Раздели на сайта
Избор на редактора:
- Шест примера за компетентен подход към склонението на числата
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
реклама
Ъгълът между векторите е пример. Определение на ъгъл между векторите |
Ъгъл между два вектора , : Ако ъгълът между два вектора е остър, тогава тяхното скаларно произведение е положително; ако ъгълът между векторите е тъп, тогава скаларното произведение на тези вектори е отрицателно. Скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула тогава и само ако тези вектори са ортогонални. Упражнение.Намерете ъгъла между векторите и Решение.Косинус на желания ъгъл 16. Изчисляване на ъгъл между прави, права и равнина Ъгъл между права и равнина, пресичаща тази права, а не перпендикулярна на нея, е ъгълът между правата и нейната проекция върху тази равнина. Определянето на ъгъла между права и равнина ни позволява да заключим, че ъгълът между права и равнина е ъгълът между две пресичащи се линии: самата права и нейната проекция върху равнината. Следователно ъгълът между права линия и равнина е остър ъгъл. Ъгълът между перпендикулярна права линия и равнина се счита за равен на , а ъгълът между успоредна права линия и равнина или изобщо не се определя, или се счита за равен на . § 69. Изчисляване на ъгъла между прави линии. Задачата за изчисляване на ъгъла между две прави линии в пространството се решава по същия начин, както на равнина (§ 32). Нека означим с φ големината на ъгъла между линиите л 1 и л 2, а през ψ - големината на ъгъла между насочващите вектори А И b тези прави линии. Тогава ако ψ 90° (фиг. 206.6), тогава φ = 180° - ψ. Очевидно и в двата случая е вярно равенството cos φ = |cos ψ|. По формула (1) § 20 имаме следователно, Нека линиите са дадени от техните канонични уравнения Тогава ъгълът φ между линиите се определя с помощта на формулата Ако една от линиите (или и двете) е дадена от неканонични уравнения, тогава за да изчислите ъгъла, трябва да намерите координатите на векторите на посоката на тези линии и след това да използвате формула (1). 17. Успоредни прави, Теореми за успоредни прави Определение.Две прави в една равнина се наричат паралелен, ако нямат общи точки. Две линии в тримерното пространство се наричат паралелен, ако лежат в една равнина и нямат общи точки. Ъгълът между два вектора.От определението за точков продукт: . Условие за ортогоналност на два вектора: Условие за колинеарност на два вектора: . Следва от Определение 5 - . Наистина, от дефиницията на произведението на вектор и число следва. Следователно, въз основа на правилото за равенство на векторите, ние пишем , , , което предполага . Но векторът, получен от умножаването на вектора по числото, е колинеарен на вектора. Проекция на вектор върху вектор: . Пример 4. Дадени точки , , , . Намерете точковия продукт. Решение. намираме с помощта на формулата за скаларното произведение на вектори, зададени от техните координати. Тъй като , , Пример 5.Дадени точки , , , . Намерете проекция. Решение. Тъй като , , Въз основа на проекционната формула имаме . Пример 6.Дадени точки , , , . Намерете ъгъла между векторите и . Решение. Обърнете внимание, че векторите , , не са колинеарни, защото техните координати не са пропорционални: . Тези вектори също не са перпендикулярни, тъй като тяхното скаларно произведение е . Да намерим Ъгъл намираме от формулата: . Пример 7.Определете при какви вектори и колинеарен. Решение. В случай на колинеарност, съответните координати на векторите и трябва да бъде пропорционален, т.е. . Следователно и. Пример 8. Определете при каква стойност на вектора И перпендикулярен. Решение. вектор и са перпендикулярни, ако тяхното скаларно произведение е нула. От това условие получаваме: . Следователно,. Пример 9. Намерете , Ако , , . Решение. Поради свойствата на скаларното произведение имаме: Пример 10. Намерете ъгъла между векторите и , където и - единични вектори и ъгълът между векторите и е равен на 120°. Решение. Ние имаме: , , Накрая имаме: . 5.б. Векторни произведения на изкуството. Определение 21.Векторни произведения на изкуствотовектор по вектор се нарича вектор или, дефиниран от следните три условия: 1) Модулът на вектора е равен на , където е ъгълът между векторите и , т.е. . От това следва, че модулът на векторното произведение е числено равна на площуспоредник, изграден от вектори и двете страни. 2) Векторът е перпендикулярен на всеки от векторите и ( ; ), т.е. перпендикулярна на равнината на успоредник, построен върху векторите и . 3) Векторът е насочен по такъв начин, че ако се гледа от края му, най-късият завой от вектор към вектор би бил обратно на часовниковата стрелка (векторите , , образуват дясна тройка). Как да изчислим ъглите между векторите?При изучаването на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени трудности, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите. Основни терминиПреди да разгледаме ъглите между векторите, е необходимо да се запознаем с определението за вектор и концепцията за ъгъл между векторите. Векторът е сегмент, който има посока, т.е. сегмент, за който са дефинирани началото и края му. Ъгълът между два вектора в една равнина има общо начало, се нарича по-малкият от ъглите, с количеството на което един от векторите трябва да се премести около обща точка, до позиция, в която посоките им съвпадат. Формула за решениеСлед като разберете какво е вектор и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата за решение за това е доста проста и резултатът от нейното прилагане ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. Според дефиницията той е равен на частното от скаларното произведение на векторите и произведението на техните дължини. Скаларното произведение на векторите се изчислява като сумата от съответните координати на факторните вектори, умножени един по друг. Дължината на вектора или неговият модул се изчислява като корен квадратенот сумата на квадратите на неговите координати. След като сте получили стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица. ПримерСлед като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решаването на съответния проблем ще стане лесно и ясно. Като пример си струва да разгледаме простия проблем за намиране на стойността на ъгъл. На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на дължините на векторите и техния скаларен продукт, необходими за решението. Използвайки описанието, представено по-горе, получаваме: Замествайки получените стойности във формулата, изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл: Това число не е една от петте общи косинусови стойности, така че за да получите стойността на ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Bradis. Но преди да получим ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отърве от допълнителния отрицателен знак: За да се поддържа точността, крайният отговор може да бъде оставен такъв, какъвто е, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса. Изчисляване на ъгъл в n-мерно пространствоКогато разглеждаме два вектора в триизмерното пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях, това ще бъде желаният. Въпреки наличието на трета координата във вектора, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите, арккосинусът на тяхното частно ще бъде отговорът на тази задача. В геометрията често има проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен. Разлика между 0 и 180 градусаЕдна от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, тоест желаният ъгъл е равен на 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен. След получаване на стойността на ъгъла от 0 градуса в резултат на решението, правилният отговор би бил да обозначим векторите като съпосочни, т.е. векторите ще имат една и съща посока. Ако се получат 180 градуса, векторите ще бъдат противоположно насочени. Специфични векториСлед като намерите ъглите между векторите, можете да намерите един от специалните типове, в допълнение към съпосочените и противоположните, описани по-горе.
Как да намерим ъгъла между векторите?моля помогнете! Знам формулата, но не мога да я изчисля (( Александър Титов Ъгълът между векторите, определени от техните координати, се намира с помощта на стандартен алгоритъм. Първо трябва да намерите скаларното произведение на векторите a и b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Заменяме координатите на тези вектори тук и изчисляваме: Как да изчислим синуса на ъгъла между векторите, като използваме координатите на векторитеМихаил Ткачев Нека умножим тези вектори. Тяхното скаларно произведение е равно на произведението от дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях. A*b=|a|*|b|*cosA CosA=a*b/|a|*|b| нека поговорим |a|*|b|-произведението на векторни дължини е равно на √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2). Това означава, че косинусът на ъгъла между векторите е равен на: CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2) Като знаем косинуса на даден ъгъл, можем да изчислим неговия синус. Нека обсъдим как да направим това: Ако косинусът на даден ъгъл е положителен, тогава този ъгъл лежи в 1 или 4 квадранта, което означава, че неговият синус е или положителен, или отрицателен. Но тъй като ъгълът между векторите е по-малък или равен на 180 градуса, тогава неговият синус е положителен. Разсъждаваме по подобен начин, ако косинусът е отрицателен. SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2) Това е)))) Успех в разгадаването))) Дмитрий Левищев Фактът, че е невъзможно директно синусиране, не е вярно. При изучаването на геометрията възникват много въпроси по темата за векторите. Ученикът изпитва особени трудности, когато е необходимо да се намерят ъглите между векторите. Основни терминиПреди да разгледаме ъглите между векторите, е необходимо да се запознаем с определението за вектор и концепцията за ъгъл между векторите. Векторът е сегмент, който има посока, т.е. сегмент, за който са дефинирани началото и края му. Ъгълът между два вектора в равнина, които имат общ произход, е по-малкият от ъглите с количеството, с което един от векторите трябва да се премести около общата точка, докато посоките им съвпаднат. Формула за решениеСлед като разберете какво е вектор и как се определя неговият ъгъл, можете да изчислите ъгъла между векторите. Формулата за решение за това е доста проста и резултатът от нейното прилагане ще бъде стойността на косинуса на ъгъла. Според дефиницията той е равен на частното от скаларното произведение на векторите и произведението на техните дължини. Скаларното произведение на векторите се изчислява като сумата от съответните координати на факторните вектори, умножени един по друг. Дължината на вектор или неговият модул се изчислява като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати. След като сте получили стойността на косинуса на ъгъла, можете да изчислите стойността на самия ъгъл с помощта на калкулатор или с помощта на тригонометрична таблица. ПримерСлед като разберете как да изчислите ъгъла между векторите, решаването на съответния проблем ще стане лесно и ясно. Като пример си струва да разгледаме простия проблем за намиране на стойността на ъгъл. На първо място, ще бъде по-удобно да се изчислят стойностите на дължините на векторите и техния скаларен продукт, необходими за решението. Използвайки описанието, представено по-горе, получаваме: Замествайки получените стойности във формулата, изчисляваме стойността на косинуса на желания ъгъл: Това число не е една от петте общи косинусови стойности, така че за да получите стойността на ъгъла, ще трябва да използвате калкулатор или тригонометричната таблица на Bradis. Но преди да получим ъгъла между векторите, формулата може да бъде опростена, за да се отърве от допълнителния отрицателен знак: За да се поддържа точността, крайният отговор може да бъде оставен такъв, какъвто е, или можете да изчислите стойността на ъгъла в градуси. Според таблицата на Брадис стойността му ще бъде приблизително 116 градуса и 70 минути, а калкулаторът ще покаже стойност от 116,57 градуса. Изчисляване на ъгъл в n-мерно пространствоКогато разглеждаме два вектора в триизмерното пространство, е много по-трудно да разберем за кой ъгъл говорим, ако те не лежат в една и съща равнина. За да опростите възприятието, можете да нарисувате два пресичащи се сегмента, които образуват най-малкия ъгъл между тях, това ще бъде желаният. Въпреки наличието на трета координата във вектора, процесът на изчисляване на ъглите между векторите няма да се промени. Изчислете скаларното произведение и модулите на векторите, арккосинусът на тяхното частно ще бъде отговорът на тази задача. В геометрията често има проблеми с пространства, които имат повече от три измерения. Но за тях алгоритъмът за намиране на отговора изглежда подобен. Разлика между 0 и 180 градусаЕдна от често срещаните грешки при писане на отговор на задача, предназначена за изчисляване на ъгъла между векторите, е решението да се напише, че векторите са успоредни, тоест желаният ъгъл е равен на 0 или 180 градуса. Този отговор е неправилен. След получаване на стойността на ъгъла от 0 градуса в резултат на решението, правилният отговор би бил да обозначим векторите като съпосочни, т.е. векторите ще имат една и съща посока. Ако се получат 180 градуса, векторите ще бъдат противоположно насочени. Специфични векториСлед като намерите ъглите между векторите, можете да намерите един от специалните типове, в допълнение към съпосочените и противоположните, описани по-горе.
По ваше желание! 1. Елиминирайте ирационалността в знаменателя: 3. Решете експоненциалното уравнение: 4. Решете неравенство: Аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число и винаги се изразява като неотрицателно число, следователно това неравенство ще е вярно за всички X, отговарящи на условието: 2-х≥0. От тук получаваме: x≤2. Записваме отговора под формата на числов интервал: (-∞; 2]. 5. Решете неравенството: 7 x > -1. По дефиниция: Функция от вида y = a x се нарича експоненциална, където a >0, a≠1, x е произволно число. Диапазон от стойности експоненциална функцияе множеството от всички положителни числа, защото положително числовъв всяка степен ще бъде положителен. Ето защо 7 x >0 за всяко x и още повече 7 x > -1, т.е. неравенството е вярно за всички x ∈ (-∞; +∞). 6. Преобразуване в продукт: Нека приложим формулата за сумата от синусите: сумата от синусите на два ъгъла е равна на удвоения продукт на синуса на полусумата на тези ъгли и косинуса на тяхната полуразлика. 8. Известно е, че f(x) = -15x+3. За какви стойности на x f(x)=0? Заместете числото 0 вместо f(x) и решете уравнението: 15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5. 11 . В първата и втората сплави медта и цинкът са в съотношение 5:2 и 3:4. Колко от всяка сплав трябва да се вземе, за да се получат 28 kg нова сплав с еднакво съдържание на мед и цинк. Разбираме, че новата сплав ще съдържа 14 кг мед и 14 кг цинк. Всички подобни проблеми се решават по един и същи начин: те създават уравнение, в което лявата и дясната страна съдържат едно и също количество вещество (да вземем мед), написано по различен начин (въз основа на специфичните условия на проблема). Нашите 14 кг мед в новата сплав ще бъдат съставени от мед от двете сплави. Нека масата на първата сплав X kg, тогава масата на втората сплав е ( 28-ми) кг. Първата сплав съдържа 5 части мед и 2 части цинк, следователно медта ще бъде (5/7) от x kg. За да намерите дроб от число, трябва да умножите дробта по даденото число. Втората сплав съдържа 3 части мед и 4 части цинк, т.е. мед съдържа (3/7) от (28) кг. Така че: 12. Решете уравнението: log 2 8 x = -1. По дефиниция на логаритъм: 8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3. 15. Намерете производната на функцията f(x) = -ln cosx 2 . 20. Намерете значението на израза: Модулът на числото може да бъде изразен само като неотрицателно число.Ако под знака за модул има отрицателен израз, тогава при отваряне на модулните скоби всички термини се записват с противоположни знаци. 22. Решете системата от неравенства: Първо, решаваме всяко неравенство поотделно. Обърнете внимание, че най-малкият общ период за тези функции ще бъде 2π,следователно бяха приписани както ляво, така и дясно 2πn. Отговор C). 23. Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията y=3-|x-3| и права линия y=0. Графиката на тази функция ще се състои от две полулинии, излизащи от една точка. Нека напишем уравненията на правите. За x≥3 отваряме модулните скоби и получаваме: y=3-x+3 ⇒ y=6-x.При х<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x. Триъгълник, ограничен от графиката на функция и сегмент от оста Ox, е фигура, чиято площ трябва да се намери. Разбира се, тук можем и без интеграли. Нека намерим площта на триъгълник като половината от произведението на неговата основа и височината, начертана към тази основа. Нашата основа е равна на 6 единични сегмента, а височината, начертана към тази основа, е равна на 3 единични сегмента. Площта ще бъде 9 кв.м. единици 24. Намерете косинуса на ъгъл A на триъгълник с върхове в точки A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2). За да намерите координатите на вектор, даден от координатите на неговите краища, трябва да извадите координатите на началото от координатите на края. Ъгъл А се образува от векторите: 25. В кутия има 23 топки: червена, бяла и черна. Има 11 пъти повече бели топки отколкото червени топки. Колко черни топки? Оставете го да лежи в кутията Xчервени топки. След това бяло 11xтопки. Червено и бяло x+11x= 12xтопки. Следователно, черни топки 23-12x.Тъй като това е цяло число топки, единствената възможна стойност е х=1. Оказва се: 1 червена топка, 11 бели топки и 11 черни топки. Инструкции Нека на равнината са дадени два ненулеви вектора, начертани от една точка: вектор A с координати (x1, y1) B с координати (x2, y2). Ъгълмежду тях се обозначава като θ. За да намерите градусната мярка на ъгъла θ, трябва да използвате дефиницията на скаларното произведение. Скаларното произведение на два ненулеви вектора е число, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях, т.е. (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Сега трябва да изразите косинуса на ъгъла от това: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|). Скаларното произведение може да се намери и с помощта на формулата (A,B)=x1*x2+y1*y2, тъй като произведението на два ненулеви вектора е равно на сбора от продуктите на съответните им вектори. Ако скаларното произведение на ненулевите вектори е равно на нула, тогава векторите са перпендикулярни (ъгълът между тях е 90 градуса) и по-нататъшните изчисления могат да бъдат пропуснати. Ако скаларното произведение на два вектора е положително, тогава ъгълът между тях векториостър, а ако е отрицателен, тогава ъгълът е тъп. Сега изчислете дължините на векторите A и B, като използвате формулите: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Дължината на вектор се изчислява като корен квадратен от сумата от квадратите на неговите координати. Заместете намерените стойности на скаларното произведение и дължините на вектора във формулата за ъгъла, получен в стъпка 2, тоест cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Сега, знаейки стойността на , за да намерим градусната мярка на ъгъла между векторитрябва да използвате таблицата на Bradis или да вземете от това: θ=arccos(cos(θ)). Ако векторите A и B са дадени в триизмерно пространство и имат съответно координати (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2), тогава при намиране на косинуса на ъгъла се добавя още една координата. В този случай косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)). Полезен съвет Ако два вектора не са начертани от една и съща точка, тогава за да намерите ъгъла между тях чрез паралелна транслация, трябва да комбинирате началото на тези вектори. източници:
За решаването на много задачи, както приложни, така и теоретични, във физиката и линейната алгебра е необходимо да се изчисли ъгълът между векторите. Тази на пръв поглед проста задача може да създаде много трудности, ако не разбирате ясно същността на скаларния продукт и каква стойност се появява в резултат на този продукт. Инструкции Ъгълът между векторите във векторно линейно пространство е минималният ъгъл, при който се постига еднаква посока на векторите. Чертае един от векторите около началната му точка. От определението става очевидно, че стойността на ъгъла не може да надвишава 180 градуса (вижте стъпката). В този случай съвсем правилно се приема, че в линейното пространство, когато се извършва паралелно прехвърляне на вектори, ъгълът между тях не се променя. Следователно за аналитичното изчисляване на ъгъла пространствената ориентация на векторите няма значение. Резултатът от точковия продукт е число, в противен случай скаларен. Не забравяйте (това е важно да знаете), за да избегнете грешки при по-нататъшни изчисления. Формулата за скаларния продукт, разположен на равнината или в пространството на векторите, има формата (вижте фигурата за стъпката). Ако векторите са разположени в пространството, извършете изчислението по подобен начин. Единственото появяване на условие в дивидента ще бъде срокът за кандидата, т.е. третият компонент на вектора. Съответно, когато се изчислява модулът на векторите, трябва да се вземе предвид и компонентът z, след което за вектори, разположени в пространството, последният израз се трансформира, както следва (вижте Фигура 6 за стъпка). Векторът е отсечка с дадена посока. Ъгълът между векторите има физическо значение, например при намиране на дължината на проекцията на вектора върху оста. Инструкции Ъгълът между два ненулеви вектора чрез изчисляване на точковия продукт. По дефиниция произведението е равно на произведението на дължините и ъгъла между тях. От друга страна, се изчислява скаларното произведение за два вектора a с координати (x1; y1) и b с координати (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. От тези два метода точковият продукт лесно е ъгълът между векторите. Намерете дължините или големините на векторите. За нашите вектори a и b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2. Намерете скаларното произведение на вектори, като умножите техните координати по двойки: ab = x1x2 + y1y2. От дефиницията на скаларното произведение ab = |a|*|b|*cos α, където α е ъгълът между векторите. Тогава получаваме, че x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тогава cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2. Намерете ъгъл α с помощта на таблиците на Брадис. Видео по темата
Моля, обърнете внимание Скаларното произведение е скаларна характеристика на дължините на векторите и ъгъла между тях. Равнината е едно от основните понятия в геометрията. Равнината е повърхност, за която е вярно следното твърдение: всяка права линия, свързваща две нейни точки, принадлежи изцяло на тази повърхност. Равнините обикновено се означават с гръцките букви α, β, γ и т.н. Две равнини винаги се пресичат по права линия, която принадлежи и на двете равнини. Инструкции Нека разгледаме полуравнините α и β, образувани от пресичането на . Ъгълът, образуван от права a и две полуравнини α и β от двустенен ъгъл. В този случай полуравнините, образуващи с лицата си двустенен ъгъл, правата a, по която се пресичат равнините, се нарича ръб на двустенния ъгъл. Двустенният ъгъл, подобно на равнинния ъгъл, е в градуси. За да направите двустенен ъгъл, трябва да изберете произволна точка O на лицето му и в двата лъча a да се прекарат през точка O. Образуваният ъгъл AOB се нарича линеен двустенен ъгъл a. И така, нека са дадени векторът V = (a, b, c) и равнината A x + B y + C z = 0, където A, B и C са координатите на нормалата N. Тогава косинусът на ъгъла α между векторите V и N е равно на: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)). За да изчислите ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите обратната на косинус функция от получения израз, т.е. аркосинус:α = аrsсos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))). Пример: намери ъгълмежду вектор(5, -3, 8) и самолет, дадено от общото уравнение 2 x – 5 y + 3 z = 0. Решение: запишете координатите на нормалния вектор на равнината N = (2, -5, 3). Заместете всички известни стойности в дадената формула: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°. Видео по темата
Съставете равенство и изолирайте косинуса от него. Според една формула скаларното произведение на векторите е равно на техните дължини, умножени една по друга и по косинус ъгъл, а от друга - сумата от произведенията на координатите по всяка от осите. Приравнявайки двете формули, можем да заключим, че косинусът ъгълтрябва да бъде равно на съотношението на сумата от произведенията на координатите към произведението на дължините на векторите. Запишете полученото равенство. За да направите това, трябва да посочите и двата вектора. Да предположим, че са дадени в триизмерна декартова система и началните им точки са в координатна мрежа. Посоката и големината на първия вектор ще бъдат дадени от точката (X₁,Y₁,Z₁), вторият - (X₂,Y₂,Z₂), а ъгълът ще бъде обозначен с буквата γ. Тогава дължините на всеки от векторите могат да бъдат, например, с помощта на Питагоровата теорема за , образувани от техните проекции върху всяка от координатните оси: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) и √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Заместете тези изрази във формулата, формулирана в предишната стъпка, и ще получите равенството: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )). Използвайте факта, че сумата от на квадрат синуси ко синусот ъгълот едно и също количество винаги дава едно. Това означава, че чрез повишаване на полученото на предишната стъпка за синусна квадрат и изваден от едно, и след това Точково произведение на векториПродължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениРазгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, силно препоръчвам да прочетете горната уводна статия, тъй като за да усвоите материала, трябва да сте запознати с термините и обозначенията, които използвам, да имате основни познания за векторите и можете да решавате основни проблеми. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типични задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА дейност.. Опитайте се да не пропускате примерите; те идват с полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате преминатия материал и да се справите по-добре с често срещаните проблеми в аналитичната геометрия. Събиране на вектори, умножение на вектор с число.... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече обсъдените действия, има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, векторно произведение на векториИ смесено произведение на вектори. Скаларното произведение на векторите ни е познато от училище; другите две произведения традиционно принадлежат към курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е ясен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и решите ВСИЧКО НАВЕДНЪЖ. Това важи особено за манекените; повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математиката, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материали избирателно, в известен смисъл, да „получат“ липсващите знания, за вас ще бъда безвреден граф Дракула =) Нека най-накрая отворим вратата и да гледаме с ентусиазъм какво се случва, когато два вектора се срещнат... Дефиниция на скаларното произведение на векторите.
|
Прочетете: |
---|
Популярни:
Афоризми и цитати за самоубийство |
Нов
- Лицето на зимата Поетични цитати за деца
- Урок по руски език "мек знак след съскащи съществителни"
- Щедрото дърво (притча) Как да измислим щастлив край на приказката Щедрото дърво
- План на урока за света около нас на тема „Кога ще дойде лятото?
- Източна Азия: страни, население, език, религия, история Като противник на псевдонаучните теории за разделянето на човешките раси на по-нисши и по-висши, той доказа истината
- Класификация на категориите годност за военна служба
- Малоклузия и армията Малоклузията не се приема в армията
- Защо сънувате мъртва майка жива: тълкувания на книги за сънища
- Под какви зодиакални знаци са родените през април?
- Защо мечтаете за буря на морските вълни?