Perhatian!
   Terdapat topik tambahan untuk topik ini.
   Bahan dalam Seksyen Khas 555.
   Bagi mereka yang "tidak begitu ..."
   Dan bagi mereka yang "sangat ...")

Perkembangan aritmetik adalah satu siri nombor di mana setiap nombor lebih besar (atau kurang) daripada sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Topik ini sering kelihatan rumit dan tidak dapat difahami. Indeks huruf, istilah ke-nua perkembangan, perbezaan perkembangan - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Kita akan memikirkan makna perkembangan aritmetik dan semuanya akan berjalan dengan segera.)

Konsep perkembangan aritmetik.

Perkembangan aritmetik adalah konsep yang sangat mudah dan jelas. Keraguan itu? Tidak sia-sia.) Lihat sendiri.

Saya akan menulis nombor siri yang belum selesai:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bolehkah anda melanjutkan baris ini? Berapakah nombor seterusnya, untuk lima? Setiap ... uh-uh ..., pendeknya, semua orang akan menyedari bahawa nombor 6, 7, 8, 9, dan sebagainya akan diteruskan.

Mari rumit tugas itu. Saya memberikan nombor siri yang belum selesai:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Anda boleh menangkap corak, melanjutkan siri, dan memanggilnya ketujuh  nombor baris?

Jika anda menyedari bahawa ini adalah nombor 20, saya mengucapkan tahniah kepada anda! Anda bukan sahaja merasakan mata utama perkembangan aritmetik,  tetapi juga berjaya menggunakannya dalam perniagaan! Jika anda tidak mengetahuinya, baca terus.

Dan sekarang kita akan menterjemahkan perkara penting dari sensasi ke dalam matematik.)

Titik utama pertama.

Perkembangan aritmetik berurusan dengan baris bilangan.  Ini membingungkan pada mulanya. Kami digunakan untuk menyelesaikan persamaan, graf bangunan dan semua itu ... Dan kemudian melanjutkan baris, cari bilangan baris ...

Tidak perlu risau. Perkembangannya adalah kenalan pertama dengan bahagian baru matematik. Bahagian ini dipanggil "Baris" dan berfungsi dengan baris bilangan dan ungkapan. Dapatkannya.)

Titik utama kedua.

Dalam perkembangan aritmetik, mana-mana nombor berbeza dari sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Dalam contoh pertama, perbezaan ini adalah satu. Apa sahaja nombor yang anda ambil, ia adalah lebih daripada yang sebelumnya. Dalam kedua - tiga. Mana-mana bilangan adalah tiga kali lebih besar daripada sebelumnya. Sebenarnya, ini adalah tepat pada masanya yang memberi kita peluang untuk menangkap corak dan mengira nombor seterusnya.

Titik utama ketiga.

Masa ini tidak menarik, ya ... Tetapi sangat, sangat penting. Di sini adalah: setiap bilangan perkembangan berdiri di tempatnya.  Ada nombor pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dll. Sekiranya mereka keliru, corak akan hilang. Kemajuan aritmetik juga akan hilang. Semua yang tersisa adalah satu siri nombor.

Itulah maksudnya.

Sudah tentu, istilah dan simbol baru muncul dalam topik baru. Anda perlu mengenali mereka. Jika tidak, anda tidak akan memahami tugas itu. Sebagai contoh, anda perlu membuat keputusan seperti:

Tulis enam syarat pertama dari aritmetik perkembangan (a n) jika 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Inspirasi?) Surat, beberapa indeks ... Dan tugas, dengan cara - tidak ada tempat yang lebih mudah. Anda hanya perlu memahami maksud istilah dan notasi. Sekarang kita akan menguasai perniagaan ini dan kembali kepada tugas.

Terma dan notasi.

Perkembangan aritmetik  adalah satu siri nombor di mana setiap nombor berbeza dari sebelumnya dengan jumlah yang sama.

Kuantiti ini dipanggil . Kami akan berurusan dengan konsep ini secara terperinci.

Perbezaan perkembangan aritmetik.

Perkembangan aritmetik perbezaan  adalah nilai yang mana bilangan perkembangan lebih lagi  yang sebelumnya.

Satu perkara penting. Sila beri perhatian kepada perkataan itu lebih lagi.  Secara matematik, ini bermakna setiap nombor perkembangan diperoleh dengan menambah  perbezaan perkembangan aritmetik kepada nombor terdahulu.

Untuk mengira, katakan, kedua  nombor baris, adalah perlu yang pertama  nombor itu tambah  ini sangat berbeza perkembangan aritmetik. Untuk pengiraan kelima  - perbezaannya perlu tambah  kepada yang keempat  baik, dsb.

Perkembangan aritmetik perbezaan  mungkin positif  maka setiap nombor siri adalah nyata lebih daripada yang sebelumnya.  Perkembangan ini dipanggil semakin meningkat.  Sebagai contoh:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Di sini, setiap nombor diperolehi dengan menambah  nombor positif, +5 kepada yang sebelumnya.

Perbezaannya mungkin negatif  maka setiap nombor baris akan berubah kurang daripada yang sebelumnya.  Kemajuan ini dipanggil (anda tidak akan percaya!) berkurang.

Sebagai contoh:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Di sini, setiap nombor juga diperolehi dengan menambah kepada nombor sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.

Dengan cara ini, ketika bekerja dengan perkembangan, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - sama ada ia semakin meningkat atau berkurang. Ia membantu banyak menavigasi keputusan, menentukan kesilapan anda dan membetulkannya sebelum terlambat.

Perkembangan aritmetik perbezaan  ditandakan, sebagai peraturan, oleh surat d.

Bagaimana untuk mencari d  ? Sangat mudah. Ia adalah perlu untuk mengambil dari mana-mana beberapa baris sebelumnya  nombor. Tolakkan. Dengan cara ini, hasil penolakan disebut "perbezaan".)

Tentukan, sebagai contoh, d  untuk meningkatkan perkembangan aritmetik:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Kami mengambil apa-apa bilangan siri yang kami mahu, sebagai contoh, 11. Kami menolaknya nombor sebelumnya  jadi. 8:

Ini adalah jawapan yang betul. Untuk perkembangan aritmetik ini, perbezaannya ialah tiga.

Anda boleh mengambilnya apa-apa bilangan kemajuan,  kerana untuk perkembangan tertentu d -sentiasa perkara yang sama.  Sekurang-kurangnya di suatu tempat di awal baris, sekurang-kurangnya di tengah, sekurang-kurangnya di mana sahaja. Anda tidak boleh mengambil nombor pertama sahaja. Hanya kerana hari pertama   tiada yang terdahulu.)

By the way, mengetahui itu d \u003d 3Mencari nombor ketujuh perkembangan ini adalah sangat mudah. Tambah 3 ke nombor kelima - kita mendapat keenam, ia akan menjadi 17. Tambah tiga ke nombor keenam, kita akan mendapat nombor ketujuh - dua puluh.

Tentukan d  untuk mengurangkan kemajuan aritmetik:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Saya masih ingat bahawa, tanpa mengira tanda-tanda, untuk menentukan d  perlu dari mana-mana nombor ambil yang terdahulu.  Pilih mana-mana bilangan kemajuan, contohnya -7. Yang terdahulu ialah nombor -2. Kemudian:

d \u003d -7 - (-2) \u003d -7 + 2 \u003d -5

Perbezaan perkembangan aritmetik boleh menjadi nombor nombor: integer, pecahan, tidak rasional, apa-apa.

Terma dan ketentuan lain.

Setiap nombor baris dipanggil ahli perkembangan aritmetik.

Setiap ahli perkembangan mempunyai nombor beliau.  Nombor-nombor yang diketuai dengan ketat, tanpa sebarang helah. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dsb. Sebagai contoh, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah istilah pertama, lima ialah kedua, sebelas adalah keempat, dengan baik, anda faham ...) Sila faham dengan jelas - nombor mereka sendiri  boleh ada apa-apa, keseluruhan, pecahan, negatif, yang mengerikan, tetapi penomboran  - tegas!

Bagaimana menulis perkembangan secara umum? Tiada soalan! Setiap nombor baris ditulis sebagai huruf. Sebagai peraturan, huruf itu digunakan untuk menunjukkan perkembangan aritmetik. a. Nombor ahli ditunjukkan oleh indeks di bahagian bawah kanan. Ahli-ahli ditulis dengan koma (atau titik koma), seperti ini:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1adalah nombor pertama a 3  - ketiga, dsb. Tiada apa-apa yang rumit. Anda boleh menulis siri ini dengan ringkas seperti ini: (a).

Terdapat perkembangan terhingga dan tak terhingga.

Muktamad  perkembangan mempunyai bilangan anggota yang terhad. Lima, tiga puluh lapan, seberapa banyak yang anda suka. Tetapi - nombor terhingga.

Tidak berkesudahan  perkembangan - mempunyai bilangan ahli yang tidak terhingga, seperti yang anda boleh meneka.)

Anda boleh menulis perkembangan akhir melalui siri seperti ini, semua ahli dan titik pada akhir:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Atau, jika terdapat banyak ahli:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Dalam rekod ringkas perlu menambah bilangan ahli. Sebagai contoh (untuk dua puluh ahli), seperti ini:

(a n), n \u003d 20

Perkembangan tak terhingga dapat diakui oleh ellipsis pada akhir baris, seperti dalam contoh-contoh dalam pelajaran ini.

Sekarang anda boleh menyelesaikan tugas. Tugasnya mudah, semata-mata untuk memahami makna perkembangan aritmetik.

Contoh tugas mengenai perkembangan aritmetik.

Kami akan menganalisis secara terperinci tugas yang diberikan di atas:

1. Tulis enam ahli pertama perkembangan aritmetik (a) jika 2 \u003d 5, d \u003d -2.5.

Kami menerjemahkan tugas itu ke dalam bahasa yang boleh difahami. Perkembangan aritmetik yang tidak berkesudahan diberikan. Bilangan kedua perkembangan ini diketahui: a 2 \u003d 5.  Perbezaan dalam perkembangan diketahui: d \u003d -2.5.  Anda perlu mencari anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dalam perkembangan ini.

Untuk kejelasan, saya akan menulis satu siri mengikut syarat-syarat masalah. Enam anggota pertama, di mana ahli kedua adalah lima:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

Pengganti dalam ungkapan a 2 \u003d 5  dan d \u003d -2.5. Jangan lupa tentang tolak!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Istilah ketiga adalah kurang daripada yang kedua. Semuanya logik. Jika bilangannya lebih besar daripada sebelumnya negatif  nilai, maka nombor itu sendiri akan kurang daripada yang sebelumnya. Kemajuan semakin berkurang. Baiklah, pertimbangkan.) Kami menganggap ahli keempat siri kami:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Jadi, ahli ketiga keenam dikira. Ternyata siri berikut:

a 1, 5, 2.5, 0, -2.5, -5, ....

Ia kekal untuk mencari ahli yang pertama a 1  oleh kedua terkenal. Ini adalah langkah ke arah yang lain, ke kiri.) Oleh itu, perbezaan perkembangan aritmetik d  tidak perlu tambah a 2, dan tolak:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Itu sahaja. Jawapan kerja:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Sepanjang perjalanan, saya perhatikan bahawa kami menyelesaikan tugas ini berulang  cara. Perkataan menakutkan ini hanya bermaksud mencari ahli perkembangan dengan nombor sebelumnya (jiran).  Cara lain untuk bekerja dengan kemajuan akan dibincangkan kemudian.

Kesimpulan penting boleh diambil dari tugas mudah ini.

Ingat:

Jika kita tahu sekurang-kurangnya seorang ahli dan perbezaan perkembangan aritmetik, kita dapat mencari mana-mana ahli perkembangan ini.

Awak ingat? Kesimpulan mudah ini membolehkan kita menyelesaikan sebahagian besar masalah kursus sekolah mengenai topik ini. Semua tugas berputar di sekitar tiga parameter utama: ahli kemajuan aritmetik, perbezaan kemajuan, bilangan ahli kemajuan.  Itu sahaja.

Sudah tentu, keseluruhan aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Ketidaksamaan, persamaan, dan perkara lain dilampirkan kepada perkembangan. Tetapi pada perkembangan itu sendiri  - Semuanya berkisar pada tiga parameter.

Sebagai contoh, pertimbangkan beberapa tugas yang popular mengenai topik ini.

2. Tuliskan kemajuan aritmetik akhir sebagai siri jika n \u003d 5, d \u003d 0.4, dan 1 \u003d 3.6.

Semuanya mudah di sini. Semuanya telah diberikan. Perlu diingat bagaimana ahli-ahli perkembangan aritmetik dianggap, menghitung, dan menulis. Adalah dinasihatkan supaya jangan terlepas kata-kata dalam keadaan tugasan: "akhir" dan " n \u003d 5"Untuk tidak mengira kepada perubahan warna biru.) Dalam perkembangan ini hanya terdapat 5 (lima) ahli:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3.6 + 0.4 \u003d 4

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0.4 \u003d 4.4

a 4 = a 3 + d \u003d 4.4 + 0.4 \u003d 4.8

a 5 = a 4 + d \u003d 4.8 + 0.4 \u003d 5.2

Ia tetap untuk menulis jawapannya:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Tugas lain:

3. Tentukan jika nombor 7 adalah ahli perkembangan aritmetik (a) jika a 1 \u003d 4.1; d \u003d 1.2.

Hmm ... Siapa tahu? Bagaimana untuk menentukan sesuatu?

Cara bagaimana ... Ya, tulis perkembangan dalam bentuk siri dan lihat apakah tujuh ada atau tidak! Kami menganggap:

a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3

a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5

a 4 = a 3 + d \u003d 6.5 + 1.2 \u003d 7.7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Kini jelas kelihatan bahawa kita hanya tujuh tergelincir  antara 6.5 dan 7.7! Ketiga-tiganya tidak termasuk nombor siri kami, dan, oleh itu, tujuh orang itu tidak akan menjadi ahli perkembangan yang diberikan.

Jawapannya tidak.

Dan inilah masalahnya berdasarkan versi GIA sebenar:

4. Beberapa ahli berturut-turut perkembangan aritmetik ditulis:

...; 15; x; 9; 6; ...

Di sini dicatat satu siri tanpa akhir dan permulaan. Tiada nombor ahli, tiada perbezaan d. Tidak perlu risau. Untuk menyelesaikan tugas itu, sudah cukup untuk memahami makna perkembangan aritmetik. Kami melihat dan memahami bahawa ia mungkin cari tahu  dari baris ini? Apakah tiga parameter utama?

Nombor ahli? Tidak ada satu nombor di sini.

Tetapi ada tiga angka dan perhatian! - perkataan "berturut-turut"  dalam keadaan ini. Ini bermakna nombor-nombor itu teratur, tanpa jurang. Adakah terdapat dua dalam baris ini jiran  nombor terkenal? Ya ada! Ini adalah 9 dan 6. Oleh itu, kita boleh mengira perbezaan perkembangan aritmetik! Kami mengambil dari enam sebelumnya  nombor i.e. sembilan:

Terlalu sedikit pun. Apakah nombor sebelumnya untuk x? Lima belas. Jadi X boleh dengan mudah dijumpai dengan tambahan mudah. Untuk 15 menambah perbezaan perkembangan aritmetik:

Itu sahaja. Jawapannya ialah: x \u003d 12

Kami menyelesaikan masalah berikut dengan sendirinya. Nota: tugas ini bukan untuk formula. Sememangnya memahami makna perkembangan aritmetik.) Hanya tulis satu siri dengan nombor dan huruf, lihat dan fikirkan.

5. Cari istilah positif pertama bagi perkembangan aritmetik jika 5 \u003d -3; d \u003d 1.1.

6. Telah diketahui bahawa bilangan 5.5 adalah ahli perkembangan aritmetik (a n), di mana 1 \u003d 1.6; d \u003d 1.3. Tentukan nombor n ahli ini.

7. Telah diketahui bahawa dalam perkembangan aritmetik 2 \u003d 4; a 5 \u003d 15.1. Cari 3.

8. Beberapa ahli berturut-turut perkembangan aritmetik ditulis:

...; 15.6; x; 3.4; ...

Cari istilah perkembangan yang ditunjukkan oleh huruf x.

9. Kereta api mula bergerak dari stesen, dengan kelajuan rata-rata meningkat sebanyak 30 meter seminit. Apa yang akan menjadi kelajuan kereta api dalam masa lima minit? Berikan jawapan dalam km / jam.

10. Telah diketahui bahawa dalam perkembangan aritmetik 2 \u003d 5; a 6 \u003d -5. Cari 1.

Jawapan (dalam kegelisahan): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0.3; 4.

Adakah ia berfungsi? Hebat! Anda boleh menguasai perkembangan aritmetik pada peringkat yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.

Bukankah semuanya berjalan lancar? Tidak mengapa. Dalam Seksyen Khas 555, semua tugas-tugas ini dibongkar.) Dan, tentu saja, teknik praktikal mudah dijelaskan yang segera menyerlahkan penyelesaian kepada tugas-tugas tersebut dengan jelas, dengan jelas, dengan jelas.

Dengan cara ini, dalam teka-teki mengenai kereta ada dua masalah di mana orang sering tersandung. Salah satunya semata-mata progresif, dan yang kedua adalah perkara biasa bagi semua masalah dalam matematik, dan fizik juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Artikel menunjukkan cara menyelesaikan masalah ini.

Dalam pelajaran ini, kita mengkaji makna asas aritmetik dan parameter utamanya. Ini sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah mengenai topik ini. Tambah d  ke nombor, tulis nombor, semuanya akan diputuskan.

Penyelesaian "pada jari" sangat sesuai untuk kepingan-kepingan yang sangat singkat, seperti dalam contoh-contoh dalam pelajaran ini. Jika siri ini lebih tulen, pengiraan adalah rumit. Sebagai contoh, jika dalam masalah 9 dalam soalan menggantikan lima minit  pada tiga puluh lima minit  tugas itu akan menjadi semakin ketara.)

Dan terdapat juga tugas-tugas yang mudah pada dasarnya, tetapi tidak konsisten dalam perhitungan, sebagai contoh:

Perkembangan aritmetik diberikan (a n). Cari 121 jika 1 \u003d 3 dan d \u003d 1/6.

Dan apa, adakah kita akan menambah banyak kali lebih daripada 1/6? Bolehkah anda membunuhnya?

Anda boleh.) Jika anda tidak tahu rumusan mudah yang mana tugas tersebut dapat diselesaikan dalam satu minit. Formula ini akan menjadi pelajaran seterusnya. Dan masalah ini diselesaikan di sana. Dalam satu minit.)

Jika anda suka laman web ini ...

Dengan cara ini, saya mempunyai beberapa tapak yang lebih menarik untuk anda.)

Anda boleh mengamalkan menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Uji dengan pengesahan segera. Pembelajaran - dengan minat!)

  Anda boleh mengenali fungsi dan derivatif.

Nah, kawan-kawan, jika anda membaca teks ini, keterangan cap dalaman memberitahu saya bahawa anda masih tidak tahu apa perkembangan aritmetik, tetapi anda benar-benar (tidak, seperti itu: Oooooo!) Ingin tahu. Oleh itu, saya tidak akan menyeksa anda dengan pengenalan yang panjang dan segera turun ke perniagaan.

Pertama, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set nombor:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $ \\ sqrt (2); \\ 2 \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Apakah semua set ini mempunyai persamaan? Pada pandangan pertama, tiada apa-apa. Tetapi sebenarnya ada sesuatu. Iaitu: setiap elemen seterusnya berbeza dari sebelumnya dengan nombor yang sama.

Hakim untuk diri sendiri. Set pertama hanyalah nombor berturut-turut, setiap satu seterusnya lebih banyak daripada yang sebelumnya. Dalam kes kedua, perbezaan antara nombor bersebelahan sudah lima, tetapi perbezaan ini masih tetap. Dalam kes ketiga, akar pada umumnya. Walau bagaimanapun, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, dan $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, dan dalam kes ini, setiap elemen seterusnya hanya meningkat sebanyak $ \\ sqrt (2) $ (dan jangan takut bahawa nombor ini tidak rasional).

Jadi: semua urutan tersebut disebut progresi aritmetik. Kami memberikan definisi yang ketat:

Definisi Satu urutan nombor di mana setiap berikut berbeza dari sebelumnya dengan kuantiti yang sama disebut progresi aritmetik. Nilai itu sendiri, yang mana bilangannya berbeza, dipanggil perbezaan perkembangan dan paling sering ditunjukkan oleh huruf $ d $.

Jawatan: $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ - kemajuan itu sendiri, $ d $ - perbezaannya.

Dan dengan serta-merta beberapa perkara penting. Pertama, perkembangan hanya dipertimbangkan diperintahkan  urutan nombor: mereka dibenarkan untuk membaca dengan ketat dalam susunan di mana mereka ditulis - dan tidak ada yang lain. Anda tidak boleh menyusun semula dan menukar nombor.

Kedua, urutan itu sendiri boleh menjadi terbatas atau tidak terhingga. Sebagai contoh, set (1; 2; 3) jelas menunjukkan perkembangan aritmetik terhingga. Tetapi jika anda menulis sesuatu dalam roh (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah menjadi perkembangan yang tidak berkesudahan. The ellipsis selepas keempat, seperti itu, menunjukkan bahawa banyak nombor terus. Sebagai contoh, tak terhingga banyak. :)

Saya juga ingin ambil perhatian bahawa perkembangan semakin meningkat dan berkurangan. Kami telah melihat peningkatan yang semakin meningkat - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah beberapa contoh kemajuan yang semakin berkurang:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $ \\ sqrt (5); \\\\ sqrt (5) -1; \\\\ sqrt (5) -2; \\\\ sqrt (5) -3; ... $

Baiklah, okay: contoh terakhir mungkin kelihatan terlalu rumit. Tetapi selebihnya, saya fikir, jelas kepada anda. Oleh itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi Perkembangan aritmetik dipanggil:

1. meningkat jika setiap elemen seterusnya lebih besar daripada sebelumnya;
2. berkurang jika, sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil daripada yang sebelumnya.

Di samping itu, ada urutan yang disebut "pegun" - ia terdiri daripada nombor pengulangan yang sama. Sebagai contoh, (3; 3; 3; ...).

Hanya ada satu soalan yang tersisa: bagaimana untuk membezakan perkembangan yang semakin meningkat dari penurunan? Nasib baik, semuanya bergantung kepada apa tanda nombor $ d $ itu, iaitu. perbezaan kemajuan:

1. Jika $ d \\ gt 0 $, maka kemajuan semakin meningkat;
2. Jika $ d \\ lt 0 $, maka perkembangan jelas berkurang;
3. Akhirnya, terdapat kes $ d \u003d 0 $ - dalam kes ini, keseluruhan perkembangan dikurangkan kepada urutan angka identik yang berputar: (1; 1; 1; 1; 1) ... dsb.

Mari kita cuba untuk mengira perbezaan $ d $ untuk tiga kemajuan yang menurun yang diberikan di atas. Untuk melakukan ini, hanya mengambil dua elemen tetangga (contohnya, pertama dan kedua) dan tolak daripada nombor di sebelah kanan, nombor di sebelah kiri. Ia akan kelihatan seperti ini:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $ \\ sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

Seperti yang anda lihat, dalam ketiga-tiga kes perbezaan itu benar-benar berubah menjadi negatif. Dan sekarang kita mempunyai lebih kurang menyusun takrifan, sudah tiba masanya untuk mengetahui bagaimana kemajuan digambarkan dan apa sifat mereka.

Ahli-ahli mengenai perkembangan dan formula berulang

Oleh kerana unsur-unsur jujukan kita tidak boleh ditukar, ia boleh bernombor:

\\ [\\ left ((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ ((a) _ (1)), (a) _ (2) )), ... \\ right \\) \\]

Unsur individu dari set ini dipanggil ahli perkembangan. Mereka ditunjukkan pada mereka dengan bantuan nombor: ahli pertama, ahli kedua, dsb.

Di samping itu, seperti yang sudah kami ketahui, ahli-ahli jiran perkembangan ini berkaitan dengan formula:

\u003d (\\ a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + \\]

Singkatnya, untuk mencari jangka panjang $ n $ satu perkembangan, anda perlu mengetahui istilah $ n-1 $ -th dan perbezaan $ d $. Formula sedemikian dipanggil berulang, kerana dengan bantuannya anda dapat mencari nombor apa saja, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya - semua yang sebelumnya). Ini sangat menyusahkan, jadi terdapat formula rumit yang mengurangkan sebarang pengiraan untuk tempoh pertama dan perbezaan:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\

Tentunya anda telah memenuhi formula ini. Mereka suka memberikannya dalam pelbagai buku rujukan dan penyusun semula. Dan dalam setiap buku teks yang masuk akal mengenai matematik, dia pergi salah satu yang pertama.

Walau bagaimanapun, saya mencadangkan sedikit amalan.

Nombor petugas 1. Tuliskan tiga ahli pertama perkembangan aritmetik $ \\ left (((a) _ (n)) \\ right) $ if $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Penyelesaian. Jadi, kita tahu istilah pertama $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 dan perbezaan perkembangan $ d \u003d -5 $. Kami menggunakan formula yang diberikan dan menggantikan $ n \u003d 1 $, $ n \u003d 2 $ dan $ n \u003d 3 $:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (1-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (2-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; (a) _ (1)) + \\ left (3-1 \\ right) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\ \\ end (align) \\]

Jawab: (8; 3; -2)

Itu sahaja! Sila ambil perhatian: perkembangan kami berkurang.

Sudah tentu, $ n \u003d 1 $ tidak boleh diganti - istilah pertama sudah diketahui oleh kami. Walau bagaimanapun, menggantikan unit itu, kami memastikan bahawa walaupun istilah pertama formula kami berfungsi. Dalam kes lain, ia turun ke aritmetik banal.

Nombor petugas 2. Tulis tiga istilah pertama perkembangan aritmetik jika istilah ketujuhnya ialah -40 dan istilah ketujuh belas adalah -50.

Penyelesaian. Kami menulis syarat masalah dalam istilah yang biasa:

\\ [(((a) _ (7)) \u003d - 40; \\ quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ (\\ left \\ (\\ begin (align) & (a) _ (7)) \u003d (a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17) _ (1)) + 16d \\\\ \\ end (align) \\ right. \\]

\\ [\\ left \\ (\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ \\ \\ right. \\]

Saya meletakkan tanda sistem kerana keperluan ini mesti dipenuhi secara serentak. Dan sekarang kita perhatikan, jika kita tolak yang pertama dari persamaan kedua (kita mempunyai hak untuk melakukan ini, kerana kita mempunyai sistem), maka kita dapat:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ left (((a) _ (1)) + 6d \\ right) \u003d - 50- \\ left (-40 \\ right); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10d \u003d -10; \\\\ & d \u003d -1. \\\\ \\ end (align) \\]

Sama seperti itu, kami mendapati perbezaan dalam perkembangan! Ia tetap untuk menggantikan nombor yang ditemui dalam mana-mana persamaan sistem. Contohnya, pada yang pertama:

\\ [\\ begin (matriks) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; \\ quad d \u003d -1 \\\\ \\ Downarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\ \\ end (matriks) \\]

Sekarang, mengetahui istilah pertama dan perbezaannya, ia tetap mencari istilah kedua dan ketiga:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\ \\ end (align) \\]

Selesai! Masalahnya diselesaikan.

Jawab: (-34; -35; -36)

Beri perhatian kepada sifat yang ingin tahu dari perkembangan yang kami dapati: jika kami mengambil terma $ n $ dan $ m $ th dan tolaknya daripada satu sama lain, kami akan mendapat perbezaan masa perkembangan bilangan $ n-m $:

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ left (n-m \\ right) \\]

Suatu harta yang mudah tetapi sangat berguna yang anda pasti perlu tahu - dengan pertolongannya, anda dapat mempercepat penyelesaian penyelesaian banyak masalah pada perkembangan. Berikut adalah contoh yang menarik ini:

Nombor petugas 3. Ahli kelima perkembangan aritmetik adalah 8.4, dan ahli kesepuluhnya adalah 14.4. Cari ahli kelima belas perkembangan ini.

Penyelesaian. Sejak $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d $ 14.4, dan anda perlu mencari $ ((a) _ (15) yang berikut:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\ \\ end (align) \\]

Tetapi dengan syarat $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d 6 $, maka $ 5d \u003d 6 $, dari mana kita mempunyai:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14.4 \u003d 20.4. \\\\ \\ end (align) \\]

Jawab: 20.4

Itu sahaja! Kita tidak perlu membuat sebarang sistem persamaan dan mengira terma pertama dan perbezaannya - semua telah diputuskan secara literal dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita lihat satu lagi jenis tugas - untuk mencari ahli negatif dan positif dalam perkembangan. Tidak rahsia lagi bahawa jika perkembangan meningkat, sementara istilah pertama adalah negatif, maka istilah positif atau lambat akan muncul di dalamnya. Dan sebaliknya: ahli-ahli kemerosotan kemajuan akan lambat laun menjadi negatif.

Selain itu, ia jauh dari mungkin untuk meraba masa ini "di dahi", secara serentak menyusun unsur-unsur. Seringkali tugas itu berstruktur sehingga tanpa mengetahui rumusan perhitungan akan mengambil beberapa helaian - kita akan tertidur sehingga kita dapati jawabannya. Oleh itu, kami akan cuba menyelesaikan masalah ini secara lebih cepat.

Nombor petugas 4. Berapa banyak istilah negatif dalam perkembangan aritmetik ialah -38.5; -35.8; ...?

Penyelesaian. Jadi, $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38.5, $ ((a) _ (2)) \u003d - $ 35.8, dari mana kita segera mencari perbezaan:

Perhatikan bahawa perbezaannya adalah positif, jadi perkembangan semakin meningkat. Istilah pertama adalah negatif, jadi pada suatu ketika kita akan mencari nombor positif. Satu-satunya soalan ialah apabila ini akan berlaku.

Mari kita cuba untuk mengetahui: berapa lama (iaitu, apa yang semula jadi $ n $) yang negatif dari istilah-istilah kekal:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ Rightarrow ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) d \\ lt 0; \\\\ & -38.5+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ left | \\ cdot 10 \\ kanan. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ left (n-1 \\ right) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27n-27 \\ lt 0; \\\\ & 27n \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ Rightarrow ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\ \\ end (align) \\]

Barisan terakhir memerlukan penjelasan. Jadi, kita tahu bahawa $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Sebaliknya, kita berpuas hati dengan hanya nilai integer nombor (lebih-lebih lagi: $ n \\ in \\ mathbb (N) $), jadi bilangan terbesar yang dibenarkan ialah $ n \u003d 15 $, dan bukannya 16.

Nombor petugas 5. Dalam perkembangan aritmetik $ (() _ (5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Cari bilangan ahli positif pertama dalam perkembangan ini.

Ini akan menjadi tugas yang sama seperti sebelumnya, tetapi kita tidak tahu $ ((a) _ (1)) $. Tetapi istilah jiran diketahui: $ ((a) _ (5)) $ dan $ ((a) _ (6)) $, supaya kita dapat dengan mudah mencari perbezaan perkembangan:

Di samping itu, kami akan cuba untuk menyatakan istilah kelima dari segi yang pertama dan perbezaan dengan formula standard:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\ \\ end (align) \\]

Sekarang kita meneruskan dengan analogi dengan tugas sebelumnya. Kami mengetahui di mana titik dalam urutan kami akan ada nombor positif:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3n-3 \\ gt 0; \\\\ & 3n \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ Rightarrow ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\ \\ end (align) \\]

Penyelesaian integer minimum untuk ketidaksamaan ini adalah nombor 56.

Sila ambil perhatian: dalam tugas terakhir, segala-galanya turun kepada ketidaksamaan yang ketat, jadi opsyen $ n \u003d 55 $ tidak sesuai dengan kami.

Sekarang kita telah belajar bagaimana untuk menyelesaikan masalah mudah, mari kita beralih kepada yang lebih kompleks. Tetapi pertama sekali, mari kita mengkaji lagi satu lagi kegunaan aritmetik yang sangat berguna, yang pada masa akan datang akan menjimatkan banyak masa dan sel-sel yang tidak sama rata. :)

Aritmetik bermakna dan indeks yang sama

Pertimbangkan beberapa syarat berturut-turut untuk meningkatkan perkembangan aritmetik $ \\ kiri (((a) _ (n)) \\ kanan) $. Mari cuba tandakannya pada baris nombor:

Saya secara khusus memperhatikan ahli-ahli yang sewenang-wenang dari $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $ dan tidak beberapa $ ((a) _ (1) , \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, dsb. Kerana peraturan, yang saya akan bincangkan sekarang, berfungsi sama untuk apa-apa "segmen".

Dan aturannya sangat mudah. Mari kita ingat rumus berulang dan tulis untuk semua ahli yang bertanda:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n-1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\ \\ end (align) \\]

Walau bagaimanapun, kesamaan ini boleh ditulis semula secara berbeza:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3d; \\\\ \\ end (align) \\]

Jadi apa? Dan fakta bahawa istilah $ ((a) _ (n-1)) $ dan $ ((a) _ (n + 1)) $ terletak pada jarak yang sama dari $ ((a) _ (n) $. Dan jarak itu ialah $ d $. Yang sama boleh dikatakan mengenai istilah $ ((a) _ (n-2)) $ dan $ ((a) _ (n + 2)) $ - mereka juga dikeluarkan dari $ ((a) _ (n) jarak yang sama bersamaan dengan $ 2d $. Anda boleh terus ke infiniti, tetapi gambar menggambarkan erti dengan baik

Apa maksudnya untuk kita? Ini bermakna anda boleh mencari $ ((a) _ (n)) $ jika nombor jiran diketahui:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n +

Kami telah menyimpulkan kenyataan yang luar biasa: setiap ahli suatu aritmetik adalah sama dengan purata aritmetik dari ahli jiran! Selain itu: kita boleh berundur dari $ ((a) _ (n)) $ ke kiri dan kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $ k $ langkah - dan formula masih benar:

\\ [(((a) _ (n)) \u003d \\ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n +

I.e. kita boleh cari beberapa $ ((a) _ (150)) $ jika kita tahu $ ((a) _ (100)) $ dan $ ((a) _ (200) a) _ (150)) \u003d \\ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Sekilas pandang, ia mungkin kelihatan bahawa fakta ini tidak memberikan kita apa-apa yang berguna. Walau bagaimanapun, dalam amalan, banyak tugas khusus "diasah" kerana menggunakan aritmetik min. Lihatlah:

Nombor petugas 6. Cari semua nilai $ x $ yang mana angka $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ dan $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ adalah ahli berturut-turut perkembangan aritmetik (dalam perintah yang ditunjukkan).

Penyelesaian. Oleh kerana nombor ini adalah ahli perkembangan, syarat rata-rata aritmetik berpuas hati untuk mereka: elemen pusat $ x + 1 $ boleh dinyatakan dari segi unsur jiran:

\\ [\\ begin (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Hasilnya adalah persamaan kuadratik klasik. Akarnya: $ x \u003d 2 $ dan $ x \u003d -3 $ - ini adalah jawapannya.

Jawab: -3; 2.

Nombor petugas 7. Cari nilai $$ di mana angka $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ membentuk suatu aritmetik perkembangan (dalam susunan itu).

Penyelesaian. Sekali lagi, kami menyatakan jangka menengah melalui min aritmetik ahli jiran:

\\ [\\ begin (align) & 4x-3 \u003d \\ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \\ quad \\ left | \\ cdot 2 \\ right.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\ \\ end (align) \\]

Sekali lagi persamaan kuadratik. Dan sekali lagi, dua akar: $ x \u003d 6 $ dan $ x \u003d 1 $.

Jawab: 1; 6.

Sekiranya dalam proses menyelesaikan masalah anda mendapat beberapa nombor kejam, atau anda tidak pasti sepenuhnya tentang kebenaran jawapan yang dijumpai, maka ada helah yang indah yang membolehkan anda memeriksa sama ada kita menyelesaikan masalah dengan betul?

Katakanlah, dalam masalah No. 6, kami mendapat jawapan -3 dan 2. Bagaimana saya boleh mengesahkan bahawa jawapan ini betul? Mari kita tukar mereka dalam keadaan awal dan lihat apa yang berlaku. Biarkan saya mengingatkan anda bahawa kami mempunyai tiga nombor ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ dan $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), yang sepatutnya menjadi perkembangan aritmetik. Pengganti $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ begin (align) & x \u003d -3 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ end (align) \\]

Mendapat nombor -54; -2; 50, yang berbeza dengan 52, sudah pasti perkembangan aritmetik. Perkara yang sama berlaku dengan $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ begin (align) & x \u003d 2 \\ Rightarrow \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ end (align) \\]

Sekali lagi, perkembangan, tetapi dengan perbezaan 27. Oleh itu, masalah itu diselesaikan dengan betul. Mereka yang ingin dapat menyemak tugas kedua dengan sendirinya, tetapi saya harus mengatakan dengan segera: semuanya juga ada.

Secara umum, semasa menyelesaikan tugas-tugas terakhir, kami menemui satu lagi fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:

Sekiranya tiga nombor sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah minit aritmetik dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk perkembangan aritmetik.

Pada masa akan datang, memahami kenyataan ini akan membolehkan kita secara literal "membina" perkembangan yang diperlukan berdasarkan keadaan masalah. Tetapi sebelum kita melakukan "pembinaan" semacam ini, kita harus memberi perhatian kepada fakta lain, yang secara langsungnya dari apa yang telah dipertimbangkan.

Pengumpulan dan jumlah elemen

Mari kita kembali ke paksi berangka lagi. Kami perhatikan terdapat beberapa ahli perkembangan, di antara yang mungkin. terdapat banyak ahli lain:

Mari kita cuba untuk menyatakan "ekor kiri" dari segi $ ((a) _ (n)) $ dan $ d $, dan "ekor kanan" dari segi $ ((a) _ (k)) $ dan $ d $. Ia sangat mudah:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k-1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\ \\ end (align) \\]

Sekarang perhatikan bahawa jumlah berikut adalah sama:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d S; \u003d (a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; (a) _ (n + 2)) + (a) _ (k-2)) \u003d (a) _ (n) S. \\ end (align) \\]

Ringkasnya, jika kita mengambil sebagai permulaan dua unsur perkembangan, yang secara keseluruhan sama dengan beberapa nombor $ S $, dan kemudian mulai dari unsur-unsur ini dalam arah yang bertentangan (ke arah satu sama lain atau sebaliknya untuk penyingkiran), kemudian jumlah elemen yang akan kita rindukan akan sama  $ S $. Ini boleh digambarkan secara grafis secara grafik:

Memahami fakta ini akan membolehkan kita menyelesaikan masalah kompleksiti tahap yang lebih tinggi daripada yang kita anggap di atas. Sebagai contoh, seperti:

Nombor petugas 8. Tentukan perbezaan dalam perkembangan aritmetik di mana istilah pertama adalah 66, dan hasil kedua dan kedua belas adalah yang terkecil.

Penyelesaian. Kami akan menulis semua yang kami tahu:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ end (align) \\]

Jadi, kita tidak tahu perbezaan dalam perkembangan $ d $. Sebenarnya, penyelesaian keseluruhan akan dibina di sekitar perbezaan, kerana produk $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ boleh ditulis semula seperti berikut:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d \\ left (66 + d \\ right) \\ cdot \\ left (66 + 11d \\ right) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right). \\ end (align) \\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil faktor umum 11 daripada pendakap kedua. Oleh itu, produk yang dikehendaki adalah fungsi kuadratik berkenaan dengan pemboleh ubah $ d $. Oleh itu, kami menganggap fungsi $ f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (d + 66 \\ right) \\ left (d + 6 \\ right) $ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang, jika anda membuka kurungan, kami dapat:

\\ [\\ begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 11 \\ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \\ cdot 6 \\ right) \u003d \\\\ & d) ^ (2)) + 11 \\ cdot 72d + 11 \\ cdot 66 \\ cdot 6 \\ end (align) \\]

Seperti yang anda dapat lihat, pekali dengan istilah tertinggi adalah 11 - ini adalah nombor positif, jadi kami benar-benar berurusan dengan parabola dengan cawangan:

   graf fungsi kuadratik - parabola

Nota: parabola ini mengambil nilai minimum pada puncaknya dengan abscissa $ ((d) _ (0)) $. Sudah tentu, kita boleh mengira abscissa ini mengikut skim piawai (terdapat formula $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), tetapi lebih masuk akal untuk melihat bahawa puncak yang dikehendaki terletak pada paksi simetri parabola, oleh itu, titik $ ((d) _ (0)) $ adalah sama dengan akar persamaan $ f \\ left (d \\ right) \u003d 0 $:

\\ [\\ begin (align) & f \\ left (d \\ right) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ left (d + 66 \\ right) \\ cdot \\ left (d + 6 \\ right) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; \\ quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\ \\ end (align) \\]

Itulah sebabnya saya tidak terburu-buru membuka kurungan: dalam bentuk asal, akarnya sangat mudah dicari. Oleh itu, abscissa adalah sama dengan purata aritmetik nombor -66 dan -6:

\\ [(((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Apa yang memberi kita nombor yang dikesan? Dengannya, produk yang diperlukan mengambil nilai terkecil (dengan cara ini, kami masih tidak mengira $ ((y) _ (\\ min)) $ - ini tidak diperlukan daripada kami). Pada masa yang sama, nombor ini adalah perbezaan perkembangan permulaan, iaitu. kami dapati jawapannya. :)

Jawab: -36

Nombor petugas 9. Antara nombor $ - \\ frac (1) (2) $ dan $ - \\ frac (1) (6) $, masukkan tiga nombor supaya mereka, bersama dengan nombor yang diberikan, membuat perkembangan aritmetik.

Penyelesaian. Malah, kita perlu membuat urutan lima nombor, dan nombor pertama dan terakhir sudah diketahui. Nyatakan nombor yang hilang oleh pembolehubah $ x $, $ y $ dan $ z $:

\\ [\\ left ((a) _ (n)) \\ right) \u003d \\ left \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; ) \\]

Perhatikan bahawa nombor $ y $ adalah "tengah" urutan kita - ia adalah sama dengan bilangan $ x $ dan $ z $, dan dari nombor $ - \\ frac (1) (2) $ dan $ - \\ frac (1) 6) $. Dan jika kita tidak boleh mendapatkan $ y $ dari nombor $ x $ dan $ z $, maka keadaan dengan hujung perkembangan adalah berbeza. Kami ingat maksud aritmetik:

Sekarang, mengetahui $ y $, kami akan mencari nombor yang tinggal. Perhatikan bahawa $ x $ terletak di antara nombor $ - \\ frac (1) (2) $ dan yang baru dijumpai $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $. Oleh itu

Penalaran dengan cara yang sama, kita dapati nombor baki:

Selesai! Kami mendapati ketiga-tiga nombor. Kami menulisnya dalam jawapan dalam susunan di mana ia perlu dimasukkan di antara nombor asal.

Jawab: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Nombor petugas 10. Antara nombor 2 dan 42, masukkan beberapa nombor yang bersama-sama dengan nombor yang diberikan membentuk suatu aritmetik, jika diketahui bahawa jumlah pertama, kedua dan terakhir nombor yang dimasukkan adalah 56.

Penyelesaian. Masalah yang lebih rumit, yang bagaimanapun, diselesaikan mengikut skema yang sama seperti yang sebelumnya, melalui aritmetik min. Masalahnya ialah kita tidak tahu bilangan nombor tertentu untuk dimasukkan. Oleh itu, untuk definiteness, kita mengandaikan bahawa selepas memasukkan segala-galanya akan ada nombor n $ tepat, yang pertama adalah 2 dan 42 yang terakhir. Dalam kes ini, kemajuan aritmetik yang dikehendaki dapat diwakili sebagai:

\u003d \\ left \\ (2) (a) _ (2) a) _ (n-1)); 42 \\ right \\) \\]

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56 \\]

Walau bagaimanapun, perhatikan bahawa nombor $ ((a) _ (2)) $ dan $ ((a) _ (n-1) $ diperoleh dari nombor 2 dan 42 di tepi dengan satu langkah ke arah satu sama lain, . ke pusat urutan. Dan itu bermakna itu

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Tetapi ungkapan yang ditulis di atas boleh ditulis semula seperti berikut:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) \u003d 56; \\\\ & \\ left ((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \\ right) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\ \\ end (align) \\]

Mengetahui $ ((a) _ (3)) $ dan $ ((a) _ (1)) $, kita boleh dengan mudah mencari perbezaan perkembangan:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ left (3-1 \\ right) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2d \u003d 10 \\ Rightarrow d \u003d 5. \\\\ \\ end (align) \\]

Ia hanya untuk mencari ahli yang masih tinggal:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\ \\ end (align) \\]

Oleh itu, sudah pada langkah ke-9 kita akan datang ke hujung sebelah kiri urutan - nombor 42. Secara keseluruhannya, hanya 7 nombor yang perlu dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawapan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan perkembangan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa tugas yang agak mudah. Well, sebagai yang mudah: untuk kebanyakan pelajar yang belajar matematik di sekolah dan tidak membaca apa yang ditulis di atas, tugas-tugas ini mungkin kelihatan seperti isyarat. Walau bagaimanapun, ia adalah masalah seperti yang berlaku dalam peperiksaan dan peperiksaan dalam matematik, jadi saya cadangkan anda membiasakan diri dengan mereka.

Nombor petugas 11. Briged mengeluarkan 62 bahagian pada bulan Januari, dan pada setiap bulan berikutnya menghasilkan 14 bahagian lebih daripada sebelumnya. Berapa banyak bahagian membuat briged pada bulan November?

Penyelesaian. Jelas, bilangan bahagian yang dijadualkan mengikut bulan akan menjadi peningkatan aritmetik yang semakin meningkat. Selain itu:

\\ [\\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 14. \\\\ \\ end (align) \\]

November adalah bulan ke-11 tahun ini, jadi kita perlu mencari $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Oleh itu, pada bulan November, 202 bahagian akan dihasilkan.

Nombor petugas 12. Bengkel penempaan buku mengikat 216 buku pada bulan Januari, dan setiap bulan berikutnya dia mengikat 4 buku lebih daripada yang sebelumnya. Berapa banyak buku yang bengkel bengkel pada bulan Disember?

Penyelesaian. Semua yang sama:

$ \\ begin (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ left (n-1 \\ right) \\ cdot 4. \\\\ \\ end (align) $

Disember adalah bulan terakhir, bulan ke-12 tahun, jadi kami mencari $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ cdot 4 \u003d 260 \\]

Inilah jawapannya - 260 buku akan terikat pada bulan Disember.

Nah, jika anda membaca di sini, saya segera mengucapkan tahniah kepada anda: anda telah berjaya menyelesaikan "kursus pejuang muda" dalam perkembangan aritmetik. Anda boleh meneruskan pelajaran dengan selamat, di mana kami akan mengkaji formula untuk jumlah kemajuan, serta akibat penting dan sangat berguna daripadanya.

Perkembangan aritmetik dan geometri

Maklumat teori

	Perkembangan aritmetik	Perkembangan geometri
Definisi	Perkembangan aritmetik a n  urutan dipanggil, setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan ahli terdahulu yang ditambahkan pada nombor yang sama d (d  - perbezaan perkembangan)	Perkembangan geometri b n  satu urutan nombor bukan sifar dipanggil, setiap ahli yang, mulai dari yang kedua, bersamaan dengan istilah terdahulu yang didarabkan dengan nombor yang sama q (q  - penyebut kemajuan)
Formula berulang	Untuk mana-mana semulajadi n a n + 1 \u003d a n + d	Untuk mana-mana semulajadi n b n + 1 \u003d b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula ahli Nth	a n \u003d a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
Harta ciri
Jumlah ahli n-pertama

Tugas tugasan dengan komen

Tugasan 1

Dalam perkembangan aritmetik ( a n) a 1 = -6, a 2

Dengan rumusan ahli nth:

a 22 = a 1  + d (22 - 1) \u003d a 1  + 21 d

Dengan syarat:

a 1  \u003d -6, kemudian a 22  \u003d -6 + 21 d.

Ia perlu mencari perbezaan perkembangan:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Jawapannya ialah: a 22 = -48.

Tugasan 2

Cari penggal kelima perkembangan geometri: -3; 6; ....

Kaedah pertama (menggunakan rumusan istilah n)

Dengan rumusan istilah nth suatu perkembangan geometri:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Sejak itu b 1 = -3,

Kaedah ke-2 (menggunakan formula berulang)

Oleh kerana penyebut kemajuan adalah -2 (q \u003d -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Jawapannya ialah: b 5 = -48.

Tugas 3

Dalam perkembangan aritmetik ( a) a 74 = 34; a 76  \u003d 156. Cari anggota ketujuh puluh kelima perkembangan ini.

Untuk perkembangan aritmetik, sifat ciri mempunyai bentuk .

Berikut ini:

.

Gantikan data dalam formula:

Jawab: 95.

Tugas 4

Dalam perkembangan aritmetik ( a n) a n  \u003d 3n - 4. Cari jumlah ahli yang berumur tujuh belas.

Untuk mencari jumlah ahli n-pertama bagi suatu aritmetik, dua formula digunakan:

.

Mana yang lebih mudah dalam kes ini?

Dengan syarat, rumusan istilah nth perkembangan awal diketahui ( a n) a n  \u003d 3n - 4. Anda boleh mencari dengan segera dan a 1, dan a 16  tanpa d. Oleh itu, kami menggunakan formula pertama.

Jawapan: 368.

Tugas 5

Dalam perkembangan aritmetik ( a n) a 1 = -6; a 2  \u003d -8. Cari ahli kedua puluh kedua perkembangan itu.

Dengan rumusan ahli nth:

a 22 \u003d a 1 + d (22 – 1) = a 1  + 21d.

Dengan syarat, jika a 1  \u003d -6, kemudian a 22  \u003d -6 + 21d. Ia perlu mencari perbezaan perkembangan:

d \u003d a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Jawapannya ialah: a 22 = -48.

Tugas 6

Beberapa perkembangan geometri berturut-turut telah direkodkan:

Cari istilah perkembangan yang ditunjukkan oleh huruf x.

Apabila menyelesaikan, kami menggunakan formula istilah nth b n \u003d b 1 ∙ q n - 1  untuk perkembangan geometri. Ahli pertama perkembangan. Untuk mencari penyebut kemajuan q, anda perlu mengambil mana-mana anggota perkembangan ini dan dibahagikan dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kita, kita boleh mengambil dan membahagikan. Kami mendapat bahawa q \u003d 3. Daripada n, kita menggantikan 3 ke dalam formula, kerana ia adalah perlu untuk mencari istilah ketiga perkembangan geometri yang diberikan.

Menggantikan nilai yang dijumpai dalam formula, kami dapat:

.

Jawab :.

Tugas 7

Dari kemajuan aritmetik yang ditakrifkan oleh formula istilah nth, pilih yang mana keadaannya a 27 > 9:

Oleh kerana keadaan yang diberikan mesti dipenuhi untuk anggota ke-27 perkembangan, ganti 27 bukan n dalam setiap empat progresi. Dalam perkembangan ke-4 kita dapat:

.

Jawab: 4.

Tugas 8

Dalam perkembangan aritmetik a 1  \u003d 3, d \u003d -1.5. Nyatakan nilai terbesar n yang mana ketidaksamaannya dipegang a n > -6.

Apabila belajar algebra di sekolah komprehensif (kelas 9), salah satu topik penting ialah kajian urutan berangka, yang merangkumi perkembangan - geometri dan aritmetik. Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan perkembangan aritmetik dan contoh dengan penyelesaian.

Apakah perkembangan aritmetik?

Untuk memahami ini, adalah perlu untuk memberi takrif mengenai kemajuan yang sedang dipertimbangkan, serta memberikan rumusan asas yang akan digunakan selanjutnya untuk menyelesaikan masalah.

Telah diketahui bahawa dalam beberapa perkembangan algebra, istilah pertama adalah 6, dan istilah ke-7 adalah 18. Adalah perlu untuk mencari perbezaan dan memulihkan urutan ini kepada 7 orang ahli.

Kami menggunakan formula untuk menentukan istilah yang tidak diketahui: n \u003d (n - 1) * d + a 1. Kami menggantikan data yang diketahui dari keadaan ke dalamnya, iaitu nombor 1 dan 7, kita mempunyai: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ungkapan ini, seseorang dapat dengan mudah mengira perbezaan: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. Oleh itu, bahagian pertama masalah itu dijawab.

Untuk memulihkan urutan kepada 7 istilah, seseorang harus menggunakan definisi perkembangan algebra, iaitu, 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d, dan sebagainya. Hasilnya, kita dapat mengembalikan keseluruhan jujukan: 1 \u003d 6, 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.

Contoh No. 3: membuat perkembangan

Kami merumitkan lagi masalah masalah. Kini adalah perlu untuk menjawab persoalan bagaimana untuk mencari perkembangan aritmetik. Anda boleh memberikan contoh berikut: dua nombor diberikan, sebagai contoh, 4 dan 5. Ia perlu untuk membentuk perkembangan algebra supaya tiga lagi istilah diletakkan di antara ini.

Sebelum anda mula menyelesaikan masalah ini, anda perlu memahami tempat yang akan diberi angka dalam perkembangan masa depan. Memandangkan akan ada tiga istilah lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kita meneruskan masalah, yang serupa dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk jangka n, kami menggunakan formula, kami dapat: a \u003d 5 a 1 + 4 * d. Di mana: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Mereka tidak memperoleh nilai integer perbezaan, tetapi ia adalah nombor rasional, jadi formula untuk perkembangan algebra tetap sama.

Kini kami menambah perbezaan yang ditemui pada 1 dan memulihkan keadaan yang hilang dalam perkembangan. Kami mendapat: 1 \u003d - 4, a 2 \u003d - 4 + 2.25 \u003d - 1.75, a 3 \u003d -1.75 + 2.25 \u003d 0.5, a 4 \u003d 0.5 + 2.25 \u003d 2.75, 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u003d 5, yang bertepatan dengan keadaan masalah.

Contoh No. 4: ahli pertama perkembangan

Kami terus memberikan contoh perkembangan aritmetik dengan penyelesaian. Dalam semua masalah sebelumnya, bilangan pertama perkembangan algebra diketahui. Sekarang pertimbangkan tugas jenis yang berlainan: biarkan dua nombor diberikan, di mana 15 \u003d 50 dan 43 \u003d 37. Perlu mencari nombor mana urutan ini bermula dengan.

Formula yang telah digunakan setakat ini, memerlukan pengetahuan tentang 1 dan d. Dalam keadaan masalah nombor-nombor ini, tidak ada yang diketahui. Walau bagaimanapun, kami menulis ungkapan untuk setiap ahli tentang maklumat yang ada: a \u003d 15 \u003d 1 + 14 * d dan 43 \u003d a 1 + 42 * d. Kami memperoleh dua persamaan di mana 2 kuantiti tidak diketahui (a 1 dan d). Ini bermakna bahawa masalah itu dikurangkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Sistem yang ditunjukkan adalah paling mudah untuk diselesaikan dengan menyatakan 1 dalam setiap persamaan dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ungkapan ini, kami memperoleh: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbezaan d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (hanya 3 tempat perpuluhan diberikan selepas titik perpuluhan).

Mengetahui d, anda boleh menggunakan mana-mana 2 ungkapan di atas untuk 1. Sebagai contoh, yang pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

Jika ada keraguan tentang hasilnya, anda boleh menyemaknya, contohnya, menentukan jangka masa 43 perkembangan, yang dinyatakan dalam keadaan. Kami mendapat: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. Kesilapan kecil adalah disebabkan oleh pengiraan yang digunakan untuk pengkompil ke seribu.

Contoh No. 5: amaun

Sekarang pertimbangkan beberapa contoh dengan penyelesaian dalam jumlah perkembangan aritmetik.

Biarkan perkembangan berangka bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana untuk mengira jumlah 100 nombor ini?

Terima kasih kepada perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, iaitu, secara berturutan menambah semua nombor yang komputer akan lakukan sebaik sahaja seseorang menekan kekunci Enter. Walau bagaimanapun, masalah boleh diselesaikan di dalam fikiran jika anda memberi perhatian bahawa siri nombor yang dibentangkan adalah perkembangan algebra, dan perbezaannya ialah 1. Menggunakan formula untuk jumlah itu, kita dapati: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa masalah ini dipanggil "Gaussian", sejak pada awal abad XVIII, Jerman yang terkenal, yang berumur hanya 10 tahun, dapat menyelesaikannya dalam fikirannya dalam beberapa saat. Anak lelaki itu tidak tahu formula untuk jumlah perkembangan algebra, tetapi dia menyedari bahawa jika anda menambah nombor di tepi urutan secara berpasangan, anda selalu mendapatkan satu hasil iaitu 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., dan sejak daripada jumlah ini akan tepat 50 (100/2), kemudian untuk mendapatkan jawapan yang betul, hanya kalikan 50 hingga 101.

Contoh No. 6: jumlah ahli dari n hingga m

Satu lagi contoh tipikal dari jumlah perkembangan aritmetik adalah seperti berikut: satu siri nombor diberikan: 3, 7, 11, 15, ..., anda perlu mencari apa jumlah ahli-ahlinya dari 8 hingga 14 adalah sama.

Masalahnya diselesaikan dalam dua cara. Yang pertama melibatkan pencarian ahli-ahli yang tidak dikenali dari 8 hingga 14, dan kemudian penjujukan berturut-turut mereka. Oleh kerana terdapat beberapa istilah, kaedah ini tidak memakan masa. Walau bagaimanapun, adalah dicadangkan untuk menyelesaikan masalah ini dengan kaedah kedua, yang lebih universal.

Ideanya adalah untuk mendapatkan formula untuk jumlah perkembangan algebra antara terma m dan n, di mana n\u003e m adalah bilangan bulat. Untuk kedua-dua kes, kami menulis dua ungkapan untuk jumlah:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Sejak n\u003e m, jelas bahawa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir bermaksud bahawa jika kita mengambil perbezaan di antara jumlah ini dan menambah istilah satu m ke sana (dalam hal mengambil perbezaannya, ia dikurangkan dari jumlah S n), kita mendapat jawapan yang diperlukan untuk masalah itu. Kami mempunyai: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * n / 2 + am * (1- m / 2). Dalam ungkapan ini perlu menggantikan formula untuk n dan m. Kemudian kita dapat: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rumusan yang dihasilkan agak rumit, bagaimanapun, jumlah S mn hanya bergantung kepada n, m, 1 dan d. Dalam kes kita, 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. Substituting nombor ini, kita dapati: S mn \u003d 301.

Seperti yang dapat dilihat dari penyelesaian di atas, semua tugas adalah berdasarkan pengetahuan ungkapan untuk istilah n dan formula untuk jumlah set istilah pertama. Sebelum anda mula menyelesaikan sebarang masalah ini, disarankan agar anda membaca dengan teliti keadaan itu, dengan jelas memahami apa yang anda perlukan untuk mencari, dan kemudian hanya meneruskan penyelesaiannya.

Satu lagi tip adalah berusaha untuk kesederhanaan, iaitu, jika anda boleh menjawab soalan tanpa menggunakan pengiraan matematik yang rumit, maka anda perlu berbuat demikian, kerana dalam hal ini kebarangkalian membuat kesalahan adalah kurang. Sebagai contoh, dalam contoh perkembangan aritmetik dengan penyelesaian No. 6, seseorang boleh berhenti di formula S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + pagi, dan membahagikan masalah umum ke dalam subtask berasingan (dalam kes ini, mula-mula cari syarat-syarat a dan am).

Jika terdapat keraguan tentang hasilnya, adalah disyorkan untuk menyemaknya, seperti yang telah dilakukan dalam beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana untuk mencari perkembangan aritmetik, diketahui. Jika anda melihat, ia tidak begitu sukar.

Masalah dalam perkembangan aritmetik sudah ada pada zaman purba. Mereka muncul dan menuntut penyelesaian, kerana mereka mempunyai keperluan praktikal.

Jadi, dalam salah satu papirus Mesir Kuno, yang mempunyai kandungan matematik, - Rinda papyrus (XIX abad SM) - mengandungi tugas berikut: membahagi sepuluh ukuran roti kepada sepuluh orang, dengan syarat perbezaan antara masing-masing adalah satu kelapan dari ukuran itu. "

Dan dalam karya-karya matematik orang Yunani purba terdapat teorema elegan yang berkaitan dengan perkembangan aritmetik. Sebagai contoh, Gypsicle of Alexandria (abad kedua, yang menyusun banyak tugas menarik dan menambah buku keempat belas kepada "Permulaan" Euclid, merumuskan idea itu: "Dalam perkembangan aritmetik yang mempunyai bilangan ahli, jumlah anggota separuh kedua adalah lebih besar daripada jumlah anggota separuh pertama kuadrat 1 / 2 bilangan ahli. "

Urutan yang ditetapkan. Nombor jujukan dipanggil ahli dan biasanya ditunjukkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nombor siri anggota ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1", "a 2", "a 3" dan sebagainya )

Urutan boleh menjadi tak terhingga atau terhingga.

Tetapi apakah perkembangan aritmetik? Ia difahami sebagai diperoleh dengan menambah istilah sebelumnya (n) dengan nombor yang sama d, yang merupakan perbezaan perkembangan.

Sekiranya d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan sedemikian dianggap semakin meningkat.

Perkembangan aritmetik dipanggil terhingga jika hanya beberapa ahli pertamanya yang diambil kira. Dengan bilangan anggota yang sangat besar, ini sudah menjadi perkembangan yang tidak berkesudahan.

Sebarang perkembangan aritmetik diberikan oleh formula berikut:

a \u003d kn + b, manakala b dan k adalah beberapa nombor.

Kenyataan ini benar-benar benar, yang sebaliknya: jika urutan diberikan oleh formula yang serupa, maka ini adalah satu perkembangan aritmetik, yang mempunyai sifat:

1. Setiap ahli perkembangan adalah min aritmetik dari ahli sebelumnya dan seterusnya.
2. Berbincang: jika, bermula dari ke-2, setiap istilah adalah min aritmetik bagi tempoh sebelumnya dan seterusnya, iaitu jika keadaan berpuas hati, maka urutan ini merupakan perkembangan aritmetik. Kesamaan ini pada masa yang sama merupakan tanda perkembangan, oleh itu, ia biasanya dipanggil sifat ciri perkembangan.
     Teorem yang mencerminkan sifat ini adalah benar dengan cara yang sama: satu urutan adalah suatu perkembangan aritmetik hanya jika kesamaan ini adalah benar untuk mana-mana ahli urutan, bermula dari ke-2.

Ciri-ciri sifat bagi mana-mana empat bilangan perkembangan aritmetik boleh dinyatakan dengan formula a + am \u003d ak + al jika n + m \u003d k + l (m, n, k adalah bilangan kemajuan).

Dalam perkembangan aritmetik, sebarang istilah (Nth) yang diperlukan boleh didapati menggunakan formula berikut:

Sebagai contoh: istilah pertama (a1) dalam perkembangan aritmetik diberikan dan sama dengan tiga, dan perbezaan (d) adalah sama dengan empat. Anda perlu mencari ahli kelima puluh kelima perkembangan ini. a45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

Formula an \u003d ak + d (n - k) membolehkan kita menentukan tempoh n bagi suatu perkembangan aritmetik melalui mana-mana terma kthnya, dengan syarat ia diketahui.

Jumlah ahli-ahli perkembangan aritmetik (membayangkan ahli-ahli pertama dari kemajuan terakhir) dikira seperti berikut:

Sn \u003d (a1 + an) n / 2.

Sekiranya istilah pertama juga dikenali, maka formula lain adalah mudah untuk mengira:

Sn \u003d ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Jumlah perkembangan aritmetik, yang mengandungi n ahli, dikira seperti berikut:

Pilihan formula untuk pengiraan bergantung pada syarat-syarat tugas dan data sumber.

Siri semulajadi dari mana-mana nombor, seperti 1,2,3, ..., n, ... adalah contoh paling sederhana perkembangan aritmetik.

Di samping perkembangan aritmetik, terdapat juga perkembangan geometri, yang mempunyai sifat dan ciri tersendiri.