Инструкция за употреба

Запишете дадения логаритмичен израз. Ако изразът използва логаритъм 10, тогава неговият запис е съкратен и изглежда така: lg b е десетичният логаритъм. Ако логаритмът има числото e като основа, тогава напишете израза: ln b е естественият логаритъм. Разбира се, че резултатът от която и да е е степента, до която трябва да се повиши базовото число, за да се получи числото b.

Когато намерите сумата от две функции, просто трябва да ги разграничите на свой ред и да добавите резултатите: (u + v) "\u003d u" + v ";

Когато откриваме производната на произведението на две функции, е необходимо производната на първата функция да се умножи по втората и да се добави производната на втората функция, умножена по първата функция: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

За да се намери производната на коефициента на две функции, е необходимо от произведението на производната на дивидента, умножено по функцията на делителя, да се извади произведението на производната на делителя, умножено по функцията на дивидента, и всичко това разделено на функцията на делителя на квадрат. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Ако е дадена сложна функция, тогава е необходимо да се умножи производната на вътрешната функция и производната на външната. Нека y \u003d u (v (x)), тогава y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

Използвайки горното, можете да разграничите почти всяка функция. И така, нека разгледаме няколко примера:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * х));
Има проблеми и при изчисляването на производната в даден момент. Нека бъде дадена функцията y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), трябва да намерим стойността на функцията в точката x \u003d 1.
1) Намерете производната на функцията: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Изчислете стойността на функцията в дадената точка y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Свързани видеоклипове

Полезни съвети

Научете таблицата с елементарни производни. Това ще спести много време.

източници:

• производно на константа

И така, каква е разликата между ирационално уравнение и рационално? Ако неизвестната променлива е под знака на квадратния корен, тогава уравнението се счита за нерационално.

Инструкция за употреба

Основният метод за решаване на такива уравнения е изграждането на двете части уравнение  на площада. Въпреки това. естествено е, първото нещо, което трябва да направите, е да се отървете от знака. Технически този метод не е сложен, но понякога може да доведе до проблеми. Например уравнението v (2x-5) \u003d v (4x-7). Сравнявайки двете страни от него, получавате 2x-5 \u003d 4x-7. Не е трудно да се реши такова уравнение; x \u003d 1. Но числото 1 няма да бъде дадено уравнение, Защо? Заменете един в уравнението вместо стойността на х. И дясната и лявата страна ще съдържат изрази, които нямат смисъл, т.е. Тази стойност не е валидна за квадратния корен. Следователно 1 е външен корен и следователно това уравнение няма корени.

И така, ирационалното уравнение се решава с помощта на метода за подреждане на двете му части. И като решим уравнението, е необходимо да се отрежат външни корени. За да направите това, заменете намерените корени в оригиналното уравнение.

Помислете за още едно.
2x + vx-3 \u003d 0
Разбира се, това уравнение може да бъде решено по същия начин като предишното. Преместване на съединение уравнениекоито нямат квадратен корен от дясната страна и след това използвайте метода на квадратиране. решаване на полученото рационално уравнение и корени. Но друго, по-елегантно. Въведете нова променлива; vx \u003d y. Съответно получавате уравнение на формата 2y2 + y-3 \u003d 0. Това е обичайното квадратично уравнение. Намерете корените му; y1 \u003d 1 и y2 \u003d -3 / 2. На следващо място, решете две уравнение  vx \u003d 1; vx \u003d -3 / 2. Второто уравнение няма корени, от първото установяваме, че x \u003d 1. Не забравяйте за необходимостта от проверка на корените.

Разрешаването на идентичности е достатъчно просто. За това е необходимо да се направят идентични трансформации, докато се постигне целта. По този начин, използвайки най-простите аритметични операции, проблемът ще бъде решен.

Ще ви трябва

• - хартия;
• - химикалка.

Инструкция за употреба

Най-простото от такива преобразувания е алгебричното съкратено умножение (като квадратът на сумата (разлика), разликата на квадратите, сумата (разликата), кубът на сумата (разликата)). Освен това има много тригонометрични формули, които по същество са едни и същи идентичности.

Всъщност квадратът на сумата от два члена е равен на квадрата на първия плюс двойното произведение на първото и второто и плюс квадрата на втория, т.е. (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Опростете и двете

Общи принципи за решение

Променлив метод на замяна

Решение на интеграли от втори вид

Замяна на границите на интеграция

Изобщо не е лошо, нали? Докато математиците набират думи, за да ви дадат дълга, объркана дефиниция, нека разгледаме по-подробно тази проста и ясна.

  Числото e означава растеж

Числото e означава непрекъснат растеж. Както видяхме в предишния пример, e x ни позволява да свържем процента и времето: 3 години с увеличение от 100% е същото като 1 година с 300%, при условие на "сложна лихва".

Можете да замените всеки процент и стойности на времето (50% за 4 години), но е по-добре да определите процента като 100% за удобство (оказва се 100% за 2 години). Поради прехода към 100%, можем да се съсредоточим изключително върху времевия компонент:

e x \u003d e проценти * time \u003d e 1.0 * time \u003d e време

Очевидно e x означава:

• колко ще се увеличи приносът ми в x единици време (при 100% непрекъснат растеж).
• например след 3 интервала от време ще получа e 3 \u003d 20,08 пъти повече „gizmos“.

e x е мащабиращ фактор, показващ до какво ниво ще се развием в x времеви сегменти.

  Естественият логаритъм означава време

Естественият логаритъм е обратното на e, такъв причудлив термин за обратното. Говорейки за странности; на латински се нарича logarithmus naturali, оттук и съкращението ln.

И какво означава тази инверсия или обратното?

• e x ни позволява да зададем времето и да спечелим растеж.
• ln (x) ни позволява да вземем растеж или доходи и да разберем времето, необходимо за получаването му.

Например:

• e 3 е равно на 20.08. След три периоди от време ще имаме 20,08 пъти повече от това, с което започнахме.
• ln (20.08) ще бъде приблизително 3. Ако се интересувате от растеж 20.08 пъти, ще ви трябват 3 времеви периода (отново, при условие на сто процентов непрекъснат растеж).

Все още четете? Естественият логаритъм показва времето, необходимо за достигане на желаното ниво.

  Тази нестандартна логаритмична оценка

Преминахте през логаритми - това са странни създания. Как успяха да превърнат умножението в допълнение? И деление на изваждане? Да видим.

На какво е ln (1) равен? Интуитивно, въпросът е следният: колко време трябва да чакам, за да получа 1 пъти повече от това, което имам?

Нула. Нула. Изобщо не. Вече имате това веднъж. Не е нужно време да се стигне от ниво 1 на пътя до ниво 1.

• ln (1) \u003d 0

Е, какво ще кажем за дробната стойност? След колко ще имаме 1/2 от наличното количество? Знаем, че със сто процента непрекъснат растеж ln (2) означава времето, необходимо за удвояване. Ако ние обратно време  (т.е. изчакайте отрицателно количество време), тогава получаваме половината от това, което имаме.

• ln (1/2) \u003d -ln (2) \u003d -0.693

Логично, нали? Ако се върнем назад (време назад) с 0,693 секунди, ще намерим половината налична сума. По принцип можете да обърнете фракцията и да вземете отрицателна стойност: ln (1/3) \u003d -ln (3) \u003d -1.09. Това означава, че ако се върнем в миналото с 1,09 пъти, ще намерим само една трета от текущото число.

Добре, ами логаритъмът на отрицателно число? Колко време отнема да "отглежда" колония от бактерии от 1 до -3?

Това е невъзможно! Не можете да получите отрицателен брой бактерии, нали? Можете да получите максималната (ъъ ... минимална) нула, но не можете да получите отрицателното число на тези малки същества. Отрицателният брой бактерии просто няма смисъл.

• ln (отрицателен номер) \u003d неопределен

„Неопределен“ означава, че няма интервал от време, който би трябвало да изчака, за да получи отрицателна стойност.

  Логаритмичното умножение е просто писък

Колко време ще отнеме да расте четири пъти? Разбира се, можете просто да вземете ln (4). Но е твърде просто, ще тръгнем по другия път.

Можете да си представите четирикратен растеж като удвояване (изисква ln (2) единици време) и след това отново удвояване (изискващо още ln (2) единици време):

• Време за 4-кратен растеж \u003d ln (4) \u003d Време за двойни и след това отново удвояване \u003d ln (2) + ln (2)

Това е интересно. Всеки индикатор за растеж, да речем, 20, може да се счита за удвояване веднага след 10-кратно увеличение. Или растеж 4 пъти, а след това 5 пъти. Или утрояване и след това увеличение от 6.666 пъти. Вижте модела?

• ln (a * b) \u003d ln (a) + ln (b)

Логаритъмът на A пъти B е log (A) + log (B). Това отношение веднага има смисъл, ако работите по отношение на растеж.

Ако се интересувате от 30-кратен растеж, можете да изчакате ln (30) на едно заседание или можете да изчакате ln (3) да се утрои, а след това ln (10) да утрои. Крайният резултат е същият, така че, разбира се, времето трябва да остане постоянно (и остава).

Ами разделението? По-конкретно, ln (5/3) означава: колко време ще отнеме 5 пъти и след това ще получите 1/3 от това?

Страхотен, 5x растеж е ln (5). 1/3 пъти растежът ще отнеме-ln (3) единици време. По този начин,

• ln (5/3) \u003d ln (5) - ln (3)

Това означава: оставете го да расте 5 пъти и след това „върнете се назад във времето“ до момента, в който ще остане само една трета от тази сума, така че да получите 5/3 растеж. Като цяло се оказва

• ln (a / b) \u003d ln (a) - ln (b)

Надявам се, че странната аритметика на логаритмите започва да има смисъл за вас: умножението на показателите за растеж се превръща в добавяне на единици време за растеж, а разделението се превръща в изваждане на единици време. Няма нужда да помните правилата, опитайте се да ги разберете.

  Използване на естествения логаритъм на произволен растеж

„Разбира се - казвате,„ всичко е добре, ако растежът е 100%, но какво ще кажете за 5%, които получавам? “

Няма проблем. "Времето", което изчисляваме с помощта на ln (), всъщност е комбинация от лихвен процент и време, същият X от уравнението e x. Просто решихме да определим процента като 100% за простота, но сме свободни да използваме всякакви числа.

Да предположим, че искаме да постигнем 30-кратен растеж: вземете ln (30) и вземете 3.4 Това означава:

• e x \u003d растеж
• д 3.4 \u003d 30

Очевидно това уравнение означава „100% възвръщаемост за 3,4 години дава 30-кратен ръст“. Можем да напишем това уравнение в следната форма:

• e x \u003d e оферта * време
• e 100% * 3.4 години \u003d 30

Можем да променим стойностите на „rate“ и „time“, ако само rate * time остане 3.4. Например, ако се интересуваме от 30-кратен растеж - колко ще трябва да чакаме при лихвен процент от 5%?

• ln (30) \u003d 3.4
• процент * време \u003d 3,4
• 0,05 * време \u003d 3,4
• време \u003d 3,4 / 0,05 \u003d 68 години

Причината ми е така: "ln (30) \u003d 3,4, което означава, че със 100% ръст ще са необходими 3,4 години. Ако удвоя темповете на растеж, необходимото време ще бъде наполовина."

• 100% за 3.4 години \u003d 1.0 * 3.4 \u003d 3.4
• 200% за 1,7 години \u003d 2,0 * 1,7 \u003d 3,4
• 50% за 6,8 години \u003d 0,5 * 6,8 \u003d 3,4
• 5% за 68 години \u003d .05 * 68 \u003d 3.4.

Страхотно, нали? Естественият логаритъм може да се използва с всякаква стойност на лихвения процент и време, тъй като техният продукт остава постоянен. Можете да местите стойностите на променливите както искате.

  Страхотен пример: Правило на седемдесет и две

Правилото на седемдесет и две е математическа техника, която ви позволява да прецените колко време ще отнеме парите ви. Сега ще го извадим (да!), И освен това ще се опитаме да разберем неговата същност.

Колко време ще ви отнеме да удвоите парите си със 100% растеж годишно?

Op-па. Използвахме естествения логаритъм за случая на непрекъснат растеж, а сега говорите за годишно начисляване? Дали тази формула ще стане неподходяща за такъв случай? Да, ще бъде, но за реални лихвени проценти като 5%, 6% или дори 15%, разликата между годишното изчисляване на лихвата и непрекъснатия растеж ще бъде малка. Така че груба оценка работи, мм, груба, така че ще се преструваме, че имаме напълно непрекъснато зареждане.

Сега въпросът е прост: Колко бързо можете да се удвоите със 100% ръст? ln (2) \u003d 0.693. Отнема 0,693 единици време (в нашия случай години), за да удвоим количеството си с непрекъснат растеж от 100%.

И така, какво ще стане, ако лихвеният процент не е 100%, а, да речем, 5% или 10%?

Лесно! Тъй като офертата * време \u003d 0,693, ще удвоим сумата:

• процент * време \u003d 0,693
• време \u003d 0,693 / процент

Оказва се, че ако ръстът е 10%, ще са необходими 0,693 / 0,10 \u003d 6,93 години, за да се удвои.

За да опростим изчисленията, нека умножим и двете части по 100, тогава можем да кажем „10“, а не „0.10“:

• време на удвояване \u003d 69,3 / процент, където процентът се изразява като процент.

Сега редът се удвоява със скорост 5%, 69.3 / 5 \u003d 13.86 години. 69.3 обаче не е най-удобният дивидент. Нека изберем близко число, 72, което е удобно разделено на 2, 3, 4, 6, 8 и други числа.

• удвояване на времето \u003d 72 / курс

което е правило на седемдесет и две. Всичко се шие на закрито.

Ако трябва да намерите време за утрояване, можете да използвате ln (3) ~ 109,8 и да получите

• време на утрояване \u003d 110 / курс

Което е друго полезно правило. Правило 72 се прилага за растеж на лихвите, растеж на населението, бактериални култури и всичко, което расте експоненциално.

Какво следва?

Надявам се, че естественият логаритъм вече има смисъл за вас - той показва времето, необходимо за растежа на произволно число с експоненциален растеж. Мисля, че се нарича естествено, защото e е универсална мярка за растеж, така че ln може да се счита за универсален начин за определяне колко време е необходимо за растеж.

Всеки път, когато видите ln (x), не забравяйте "времето, необходимо за увеличаване на X пъти." В следващата статия ще опиша e и ln на куп, така че свежият аромат на математиката ще изпълни въздуха.

  Добавка: Естественият логаритъм на e

Бърз тест: колко ще бъде ln (e)?

• математическият робот ще каже: тъй като те са определени като инверсия един към друг, очевидно е, че ln (e) \u003d 1.
• разбиращ човек: ln (e) е времето, за да нараснат "e" пъти (около 2.718). Но числото e само по себе си е мярка за растеж с коефициент 1, така че ln (e) \u003d 1.

Мислете ясно.

Логаритмични изрази, примери за решение. В тази статия ще разгледаме проблемите, свързани с решаването на логаритми. Задачите повдигат въпроса за намиране на значението на израза. Трябва да се отбележи, че понятието логаритъм се използва в много задачи и да се разбере значението му е изключително важно. Що се отнася до Единия държавен изпит, логаритъмът се използва при решаване на уравнения, в приложени задачи, а също и в задачи, свързани с изучаването на функции.

Ето няколко примера за разбиране на самото значение на логаритъма:

Основна логаритмична идентичност:

Свойства на логаритмите, които винаги трябва да запомните:

* Логаритъмът на продукта е равен на сумата от логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на коефициента (фракцията) е равен на разликата на логаритмите на факторите.

* * *

* Логаритъмът на степента е равен на произведението на експонента и логаритъмът на неговата основа.

* * *

* Преход към нова фондация

* * *

Още имоти:

* * *

Изчисляването на логаритмите е тясно свързано с използването на свойствата на експонентите.

Ние изброяваме някои от тях:

Същността на това свойство е, че когато числителят се прехвърли в знаменателя и обратно, знакът на експонента се променя на обратното. Например:

Последицата от този имот:

* * *

При повишаване на мощност до мощност основата остава същата и индикаторите се умножават.

* * *

Както видяхте, самата концепция за логаритъм е проста. Основното е, че е необходима добра практика, която дава определено умение. Разбира се, са необходими познания по формулите. Ако умението за преобразуване на елементарни логаритми не се формира, тогава при решаването на прости задачи лесно можете да направите грешка.

Практикувайте, решавайте първо най-простите примери от курса по математика, след което преминете към по-сложни. В бъдеще определено ще покажа как се решават „грозните“ логаритми, няма да има такива в USE, но те представляват интерес, не пропускайте!

Това е всичко! Успех за вас!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще Ви бъда благодарен, ако говорите за сайта в социалните мрежи.

И така, пред нас са силите на две. Ако вземете число от долния ред, лесно можете да намерите степента, в която трябва да повишите двойка, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повишите две до четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повишите две до шеста степен. Това може да се види от таблицата.

И сега - всъщност, определението на логаритъм:

Основният логаритъм на аргумента x е степента, до която трябва да се повиши числото a, за да се получи числото x.

Обозначение: log a x \u003d b, където a е основата, x е аргументът, b всъщност е логаритъмът.

Например, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (логаритъмът на основата 2 от 8 е три, защото 2 3 \u003d 8). Със същия успех, лог 2 64 \u003d 6, тъй като 2 6 \u003d 64.

Операцията за намиране на логаритъм на число на дадена основа се нарича логаритъм. И така, ние допълваме нашата таблица с нов ред:

За съжаление, не всички логаритми се считат за толкова лесни. Например, опитайте се да намерите дневник 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката подсказва, че логаритъмът ще лежи някъде на сегмента. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат \u200b\u200bирационални: десетичните цифри могат да се пишат безкрайно и те никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже нерационален, по-добре е да го оставите по този начин: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (база и аргумент). Мнозина отначало объркват къде е основата и къде е спорът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от дефиницията на логаритъм. Запомнете: логаритъм е степен, в която основата трябва да бъде издигната, за да се получи аргумент. Това е основата, която е повдигната до силата - на снимката тя е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е отдолу! Разказвам това прекрасно правило на учениците си на първия урок - и няма объркване.

Разбрахме определението - остава да научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака на дневника. Като начало, отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

1. Аргументът и базата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от определянето на степента на рационален индикатор, до която е редуцирано определението на логаритъм.
2. Основата трябва да е различна от тази, тъй като единицата остава до всяка степен една. Поради това въпросът "до каква степен трябва да се повдигне единица, за да получи двойка" е безсмислен. Няма такава степен!

Повикват се такива ограничения валиден диапазон  (DHS). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Обърнете внимание, че няма ограничение за числото b (стойността на логаритъм). Например логаритъмът може да е отрицателен: log 2 0,5 \u003d −1, защото 0,5 \u003d 2 -1.

Сега обаче ние разглеждаме само числови изрази, при които не е необходимо да се знае логистичното линейно диференциално уравнение. Всички ограничения вече се вземат предвид от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенства отидат, изискванията на ODZ ще станат задължителни. В края на краищата основата и аргументът могат да бъдат доста слаби конструкции, които не е задължително да съответстват на горните ограничения.

Сега помислете за общата схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

1. Представете база a и аргумент x като мощност с най-малката възможна база, по-голяма от една. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;
2. Решете уравнението за променлива b: x \u003d a b;
3. Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже нерационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването базата да е повече от една е много уместно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Аналогично с десетичните дроби: ако веднага ги преведете в обикновени дроби, ще има много пъти по-малко грешки.

Нека да видим как работи тази схема с конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

1. Представете си основата и аргумента като степен на петте: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Ние съставяме и решаваме уравнението:
   log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Получих отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

Задача. Изчислете логаритъм: лог 4 64

1. Представяме основата и аргумента като сила на две: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Ние съставяме и решаваме уравнението:
      log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Получих отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

1. Представяме основата и аргумента като сила на две: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Ние съставяме и решаваме уравнението:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Получих отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

1. Представяме основата и аргумента като степен на седем: 7 \u003d 7 1; 14 не се проявява като сила на седем, тъй като 7 1< 14 < 7 2 ;
2. От предишния параграф следва, че логаритъмът не се счита;
3. Отговорът е непроменен: дневник 7 14.

Кратка бележка към последния пример. Как да се уверите, че числото не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разпределете в прости фактори. Ако в разширението има поне два различни фактора, числото не е точна мощност.

Задача. Разберете дали точните сили на число са: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - точната степен, защото има само един фактор;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - точната степен;
  35 \u003d 7 · 5 - отново не е точна степен;
  14 \u003d 7 · 2 - отново не е точна степен;

Отбелязваме също, че самите прайдове винаги са точни степени на себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

Десетичният логаритъм на аргумента x е основен 10 логаритъм, т.е. силата да се вдигне числото 10, за да се получи числото x. Обозначение: log x.

Например, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебник се намери фраза като „Намери lg 0.01“, имайте предвид, че това не е печатна грешка. Това е десетичният логаритъм. Ако обаче не сте запознати с тази нотация, винаги можете да я пренапишете:
  log x \u003d log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичната.

Естествен логаритъм

Има още един логаритъм, който има своя собствена нотация. В известен смисъл тя е дори по-важна от десетичната. Това е естествен логаритъм.

Естественият логаритъм на аргумента x е базовият логаритъм на e, т.е. степента, до която трябва да се повиши числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x.

Мнозина ще попитат: какво друго е числото e? Това е нерационално число, точният му смисъл не може да бъде намерен и записан. Ще дам само първите цифри от него:
e \u003d 2.718281828459 ...

Няма да навлизаме задълбочено в това какво е това число и защо е необходимо. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
  ln x \u003d log e x

Така ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. Като цяло естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единици: ln 1 \u003d 0.

За естествените логаритми са верни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.

Логаритъмът на числото b (b\u003e 0) в основата a (a\u003e 0, a ≠ 1)  Е показател, до който трябва да се повиши числото a, за да се получи b.

Основният 10 логаритъм на b може да бъде записан като lg (b), а основният логаритъм на e (естественият логаритъм) е   ln (b).

Често се използва за решаване на проблеми с логаритми:

Свойства на логаритъм

Има четири основни свойства на логаритъм.

Нека a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 и y\u003e 0.

Свойство 1. Логаритъм на продукта

Логаритъм на продукта  равна на сумата от логаритмите:

log a (x ⋅ y) \u003d log a x + log a y

Свойство 2. Логаритъм на коефициента

Логаритъм на частното  равна на разликата на логаритмите:

log a (x / y) \u003d log a x - log a y

Свойство 3. Логаритъм на степен

Логаритъм на степен  равен на произведението на степента по логаритъм:

Ако основата на логаритъма е в степен, тогава се прилага друга формула:

Свойство 4. Логаритъм на корена

Това свойство може да бъде получено от свойството на логаритъм на степента, тъй като коренът на n-та степен е равен на степен 1 \u200b\u200b/ n:

Формулата за преминаване от логаритъм в една основа към логаритъм в друга основа

Тази формула често се използва и при решаване на различни задачи върху логаритмите:

Специален случай:

Сравнение на логаритми (неравенства)

Да предположим, че имаме 2 функции f (x) и g (x) при логаритми със същите бази и между тях има знак за неравенство:

За да ги сравните, първо трябва да разгледате основата на логаритмите на a:

• Ако a\u003e 0, тогава f (x)\u003e g (x)\u003e 0
• Ако 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Как да решим проблемите с логаритми: примери

Логаритъм Джобс  включени в изпита по математика за 11 клас в задача 5 и задача 7, можете да намерите задачи с решения на нашия уебсайт в съответните раздели. Също така задачите с логаритми се намират в банката от задачи по математика. Можете да намерите всички примери чрез търсене в сайта.

Какъв е логаритъмът

Логаритмите винаги са се считали за сложна тема в училищния курс по математика. Има много различни дефиниции на логаритъма, но повечето учебници по някаква причина използват най-сложните и неуспешни от тях.

Ще определим логаритъма просто и ясно. За да направите това, съставете таблица:

И така, пред нас са силите на две.

Логаритми - свойства, формули, как да решим

Ако вземете число от долния ред, лесно можете да намерите степента, в която трябва да повишите двойка, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повишите две до четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повишите две до шеста степен. Това може да се види от таблицата.

И сега - всъщност, определението на логаритъм:

въз основа на аргумент x, това е степента, до която трябва да се повиши числото a, за да се получи числото x.

Обозначение: log a x \u003d b, където a е основата, x е аргументът, b всъщност е логаритъмът.

Например, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (логаритъмът на основата 2 от 8 е три, тъй като 2 3 \u003d 8). Със същия успех, лог 2 64 \u003d 6, тъй като 2 6 \u003d 64.

Операцията по намиране на логаритъм на число на дадена основа се нарича. И така, ние допълваме нашата таблица с нов ред:

За съжаление, не всички логаритми се считат за толкова лесни. Например, опитайте се да намерите лог 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката предполага, че логаритъмът ще лежи някъде на сегмента. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат \u200b\u200bирационални: десетичните цифри могат да се пишат безкрайно и те никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже нерационален, по-добре е да го оставите по този начин: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (база и аргумент). Мнозина отначало объркват къде е основата и къде е спорът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от дефиницията на логаритъм. Запомнете: логаритъм е степен, в която основата трябва да бъде издигната, за да се получи аргумент. Това е основата, която е повдигната до силата - на снимката тя е подчертана в червено. Оказва се, че основата винаги е отдолу! Разказвам това прекрасно правило на учениците си на първия урок - и няма объркване.

Как да броим логаритми

Разбрахме определението - остава да научим как да броим логаритми, т.е. отървете се от знака на дневника. Като начало, отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

1. Аргументът и базата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от определянето на степента на рационален индикатор, до която е редуцирано определението на логаритъм.
2. Основата трябва да е различна от тази, тъй като единицата остава до всяка степен една. Поради това въпросът "до каква степен трябва да се повдигне единица, за да получи двойка" е безсмислен. Няма такава степен!

Повикват се такива ограничения валиден диапазон  (DHS). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Обърнете внимание, че няма ограничение за числото b (стойността на логаритъм). Например логаритъмът може да е отрицателен: log 2 0,5 \u003d −1, защото 0,5 \u003d 2 -1.

Сега обаче ние разглеждаме само числови изрази, при които не е необходимо да се знае логистичното линейно диференциално уравнение. Всички ограничения вече се вземат предвид от съставителите на задачите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенства отидат, изискванията на ODZ ще станат задължителни. В края на краищата основата и аргументът могат да бъдат доста слаби конструкции, които не е задължително да съответстват на горните ограничения.

Сега помислете за общата схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

1. Представете база a и аргумент x като мощност с най-малката възможна база, по-голяма от една. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните дроби;
2. Решете уравнението за променлива b: x \u003d a b;
3. Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже нерационален, това ще се види още на първата стъпка. Изискването базата да е повече от една е много уместно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Аналогично с десетичните дроби: ако веднага ги преведете в обикновени дроби, ще има много пъти по-малко грешки.

Нека да видим как работи тази схема с конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

1. Представете си основата и аргумента като степен на петте: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Ние съставяме и решаваме уравнението:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

2. Получих отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

Задача. Изчислете логаритъм: лог 4 64

1. Представяме основата и аргумента като сила на две: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
2. Ние съставяме и решаваме уравнението:
   log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
3. Получих отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

1. Представяме основата и аргумента като сила на две: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
2. Ние съставяме и решаваме уравнението:
   log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
3. Получих отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

1. Представяме основата и аргумента като степен на седем: 7 \u003d 7 1; 14 не се проявява като сила на седем, тъй като 7 1< 14 < 7 2 ;
2. От предишния параграф следва, че логаритъмът не се счита;
3. Отговорът е непроменен: дневник 7 14.

Кратка бележка към последния пример. Как да се уверите, че числото не е точна степен на друго число? Много просто - просто го разпределете в прости фактори. Ако в разширението има поне два различни фактора, числото не е точна мощност.

Задача. Разберете дали точните сили на число са: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - точната степен, защото има само един фактор;
  48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
  81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - точната степен;
  35 \u003d 7 · 5 - отново не е точна степен;
  14 \u003d 7 · 2 - отново не е точна степен;

Отбелязваме също, че самите прайдове винаги са точни степени на себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и обозначение.

от аргумент х е логаритъмът 10 на основа, т.е. силата да се вдигне числото 10, за да се получи числото x. Обозначение: log x.

Например, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебник се намери фраза като „Намери lg 0.01“, имайте предвид, че това не е печатна грешка. Това е десетичният логаритъм. Ако обаче не сте запознати с тази нотация, винаги можете да я пренапишете:
  log x \u003d log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичната.

Естествен логаритъм

Има още един логаритъм, който има своя собствена нотация. В известен смисъл тя е дори по-важна от десетичната. Това е естествен логаритъм.

от аргумент х е базовият логаритъм на e, т.е. степента, до която трябва да се повиши числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x.

Мнозина ще попитат: какво друго е числото e? Това е нерационално число, точният му смисъл не може да бъде намерен и записан. Ще дам само първите цифри от него:
e \u003d 2.718281828459 ...

Няма да навлизаме задълбочено в това какво е това число и защо е необходимо. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
  ln x \u003d log e x

Така ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. Като цяло естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, единици: ln 1 \u003d 0.

За естествените логаритми са верни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.

Вижте също:

Логаритъм. Свойства на логаритъм (степен на логаритъм).

Как да представим число като логаритъм?

Използваме определението на логаритъма.

Логаритъмът е индикатор за степента, до която трябва да се повдигне основата, за да се получи числото под знака на логаритма.

По този начин, за да се представи определено число c като логаритъм на базата на a, човек трябва да постави мощност под знака на логаритъм със същата основа като основата на логаритма и да запише числото c в експонента:

Под формата на логаритъм можете да си представите абсолютно всяко число - положително, отрицателно, цяло число, дробно, рационално, ирационално:

За да не объркате a и c при стресови условия на контрола или изпита, можете да използвате това правило, за да запомните:

това, което е отдолу, пада надолу, онова, което е горе, отива нагоре

Например, трябва да представите числото 2 като логаритъм на база 3.

Имаме две числа - 2 и 3. Тези числа са основата и показателят, които пишем под знака на логаритъма. Остава да определим кое от тези числа трябва да се запише до основата на степента и кое до индикатора.

База 3 в записа на логаритъм е в долната част, което означава, че когато представяме двете под формата на логаритъм на база 3, 3, ние също записваме в основата.

2 стои над тройната. И в записа на градуса пишем двойката над тройната, тоест в експонента:

Логаритми. Ниво на влизане.

логаритми

логаритъм  положително число б  въз основа на акъдето a\u003e 0, a ≠ 1се нарича показател, до който трябва да се повиши числото ада се получи б.

Определение на логаритъм  може да се обобщи по следния начин:

Това равенство важи b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.  Обикновено се нарича логаритмична идентичност.
Действието на намиране на логаритъма на число се нарича логаритъм.

Свойства на логаритъм:

Логаритъм на продукта:

Логаритъм на коефициента от разделението:

Подмяна на основата на логаритъма:

Логаритъм на степен:

Основен логаритъм:

Мощност логаритъм:

Десетични и естествени логаритми.

Десетичен логаритъм  числа извикват базовия 10 логаритъм от това число и пишат & nbsp lg б
Естествен логаритъм  числата се наричат \u200b\u200bлогаритъм на това число в основата дкъдето д  - ирационално число, приблизително равно на 2,7. В същото време пишат ln б.

Други бележки за алгебра и геометрия

Основни свойства на логаритмите

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се добавят, изваждат и преобразуват по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, има правила, които се наричат основни свойства.

Трябва да знаете тези правила - нито един сериозен логаритмичен проблем не може да бъде решен без тях. В допълнение, има много малко от тях - всичко може да се научи за един ден. Така че нека започнем.

Логаритъм Събиране и изваждане

Помислете за две логаритми с една и съща основа: log a x и log a y. Тогава те могат да бъдат добавени и извадени, освен това:

1. log a x + log a y \u003d log a (x · y);
2. log a x - log a y \u003d log a (x: y).

И така, сумата от логаритмите е равна на логаритъм на продукта, а разликата е логаритъмът на коефициента. Моля, обърнете внимание: тук е ключовият момент равни основания, Ако основанията са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да се изчисли логаритмичният израз, дори когато отделните му части не се броят (вижте урока "Какво е логаритъмът"). Разгледайте примерите и вижте:

Дневник 6 4 + лог 6 9.

Тъй като основите на логаритмите са еднакви, използваме формулата на сумата:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 · 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log 2 48 - log 2 3.

Основите са същите, използваме формулата на разликата:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log 3 135 - log 3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
лог 3 135 - лог 3 5 \u003d лог 3 (135: 5) \u003d лог 3 27 \u003d 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се броят отделно. Но след трансформациите се получават съвсем нормални числа. На този факт са изградени много тестове. Да, контрол - такива изрази с цялата сериозност (понякога - почти непроменени) се предлагат на изпита.

Премахване на експонента от логаритма

Сега нека усложним малко задачата. Какво става, ако има степен в основата или аргумента на логаритъма? Тогава индикатор за тази степен може да бъде изваден от логаритъма съгласно следните правила:

Лесно е да се види, че последното правило следва първите две. Но е по-добре да го запомните все едно - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл при спазване на логаритма на ODZ: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. И също така: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно, т.е. можете да въведете числата пред логаритъма в самия логаритъм.

Как да решим логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log 7 49 6.

Нека се отървем от степента в аргумента по първата формула:
log 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят е логаритъмът, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Имаме:

Мисля, че последният пример се нуждае от пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Те представиха основата и аргумента на логаритъма там под формата на градуси и извършиха показатели - получиха триетажна част.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят имат едно и също число: log 2 7. Тъй като log 2 7 ≠ 0, можем да намалим дроба - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката, четирите могат да бъдат прехвърлени в числителя, което беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова фондация

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само на едни и същи основания. Но какво ще стане, ако основанията са различни? Ами ако не са точни правомощия на един и същи брой?

Формулите за прехода към нова фондация идват на помощ. Ние ги формулираме под формата на теорема:

Нека се даде логаритъмът на log a x. Тогава за всяко число c, такова че c\u003e 0 и c ≠ 1, равенството

По-специално, ако сложим c \u003d x, получаваме:

От втората формула следва, че можете да замените основата и аргумента на логаритъма, но в същото време целият израз е „обърнат“, т.е. логаритъмът е в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числени термини. Възможно е да се оцени колко удобни са те само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Съществуват обаче задачи, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез прехода към нова фондация. Обмислете няколко от следните:

Задача. Намерете стойността на израза: log 5 16 · log 2 25.

Обърнете внимание, че аргументите и на двете логаритми съдържат точни градуси. Изваждаме индикаторите: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2log 2 5;

И сега, „обърнете“ втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя от пермутацията на факторите, ние спокойно умножихме четирите и двата и след това разбрахме логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log 9 100 · log 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни градуси. Пишем това и се отърваме от показателите:

Сега ще се отървем от десетичния логаритъм, преминавайки към нова база:

Основна логаритмична идентичност

Често в процеса на решаване се изисква числото да се представя като логаритъм за дадена основа.

В този случай формулите ще ни помогнат:

В първия случай числото n става индикатор за степента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото това е само стойността на логаритъма.

Втората формула всъщност е префразирана дефиниция. Нарича се:.

Всъщност какво се случва, ако числото b се повиши до такава степен, че числото b в тази степен дава числото a? Точно така: това е самото число a. Внимателно прочетете отново този параграф - много от тях „висят“.

Подобно на формулите за прехода към нова основа, основната логаритмична идентичност понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете стойността на израза:

Обърнете внимание, че log 25 64 \u003d log 5 8 - току-що извади квадрата от основата и аргумента на логаритъма. Като имаме предвид правилата за умножение на градусите с една и съща база, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинско предизвикателство от изпита 🙂

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две идентичности, които трудно могат да се нарекат свойства - по-скоро това са последствия от дефиницията на логаритма. Те постоянно се намират в задачи и изненадващо създават проблеми дори на „напреднали“ ученици.

1. log a a \u003d 1 е това. Помнете веднъж завинаги: логаритъмът за всяка база a от тази основа сам по себе си е равен на единица.
2. log a 1 \u003d 0 е това. Базата a може да бъде всичко, но ако аргументът е един, логаритъмът е нула! Защото 0 \u003d 1 е пряка последица от дефиницията.

Това са всички свойства. Не забравяйте да ги прилагате на практика! Изтеглете листа за мами в началото на урока, отпечатайте го - и разрешете проблеми.