Paano i-convert ang mga fraction sa karaniwang denominador

Kung ikaw ordinaryong fraction ay may parehong mga denominador, pagkatapos ay sinasabi nila na ang mga ito ang mga fraction ay binabawasan sa isang karaniwang denominator.

Halimbawa 1

Halimbawa, ang mga fraction na $\frac(3)(18)$ at $\frac(20)(18)$ ay may parehong denominator. Sinasabing mayroon silang karaniwang denominator na $18$. Ang mga fraction na $\frac(1)(29)$, $\frac(7)(29)$ at $\frac(100)(29)$ ay mayroon ding parehong denominator. Sinasabing mayroon silang karaniwang denominator na $29$.

Kung ang mga fraction ay may iba't ibang denominator, maaari silang bawasan sa isang karaniwang denominator. Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator sa pamamagitan ng ilang karagdagang mga kadahilanan.

Halimbawa 2

Paano bawasan ang dalawang fraction na $\frac(6)(11)$ at $\frac(2)(7)$ sa isang common denominator.

Solusyon.

I-multiply natin ang mga fraction na $\frac(6)(11)$ at $\frac(2)(7)$ sa mga karagdagang salik na $7$ at $11$, ayon sa pagkakabanggit, at dalhin ang mga ito sa isang common denominator na $77$:

$\frac(6\cdot 7)(11\cdot 7)=\frac(42)(77)$

$\frac(2\cdot 11)(7\cdot 11)=\frac(22)(77)$

kaya, pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator ay ang multiplikasyon ng numerator at denominator ng mga ibinigay na fraction sa pamamagitan ng karagdagang mga salik, na nagreresulta sa mga fraction na may parehong denominator.

Common denominator

Kahulugan 1

Anumang positive common multiple ng lahat ng denominator ng ilang hanay ng mga fraction ay tinatawag karaniwang denominador.

Sa madaling salita, ang karaniwang denominator ng mga ibinigay na ordinaryong fraction ay anuman natural na numero, na maaaring hatiin sa lahat ng denominador ng mga ibinigay na fraction.

Ang kahulugan ay nagpapahiwatig ng isang walang katapusang bilang ng mga karaniwang denominator para sa isang naibigay na hanay ng mga fraction.

Halimbawa 3

Hanapin ang mga karaniwang denominator ng mga fraction na $\frac(3)(7)$ at $\frac(2)(13)$.

Solusyon.

Ang mga fraction na ito ay may mga denominador na katumbas ng $7$ at $13$, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga positibong karaniwang multiple ng $2$ at $5$ ay $91, 182, 273, 364$, atbp.

Maaaring gamitin ang alinman sa mga numerong ito bilang karaniwang denominator ng mga fraction na $\frac(3)(7)$ at $\frac(2)(13)$.

Halimbawa 4

Tukuyin kung ang mga fraction na $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ at $\frac(11)(9)$ ay maaaring bawasan sa isang common denominator na $252$.

Solusyon.

Upang matukoy kung paano i-convert ang isang fraction sa common denominator $252$, kailangan mong suriin kung ang numerong $252$ ay isang common multiple ng mga denominator na $2, 7$ at $9$. Upang gawin ito, hatiin ang numerong $252$ sa bawat isa sa mga denominador:

$\frac(252)(2)=126,$ $\frac(252)(7)=36$, $\frac(252)(9)=28$.

Ang bilang na $252$ ay mahahati ng lahat ng denominator, i.e. ay isang karaniwang multiple ng $2, 7$ at $9$. Nangangahulugan ito na ang mga ibinigay na fraction na $\frac(1)(2)$, $\frac(16)(7)$ at $\frac(11)(9)$ ay maaaring bawasan sa isang common denominator na $252$.

Sagot: kaya mo.

Pinakamababang common denominator

Kahulugan 2

Sa lahat ng mga karaniwang denominator ng mga ibinigay na fraction, maaari nating makilala ang pinakamaliit na natural na numero, na tinatawag na pinakamababang common denominator.

kasi LOC – pinakamaliit na positibo karaniwang divisor ng isang ibinigay na hanay ng mga numero, kung gayon ang LCM ng mga denominator ng mga ibinigay na fraction ay ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga ibinigay na fraction.

Samakatuwid, upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga fraction, kailangan mong hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction na ito.

Halimbawa 5

Ang mga ibinigay na fraction ay $\frac(4)(15)$ at $\frac(37)(18)$. Hanapin ang kanilang lowest common denominator.

Solusyon.

Ang mga denominator ng mga fraction na ito ay $15$ at $18$. Hanapin natin ang least common denominator bilang LCM ng mga numerong $15$ at $18$. Para dito ginagamit namin ang agnas ng mga numero sa pangunahing mga kadahilanan:

$15=3\cdot 5$, $18=2\cdot 3\cdot 3$

$NOK(15, 18)=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5=90$.

Sagot: $90$.

Panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction sa pinakamababang common denominator

Kadalasan kapag nilulutas ang mga problema ng algebra, geometry, physics, atbp. Nakaugalian na bawasan ang mga common fraction sa pinakamababang common denominator kaysa sa anumang common denominator.

Algorithm:

1. Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang denominator gamit ang LCM ng mga denominator ng mga ibinigay na fraction.
2. 2. Kalkulahin ang karagdagang salik para sa mga ibinigay na fraction. Upang gawin ito, ang nahanap na pinakamababang common denominator ay dapat na hatiin sa denominator ng bawat fraction. Ang resultang numero ay magiging karagdagang salik ng fraction na ito.
3. I-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik na natagpuan.

Halimbawa 6

Hanapin ang hindi bababa sa karaniwang denominator ng mga fraction na $\frac(4)(16)$ at $\frac(3)(22)$ at bawasan ang parehong fraction dito.

Solusyon.

Gumamit tayo ng algorithm para sa pagbabawas ng mga fraction sa pinakamababang common denominator.

Kalkulahin natin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng $16$ at $22$:

I-factor natin ang mga denominator sa mga simpleng salik: $16=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2$, $22=2\cdot 11$.

$NOK(16, 22)=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 11=176$.

Kalkulahin natin ang mga karagdagang salik para sa bawat fraction:

$176\div 16=11$ – para sa fraction na $\frac(4)(16)$;

$176\div 22=8$ – para sa fraction na $\frac(3)(22)$.

I-multiply natin ang mga numerator at denominator ng mga fraction na $\frac(4)(16)$ at $\frac(3)(22)$ sa mga karagdagang salik na $11$ at $8$, ayon sa pagkakabanggit. Nakukuha namin:

$\frac(4)(16)=\frac(4\cdot 11)(16\cdot 11)=\frac(44)(176)$

$\frac(3)(22)=\frac(3\cdot 8)(22\cdot 8)=\frac(24)(176)$

Ang parehong mga fraction ay binabawasan sa pinakamababang common denominator na $176$.

Sagot: $\frac(4)(16)=\frac(44)(176)$, $\frac(3)(22)=\frac(24)(176)$.

Minsan ang paghahanap ng pinakamababang common denominator ay nangangailangan ng isang serye ng mga kalkulasyon na nakakaubos ng oras, na maaaring hindi bigyang-katwiran ang layunin ng paglutas ng problema. Sa kasong ito, maaari mong gamitin ang pinaka simpleng paraan– bawasan ang mga fraction sa isang common denominator, na produkto ng mga denominator ng mga fraction na ito.

Upang bawasan ang mga fraction sa pinakamababang common denominator, kailangan mong: 1) hanapin ang least common multiple ng mga denominator ng mga ibinigay na fraction, ito ang magiging pinakamababang common denominator. 2) maghanap ng karagdagang salik para sa bawat fraction sa pamamagitan ng paghahati ng bagong denominator sa denominator ng bawat fraction. 3) paramihin ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik nito.

Mga halimbawa. Bawasan ang mga sumusunod na fraction sa kanilang pinakamababang common denominator.

Nahanap namin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator: LCM(5; 4) = 20, dahil ang 20 ay ang pinakamaliit na bilang na nahahati sa parehong 5 at 4. Maghanap para sa 1st fraction ng karagdagang salik 4 (20 : 5=4). Para sa 2nd fraction ang karagdagang factor ay 5 (20 : 4=5). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 4, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 20 ).

Ang pinakamababang common denominator ng mga fraction na ito ay ang numero 8, dahil ang 8 ay nahahati sa 4 at mismo. Walang karagdagang salik para sa 1st fraction (o maaari nating sabihin na ito ay katumbas ng isa), para sa 2nd fraction ang karagdagang salik ay 2 (8 : 4=2). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 8 ).

Ang mga fraction na ito ay hindi mababawasan.

Bawasan natin ng 4 ang 1st fraction, at bawasan natin ng 2 ang 2nd fraction. ( tingnan ang mga halimbawa sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction: Sitemap → 5.4.2. Mga halimbawa ng pagbabawas ng mga karaniwang fraction). Hanapin ang LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Ang karagdagang multiplier para sa 1st fraction ay 5 (80 : 16=5). Ang karagdagang salik para sa 2nd fraction ay 4 (80 : 20=4). I-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 5, at ang numerator at denominator ng 2nd fraction sa 4. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 80 ).

Nahanap namin ang pinakamababang common denominator NCD(5 ; 6 at 15)=NOK(5 ; 6 at 15)=30. Ang karagdagang salik sa 1st fraction ay 6 (30 : 5=6), ang karagdagang salik sa 2nd fraction ay 5 (30 : 6=5), ang karagdagang salik sa 3rd fraction ay 2 (30 : 15=2). Pina-multiply namin ang numerator at denominator ng 1st fraction sa 6, numerator at denominator ng 2nd fraction sa 5, numerator at denominator ng 3rd fraction sa 2. Binawasan namin ang mga fraction na ito sa pinakamababang common denominator ( 30 ).

Pahina 1 ng 1 1

Sa araling ito titingnan natin ang pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator at lutasin ang mga problema sa paksang ito. Tukuyin natin ang konsepto ng isang karaniwang denominador at isang karagdagang kadahilanan, alalahanin ang mutual mga pangunahing numero. Tukuyin natin ang konsepto ng lowest common denominator (LCD) at lutasin ang ilang mga problema upang mahanap ito.

Paksa: Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominador

Aralin: Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Pag-uulit. Ang pangunahing katangian ng isang fraction.

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong natural na numero, makakakuha ka ng pantay na fraction.

Halimbawa, ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring hatiin ng 2. Nakukuha natin ang fraction. Ang operasyong ito ay tinatawag na fraction reduction. Maaari mo ring isagawa ang inverse transformation sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa 2. Sa kasong ito, sinasabi namin na binawasan namin ang fraction sa isang bagong denominator. Ang numero 2 ay tinatawag na karagdagang kadahilanan.

Konklusyon. Ang isang fraction ay maaaring bawasan sa anumang denominator na isang multiple ng denominator ng ibinigay na fraction. Upang magdala ng isang fraction sa isang bagong denominator, ang numerator at denominator nito ay pinarami ng karagdagang salik.

1. Bawasan ang fraction sa denominator 35.

Ang bilang na 35 ay isang multiple ng 7, ibig sabihin, ang 35 ay nahahati ng 7 nang walang natitira. Nangangahulugan ito na ang pagbabagong ito ay posible. Maghanap tayo ng karagdagang salik. Upang gawin ito, hatiin ang 35 sa 7. Makakakuha tayo ng 5. I-multiply ang numerator at denominator ng orihinal na fraction sa 5.

2. Gawing denominator ang fraction 18.

Maghanap tayo ng karagdagang salik. Upang gawin ito, hatiin ang bagong denominator sa orihinal. Nakukuha natin ang 3. I-multiply ang numerator at denominator ng fraction na ito sa 3.

3. Bawasan ang fraction sa denominator na 60.

Ang paghahati ng 60 sa 15 ay nagbibigay ng karagdagang salik. Ito ay katumbas ng 4. I-multiply ang numerator at denominator sa 4.

4. Bawasan ang fraction sa denominator 24

Sa mga simpleng kaso, ang pagbabawas sa isang bagong denominator ay ginagawa sa isip. Nakaugalian lamang na ipahiwatig ang karagdagang salik sa likod ng isang bracket nang bahagya sa kanan at sa itaas ng orihinal na bahagi.

Ang fraction ay maaaring gawing denominator na 15 at ang fraction ay maaaring gawing denominator na 15. Ang mga fraction ay mayroon ding common denominator na 15.

Ang common denominator ng mga fraction ay maaaring alinmang common multiple ng kanilang denominator. Para sa pagiging simple, ang mga fraction ay binabawasan sa kanilang pinakamababang common denominator. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominador ng mga ibinigay na fraction.

Halimbawa. Bawasan sa pinakamababang common denominator ng fraction at .

Una, hanapin natin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito. Ang bilang na ito ay 12. Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa una at pangalawang fraction. Upang gawin ito, hatiin ang 12 sa 4 at 6. Ang tatlo ay karagdagang salik para sa unang bahagi, at ang dalawa ay para sa pangalawa. Dalhin natin ang mga fraction sa denominator 12.

Dinala namin ang mga fraction sa isang common denominator, iyon ay, nakakita kami ng mga pantay na fraction na may parehong denominator.

Panuntunan. Upang bawasan ang mga fraction sa kanilang pinakamababang common denominator, kailangan mo

Una, hanapin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito, ito ang magiging least common denominator nila;

Pangalawa, hatiin ang pinakamababang common denominator sa mga denominator ng mga fraction na ito, ibig sabihin, maghanap ng karagdagang salik para sa bawat fraction.

Ikatlo, i-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik nito.

a) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang pinakamababang common denominator ay 12. Ang karagdagang factor para sa unang fraction ay 4, para sa pangalawa - 3. Binabawasan namin ang mga fraction sa denominator 24.

b) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang pinakamababang common denominator ay 45. Ang paghahati ng 45 sa 9 sa 15 ay nagbibigay ng 5 at 3, ayon sa pagkakabanggit.

c) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang karaniwang denominator ay 24. Ang mga karagdagang salik ay 2 at 3, ayon sa pagkakabanggit.

Minsan mahirap mahanap sa salita ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga ibinigay na fraction. Pagkatapos ay matatagpuan ang karaniwang denominator at karagdagang mga kadahilanan gamit ang prime factorization.

Bawasan ang mga fraction at sa isang karaniwang denominator.

I-factor natin ang mga numerong 60 at 168 sa prime factor. Isulat natin ang pagpapalawak ng bilang na 60 at idagdag ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa pangalawang pagpapalawak. I-multiply natin ang 60 sa 14 at makakuha ng common denominator na 840. Ang karagdagang factor para sa unang fraction ay 14. Ang karagdagang factor para sa pangalawang fraction ay 5. Dalhin natin ang mga fraction sa common denominator ng 840.

Mga sanggunian

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. at iba pa sa Mathematics 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematics ika-6 na baitang. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. - Enlightenment, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Mga takdang-aralin para sa kursong matematika para sa mga baitang 5-6. - ZSh MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Isang manwal para sa mga mag-aaral sa ika-6 na baitang sa MEPhI correspondence school. - ZSh MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. at iba pa Mathematics: Textbook-interlocutor para sa grade 5-6 mataas na paaralan. Library ng guro sa matematika. - Enlightenment, 1989.

Maaari mong i-download ang mga aklat na tinukoy sa sugnay 1.2. ng araling ito.

Takdang-Aralin

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. at iba pa Mathematics 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link tingnan ang 1.2)

Takdang-Aralin: No. 297, No. 298, No. 300.

Iba pang mga gawain: No. 270, No. 290

Sa araling ito titingnan natin ang pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator at lutasin ang mga problema sa paksang ito. Tukuyin natin ang konsepto ng isang karaniwang denominator at isang karagdagang kadahilanan, at tandaan ang tungkol sa mga relatibong prime na numero. Tukuyin natin ang konsepto ng lowest common denominator (LCD) at lutasin ang ilang mga problema upang mahanap ito.

Paksa: Pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Aralin: Pagbawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator

Pag-uulit. Ang pangunahing katangian ng isang fraction.

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami o hinati sa parehong natural na numero, makakakuha ka ng pantay na fraction.

Halimbawa, ang numerator at denominator ng isang fraction ay maaaring hatiin ng 2. Nakukuha natin ang fraction. Ang operasyong ito ay tinatawag na fraction reduction. Maaari mo ring isagawa ang inverse transformation sa pamamagitan ng pagpaparami ng numerator at denominator ng fraction sa 2. Sa kasong ito, sinasabi namin na binawasan namin ang fraction sa isang bagong denominator. Ang numero 2 ay tinatawag na karagdagang kadahilanan.

Konklusyon. Ang isang fraction ay maaaring bawasan sa anumang denominator na isang multiple ng denominator ng ibinigay na fraction. Upang magdala ng isang fraction sa isang bagong denominator, ang numerator at denominator nito ay pinarami ng karagdagang salik.

1. Bawasan ang fraction sa denominator 35.

Ang bilang na 35 ay isang multiple ng 7, ibig sabihin, ang 35 ay nahahati ng 7 nang walang natitira. Nangangahulugan ito na ang pagbabagong ito ay posible. Maghanap tayo ng karagdagang salik. Upang gawin ito, hatiin ang 35 sa 7. Makakakuha tayo ng 5. I-multiply ang numerator at denominator ng orihinal na fraction sa 5.

2. Gawing denominator ang fraction 18.

Maghanap tayo ng karagdagang salik. Upang gawin ito, hatiin ang bagong denominator sa orihinal. Nakukuha natin ang 3. I-multiply ang numerator at denominator ng fraction na ito sa 3.

3. Bawasan ang fraction sa denominator na 60.

Ang paghahati ng 60 sa 15 ay nagbibigay ng karagdagang salik. Ito ay katumbas ng 4. I-multiply ang numerator at denominator sa 4.

4. Bawasan ang fraction sa denominator 24

Sa mga simpleng kaso, ang pagbabawas sa isang bagong denominator ay ginagawa sa isip. Nakaugalian lamang na ipahiwatig ang karagdagang salik sa likod ng isang bracket nang bahagya sa kanan at sa itaas ng orihinal na bahagi.

Ang fraction ay maaaring gawing denominator na 15 at ang fraction ay maaaring gawing denominator na 15. Ang mga fraction ay mayroon ding common denominator na 15.

Ang common denominator ng mga fraction ay maaaring alinmang common multiple ng kanilang denominator. Para sa pagiging simple, ang mga fraction ay binabawasan sa kanilang pinakamababang common denominator. Ito ay katumbas ng hindi bababa sa karaniwang maramihang mga denominador ng mga ibinigay na fraction.

Halimbawa. Bawasan sa pinakamababang common denominator ng fraction at .

Una, hanapin natin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito. Ang bilang na ito ay 12. Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa una at pangalawang fraction. Upang gawin ito, hatiin ang 12 sa 4 at 6. Ang tatlo ay karagdagang salik para sa unang bahagi, at ang dalawa ay para sa pangalawa. Dalhin natin ang mga fraction sa denominator 12.

Dinala namin ang mga fraction sa isang common denominator, iyon ay, nakakita kami ng mga pantay na fraction na may parehong denominator.

Panuntunan. Upang bawasan ang mga fraction sa kanilang pinakamababang common denominator, kailangan mo

Una, hanapin ang least common multiple ng mga denominator ng mga fraction na ito, ito ang magiging least common denominator nila;

Pangalawa, hatiin ang pinakamababang common denominator sa mga denominator ng mga fraction na ito, ibig sabihin, maghanap ng karagdagang salik para sa bawat fraction.

Ikatlo, i-multiply ang numerator at denominator ng bawat fraction sa karagdagang salik nito.

a) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang pinakamababang common denominator ay 12. Ang karagdagang factor para sa unang fraction ay 4, para sa pangalawa - 3. Binabawasan namin ang mga fraction sa denominator 24.

b) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang pinakamababang common denominator ay 45. Ang paghahati ng 45 sa 9 sa 15 ay nagbibigay ng 5 at 3, ayon sa pagkakabanggit.

c) Bawasan ang mga fraction at sa isang common denominator.

Ang karaniwang denominator ay 24. Ang mga karagdagang salik ay 2 at 3, ayon sa pagkakabanggit.

Minsan mahirap mahanap sa salita ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga denominator ng mga ibinigay na fraction. Pagkatapos ay matatagpuan ang karaniwang denominator at karagdagang mga kadahilanan gamit ang prime factorization.

Bawasan ang mga fraction at sa isang karaniwang denominator.

I-factor natin ang mga numerong 60 at 168 sa prime factor. Isulat natin ang pagpapalawak ng bilang na 60 at idagdag ang nawawalang mga salik 2 at 7 mula sa pangalawang pagpapalawak. I-multiply natin ang 60 sa 14 at makakuha ng common denominator na 840. Ang karagdagang factor para sa unang fraction ay 14. Ang karagdagang factor para sa pangalawang fraction ay 5. Dalhin natin ang mga fraction sa common denominator ng 840.

Mga sanggunian

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. at iba pa sa Mathematics 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Mathematics ika-6 na baitang. - Gymnasium, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Sa likod ng mga pahina ng isang aklat-aralin sa matematika. - Enlightenment, 1989.

4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Mga takdang-aralin para sa kursong matematika para sa mga baitang 5-6. - ZSh MEPHI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Isang manwal para sa mga mag-aaral sa ika-6 na baitang sa MEPhI correspondence school. - ZSh MEPHI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. at iba pa Mathematics: Textbook-interlocutor para sa 5-6 na baitang ng sekondaryang paaralan. Library ng guro sa matematika. - Enlightenment, 1989.

Maaari mong i-download ang mga aklat na tinukoy sa sugnay 1.2. ng araling ito.

Takdang-Aralin

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. at iba pa Mathematics 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (link tingnan ang 1.2)

Takdang-Aralin: No. 297, No. 298, No. 300.

Iba pang mga gawain: No. 270, No. 290