безкрайната прогресия може да бъде разпозната по елипсата в края на реда, както в примерите в този урок.

Сега можете да решите задачите. Задачите са прости, чисто за разбиране на значението на аритметичната прогресия.

Примери за задачи по аритметична прогресия.

Ще анализираме подробно задачата, която е дадена по-горе:

1. Напишете първите шест членове на аритметичната прогресия (a n), ако a 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Превеждаме задачата на разбираем език. Дадена е безкрайна аритметична прогресия. Известно е второто число на тази прогресия: a 2 \u003d 5.  Разликата в прогресията е известна: d \u003d -2.5.  Трябва да намерите първи, трети, четвърти, пети и шести член на тази прогресия.

За по-голяма яснота ще напиша серия според условията на проблема. Първите шест членове, където вторият член са петимата:

a 1, 5, a 3, 4, 5, 6, ....

a 3 = a 2 + г

Заместник в изразяване a 2 \u003d 5  и d \u003d -2.5, Не забравяйте за минуса!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Третият срок е по-малък от втория. Всичко е логично. Ако числото е по-голямо от предходното отрицателен  стойност, тогава самото число ще бъде по-малко от предишното. Прогресията намалява. Добре, помислете.) Ние считаме четвъртия член на нашата серия:

а 4 = a 3 + г

а 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = а 4 + г

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

а 6 = a 5 + г

а 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Така че, третият до шестият член се изчисляват. Оказа се следната серия:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Остава да намерим първия член a 1  от известния втори. Това е стъпка в другата посока, отляво.) Следователно разликата в аритметичната прогресия г  не е необходимо да добавяте към a 2, и ограби:

a 1 = a 2 - г

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Това е всичко. Отговор за работа:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

По пътя отбелязвам, че решихме тази задача повтарящ се  начин. Тази страшна дума просто означава да търсиш член на прогресията по предходния (съседен) номер.  Други начини за работа с прогресия ще бъдат разгледани по-късно.

Един важен извод може да се направи от тази проста задача.

Ние не забравяйте:

Ако знаем поне един член и разликата на аритметичната прогресия, можем да намерим всеки член на тази прогресия.

Спомняте ли си? Този прост извод ни позволява да решим повечето проблеми на училищния курс по тази тема. Всички задачи се въртят около три основни параметъра: аритметичен член на прогресията, разлика в прогресията, номер на член на прогресията.  Това е всичко.

Разбира се, цялата предишна алгебра не се отменя.) Неравенствата, уравненията и други неща са прикрепени към прогресията. но върху самата прогресия  - Всичко се върти около три параметъра.

Например, помислете за някои популярни задачи по тази тема.

2. Запишете крайната аритметична прогресия като серия, ако n \u003d 5, d \u003d 0,4 и a 1 \u003d 3,6.

Тук всичко е просто. Всичко вече е дадено. Необходимо е да запомните как се считат членовете на аритметичната прогресия, да се броят и записват. Препоръчително е да не пропускате думите в условието на заданието: „окончателно“ и „ n \u003d 5". За да не се брои до пълен син цвят.) В тази прогресия има само 5 (пет) члена:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

а 4 = a 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

a 5 = а 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

Остава да запишем отговора:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Друга задача:

3. Определете дали числото 7 е член на аритметичната прогресия (a n), ако a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

Хм ... Кой знае? Как да определим нещо?

Как-как ... Да, запишете прогресията под формата на серия и вижте дали седемте са там или не! Ние считаме:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

а 4 = a 3 + d \u003d 6,5 + 1,2 \u003d 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Сега ясно се вижда, че сме само седем промъкна се  между 6,5 и 7,7! Седемте не попаднаха в нашата поредица от числа и следователно седемте няма да бъдат член на дадената прогресия.

Отговорът е не.

И тук е проблемът, базиран на истинската версия на GIA:

4. Изписват се няколко последователни члена на аритметичната прогресия:

...; 15; X; 9; 6; ...

Тук е записана поредица без край и начало. Без членски номера, без разлика г, Няма за какво да се притеснявате. За да разрешите задачата, е достатъчно да разберете значението на аритметичната прогресия. Гледаме и разбираме, че е възможно разберете  от този ред? Кои са трите основни параметъра?

Номери на членове? Тук няма нито едно число.

Но има три числа и - внимание! - дума "Пореден"  в състоянието. Това означава, че числата са в ред, без пропуски. Има ли две в този ред съседен  известни числа? Да има! Това са 9 и 6. Следователно можем да изчислим разликата на аритметичната прогресия! Отнемаме от шестте предишен  число, т.е. девет:

Останаха просто дреболии. Какво е предишното число за x? Петнадесет. Така X може лесно да се намери чрез просто добавяне. Към 15 добавете разликата на аритметичната прогресия:

Това е всичко. Отговорът е: x \u003d 12

Следните проблеми решаваме сами. Забележка: тези задачи не са за формули. Чисто за разбиране на значението на аритметичната прогресия.) Просто напишете серия с цифри и букви, погледнете и помислете.

5. Намерете първия положителен член на аритметичната прогресия, ако a 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.

6. Известно е, че числото 5.5 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Определете числото n на този член.

7. Известно е, че при аритметична прогресия a 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15.1. Намерете 3.

8. Изписват се няколко последователни члена на аритметичната прогресия:

...; 15.6; X; 3.4; ...

Намерете термина за прогресия, обозначен с буквата x.

9. Влакът започна да се движи от гарата, като равномерно увеличаваше скоростта с 30 метра в минута. Каква ще бъде скоростта на влака след пет минути? Дайте отговора в км / ч.

10. Известно е, че при аритметична прогресия a 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. Намерете 1.

Отговори (в безпорядък): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Това се получи? Чудесно! Можете да овладеете аритметичната прогресия на по-високо ниво в следващите уроци.

Не се получи всичко? Няма значение. В специален раздел 555 всички тези задачи са разглобени.) И, разбира се, е описана проста практическа техника, която веднага подчертава решението на такива задачи ясно, ясно, ясно.

Между другото, в пъзела за влака има два проблема, по които хората често се спъват. Единият е чисто прогресивен, а вторият е общ за всички проблеми в математиката и физиката също. Това е превод на измерения от едно в друго. Статията показва как да решите тези проблеми.

В този урок разгледахме елементарното значение на аритметичната прогресия и основните й параметри. Това е достатъчно, за да решите почти всички проблеми по тази тема. добави г  към числата напишете число, всичко ще бъде решено.

Решението „на пръсти” е много подходящо за много кратки парчета от редицата, както в примерите в този урок. Ако серията е по-автентична, изчисленията са сложни. Например, ако в проблем 9 във въпроса заменете пет минути  за тридесет и пет минути  задачата ще стане значително по-ясна.)

Има и задачи, които по същество са прости, но непоследователни в изчисленията, например:

Аритметичната прогресия е дадена (a n). Намерете 121, ако a 1 \u003d 3 и d \u003d 1/6.

И какво, ще добавим много пъти над 1/6 ?! Можеш ли да го убиеш !?

Можете.) Ако не знаете простата формула, чрез която подобни задачи могат да бъдат решени за минута. Тази формула ще бъде в следващия урок. И този проблем е решен там. След минута.)

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

  Можете да се запознаете с функции и производни.

Е, приятели, ако четете този текст, вътрешното ограничение на доказателствата ми казва, че все още не знаете какво е аритметичната прогресия, но наистина (не, така: Oooooo!) Искате да знаете. Следователно няма да ви измъчвам с дълги запознания и веднага ще се захвана с бизнеса.

Първо, няколко примера. Помислете за няколко набора от числа:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Какво общо имат всички тези набори? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. А именно: всеки следващ елемент се различава от предишния със същия номер.

Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всеки следващ по-голям от предишния. Във втория случай разликата между съседни числа вече е пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай корените обикновено са. Въпреки това, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, и $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, т.е. и в този случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $ \\ sqrt (2) $ (и не се страхувайте, че това число е нерационално).

И така: всички такива последователности се наричат \u200b\u200bаритметични прогресии. Даваме строга дефиниция:

Определение. Поредица от числа, в които всяко следващо се различава от предходното с абсолютно същото количество, се нарича аритметична прогресия. Самата стойност, с която числата се различават, се нарича разликата в прогресията и най-често се обозначава с буквата $ d $.

Обозначение: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - самата прогресия, $ d $ - нейната разлика.

И веднага няколко важни точки. Първо, прогресията се счита само поръчан  последователност на числата: те могат да четат строго в реда, в който са написани - и нищо друго. Не можете да пренареждате и разменяте номера.

Второ, самата последователност може да бъде крайна или безкрайна. Например, множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако напишете нещо в духа (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Елипсата след четирите, все пак, намеква, че доста голям брой продължава. Безкрайно много, например. :)

Искам също да отбележа, че прогресиите се увеличават и намаляват. Вече видяхме увеличаващи се - един и същ набор (1; 2; 3; 4; ...). Ето няколко примера за намаляващи прогресии:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Добре, добре: последният пример може да изглежда прекалено сложен. Но останалите, според мен, са ви ясни. Затова въвеждаме нови дефиниции:

Определение. Аритметичната прогресия се нарича:

1. увеличава се, ако всеки следващ елемент е по-голям от предишния;
2. намалява, ако напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

Освен това има така наречените „неподвижни“ последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).

Остава само един въпрос: как да разграничим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие всичко зависи от това какъв е знакът на числото $ d $, т.е. разлики в прогресията:

1. Ако $ d \\ gt 0 $, прогресията се увеличава;
2. Ако $ d \\ lt 0 $, прогресията очевидно намалява;
3. И накрая, има случай $ d \u003d 0 $ - в този случай цялата прогресия се свежда до неподвижна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; 1) ... и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата $ d $ за трите намаляващи прогресии, дадени по-горе. За да направите това, просто вземете всеки два съседни елемента (например първия и втория) и извадете от числото вдясно, числото отляво. Ще изглежда така:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Както можете да видите, и в трите случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, когато сме подредили повече или по-малко определенията, е време да разберем как се описват прогресиите и какви са техните свойства.

Членове на формулата за прогресия и рецидиви

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да бъдат заменени, те могат да бъдат номерирани:

\\ [\\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) \u003d \\ наляво \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ дясно \\) \\]

Отделните елементи на този набор се наричат \u200b\u200bчленове на прогресията. Те са посочени върху тях с помощта на число: първият член, вторият член и т.н.

В допълнение, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани с формулата:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Накратко, за да намерите $ n $ -тия термин на прогресия, трябва да знаете $ n-1 $ -th термин и разликата $ d $. Такава формула се нарича повтаряща се, защото с нейната помощ можете да намерите произволно число, като знаете само предишното (и всъщност - всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-сложна формула, която намалява всяко изчисление до първия мандат и разликата:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ вляво (n-1 \\ дясно) d \\]

Със сигурност вече сте се запознали с тази формула. Те обичат да го дават във всевъзможни справочници и разделители. И във всеки разумен учебник по математика тя излиза една от първите.

Въпреки това предлагам малко практика.

Задача номер 1. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия $ \\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) $, ако $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Решение. Значи, ние знаем първия термин $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 и разликата в прогресията $ d \u003d -5 $. Използваме току-що дадената формула и заместваме $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ и $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (n-1 \\ дясно) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (1-1 \\ дясно) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (2-1 \\ дясно) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (3-1 \\ дясно) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Отговор: (8; 3; −2)

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: прогресията ни намалява.

Разбира се, $ n \u003d 1 $ не може да бъде заменен - \u200b\u200bпървият термин вече ни е известен. Въпреки това, замествайки единицата, ние се уверихме, че дори за първия мандат формулата ни работи. В други случаи се стигна до банална аритметика.

Задача номер 2. Изпишете първите три термина от аритметичната прогресия, ако седмия му срок е −40, а седемнадесетият - −50.

Решение. Пишем състоянието на проблема с познати термини:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ наляво \\ (\\ начало (подравняване) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

\\ [\\ наляво \\ (\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ край (подравняване) \\ вдясно. \\]

Слагам знака на системата, защото тези изисквания трябва да бъдат изпълнени едновременно. И сега забелязваме, ако извадим първото от второто уравнение (имаме право да го направим, защото имаме система), тогава получаваме това:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ наляво (((a) _ (1)) + 6d \\ дясно) \u003d - 50- \\ наляво (-40 \\ дясно); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Просто така открихме разликата в прогресията! Остава да заменим намереното число във всяко от уравненията на системата. Например в първия:

\\ [\\ начало (матрица) ((а) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Даунарово \\\\ ((а) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((а) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ край (матрица) \\]

Сега, знаейки първия термин и разликата, остава да намерим втория и третия термин:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Готово! Проблемът е решен.

Отговор: (−34; −35; −36)

Обърнете внимание на любопитното свойство на прогресията, което открихме: ако вземем термините $ n $ th и $ m $ th и ги извадим един от друг, получаваме разликата на прогресията, пъти по-голяма от число $ n-m $:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ наляво (n-m \\ дясно) \\]

Просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решението на много проблеми при прогресията. Ето един забележителен пример за това:

Задача номер 3. Петият член на аритметичната прогресия е 8,4, а десетият му член е 14,4. Намерете петнадесетия член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4, и трябва да намерите $ ((a) _ (15)) $, отбелязваме следното:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Но от условието $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, следователно $ 5d \u003d 6 $, откъдето имаме:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Отговор: 20.4

Това е всичко! Нямаше нужда да правим никакви системи от уравнения и да броим първия термин и разликата - всичко беше решено буквално на няколко реда.

Сега нека разгледаме друг тип задача - да търсим отрицателни и положителни членове на прогресия. Не е тайна, че ако прогресията се увеличи, докато първият мандат е отрицателен, рано или късно в нея ще се появят положителни изрази. И обратно: членовете на намаляваща прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

Нещо повече, далеч не винаги е възможно този момент да се „опипа“ на челото, последователно сортирайки елементите. Често задачите са структурирани така, че без познаване на формулите изчисленията да отнемат няколко листа - просто ще заспим, докато не намерим отговора. Затова ще се опитаме да разрешим тези проблеми по-бърз начин.

Задача номер 4. Колко отрицателни израза в аритметичната прогресия са - 38,5; -35.8; ...?

Решение. И така, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38,5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35,8, откъдето веднага откриваме разликата:

Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият термин е отрицателен, така че наистина в един момент ще се натъкнем на положителни числа. Единственият въпрос е кога това ще се случи.

Нека се опитаме да разберем: колко дълго (т.е. до кое естествено число $ n $) остава отрицателността на термините:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Вдясно ((a) _ (1)) + \\ наляво (n-1 \\ дясно) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ наляво | \\ cdot 10 \\ вдясно. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Последният ред се нуждае от пояснение. Значи, знаем, че $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. От друга страна, ние сме доволни само от целочислените стойности на числото (освен това: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), така че най-разрешеното число е точно $ n \u003d 15 $, и в никакъв случай не е 16.

Задача номер 5. В аритметичната прогресия $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Намерете номера на първия положителен член на тази прогресия.

Това ще бъде точно същата задача като предишната, но ние не знаем $ ((a) _ (1)) $. Но съседните термини са известни: $ ((a) _ (5)) $ и $ ((a) _ (6)) $, така че лесно можем да намерим разликата в прогресията:

Освен това ще се опитаме да изразим петия термин по отношение на първия и разликата със стандартната формула:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Сега продължаваме по аналогия с предишната задача. Разбираме в кой момент от нашата последователност ще има положителни числа:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Минималното цяло число на това неравенство е числото 56.

Моля, обърнете внимание: в последната задача всичко се свеждаше до строго неравенство, така че опцията $ n \u003d 55 $ няма да ни подхожда.

Сега, след като научихме как да решаваме прости проблеми, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека проучим още едно много полезно свойство на аритметичните прогресии, което в бъдеще ще ни спести много време и неравностойни клетки. :)

Аритметични средни и равни отступи

Помислете за няколко последователни условия за увеличаване на аритметичната прогресия $ \\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) $. Нека се опитаме да ги маркираме в числовия ред:

Специално отбелязах произволни членове на $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не някои $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ и т.н. Защото правилото, за което ще говоря сега, работи еднакво за всички „сегменти“.

И правилото е много просто. Нека си припомним формулата за повторение и да я напишем за всички маркирани членове:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ край (подравняване) \\]

И какво? И фактът, че условията $ ((a) _ (n-1)) $ и $ ((a) _ (n + 1)) $ лежат на едно и също разстояние от $ ((a) _ (n)) $. И това разстояние е $ d $. Същото може да се каже и за условията $ ((a) _ (n-2)) $ и $ ((a) _ (n + 2)) $ - те също се премахват от $ ((a) _ (n)) $ същото разстояние, равно на $ 2d $. Можете да продължите до безкрайността, но картината илюстрира значението добре

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $ ((a) _ (n)) $, ако съседните числа са известни:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Изводихме великолепно твърдение: всеки член на аритметична прогресия е равен на средната аритметична стойност на съседните членове! Нещо повече: можем да отстъпим от нашите $ ((a) _ (n)) $ наляво и надясно не с една стъпка, а с $ k $ стъпки - и все пак формулата ще бъде вярна:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

Т.е. лесно можем да намерим някои $ ((a) _ (150)) $, ако знаем $ ((a) _ (100)) $ и $ ((a) _ (200)) $, тъй като $ (( а) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много задачи са специално „заточени“ за използване на средноаритметичната стойност. Обърнете внимание:

Задача номер 6. Намерете всички стойности на $ x $, за които числата $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ и $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ са последователни членове на аритметичната прогресия (в посочен ред).

Решение. Тъй като тези числа са членове на прогресия, средното аритметично условие е изпълнено за тях: централният елемент $ x + 1 $ може да се изрази чрез съседни елементи:

\\ [\\ начало (подравняване) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Резултатът беше класическо квадратно уравнение. Корените му: $ x \u003d 2 $ и $ x \u003d -3 $ - това са отговорите.

Отговор: −3; 2.

Задача номер 7. Намерете стойностите на $$, при които числата $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ съставят аритметична прогресия (в този ред).

Решение. Отново изразяваме средния термин чрез средноаритметичното на съседните членове:

\\ [\\ начало (подравняване) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ наляво | \\ cdot 2 \\ вдясно .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Отново квадратното уравнение. И отново два корена: $ x \u003d 6 $ и $ x \u003d 1 $.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на проблема извадите няколко брутални номера или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има един прекрасен трик, който ви позволява да проверите дали сме решили проблема правилно?

Да предположим, че в проблем № 6 получихме отговори - 3 и 2. Как мога да проверя дали тези отговори са верни? Нека просто ги заменим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ и $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), което би трябвало да е аритметична прогресия. Заместване $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ край (подравняване) \\]

Получих числата -54; -2; 50, които се различават по 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото се случва и с $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ край (подравняване) \\]

Отново прогресия, но с разлика от 27. Така проблемът се решава правилно. Желаещите могат да проверят втората задача самостоятелно, но трябва да кажа веднага: всичко също е там.

Като цяло, докато решавахме последните задачи, се натъкнахме на още един интересен факт, който също трябва да се запомни:

Ако три числа са такива, че второто е средноаритметичното на първото и последното, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „конструираме“ необходимите прогресии въз основа на състоянието на проблема. Но преди да направим този вид „конструкция“, трябва да обърнем внимание на друг факт, който пряко следва от вече обмисленото.

Групиране и сбор от елементи

Да се \u200b\u200bвърнем отново към числовата ос. Отбелязваме, че има няколко членове на прогресията, между които, може би. има много други членове:

Нека се опитаме да изразим „лявата опашка“ по отношение на $ ((a) _ (n)) $ и $ d $, а „дясната опашка“ по отношение на $ ((a) _ (k)) $ и $ d $. Много е просто:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Сега имайте предвид, че следните суми са равни:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ край (подравняване) \\]

Просто казано, ако вземем за начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакъв брой $ S $, и след това започнем да стъпваме от тези елементи в противоположни посоки (един към друг или обратно за премахване), тогава сумата от елементите, в които ще се спънем, също ще бъде равна  $ S $. Това може да бъде представено най-много графично:

Разбирането на този факт ще ни позволи да решим проблеми с коренно по-високо ниво на сложност от тези, които разгледахме по-горе. Например такива:

Задача номер 8. Определете разликата в аритметичната прогресия, при която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е най-малкото възможно.

Решение. Ще запишем всичко, което знаем:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ мин. \\ край (подравняване) \\]

Така че, ние не знаем разликата в прогресията на $ d $. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ може да бъде пренаписан, както следва:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ наляво (66 + d \\ дясно) \\ cdot \\ наляво (66 + 11d \\ дясно) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ наляво (d + 66 \\ дясно) \\ cdot \\ наляво (d + 6 \\ вдясно). \\ край (подравняване) \\]

За тези в резервоара: Взех общия фактор 11 от втората скоба. По този начин желаният продукт е квадратна функция по отношение на променливата $ d $. Следователно ние считаме функцията $ f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 11 \\ наляво (d + 66 \\ дясно) \\ наляво (d + 6 \\ дясно) $ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, тъй като ако отворите скобите, получаваме:

\\ [\\ начало (подравняване) & f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 11 \\ наляво (((г) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ дясно) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( г) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ край (подравняване) \\]

Както можете да видите, коефициентът с най-висок термин е 11 - това е положително число, така че ние наистина се занимаваме с парабола с клони нагоре:

   графика на квадратна функция - парабола

Забележка: тази парабола приема своята минимална стойност във върха си с абсцисата $ ((d) _ (0)) $. Разбира се, можем да изчислим тази абсциса според стандартната схема (има формулата $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), но би било по-разумно да забележим, че желаната върха лежи на оста симетрия на параболата, следователно точката $ ((d) _ (0)) $ е на еднакво разстояние от корените на уравнението $ f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 0 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ наляво (d + 66 \\ дясно) \\ cdot \\ наляво (d + 6 \\ дясно) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Ето защо не бързах да отворя скобите: в първоначалния си вид корените бяха много, много прости. Следователно абсцисата е равна на средноаритметичната стойност на числата −66 и −6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Какво ни дава откритото число? При него необходимия продукт взема най-малката стойност (между другото, ние все още не броихме $ ((y) _ (\\ min)) $ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата на първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)

Отговор: −36

Задача номер 9. Между числата $ - \\ frac (1) (2) $ и $ - \\ frac (1) (6) $, поставете три числа, така че те, заедно с дадените числа, да съставят аритметична прогресия.

Решение. Всъщност трябва да направим последователност от пет числа, а първото и последното число вече са известни. Определете липсващите числа с променливите $ x $, $ y $ и $ z $:

\\ [\\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) \u003d \\ наляво \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ вдясно \\ Обърнете внимание, че числото $ y $ е "средата" на нашата последователност - то е на еднакво разстояние от числата $ x $ и $ z $, а от числата $ - \\ frac (1) (2) $ и $ - \\ frac (1) ( 6) $. И ако не можем да получим $ y $ от числата $ x $ и $ z $, тогава ситуацията с краищата на прогресията е различна. Припомняме аритметичното средно:

Сега, знаейки $ y $, ще намерим останалите числа. Обърнете внимание, че $ x $ се намира между числата $ - \\ frac (1) (2) $ и току-що намерените $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. следователно

Като разсъждаваме по същия начин, намираме останалото число:

Готово! Намерихме и трите числа. Пишем ги в отговора в реда, в който те трябва да бъдат вмъкнати между оригиналните числа.

Отговор: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Задача номер 10. Между числата 2 и 42 поставете няколко числа, които заедно с дадените числа образуват аритметична прогресия, ако е известно, че сборът на първото, второто и последното от вмъкнатите числа е 56.

Решение. Още по-сложен проблем, който обаче се решава по същата схема като предишните, чрез средноаритметичното. Проблемът е, че не знаем колко конкретни числа да вмъкнем. Следователно, за определеност, приемаме, че след вмъкването на всичко ще има точно $ n $ числа, като първото от тях е 2, а последното 42. В този случай желаната аритметична прогресия може да бъде представена като:

\\ [\\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) \u003d \\ наляво \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( а) _ (n-1)); 42 \\ дясно \\) \\]

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Имайте предвид обаче, че числата $ ((a) _ (2)) $ и $ ((a) _ (n-1)) $ са получени от числата 2 и 42 в краищата с една стъпка един към друг, т.е. , до центъра на последователността. И това означава това

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Но тогава израза, написан по-горе, може да бъде пренаписан, както следва:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ наляво (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ дясно) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Знаейки $ ((a) _ (3)) $ и $ ((a) _ (1)) $, лесно можем да намерим разликата в прогресията:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ наляво (3-1 \\ дясно) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Остава само да намерим останалите членове:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Така вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на последователността - числото 42. Общо трябваше да се вмъкнат само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстови задачи с прогресии

В заключение бих искал да разгледам няколко сравнително прости задачи. Е, като прости: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са чели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат като жест. Независимо от това, точно такива проблеми попадат в изпита и изпита по математика, затова препоръчвам да се запознаете с тях.

Задача номер 11. Бригадата е произвела 62 части през януари, като през всеки следващ месец е произвеждала 14 части повече, отколкото в предишния. Колко части направи бригадата през ноември?

Решение. Очевидно е, че броят на частите, планирани по месеци, ще бъде нарастваща аритметична прогресия. И:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 14. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Ноември е 11-ият месец в годината, така че трябва да намерим $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Затова през ноември ще бъдат произведени 202 части.

Задача номер 12. През януари книгозавързващата работилница обвърза 216 книги, а всеки следващ месец тя обвърза с 4 книги повече от предишния. С колко книги се завърза работилницата през декември?

Решение. Всички еднакви:

$ \\ start (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 4. \\\\ \\ край (подравняване) $

Декември е последният, 12-и месец в годината, така че търсим $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Това е отговорът - 260 книги ще бъдат обвързани през декември.

Е, ако четете дотук, бързам да ви поздравя: успешно завършихте „курса за млад боец“ в аритметичните прогресии. Можете спокойно да преминете към следващия урок, където ще изучим формулата за сумата от прогресията, както и важни и много полезни последици от нея.

Аритметична и геометрична прогресия

Теоретична информация

	Аритметична прогресия	Геометрична прогресия
дефиниция	Аритметична прогресия a n  се нарича последователност, всеки член на която, започвайки от втория, е равен на предишния член, добавен към същото число г (г  - разлика в прогресиите)	Геометрична прогресия b n  се нарича последователност от нулеви числа, всеки член на която, като се започне от втория, е равен на предишния термин, умножен по едно и също число р (р  - знаменател на прогресията)
Формула за повторение	За всяко естествено п a n + 1 \u003d a n + d	За всяко естествено п b n + 1 \u003d b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула на N-тия член	a n \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Характерно свойство
Сума от n-първи членове

Примерни задания с коментари

Задача 1

При аритметична прогресия ( a n) a 1 = -6, a 2

По формулата на петия член:

a 22 = a 1  + d (22 - 1) \u003d a 1  + 21 d

По условие:

a 1  \u003d -6, тогава a 22  \u003d -6 + 21 d.

Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Отговорът е: a 22 = -48.

Задача 2

Намерете петия член на геометричната прогресия: -3; 6; ....

1-ви метод (използвайки формулата на n-термина)

По формулата на n-ия термин на геометрична прогресия:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

защото б 1 = -3,

2-ри метод (използвайки формулата за повторение)

Тъй като знаменателят на прогресията е -2 (q \u003d -2), тогава:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Отговорът е: b 5 = -48.

Задача 3

При аритметична прогресия ( a n) a 74 = 34; a 76  \u003d 156. Намерете седемдесет и петия член на тази прогресия.

За аритметична прогресия характерното свойство има формата .

От това следва:

.

Заменете данните във формулата:

Отговор: 95.

Задача 4

При аритметична прогресия ( a n) a n  \u003d 3n - 4. Намерете сумата от седемнадесет първи членове.

За да намерите сумата от n-първите членове на аритметичната прогресия, се използват две формули:

.

Кое е по-удобно в случая?

При условие, формулата на n-ия термин на първоначалната прогресия е известна ( a n) a n  \u003d 3n - 4. Можете да намерите веднага и a 1, и a 16  без да съм г. Затова използваме първата формула.

Отговор: 368.

Задача 5

При аритметична прогресия ( a n) a 1 = -6; a 2  \u003d -8. Намерете двадесет и втория член на прогресията.

По формулата на петия член:

a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = a 1  + 21г.

По условие, ако a 1  \u003d -6, тогава a 22  \u003d -6 + 21d. Необходимо е да се намери разликата в прогресиите:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Отговорът е: a 22 = -48.

Задача 6

Записват се няколко последователни термина на геометрична прогресия:

Намерете термина за прогресия, обозначен с буквата x.

Когато решаваме, използваме формулата на n-ия термин b n \u003d b 1 ∙ q n - 1  за геометрични прогресии. Първият член на прогресията. За да намерите знаменателя на прогресията q, трябва да вземете някой от тези членове на прогресията и да разделите на предишния. В нашия пример можем да вземем и разделим по. Получаваме това q \u003d 3. Вместо n заместваме 3 във формулата, тъй като е необходимо да намерим третия член на дадената геометрична прогресия.

Замествайки намерените стойности във формулата, получаваме:

.

Отговор :.

Задача 7

От аритметичните прогресии, определени с формулата на n-ия термин, изберете този, за който условието a 27 > 9:

Тъй като даденото условие трябва да бъде изпълнено за 27-ия член на прогресията, заменете 27 вместо n във всяка от четирите прогресии. В четвъртата прогресия получаваме:

.

Отговор: 4.

Задача 8

При аритметична прогресия a 1  \u003d 3, d \u003d -1,5. Посочете най-голямата стойност на n, за която има неравенство a n > -6.

При изучаване на алгебра в общообразователно училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови последователности, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметичната прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще бъдат използвани по-нататък при решаване на проблеми.

Известно е, че при някаква алгебраична прогресия 1-ви мандат е 6, а 7-ми термин е 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност на 7 членове.

Използваме формулата, за да определим неизвестния термин: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Заместваме в него познатите данни от условието, тоест числата a 1 и 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз лесно може да се изчисли разликата: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Така беше дадена първата част от проблема.

За да възстановите последователността до 7 термина, трябва да използвате дефиницията на алгебраичната прогресия, тоест 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Пример № 3: постигане на прогресия

Още повече усложняваме проблемното състояние. Сега е необходимо да се отговори на въпроса как да се намери аритметичната прогресия. Можете да дадете следния пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се състави алгебраична прогресия, така че да се поставят още три термина между тях.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете на какво място ще бъдат дадени числа в бъдеща прогресия. Тъй като между тях ще има още три термина, тогава 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. След като установим това, пристъпваме към проблема, който е подобен на предишния. Отново за n-ия термин използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Където: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Те не получиха целочислената стойност на разликата, но това е рационално число, така че формулите за алгебраична прогресия остават същите.

Сега добавяме намерената разлика към 1 и възстановяваме липсващите условия на прогресията. Получаваме: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, a 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, a 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, което съвпада с условието на проблема.

Пример № 4: първият член на прогресията

Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни проблеми беше известно първото число на алгебраичната прогресия. Сега помислете за задача от различен тип: нека се дадат две числа, където 15 \u003d 50 и 43 \u003d 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази последователност.

Формулите, които са били използвани досега, изискват знания за 1 и d. В условията на проблема с тези числа не се знае нищо. Независимо от това, ние изписваме изразите за всеки член, за които е налична информация: a 15 \u003d a 1 + 14 * d и 43 \u003d a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че проблемът се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесна за разрешаване чрез изразяване на 1 във всяко уравнение и след това сравняване на получените изрази. Първото уравнение: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; второто уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (след десетичната запетая се дават само 3 десетични знака).

Като знаете d, можете да използвате всеки от 2-те по-горе изрази за 1. Например, първото: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например да определите 43 срока на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че изчисленията са използвали закръгляне до хилядни.

Пример № 5: количество

Сега помислете за няколко примера с решения в размер на аритметичната прогресия.

Нека се даде числова прогресия на следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сумата от 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест последователно сумиране на всички числа, които компютърът ще направи, веднага щом човек натисне клавиша Enter. Проблемът обаче може да бъде решен в ума, ако обърнете внимание, че представената поредица от числа е алгебрична прогресия и разликата й е 1. Използвайки формулата за сумата, получаваме: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Интересно е да се отбележи, че този проблем се нарича „гаусски“, тъй като в началото на XVIII век известният германец, бидейки едва на 10 години, успя да го реши в съзнанието си за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебраичната прогресия, но забеляза, че ако добавите числата в краищата на последователността по двойки, винаги получавате един резултат, тоест 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... и тъй като от тези суми ще бъдат точно 50 (100/2), тогава за да получите верния отговор, просто умножете 50 по 101.

Пример № 6: сборът на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата от аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде равна сумата на нейните членове от 8 до 14.

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не отнема много време. Въпреки това се предлага този проблем да бъде решен чрез втория метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата от алгебрична прогресия между термините m и n, където n\u003e m са цели числа. И за двата случая изписваме два израза за сумата:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n\u003e m, очевидно е, че 2-тата сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим към него термина a m (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), получаваме необходимия отговор на проблема. Имаме: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). В този израз е необходимо формулите да бъдат заменени с a n и m. Тогава получаваме: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn \u003d 301.

Както се вижда от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-ия термин и формулата за сумата от множеството първи термини. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете състоянието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да прилагате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например, в примера за аритметична прогресия с разтвор № 6, може да се спре на формулата S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am и да раздели общия проблем на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините an и am).

Ако има съмнения относно резултата, се препоръчва да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Как да намерите аритметичната прогресия, разбрах. Ако погледнете, не е толкова трудно.

Проблемите в аритметичната прогресия вече са съществували в древни времена. Те се появиха и поискаха решение, тъй като имаха практическа нужда.

И така, в един от папирите на Древен Египет, който има математическо съдържание, - папирусът Ринда (XIX в. Пр.н.е.) - съдържа следната задача: разделете десет мерки за хляб на десет души, при условие че разликата между всеки от тях е една осма от мярката. “

И в математическите произведения на древните гърци има елегантни теореми, свързани с аритметичната прогресия. Например Александрийският циганин (II век), който състави много интересни задачи и добави четиринадесетата книга към „Началото“ на Евклид, формулира идеята: „При аритметична прогресия с четен брой членове, сборът на членовете на втората половина е по-голям от сбора на членовете на първата половина в квадрат 1 / 2 броя членове. "

Последователността а е обозначена. Номерата на една последователност се наричат \u200b\u200bнейните членове и обикновено се обозначават с букви с индекси, които указват серийния номер на този член (a1, a2, a3 ... четете: "1-ви", "2-ри", "3-ти" и т.н. ).

Последователността може да бъде безкрайна или крайна.

Но какво е аритметичната прогресия? Той се разбира като получен чрез добавяне на предишния термин (n) със същото число d, което е разликата в прогресията.

Ако d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, тогава подобна прогресия се счита за нарастваща.

Аритметичната прогресия се нарича крайна, ако се вземат предвид само няколко от нейните първи членове. С много голям брой членове това вече е безкраен прогрес.

Всяка аритметична прогресия се дава по следната формула:

an \u003d kn + b, докато b и k са някои числа.

Твърдението е абсолютно вярно, което е обратното: ако последователността е дадена с подобна формула, тогава това е точно аритметична прогресия, която има свойствата:

1. Всеки член на прогресията е средноаритметичната стойност на предишния член и следващия.
2. Обратното: ако, като се започне от 2-ри, всеки термин е средноаритметичната стойност на предходния и следващия, т.е. ако условието е изпълнено, тогава тази последователност е аритметична прогресия. Това равенство е в същото време знак за прогресия, поради което обикновено се нарича характерното свойство на прогресията.
     Теоремата, която отразява това свойство, е вярна по същия начин: последователността е аритметична прогресия, само ако това равенство е вярно за всеки член на последователността, като се започне от 2-ри.

Характерното свойство за всеки четири числа на аритметичната прогресия може да бъде изразено с формулата a + am \u003d ak + al, ако n + m \u003d k + l (m, n, k са числата на прогресията).

При аритметична прогресия всеки необходим (N-ти) термин може да бъде намерен по следната формула:

Например: първият термин (a1) в аритметична прогресия е даден и е равен на три, а разликата (d) е равна на четири. Трябва да намерите четиридесет и петия член на тази прогресия. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

Формулата an \u003d ak + d (n - k) ни позволява да определим n-ия термин на аритметична прогресия чрез който и да е от kth термини, при условие че е известен.

Сумата на членовете на аритметичната прогресия (предполага първите n членове на крайната прогресия) се изчислява, както следва:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Ако първият термин също е известен, тогава друга формула е удобна за изчисляване:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Сумата от аритметичната прогресия, която съдържа n членове, се изчислява, както следва:

Изборът на формули за изчисления зависи от условията на задачите и изходните данни.

Естествената серия от произволни числа, като 1,2,3, ..., n, ..., е най-простият пример за аритметична прогресия.

В допълнение към аритметичната прогресия има и геометрична прогресия, която има свои свойства и характеристики.