Този математически калкулатор онлайн ще ви помогне, ако трябва изчислете ограничението на функцията, Програмата лимитни решения   не само дава отговор на проблема, но и води подробно решение с обяснения, т.е. показва процеса на изчисляване на лимита.

Тази програма може да бъде полезна за учениците от гимназията при подготовка за тестове и изпити, когато тестват знания преди изпита, родителите да контролират решението на много проблеми по математика и алгебра. Или може би ви е прекалено скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашната си работа по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и / или обучение на по-малките си братя или сестри, докато нивото на образование в областта на задачите трябва да се подобри.

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не се зареждат и програмата може да не работи.
   Може би имате активиран AdBlock.
В този случай го изключете и опреснете страницата.

защото Има много хора, които искат да разрешат проблема, заявката ви е поставена на опашка.
   След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля, изчакайте   сек ...

Ако ти забеляза грешка в решението, можете да напишете за това във формата за обратна връзка.
   Не забравяйте посочете коя задача   вие решавате и какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Ограничението на функцията като x -\u003e x 0

Нека функцията f (x) се дефинира на някакъв набор X и нека точката \\ (x_0 \\ в X \\) или \\ (x_0 \\ notin X \\)

Вземете от X поредица от точки, различни от х 0:
  x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
  конвергиране в х *. Стойностите на функцията в точките на тази последователност също образуват числова последователност
  f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
  и може да се постави въпросът за съществуването на нейната граница.

дефиниция, Числото A се нарича границата на функцията f (x) в точката x \u003d x 0 (или като x -\u003e x 0), ако за която и да е последователност (1), преобразуваща в x 0, стойностите на аргумента x различни от x 0 съответната последователност (2) от стойности функция се сближава до числото A.

  $$ \\ lim_ (x \\ до x_0) (f (x)) \u003d A $$

Функцията f (x) може да има само една граница при x 0. Това следва от факта, че последователността
  (f (x n)) има само една граница.

Има още едно определение за ограничение на функциите.

дефиниция   Числото A се нарича границата на функцията f (x) в точката x \u003d x 0, ако за което и да е число \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) съществува число \\ (\\ delta\u003e 0 \\) такова, че за всички \\ (x \\ в X, \\; x \\ neq x_0 \\) удовлетворяващи неравенството \\ (| x-x_0 | Използвайки логически символи, това определение може да бъде записано като
  \\ ((\\ forall \\ varepsilon\u003e 0) (\\ съществува \\ delta\u003e 0) (\\ forall x \\ в X, \\; x \\ neq x_0, \\; | x-x_0 | Забележете, че неравенствата \\ (x \\ neq x_0 , \\; | x-x_0 | Първото определение се основава на концепцията за границата на числова последователност, поради което често се нарича определението „в езика на последователностите.“ Второто определение се нарича определението „в езика \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)“.
  Тези две дефиниции на границата на функцията са еквивалентни и всяко от тях може да се използва в зависимост от това кое е по-удобно при решаване на конкретен проблем.

Обърнете внимание, че дефиницията на лимита на функция „на езика на последователностите“ се нарича още дефиницията на ограничението на функция според Хайне, а дефиницията на ограничението на функция „на езика \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)“ се нарича определението на лимита на функция от Коши.

Ограничението на функцията като x-\u003e x 0 - и като x-\u003e x 0 +

В бъдеще ще се използват концепциите за едностранни граници на дадена функция, които се дефинират по следния начин.

дефиниция Числото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за която и да е последователност (1), сходяща се до x 0, елементите x n от които са по-големи (по-малки) x 0, съответната последователност (2) се сближава до A.

Символично е написано така:
  $$ \\ lim_ (x \\ до x_0 +) f (x) \u003d A \\; \\ наляво (\\ lim_ (x \\ до x_0-) f (x) \u003d A \\ дясно) $$

Можете да дадете еквивалентно определение на еднопосочните граници на функцията "на езика \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)":

дефиниция   числото A се нарича дясна (лява) граница на функцията f (x) в точката x 0, ако за някоя \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) съществува \\ (\\ delta\u003e 0 \\) такава, че за всички x, отговарящи на неравенствата \\ (x_0 Символични записи:

Нека разгледаме илюстративни примери.

Нека x е числова променлива, X областта на нейното изменение. Ако на всяко число x, принадлежащо на X, е присвоено определено число y, тогава те казват, че е определена функция на множеството X и пишат y \u003d f (x).
  Множеството X в случая е равнина, състояща се от две координатни оси - 0X и 0Y. Например, ние изобразяваме функцията y \u003d x 2. Осите 0X и 0Y образуват X - областта на неговата промяна. Фигурата ясно показва как се държи функцията. В този случай те казват, че в множеството X се определя функцията y \u003d x 2.

Множеството Y на всички частични стойности на функция се нарича набор от стойности f (x). С други думи, наборът от стойности е празнината по оста 0Y, където е дефинирана функцията. Изобразената парабола ясно показва, че f (x)\u003e 0, защото x2\u003e 0. Следователно, диапазонът на стойностите ще бъде. Ние разглеждаме много стойности от 0Y.

Колекцията от всички x се нарича домейн на дефиниция на f (x). Разглеждаме много дефиниции по отношение на 0X, а в нашия случай диапазонът на допустимите стойности е [-; +].

Точка a (a принадлежи на или X) се нарича гранична точка на множеството X, ако в някой квартал на a има точки от множеството X, различни от a.

Време е да разберем - каква е границата на дадена функция?

Извиква се чисто b, към което се стреми функцията, когато x се приближава до числото a ограничение на функцията, Пише се както следва:

Например, f (x) \u003d x 2. Трябва да разберем към каква функция клони (не е равна на) при x 2. Първо, пишем ограничението:

Нека да разгледаме диаграмата.

Начертайте линия, успоредна на оста 0Y, през точка 2 на оста 0X. Тя ще пресече нашата графика в точката (2; 4). Пускаме перпендикуляра от тази точка към оста 0Y и стигаме до точка 4. Това е нашата функция към х 2. Ако подменим стойността 2 във функцията f (x), отговорът ще бъде същия.

Сега преди да преминете към изчисляване на лимити, въвеждаме основните дефиниции.

Въведен от френския математик Августин Луис Коши през 19 век.

Да предположим, че функцията f (x) е дефинирана на определен интервал, в който се съдържа точката x \u003d A, но не е необходимо стойността f (A) да бъде определена.

Тогава, според определението на Коши, ограничение на функцията   f (x) ще бъде определено число B за x, с тенденция към A, ако за всеки C\u003e 0 има число D\u003e 0, за което

Т.е. ако функцията f (x) при x A е ограничена от границата B, това се записва като

Ограничение на последователността   се извиква определено число A, ако за произволно малко положително число B\u003e 0 съществува число N такова, че всички стойности в случая n\u003e N удовлетворяват неравенството

Такава граница има формата.

Последователност, която има ограничение, ще се нарече конвергентна, ако не, дивергентна.

Както вече забелязахте, лимитите се обозначават от иконата lim, под която се записва някакво условие за променливата и тогава самата функция вече е написана. Такъв набор ще се чете като "ограничението на предоставената функция ...". Например:

  е границата на функцията, тъй като х клони към 1.

Изразът "тенденция към 1" означава, че x последователно приема стойности, които са безкрайно близки до 1.

Сега става ясно, че за да се изчисли тази граница, е достатъчно да се замени стойността 1 вместо x:

В допълнение към определена цифрова стойност, x може да има тенденция към безкрайност. Например:

Изразът x означава, че x непрекъснато се увеличава и безкрайно близо до безкрайността. Следователно, замествайки безкрайността вместо x, ще стане очевидно, че функцията 1-x ще има тенденция, но с обратен знак:

По този начин изчисляване на лимита   Той се свежда до намирането на неговата специфична стойност или конкретна област, в която попада функцията, ограничена от границата.

Въз основа на гореизложеното следва, че при изчисляване на лимитите е важно да се използват няколко правила:

разбиране същността на лимита   и основни правила лимитни изчисления, ще получите ключова представа как да ги решите. Ако какъв лимит ще ви създаде трудности, тогава пишете в коментарите и със сигурност ще ви помогнем.

Забележка: Правознанието е наука за законите, която помага при конфликти и други житейски трудности.

Теория за ограниченията   - един от разделите на математическия анализ, който човек може да овладее, а други трудно могат да изчислят границите. Въпросът за намирането на граници е доста общ, тъй като има десетки трикове лимитни решения различни видове. Същите ограничения могат да се намерят както от правилото на L'Hotel, така и без него. Случва се, че график в серия от безкрайно малки функции ви позволява бързо да получите желания резултат. Има набор от трикове и трикове, за да намерите границата на функция от всяка сложност. В тази статия ще се опитаме да разберем основните видове ограничения, които най-често се срещат на практика. Тук няма да дадем теория и определение на ограничението; в интернет има много ресурси, където това се дъвче. Ето защо, ние ще се включим в практически изчисления, тук започвате с "Не знам! Не знам как! Не ни учеха!"

Изчисляване на лимита на заместване

Пример 1 Намерете ограничение на функцията
  Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Решение: Теоретичните примери от този вид се изчисляват чрез обичайното заместване

Ограничението е 18/11.
  Няма нищо сложно и разумно в такива граници - те заместиха стойността, изчислиха, записаха лимита в отговор. Въпреки това, въз основа на такива ограничения, всички се учат, че на първо място е необходимо да се замени стойност във функция. Освен това границите се усложняват, въвеждат концепцията за безкрайност, несигурност и други подобни.

Ограничението с неопределеност на тип безкрайност се разделя на безкрайност. Методи за разкриване на несигурност

Пример 2 Намерете ограничение на функцията
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d безкрайност).
Решение: Дадена граница на формата на полином, разделена на полином, и променливата има тенденция към безкрайност

  Простата подмяна на стойността, до която трябва да се намери променливата, не помага да се намерят граници; получаваме несигурността на безкрайността на формата, разделена на безкрайността.
  Пот теорията за ограниченията на алгоритъма за изчисляване на ограниченията е да се намери най-голямата степен на "X" в числителя или знаменателя. Тогава тя се опростява от числителя и знаменателя и намира границата на функцията

  Тъй като стойността има тенденция към нула с променлива към безкрайност, те се пренебрегват или се записват в крайния израз като нули

  Веднага от практиката можете да получите два извода, които са намек в изчисленията. Ако променливата има тенденция към безкрайност и степента на числителя е по-голяма от степента на знаменателя, тогава границата е равна на безкрайността. В противен случай, ако полинома в знаменателя на по-висок ред, отколкото в числителя, границата е нула.
  Формулите за ограничение могат да бъдат записани като

  Ако имаме функция от формата на обикновен лог без дроби, тогава нейната граница е безкрайност

  Следващият тип ограничения се отнася до поведението на функции близо до нула.

Пример 3 Намерете ограничение на функцията
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Решение: Тук не е необходимо да се изважда най-високият полиномен умножител. Напротив, необходимо е да се намери най-малката степен на числителя и знаменателя и да се изчисли границата

  Стойност x ^ 2; x клони към нула, когато променливата има тенденция към нула. Следователно, те се пренебрегват, така че получаваме

че лимитът е 2,5.

Сега знаете   как да намерите ограничение на функцията   полином от тип, разделен на полином, ако променливата има тенденция към безкрайност или 0. Но това е само малка и лесна част от примерите. От следващия материал ще научите как да разкрием несигурността на границите на функциите.

0/0 граница на несигурност и методи за нейното изчисляване

Веднага всеки помни правилото, според което е невъзможно да се раздели на нула. Теорията на ограниченията в този контекст обаче означава безкрайно малки функции.
  Помислете няколко примера за яснота.

Пример 4 Намерете ограничение на функцията
  Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Решение: Когато заместваме стойността на променливата x \u003d -1 в знаменателя, получаваме нула и получаваме същото в числителя. Така че имаме несигурност на формата 0/0.
  За да се справите с такава несигурност е просто: трябва да разделите полинома на фактори, или по-скоро да изберете фактор, който превръща функцията в нула.

  След разширяването, ограничението на функцията може да бъде записано като

  Това е целият метод за изчисляване на ограничението на дадена функция. Правим същото, ако има ограничение за формата на полином, разделен на полином.

Пример 5 Намерете ограничение на функцията
  Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Решение: Показва директна замяна
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
  какво имаме тип 0/0 несигурност.
  Разделете полиномите по коефициент, който въвежда характеристика


  Има учители, които преподават, че полиномите от 2-ри ред, тоест формата на „квадратни уравнения“ трябва да се решават чрез дискриминация. Но реалната практика показва, че тя е по-дълга и объркваща, така че се отървете от функциите в границите на посочения алгоритъм. По този начин ние пишем функцията под формата на прости фактори и изчисляваме границата

  Както можете да видите, няма нищо сложно в изчисляването на такива граници. Знаете как да разделите полиноми по време на изучаване на границите, поне според програмата, която вече трябва да сте преминали.
  Сред задачите на тип 0/0 несигурностима такива, в които трябва да приложите формулата на съкратеното умножение. Но ако не ги познавате, тогава чрез разделяне на полинома на едночлен можете да получите правилната формула.

Пример 6 Намерете ограничение на функцията
  Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Решение: Имаме несигурност от тип 0/0. В числителя използваме формулата на съкратеното умножение

  и изчислява необходимия лимит

Метод за разкриване на несигурност чрез умножено умножение

Методът се прилага за граници, при които несигурността поражда ирационални функции. Числителят или знаменателят се превръща в нула в точката на изчисление и не се знае как да намерите границата.

Пример 7 Намерете ограничение на функцията
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
решение:Представете променлива във формулата за ограничение

  При заместване получаваме несигурност от тип 0/0.
  Според теорията на границите схема, която да заобикаля тази характеристика, е да умножи ирационалния израз с конюгата. За да не се промени изразът, знаменателят трябва да бъде разделен на една и съща стойност

  Използвайки правилото за квадратна разлика, опростяваме числителя и изчисляваме границата на функцията

Опростете условията, създаващи сингулярността в лимита и извършете заместване

Пример 8 Намерете ограничение на функцията
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Решение: Директното заместване показва, че лимитът има сингулярност на формата 0/0.

  За разкриване ние умножаваме и делим по спрега на числителя

  Пишем разликата на квадратите

Опростете условията, които въвеждат функцията и намерете ограничението на функцията

Пример 9 Намерете ограничение на функцията
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Решение: Заместете двойката във формулата

  получаваме несигурност 0/0.
  Знаменателят трябва да се умножи по спрегнатия израз и в числителя да се реши квадратното уравнение или да се раздели коефициентът му, като се вземе предвид особеността. Тъй като е известно, че 2 е корен, ние откриваме втория корен от теоремата на Vieta

  Така пишем числителя във формата

  и замести лимита

  Намалявайки разликата на квадратите, се отърваваме от характеристиките в числителя и знаменателя

  По този начин можете да се отървете от функциите в много примери и приложението трябва да бъде забелязано навсякъде, където дадената коренна разлика се превръща в нула при заместване. Други видове ограничения се отнасят до експоненциални функции, безкрайно малки функции, логаритми, специални ограничения и други техники. Но можете да прочетете повече за това в статиите за ограничения, изброени по-долу.

Теорията на пределите е един от отраслите на математическия анализ. Въпросът за решаване на граници е доста обширен, тъй като има десетки методи за решаване на лимити от различни видове. Има десетки нюанси и трикове за решаване на тази или онази граница. Въпреки това, ние все още се опитваме да разберем основните видове ограничения, които най-често се срещат на практика.

Да започнем със самата концепция за лимит. Първо, кратък исторически фон. Някога там е живял през 19 век французинът Августин Луи Коши, който дава строги определения на много понятия за матан и поставя основите му. Трябва да кажа, че този уважаван математик е мечтал, мечтае и ще сънува в кошмари на всички студенти от физически и математически факултети, тъй като той доказа огромен брой теореми на математическия анализ и една теорема е по-гладка от друга. В тази връзка няма да разглеждаме определяне на границата на Коши, и се опитайте да направите две неща:

1. Разберете каква е границата.
2. Научете се да решавате основните типове ограничения.

Извинявам се за някои ненаучни обяснения, важно е материалът да е разбираем дори за чайника, което всъщност е задачата на проекта.

И така, какъв е лимитът?

И веднага пример за това, което една баба раздробява….

Всяко ограничение има три части.:

1) Всеки знае иконата за ограничение.
   2) Вписвания под иконата за ограничение, в този случай. Записът гласи „X се стреми към единство“. Най-често - така е, въпреки че вместо „X” на практика има други променливи. В практическите задачи вместо единицата може да има абсолютно всяко число, както и безкрайност ().
   3) Функции под ограничителния знак, в този случай.

Записвайте се   гласи следното: "границата на функцията с х, склонна към единство."

Нека да разгледаме следния важен въпрос - какво означава изразът „X“? има за цел да   към единство? И към какво е „стремеж“?
   Понятието лимит е понятие, така да се каже, динамичен, Изградете последователността: първо, после ,, ..., , ….
   Тоест, изразът „х има за цел да   до единство "трябва да се разбира така:" x "последователно приема стойности, които са безкрайно близки до единството и практически съвпадат с него.

Как да решим горния пример? Въз основа на гореизложеното, просто трябва да замените единицата във функцията под граничния знак:

И така, първото правило:   Когато е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заместим число във функцията.

Смятахме за най-простата граница, но такива се срещат на практика, освен това, не толкова рядко!

Пример с безкрайност:

Разбрахме какво е? Такъв е случаят, когато расте неограничено, тоест: първо, после, после, после и така нататък до безкрайност.

И какво се случва с функцията в този момент?
, , , …

И така: ако, тогава функцията се стреми към минус безкрайност:

Грубо казано, според първото ни правило, ние заместваме безкрайността на функцията „x“ и получаваме отговора.

Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да се увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията:

Заключение: когато функцията се увеличава неограничено:

И поредица от примери:

Моля, опитайте се да анализирате независимо следното и запомнете най-простите видове ограничения:

, , , , , , , , ,
   Ако някъде има съмнение, тогава можете да вземете калкулатор и да практикувате малко.
   В такъв случай се опитайте да изградите последователност ,,. Ако, тогава ,,.

! забележка: строго погледнато, такъв подход с конструирането на последователности от няколко числа е неправилен, но е напълно подходящ за разбиране на най-простите примери.

Обърнете внимание и на следното. Дори ако е даден лимит с голям брой в горната част и дори с милион:, тогава така или иначе , тъй като рано или късно „X” ще започне да приема такива гигантски стойности, че милион в сравнение с тях ще бъде истински микроб.

Какво трябва да запомните и разберете от горното?

1) Когато е дадено ограничение, първо просто се опитваме да заместим число във функцията.

2) Трябва да разберете и незабавно да решите най-простите граници, като например ,, и т.н.

Освен това лимитът има много добро геометрично значение. За по-добро разбиране на темата препоръчвам да се запознаете с методологичния материал Графики и свойства на елементарни функции, След като прочетете тази статия, вие не само ще разберете накрая какво е ограничение, но и ще се запознаете с интересни случаи, когато лимитът на функция като цяло не съществува!

На практика, за съжаление, има малко подаръци. И така се обръщаме към разглеждането на по-сложни граници. Между другото, има интензивен курс   във формат pdf, което е особено полезно, ако имате МНОГО малко време за подготовка. Но материалите на сайта, разбира се, не са по-лоши:

Сега разглеждаме групата от граници, когато и функцията е дроб, в числителя и знаменателя на които са полиноми

Пример:

Изчислете лимит

Според нашето правило ще се опитаме да заместим безкрайността във функция. Какво получаваме отгоре? Infinity. И какво се случва по-долу? Също безкрайност. По този начин имаме така наречената несигурност на видовете. Човек би си помислил, че отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и трябва да се приложи някакво решение, което сега ще разгледаме.

Как да решим границите от този тип?

Първо, ние разглеждаме числителя и откриваме в по-висока степен:

   Най-високата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и също намираме в най-висока степен:

   Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-старата степен на числителя и знаменателя: в този пример те съвпадат и са равни на две.

И така, методът на решение е следният: за да се разкрие несигурността, е необходимо да се раздели числителят и знаменателят на най-висока степен.

Ето го, отговорът, а не безкрайността изобщо.

Какво е от съществено значение при проектирането на решение?

Първо, посочете несигурността, ако има такава.

Второ, препоръчително е решението да бъде прекъснато за междинни обяснения. Обикновено използвам знак, той няма никакво математическо значение, но означава, че решението е прекъснато за междинно обяснение.

Трето, в граница, е желателно да се отбележи какво и къде се търси. Когато работата завърши на ръка, е по-удобно да направите това:

   За бележки е по-добре да използвате обикновен молив.

Разбира се, не можете да направите нищо от това, но тогава, може би, учителят ще забележи недостатъците в решението или ще започне да задава допълнителни въпроси по заданието. Имате ли нужда от него?

Пример 2

Намерете лимит
   Отново в числителя и знаменателя откриваме в по-висока степен:

   Максималната степен в числителя: 3
   Максималната степен в знаменателя: 4
   Изборът най-великият   стойност, в случая четири.
   Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя по.
   Пълният дизайн на задачата може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя по

Пример 3

Намерете лимит
   Максималната степен на "X" в числителя: 2
   Максималната степен на "x" в знаменателя: 1 (може да се запише като)
   За да се разкрие несигурността, е необходимо да се раздели числителят и знаменателят на. Едно чисто решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя по

Записът означава не деление на нула (не можете да разделите на нула), а деление на безкрайно малко число.

По този начин, когато разкриваме несигурността на вида, можем да получим краен брой, нула или безкрайност.

Ограничава с несигурност на типа и метод за решаването им

Следващата група граници е донякъде подобна на току-що разгледаните граници: полиномите са в числителя и знаменателя, но „X“ вече не е склонен към безкрайност, а към окончателен номер.

Пример 4

Решете лимита
   Първо, опитайте да заместите -1 във фракцията:

   В този случай се получава така наречената несигурност.

Общо правило: ако числителят и знаменателят съдържат полиноми и има несигурност на формата, тогава за неговото разкриване трябва да разчитате на числителя и знаменателя.

За целта най-често трябва да разрешите квадратното уравнение и (или) да използвате формулите на съкратеното умножение. Ако тези неща са забравени, тогава посетете страницата Математически формули и таблици   и прочетете учебния материал Формули за курсове по гореща математика, Между другото, най-добре е да го отпечатате, изисква се много често, а информацията от хартия се усвоява по-добре.

И така, решаваме лимита си

Фактор на числителя и знаменателя

За да разчитате на числителя, трябва да разрешите квадратното уравнение:

   Първо намираме дискриминатора:

   И квадратният корен от него:.

Ако дискриминантът е голям, например 361, използваме калкулатор, функцията за извличане на корен от квадрат е на най-простия калкулатор.

! Ако коренът не бъде извлечен напълно (оказва се дробно число със запетая), много вероятно е дискриминаторът да е изчислен неправилно или в задачата за печатане.

След това намираме корените:

По този начин:

Това е всичко. Числителят е разделен на фактори.

Знаменателя. Знаменателят вече е най-простият фактор и не може да бъде опростен по никакъв начин.

Очевидно това може да се намали с:

Сега заместваме -1 в израза, който остава под граничния знак:

Естествено, в теста, в теста, в изпита, решението никога не се описва толкова подробно. В крайната версия дизайнът трябва да изглежда така:

Фактор на числителя.

Пример 5

Изчислете лимит

Първо, решението за завършване

Фактор на числителя и знаменателя.

числител:
   знаменател:



,

Какво е важно в този пример?
   Първо, трябва да разберете добре как се разкрива числителят, първо поставихме 2 от скобата и след това използваме формулата на разликата на квадратите. Тази формула трябва да бъде известна и видяна.

Препоръка: Ако в ограничението (от почти всеки тип) можете да поставите номера от скобата, тогава ние винаги го правим.
Освен това е препоръчително да извадите такива номера от иконата за ограничение., Защо? Да, само за да не пречат под краката. Основното нещо, тогава тези числа не губят в хода на решението.

Моля, обърнете внимание, че на последния етап от решението взех двойка отвъд граничната икона и след това минус.

! Важно е
По време на решението много често се среща типов фрагмент. Намалете такава фракцияне е позволено , Първо трябва да смените знака на числителя или знаменателя (поставете -1 от скобите).
, тоест се появява знак минус, който се взема предвид при изчисляването на лимита и изобщо не е необходимо да го губите.

Като цяло забелязах, че най-често при намирането на границите на този тип трябва да се решат две квадратични уравнения, тоест квадратичните триноми се намират както в числителя, така и в знаменателя.

Методът за умножаване на числителя и знаменателя чрез свързания израз

Продължаваме да разглеждаме несигурността на формата

Следният вид ограничения е подобен на предишния тип. Единственото нещо, в допълнение към полиномите, ще добавим корени.

Пример 6

Намерете лимит

Започваме да решаваме.

Първо се опитваме да заместим 3 в израза под граничния знак
Повтарям още веднъж - това е първото нещо, което трябва да направите за НЯКОЙ лимит, Това действие обикновено се осъществява мислено или в чернова.

Получава се несигурността на видовете, които трябва да бъдат премахнати.

Както вероятно сте забелязали, ние имаме коренната разлика в числителя. И е обичайно да се отървете от корените в математиката, ако е възможно. Защо? И без тях животът е по-лесен.

Понятията за граници на последователности и функции. Когато е необходимо да се намери границата на последователността, тя се записва по следния начин: lim xn \u003d a. В такава последователност, xn е склонен към a, а n е безкраен. Поредица обикновено е представена като серия, например:
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ....
Последователностите се делят на възходящи и низходящи. Например:
xn \u003d n ^ 2 - увеличаваща се последователност
yn \u003d 1 / n - последователност
Така например, ограничението на последователността xn \u003d 1 / n ^:
lim 1 / n ^ 2 \u003d 0

x → ∞
Тази граница е равна на нула, тъй като n → ∞, а последователността 1 / n ^ 2 клони към нула.

Обикновено променливата x има тенденция към крайна граница a, като x постоянно се приближава до a, а стойността на константа. Това се записва по следния начин: limx \u003d a, докато n също може да има тенденция към нула и безкрайност. Има безкрайни функции, за тях лимитът се стреми към безкрайност. В други случаи, когато, например, функцията забави влака, е възможно границата да се стреми към нула.
Ограниченията имат редица свойства. По правило всяка функция има само една граница. Това е основното свойство на лимита. Други са изброени по-долу:
* Ограничението на сумата е равно на сумата от лимитите:
lim (x + y) \u003d lim x + lim y
* Ограничението на продукта е равно на произведеното от лимитите:
lim (xy) \u003d lim x * lim y
* Ограничението на коефициента е равно на коефициента на лимитите:
lim (x / y) \u003d lim x / lim y
* Постоянният коефициент се изважда от граничния знак:
lim (Cx) \u003d C lim x
Като се има предвид функция 1 / x, в която x → ∞, нейната граница е нула. Ако x → 0, границата на такава функция е ∞.
За тригонометричните функции има от тези правила. Тъй като функцията sin x винаги е склонна към единство, когато се доближава до нула, идентичността важи за нея:
lim sin x / x \u003d 1

В редица има функции при изчисляването на границите, за които има несигурност - ситуация, при която лимитът не може да бъде изчислен. Единственият изход от тази ситуация е Лопитала. Има два вида несигурности:
* несигурност на формата 0/0
* несигурност на формата ∞ / ∞
Например, дава се ограничение на следната форма: lim f (x) / l (x), освен това f (x0) \u003d l (x0) \u003d 0. В този случай възниква несигурност от формата 0/0. За да се реши този проблем, и двете функции се подлагат на диференциация, след което те намират границата на резултата. За несигурност от формуляр 0/0, ограничението е:
  lim f (x) / l (x) \u003d lim f "(x) / l" (x) (като x → 0)
Същото правило важи и за несигурността от тип ∞ / ∞. Но в този случай е налице следното равенство: f (x) \u003d l (x) \u003d ∞
Използвайки правилото L'Hotel, може да се намерят стойностите на всякакви граници, в които се появяват несигурността. Задължително условие за

обем - липсата на грешки при намирането на производни. Така например, производната на функцията (x ^ 2) "е 2x. От това можем да заключим, че:
f "(x) \u003d nx ^ (n-1)