Luas permukaan sisi piramid arbitrari adalah sama dengan jumlah luas muka sisinya. Adalah masuk akal untuk memberikan formula khas untuk menyatakan kawasan ini dalam kes piramid biasa. Jadi, biarlah piramid sekata diberikan, di pangkalnya terdapat n-gon sekata dengan sisi bersamaan dengan a. Biarkan h ialah ketinggian muka sisi, juga dipanggil apotema piramid. Luas satu muka sisi adalah sama dengan 1 / 2ah, dan keseluruhan permukaan sisi piramid mempunyai luas yang sama dengan n / 2ha. Oleh kerana na ialah perimeter tapak piramid, kita boleh menulis formula yang ditemui dalam bentuk:

Luas permukaan sisi piramid sekata adalah sama dengan hasil darab apotemanya dan separuh perimeter tapak.

Berkenaan jumlah luas permukaan, kemudian hanya tambahkan kawasan asas ke tepi.

Ditulis dan diterangkan sfera dan bola... Perlu diingatkan bahawa pusat sfera yang tertulis dalam piramid terletak pada persimpangan satah pembahagi dua sudut dihedral dalam piramid. Pusat sfera yang diterangkan berhampiran piramid terletak pada persimpangan satah yang melalui titik tengah tepi piramid dan berserenjang dengannya.

Piramid terpotong. Jika piramid dipotong oleh satah selari dengan tapaknya, maka bahagian yang tertutup antara satah pemotongan dan tapak dipanggil piramid terpotong. Rajah menunjukkan piramid, membuang bahagiannya yang terletak di atas satah pemotongan, kita mendapat piramid terpotong. Jelas sekali bahawa piramid kecil yang dibuang adalah homothetik dengan piramid besar dengan pusat homotheti di puncak. Pekali persamaan adalah sama dengan nisbah ketinggian: k = h 2 / h 1, atau tepi sisi, atau lain-lain yang sepadan dimensi linear kedua-dua piramid. Kita tahu bahawa kawasan bagi rajah tersebut adalah berkaitan sebagai segi empat sama dimensi linear; jadi kawasan tapak kedua-dua piramid (iaitu luas tapak piramid terpotong) dirujuk sebagai

Di sini S 1 ialah luas tapak bawah, dan S 2 ialah luas tapak atas piramid terpotong. Permukaan sisi piramid adalah dalam hubungan yang sama. Terdapat peraturan yang sama untuk jilid.

Isipadu badan yang serupa rujuk sebagai kiub kepada dimensi linearnya; sebagai contoh, isipadu piramid dikaitkan sebagai produk ketinggiannya pada luas tapak, dari mana peraturan kami diperolehi dengan segera. Ia mempunyai watak umum sepenuhnya dan secara langsung mengikuti fakta bahawa volum sentiasa mempunyai dimensi kuasa ketiga panjang. Menggunakan peraturan ini, kami memperoleh formula yang menyatakan isipadu piramid terpotong dari segi ketinggian dan luas tapak.

Biarkan diberikan piramid terpotong dengan ketinggian h dan luas tapak S 1 dan S 2. Jika kita bayangkan ia diteruskan ke piramid penuh, maka pekali persamaan piramid penuh dan piramid kecil boleh didapati dengan mudah sebagai punca nisbah S 2 / S 1. Ketinggian piramid terpotong dinyatakan sebagai h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Sekarang kita ada untuk isipadu piramid terpotong (V 1 dan V 2 menandakan isipadu piramid penuh dan kecil)

formula isipadu piramid terpotong

Mari kita terbitkan formula untuk luas S permukaan sisi piramid terpotong sekata melalui perimeter P 1 dan P 2 tapak dan panjang apotema a. Kami berhujah dengan cara yang sama seperti semasa mendapatkan formula untuk isipadu. Melengkapkan piramid atas, kita mempunyai P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, di mana k ialah pekali kesamaan, P 1 dan P 2 ialah perimeter tapak, dan S 1 dan S 2 ialah kuda bagi permukaan sisi keseluruhan piramid yang terhasil dan bahagian atasnya, masing-masing. Untuk permukaan sisi, kita dapati (a 1 dan a 2 ialah apotema bagi piramid, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula untuk luas permukaan sisi piramid terpotong biasa

Privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila baca dasar privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti orang tertentu atau menghubunginya.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda meninggalkan permintaan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda E-mel dan lain-lain.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dan melaporkan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar pemberitahuan dan mesej penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda mengambil bahagian dalam cabutan hadiah, pertandingan atau acara promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, perintah mahkamah, dalam perbicaraan, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut adalah perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau sebab-sebab lain yang penting dari segi sosial.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga yang berkenaan - pengganti yang sah.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta daripada akses, pendedahan, pengubahan dan kemusnahan yang tidak dibenarkan.

Hormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami membawa peraturan kerahsiaan dan keselamatan kepada pekerja kami, dan memantau dengan ketat pelaksanaan langkah kerahsiaan.

Silinder ialah jasad geometri yang dibatasi oleh dua satah selari dan permukaan silinder... Dalam artikel ini, kita akan bercakap tentang cara mencari luas silinder dan, menggunakan formula, kita akan menyelesaikan beberapa masalah sebagai contoh.

Silinder mempunyai tiga permukaan: atas, bawah, dan rusuk.

Bahagian atas dan bawah silinder adalah bulatan dan mudah dikenal pasti.

Diketahui bahawa luas bulatan adalah sama dengan πr 2. Oleh itu, formula untuk luas dua bulatan (bahagian atas dan bawah silinder) ialah πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Ketiga, permukaan sisi silinder, ialah dinding melengkung silinder. Untuk mewakili permukaan ini dengan lebih baik, mari cuba mengubahnya untuk mendapatkan bentuk yang boleh dikenali. Bayangkan topi atas adalah perkara biasa timah yang tidak mempunyai penutup atas dan bawah. Mari buat potongan menegak pada dinding sisi dari atas ke bawah tin (Langkah 1 dalam gambar) dan cuba buka (luruskan) angka yang terhasil sebanyak mungkin (Langkah 2).

Selepas membuka sepenuhnya balang yang dihasilkan, kita akan melihat bentuk yang sudah biasa (Langkah 3), ini adalah segi empat tepat. Luas segi empat tepat mudah dikira. Tetapi sebelum itu, mari kita kembali sekejap kepada silinder asal. Bahagian atas silinder asal ialah bulatan, dan kita tahu bahawa lilitan dikira dengan formula: L = 2πr. Ia ditandakan dengan warna merah dalam rajah.

Apabila dinding sisi silinder terbuka sepenuhnya, kita melihat bahawa lilitan menjadi panjang segi empat tepat yang terhasil. Sisi segi empat tepat ini ialah lilitan (L = 2πr) dan ketinggian silinder (h). Luas segi empat tepat adalah sama dengan hasil darab sisinya - S = panjang x lebar = L x h = 2πr x h = 2πrh. Akibatnya, kami telah memperoleh formula untuk mengira luas permukaan sisi silinder.

Formula luas permukaan sisi silinder
sebelah S. = 2πrh

Luas permukaan penuh silinder

Akhirnya, jika kita menjumlahkan kawasan ketiga-tiga permukaan, kita mendapat formula untuk jumlah luas permukaan silinder. Luas permukaan silinder adalah sama dengan luas bahagian atas silinder + luas tapak silinder + luas permukaan sisi silinder atau S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Kadangkala ungkapan ini ditulis dengan formula yang sama 2πr (r + h).

Formula untuk jumlah luas permukaan silinder
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r ialah jejari silinder, h ialah ketinggian silinder

Contoh pengiraan luas permukaan silinder

Untuk memahami formula di atas, mari kita cuba mengira luas permukaan silinder menggunakan contoh.

1. Jejari tapak silinder ialah 2, tingginya ialah 3. Tentukan luas permukaan sisi silinder.

Jumlah luas permukaan dikira dengan formula: sisi S. = 2πrh

sebelah S. = 2 * 3.14 * 2 * 3

sebelah S. = 6.28 * 6

sebelah S. = 37.68

Luas permukaan sisi silinder ialah 37.68.

2. Bagaimana untuk mencari luas permukaan silinder jika ketinggian ialah 4 dan jejari ialah 6?

Jumlah luas permukaan dikira dengan formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

• Masalah 1. Cari jumlah luas permukaan piramid
• Masalah 2. Cari luas permukaan sisi piramid segi tiga sekata

Masalah 1... Cari jumlah luas permukaan piramid sekata

Penyelesaian.

Segi tiga sama sisi terletak di dasar piramid segi tiga sekata.
Oleh itu, untuk menyelesaikan masalah, kami akan menggunakan sifat segi tiga biasa:

Kita tahu ketinggian segi tiga, dari mana kita boleh mencari luasnya.
h = √3 / 2 a
a = h / (√3 / 2)
a = 3 / (√3 / 2)
a = 6 / √3

Dari mana kawasan asas akan sama dengan:
S = √3 / 4 a 2
S = √3 / 4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Untuk mencari luas muka sisi, hitung ketinggian KM. Sudut OKM ialah 45 darjah mengikut penyataan masalah.
Oleh itu:
OK / MK = cos 45
Mari kita gunakan jadual nilai fungsi trigonometri dan gantikan nilai yang diketahui.

OK / MK = √2 / 2

Mari kita ambil kira bahawa OK adalah sama dengan jejari bulatan yang tertera. Kemudian
OK = √3 / 6 a
OK = √3 / 6 * 6 / √3 = 1

Kemudian
OK / MK = √2 / 2
1 / MK = √2 / 2
MK = 2 / √2

Luas muka sisi kemudiannya sama dengan separuh hasil darab ketinggian dan tapak segi tiga.
Sisi = 1/2 (6 / √3) (2 / √2) = 6 / √6

Oleh itu, jumlah luas permukaan piramid akan sama dengan
S = 3√3 + 3 * 6 / √6
S = 3√3 + 18 / √6

Jawab: 3√3 + 18/√6

Tugasan 2... Cari luas permukaan sisi piramid biasa

Penyelesaian.

Oleh kerana tapak piramid segi tiga sekata ialah segi tiga sama, AO ialah jejari bulatan yang dihadkan di sekeliling tapak.
(Ini susulan daripada)

Jejari bulatan yang dihadkan mengelilingi segitiga sama sisi didapati daripada sifatnya

Dari mana panjang tepi piramid segi tiga biasa akan sama dengan:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ketinggian piramid diketahui dengan keadaan (10 cm), AO = 16√3 / 3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Setiap sisi piramid ialah segi tiga sama kaki. Segi empat segi tiga sama kaki kita dapati daripada formula pertama yang dibentangkan di bawah

S = 1/2 * 16 persegi ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S = 8 persegi ((556/3) - 64)
S = 8 persegi (364/3)
S = 16 kaki persegi (91/3)

Oleh kerana ketiga-tiga muka piramid sekata adalah sama, luas permukaan sisi akan sama dengan
3S = 48 √ (91/3)

Jawapan: 48 √(91/3)

Masalah 3. Cari jumlah luas permukaan piramid sekata

Sisi piramid segi tiga sekata ialah 3 cm dan sudut antara muka sisi dan tapak piramid ialah 45 darjah. Cari jumlah luas permukaan piramid itu.

Penyelesaian.
Oleh kerana piramid itu sekata, segi tiga sama sisi terletak di tapaknya. Oleh itu, luas pangkalan adalah


Jadi = 9 * √3 / 4

Untuk mencari luas muka sisi, hitung ketinggian KM. Sudut OKM ialah 45 darjah mengikut penyataan masalah.
Oleh itu:
OK / MK = cos 45
Kami akan gunakan

Merupakan angka polihedral, di pangkalnya adalah poligon, dan seluruh muka diwakili oleh segi tiga dengan bucu sepunya.

Sekiranya terdapat segi empat sama di pangkalan, maka piramid itu dipanggil segi empat, jika segitiga - maka segi tiga... Ketinggian piramid dilukis dari atasnya berserenjang ke pangkalan. Juga digunakan untuk mengira luas apotema- ketinggian muka sisi, jatuh dari atasnya.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid ialah jumlah luas muka sisinya, yang sama antara satu sama lain. Walau bagaimanapun, kaedah pengiraan ini sangat jarang digunakan. Pada asasnya, luas piramid dikira melalui perimeter pangkalan dan apotema:

Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid.

Biarkan sebuah piramid diberi dengan tapak ABCDE dan F atas. AB = BC = CD = DE = EA = 3 cm Apotema a = 5 cm Cari luas permukaan sisi piramid itu.
Mari cari perimeter. Oleh kerana semua muka tapak adalah sama, perimeter pentagon akan sama dengan:
Kini boleh ditemui kawasan sisi piramid:

Kawasan piramid segi tiga biasa

Piramid segi tiga sekata terdiri daripada tapak di mana segitiga sekata terletak dan tiga muka sisi yang sama luas.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa boleh dikira cara yang berbeza... Anda boleh menggunakan formula biasa untuk mengira melalui perimeter dan apotema, atau anda boleh mencari luas satu muka dan darabkannya dengan tiga. Oleh kerana muka piramid ialah segi tiga, kami akan menggunakan formula untuk luas segi tiga. Ia memerlukan apotema dan panjang tapak. Mari kita pertimbangkan contoh pengiraan luas permukaan sisi piramid segi tiga biasa.

Anda diberi sebuah piramid dengan apotema a = 4 cm dan tepi tapak b = 2 cm. Cari luas permukaan sisi piramid itu.
Mula-mula, cari luas salah satu muka sisi. V dalam kes ini Dia akan:
Gantikan nilai ke dalam formula:
Oleh kerana dalam piramid biasa semua sisi adalah sama, luas permukaan sisi piramid akan sama dengan jumlah luas tiga muka. Masing-masing:

Kawasan piramid terpotong

Dipotong Piramid ialah polihedron yang dibentuk oleh piramid dan bahagiannya selari dengan tapak.
Formula untuk luas permukaan sisi piramid terpotong adalah sangat mudah. Luasnya adalah sama dengan hasil darab separuh jumlah perimeter tapak dengan apotema: