Онлайн калкулатор.
  Решението на аритметичната прогресия.
   Дадени: a n, d, n
   Намерете: a 1

Тази математическа програма намира аритметичната прогресия \\ (a_1 \\) въз основа на посочените от потребителя числа \\ (a_n, d \\) и \\ (n \\).
   Числата \\ (a_n \\) и \\ (d \\) могат да бъдат посочени не само цели числа, но и частични. Освен това може да бъде въведено дробно число под формата на десетична дроб (\\ (2,5 \\)) и под формата на обикновена дроб (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).

Програмата не само дава отговор на проблема, но и показва процеса на намиране на решение.

Този онлайн калкулатор може да бъде полезен за учениците от гимназията при подготовка за тестове и изпити, когато тестват знания преди изпита, родителите да контролират решението на много проблеми по математика и алгебра. Или може би ви е прекалено скъпо да наемете преподавател или да купите нови учебници? Или просто искате да направите домашната си работа по математика или алгебра възможно най-бързо? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и / или обучение на по-малките си братя или сестри, докато нивото на образование в областта на задачите трябва да се подобри.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на номера, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на числа

Числата \\ (a_n \\) и \\ (d \\) могат да бъдат посочени не само цели числа, но и частични.
   Числото \\ (n \\) може да бъде само положително цяло число.

Правила за въвеждане на десетични дроби.
   Целите и дробни части в десетични дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например, можете да въведете десетични дроби като 2.5 или 2.5

Правила за въвеждане на обикновени фракции.
   Като числителят, знаменателят и целочислената част на дроби може да бъде само цяло число.

Знаменателят не може да бъде отрицателен.

Когато въвеждате числова част, числителят се отделя от знаменателя чрез знак за разделяне: /
   вход:
   Резултат: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)

Цялата част е отделена от фракцията със знака амперсанд: &
   вход:
   Резултат: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаване на този проблем, не се зареждат и програмата може да не работи.
   Може би имате активиран AdBlock.
В този случай го изключете и опреснете страницата.

защото Има много хора, които искат да разрешат проблема, заявката ви е поставена на опашка.
   След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля, изчакайте   сек ...

Ако ти забеляза грешка в решението, можете да напишете за това във формата за обратна връзка.
   Не забравяйте посочете коя задача   вие решавате и какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Числова последователност

В ежедневната практика често се използва номерирането на различни предмети, за да се посочи редът на подреждането им. Например къщите на всяка улица са номерирани. Библиотечната номерация преминава абонамента и след това ги подрежда в реда на присвоените номера в специални файлови шкафове.

В спестовна банка, по номера на личната сметка на вложителя, можете лесно да намерите тази сметка и да видите какъв принос има тя. Да предположим, че сметка № 1 е приносът на a1 рубли, номер на сметка 2 е приносът на a2 рубли и т.н. Оказва се числова последователност
  a 1, 2, 3, ..., a N
  където N е номерът на всички сметки. Тук всяко естествено число n от 1 до N се свързва с числото a n.

Математиката също се изучава безкрайни числови последователности:
  a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
  Извиква се числото a 1 първи член на последователността, числото a 2 - втори член на последователността, числото 3 - трети член на последователността   и т. г.
  Повиква се числото a n n-ти (n-ти) срок на последователността, а естественото число n е неговото номер.

Например в поредица от квадратчета с естествени числа 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... и 1 \u003d 1 е първият член на последователността; и n \u003d n2 е n-тият член на последователността; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 е (n + 1) -ти (en плюс първи) член на последователността. Често една последователност може да бъде определена по формулата на нейния n-ти термин. Например, формулата \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ в \\ mathbb (N) \\) дава последователността \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ точки, \\ frac (1) (n), \\ точки \\)

Аритметична прогресия

Продължителността на годината е приблизително 365 дни. По-точна стойност е \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) дни, така че на всеки четири години се натрупва грешка от един ден.

За да се отчете тази грешка, към всеки четвърта година се добавя ден, а удължена година се нарича високосна.

Например през третото хилядолетие високосните години са годините 2004, 2008, 2012, 2016, ....

В тази последователност всеки от членовете си, започвайки от втория, е равен на предишния, сгънат със същото число 4. Такива последователности се наричат аритметични прогресии.

Определение.
  Числовата последователност a 1, 2, 3, ..., a n, ... се нарича аритметична прогресияако за всички положителни числа n равенството
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\)
  където d е определено число.

От тази формула следва, че a n + 1 - a n \u003d d. Числото d се нарича разлика аритметична прогресия.

По дефиницията на аритметичната прогресия имаме:
  \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\)
  откъде
  \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), където \\ (n\u003e 1 \\)

По този начин всеки член на аритметичната прогресия, започвайки от втория, е равен на средната аритметична стойност на два съседни члена. Това обяснява името "аритметична" прогресия.

Обърнете внимание, че ако са дадени 1 и d, тогава останалите условия на аритметичната прогресия могат да бъдат изчислени с помощта на формулата за повторение a n + 1 \u003d a n + d. По този начин не е трудно да се изчисли първите няколко срока на прогресията, но например 100 вече изисква много изчисления. Обикновено за това се използва формулата на n-ия термин. По дефиниция на аритметичната прогресия
  \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\)
  \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\)
  \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\)
  и т.н.
  като цяло,
  \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\)
  тъй като n-тия термин на аритметичната прогресия се получава от първия член, като се добави (n-1) пъти числото d.
  Тази формула се нарича формулата на n-ия термин на аритметичната прогресия.

Сумата от n първи членове на аритметичната прогресия

Намерете сумата от всички естествени числа от 1 до 100.
Пишем тази сума по два начина:
  S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
  S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
  Нека обобщим тези равенства:
  2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
  В тази сума има 100 термина
  Следователно, 2S \u003d 101 * 100, откъдето S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.

Сега помислете за произволна аритметична прогресия
  a 1, 2, 3, ..., a n, ...
  Нека S n е сборът на n-първите членове на тази прогресия:
  S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
  след това сумата от n първи членове на аритметичната прогресия е равна на
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)

Тъй като \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), замествайки n в тази формула, получаваме друга формула за намиране суми от n първи членове на аритметичната прогресия:
  \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)

Някой внимава с думата „прогресия“ като много сложен термин от разделите на висшата математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на таксиметровия метър (където все още са останали). И да разбереш същността (а в математиката няма нищо по-важно от това да "разбереш същността") на аритметична последователност не е толкова трудно, като подреди няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Чрез числова последователност е обичайно да се назовават произволни серии от числа, всяко от които има свой номер.

и 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на последователността;

и n е n-тият член на последователността;

Не всеки произволен набор от числа и числа обаче ни интересува. Ние се фокусираме върху числова последователност, в която стойността на n-тия термин е свързана с неговия сериен номер чрез зависимост, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числовата стойност на n-то число е функция на n.

a е стойността на член от числова последователност;

n е нейният сериен номер;

f (n) е функция, при която поредният номер в числовата последователност n е аргумент.

дефиниция

Аритметичната прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ термин е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметичната последователност е следната:

a n е стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n + 1 е формулата за следващото число;

d е разликата (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d\u003e 0), тогава всеки следващ член на въпросната серия ще бъде по-голям от предишния и подобна аритметична прогресия ще се увеличи.

На графиката по-долу е лесно да се разбере защо числовата последователност се нарича „увеличаваща се“.

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Стойността на посочения член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен термин a n аритметична прогресия. Можете да направите това, като изчислите последователно стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, от първия до желания. Такъв път обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхиляден или осеммилионен член. Традиционното изчисление ще отнеме много време. Въпреки това, определена аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Съществува и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да бъде определена като сума на първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по броя на желания член, намалена с един.

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден член

Решаваме следния проблем с намирането на стойността на n-ия член на аритметичната прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на последователността е 3;

Разликата в числовите серии е 1,2.

Присвояване: Необходимо е да се намери стойността на 214 членове

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a (n) \u003d a1 + d (n-1)

Замествайки данните от условията на проблема в израза, имаме:

a (214) \u003d a1 + d (n-1)

a (214) \u003d 3 + 1.2 (214-1) \u003d 258.6

Отговор: 214-ият член на последователността е 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сумата от посочения брой членове

Много често в дадена аритметична серия се изисква да се определи сумата от стойностите на някои от нейния сегмент. За това също не е необходимо да се изчисляват стойностите на всеки член и след това да се сумират. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да бъде намерена, е малка. В други случаи е по-удобно да се използва следната формула.

Сумата на членовете на аритметичната прогресия от 1 до n е равна на сумата на първия и петия член, умножена по броя на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия термин се замени с израза от предишния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, решаваме проблема със следните условия:

Първият член на последователността е нула;

Разликата е 0,5.

В проблема се изисква да се определи сумата на членовете на поредицата от 56-та до 101-та.

Решение. Използваме формулата за определяне на размера на прогресията:

s (n) \u003d (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2

Първо, ние определяме сумата от стойностите на 101 члена на прогресията, замествайки във формулата данните за техните условия на нашия проблем:

s 101 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 \u003d 2 525

Очевидно е, че за да разберем сумата от условията на прогресията от 56-та до 101-ва, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 \u003d (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 \u003d 742.5

По този начин, сумата от аритметичната прогресия за този пример:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1,782.5

Пример за практическото приложение на аритметичната прогресия

В края на статията се връщаме към примера на аритметичната последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (брояч на таксиметрови коли). Обмислете този пример.

Кацането в такси (което включва 3 км бягане) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли / км. Разстоянието на пътуването е 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Изхвърляме първите 3 км, цената на които е включена в цената на кацането.

30 - 3 \u003d 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализ на редиците от аритметични числа.

Номер на члена - броят километри (минус първите три).

Стойността на член е сумата.

Първият термин в този проблем ще бъде равен на 1 \u003d 50 p.

Разликата в прогресията d \u003d 22 p.

числото, което ни интересува, е стойността на (27 + 1) -тия срок на аритметичната прогресия - отчитането на метър в края на 27-ия километър е 27,999 ... \u003d 28 км.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Изчисленията на календарните данни за произволно дълъг период са изградени на формули, описващи конкретни числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до слънцето. В допълнение, различни числови серии успешно се прилагат в статистиката и други приложни отрасли на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с големи, в сравнение с аритметични, скорости на промяна. Неслучайно в политиката, социологията и медицината често се казва, че процесът се развива експоненциално, за да се покаже висока степен на разпространение на явление, например, болест в епидемия.

Четвъртият член на серия от геометрични числа се различава от предходния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият термин е 1, знаменателят е 2, съответно: тогава

n \u003d 1: 1 ∙ 2 \u003d 2

n \u003d 2: 2 ∙ 2 \u003d 4

n \u003d 3: 4 ∙ 2 \u003d 8

n \u003d 4: 8 ∙ 2 \u003d 16

n \u003d 5: 16 ∙ 2 \u003d 32,

b n е стойността на текущия срок на геометричната прогресия;

b n + 1 е формулата за следващия член на геометрична прогресия;

q е знаменателят на геометричната прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметичната прогресия е права линия, то геометричната рисува малко по-различна картина:

Както в случая на аритметика, геометричната прогресия има формулата за стойността на произволен термин. Всеки n-ти член на геометричната прогресия е равен на произведението на първия член от знаменателя на прогресията до степен n, намалена с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3, а знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Намерете петия член на прогресията

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Сумата от даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от деветте първи члена на геометричната прогресия е равна на разликата на произведението на n-ия термин на прогресията по знаменателя й и на първия член на прогресията, разделена на знаменателя, намалена с единица:

Ако b n се замени с помощта на формулата, разгледана по-горе, стойността на сумата n от първите членове на разглежданите числови серии има формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е зададен на 3. Намерете сумата от първите осем члена.

s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280

Понятието за числова последователност предполага съответствието на всяко естествено число от някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) от последователността може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметичната прогресия е поредица от числови стойности, в която съседните й членове се различават по един и същ брой (всички елементи от поредицата, започвайки от 2-ра, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - постоянно се нарича разликата в прогресията.

  Разлика в прогресията: Определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към множеството естествени числа N. Аритметичната прогресия, според нейното определение, е последователност , в която a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. Стойността на d е желаната разлика от тази прогресия.

d \u003d a (j) - a (j-1).

разграничени:

• Увеличаване на прогресията, в този случай d\u003e 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• След това намалява прогресията d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

  Разликата в прогресията и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни термина на прогресията (i-та, k-th), тогава можете да зададете разликата за тази последователност въз основа на отношението:

a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, следователно d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).

  Разликата в прогресията и нейния първи мандат

Този израз ще помогне да се определи неизвестната стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

  Разликата в прогресията и нейната сума

Сумата на прогресията е сборът на нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите й елементи, използвайте съответната формула:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, но тъй като a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), тогава S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

При изучаване на алгебра в общообразователно училище (9 клас) една от важните теми е изучаването на числови последователности, които включват прогресии - геометрични и аритметични. В тази статия ще разгледаме аритметичната прогресия и примери с решения.

Какво е аритметична прогресия?

За да се разбере това, е необходимо да се даде определение на разглежданата прогресия, както и да се дадат основните формули, които ще бъдат използвани по-нататък при решаване на проблеми.

Известно е, че при някаква алгебраична прогресия 1-ви мандат е 6, а 7-ми термин е 18. Необходимо е да се намери разликата и да се възстанови тази последователност на 7 членове.

Използваме формулата, за да определим неизвестния термин: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Заместваме в него познатите данни от условието, тоест числата a 1 и 7, имаме: 18 \u003d 6 + 6 * d. От този израз лесно може да се изчисли разликата: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Така беше дадена първата част от проблема.

За да възстановите последователността до 7 термина, трябва да използвате дефиницията на алгебраичната прогресия, тоест 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d и т.н. В резултат на това възстановяваме цялата последователност: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Пример № 3: постигане на прогресия

Още повече усложняваме проблемното състояние. Сега е необходимо да се отговори на въпроса как да се намери аритметичната прогресия. Можете да дадете следния пример: дадени са две числа, например 4 и 5. Необходимо е да се състави алгебраична прогресия, така че да се поставят още три термина между тях.

Преди да започнете да решавате този проблем, трябва да разберете на какво място ще бъдат дадени числа в бъдеща прогресия. Тъй като между тях ще има още три термина, тогава 1 \u003d -4 и 5 \u003d 5. След като установим това, пристъпваме към проблема, който е подобен на предишния. Отново за n-ия термин използваме формулата, получаваме: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Където: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Те не получиха целочислената стойност на разликата, но това е рационално число, така че формулите за алгебраична прогресия остават същите.

Сега добавяме намерената разлика към 1 и възстановяваме липсващите условия на прогресията. Получаваме: a 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, a 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, a 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, което съвпада с условието на проблема.

Пример № 4: първият член на прогресията

Продължаваме да даваме примери за аритметична прогресия с решение. Във всички предишни проблеми беше известно първото число на алгебраичната прогресия. Сега помислете за задача от различен тип: нека се дадат две числа, където 15 \u003d 50 и 43 \u003d 37. Необходимо е да се намери с кое число започва тази последователност.

Формулите, които са били използвани досега, изискват знания за 1 и d. В условията на проблема с тези числа не се знае нищо. Независимо от това, ние изписваме изразите за всеки член, за които е налична информация: a 15 \u003d a 1 + 14 * d и 43 \u003d a 1 + 42 * d. Получихме две уравнения, в които 2 неизвестни величини (a 1 и d). Това означава, че проблемът се свежда до решаване на система от линейни уравнения.

Посочената система е най-лесна за разрешаване чрез изразяване на 1 във всяко уравнение и след това сравняване на получените изрази. Първото уравнение: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; второто уравнение: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Приравнявайки тези изрази, получаваме: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, откъдето разликата d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (след десетичната запетая се дават само 3 десетични знака).

Като знаете d, можете да използвате всеки от 2-те по-горе изрази за 1. Например, първото: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ако има съмнения относно резултата, можете да го проверите, например да определите 43 срока на прогресията, който е посочен в условието. Получаваме: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Малка грешка се дължи на факта, че изчисленията са използвали закръгляне до хилядни.

Пример №5: количество

Сега помислете за няколко примера с решения в размер на аритметичната прогресия.

Нека се даде числова прогресия на следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Как да изчислим сумата от 100 от тези числа?

Благодарение на развитието на компютърните технологии този проблем може да бъде решен, тоест последователно сумиране на всички числа, които компютърът ще направи, веднага щом човек натисне клавиша Enter. Проблемът обаче може да бъде решен в ума, ако обърнете внимание, че представената поредица от числа е алгебрична прогресия и разликата й е 1. Използвайки формулата за сумата, получаваме: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Интересно е да се отбележи, че този проблем се нарича „гаусски“, тъй като в началото на XVIII век известният германец, бидейки едва на 10 години, успя да го реши в съзнанието си за няколко секунди. Момчето не знаеше формулата за сумата на алгебраичната прогресия, но забеляза, че ако добавите числата в краищата на последователността по двойки, винаги получавате един резултат, тоест 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ... и тъй като от тези суми ще бъдат точно 50 (100/2), тогава за да получите верния отговор, просто умножете 50 по 101.

Пример № 6: сборът на членовете от n до m

Друг типичен пример за сумата от аритметична прогресия е следният: дадена е поредица от числа: 3, 7, 11, 15, ..., трябва да намерите каква ще бъде равна сумата на нейните членове от 8 до 14.

Проблемът се решава по два начина. Първият от тях включва намиране на неизвестни членове от 8 до 14 и след това тяхното последователно сумиране. Тъй като има малко термини, този метод не отнема много време. Въпреки това се предлага този проблем да бъде решен чрез втория метод, който е по-универсален.

Идеята е да се получи формула за сумата от алгебрична прогресия между термините m и n, където n\u003e m са цели числа. И за двата случая изписваме два израза за сумата:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Тъй като n\u003e m, очевидно е, че 2-тата сума включва първата. Последният извод означава, че ако вземем разликата между тези суми и добавим към него термина a m (в случай на вземане на разликата, тя се изважда от сумата S n), получаваме необходимия отговор на проблема. Имаме: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). В този израз е необходимо формулите да бъдат заменени с a n и m. Тогава получаваме: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Получената формула е донякъде тромава, но сумата S mn зависи само от n, m, a 1 и d. В нашия случай a 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Замествайки тези числа, получаваме: S mn \u003d 301.

Както се вижда от горните решения, всички задачи се основават на познаване на израза за n-ия термин и формулата за сумата от множеството първи термини. Преди да започнете да решавате някой от тези проблеми, се препоръчва внимателно да прочетете състоянието, ясно да разберете какво трябва да намерите и едва след това да продължите с решението.

Друг съвет е да се стремите към простота, тоест ако можете да отговорите на въпроса, без да прилагате сложни математически изчисления, тогава трябва да направите точно това, тъй като в този случай вероятността да направите грешка е по-малка. Например, в пример за аритметична прогресия с разтвор № 6, може да се спре на формулата S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am и да раздели общия проблем на отделни подзадачи (в този случай първо намерете термините an и am).

Ако има съмнения относно резултата, се препоръчва да го проверите, както беше направено в някои от дадените примери. Как да намерите аритметичната прогресия, разбрах. Ако погледнете, не е толкова трудно.

Аритметична прогресия   наречена поредица от числа (членове на прогресия)

В който всеки следващ термин се различава от предишния по стоманен термин, който също се нарича разлика или степен на прогресия.

По този начин, задавайки стъпката на прогресията и нейния първи мандат, по формулата може да се намери всеки елемент от нея

Свойства на аритметичната прогресия

1) Всеки член на аритметичната прогресия, като се започне от второто число, е средната аритметична стойност на предишния и следващия член на прогресията

Обратното също е вярно. Ако средната аритметична стойност на съседните нечетни (четни) членове на прогресията е равна на члена, който стои между тях, тогава тази последователност от числа е аритметична прогресия. Според това твърдение е много лесно да се провери всяка последователност.

Също така, по свойството на аритметичната прогресия, горната формула може да бъде обобщена до следното

Това е лесно да се разбере, ако напишете условията вдясно от знака за равенство

Често се използва на практика за опростяване на изчисленията в задачите.

2) Сумата от деветте първи членове на аритметичната прогресия се изчислява по формулата

Запомнете добре формулата за сумата на аритметичната прогресия, тя е незаменима при изчисленията и е доста често срещана в прости житейски ситуации.

3) Ако трябва да намерите не цялата сума, а част от последователността, започваща от нейния kth член, тогава следващата формула за суми ще бъде полезна

4) От практически интерес е намирането на сумата от n членове на аритметична прогресия, започваща от k-то число. За целта използвайте формулата

С това се сключва теоретичният материал и се пристъпва към решаването на често срещани в практиката проблеми.

Пример 1. Намерете четиридесетия срок на аритметична прогресия 4; 7; ...

решение:

Според състоянието, което имаме

Определете стъпката на прогресията

По добре познатата формула намираме четиридесетия термин на прогресията

Пример 2 Аритметичната прогресия се дава от третия и седмия член. Намерете първия член на прогресията и сумата от десет.

решение:

Пишем дадените елементи на прогресията според формулите

Изваждаме първото от второто уравнение, в резултат откриваме стъпката на прогресията

Заместваме намерената стойност в някое от уравненията, за да намерим първия член на аритметичната прогресия

Изчисляваме сумата от първите десет членове на прогресията

Без да прилагаме сложни изчисления, намерихме всички търсени количества.

Пример 3. Аритметичната прогресия се дава от знаменателя и един от неговите членове. Намерете първия член на прогресията, сумата от неговите 50 членове, започваща от 50, и сумата от първите 100.

решение:

Пишем формулата на стотия елемент на прогресията

и намерете първото

Въз основа на първия откриваме 50-годишната прогресия

Намерете сумата на частта за прогресия

и сумата от първите 100

Количеството на прогресията е 250.

Пример 4

Намерете броя на членовете на аритметичната прогресия, ако:

a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.

решение:

Пишем уравненията през първия член и стъпката на прогресията и ги дефинираме

Заменете получените стойности във формулата на сумата, за да определите броя на членовете в сумата

извърши опростяване

и решаваме квадратното уравнение

От двете намерени стойности само 8 са подходящи за проблемното състояние. Така сумата от първите осем членове на прогресията е 111.

Пример 5

Решете уравнението

1 + 3 + 5 + ... + х \u003d 307.

Решение: Това уравнение е сумата от аритметична прогресия. Изписваме първия му срок и откриваме разликата в прогресията