Prva stopnja

Kvadratne enačbe. Obsežen vodnik (2019)

V terminu " kvadratna enačba»Ključna beseda je »kvadrat«. To pomeni, da mora enačba nujno vsebovati spremenljivko (ta isti x) na kvadrat in ne sme biti xov na tretjo (ali večjo) potenco.

Rešitev številnih enačb se zmanjša na reševanje kvadratnih enačb.

Naučimo se ugotoviti, da je to kvadratna enačba in ne kakšna druga enačba.

Primer 1.

Znebimo se imenovalca in vsak člen enačbe pomnožimo s

Prestavimo vse na leva stran in razporedi člene v padajočem vrstnem redu potenc x

Zdaj lahko z gotovostjo trdimo, da je ta enačba kvadratna!

Primer 2.

Pomnožite levo in desno stran z:

Ta enačba, čeprav je bila prvotno v njej, ni kvadratna!

Primer 3.

Pomnožimo vse z:

Strašljivo? Četrta in druga stopnja ... Vendar, če naredimo zamenjavo, bomo videli, da imamo preprosto kvadratno enačbo:

Primer 4.

Zdi se, da je tam, vendar poglejmo podrobneje. Premaknimo vse na levo stran:

Glej, zmanjšano je - in zdaj je preprosta linearna enačba!

Zdaj poskusite sami ugotoviti, katere od naslednjih enačb so kvadratne in katere ne:

Primeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. ni kvadraten;
4. ni kvadraten;
5. ni kvadraten;
6. kvadrat;
7. ni kvadraten;
8. kvadrat.

Matematiki konvencionalno delijo vse kvadratne enačbe na naslednje vrste:

• Popolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih koeficienti in, kot tudi prosti člen c, niso enaki nič (kot v primeru). Poleg tega med popolnimi kvadratnimi enačbami obstajajo dano- to so enačbe, v katerih je koeficient (enačba iz prvega primera ni samo popolna, ampak tudi zmanjšana!)

• Nepopolne kvadratne enačbe- enačbe, v katerih sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

  Nepopolni so, ker jim manjka nekaj elementov. Toda enačba mora vedno vsebovati x na kvadrat!!! V nasprotnem primeru ne bo več kvadratna enačba, ampak neka druga enačba.

Zakaj so se domislili takšne delitve? Zdi se, da obstaja X na kvadrat, in v redu. To delitev določajo metode reševanja. Oglejmo si vsakega od njih podrobneje.

Reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

Najprej se osredotočimo na reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – veliko enostavnejše so!

Obstajajo vrste nepopolnih kvadratnih enačb:

1. , je v tej enačbi koeficient enak.
2. , v tej enačbi je prosti člen enak.
3. , sta v tej enačbi koeficient in prosti člen enaka.

1. i. Ker znamo pridobivati Kvadratni koren, potem izrazimo iz te enačbe

Izraz je lahko negativen ali pozitiven. Kvadrat števila ne more biti negativen, ker bo pri množenju dveh negativnih ali dveh pozitivnih števil rezultat vedno pozitivno število, torej: če, potem enačba nima rešitev.

In če, potem dobimo dve korenini. Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar je, da morate vedeti in se vedno spomniti, da ne more biti manj.

Poskusimo rešiti nekaj primerov.

Primer 5:

Reši enačbo

Zdaj ostane le še, da izvlečemo koren z leve in desne strani. Navsezadnje se spomnite, kako izločiti korenine?

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!!!

Primer 6:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 7:

Reši enačbo

Oh! Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin!

Za takšne enačbe, ki nimajo korenin, so si matematiki izmislili posebno ikono - (prazen niz). In odgovor se lahko zapiše takole:

odgovor:

Tako ima ta kvadratna enačba dva korena. Tukaj ni nobenih omejitev, saj nismo izvlekli korena.
Primer 8:

Reši enačbo

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

torej

Ta enačba ima dva korena.

odgovor:

Najenostavnejša vrsta nepopolnih kvadratnih enačb (čeprav so vse preproste, kajne?). Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Tu se bomo odpovedali primerom.

Reševanje popolnih kvadratnih enačb

Spomnimo vas, da je popolna kvadratna enačba enačba v obliki enačbe, kjer je

Reševanje popolnih kvadratnih enačb je nekoliko težje (samo malo) od teh.

Ne pozabite, Vsako kvadratno enačbo je mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Druge metode vam bodo pomagale hitreje, če pa imate težave s kvadratnimi enačbami, najprej obvladajte rešitev z diskriminanto.

1. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo diskriminante.

Reševanje kvadratnih enačb s to metodo je zelo preprosto, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul.

Če, potem ima enačba koren. Posebna pozornost narediti korak. Diskriminanta () nam pove število korenov enačbe.

• Če, potem bo formula v koraku zmanjšana na. Tako bo enačba imela samo koren.
• Če, potem v koraku ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. To pomeni, da enačba nima korenin.

Vrnimo se k našim enačbam in si oglejmo nekaj primerov.

Primer 9:

Reši enačbo

Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba dva korena.

3. korak

odgovor:

Primer 10:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ima enačba en koren.

odgovor:

Primer 11:

Reši enačbo

Enačba je predstavljena v standardni obliki, torej Korak 1 preskočimo.

2. korak

Poiščemo diskriminanco:

To pomeni, da ne bomo mogli izluščiti korena diskriminante. Ni korenin enačbe.

Zdaj vemo, kako takšne odgovore pravilno zapisati.

odgovor: brez korenin

2. Reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka.

Če se spomnite, obstaja vrsta enačbe, ki se imenuje reducirana (ko je koeficient a enak):

Takšne enačbe je zelo enostavno rešiti z uporabo Vietovega izreka:

Vsota korenin dano kvadratna enačba enaka, produkt korenin pa enak.

Primer 12:

Reši enačbo

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker .

Vsota korenov enačbe je enaka, tj. dobimo prvo enačbo:

In produkt je enak:

Sestavimo in rešimo sistem:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

odgovor: ; .

Primer 13:

Reši enačbo

odgovor:

Primer 14:

Reši enačbo

Podana je enačba, ki pomeni:

odgovor:

KVADRATNE ENAČBE. POVPREČNA STOPNJA

Kaj je kvadratna enačba?

Z drugimi besedami, kvadratna enačba je enačba oblike, kjer je - neznanka, - nekaj števil in.

Število imenujemo najvišje oz prvi koeficient kvadratna enačba, - drugi koeficient, A - brezplačen član.

Zakaj? Ker če enačba takoj postane linearna, ker bo izginilo.

V tem primeru in je lahko enako nič. V tem stolu se enačba imenuje nepopolna. Če so vsi členi na svojem mestu, je enačba popolna.

Rešitve različnih vrst kvadratnih enačb

Metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb:

Najprej si poglejmo metode za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb – so preprostejše.

Ločimo naslednje vrste enačb:

I., v tej enačbi sta koeficient in prosti člen enaka.

II. , je v tej enačbi koeficient enak.

III. , v tej enačbi je prosti člen enak.

Zdaj pa si poglejmo rešitev za vsako od teh podvrst.

Očitno ima ta enačba vedno samo en koren:

Število na kvadrat ne more biti negativno, ker ko pomnožite dve negativni ali dve pozitivni števili, bo rezultat vedno pozitivno število. Zato:

če, potem enačba nima rešitev;

če imamo dve korenini

Teh formul si ni treba zapomniti. Glavna stvar, ki si jo morate zapomniti, je, da manj ne more biti.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Nikoli ne pozabite na korenine z negativnim predznakom!

Kvadrat števila ne more biti negativen, kar pomeni, da enačba

brez korenin.

Da na kratko zapišemo, da problem nima rešitve, uporabimo ikono za prazen niz.

odgovor:

Torej ima ta enačba dva korena: in.

odgovor:

Vzemimo skupni faktor iz oklepaja:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. To pomeni, da ima enačba rešitev, ko:

Torej ima ta kvadratna enačba dva korena: in.

primer:

Reši enačbo.

rešitev:

Razložimo levo stran enačbe in poiščemo korenine:

odgovor:

Metode za reševanje popolnih kvadratnih enačb:

1. Diskriminator

Reševanje kvadratnih enačb na ta način je enostavno, glavna stvar je, da se spomnite zaporedja dejanj in nekaj formul. Ne pozabite, da je vsako kvadratno enačbo mogoče rešiti z diskriminanto! Tudi nepopolna.

Ste v formuli za korene opazili koren iz diskriminante? Toda diskriminant je lahko negativen. Kaj storiti? Posebno pozornost moramo posvetiti 2. koraku. Diskriminanta nam pove število korenov enačbe.

• Če ima enačba korenine:
• Če ima enačba enake korenine in dejansko en koren:

  Takšne korenine imenujemo dvojne korenine.

• Če, potem koren diskriminante ni ekstrahiran. To pomeni, da enačba nima korenin.

Zakaj je možno različne količine korenine? Obrnemo se na geometrijski pomen kvadratne enačbe. Graf funkcije je parabola:

V posebnem primeru, ki je kvadratna enačba, . To pomeni, da so korenine kvadratne enačbe točke presečišča z abscisno osjo (osjo). Parabola morda sploh ne seka osi ali pa jo seka v eni (če vrh parabole leži na osi) ali dveh točkah.

Poleg tega je koeficient odgovoren za smer vej parabole. Če so veje parabole usmerjene navzgor, če pa navzdol.

Primeri:

rešitve:

odgovor:

Odgovor: .

odgovor:

To pomeni, da ni rešitev.

Odgovor: .

2. Vietov izrek

Zelo enostavno je uporabiti Vietin izrek: izbrati morate samo par števil, katerih produkt je enak prostemu členu enačbe, vsota pa je enaka drugemu koeficientu, vzetem z nasprotnim predznakom.

Pomembno si je zapomniti, da je Vietin izrek mogoče uporabiti samo v zmanjšane kvadratne enačbe ().

Oglejmo si nekaj primerov:

Primer #1:

Reši enačbo.

rešitev:

To enačbo je mogoče rešiti z uporabo Vietovega izreka, ker . Drugi koeficienti: ; .

Vsota korenin enačbe je:

In produkt je enak:

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak, in preverimo, ali je njuna vsota enaka:

• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak;
• in. Znesek je enak.

in so rešitev sistema:

Tako sta in sta korena naše enačbe.

Odgovor: ; .

Primer #2:

rešitev:

Izberimo pare števil, ki dajejo zmnožek, nato pa preverimo, ali je njuna vsota enaka:

in: dajo skupaj.

in: dajo skupaj. Za pridobitev je dovolj, da preprosto spremenite znake domnevnih korenin: in navsezadnje izdelek.

odgovor:

Primer #3:

rešitev:

Prosti člen enačbe je negativen, zato je produkt korenin enak negativno število. To je mogoče le, če je eden od korenov negativen, drugi pa pozitiven. Zato je vsota korenin enaka razlike njihovih modulov.

Izberimo pare števil, ki dajejo produkt in katerih razlika je enaka:

in: njihova razlika je enaka - ne ustreza;

in: - ni primeren;

in: - ni primeren;

in: - primeren. Vse kar ostane je, da se spomnimo, da je eden od korenov negativen. Ker mora biti njuna vsota enaka, mora biti koren z manjšim modulom negativen: . Preverjamo:

odgovor:

Primer #4:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Prosti člen je negativen, zato je produkt korenin negativen. In to je mogoče le, če je en koren enačbe negativen, drugi pa pozitiven.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak, in nato določimo, kateri koreni naj imajo negativni predznak:

Očitno so samo korenine in primerne za prvi pogoj:

odgovor:

Primer #5:

Reši enačbo.

rešitev:

Podana je enačba, ki pomeni:

Vsota korenov je negativna, kar pomeni, da je vsaj eden od korenov negativen. Ker pa je njihov produkt pozitiven, pomeni, da imata oba korena znak minus.

Izberimo pare števil, katerih produkt je enak:

Očitno so korenine številke in.

odgovor:

Strinjam se, da je zelo priročno priti do korenin ustno, namesto da bi šteli to grdo razlikovanje. Poskusite uporabiti Vietov izrek čim pogosteje.

Toda Vietov izrek je potreben, da bi olajšali in pospešili iskanje korenin. Da bi vam njegova uporaba koristila, morate dejanja avtomatizirati. In za to reši še pet primerov. Vendar ne goljufajte: ne morete uporabiti diskriminatorja! Samo Vietov izrek:

Rešitve nalog za samostojno delo:

Naloga 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Po Vietovem izreku:

Kot običajno, izbor začnemo s komadom:

Ni primeren, ker količina;

: količina je ravno tolikšna, kot jo potrebujete.

Odgovor: ; .

Naloga 2.

In spet naš najljubši Vieta izrek: vsota mora biti enaka in produkt mora biti enak.

Ker pa mora biti ne, ampak, spremenimo znake korenov: in (skupaj).

Odgovor: ; .

Naloga 3.

Hmm ... Kje je to?

Vse izraze morate premakniti v en del:

Vsota korenin je enaka produktu.

V redu, nehaj! Enačba ni podana. Toda Vietin izrek je uporaben samo v danih enačbah. Torej, najprej morate dati enačbo. Če ne morete voditi, opustite to idejo in jo rešite na drug način (na primer z diskriminatorjem). Naj vas spomnim, da podati kvadratno enačbo pomeni, da je glavni koeficient enak:

Super. Potem je vsota korenin enaka in produktu.

Tu je izbira tako enostavna kot luščenje hrušk: navsezadnje je to praštevilo (oprostite za tavtologijo).

Odgovor: ; .

Naloga 4.

Brezplačni član je negativen. Kaj je na tem posebnega? In dejstvo je, da bodo korenine imele različne znake. In zdaj, med izbiro, ne preverjamo vsote korenin, temveč razliko v njihovih modulih: ta razlika je enaka, ampak produkt.

Torej, korenine so enake in, vendar je ena od njih minus. Vietov izrek nam pove, da je vsota korenin enaka drugemu koeficientu z nasprotnim predznakom, tj. To pomeni, da bo imel manjši koren minus: in, saj.

Odgovor: ; .

Naloga 5.

Kaj morate storiti najprej? Tako je, navedite enačbo:

Še enkrat: izberemo faktorje števila, njihova razlika pa mora biti enaka:

Korenini sta enaki in, vendar je ena od njiju minus. kateri? Njuna vsota mora biti enaka, kar pomeni, da bo minus imel večji koren.

Odgovor: ; .

Naj povzamem:

1. Vietov izrek se uporablja samo v podanih kvadratnih enačbah.
2. Z uporabo Vietaovega izreka lahko poiščete korenine z izbiro, ustno.
3. Če enačba ni podana ali ni najdenega ustreznega para faktorjev prostega člena, potem ni celih korenin in jo morate rešiti na drug način (na primer z diskriminanto).

3. Metoda izbire celotnega kvadrata

Če so vsi členi, ki vsebujejo neznanko, predstavljeni v obliki izrazov iz skrajšanih formul množenja - kvadrat vsote ali razlike - potem lahko po zamenjavi spremenljivk enačbo predstavimo v obliki nepopolne kvadratne enačbe tipa.

Na primer:

Primer 1:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

Primer 2:

Reši enačbo: .

rešitev:

odgovor:

IN splošni pogled transformacija bo izgledala takole:

To pomeni:.

Vas ne spominja na nič? To je diskriminatorna stvar! Točno tako smo dobili diskriminantno formulo.

KVADRATNE ENAČBE. NA KRATKO O GLAVNEM

Kvadratna enačba- to je enačba oblike, kjer - neznanka, - koeficienti kvadratne enačbe, - prosti člen.

Popolna kvadratna enačba- enačba, v kateri koeficienti niso enaki nič.

Zmanjšana kvadratna enačba- enačba, v kateri je koeficient, to je: .

Nepopolna kvadratna enačba- enačba, v kateri sta koeficient in/ali prosti člen c enaka nič:

• če je koeficient, je enačba videti takole: ,
• če obstaja prosti člen, ima enačba obliko: ,
• če in je enačba videti takole: .

1. Algoritem za reševanje nepopolnih kvadratnih enačb

1.1. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Izrazimo neznanko: ,

2) Preverite znak izraza:

• če, potem enačba nima rešitev,
• če, potem ima enačba dva korena.

1.2. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

1) Vzemimo skupni faktor iz oklepaja: ,

2) Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Zato ima enačba dva korena:

1.3. Nepopolna kvadratna enačba oblike, kjer je:

Ta enačba ima vedno samo en koren: .

2. Algoritem za reševanje popolnih kvadratnih enačb oblike kjer

2.1. Rešitev z uporabo diskriminante

1) Pripravimo enačbo v standardno obliko: ,

2) Izračunajmo diskriminanco po formuli: , ki pove število korenov enačbe:

3) Poiščite korenine enačbe:

• če ima enačba korenine, ki jih najdemo po formuli:
• če ima enačba koren, ki ga najdemo po formuli:
• če, potem enačba nima korenin.

2.2. Rešitev z uporabo Vietovega izreka

Vsota korenov reducirane kvadratne enačbe (enačba oblike kjer je) je enaka, produkt korenin pa enak, tj. , A.

2.3. Rešitev z metodo izbire celotnega kvadrata

2.5 Vietova formula za polinome (enačbe) višje stopnje

Formule, ki jih je izpeljal Viète za kvadratne enačbe, veljajo tudi za polinome višjih stopenj.

Naj polinom

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Ima n različnih korenin x 1, x 2..., x n.

V tem primeru ima faktorizacijo oblike:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

Obe strani te enačbe delimo z 0 ≠ 0 in v prvem delu odprimo oklepaje. Dobimo enakost:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … + (-1) n x 1 x 2 … x n

Toda dva polinoma sta identično enaka, če in samo če sta koeficienta istih potenc enaka. Iz tega sledi, da enakost

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Na primer za polinome tretje stopnje

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Imamo identitete

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

Kar zadeva kvadratne enačbe, se ta formula imenuje Vietove formule. Leve strani teh formul so simetrični polinomi iz korenin x 1, x 2 ..., x n te enačbe, desne strani pa so izražene s koeficientom polinoma.

2.6 Enačbe, zvodljive na kvadratne (bikvadratne)

Enačbe četrte stopnje se zmanjšajo na kvadratne enačbe:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

imenovan bikvadraten in a ≠ 0.

Dovolj je, da v to enačbo vnesemo x 2 = y, torej

ay² + by + c = 0

poiščimo korenine nastale kvadratne enačbe

y 1,2 =

Če želite takoj najti korenine x 1, x 2, x 3, x 4, zamenjajte y z x in dobite

x² =

x 1,2,3,4 = .

Če ima enačba četrte stopnje x 1, potem ima tudi koren x 2 = -x 1,

Če ima x 3, potem je x 4 = - x 3. Vsota korenin takšne enačbe je nič.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Nadomestimo enačbo v formulo za korenine bikvadratnih enačb:

x 1,2,3,4 = ,

če vemo, da je x 1 = -x 2 in x 3 = -x 4, potem:

x 3,4 =

Odgovor: x 1,2 = ±2; x 1,2 =

2.7 Preučevanje bikvadratnih enačb

Vzemimo bikvadratno enačbo

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kjer so a, b, c realna števila in a > 0. Z uvedbo pomožne neznanke y = x² preučimo korene te enačbe in rezultate vnesemo v tabelo (glej prilogo št. 1)

2.8 Formula Cardano

Če uporabimo sodobno simboliko, lahko izpeljava formule Cardano izgleda takole:

x =

Ta formula določa korenine splošna enačba tretja stopnja:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Ta formula je zelo okorna in kompleksna (vsebuje več kompleksnih radikalov). Ne bo veljalo vedno, ker... zelo težko izpolniti.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Navedite ali izberite najbolj zanimive kraje iz 2-3 besedil. Tako smo preučili splošne določbe za ustvarjanje in izvajanje izbirnih predmetov, ki jih bomo upoštevali pri razvoju izbirnega predmeta algebre za 9. razred "Kvadratne enačbe in neenakosti s parametrom." Poglavje II. Metodika izvajanja izbirnega predmeta “Kvadratne enačbe in neenačbe s parametrom” 1.1. So pogosti ...

Rešitve iz numeričnih računskih metod. Za določitev korenov enačbe ni potrebno poznavanje teorij skupin Abel, Galois, Lie itd. in uporaba posebne matematične terminologije: obroči, polja, ideali, izomorfizmi itd. Za rešitev algebrske enačbe n-te stopnje potrebujete samo sposobnost reševanja kvadratnih enačb in pridobivanja korenov iz kompleksnega števila. Korenine je mogoče določiti z ...

Z merskimi enotami fizikalnih veličin v sistemu MathCAD? 11. Podrobno opišite besedilne, grafične in matematične bloke. Predavanje št. 2. Problemi linearne algebre in reševanje diferencialnih enačb v okolju MathCAD Pri problemih linearne algebre je skoraj vedno treba izvajati različne operacije z matricami. Operacijska plošča z matricami se nahaja na plošči Math. ...

Formulacija in dokaz Vietovega izreka za kvadratne enačbe. Vietov obratni izrek. Vietov izrek za kubične enačbe in enačbe poljubnega reda.

Kvadratne enačbe

Vietov izrek

Pustimo in označimo korenine reducirane kvadratne enačbe
(1) .
Potem je vsota korenin enaka koeficientu , vzetem z nasprotnim predznakom. Produkt korenov je enak prostemu členu:
;
.

Opomba o več koreninah

Če je diskriminant enačbe (1) enak nič, ima ta enačba en koren. Toda, da bi se izognili okornim formulacijam, je splošno sprejeto, da ima v tem primeru enačba (1) dva večkratna ali enaka korena:
.

Prvi dokaz

Poiščimo korenine enačbe (1). Če želite to narediti, uporabite formulo za korenine kvadratne enačbe:
;
;
.

Poiščite vsoto korenin:
.

Če želite najti izdelek, uporabite formulo:
.
Potem

.

Izrek je dokazan.

Dokaz dva

Če so števila korenine kvadratne enačbe (1), potem
.
Odpiranje oklepaja.

.
Tako bo enačba (1) imela obliko:
.
Če primerjamo z (1), ugotovimo:
;
.

Izrek je dokazan.

Vietov obratni izrek

Naj bodo poljubna števila. Potem sta in korenini kvadratne enačbe
,
Kje
(2) ;
(3) .

Dokaz Vietovega obratnega izreka

Razmislite o kvadratni enačbi
(1) .
Dokazati moramo, da če in , potem sta in korena enačbe (1).

Zamenjajmo (2) in (3) v (1):
.
Združimo člene na levi strani enačbe:
;
;
(4) .

Nadomestimo v (4):
;
.

Nadomestimo v (4):
;
.
Enačba drži. To pomeni, da je število koren enačbe (1).

Izrek je dokazan.

Vietov izrek za popolno kvadratno enačbo

Zdaj razmislite o popolni kvadratni enačbi
(5) ,
kjer , in so nekatere številke. Poleg tega.

Razdelimo enačbo (5) z:
.
Se pravi, dobili smo dano enačbo
,
Kje ; .

Potem ima Vietov izrek za popolno kvadratno enačbo naslednjo obliko.

Pustimo in označimo korenine popolne kvadratne enačbe
.
Nato sta vsota in produkt korenin določena s formulami:
;
.

Vietov izrek za kubično enačbo

Na podoben način lahko vzpostavimo povezave med koreninami kubične enačbe. Razmislite o kubični enačbi
(6) ,
kjer so , , , nekatera števila. Poleg tega.
Razdelimo to enačbo z:
(7) ,
Kje , , .
Naj bodo , , koreni enačbe (7) (in enačbe (6)). Potem

.

Če primerjamo z enačbo (7), ugotovimo:
;
;
.

Vietov izrek za enačbo n-te stopnje

Na enak način lahko najdete povezave med koreni , , ... , , za enačbo n-te stopnje
.

Vietov izrek za enačbo n-te stopnje ima naslednjo obliko:
;
;
;

.

Za pridobitev teh formul zapišemo enačbo na naslednji način:
.
Nato izenačimo koeficiente za , , , ... in primerjamo prosti člen.

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priročnik matematike za inženirje in študente, “Lan”, 2009.
CM. Nikolski, M.K. Potapov et al., Algebra: učbenik za 8. razred v splošnoizobraževalnih ustanovah, Moskva, Izobraževanje, 2006.

V matematiki obstajajo posebne tehnike, s katerimi je mogoče številne kvadratne enačbe rešiti zelo hitro in brez diskriminant. Še več, z ustreznim usposabljanjem mnogi začnejo reševati kvadratne enačbe ustno, dobesedno »na prvi pogled«.

Na žalost se v sodobnem tečaju šolske matematike takšne tehnologije skoraj ne preučujejo. Ampak morate vedeti! In danes si bomo ogledali eno od teh tehnik - Vietin izrek. Najprej predstavimo novo definicijo.

Kvadratno enačbo oblike x 2 + bx + c = 0 imenujemo reducirana. Upoštevajte, da je koeficient za x 2 1. Za koeficiente ni nobenih drugih omejitev.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 je pomanjšana kvadratna enačba;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - tudi zmanjšano;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - vendar to sploh ni podano, saj je koeficient pri x 2 enak 2.

Seveda lahko katero koli kvadratno enačbo oblike ax 2 + bx + c = 0 zmanjšamo – vse koeficiente le delimo s številom a. To lahko storimo vedno, saj definicija kvadratne enačbe implicira, da je a ≠ 0.

Res je, da te transformacije ne bodo vedno uporabne za iskanje korenin. V nadaljevanju se bomo prepričali, da je treba to storiti le, če so v končni enačbi, podani s kvadratom, vsi koeficienti cela števila. Za zdaj si poglejmo najpreprostejše primere:

Naloga. Pretvorite kvadratno enačbo v zmanjšano enačbo:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Vsako enačbo delimo s koeficientom spremenljivke x 2. Dobimo:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - vse deljeno s 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - deljeno z −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - deljeno z 1,5 so vsi koeficienti postali cela števila;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - deljeno z 2. V tem primeru so se pojavili delni koeficienti.

Kot lahko vidite, imajo zgornje kvadratne enačbe lahko celoštevilske koeficiente, tudi če izvirna enačba vsebuje ulomke.

Zdaj pa oblikujmo glavni izrek, za katerega je bil pravzaprav uveden koncept zmanjšane kvadratne enačbe:

Vietov izrek. Razmislite o zmanjšani kvadratni enačbi oblike x 2 + bx + c = 0. Predpostavimo, da ima ta enačba realna korena x 1 in x 2. V tem primeru veljajo naslednje trditve:

1. x 1 + x 2 = −b. Z drugimi besedami, vsota korenin dane kvadratne enačbe je enaka koeficientu spremenljivke x, vzetega z nasprotnim predznakom;
2. x 1 x 2 = c. Produkt korenin kvadratne enačbe je enak prostemu koeficientu.

Primeri. Zaradi enostavnosti bomo upoštevali samo zgornje kvadratne enačbe, ki ne zahtevajo dodatnih transformacij:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; korenine: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; korenine: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; korenine: x 1 = −1; x 2 = −4.

Vietov izrek nam daje dodatne informacije o koreninah kvadratne enačbe. Na prvi pogled se to morda zdi težko, a tudi z minimalnim treningom se boste naučili "videti" korenine in jih dobesedno uganiti v nekaj sekundah.

Naloga. Rešite kvadratno enačbo:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Poskusimo zapisati koeficiente z uporabo Vietovega izreka in "ugibati" korenine:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 je pomanjšana kvadratna enačba.
   Po Vietovem izreku imamo: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Lahko vidimo, da sta korenini števili 2 in 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - tudi zmanjšano.
   Po Vietovem izreku: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Od tod korenine: 3 in 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - ta enačba ni reducirana. Toda to bomo zdaj popravili tako, da obe strani enačbe delimo s koeficientom a = 3. Dobimo: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Rešujemo z uporabo Vietovega izreka: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ korena: −10 in −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - spet koeficient za x 2 ni enak 1, tj. enačba ni podana. Vse delimo s številom a = −7. Dobimo: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Po Vietovem izreku: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Iz teh enačb je enostavno uganiti korenine: 5 in 6.

Iz zgornjega razmišljanja je jasno, kako Vietov izrek poenostavlja rešitev kvadratnih enačb. Brez zapletenih izračunov, brez aritmetičnih korenov ali ulomkov. In sploh nismo potrebovali diskriminante (glej lekcijo "Reševanje kvadratnih enačb").

Seveda smo v vseh naših razmišljanjih izhajali iz dveh pomembnih predpostavk, ki pa v resničnih problemih na splošno nista vedno izpolnjeni:

1. Kvadratna enačba je reducirana, tj. koeficient za x 2 je 1;
2. Enačba ima dva različna korena. Z algebraičnega vidika je v tem primeru diskriminanta D > 0 - pravzaprav sprva predpostavljamo, da je ta neenakost resnična.

Vendar pa so v tipičnih matematičnih problemih ti pogoji izpolnjeni. Če izračun povzroči "slabo" kvadratno enačbo (koeficient x 2 je drugačen od 1), je to mogoče enostavno popraviti - poglejte primere na samem začetku lekcije. Na splošno molčim o koreninah: kakšen problem je to, ki nima odgovora? Seveda bodo korenine.

torej splošna shema reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka izgleda takole:

1. Kvadratno enačbo zreducirajte na dano, če tega niste storili že v postavitvi naloge;
2. Če so koeficienti v zgornji kvadratni enačbi ulomki, rešujemo z diskriminanto. Lahko se celo vrnete na prvotno enačbo in delate z bolj "priročnimi" številkami;
3. V primeru celih koeficientov rešimo enačbo z uporabo Vietovega izreka;
4. Če korenin ne morete uganiti v nekaj sekundah, pozabite na Vietov izrek in rešite z uporabo diskriminante.

Naloga. Reši enačbo: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Torej, pred seboj imamo enačbo, ki ni reducirana, ker koeficient a = 5. Če vse delimo s 5, dobimo: x 2 − 7x + 10 = 0.

Vsi koeficienti kvadratne enačbe so cela števila - poskusimo jo rešiti z uporabo Vietovega izreka. Imamo: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 x 2 = 10.V v tem primeru korenine je enostavno uganiti - sta 2 in 5. Ni potrebe po štetju z uporabo diskriminante.

Naloga. Rešite enačbo: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Poglejmo: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 - ta enačba ni reducirana, obe strani delimo s koeficientom a = −5. Dobimo: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - enačba z delnimi koeficienti.

Bolje je, da se vrnemo k prvotni enačbi in preštejemo skozi diskriminanto: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Naloga. Reši enačbo: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Najprej vse skupaj delimo s koeficientom a = 2. Dobimo enačbo x 2 + 5x − 300 = 0.

To je reducirana enačba, po Vietovem izreku imamo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. V tem primeru je težko uganiti korenine kvadratne enačbe - osebno sem se resno zataknil pri reševanju tega problema.

Korenine boste morali iskati skozi diskriminanto: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Če se ne spomnite korena diskriminante, bom le zapisal, da je 1225: 25 = 49. Zato je 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Zdaj, ko poznamo koren diskriminante, reševanje enačbe ni težko. Dobimo: x 1 = 15; x 2 = −20.

Vietov izrek (natančneje, izrek, inverzen Vietovemu izreku) vam omogoča, da skrajšate čas za reševanje kvadratnih enačb. Samo znati ga morate uporabljati. Kako se naučiti reševati kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka? Ni težko, če malo pomisliš.

Sedaj bomo govorili samo o reševanju skrčene kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka.Zmanjšana kvadratna enačba je enačba, v kateri je a, to je koeficient pri x², enak ena. Možno je tudi rešiti kvadratne enačbe, ki niso podane z uporabo Vietovega izreka, vendar vsaj eden od korenov ni celo število. Težje jih je uganiti.

Inverzni izrek k Vietovemu izreku pravi: če sta števili x1 in x2 takšni, da

potem sta x1 in x2 korenini kvadratne enačbe

Pri reševanju kvadratne enačbe z uporabo Vietovega izreka so možne samo 4 možnosti. Če se spomnite sklepanja, se lahko zelo hitro naučite najti cele korenine.

I. Če je q pozitivno število,

to pomeni, da sta korena x1 in x2 števili istega predznaka (saj samo množenje števil z istimi predznaki daje pozitivno število).

I.a. Če je -p pozitivno število, (oziroma str<0), то оба корня x1 и x2 — pozitivna števila(saj smo seštevali števila istega predznaka in dobili pozitivno število).

I.b. Če je -p negativno število, (oziroma p>0), potem sta oba korena negativni števili (sešteli smo števili istega predznaka in dobili negativno število).

II. Če je q negativno število,

to pomeni, da imata korena x1 in x2 različna predznaka (pri množenju števil dobimo negativno število le, če sta predznaka faktorjev različna). V tem primeru x1+x2 ni več vsota, ampak razlika (navsezadnje pri seštevanju števil z različna znamenja od večjega odštejemo manjše). Torej x1+x2 kaže, koliko se razlikujeta korena x1 in x2, torej koliko je en koren večji od drugega (v absolutni vrednosti).

II.a. Če je -p pozitivno število, (to je str<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Če je -p negativno število, (p>0), potem je večji (modulo) koren negativno število.

Oglejmo si reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka na primerih.

Rešite dano kvadratno enačbo z uporabo Vietovega izreka:

Tukaj je q=12>0, torej sta korena x1 in x2 števili istega predznaka. Njuna vsota je -p=7>0, torej sta oba korena pozitivni števili. Izberemo cela števila, katerih produkt je enak 12. To so 1 in 12, 2 in 6, 3 in 4. Vsota je 7 za par 3 in 4. To pomeni, da sta 3 in 4 korena enačbe.

IN v tem primeru q=16>0, kar pomeni, da sta korena x1 in x2 števili istega predznaka. Njihova vsota je -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Tukaj je q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, potem je večje število pozitivno. Torej sta korena 5 in -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.