155*. Tukuyin laki ng buhay tuwid na segment AB pangkalahatang posisyon(Larawan 153, a).

Solusyon. Tulad ng nalalaman, ang projection ng isang tuwid na linya ng segment sa anumang eroplano ay katumbas ng segment mismo (isinasaalang-alang ang sukat ng pagguhit), kung ito ay parallel sa eroplanong ito

(Larawan 153, b). Ito ay sumusunod mula dito na sa pamamagitan ng pagbabago ng pagguhit ay kinakailangan upang makamit ang parallelism ng parisukat na segment na ito. V o parisukat H o dagdagan ang system V, H ng isa pang eroplanong patayo sa parisukat. V o sa pl. H at sa parehong oras parallel sa segment na ito.

Sa Fig. 153, c ay nagpapakita ng pagpapakilala ng isang karagdagang eroplano S, patayo sa parisukat. H at parallel sa isang ibinigay na segment AB.

Ang projection a s b s ay katumbas ng natural na halaga ng segment AB.

Sa Fig. Ang 153, d ay nagpapakita ng isa pang pamamaraan: ang segment na AB ay iniikot sa paligid ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto B at patayo sa parisukat. H, sa isang posisyon parallel

pl. V. Sa kasong ito, ang punto B ay nananatili sa lugar, at ang punto A ay tumatagal ng isang bagong posisyon A 1. Ang abot-tanaw ay nasa isang bagong posisyon. projection a 1 b || x axis Ang projection a" 1 b" ay katumbas ng natural na laki ng segment AB.

156. Ibinigay ang pyramid SABCD (Fig. 154). Tukuyin ang aktwal na laki ng mga gilid ng pyramid na AS at CS, gamit ang paraan ng pagpapalit ng mga projection plane, at ang mga gilid na BS at DS, gamit ang paraan ng pag-ikot, at kunin ang axis ng pag-ikot patayo sa parisukat. H.

157*. Tukuyin ang distansya mula sa punto A hanggang sa tuwid na linya BC (Larawan 155, a).

Solusyon. Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay sinusukat sa pamamagitan ng isang patayo na bahagi na iginuhit mula sa punto hanggang sa linya.

Kung ang tuwid na linya ay patayo sa anumang eroplano (Larawan 155.6), kung gayon ang distansya mula sa punto hanggang sa tuwid na linya ay sinusukat ng distansya sa pagitan ng projection ng punto at ang point-projection ng tuwid na linya sa eroplanong ito. Kung ang isang tuwid na linya ay sumasakop sa isang pangkalahatang posisyon sa V, H system, pagkatapos ay upang matukoy ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection planes, kinakailangan na ipakilala ang dalawang karagdagang eroplano sa V, H system.

Una (Larawan 155, c) pumasok kami sa parisukat. S, parallel sa segment BC (ang bagong axis S/H ay parallel sa projection bc), at bumuo ng mga projection b s c s at a s. Pagkatapos (Larawan 155, d) ipinakilala namin ang isa pang parisukat. T, patayo sa tuwid na linya BC (ang bagong axis na T/S ay patayo sa b s na may s). Gumagawa kami ng mga projection ng isang tuwid na linya at isang punto - na may t (b t) at isang t. Ang distansya sa pagitan ng mga puntos a t at c t (b t) ay katumbas ng distansya l mula sa punto A hanggang sa tuwid na linya BC.

Sa Fig. 155, d, ang parehong gawain ay nagagawa gamit ang paraan ng pag-ikot sa anyo nito, na tinatawag na parallel movement method. Una, ang tuwid na linya BC at punto A, na pinapanatili ang kanilang kamag-anak na posisyon na hindi nagbabago, ay iniikot sa ilang (hindi ipinahiwatig sa pagguhit) na tuwid na linya na patayo sa parisukat. H, upang ang tuwid na linyang BC ay kahanay ng parisukat. V. Ito ay katumbas ng paglipat ng mga punto A, B, C sa mga eroplanong kahanay ng parisukat. H. Kasabay nito, ang abot-tanaw. ang projection ng isang ibinigay na sistema (BC + A) ay hindi nagbabago alinman sa laki o pagsasaayos, tanging ang posisyon nito na nauugnay sa x axis ay nagbabago. Inilalagay namin ang abot-tanaw. projection ng tuwid na linya BC parallel sa x-axis (posisyon b 1 c 1) at tukuyin ang projection a 1, itabi c 1 1 1 = c-1 at a 1 1 1 = a-1, at a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Pagguhit ng mga tuwid na linya b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 parallel sa x-axis, nakita namin ang harap sa kanila. mga projection b" 1, a" 1, c" 1. Susunod, inililipat namin ang mga puntos B 1, C 1 at A 1 sa mga eroplano na kahanay sa lugar V (nang hindi binabago ang kanilang mga kamag-anak na posisyon), upang makuha ang B 2 C 2 ⊥ square H. Sa kasong ito, ang front projection ng tuwid na linya ay magiging patayo sa x,b axes 2 c" 2 = b" 1 c" 1, at para mabuo ang projection a" 2 kailangan mong kumuha ng b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, gumuhit ng 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 at itabi ang a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Ngayon, na gumastos sa 1 sa 2 at isang 1 sa 2 || x 1 makuha natin ang mga projection b 2 c 2 at a 2 at ang nais na distansya l mula sa punto A hanggang sa tuwid na linya BC. Ang distansya mula A hanggang BC ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pag-ikot ng eroplano na tinukoy ng punto A at tuwid na linya BC sa paligid ng pahalang ng eroplanong ito upang iposisyon ang T || pl. H (Larawan 155, f).

Sa eroplano na tinukoy ng punto A at tuwid na linya BC, gumuhit ng pahalang na linya A-1 (Larawan 155, g) at paikutin ang punto B sa paligid nito. R (tinukoy sa pagguhit sa tabi ng R h), patayo sa A-1; sa puntong O mayroong sentro ng pag-ikot ng punto B. Tinutukoy na natin ngayon ang natural na halaga ng radius ng pag-ikot VO (Larawan 155, c). Sa kinakailangang posisyon, i.e. kapag pl. T, na tinutukoy ng point A at straight line BC, ay magiging || pl. H, ang punto B ay nasa R h sa layong Ob 1 mula sa punto O (maaaring may isa pang posisyon sa parehong bakas ng R h, ngunit sa kabilang panig ng O). Ang punto b 1 ay ang abot-tanaw. projection ng point B pagkatapos ilipat ito sa posisyon B 1 sa kalawakan, kapag ang eroplano na tinukoy ng point A at straight line BC ay nakakuha ng posisyon T.

Pagguhit (Larawan 155, i) ang tuwid na linya b 1 1, nakuha namin ang abot-tanaw. projection ng tuwid na linya BC, na matatagpuan na || pl. Ang H ay nasa parehong eroplano bilang A. Sa posisyong ito, ang distansya mula a hanggang b 1 1 ay katumbas ng nais na distansya l. Ang eroplanong P, kung saan nakahiga ang mga ibinigay na elemento, ay maaaring pagsamahin sa parisukat. H (Larawan 155, j), nagiging parisukat. R sa paligid niya ay ang abot-tanaw. bakas. Ang paglipat mula sa pagtukoy ng eroplano sa pamamagitan ng punto A at tuwid na linya BC hanggang sa pagtukoy ng mga tuwid na linya BC at A-1 (Larawan 155, l), makikita natin ang mga bakas ng mga tuwid na linyang ito at gumuhit ng mga bakas P ϑ at P h sa pamamagitan ng mga ito. Nagtatayo kami (Larawan 155, m) na pinagsama sa parisukat. H posisyon sa harap. bakas - P ϑ0 .

Sa pamamagitan ng punto a iginuhit natin ang abot-tanaw. frontal projection; ang pinagsamang frontal ay dumadaan sa punto 2 sa trace P h parallel sa P ϑ0. Point A 0 - pinagsama sa parisukat. Ang H ay ang posisyon ng punto A. Katulad nito, nakikita natin ang punto B 0. Direktang araw sa sinamahan ng parisukat. Ang posisyon ng H ay dumadaan sa punto B 0 at punto m (pahalang na bakas ng tuwid na linya).

Ang distansya mula sa punto A 0 hanggang sa tuwid na linya B 0 C 0 ay katumbas ng kinakailangang distansya l.

Maaari mong isagawa ang ipinahiwatig na konstruksiyon sa pamamagitan ng paghahanap lamang ng isang bakas ng P h (Larawan 155, n at o). Ang buong konstruksiyon ay katulad ng isang pag-ikot sa isang pahalang (tingnan ang Fig. 155, g, c, i): ang bakas na P h ay isa sa mga pahalang pl. R.

Sa mga pamamaraan na ibinigay para sa paglutas ng problemang ito, ang ginustong paraan ng pagbabago ng isang guhit ay ang paraan ng pag-ikot sa paligid ng pahalang o pangharap.

158. Ang SABC pyramid ay ibinigay (Fig. 156). Tukuyin ang mga distansya:

a) mula sa tuktok na B ng base hanggang sa gilid nito AC gamit ang paraan ng parallel na paggalaw;

b) mula sa tuktok na S ng pyramid hanggang sa mga gilid BC at AB ng base sa pamamagitan ng pag-ikot sa pahalang;

c) mula sa tuktok na S hanggang sa gilid ng AC ng base sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection plane.

159. Isang prisma ang ibinigay (Larawan 157). Tukuyin ang mga distansya:

a) sa pagitan ng ribs AD at CF sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga projection planes;

b) sa pagitan ng mga tadyang BE at CF sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng frontal;

c) sa pagitan ng mga gilid AD at BE sa pamamagitan ng parallel na paggalaw.

160. Tukuyin ang aktwal na sukat ng may apat na gilid ABCD (Larawan 158) sa pamamagitan ng paghahanay nito sa parisukat. N. Gamitin lamang ang pahalang na bakas ng eroplano.

161*. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga tumatawid na tuwid na linya AB at CD (Fig. 159, a) at bumuo ng mga projection ng isang karaniwang patayo sa kanila.

Solusyon. Ang distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya ay sinusukat ng isang segment (MN) na patayo sa parehong linya (Larawan 159, b). Malinaw, kung ang isa sa mga tuwid na linya ay inilagay patayo sa anumang parisukat. T, pagkatapos

ang segment na MN na patayo sa parehong linya ay magiging parallel sa parisukat. Ang projection nito sa eroplanong ito ay magpapakita ng kinakailangang distansya. Projection tamang anggulo Menad MN n AB sa pl. T din lumalabas na isang tamang anggulo sa pagitan ng m t n t at a t b t , dahil ang isa sa mga gilid ng tamang anggulo ay AMN, ibig sabihin, MN. parallel sa parisukat T.

Sa Fig. 159, c at d, ang kinakailangang distansya l ay tinutukoy ng paraan ng pagpapalit ng mga projection planes. Una ay ipinakilala namin ang isang karagdagang parisukat. projection S, patayo sa parisukat. H at parallel sa straight line CD (Larawan 159, c). Pagkatapos ay ipinakilala namin ang isa pang karagdagang parisukat. T, patayo sa parisukat. S at patayo sa parehong tuwid na linya ng CD (Larawan 159, d). Ngayon ay maaari kang bumuo ng isang projection ng pangkalahatang patayo sa pamamagitan ng pagguhit ng m t n t mula sa punto c t (d t) patayo sa projection a t b t. Ang mga puntong m t at n t ay mga projection ng mga punto ng intersection nitong patayo na may mga tuwid na linya AB at CD. Gamit ang puntong m t (Larawan 159, e) makikita natin ang m s sa isang s b s: ang projection ng m s n s ay dapat na parallel sa T/S axis. Susunod, mula sa m s at n s makikita natin ang m at n sa ab at cd, at mula sa kanila m" at n" sa a"b" at c"d".

Sa Fig. 159, c ay nagpapakita ng solusyon sa problemang ito gamit ang paraan ng parallel na paggalaw. Una naming inilalagay ang tuwid na linya ng CD parallel sa parisukat. V: projection c 1 d 1 || X. Susunod, inililipat namin ang mga tuwid na linya ng CD at AB mula sa mga posisyon C 1 D 1 at A 1 B 1 patungo sa mga posisyon C 2 B 2 at A 2 B 2 upang ang C 2 D 2 ay patayo sa H: projection c" 2 d" 2 ⊥ x. Ang segment ng kinakailangang patayo ay matatagpuan || pl. H, at samakatuwid ang m 2 n 2 ay nagpapahayag ng nais na distansya l sa pagitan ng AB at CD. Nahanap namin ang posisyon ng mga projection m" 2, at n" 2 sa isang" 2 b" 2 at c" 2 d" 2, pagkatapos ay ang mga projection m 1 at m" 1, n 1 at n" 1, sa wakas, ang projection m" at n ", m at n.

162. Ang SABC pyramid ay ibinigay (Fig. 160). Tukuyin ang distansya sa pagitan ng gilid SB at gilid AC ng base ng pyramid at bumuo ng mga projection ng isang karaniwang patayo sa SB at AC, gamit ang paraan ng pagpapalit ng mga projection planes.

163. Ang SABC pyramid ay ibinigay (Fig. 161). Tukuyin ang distansya sa pagitan ng gilid SH at gilid BC ng base ng pyramid at bumuo ng mga projection ng karaniwang patayo sa SX at BC gamit ang parallel displacement method.

164*. Tukuyin ang distansya mula sa punto A hanggang sa eroplano sa mga kaso kung saan ang eroplano ay tinukoy ng: a) tatsulok na BCD (Larawan 162, a); b) mga bakas (Larawan 162, b).

Solusyon. Tulad ng alam mo, ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano ay sinusukat sa pamamagitan ng halaga ng patayo na iginuhit mula sa punto patungo sa eroplano. Ang distansya na ito ay inaasahang papunta sa anumang lugar. mga projection sa buong laki, kung ang eroplanong ito ay patayo sa parisukat. projection (Larawan 162, c). Ang sitwasyong ito ay maaaring makamit sa pamamagitan ng pagbabago ng pagguhit, halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabago ng lugar. mga projection. Ipakilala natin pl. S (Larawan 16c, d), patayo sa parisukat. tatsulok BCD. Upang gawin ito, gumugol kami sa parisukat. triangle horizontal B-1 at ilagay ang projection axis S patayo sa projection b-1 horizontal. Bumubuo kami ng mga projection ng isang punto at isang eroplano - a s at isang segment c s d s. Ang distansya mula sa a s hanggang c s d s ay katumbas ng nais na distansya l ng punto sa eroplano.

Kay Rio. 162, d ginagamit ang paraan ng parallel movement. Ililipat namin ang buong sistema hanggang ang pahalang na eroplano B-1 ay maging patayo sa eroplanong V: ang projection b 1 1 1 ay dapat na patayo sa x axis. Sa posisyong ito, ang eroplano ng tatsulok ay magiging frontally projecting, at ang distansya l mula sa punto A hanggang dito ay pl. V nang walang pagbaluktot.

Sa Fig. 162, b ang eroplano ay tinukoy ng mga bakas. Ipinakilala namin (Larawan 162, e) ang isang karagdagang parisukat. S, patayo sa parisukat. P: Ang S/H axis ay patayo sa P h. Ang natitira ay malinaw mula sa pagguhit. Sa Fig. 162, g nalutas ang problema gamit ang isang kilusan: pl. Ang P ay pumupunta sa posisyong P 1, ibig sabihin, ito ay nagiging front-projecting. Subaybayan. Ang P 1h ay patayo sa x axis. Binubuo namin ang harap sa posisyong ito ng eroplano. ang pahalang na bakas ay ang punto n" 1,n 1. Ang bakas na P 1ϑ ay dadaan sa P 1x at n 1. Ang distansya mula sa a" 1 hanggang P 1ϑ ay katumbas ng kinakailangang distansya l.

165. Ang SABC pyramid ay ibinigay (tingnan ang Fig. 160). Tukuyin ang distansya mula sa punto A hanggang sa gilid ng SBC pyramid gamit ang parallel movement method.

166. Ang SABC pyramid ay ibinigay (tingnan ang Fig. 161). Tukuyin ang taas ng pyramid gamit ang parallel displacement method.

167*. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga tumatawid na linya AB at CD (tingnan ang Fig. 159,a) bilang ang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano na iginuhit sa mga linyang ito.

Solusyon. Sa Fig. 163, at ang mga eroplano P at Q ay parallel sa isa't isa, kung saan pl. Ang Q ay iginuhit sa pamamagitan ng CD parallel sa AB, at pl. P - sa pamamagitan ng AB parallel sa parisukat. T. Ang distansya sa pagitan ng naturang mga eroplano ay itinuturing na ang distansya sa pagitan ng pagtawid sa mga tuwid na linya AB at CD. Gayunpaman, maaari mong limitahan ang iyong sarili sa paggawa lamang ng isang eroplano, halimbawa Q, parallel sa AB, at pagkatapos ay tukuyin ang distansya ng hindi bababa sa mula sa punto A hanggang sa eroplanong ito.

Sa Fig. 163, c ay nagpapakita ng eroplanong Q na iginuhit sa pamamagitan ng CD parallel sa AB; sa mga projection na isinagawa gamit ang "e" || a"b" at ce || ab. Gamit ang paraan ng pagpapalit ng pl. projection (Larawan 163, c), ipinakilala namin ang isang karagdagang parisukat. S, patayo sa parisukat. V at sabay

patayo sa parisukat T. Upang iguhit ang S/V axis, kunin ang frontal D-1 sa eroplanong ito. Ngayon gumuhit kami ng S/V patayo sa d"1" (Larawan 163, c). Pl. Ang Q ay ipapakita sa parisukat. S bilang isang tuwid na linya na may s d s. Ang natitira ay malinaw mula sa pagguhit.

168. Ang SABC pyramid ay ibinigay (tingnan ang Fig. 160). Tukuyin ang distansya sa pagitan ng ribs SC at AB Ilapat ang: 1) paraan ng pagpapalit ng lugar. projection, 2) paraan ng parallel na paggalaw.

169*. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng magkatulad na mga eroplano, ang isa ay tinukoy ng mga tuwid na linya AB at AC, at ang isa pa ay sa pamamagitan ng mga tuwid na linya DE at DF (Larawan 164, a). Magsagawa rin ng konstruksiyon para sa kaso kapag ang mga eroplano ay tinukoy ng mga bakas (Larawan 164, b).

Solusyon. Ang distansya (Larawan 164, c) sa pagitan ng mga parallel na eroplano ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagguhit ng isang patayo mula sa anumang punto ng isang eroplano patungo sa isa pang eroplano. Sa Fig. 164, g isang karagdagang parisukat ang ipinakilala. S patayo sa parisukat. H at sa parehong ibinigay na eroplano. Ang S.H axis ay patayo sa pahalang. pahalang na projection na iginuhit sa isa sa mga eroplano. Gumagawa kami ng projection ng eroplanong ito at isang punto sa isa pang eroplano sa parisukat. 5. Ang distansya ng point d s sa tuwid na linya l s a s ay katumbas ng kinakailangang distansya sa pagitan ng mga parallel na eroplano.

Sa Fig. 164, d ibinibigay ang isa pang konstruksiyon (ayon sa paraan ng parallel na paggalaw). Upang ang eroplano na ipinahayag ng mga intersecting na linya AB at AC ay patayo sa parisukat. V, abot-tanaw. Itinakda namin ang pahalang na projection ng eroplanong ito patayo sa x axis: 1 1 2 1 ⊥ x. Distansya sa pagitan ng harap. projection d" 1 ng point D at straight line a" 1 2" 1 (front projection ng eroplano) ay katumbas ng kinakailangang distansya sa pagitan ng mga eroplano.

Sa Fig. 164, e ay nagpapakita ng pagpapakilala ng isang karagdagang parisukat. S, patayo sa lugar H at sa ibinigay na mga eroplano P at Q (ang S/H axis ay patayo sa mga bakas na P h at Q h). Bumubuo kami ng mga bakas ng P s at Q s. Ang distansya sa pagitan ng mga ito (tingnan ang Fig. 164, c) ay katumbas ng nais na distansya l sa pagitan ng mga eroplano P at Q.

Sa Fig. 164, g ay nagpapakita ng paggalaw ng mga eroplano P 1 n Q 1, sa posisyon P 1 at Q 1, kapag ang abot-tanaw. ang mga bakas ay lumabas na patayo sa x-axis. Distansya sa pagitan ng mga bagong harapan. ang mga bakas na P 1ϑ at Q 1ϑ ay katumbas ng kinakailangang distansya l.

170. Ibinigay ang parallelepiped ABCDEFGH (Fig. 165). Tukuyin ang mga distansya: a) sa pagitan ng mga base ng parallelepiped - l 1; b) sa pagitan ng mga mukha ABFE at DCGH - l 2; c) sa pagitan ng mga mukha ng ADHE at BCGF-l 3.

Ang artikulong ito ay nagsasalita tungkol sa paksa « distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya », Tinatalakay ang kahulugan ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya na may mga nakalarawang halimbawa gamit ang coordinate method. Ang bawat bloke ng teorya sa dulo ay nagpakita ng mga halimbawa ng paglutas ng mga katulad na problema.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagtukoy ng distansya mula sa punto hanggang punto. Tingnan natin nang maigi.

Hayaang magkaroon ng isang linya a at isang punto M 1 na hindi kabilang sa ibinigay na linya. Sa pamamagitan nito gumuhit kami ng isang tuwid na linya b, na matatagpuan patayo sa tuwid na linya a. Kunin natin ang punto ng intersection ng mga linya bilang H 1. Nakuha namin na ang M 1 H 1 ay isang patayo na ibinaba mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a.

Kahulugan 1

Distansya mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a ay tinatawag na distansya sa pagitan ng mga puntos M 1 at H 1.

May mga kahulugan na kasama ang haba ng patayo.

Kahulugan 2

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ang haba ng isang patayo na iginuhit mula sa isang ibinigay na punto hanggang sa isang ibinigay na linya.

Ang mga kahulugan ay katumbas. Isaalang-alang ang figure sa ibaba.

Ito ay kilala na ang distansya mula sa isang punto sa isang linya ay ang pinakamaliit sa lahat ng posible. Tingnan natin ito sa isang halimbawa.

Kung kukuha tayo ng isang puntong Q na nakahiga sa isang tuwid na linya a, na hindi nag-tutugma sa puntong M 1, pagkatapos ay nalaman natin na ang segment na M 1 Q ay tinatawag na isang hilig na segment, na ibinaba mula sa M 1 hanggang sa isang tuwid na linya a. Kinakailangang ipahiwatig na ang patayo mula sa punto M 1 ay mas mababa kaysa sa anumang iba pang hilig na linya na iginuhit mula sa punto hanggang sa tuwid na linya.

Upang patunayan ito, isaalang-alang ang tatsulok na M 1 Q 1 H 1, kung saan ang M 1 Q 1 ay ang hypotenuse. Ito ay kilala na ang haba nito ay palaging mas malaki kaysa sa haba ng alinman sa mga binti. Nangangahulugan ito na mayroon tayong M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Ang paunang data para sa paghahanap mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay nagpapahintulot sa iyo na gumamit ng ilang mga pamamaraan ng solusyon: sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, pagpapasiya ng sine, cosine, tangent ng isang anggulo at iba pa. Karamihan sa mga gawain ng ganitong uri ay nalulutas sa paaralan sa panahon ng mga aralin sa geometry.

Kapag, kapag hinahanap ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya, posible na ipakilala ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate, pagkatapos ay ginagamit ang paraan ng coordinate. Sa talatang ito, isasaalang-alang natin ang pangunahing dalawang paraan ng paghahanap ng kinakailangang distansya mula sa isang naibigay na punto.

Ang unang paraan ay nagsasangkot ng paghahanap para sa distansya bilang isang patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Ang pangalawang paraan ay gumagamit ng normal na equation ng tuwid na linya a upang mahanap ang kinakailangang distansya.

Kung mayroong isang punto sa eroplano na may mga coordinate M 1 (x 1 , y 1), na matatagpuan sa isang rectangular coordinate system, tuwid na linya a, at kailangan mong hanapin ang distansya M 1 H 1, maaari mong gawin ang pagkalkula sa dalawa mga paraan. Tingnan natin sila.

Unang paraan

Kung mayroong mga coordinate ng point H 1 na katumbas ng x 2, y 2, kung gayon ang distansya mula sa punto hanggang sa linya ay kinakalkula gamit ang mga coordinate mula sa formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Ngayon ay magpatuloy tayo sa paghahanap ng mga coordinate ng point H 1.

Ito ay kilala na ang isang tuwid na linya sa O x y ay tumutugma sa equation ng isang tuwid na linya sa eroplano. Kunin natin ang paraan ng pagtukoy ng isang tuwid na linya a sa pamamagitan ng pagsulat pangkalahatang equation tuwid na linya o slope equation. Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto M 1 patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya a. Tukuyin natin ang tuwid na linya sa pamamagitan ng titik b. Ang H 1 ay ang punto ng intersection ng mga linya a at b, na nangangahulugang upang matukoy ang mga coordinate na kailangan mong gamitin ang artikulo kung saan pinag-uusapan natin tungkol sa mga coordinate ng mga punto ng intersection ng dalawang linya.

Makikita na ang algorithm para sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto M 1 (x 1, y 1) hanggang sa tuwid na linya a ay isinasagawa ayon sa mga puntos:

Kahulugan 3

• paghahanap ng pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya a, na may anyong A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, o isang equation na may angle coefficient, na may anyong y = k 1 x + b 1;
• pagkuha ng isang pangkalahatang equation ng linya b, pagkakaroon ng anyo A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o isang equation na may isang angular coefficient y = k 2 x + b 2, kung ang linya b ay nag-intersect sa point M 1 at patayo sa isang ibinigay na linya a;
• pagpapasiya ng mga coordinate x 2, y 2 ng punto H 1, na siyang intersection point ng a at b, para sa layuning ito ang system ay nalutas linear na equation A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 o y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• pagkalkula ng kinakailangang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya gamit ang formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Pangalawang paraan

Ang theorem ay maaaring makatulong sa pagsagot sa tanong ng paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa isang ibinigay na tuwid na linya sa isang eroplano.

Teorama

Ang rectangular coordinate system ay may O x y na may punto M 1 (x 1, y 1), kung saan ang isang tuwid na linya ay iginuhit patungo sa eroplano, na ibinigay ng normal na equation ng eroplano, na may anyong cos α x + cos β y - p = 0, katumbas ng Ang absolute value na nakuha sa kaliwang bahagi ng normal na equation ng linya, na kinakalkula sa x = x 1, y = y 1, ay nangangahulugan na M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

Patunay

Ang linya a ay tumutugma sa normal na equation ng eroplano, na may anyo na cos α x + cos β y - p = 0, pagkatapos ay ang n → = (cos α, cos β) ay itinuturing na normal na vector ng linya a sa layo mula sa pinagmulan sa linya a na may mga p unit . Ito ay kinakailangan upang ipakita ang lahat ng data sa figure, magdagdag ng isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1), kung saan ang radius vector ng punto M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Kinakailangang gumuhit ng isang tuwid na linya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya, na tinutukoy namin bilang M 1 H 1 . Kinakailangang ipakita ang mga projection na M 2 at H 2 ng mga puntos na M 1 at H 2 sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto O na may vector ng direksyon ng anyong n → = (cos α, cos β), at tukuyin ang numerical projection ng vector bilang O M 1 → = (x 1, y 1) sa direksyon n → = (cos α , cos β) bilang n p n → O M 1 → .

Ang mga pagkakaiba-iba ay depende sa lokasyon ng M1 point mismo. Tingnan natin ang figure sa ibaba.

Inaayos namin ang mga resulta gamit ang formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Pagkatapos ay dinadala namin ang pagkakapantay-pantay sa form na ito M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p upang makuha ang n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Ang scalar product ng mga vectors ay nagreresulta sa isang transformed formula ng form n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , na isang produkto sa coordinate form ng anyong n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Nangangahulugan ito na nakukuha natin na n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Kasunod nito na M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Ang teorama ay napatunayan.

Nalaman namin na upang mahanap ang distansya mula sa punto M 1 (x 1 , y 1) hanggang sa tuwid na linya a sa eroplano, kailangan mong magsagawa ng ilang mga aksyon:

Kahulugan 4

• pagkuha ng normal na equation ng tuwid na linya a cos α · x + cos β · y - p = 0, sa kondisyon na wala ito sa gawain;
• pagkalkula ng expression na cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, kung saan ang resultang halaga ay tumatagal ng M 1 H 1.

Ilapat natin ang mga pamamaraang ito upang malutas ang mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

Halimbawa 1

Hanapin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 1, 2) hanggang sa tuwid na linya 4 x - 3 y + 35 = 0.

Solusyon

Gamitin natin ang unang paraan upang malutas.

Upang gawin ito, kinakailangan upang mahanap ang pangkalahatang equation ng linya b, na dumadaan sa isang naibigay na punto M 1 (- 1, 2), patayo sa linya 4 x - 3 y + 35 = 0. Mula sa kondisyon ay malinaw na ang tuwid na linya b ay patayo sa tuwid na linya a, kung gayon ang vector ng direksyon nito ay may mga coordinate na katumbas ng (4, - 3). Kaya, mayroon kaming pagkakataon na isulat ang canonical equation ng linya b sa eroplano, dahil mayroong mga coordinate ng punto M 1, na kabilang sa linya b. Tukuyin natin ang mga coordinate ng directing vector ng tuwid na linya b. Nakukuha natin na x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Ang resultang canonical equation ay dapat i-convert sa pangkalahatan. Pagkatapos makuha namin iyon

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Hanapin natin ang mga coordinate ng mga punto ng intersection ng mga linya, na kukunin natin bilang pagtatalaga H 1. Ang mga pagbabago ay ganito ang hitsura:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Mula sa kung ano ang nakasulat sa itaas, mayroon kaming na ang mga coordinate ng punto H 1 ay katumbas ng (- 5; 5).

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa punto M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Mayroon kaming mga coordinate ng mga puntos na M 1 (- 1, 2) at H 1 (- 5, 5), pagkatapos ay pinapalitan namin ang mga ito sa formula upang mahanap ang distansya at makuha iyon

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Pangalawang solusyon.

Upang malutas sa ibang paraan, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng linya. Kinakalkula namin ang halaga ng normalizing factor at i-multiply ang magkabilang panig ng equation 4 x - 3 y + 35 = 0. Mula dito nakuha natin na ang normalizing factor ay katumbas ng - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, at ang normal na equation ay magiging sa anyo - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Ayon sa algorithm ng pagkalkula, kinakailangan upang makuha ang normal na equation ng linya at kalkulahin ito sa mga halaga x = - 1, y = 2. Pagkatapos makuha namin iyon

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Mula dito nakuha namin na ang distansya mula sa punto M 1 (- 1, 2) hanggang sa ibinigay na tuwid na linya 4 x - 3 y + 35 = 0 ay may halaga - 5 = 5.

Sagot: 5 .

Makikita na sa paraang ito mahalagang gamitin ang normal na equation ng linya, dahil ang pamamaraang ito ang pinakamaikli. Ngunit ang unang paraan ay maginhawa dahil ito ay pare-pareho at lohikal, bagaman mayroon itong mas maraming mga kalkulasyon.

Halimbawa 2

Sa eroplano mayroong isang hugis-parihaba na coordinate system O x y na may punto M 1 (8, 0) at tuwid na linya y = 1 2 x + 1. Hanapin ang distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang tuwid na linya.

Solusyon

Ang paglutas sa unang paraan ay nagsasangkot ng pagbabawas ng isang ibinigay na equation na may slope sa equation pangkalahatang pananaw. Upang pasimplehin ang mga bagay, magagawa mo ito sa ibang paraan.

Kung ang produkto ng angular coefficients ng patayo na mga tuwid na linya ay may halaga na - 1, kung gayon dalisdis linyang patayo sa ibinigay na y = 1 2 x + 1 ay may halagang 2. Ngayon nakuha namin ang equation ng isang linya na dumadaan sa isang punto na may mga coordinate M 1 (8, 0). Mayroon tayong y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Nagpapatuloy kami sa paghahanap ng mga coordinate ng punto H 1, iyon ay, ang mga intersection point y = - 2 x + 16 at y = 1 2 x + 1. Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation at makakuha ng:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Kasunod nito na ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (8, 0) hanggang sa tuwid na linya y = 1 2 x + 1 ay katumbas ng distansya mula sa simula at dulong punto na may mga coordinate M 1 (8, 0) at H 1 (6, 4) . Kalkulahin natin at hanapin na M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Ang solusyon sa pangalawang paraan ay ang paglipat mula sa isang equation na may coefficient patungo sa normal na anyo nito. Iyon ay, nakukuha natin ang y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, kung gayon ang halaga ng normalizing factor ay magiging - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Kasunod nito na ang normal na equation ng linya ay nasa anyo - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Isagawa natin ang pagkalkula mula sa puntong M 1 8, 0 hanggang sa isang linya ng form - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Nakukuha namin:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Sagot: 2 5 .

Halimbawa 3

Kinakailangang kalkulahin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 (- 2, 4) hanggang sa mga linyang 2 x - 3 = 0 at y + 1 = 0.

Solusyon

Nakukuha namin ang equation ng normal na anyo ng tuwid na linya 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Pagkatapos ay magpatuloy kami sa pagkalkula ng distansya mula sa puntong M 1 - 2, 4 hanggang sa tuwid na linya x - 3 2 = 0. Nakukuha namin:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Ang equation ng tuwid na linya y + 1 = 0 ay may normalizing factor na may halaga na katumbas ng -1. Nangangahulugan ito na ang equation ay kukuha ng anyo - y - 1 = 0. Nagpapatuloy kami sa pagkalkula ng distansya mula sa puntong M 1 (- 2, 4) hanggang sa tuwid na linya - y - 1 = 0. Nalaman namin na ito ay katumbas ng - 4 - 1 = 5.

Sagot: 3 1 2 at 5.

Tingnan natin nang mas malapitan ang paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto sa eroplano hanggang coordinate axes O x at O ​​y.

Sa isang rectangular coordinate system, ang O axis y ay may equation ng isang tuwid na linya, na hindi kumpleto at may anyong x = 0, at O ​​x - y = 0. Ang mga equation ay normal para sa mga coordinate axes, pagkatapos ay kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 x 1, y 1 hanggang sa mga linya. Ginagawa ito batay sa mga formula M 1 H 1 = x 1 at M 1 H 1 = y 1. Tingnan natin ang figure sa ibaba.

Halimbawa 4

Hanapin ang distansya mula sa puntong M 1 (6, - 7) hanggang sa mga linya ng coordinate na matatagpuan sa O x y plane.

Solusyon

Dahil ang equation na y = 0 ay nauugnay sa tuwid na linya O x, mahahanap natin ang distansya mula sa M 1 s ibinigay na mga coordinate, sa tuwid na linyang ito gamit ang formula. Nakukuha namin na 6 = 6.

Dahil ang equation na x = 0 ay tumutukoy sa tuwid na linya O y, mahahanap mo ang distansya mula M 1 hanggang sa tuwid na linyang ito gamit ang formula. Pagkatapos makuha namin iyon - 7 = 7.

Sagot: ang distansya mula M 1 hanggang O x ay may halaga na 6, at mula M 1 hanggang O y ay may halaga na 7.

Kapag sa three-dimensional na espasyo mayroon tayong isang punto na may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1), kinakailangan upang mahanap ang distansya mula sa punto A hanggang sa tuwid na linya a.

Isaalang-alang natin ang dalawang pamamaraan na nagbibigay-daan sa iyong kalkulahin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa espasyo. Isinasaalang-alang ng unang kaso ang distansya mula sa punto M 1 hanggang sa isang linya, kung saan ang isang punto sa linya ay tinatawag na H 1 at ang base ng isang patayo na iginuhit mula sa punto M 1 hanggang linya a. Ang pangalawang kaso ay nagmumungkahi na ang mga punto ng eroplanong ito ay dapat hanapin bilang taas ng paralelogram.

Unang paraan

Mula sa kahulugan mayroon kaming na ang distansya mula sa punto M 1 na matatagpuan sa tuwid na linya a ay ang haba ng patayo M 1 H 1 , pagkatapos ay nakuha namin iyon sa mga nahanap na coordinate ng punto H 1 , pagkatapos ay nakita namin ang distansya sa pagitan ng M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) at H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , batay sa formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Nalaman namin na ang buong solusyon ay napupunta sa paghahanap ng mga coordinate ng base ng patayo na iginuhit mula sa M 1 hanggang sa tuwid na linya a. Ginagawa ito bilang mga sumusunod: Ang H 1 ay ang punto kung saan ang isang tuwid na linya ay bumalandra sa eroplano na dumadaan sa ibinigay na punto.

Nangangahulugan ito na ang algorithm para sa pagtukoy ng distansya mula sa punto M 1 (x 1, y 1, z 1) hanggang sa linya a sa espasyo ay nagpapahiwatig ng ilang mga punto:

Kahulugan 5

• pagguhit ng equation ng eroplano χ bilang isang equation ng eroplano na dumadaan sa isang naibigay na punto na matatagpuan patayo sa linya;
• pagpapasiya ng mga coordinate (x 2, y 2, z 2) na kabilang sa puntong H 1, na siyang intersection point ng tuwid na linya a at eroplano χ;
• pagkalkula ng distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya gamit ang formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Pangalawang paraan

Mula sa kondisyon na mayroon tayong isang tuwid na linya a, pagkatapos ay matutukoy natin ang direksyon ng vector a → = a x, a y, a z na may mga coordinate x 3, y 3, z 3 at isang tiyak na punto M 3 na kabilang sa tuwid na a. Kung mayroon kang mga coordinate ng mga puntos na M 1 (x 1, y 1) at M 3 x 3, y 3, z 3, maaari mong kalkulahin ang M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Dapat nating isantabi ang mga vectors a → = a x , a y , a z at M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 mula sa puntong M 3 , ikonekta ang mga ito at kumuha ng parallelogram pigura. Ang M 1 H 1 ay ang taas ng paralelogram.

Tingnan natin ang figure sa ibaba.

Mayroon kaming na ang taas M 1 H 1 ay ang kinakailangang distansya, pagkatapos ito ay kinakailangan upang mahanap ito gamit ang formula. Ibig sabihin, hinahanap namin ang M 1 H 1.

Tukuyin natin ang lugar ng parallelogram sa pamamagitan ng titik S, na natagpuan ng formula gamit ang vector a → = (a x, a y, a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Ang pormula ng lugar ay S = a → × M 3 M 1 → . Gayundin, ang lugar ng figure ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga gilid nito at ang taas, nakukuha natin na S = a → · M 1 H 1 na may → = a x 2 + a y 2 + a z 2, na ay ang haba ng vector a → = (a x, a y, a z), na katumbas ng gilid ng paralelogram. Nangangahulugan ito na ang M 1 H 1 ay ang distansya mula sa punto hanggang sa linya. Ito ay matatagpuan gamit ang formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Upang mahanap ang distansya mula sa isang puntong may mga coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) sa isang tuwid na linya a sa espasyo, kailangan mong magsagawa ng ilang hakbang ng algorithm:

Kahulugan 6

• pagpapasiya ng vector ng direksyon ng tuwid na linya a - a → = (a x, a y, a z);
• pagkalkula ng haba ng vector ng direksyon a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• pagkuha ng mga coordinate x 3 , y 3 , z 3 na kabilang sa point M 3 na matatagpuan sa tuwid na linya a;
• pagkalkula ng mga coordinate ng vector M 3 M 1 → ;
• paghahanap ng vector product ng mga vectors a → (a x , a y , a z) at M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 bilang a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 upang makuha ang haba gamit ang formula a → × M 3 M 1 → ;
• pagkalkula ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng distansya mula sa isang naibigay na punto hanggang sa isang naibigay na linya sa espasyo

Hanapin ang distansya mula sa punto na may mga coordinate M 1 2, - 4, - 1 hanggang sa linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Solusyon

Ang unang paraan ay nagsisimula sa pagsulat ng equation ng eroplano χ na dumadaan sa M 1 at patayo sa isang naibigay na punto. Nakakakuha kami ng expression tulad ng:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga coordinate ng punto H 1, na kung saan ay ang punto ng intersection sa χ eroplano sa linya na tinukoy ng kondisyon. Dapat kang lumipat mula sa canonical view patungo sa intersecting. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation ng form:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Kinakailangang kalkulahin ang system x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 sa pamamagitan ng paraan ng Cramer, pagkatapos ay makuha natin iyon:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Mula dito mayroon tayong H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Ang pangalawang paraan ay dapat magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng mga coordinate sa canonical equation. Upang gawin ito, kailangan mong bigyang-pansin ang mga denominador ng fraction. Pagkatapos ang a → = 2, - 1, 5 ay ang vector ng direksyon ng linyang x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Kinakailangang kalkulahin ang haba gamit ang formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Malinaw na ang tuwid na linya na x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ay nagsasalubong sa puntong M 3 (- 1 , 0 , - 5), kaya mayroon tayong vector na may pinagmulang M 3 (- 1 , 0 , - 5) at ang dulo nito sa puntong M 1 2, - 4, - 1 ay M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Hanapin ang produkto ng vector a → = (2, - 1, 5) at M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Nakakakuha tayo ng expression ng form a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

nalaman namin na ang haba ng produkto ng vector ay katumbas ng isang → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Mayroon kaming lahat ng data upang magamit ang formula para sa pagkalkula ng distansya mula sa isang punto para sa isang tuwid na linya, kaya ilapat natin ito at makuha ang:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Sagot: 11 .

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

St. Petersburg State Marine Technical University

Kagawaran ng Computer Graphics at Suporta sa Impormasyon

ARALIN 3

PRAKTIKAL NA GAWAIN Blg. 3

Pagtukoy ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya.

Maaari mong matukoy ang distansya sa pagitan ng isang punto at isang tuwid na linya sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga sumusunod na konstruksyon (tingnan ang Fig. 1):

· mula sa punto SA ibaba ang patayo sa isang tuwid na linya A;

· markahan ang isang punto SA intersection ng isang patayo na may isang tuwid na linya;

sukatin ang haba ng segment KS, ang simula nito ay isang ibinigay na punto, at ang dulo ay ang minarkahang intersection point.

Fig.1. Distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.

Ang batayan para sa paglutas ng mga problema ng ganitong uri ay ang tamang anggulo na tuntunin ng projection: ang isang tamang anggulo ay inaasahang walang pagbaluktot kung hindi bababa sa isa sa mga gilid nito ay parallel sa projection plane(i.e. sumasakop sa isang pribadong posisyon). Magsimula tayo sa ganoong kaso at isaalang-alang ang mga konstruksyon para sa pagtukoy ng distansya mula sa isang punto SA sa isang segment ng tuwid na linya AB.

Walang mga halimbawa ng pagsubok sa gawaing ito, at ang mga opsyon para sa pagkumpleto ng mga indibidwal na gawain ay ibinigay sa talahanayan1 at talahanayan2. Ang solusyon sa problema ay inilarawan sa ibaba, at ang kaukulang mga konstruksyon ay ipinapakita sa Fig. 2.

1. Pagtukoy ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang partikular na linya.

Una, ang mga projection ng isang punto at isang segment ay itinayo. Projection A1B1 parallel sa axis X. Nangangahulugan ito na ang segment AB parallel sa eroplano P2. Kung mula sa punto SA gumuhit patayo sa AB, pagkatapos ay ipapakita ang tamang anggulo nang walang pagbaluktot sa eroplano P2. Pinapayagan ka nitong gumuhit ng patayo mula sa isang punto C2 sa projection A2B2.

Dropdown na menu Drawing-Segment (Gumuhit- Linya) . Ilagay ang cursor sa punto C2 at ayusin ito bilang unang punto ng segment. Ilipat ang cursor sa direksyon ng normal sa segment A2B2 at ayusin ang pangalawang punto dito sa sandaling lumitaw ang pahiwatig Normal (Perpendikular) . Markahan ang itinayong punto K2. Paganahin ang mode ORTHO(ORTHO) , at mula sa punto K2 gumuhit ng patayong linya ng koneksyon hanggang sa mag-intersect ito sa projection A1 B1. Italaga ang intersection point sa pamamagitan ng K1. Dot SA, nakahiga sa segment AB, ay ang intersection point ng patayo na iginuhit mula sa punto SA, na may segment AB. Kaya, ang segment KS ay ang kinakailangang distansya mula sa punto hanggang sa linya.

Mula sa mga constructions ito ay malinaw na ang segment KS sumasakop sa isang pangkalahatang posisyon at, samakatuwid, ang mga projection nito ay baluktot. Kapag pinag-uusapan ang distansya, palagi nating ibig sabihin tunay na halaga ng segment, na nagpapahayag ng distansya. Samakatuwid, kailangan nating hanapin ang tunay na halaga ng segment KS, sa pamamagitan ng pag-ikot nito sa isang partikular na posisyon, halimbawa, KS|| P1. Ang resulta ng mga konstruksyon ay ipinapakita sa Fig. 2.

Mula sa mga konstruksyon na ipinakita sa Fig. 2, maaari nating tapusin: ang partikular na posisyon ng linya (ang segment ay parallel P1 o P2) ay nagbibigay-daan sa iyo na mabilis na bumuo ng mga projection ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya, ngunit ang mga ito ay pangit.

Fig.2. Pagtukoy ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang partikular na linya.

2. Pagtukoy ng distansya mula sa isang punto hanggang sa isang pangkalahatang linya.

Ang segment ay hindi palaging sumasakop sa isang partikular na posisyon sa paunang kundisyon. Sa isang pangkalahatang panimulang posisyon, ang mga sumusunod na konstruksyon ay isinasagawa upang matukoy ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya:

a) gamit ang paraan ng pagbabagong-anyo ng pagguhit, i-convert ang isang segment mula sa isang pangkalahatang posisyon sa isang partikular na isa - ito ay magpapahintulot sa pagbuo ng mga projection ng distansya (pangit);

b) gamit muli ang pamamaraan, isalin ang segment na naaayon sa kinakailangang distansya sa isang partikular na posisyon - nakakakuha kami ng projection ng distansya sa magnitude na katumbas ng tunay.

Isaalang-alang ang pagkakasunud-sunod ng mga konstruksyon upang matukoy ang distansya mula sa isang punto A sa isang segment sa pangkalahatang posisyon Araw(Larawan 3).

Sa unang pag-ikot ito ay kinakailangan upang makuha ang partikular na posisyon ng segment SAC. Upang gawin ito sa layer TMR kailangang ikonekta ang mga tuldok SA 2, C2 At A2. Gamit ang command Change-Rotate (Baguhin – Iikot) tatsulok В2С2А2 umikot sa paligid ng isang punto C2 sa posisyon kung saan ang bagong projection B2*C2 ay matatagpuan nang mahigpit na pahalang (point SA ay hindi gumagalaw at, samakatuwid, ang bagong projection nito ay tumutugma sa orihinal at sa pagtatalaga C2* At C1* maaaring hindi ipakita sa drawing). Bilang resulta, ang mga bagong projection ng segment ay makukuha B2*C2 at mga puntos: A2*. Susunod mula sa mga puntos A2* At SA 2* ang mga patayo ay isinasagawa, at mula sa mga punto SA 1 At A1 pahalang na linya ng komunikasyon. Ang intersection ng mga kaukulang linya ay tutukoy sa posisyon ng mga punto ng bagong pahalang na projection: ang segment B1*C1 at mga tuldok A1*.

Sa resultang partikular na posisyon, maaari tayong bumuo ng mga projection ng distansya para dito: mula sa punto A1* ang normal sa B1*C1. Ang punto ng kanilang intersection ay K1*. Ang isang patayong linya ng koneksyon ay iginuhit mula sa puntong ito hanggang sa mag-intersect ito sa projection B2*C2. Ang isang punto ay minarkahan K2*. Bilang resulta, nakakuha kami ng mga projection ng segment AK, na siyang kinakailangang distansya mula sa punto A sa isang segment ng tuwid na linya Araw.

Susunod, kinakailangan na bumuo ng mga projection ng distansya sa paunang kondisyon. Upang gawin ito mula sa punto K1* ito ay maginhawa upang gumuhit ng isang pahalang na linya hanggang sa ito ay magsalubong sa projection В1С1 at markahan ang intersection point K1. Pagkatapos ay itinayo ang isang punto K2 sa frontal projection ng segment at projection ay isinasagawa A1K1 At A2K2. Bilang resulta ng mga konstruksyon, nakuha ang mga projection ng distansya, ngunit pareho sa una at sa bagong bahagyang posisyon ng segment. araw, segment ng linya AK sumasakop sa isang pangkalahatang posisyon, at ito ay humahantong sa ang katunayan na ang lahat ng mga pagpapakita nito ay baluktot.

Sa pangalawang pag-ikot ito ay kinakailangan upang paikutin ang segment AK sa isang partikular na posisyon, na magpapahintulot sa amin na matukoy ang tunay na halaga ng distansya - projection A2*K2**. Ang resulta ng lahat ng mga konstruksyon ay ipinapakita sa Fig. 3.

GAWAIN Blg. 3-1. SA sa isang tuwid na linya ng partikular na posisyon na tinukoy ng isang segment AB. Ibigay ang sagot sa mm (Talahanayan 1).Alisin ang projection lens

Talahanayan 1

GAWAIN Blg. 3-2. Hanapin ang totoong distansya mula sa isang punto M sa isang tuwid na linya sa pangkalahatang posisyon na ibinigay ng segment ED. Ibigay ang sagot sa mm (talahanayan 2).

talahanayan 2

Pagsuri at pagpasa sa natapos na GAWAIN Blg. 3.

Upang kalkulahin ang distansya mula sa isang naibigay na punto M sa isang tuwid na linya L, maaari mong gamitin iba't ibang paraan. Halimbawa, kung kukuha tayo ng di-makatwirang punto M 0 sa linyang L, maaari nating matukoy orthogonal projection ng vector M 0 M papunta sa direksyon ng normal na vector ng linya. Ang projection na ito, hanggang sa isang palatandaan, ay ang kinakailangang distansya.

Ang isa pang paraan upang makalkula ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay batay sa paggamit normal na equation ng isang linya. Hayaang ang tuwid na linya L ay ibigay ng normal na equation (4.23). Kung ang puntong M(x; y) ay hindi nasa linyang L, kung gayon ang orthogonal projection pr n OM radius vector point M sa direksyon ng unit normal vector n ng tuwid na linya L ay katumbas ng scalar product ng vectors OM at n, i.e. x cosφ + y sinφ. Ang parehong projection ay katumbas ng kabuuan ng distansya p mula sa pinanggalingan hanggang sa linya at isang tiyak na halaga δ (Larawan 4.10). Ang halaga ng δ ng ganap na halaga katumbas ng distansya mula sa punto M hanggang sa tuwid na linya. Sa kasong ito, δ > 0 kung ang mga puntong M at O ​​ay matatagpuan sa magkabilang panig ng tuwid na linya, at ang δ ay ang paglihis ng punto M mula sa tuwid na linya.

Ang paglihis δ para sa puntong M(x; y) mula sa tuwid na linyang L ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa pagitan ng projection pr n OM at ang distansya p mula sa pinanggalingan hanggang sa tuwid na linya (tingnan ang Fig. 4.10), i.e. δ = x cosφ + y sinφ - p.

Gamit ang formula na ito, maaari mo ring makuha ang distansya p(M, L) mula sa puntong M(x; y) hanggang sa tuwid na linya L, na ibinigay ng normal na equation: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Dalawang magkatabing anggulo ang nagdaragdag ng hanggang 180°

Isinasaalang-alang ang pamamaraan ng conversion sa itaas pangkalahatang equation ng linya sa normal na equation nito, nakakakuha tayo ng formula para sa distansya mula sa puntong M(x; y) hanggang sa tuwid na linya L, na ibinigay ng pangkalahatang equation nito:

Halimbawa 4.8. Hanapin natin ang mga pangkalahatang equation para sa taas na AH, median AM at bisector AD ng triangle ABC, na lumalabas mula sa vertex A. Ang mga coordinate ng vertices ng triangle ay kilala: A(-1;- 3), B(7; 3 ), C(1;7).

Una sa lahat, linawin natin ang kondisyon ng halimbawa: sa pamamagitan ng ipinahiwatig na mga equation ang ibig sabihin ay ang mga equation ng mga linya L AH, L AM at L AD, kung saan matatagpuan ang taas AH, median AM at bisector AD ng tinukoy na tatsulok. , ayon sa pagkakabanggit (Larawan 4.11).

Upang mahanap ang equation ng tuwid na linya L AM, ginagamit namin ang katotohanan na ang median ay naghahati sa kabaligtaran ng tatsulok sa kalahati. Matapos mahanap ang mga coordinate (x 1 ; y 1) ng gitna ng gilid BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5, isinusulat namin ang equation para sa L AM sa form mga equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha natin ang pangkalahatang equation ng median na 8x - 5y - 7 = 0./p>

Upang mahanap ang equation para sa taas L AH, ginagamit namin ang katotohanan na ang taas ay patayo sa kabaligtaran ng tatsulok. Samakatuwid, ang vector BC ay patayo sa taas AH at maaaring mapili bilang normal na vector ng tuwid na linya L AH. Nakukuha namin ang equation ng linyang ito mula sa (4.15) sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga coordinate ng point A at ang normal na vector ng linyang L AH:

(-6)(x + 1) + 4(y + 3) = 0.

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakuha namin ang pangkalahatang equation ng taas na 3x - 2y - 3 = 0.

Upang mahanap ang equation ng bisector L AD, ginagamit namin ang katotohanan na ang bisector AD ay kabilang sa hanay ng mga puntong iyon N(x; y) na katumbas ng layo mula sa mga linyang L AB at L AC. Ang equation ng set na ito ay may anyo

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4.28)

at ito ay tumutukoy sa dalawang linya na dumadaan sa punto A at hinahati ang mga anggulo sa pagitan ng mga linyang L AB at L AC sa kalahati. Gamit ang equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos, makikita natin ang mga pangkalahatang equation ng mga linyang L AB at L AC:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang L AB: 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0. Gamit ang formula (4.27) upang kalkulahin ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya, isinusulat namin ang Equation (4.28) sa ang anyo

Ibahin natin ito sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga module:

Bilang resulta, nakukuha namin ang pangkalahatang mga equation ng dalawang linya

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Upang piliin ang equation ng bisector mula sa kanila, isinasaalang-alang namin na ang mga vertices B at C ng tatsulok ay matatagpuan sa magkabilang panig ng nais na linya at samakatuwid ay pinapalitan ang kanilang mga coordinate sa kaliwang bahagi ang pangkalahatang equation ng tuwid na linya L AD ay dapat magbigay ng mga halaga na may iba't ibang palatandaan. Pinipili namin ang equation na naaayon sa itaas na tanda, i.e.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng point B sa kaliwang bahagi ng equation na ito ay nagbibigay ng negatibong halaga, dahil

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

at ang parehong tanda ay nakuha para sa mga coordinate ng point C, dahil

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Dahil dito, ang mga vertices B at C ay matatagpuan sa parehong gilid ng linya na may napiling equation, at samakatuwid ang equation ng bisector ay

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng patayo na iginuhit mula sa punto hanggang sa linya. Sa mapaglarawang geometry, ito ay tinutukoy nang grapiko gamit ang algorithm na ibinigay sa ibaba.

Algorithm

1. Ang tuwid na linya ay inilipat sa isang posisyon kung saan ito ay magiging parallel sa anumang projection plane. Para sa layuning ito, ginagamit ang mga paraan ng pagbabago ng orthogonal projection.
2. Mula sa isang punto ang isang patayo ay iguguhit sa isang linya. Ang konstruksiyon na ito ay batay sa theorem tungkol sa projection ng isang tamang anggulo.
3. Ang haba ng isang patayo ay natutukoy sa pamamagitan ng pagbabago ng mga projection nito o gamit ang right triangle method.

Ipinapakita ng sumusunod na figure kumplikadong pagguhit punto M at linya b na ibinigay ng segment na CD. Kailangan mong hanapin ang distansya sa pagitan nila.

Ayon sa aming algorithm, ang unang bagay na dapat gawin ay ilipat ang linya sa isang posisyon parallel sa projection plane. Mahalagang maunawaan na pagkatapos ng mga pagbabago, ang aktwal na distansya sa pagitan ng punto at linya ay hindi dapat magbago. Iyon ang dahilan kung bakit ito ay maginhawa dito upang gamitin ang paraan ng pagpapalit ng eroplano, na hindi kasangkot sa paglipat ng mga numero sa kalawakan.

Ang mga resulta ng unang yugto ng konstruksiyon ay ipinapakita sa ibaba. Ang figure ay nagpapakita kung paano ang isang karagdagang frontal plane P 4 ay ipinakilala parallel sa b. SA bagong sistema(P 1, P 4) puntos C"" 1, D"" 1, M"" 1 ay nasa parehong distansya mula sa X axis 1 bilang C"", D"", M"" mula sa X axis.

Isinasagawa ang pangalawang bahagi ng algorithm, mula sa M"" 1 ibinababa namin ang patayo M"" 1 N"" 1 sa tuwid na linya b"" 1, dahil ang tamang anggulo ng MND sa pagitan ng b at MN ay naka-project sa eroplano P 4 sa buong laki. Gamit ang linya ng komunikasyon, tinutukoy namin ang posisyon ng point N" at isinasagawa ang projection M"N" ng segment na MN.

Sa huling yugto, kailangan mong matukoy ang laki ng segment na MN mula sa mga projection nito na M"N" at M"" 1 N"" 1. Para dito kami ay nagtatayo kanang tatsulok M"" 1 N"" 1 N 0, na ang binti N"" 1 N 0 ay katumbas ng pagkakaiba (Y M 1 – Y N 1) ng distansya ng mga puntos na M" at N" mula sa X 1 axis. Ang haba ng hypotenuse M"" 1 N 0 ng triangle M"" 1 N"" 1 N 0 ay tumutugma sa nais na distansya mula M hanggang b.

Pangalawang solusyon

• Parallel sa CD, ipinakilala namin ang isang bagong frontal plane P 4. Nag-intersect ito sa P 1 kasama ang X 1 axis, at X 1 ∥C"D". Alinsunod sa paraan ng pagpapalit ng mga eroplano, tinutukoy namin ang mga projection ng mga puntos C"" 1, D"" 1 at M"" 1, tulad ng ipinapakita sa figure.
• Perpendicular to C"" 1 D"" 1 bumuo kami ng karagdagang pahalang eroplano P 5 sa kung saan ang tuwid na linya b ay inaasahang tumuturo sa C" 2 = b" 2.
• Ang distansya sa pagitan ng punto M at linya b ay tinutukoy ng haba ng segment M" 2 C" 2, na ipinahiwatig ng pula.

Mga katulad na gawain: