Онлайн калкулатор.
  Решението на аритметичната прогресия.
   Дадени: a n, d, n
   Намерете: a 1

Тази математическа програма намира аритметичната прогресия \\ (a_1 \\) въз основа на посочените от потребителя числа \\ (a_n, d \\) и \\ (n \\).
   Числата \\ (a_n \\) и \\ (d \\) могат да бъдат посочени не само цели числа, но и частични. Освен това може да бъде въведено дробно число под формата на десетична дроб (\\ (2,5 \\)) и под формата на обикновена дроб (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Програмата не само дава отговор на проблема, но и показва процеса на намиране на решение.

Този онлайн калкулатор може да бъде полезен за учениците от гимназията при подготовка за тестове и изпити, когато тестват знания преди изпита, родителите да контролират решението на много проблеми по математика и алгебра. Или може би ви е прекалено скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашната си работа по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и / или обучение на по-малките си братя или сестри, докато нивото на образование в областта на задачите трябва да се подобри.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на номера, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на числа

Числата \\ (a_n \\) и \\ (d \\) могат да бъдат посочени не само цели числа, но и частични.
   Числото \\ (n \\) може да бъде само положително цяло число.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
Целите и дробни части в десетични дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
   Например, можете да въведете десетични дроби като 2.5 или 2.5

Правила за въвеждане на обикновени фракции.
   Като числителят, знаменателят и целочислената част на дроби може да бъде само цяло число.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

Когато въвеждате числова част, числителят се отделя от знаменателя чрез знак за разделяне: /
   вход:
   Резултат: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Цялата част е отделена от фракцията със знака амперсанд: &
   вход:
   Резултат: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не се зареждат и програмата може да не работи.
   Може би имате активиран AdBlock.
В този случай го изключете и опреснете страницата.

защото Има много хора, които искат да разрешат проблема, заявката ви е поставена на опашка.
   След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля, изчакайте   сек ...

Ако ти забеляза грешка в решението, можете да напишете за това във формата за обратна връзка.
   Не забравяйте посочете коя задача   вие решавате и какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Числова последователност

В ежедневната практика често се използва номерирането на различни предмети, за да се посочи редът на подреждането им. Например къщите на всяка улица са номерирани. Библиотечната номерация преминава абонамента и след това ги подрежда в реда на присвоените номера в специални файлови шкафове.

В спестовна банка, по номера на личната сметка на вложителя, можете лесно да намерите тази сметка и да видите какъв принос има тя. Да предположим, че сметка № 1 е приносът на a1 рубли, номер на сметка 2 е приносът на a2 рубли и т.н. Оказва се числова последователност
  a 1, 2, 3, ..., a N
  където N е номерът на всички сметки. Тук всяко естествено число n от 1 до N се свързва с числото a n.

Математиката също се изучава безкрайни числови последователности:
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
  Извиква се числото a 1 първи член на последователността, числото a 2 - втори член на последователността, числото 3 - трети член на последователността   и т. г.
  Повиква се числото a n n-ти (n-ти) срок на последователността, а естественото число n е неговото номер.

Например в поредица от квадратчета с естествени числа 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... и 1 \u003d 1 е първият член на последователността; и n \u003d n2 е n-тият член на последователността; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 е (n + 1) -ти (en плюс първи) член на последователността. Често една последователност може да бъде определена по формулата на нейния n-ти термин. Например, формулата \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ в \\ mathbb (N) \\) дава последователността \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ точки, \\ frac (1) (n), \\ точки \\)

Аритметична прогресия

Продължителността на годината е приблизително 365 дни. По-точна стойност е \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) дни, така че на всеки четири години се натрупва грешка от един ден.

За да се отчете тази грешка, към всеки четвърта година се добавя ден, а удължена година се нарича високосна.

Например през третото хилядолетие високосните години са годините 2004, 2008, 2012, 2016, ....

В тази последователност всеки от членовете си, започвайки от втория, е равен на предишния, сгънат със същото число 4. Такива последователности се наричат аритметични прогресии.

Определение.
  Числовата последователност a 1, 2, 3, ..., a n, ... се нарича аритметична прогресияако за всички положителни числа n равенството
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  където d е определено число.

От тази формула следва, че a n + 1 - a n \u003d d. Числото d се нарича разлика аритметична прогресия.

По дефиницията на аритметичната прогресия имаме:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  откъде
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), където \\ (n\u003e 1 \\)

По този начин всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средната аритметична стойност на два съседни члена. Това обяснява името "аритметична" прогресия.

Обърнете внимание, че ако са дадени 1 и d, тогава останалите условия на аритметичната прогресия могат да бъдат изчислени с помощта на формулата за повторение a n + 1 \u003d a n + d. По този начин не е трудно да се изчисли първите няколко срока на прогресията, но например 100 вече изисква много изчисления. Обикновено за това се използва формулата на n-ия термин. По дефиниция на аритметичната прогресия
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  и т.н.
  като цяло,
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  тъй като n-тия термин на аритметичната прогресия се получава от първия член, като се добави (n-1) пъти числото d.
  Тази формула се нарича формулата на n-ия термин на аритметичната прогресия.

Сумата от n първи членове на аритметичната прогресия

Намерете сумата от всички естествени числа от 1 до 100.
Пишем тази сума по два начина:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Нека обобщим тези равенства:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  В тази сума има 100 термина
  Следователно, 2S \u003d 101 * 100, откъдето S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Сега помислете за произволна аритметична прогресия
  a 1, 2, 3, ..., a n, ...
  Нека S n е сборът на n-първите членове на тази прогресия:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  след това сумата от n първи членове на аритметичната прогресия е равна на
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Тъй като \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), замествайки n в тази формула, получаваме друга формула за намиране суми от n първи членове на аритметичната прогресия:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Каква е основната същност на формулата?

Тази формула ви позволява да намерите който и да е ПО НЕГО БРОЙ " n " .

Разбира се, трябва да знаете първия термин   a 1   и прогресия на разликите г, е, без тези параметри няма да напишете конкретна прогресия.

За запаметяване (или измама) тази формула не е достатъчна. Необходимо е да научите същността му и да приложите формулата към различни задачи. Да, и не забравяйте в точното време, да ...) Как не забравяй   "Не знам." И тук как да си спомням   ако е необходимо, точно ще подканя. Тези, които научат урока докрай.)

И така, ще разберем формулата на n-тия член на аритметичната прогресия.

Каква е формулата като цяло - представяме си.) Каква е аритметичната прогресия, номер на члена, разлика в прогресията - е налична в предишния урок. Пуснете между другото, ако не сте чели. Там всичко е просто. Остава да разберем какво е n-ти член.

Общата прогресия може да се запише като поредица от числа:

a 1, 2, 3, 4, 5, .....

a 1   - обозначава първия термин на аритметичната прогресия, a 3   - трети член, а 4   - четвърти и т.н. Ако се интересуваме от петия член, нека кажем, че работим a 5ако сто двадесет - с а 120.

И как да се обозначаваме в общи линии който и да е   член на аритметичната прогресия, с който и да е   номер? Много лесно! Ето така:

a n

Това е така n-ти член на аритметичната прогресия.   Под буквата n всички номера на членовете се скриват веднага: 1, 2, 3, 4 и т.н.

И какво ни дава такъв запис? Само помислете, че вместо цифри написаха писмо ...

Този запис ни дава мощен инструмент за работа с аритметична прогресия. Използване на нотацията a nможем бързо да намерим който и да е   член който и да е   аритметична прогресия. И още куп проблеми с прогресията за решаване. Вижте сами по-късно.

Във формулата на петия член на аритметична прогресия:

a 1   - първият член на аритметичната прогресия;

п   - номер на член

Формулата свързва основните параметри на всяка прогресия: a n; a 1; г   и п. Около тези параметри и всички задачи се въртят с прогресия.

Формулата на петия термин може да се използва и за запис на конкретна прогресия. Например в задачата може да се каже, че прогресията се дава от условието:

a n \u003d 5 + (n-1) 2.

Подобна задача може да доведе и до задънена улица ... Няма серия, няма разлика ... Но, сравнявайки състоянието с формулата, е лесно да разберем, че при тази прогресия a 1 \u003d 5 и d \u003d 2.

И е още по-лошо!) Ако приемете същото условие: a n \u003d 5 + (n-1) · 2,да, отворете скобите и дайте подобни? Вземете новата формула:

a n \u003d 3 + 2n.

Така е   Само не общо, а за конкретна прогресия. Това е мястото, където дебне дебне. Някои хора смятат, че първият термин е трите. Въпреки че първият термин наистина е петте ... Малко по-нисък, ще работим с такава модифицирана формула.

При проблемите с прогресията има още едно обозначение - a n + 1, Това познахте, членът на „плюс плюс първи“ в прогресията. Значението му е просто и безобидно.) Това е член на прогресия, чийто брой е по-голям от числото n по едно. Например, ако в някакъв проблем вземем a n   пети мандат тогава a n + 1   ще бъде шестият член. И подобни.

Най-често обозначението a n + 1   открити във формули за рецидиви. Не се страхувайте от тази ужасна дума!) Това е само начин за изразяване на член на аритметична прогресия чрез предишната.   Да предположим, че ни е дадена аритметична прогресия в тази форма, използвайки рекурсивна формула:

a n + 1 \u003d a n +3

a 2 \u003d a 1 + 3 \u003d 5 + 3 \u003d 8

a 3 \u003d a 2 + 3 \u003d 8 + 3 \u003d 11

Четвъртият - през третия, петия - през четвъртия и т.н. И как да броим веднага, да кажем двадесетия срок, a 20   ? Но нищо!) Докато не бъде признат 19-ият член, 20-ият не може да бъде преброен. Това е фундаменталната разлика между формулата за повторение и формулата на n-тия термин. Повтарящата се работи само предишен   термин и формулата на n-ия термин чрез първият   и позволява веднага   намери всеки член по неговия номер. Без да броим цялата серия от числа по ред.

При аритметична прогресия формула за повторение е лесно да се превърне в обикновена. Пребройте двойка последователни термини, изчислете разликата г,   намерете, ако е необходимо, първия член a 1, напишете формулата в обичайната й форма и работете с нея. В GIA често се срещат такива задачи.

Приложение на формулата на n-ия термин на аритметичната прогресия.

За начало помислете за директното приложение на формулата. В края на предишния урок беше задачата:

Аритметичната прогресия е дадена (a n). Намерете 121, ако a 1 \u003d 3 и d \u003d 1/6.

Този проблем може да бъде решен без никакви формули, просто въз основа на значението на аритметичната прогресия. Добавете, да добавите ... Час или два.)

И според формулата, решението ще отнеме по-малко от минута. Можете да го направите време.) Решете.

По отношение на всички данни за използване на формулата: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.   Остава да разберем кое е равно п.   Няма въпрос! Трябва да намерим a 121, Затова пишем:

Моля, обърнете внимание! Вместо индекс п   се появи конкретно число: 121. Което е съвсем логично.) Интересуваме се от член на аритметичната прогресия номер сто двадесет и едно.   Това ще бъде наше п.   Това е смисълът п   \u003d 121 заместваме допълнително във формулата, в скоби. Заменяме всички числа във формулата и обмисляме:

a 121 \u003d 3 + (121-1) 1/6 \u003d 3 + 20 \u003d 23

Това е всичко. Точно толкова бързо би било възможно да се намери петстотин и десети член и хиляда и три, всеки. Вместо това слагаме п   желания индексен номер в буквата " а "   и в скоби, и да, според нас.

Нека ви напомня същността: тази формула ви позволява да намерите който и да е   член на аритметичната прогресия ПО НЕГО БРОЙ " n " .

Решаваме задачата по-хитро. Нека се натъкнем на този проблем:

Намерете първия член в аритметична прогресия (a n), ако a 17 \u003d -2; d \u003d -0,5.

Ако имате някакви затруднения, ще ви кажа първата стъпка. Напишете формулата за n-ия термин на аритметичната прогресия!   Да, да. С ръцете си запишете директно в тефтер:

И сега, гледайки буквите на формулата, разбираме какви данни имаме и кои липсват? Наличен е d \u003d -0,5има седемнадесети член ... Това ли е? Ако смятате, че това е всичко, тогава не решавайте проблема, да ...

Все още имаме номер п! В състоянието a 17 \u003d -2   са скрити два параметъра.   Това е значението на седемнадесетия термин (-2) и неговото число (17). Т.е. n \u003d 17.   Тази „дреболия“ често се плъзга покрай главата и без нея (без „дреболията“, не главата!) Проблемът не може да бъде решен. Въпреки че ... и без глава.)

Сега можете просто глупаво да замените нашите данни във формулата:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

О, да a 17   знаем, че това е -2. Е, заменете:

-2 \u003d a 1 + (17-1) · (-0,5)

Това по същество е всичко. Остава да изразим първия термин на аритметичната прогресия от формулата, но да преброим. Отговорът ще бъде: a 1 \u003d 6.

Подобна техника - писане на формула и просто заместване на известни данни - помага много при прости задачи. Е, човек трябва, разбира се, да може да изрази променлива от формула, но какво да правя !? Без това умение математиката изобщо не може да се изучава ...

Друг популярен пъзел:

Намерете разликата в аритметичната прогресия (a n), ако a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12.

Какво правим? Ще се изненадате, когато напишете формулата!)

Помислете какво знаем: a 1 \u003d 2; a 15 \u003d 12; и (специално подчертайте!) n \u003d 15.   Чувствайте се свободни да замените във формулата:

12 \u003d 2 + (15-1) d

Ние считаме аритметиката.)

12 \u003d 2 + 14d

г=10/14 = 5/7

Това е правилният отговор.

И така, задачи за a n, a 1и   г   poreshali. Остава да научите как да намерите номера:

Числото 99 е член на аритметичната прогресия (a n), където a 1 \u003d 12; d \u003d 3. Намерете номера на този член.

Заместваме известните ни количества във формулата на n-ия термин:

a n \u003d 12 + (n-1) 3

На пръв поглед има две неизвестни количества: a n и n.   но a n   - това е някакъв член на прогресията с числото п... И ние знаем този член на прогресията! Това е 99. Не знаем номера му. п,така че този номер е необходим за намиране. Заменете термина 99 прогресия във формулата:

99 \u003d 12 + (n-1)

Изразено от формулата п, считаме. Получаваме отговора: n \u003d 30.

И сега пъзела на същата тема, но по-креативен):

Определете дали числото 117 е член на аритметичната прогресия (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Отново пишем формулата. Какво, няма параметри? Хм ... И защо ни се дават очи?) Виждате ли първия срок на прогресията? Виждаме. Това е -3.6. Можете спокойно да напишете: a 1 \u003d -3.6.   разлика г   може да се определи от число? Лесно е, ако знаете каква е разликата в аритметичната прогресия:

d \u003d -2.4 - (-3.6) \u003d 1.2

И така, най-лесното нещо. Остава да се справим с неизвестно число п   и неразбираемо число 117. В предишния проблем най-малко се знаеше, че е член на прогресията, която беше дадена. И тук дори не знаем ... Какво да правим !? Е, какво да правя, как да бъдем ... Включете креативността!)

Ние сме нека   в крайна сметка 117 е член на нашата прогресия. С неизвестен номер п, И, точно както в предишната задача, опитайте се да намерите това число. Т.е. напишете формулата (да, да!)) и заменете нашите числа:

117 \u003d -3,6 + (n-1) 1.2

Отново изразяваме от формулатап, ние обмисляме и получаваме:

Ужас! Броят се оказа фракционна!   Сто и половина. Дробни числа в прогресиите не се случва.   Какъв е изводът? Да! Номер 117 не е член на нашата прогресия. То е някъде между сто и първо и сто и второ. Ако числото се оказа естествено, т.е. положително цяло число, тогава числото ще бъде член на прогресията с намереното число. И в нашия случай отговорът на проблема ще бъде: не.

Задача, базирана на истинска версия на GIA:

Аритметичната прогресия се определя от условието:

a n \u003d -4 + 6.8n

Намерете първите и десетите членове на прогресията.

Тук прогресията не е зададена по обичайния начин. Някаква формула ... Случва се.) Тази формула (както писах по-горе) - също формулата на n-ия термин на аритметичната прогресия!   Тя също позволява намери всеки член на прогресията по неговия номер.

Търсим първия мандат. Този, който мисли. че първият термин, минус четири, е фатално погрешен!), защото формулата в проблема е модифицирана. Първият член на аритметичната прогресия в него прибран.   Ще го намерим сега.)

Както в предишните задачи, ние заместваме n \u003d 1   в тази формула:

a 1 \u003d -4 + 6,81 \u003d 2,8

Тук! Първият мандат е 2,8, а не -4!

По подобен начин търсим десетия член:

a 10 \u003d -4 + 6.810 \u003d 64

Това е всичко.

И сега, за тези, които са прочели до тези редове, обещаният бонус.)

Да предположим, че в трудната бойна ситуация на GIA или на Единния държавен изпит сте забравили полезната формула на n-тия член на аритметичната прогресия. Нещо се припомня, но някак несигурно ... Или п   там или n + 1, или n-1 ...   Как да бъда !?

Спокойно! Тази формула е лесна за получаване. Не много стриктно, но за увереност и правилното решение определено е достатъчно!) За заключението е достатъчно да запомните елементарния смисъл на аритметичната прогресия и да имате няколко минути време. Просто трябва да нарисувате картина. За по-голяма яснота.

Начертаваме числова ос и маркираме първата върху нея. второ, трето и т.н. членове. И маркирайте разликата г   между членовете. Ето така:

Гледаме картината и разбираме: на какво е равен вторият термин? втори едно нещо г:

а 2 \u003d a 1 + 1 · г

С какво е равен третият мандат? трета   член е равен на първия член плюс две г.

а 3 \u003d a 1 + 2 · г

Да го хванеш? Съзнателно подчертавам някои от думите с удебелен шрифт. Е, още една стъпка).

На какво е равен четвъртият мандат? четвърти   член е равен на първия член плюс три г.

а 4 \u003d a 1 + 3 · г

Време е да осъзнаем, че броят на пропуските, т.е. гвинаги една по-малка от броя на търсения член п.   Т.е., към числото n, броят на пропускитеще бъде n-1.   Следователно формулата ще бъде (без опции!):

Като цяло визуалните картини са много полезни при решаването на много проблеми в математиката. Не пренебрегвайте снимките. Но ако е трудно да нарисувате картина, тогава ... само формулата!) В допълнение, формулата на n-тия термин ви позволява да свържете целия мощен арсенал от математика към решението - уравнения, неравенства, системи и т.н. Не можете да вмъкнете картина в уравнението ...

Задачи за самостоятелно решение.

За загряване:

1. При аритметична прогресия (a n) a 2 \u003d 3; a 5 \u003d 5.1. Намерете 3.

Съвет: според снимката проблемът се решава за 20 секунди ... Според формулата - оказва се по-трудно. Но за да научите формулата, е по-полезно.) В раздел 555 този проблем е решен както на снимката, така и във формулата. Усетете разликата!)

И това вече не е загряване.)

2. При аритметична прогресия (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 \u003d 49, 3. Намерете 3.

Какво, нежелание да нарисувате картина?) Все пак! По-добре по формулата, да ...

3. Аритметичната прогресия се дава от условието:a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0.5. Намерете сто двадесет и петия член на тази прогресия.

В тази задача прогресията се дава по рекурсивен начин. Но като се броят до сто двадесет и петия мандат ... Не всеки може да извърши такъв подвиг.) Но формулата на n-ия мандат е в силата на всеки!

4. Имайки аритметична прогресия (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

  Намерете числото на най-малкия положителен член на прогресията.

5. Според условията на задача 4 намерете сбора от най-малките положителни и най-големи отрицателни членове на прогресията.

6. Продуктът на петия и дванадесетия член на нарастваща аритметична прогресия е -2,5, а сборът на третия и единадесетия член е нула. Намерете 14.

Не най-лесната задача, да ...) Тук методът "на пръсти" не работи. Ще трябва да пишем формули и да решаваме уравнения.

Отговори (в каша):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Това се получи? Това е хубаво!)

Не става ли? Случва се. Между другото, в последния квест има една фина точка. Ще се изисква внимателно четене на задачата. И логиката.

Решението на всички тези проблеми е разгледано подробно в раздел 555. Описани са както елементът на фантазията за четвъртия, така и финият момент за шестия, както и общите подходи за решаване на всички видове проблеми с формулата на n-ия термин. Препоръчвам го.

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

  Можете да се запознаете с функции и производни.

Е, приятели, ако четете този текст, вътрешното ограничение на доказателствата ми казва, че все още не знаете какво е аритметичната прогресия, но наистина (не, така: Oooooo!) Искате да знаете. Следователно няма да ви измъчвам с дълги запознания и веднага ще се захвана с бизнеса.

Първо, няколко примера. Помислете за няколко набора от числа:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Какво общо имат всички тези набори? На пръв поглед нищо. Но всъщност има нещо. А именно: всеки следващ елемент се различава от предишния със същия номер.

Преценете сами. Първият набор е просто последователни числа, всеки следващ по-голям от предишния. Във втория случай разликата между съседни числа вече е пет, но тази разлика все още е постоянна. В третия случай корените обикновено са. Въпреки това, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, и $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, т.е. и в този случай всеки следващ елемент просто се увеличава с $ \\ sqrt (2) $ (и не се страхувайте, че това число е нерационално).

И така: всички такива последователности се наричат \u200b\u200bаритметични прогресии. Даваме строга дефиниция:

Определение. Поредица от числа, в които всяко следващо се различава от предходното с абсолютно същото количество, се нарича аритметична прогресия. Самата стойност, с която числата се различават, се нарича разликата в прогресията и най-често се обозначава с буквата $ d $.

Обозначение: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - самата прогресия, $ d $ - нейната разлика.

И веднага няколко важни точки. Първо, прогресията се счита само поръчан   последователност на числата: те могат да четат строго в реда, в който са написани - и нищо друго. Не можете да пренареждате и разменяте номера.

Второ, самата последователност може да бъде крайна или безкрайна. Например, множеството (1; 2; 3) очевидно е крайна аритметична прогресия. Но ако напишете нещо в духа (1; 2; 3; 4; ...) - това вече е безкрайна прогресия. Елипсата след четирите, все пак, намеква, че доста голям брой продължава. Безкрайно много, например. :)

Искам също да отбележа, че прогресиите се увеличават и намаляват. Вече видяхме увеличаващи се - един и същ набор (1; 2; 3; 4; ...). Ето няколко примера за намаляващи прогресии:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\ \\ sqrt (5) -1; \\ \\ sqrt (5) -2; \\ \\ sqrt (5) -3; ... $

Добре, добре: последният пример може да изглежда прекалено сложен. Но останалите, според мен, са ви ясни. Затова въвеждаме нови дефиниции:

Определение. Аритметичната прогресия се нарича:

1. увеличава се, ако всеки следващ елемент е по-голям от предишния;
2. намалява, ако напротив, всеки следващ елемент е по-малък от предишния.

Освен това има така наречените „неподвижни“ последователности - те се състоят от едно и също повтарящо се число. Например (3; 3; 3; ...).

Остава само един въпрос: как да разграничим нарастващата прогресия от намаляващата? За щастие всичко зависи от това какъв е знакът на числото $ d $, т.е. разлики в прогресията:

1. Ако $ d \\ gt 0 $, прогресията се увеличава;
2. Ако $ d \\ lt 0 $, прогресията очевидно намалява;
3. И накрая, има случай $ d \u003d 0 $ - в този случай цялата прогресия се свежда до неподвижна последователност от еднакви числа: (1; 1; 1; 1; 1) ... и т.н.

Нека се опитаме да изчислим разликата $ d $ за трите намаляващи прогресии, дадени по-горе. За да направите това, просто вземете всеки два съседни елемента (например първия и втория) и извадете от числото вдясно, числото отляво. Ще изглежда така:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Както можете да видите, и в трите случая разликата наистина се оказа отрицателна. И сега, когато сме подредили повече или по-малко определенията, е време да разберем как се описват прогресиите и какви са техните свойства.

Членове на формулата за прогресия и рецидиви

Тъй като елементите на нашите последователности не могат да бъдат заменени, те могат да бъдат номерирани:

\\ [\\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) \u003d \\ наляво \\ (((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ дясно \\) \\]

Отделните елементи на този набор се наричат \u200b\u200bчленове на прогресията. Те са посочени върху тях с помощта на число: първият член, вторият член и т.н.

В допълнение, както вече знаем, съседните членове на прогресията са свързани с формулата:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) \u003d d \\ Rightarrow ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d \\]

Накратко, за да намерите $ n $ -тия термин на прогресия, трябва да знаете $ n-1 $ -th термин и разликата $ d $. Такава формула се нарича повтаряща се, защото с нейната помощ можете да намерите произволно число, като знаете само предишното (и всъщност - всички предишни). Това е много неудобно, така че има по-сложна формула, която намалява всяко изчисление до първия мандат и разликата:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ вляво (n-1 \\ дясно) d \\]

Със сигурност вече сте се запознали с тази формула. Те обичат да го дават във всевъзможни справочници и разделители. И във всеки разумен учебник по математика тя излиза една от първите.

Въпреки това предлагам малко практика.

Задача номер 1. Запишете първите три члена на аритметичната прогресия $ \\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) $, ако $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Решение. Значи, ние знаем първия термин $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 и разликата в прогресията $ d \u003d -5 $. Използваме току-що дадената формула и заместваме $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ и $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (n-1 \\ дясно) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (1-1 \\ дясно) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (2-1 \\ дясно) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (3-1 \\ дясно) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Отговор: (8; 3; −2)

Това е всичко! Моля, обърнете внимание: прогресията ни намалява.

Разбира се, $ n \u003d 1 $ не може да бъде заменен - \u200b\u200bпървият термин вече ни е известен. Въпреки това, замествайки единицата, ние се уверихме, че дори за първия мандат формулата ни работи. В други случаи се стигна до банална аритметика.

Задача номер 2. Изпишете първите три термина от аритметичната прогресия, ако седмия му срок е −40, а седемнадесетият - −50.

Решение. Пишем състоянието на проблема с познати термини:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ наляво \\ (\\ начало (подравняване) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\ \\ край (подравняване) \\ дясно. \\]

\\ [\\ наляво \\ (\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ край (подравняване) \\ вдясно. \\]

Слагам знака на системата, защото тези изисквания трябва да бъдат изпълнени едновременно. И сега забелязваме, ако извадим първото от второто уравнение (имаме право да го направим, защото имаме система), тогава получаваме това:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ наляво (((a) _ (1)) + 6d \\ дясно) \u003d - 50- \\ наляво (-40 \\ дясно); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Просто така открихме разликата в прогресията! Остава да заменим намереното число във всяко от уравненията на системата. Например в първия:

\\ [\\ начало (матрица) ((а) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Даунарово \\\\ ((а) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((а) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ край (матрица) \\]

Сега, знаейки първия термин и разликата, остава да намерим втория и третия термин:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Готово! Проблемът е решен.

Отговор: (−34; −35; −36)

Обърнете внимание на любопитното свойство на прогресията, което открихме: ако вземем термините $ n $ th и $ m $ th и ги извадим един от друг, получаваме разликата на прогресията, пъти по-голяма от числото $ n-m $:

\\ [(((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ наляво (n-m \\ дясно) \\]

Просто, но много полезно свойство, което определено трябва да знаете - с негова помощ можете значително да ускорите решението на много проблеми при прогресията. Ето един основен пример:

Задача номер 3. Петият член на аритметичната прогресия е 8,4, а десетият му член е 14,4. Намерете петнадесетия член на тази прогресия.

Решение. Тъй като $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4, и трябва да намерите $ ((a) _ (15)) $, отбелязваме следното:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Но от условието $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, следователно $ 5d \u003d 6 $, откъдето имаме:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Отговор: 20.4

Това е всичко! Нямаше нужда да правим никакви системи от уравнения и да броим първия термин и разликата - всичко беше решено буквално на няколко реда.

Сега нека разгледаме друг тип задача - да търсим отрицателни и положителни членове на прогресия. Не е тайна, че ако прогресията се увеличи, докато първият мандат е отрицателен, рано или късно в нея ще се появят положителни изрази. И обратно: членовете на намаляваща прогресия рано или късно ще станат отрицателни.

Нещо повече, далеч не винаги е възможно този момент да се „опипа“ на челото, последователно сортирайки елементите. Често задачите са структурирани така, че без познаване на формулите изчисленията да отнемат няколко листа - просто ще заспим, докато не намерим отговора. Затова ще се опитаме да разрешим тези проблеми по-бърз начин.

Задача номер 4. Колко отрицателни израза в аритметичната прогресия са - 38,5; -35.8; ...?

Решение. И така, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38,5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35,8, откъдето веднага откриваме разликата:

Имайте предвид, че разликата е положителна, така че прогресията се увеличава. Първият термин е отрицателен, така че наистина в един момент ще се натъкнем на положителни числа. Единственият въпрос е кога това ще се случи.

Нека се опитаме да разберем: колко дълго (т.е. до кое естествено число $ n $) остава отрицателността на термините:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Вдясно ((a) _ (1)) + \\ наляво (n-1 \\ дясно) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ наляво | \\ cdot 10 \\ вдясно. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Последният ред се нуждае от пояснение. Значи, знаем, че $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. От друга страна, ние сме доволни само от целочислените стойности на числото (освен това: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), така че най-големият разрешен брой е точно $ n \u003d 15 $, и в никакъв случай не е 16.

Задача номер 5. В аритметичната прогресия $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Намерете номера на първия положителен член на тази прогресия.

Това ще бъде точно същата задача като предишната, но ние не знаем $ ((a) _ (1)) $. Но съседните термини са известни: $ ((a) _ (5)) $ и $ ((a) _ (6)) $, така че лесно можем да намерим разликата в прогресията:

Освен това ще се опитаме да изразим петия термин по отношение на първия и разликата със стандартната формула:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Сега продължаваме по аналогия с предишната задача. Разбираме в кой момент от нашата последователност ще има положителни числа:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Минималното цяло число на това неравенство е числото 56.

Моля, обърнете внимание: в последната задача всичко се свеждаше до строго неравенство, така че опцията $ n \u003d 55 $ няма да ни подхожда.

Сега, след като научихме как да решаваме прости проблеми, нека да преминем към по-сложни. Но първо, нека проучим още едно много полезно свойство на аритметичните прогресии, което в бъдеще ще ни спести много време и неравностойни клетки. :)

Аритметични средни и равни отступи

Помислете за няколко последователни условия за увеличаване на аритметичната прогресия $ \\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) $. Нека се опитаме да ги маркираме в числовия ред:

Специално отбелязах произволни членове на $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, а не някои $ ((a) _ (1)) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $ и т.н. Защото правилото, за което ще говоря сега, работи еднакво за всички „сегменти“.

И правилото е много просто. Нека си припомним формулата за повторение и да я напишем за всички маркирани членове:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Тези равенства обаче могат да бъдат пренаписани по различен начин:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ край (подравняване) \\]

И какво? И фактът, че условията $ ((a) _ (n-1)) $ и $ ((a) _ (n + 1)) $ лежат на едно и също разстояние от $ ((a) _ (n)) $. И това разстояние е $ d $. Същото може да се каже и за условията $ ((a) _ (n-2)) $ и $ ((a) _ (n + 2)) $ - те също се премахват от $ ((a) _ (n)) $ същото разстояние, равно на $ 2d $. Можете да продължите до безкрайността, но картината илюстрира значението добре

Какво означава това за нас? Това означава, че можете да намерите $ ((a) _ (n)) $, ако съседните числа са известни:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Изводихме великолепно твърдение: всеки член на аритметична прогресия е равен на средната аритметична стойност на съседните членове! Нещо повече: можем да отстъпим от нашите $ ((a) _ (n)) $ наляво и надясно не с една стъпка, а с $ k $ стъпки - и все пак формулата ще бъде вярна:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \\]

Т.е. лесно можем да намерим някои $ ((a) _ (150)) $, ако знаем $ ((a) _ (100)) $ и $ ((a) _ (200)) $, тъй като $ (( а) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. На пръв поглед може да изглежда, че този факт не ни дава нищо полезно. На практика обаче много задачи са специално „заточени“ за използване на средноаритметичната стойност. Обърнете внимание:

Задача номер 6. Намерете всички стойности на $ x $, за които числата $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ и $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ са последователни членове на аритметичната прогресия (в посочена поръчка).

Решение. Тъй като тези числа са членове на прогресия, средното аритметично условие е изпълнено за тях: централният елемент $ x + 1 $ може да се изрази чрез съседни елементи:

\\ [\\ начало (подравняване) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Резултатът беше класическо квадратно уравнение. Корените му: $ x \u003d 2 $ и $ x \u003d -3 $ - това са отговорите.

Отговор: −3; 2.

Задача номер 7. Намерете стойностите на $$, при които числата $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ съставят аритметична прогресия (в този ред).

Решение. Отново изразяваме средния термин чрез средноаритметичното на съседните членове:

\\ [\\ начало (подравняване) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ наляво | \\ cdot 2 \\ вдясно .; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Отново квадратното уравнение. И отново два корена: $ x \u003d 6 $ и $ x \u003d 1 $.

Отговор: 1; 6.

Ако в процеса на решаване на проблема извадите няколко брутални номера или не сте напълно сигурни в правилността на намерените отговори, тогава има един прекрасен трик, който ви позволява да проверите дали сме решили проблема правилно?

Да предположим, че в проблем № 6 получихме отговори - 3 и 2. Как мога да проверя дали тези отговори са верни? Нека просто ги заменим в първоначалното състояние и да видим какво ще се случи. Нека ви напомня, че имаме три числа ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ и $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), което би трябвало да е аритметична прогресия. Заместване $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ край (подравняване) \\]

Получих числата -54; -2; 50, които се различават по 52, несъмнено е аритметична прогресия. Същото се случва и с $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ край (подравняване) \\]

Отново прогресия, но с разлика от 27. Така проблемът се решава правилно. Желаещите могат да проверят втората задача самостоятелно, но трябва да кажа веднага: всичко също е там.

Като цяло, докато решавахме последните задачи, се натъкнахме на още един интересен факт, който също трябва да се запомни:

Ако три числа са такива, че второто е средноаритметичното на първото и последното, тогава тези числа образуват аритметична прогресия.

В бъдеще разбирането на това твърдение ще ни позволи буквално да „конструираме“ необходимите прогресии въз основа на състоянието на проблема. Но преди да направим този вид „конструкция“, трябва да обърнем внимание на друг факт, който пряко следва от вече обмисленото.

Групиране и сбор от елементи

Да се \u200b\u200bвърнем отново към числовата ос. Отбелязваме, че има няколко членове на прогресията, между които, може би. има много други членове:

Нека се опитаме да изразим „лявата опашка“ по отношение на $ ((a) _ (n)) $ и $ d $, а „дясната опашка“ по отношение на $ ((a) _ (k)) $ и $ d $. Много е просто:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Сега имайте предвид, че следните суми са равни:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ край (подравняване) \\]

Просто казано, ако вземем за начало два елемента от прогресията, които общо са равни на някакъв брой $ S $, и след това започнем да стъпваме от тези елементи в противоположни посоки (един към друг или обратно за премахване), тогава сумата от елементите, в които ще се спънем, също ще бъде равна   $ S $. Това може да бъде представено най-много графично:

Разбирането на този факт ще ни позволи да решим проблеми с коренно по-високо ниво на сложност от тези, които разгледахме по-горе. Например такива:

Задача номер 8. Определете разликата в аритметичната прогресия, при която първият член е 66, а произведението на втория и дванадесетия член е най-малкото възможно.

Решение. Ще запишем всичко, което знаем:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ мин. \\ край (подравняване) \\]

Така че, ние не знаем разликата в прогресията на $ d $. Всъщност цялото решение ще бъде изградено около разликата, тъй като продуктът $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ може да бъде пренаписан, както следва:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ наляво (66 + d \\ дясно) \\ cdot \\ наляво (66 + 11d \\ дясно) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ наляво (d + 66 \\ дясно) \\ cdot \\ наляво (d + 6 \\ вдясно). \\ край (подравняване) \\]

За тези в резервоара: Взех общия фактор 11 от втората скоба. По този начин желаният продукт е квадратна функция по отношение на променливата $ d $. Следователно ние считаме функцията $ f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 11 \\ наляво (d + 66 \\ дясно) \\ наляво (d + 6 \\ дясно) $ - нейната графика ще бъде парабола с разклонения нагоре, тъй като ако отворите скобите, получаваме:

\\ [\\ начало (подравняване) & f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 11 \\ наляво (((г) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ дясно) \u003d \\\\ & \u003d 11 (( г) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ край (подравняване) \\]

Както можете да видите, коефициентът с най-висок термин е 11 - това е положително число, така че ние наистина се занимаваме с парабола с клони нагоре:

   графика на квадратна функция - парабола

Забележка: тази парабола приема своята минимална стойност във върха си с абсцисата $ ((d) _ (0)) $. Разбира се, можем да изчислим тази абсциса според стандартната схема (има формулата $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), но би било по-разумно да забележим, че желаната върха лежи на оста симетрия на параболата, следователно точката $ ((d) _ (0)) $ е на еднакво разстояние от корените на уравнението $ f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 0 $:

\\ [\\ начало (подравняване) & f \\ наляво (d \\ дясно) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ наляво (d + 66 \\ дясно) \\ cdot \\ наляво (d + 6 \\ дясно) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Ето защо не бързах да отворя скобите: в първоначалния си вид корените бяха много, много прости. Следователно абсцисата е равна на средноаритметичната стойност на числата −66 и −6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Какво ни дава откритото число? При него необходимия продукт взема най-малката стойност (между другото, ние все още не броихме $ ((y) _ (\\ min)) $ - това не се изисква от нас). В същото време това число е разликата на първоначалната прогресия, т.е. намерихме отговора. :)

Отговор: −36

Задача номер 9. Между числата $ - \\ frac (1) (2) $ и $ - \\ frac (1) (6) $, поставете три числа, така че те, заедно с дадените числа, да съставят аритметична прогресия.

Решение. Всъщност трябва да направим последователност от пет числа, а първото и последното число вече са известни. Определете липсващите числа с променливите $ x $, $ y $ и $ z $:

\\ [\\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) \u003d \\ наляво \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ вдясно \\ Обърнете внимание, че числото $ y $ е "средата" на нашата последователност - то е на еднакво разстояние от числата $ x $ и $ z $, а от числата $ - \\ frac (1) (2) $ и $ - \\ frac (1) ( 6) $. И ако не можем да получим $ y $ от числата $ x $ и $ z $, тогава ситуацията с краищата на прогресията е различна. Припомняме аритметичното средно:

Сега, знаейки $ y $, ще намерим останалите числа. Обърнете внимание, че $ x $ се намира между числата $ - \\ frac (1) (2) $ и току-що намерените $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. следователно

Като разсъждаваме по същия начин, намираме останалото число:

Готово! Намерихме и трите числа. Пишем ги в отговора в реда, в който те трябва да бъдат вмъкнати между оригиналните числа.

Отговор: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Задача номер 10. Между числата 2 и 42 поставете няколко числа, които заедно с дадените числа образуват аритметична прогресия, ако е известно, че сборът на първото, второто и последното от вмъкнатите числа е 56.

Решение. Още по-сложен проблем, който обаче се решава по същата схема като предишните, чрез средноаритметичното. Проблемът е, че не знаем колко конкретни числа да вмъкнем. Следователно, за определеност, приемаме, че след вмъкването на всичко ще има точно $ n $ числа, като първото от тях е 2, а последното 42. В този случай желаната аритметична прогресия може да бъде представена като:

\\ [\\ наляво (((a) _ (n)) \\ дясно) \u003d \\ наляво \\ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( а) _ (n-1)); 42 \\ дясно \\) \\]

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Имайте предвид обаче, че числата $ ((a) _ (2)) $ и $ ((a) _ (n-1)) $ са получени от числата 2 и 42 в краищата с една стъпка един към друг, т.е. , до центъра на последователността. И това означава, че това

\\ [(((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Но тогава израза, написан по-горе, може да бъде пренаписан, както следва:

{!LANG-ee02ab1773fe9bab632b0cdbd7bbec4c!}

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ наляво (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ дясно) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Знаейки $ ((a) _ (3)) $ и $ ((a) _ (1)) $, лесно можем да намерим разликата в прогресията:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ наляво (3-1 \\ дясно) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Остава само да намерим останалите членове:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Така вече на 9-та стъпка ще стигнем до левия край на последователността - числото 42. Общо трябваше да се вмъкнат само 7 числа: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Отговор: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Текстови задачи с прогресии

В заключение бих искал да разгледам няколко сравнително прости задачи. Е, като прости: за повечето ученици, които учат математика в училище и не са чели написаното по-горе, тези задачи може да изглеждат като жест. Независимо от това, точно такива проблеми попадат в изпита и изпита по математика, затова препоръчвам да се запознаете с тях.

Задача номер 11. Бригадата е произвела 62 части през януари, като през всеки следващ месец е произвеждала 14 части повече, отколкото в предишния. Колко части направи бригадата през ноември?

Решение. Очевидно е, че броят на частите, планирани по месеци, ще бъде нарастваща аритметична прогресия. И:

\\ [\\ начало (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 14. \\\\ \\ край (подравняване) \\]

Ноември е 11-ият месец в годината, така че трябва да намерим $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Затова през ноември ще бъдат произведени 202 части.

Задача номер 12. През януари книгозавързващата работилница обвърза 216 книги и всеки следващ месец тя обвърза с 4 книги повече от предишния. С колко книги се завърза работилницата през декември?

Решение. Всички еднакви:

$ \\ start (подравняване) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ наляво (n-1 \\ дясно) \\ cdot 4. \\\\ \\ край (подравняване) $

Декември е последният, 12-и месец в годината, така че търсим $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Това е отговорът - 260 книги ще бъдат обвързани през декември.

Е, ако четете дотук, бързам да ви поздравя: успешно завършихте „курса за млад боец“ в аритметичните прогресии. Можете спокойно да преминете към следващия урок, където ще изучим формулата за сумата от прогресията, както и важни и много полезни последици от нея.

Сума от аритметична прогресия.

Сумата от аритметичната прогресия е просто нещо. Както по смисъла, така и във формулата. Но има всякакви задачи по тази тема. От елементарно до доста солидно.

Първо, нека разберем смисъла и формулата на сумата. И тогава решаваме. За удоволствие.) Значението на сумата е просто, като понижаване. За да намерите сумата от аритметичната прогресия, просто трябва внимателно да добавите всички нейни членове. Ако тези условия са малко, можете да добавите без никакви формули. Но ако много, или много ... добавянето е досадно.) В този случай формулата спестява.

Формулата на сумата изглежда проста:

Ще разберем какви букви са включени във формулата. Това ще изясни много.

S n   - сумата на аритметичната прогресия. Резултат от добавяне от всички   членове с първият   за последен.   Това е важно. Разработете точно всички   членове подред, без пропуски и скокове. И точно, като започнем от на първо място.   За задачи като намиране на сбора на трети и осми членове или сбора от пети до двадесети член, директното приложение на формулата ще разочарова.)

a 1 - първият   член на прогресията. Тук всичко е ясно, просто е първият   номер на реда

a n   - последно   член на прогресията. Последният номер на реда. Не много познато име, но както е приложено към сумата, то е много подходящо. Тогава ще се убедите сами.

п   - номер на последния член. Важно е да се разбере, че във формулата това число съвпада с броя на членовете, които се добавят.

Нека да определим концепцията последното   член a n, Въпрос за запълване: кой член ще бъде последното   ако е дадено безкраен   аритметична прогресия?)

За уверен отговор трябва да разберете елементарния смисъл на аритметичната прогресия и ... внимателно да прочетете заданието!)

В задачата за намиране на сумата от аритметична прогресия винаги се появява последният термин (пряко или косвено), което трябва да бъде ограничено.   В противен случай окончателната, конкретна сума просто не съществува.   За решението няма значение каква прогресия е дадена: ограничена или безкрайна. Няма значение как е дадено: чрез серия от числа или по формулата на n-ия термин.

Най-важното е да се разбере, че формулата работи от първия член на прогресията до члена с число п.   Всъщност пълното име на формулата изглежда така: сумата от n първи членове на аритметичната прогресия.   Броят на тези първи членове, т.е. п, се определя единствено от задачата. В заданието цялата тази ценна информация често е криптирана, да ... Но нищо, в примерите по-долу разкриваме тези тайни.)

Примери за задачи в размер на аритметичната прогресия.

На първо място, полезна информация:

Основната трудност в задачите за сумата от аритметичната прогресия е правилното определяне на елементите на формулата.

Съставителите на задачи криптират тези елементи с неограничено въображение.) Основното тук е да не се страхувате. Разбирайки същността на елементите, е доста просто да ги дешифрираме. Нека разгледаме подробно няколко примера. Нека започнем със задача, базирана на истинска GIA.

1. Аритметичната прогресия се дава от условието: a n \u003d 2n-3,5. Намерете сумата от първите 10 члена.

Добра работа. Лесно.) За да определим количеството според формулата, какво трябва да знаем? Първи член a 1последен член a nда номер на последния член п.

Къде да получите последния номер на члена п? Да, в същото състояние! В него пише: намерете сумата първите 10 членове.   Е, с какъв номер ще последната   десетият член?) Няма да повярвате, броят му е десетият!) И така, вместо a n   ще заместим във формулата a 10вместо п   - челната десетка. Повтарям, броят на последния член съвпада с броя на членовете.

Остава да се определи a 1   и a 10, Това лесно се изчислява по формулата на n-тия термин, която е дадена в условието на проблема. Не сте сигурни как да направите това? Посетете предишния урок, без него - няма как.

a 1\u003d 2 · 1 - 3,5 \u003d -1,5

a 10\u003d 2 · 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Разбрахме значението на всички елементи от формулата за сумата от аритметичната прогресия. Остава да ги заместим, но да броим:

Това е всичко. Отговор: 75.

Друга задача, базирана на GIA. Малко по-сложно:

2. Като се има предвид аритметична прогресия (a n), разликата от която е равна на 3,7; a 1 \u003d 2.3. Намерете сумата от първите 15 членове.

Веднага напишете формулата на сумата:

Тази формула ни позволява да намерим стойността на всеки член по неговия номер. Търсим проста замяна:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

Остава да заменим всички елементи във формулата на сумата от аритметичната прогресия и да изчислим отговора:

Отговор: 423.

Между другото, ако във формулата на сумата вместо това a n   просто заместваме формулата на n-ия термин, получаваме:

Даваме подобни, получаваме нова формула за сумата от членовете на аритметичната прогресия:

Както можете да видите, тук не се изисква n-ият термин a n, При някои проблеми тази формула помага много, да ... Можете да запомните тази формула. И можете в подходящия момент просто да го изтеглите, както тук. В крайна сметка трябва да се запомни формулата на сумата и формулата на n-ия термин.)

Сега задачата е под формата на кратко криптиране):

3. Намерете сумата от всички положителни двуцифрени числа, кратни на три.

Колко време! Нито първият член, нито последният, нито прогресията изобщо ... Как да живеем !?

Трябва да мислите с главата си и да извадите от условието всички елементи от сбора на аритметичната прогресия. Какво представляват двуцифрените числа - знаем. Те се състоят от две цифри.) Какво ще бъде двуцифрено число първи? 10, по презумпция.) A последното   двуцифрен номер? 99, разбира се! Трицифрени ще го последват ...

Множество от три ... Хм ... Това са числа, които са разделени на три напълно, ето! Десет не е разделено на три, 11 не е разделено ... 12 ... е разделено! Така че, нещо се очертава. Вече е възможно да напишете серия според условията на проблема:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Дали тази серия ще бъде аритметична прогресия? Разбира се! Всеки член се различава строго от предишния с три. Ако добавим 2, или 4 към термина, да речем, резултатът, т.е. новото число вече няма да бъде напълно разделено на 3. Преди купчината, можете веднага да определите разликата в аритметичната прогресия: d \u003d 3.   Handy!)

Така че, можем спокойно да запишем някои параметри на прогресията:

И какво ще бъде числото п   последен член? Всеки, който смята, че 99 е фатално сбъркал ... Числа - те винаги вървят в редица, а нашите членове прескачат челните три. Те не съвпадат.

Има две решения. Един от начините - за супер трудолюбивите. Можете да рисувате прогресията, цялата серия от числа и да преброите броя на членовете с пръст.) Вторият начин е за внимателен. Трябва да припомним формулата на n-ия термин. Ако приложим формулата към нашия проблем, получаваме, че 99 е тридесетият термин на прогресията. Т.е. n \u003d 30.

Разглеждаме формулата за сумата от аритметичната прогресия:

Гледаме и се радваме.) Извадихме от условията на проблема всичко необходимо за изчисляване на сумата:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Остава елементарна аритметика. Подменяме числата във формулата и обмисляме:

Отговор: 1665

Друг вид популярни пъзели:

4. Имайки аритметична прогресия:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Намерете сбора на членовете от двадесетия до тридесет и четвъртия.

Гледаме формулата на сумата и ... разстройваме се.) Формулата, припомням, взема предвид сумата от първия   член. И в проблема трябва да вземете предвид сумата от двадесетата ...   Формулата няма да работи.

Можете, разбира се, да рисувате цялата прогресия подред и да добавяте членове от 20 до 34. Но ... някак се оказва тъпо и дълго, нали?)

Има по-елегантно решение. Ще разделим нашия ред на две части. Първата част ще бъде от първия член до деветнадесетия.   Втора част - от двадесето до тридесет и четвърто.   Ясно е, че ако изчислим сумата на членовете на първата част S 1-19, да, добавете към сбора на членовете на втората част S 20-34, получаваме сумата от прогресията от първия член до тридесет и четвъртия S 1-34, Ето така:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Това показва, че намерите сумата S 20-34   може да бъде обикновено изваждане

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Двете суми от дясната страна се вземат предвид от първия   член, т.е. формулата на стандартната сума е доста приложима за тях. Започваме ли?

Ние получаваме параметрите на прогресията от състоянието на проблема:

d \u003d 1,5.

a 1= -21,5.

За да изчислим сумите на първите 19 и първите 34 членове, ще ни трябват 19 и 34 членове. Ние ги разглеждаме според формулата на n-ия термин, както в проблем 2:

a 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

a 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Не е останало нищо. От 34 члена извадете сумата от 19 членове:

S 20-34 \u003d S 1-34 - S 1-19 \u003d 110.5 - (-152) \u003d 262.5

Отговор: 262.5

Един важен момент! При решаването на този проблем има много полезна функция. Вместо директно изчисление от какво се нуждаете (S 20-34)   преброихме какво би изглеждало ненужно - S 1-19.   И тогава те определиха и S 20-34изхвърляне на ненужния резултат от пълния резултат. Подобна „финта с уши“ често спестява при зли задачи.)

В този урок разгледахме проблеми, за решаването на които е достатъчно да разберем значението на сумата от аритметичната прогресия. Е, трябва да знаете няколко формули.)

Практически съвет:

Когато решавате всеки проблем за сумата от аритметичната прогресия, препоръчвам незабавно да изпишете две основни формули от тази тема.

Формулата на n-ия термин:

Тези формули веднага ще ви кажат какво да търсите, в каква посока да мислите, за да решите проблема. Помага.

И сега задачите за независимо решение.

5. Намерете сумата от всички двуцифрени числа, които не са напълно делими на три.

Готино?) Съветът е скрит в забележката към проблем 4. Е, задача 3 ще помогне.

6. Аритметичната прогресия се дава от условието: a 1 \u003d -5,5; a n + 1 \u003d a n +0.5. Намерете сумата от първите 24 членове.

Необичайно?) Това е рекурсивна формула. Можете да прочетете за това в предишния урок. Не пренебрегвайте връзката, подобни задачи в GIA често се срещат.

7. Вася спести пари за празника. Толкова 4550 рубли! И реших да подаря на любимия си човек (себе си) няколко дни щастие). Да живееш красиво, без да отричаш нищо на себе си. Похарчете 500 рубли на първия ден, а на следващия ден похарчете 50 рубли повече, отколкото на предишния ден! Докато изчерпват запасите от пари. Колко дни щастие получи Вася?

Трудно ли е?) Допълнителната формула от Проблем 2 ще ви помогне.

Отговори (в каша): 7, 3240, 6.

Ако ви харесва този сайт ...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

  Можете да се запознаете с функции и производни.