Titik pertama ialah, seperti biasa, arcsin(-a)=-arcsina. Untuk sampai ke titik kedua, kita pergi ke arah atas, iaitu, ke arah meningkatkan sudut.

Kali ini kita bergerak melangkaui n. Berapa lama kita akan pergi? Pada arcsin x. Ini bermakna titik kedua ialah n+arcsin x. Kenapa tiada tolak? Kerana tolak dalam notasi -arcsin a bermaksud pergerakan mengikut arah jam, tetapi kami pergi mengikut lawan jam. Dan akhirnya, tambahkan 2pn pada setiap hujung selang.

5) sinx>a, jika a>1.

Bulatan unit terletak sepenuhnya di bawah garis lurus y=a. Tidak ada satu titik pun di atas garis lurus. Jadi tiada penyelesaian.

6) sinx>-a, di mana a>1.

Dalam kes ini, keseluruhan bulatan unit terletak sepenuhnya di atas garis lurus y=a. Oleh itu, sebarang titik memenuhi syarat sinx>a. Ini bermakna x ialah sebarang nombor.

Dan di sini x ialah sebarang nombor, kerana titik -n/2+2nn termasuk dalam penyelesaian, berbeza dengan ketaksamaan ketat sinx>-1. Tidak perlu mengecualikan apa-apa.

Satu-satunya titik pada bulatan yang memenuhi syarat ini ialah n/2. Dengan mengambil kira tempoh sinus, penyelesaian kepada ketaksamaan ini ialah set titik x=n/2+2n.

Sebagai contoh, selesaikan ketaksamaan sinx>-1/2:

Ketaksamaan ialah hubungan dalam bentuk a › b, di mana a dan b ialah ungkapan yang mengandungi sekurang-kurangnya satu pembolehubah. Ketaksamaan boleh menjadi ketat - ‹, › dan tidak ketat - ≥, ≤.

Ketaksamaan trigonometri ialah ungkapan dalam bentuk: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, di mana F(x) diwakili oleh satu atau lebih fungsi trigonometri. .

Contoh ketaksamaan trigonometri termudah ialah: sin x ‹ 1/2. Adalah menjadi kebiasaan untuk menyelesaikan masalah sedemikian secara grafik; dua kaedah telah dibangunkan untuk ini.

Kaedah 1 - Menyelesaikan ketaksamaan dengan membuat grafik fungsi

Untuk mencari selang yang memenuhi syarat ketaksamaan sin x ‹ 1/2, anda mesti melakukan langkah berikut:

1. hidup paksi koordinat bina sinusoid y = sin x.
2. Pada paksi yang sama, lukiskan graf bagi hujah berangka bagi ketaksamaan, iaitu, garis lurus yang melalui titik ½ ordinat OY.
3. Tandakan titik persilangan kedua-dua graf.
4. Lorekkan segmen yang merupakan penyelesaian kepada contoh.

Apabila tanda ketat hadir dalam ungkapan, titik persilangan bukanlah penyelesaian. Oleh kerana tempoh positif terkecil sinusoid ialah 2π, kami menulis jawapannya seperti berikut:

Jika tanda-tanda ungkapan tidak ketat, maka selang penyelesaian mesti disertakan dalam kurungan segi empat sama - . Jawapan kepada masalah juga boleh ditulis sebagai ketidaksamaan berikut:

Kaedah 2 - Menyelesaikan ketaksamaan trigonometri menggunakan bulatan unit

Masalah yang sama boleh diselesaikan dengan mudah menggunakan bulatan trigonometri. Algoritma untuk mencari jawapan adalah sangat mudah:

1. Mula-mula anda perlu melukis bulatan unit.
2. Kemudian anda perlu perhatikan nilai fungsi arka hujah sebelah kanan ketaksamaan pada arka bulatan.
3. Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus yang melalui nilai fungsi arka selari dengan paksi absis (OX).
4. Selepas itu, yang tinggal hanyalah memilih lengkok bulatan, iaitu set penyelesaian kepada ketaksamaan trigonometri.
5. Tulis jawapan dalam borang yang dikehendaki.

Mari kita menganalisis peringkat penyelesaian menggunakan contoh ketaksamaan sin x › 1/2. Titik α dan β ditandakan pada bulatan - nilai

Titik-titik lengkok yang terletak di atas α dan β ialah selang untuk menyelesaikan ketaksamaan yang diberikan.

Jika anda perlu menyelesaikan contoh untuk cos, maka arka jawapan akan terletak secara simetri kepada paksi OX, bukan OY. Anda boleh mempertimbangkan perbezaan antara selang penyelesaian untuk sin dan cos dalam rajah di bawah dalam teks.

Penyelesaian grafik untuk ketaksamaan tangen dan kotangen akan berbeza daripada kedua-dua sinus dan kosinus. Ini disebabkan oleh sifat-sifat fungsi.

Arctangent dan arccotangent ialah tangen kepada bulatan trigonometri, dan tempoh positif minimum untuk kedua-dua fungsi ialah π. Untuk menggunakan kaedah kedua dengan cepat dan betul, anda perlu ingat pada paksi mana nilai sin, cos, tg dan ctg diplot.

Tangen tangen berjalan selari dengan paksi OY. Jika kita memplot nilai arctan a pada bulatan unit, maka titik kedua yang diperlukan akan terletak pada suku pepenjuru. Sudut

Ia adalah titik putus untuk fungsi, kerana graf cenderung kepada mereka, tetapi tidak pernah mencapainya.

Dalam kes kotangen, tangen berjalan selari dengan paksi OX, dan fungsi itu terganggu pada titik π dan 2π.

Ketaksamaan trigonometri kompleks

Jika hujah fungsi ketaksamaan diwakili bukan sahaja oleh pembolehubah, tetapi oleh keseluruhan ungkapan yang mengandungi tidak diketahui, maka kita bercakap tentang ketaksamaan kompleks. Proses dan prosedur untuk menyelesaikannya agak berbeza daripada kaedah yang diterangkan di atas. Katakan kita perlu mencari penyelesaian kepada ketidaksamaan berikut:

Penyelesaian grafik melibatkan pembinaan sinusoid biasa y = sin x menggunakan nilai x yang dipilih secara sewenang-wenangnya. Mari kita hitung jadual dengan koordinat untuk titik kawalan graf:

Hasilnya mestilah lengkung yang cantik.

Untuk memudahkan pencarian penyelesaian, mari gantikan hujah fungsi kompleks

Kebanyakan pelajar tidak menyukai ketaksamaan trigonometri. Tetapi sia-sia. Seperti yang pernah dikatakan oleh seorang watak,

"Anda tidak tahu cara memasaknya"

Jadi bagaimana untuk "memasak" dan dengan apa yang perlu dikemukakan ketidaksamaan dengan sinus kita akan memikirkan dalam artikel ini. Kami akan membuat keputusan dengan cara yang mudah– menggunakan bulatan unit.

Jadi, pertama sekali, kita memerlukan algoritma berikut.

Algoritma untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan sinus:

1. pada paksi sinus kita plotkan nombor $a$ dan lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus sehingga ia bersilang dengan bulatan;
2. titik persilangan garis ini dengan bulatan akan berlorek jika ketaksamaan tidak ketat, dan tidak berlorek jika ketaksamaan adalah ketat;
3. kawasan penyelesaian ketaksamaan akan terletak di atas garisan dan sehingga bulatan jika ketaksamaan mengandungi tanda “$>$”, dan di bawah garisan dan sehingga bulatan jika ketaksamaan mengandungi tanda “$<$”;
4. untuk mencari titik persilangan, kita selesaikan persamaan trigonometri $\sin(x)=a$, kita dapat $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. menetapkan $n=0$, kita dapati titik persilangan pertama (ia terletak sama ada pada suku pertama atau keempat);
6. untuk mencari titik kedua, kita melihat ke arah mana kita melalui kawasan ke titik persimpangan kedua: jika dalam arah positif, maka kita harus mengambil $n=1$, dan jika dalam arah negatif, maka $n=- 1$;
7. sebagai tindak balas, selang itu ditulis dari titik persilangan yang lebih kecil $+ 2\pi n$ kepada yang lebih besar $+ 2\pi n$.

Had algoritma

Penting: d algoritma yang diberikan tidak berfungsi untuk ketaksamaan dalam bentuk $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Kes khas apabila menyelesaikan ketaksamaan dengan sinus

Ia juga penting untuk diperhatikan kes berikut, yang lebih mudah untuk diselesaikan secara logik tanpa menggunakan algoritma di atas.

Kes istimewa 1. Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)\leq 1.$

Disebabkan oleh fakta bahawa julat nilai fungsi trigonometri$y=\sin(x)$ tidak lebih besar daripada modulo $1$, maka sebelah kiri ketidaksamaan pada mana-mana$x$ daripada domain takrifan (dan domain takrif sinus ialah semua nombor nyata) tidak lebih daripada $1$. Dan, oleh itu, dalam jawapan kita tulis: $x \in R$.

Akibat:

$\sin(x)\geq -1.$

Kes khas 2. Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)< 1.$

Menggunakan penaakulan yang serupa dengan kes khas 1, kita dapati bahawa bahagian kiri ketaksamaan adalah kurang daripada $1$ untuk semua $x \dalam R$, kecuali untuk titik yang merupakan penyelesaian kepada persamaan $\sin(x) = 1$. Menyelesaikan persamaan ini, kita akan mempunyai:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Dan, oleh itu, dalam jawapan kita tulis: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Akibat: ketidaksamaan diselesaikan dengan cara yang sama

$\sin(x) > -1.$

Contoh penyelesaian ketaksamaan menggunakan algoritma.

Contoh 1: Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Mari kita tandakan koordinat $\frac(1)(2)$ pada paksi sinus.
2. Mari kita lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus dan melalui titik ini.
3. Mari tandakan titik persimpangan. Mereka akan teduh kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.
4. Tanda ketidaksamaan ialah $\geq$, yang bermaksud kita melukis kawasan di atas garisan, i.e. separuh bulatan yang lebih kecil.
5. Kami mencari titik persimpangan pertama. Untuk melakukan ini, kita menukar ketaksamaan kepada kesamaan dan menyelesaikannya: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Kami selanjutnya menetapkan $n=0$ dan mencari titik persilangan pertama: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Kami mencari titik kedua. Kawasan kami menuju ke arah positif dari titik pertama, yang bermaksud kami menetapkan $n$ sama dengan $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Oleh itu, penyelesaiannya akan mengambil bentuk:

$x \dalam \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$

Contoh 2: Selesaikan ketaksamaan:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Mari tandakan koordinat $-\frac(1)(2)$ pada paksi sinus dan lukis garis lurus selari dengan paksi kosinus dan melalui titik ini. Mari tandakan titik persimpangan. Mereka tidak akan teduh, kerana ketidaksamaan adalah ketat. Tanda ketaksamaan $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\kiri(-\frac(1)(2)\kanan))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Dengan mengandaikan lagi $n=0$, kita dapati titik persilangan pertama: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Kawasan kami pergi ke arah negatif dari titik pertama, yang bermaksud kami menetapkan $n$ sama dengan $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

Jadi, penyelesaian kepada ketidaksamaan ini ialah selang:

$x \dalam \kiri(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\kanan), \n \dalam Z.$

Contoh 3: Selesaikan ketaksamaan:

$1 – 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq 0.$

Contoh ini tidak boleh diselesaikan dengan segera menggunakan algoritma. Mula-mula anda perlu mengubahnya. Kami melakukan apa yang akan kami lakukan dengan persamaan, tetapi jangan lupa tentang tanda itu. Membahagi atau mendarab dengan nombor negatif membalikkannya!

Jadi, mari kita alihkan semua yang tidak mengandungi fungsi trigonometri ke sebelah kanan. Kita mendapatkan:

$- 2\sin(\kiri(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \leq -1.$

Mari bahagikan bahagian kiri dan kanan dengan $-2$ (jangan lupa tentang tanda!). Pasti akan:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\kanan)) \geq \frac(1)(2).$

Sekali lagi kita mempunyai ketidaksamaan yang tidak dapat kita selesaikan menggunakan algoritma. Tetapi di sini sudah cukup untuk menukar pembolehubah:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Kami memperoleh ketaksamaan trigonometri yang boleh diselesaikan menggunakan algoritma:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Ketaksamaan ini telah diselesaikan dalam Contoh 1, jadi mari kita meminjam jawapan dari sana:

$t \dalam \kiri[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$

Bagaimanapun, keputusan itu masih belum berakhir. Kita perlu kembali kepada pembolehubah asal.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \dalam \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\kanan].$

Mari kita bayangkan selang sebagai sistem:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n

Di sebelah kiri sistem terdapat ungkapan ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), yang tergolong dalam selang. Sempadan kiri selang bertanggungjawab untuk ketaksamaan pertama, dan sempadan kanan bertanggungjawab untuk yang kedua. Selain itu, kurungan memainkan peranan penting: jika kurungan adalah persegi, maka ketidaksamaan akan dilonggarkan, dan jika ia bulat, maka ia akan menjadi ketat. tugas kami ialah mendapatkan $x$ di sebelah kiri dalam kedua-dua ketidaksamaan.

Mari kita alihkan $\frac(\pi)(6)$ dari sebelah kiri ke sebelah kanan, kita dapat:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \kanan.$.

Memudahkan, kita akan mempunyai:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(array) \right.$

Mendarabkan sisi kiri dan kanan dengan $4$, kita dapat:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Memasang sistem ke dalam selang, kami mendapat jawapan:

$x \dalam \kiri[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\kanan], \n \dalam Z.$

1. Jika hujah adalah kompleks (berbeza dengan X), kemudian gantikannya dengan t.

2. Kami membina dalam satu satah koordinat toOy graf fungsi y=kos Dan y=a.

3. Kami dapati sedemikian dua titik persilangan graf yang bersebelahan, antara yang terletak di atas garis lurus y=a. Kami dapati abscissas mata ini.

4. Tulis ketaksamaan berganda untuk hujah t, dengan mengambil kira tempoh kosinus ( t akan berada di antara abscissas yang ditemui).

5. Buat penggantian terbalik (kembali kepada hujah asal) dan nyatakan nilainya X daripada ketaksamaan berganda, kita tulis jawapan dalam bentuk selang berangka.

Contoh 1.

Seterusnya, mengikut algoritma, kami menentukan nilai hujah tersebut t, di mana sinusoid berada lebih tinggi lurus. Mari kita tulis nilai ini sebagai ketaksamaan berganda, dengan mengambil kira keberkalaan fungsi kosinus, dan kemudian kembali ke hujah asal X.

Contoh 2.

Memilih julat nilai t, di mana sinusoid berada di atas garis lurus.

Kami menulis nilai dalam bentuk ketaksamaan berganda t, memenuhi syarat. Jangan lupa bahawa tempoh terkecil fungsi y=kos sama 2π. Berbalik kepada pembolehubah X, secara beransur-ansur memudahkan semua bahagian ketaksamaan berganda.

Kami menulis jawapan dalam bentuk selang berangka tertutup, kerana ketidaksamaan itu tidak ketat.

Contoh 3.

Kami akan berminat dengan julat nilai t, di mana titik sinusoid akan terletak di atas garis lurus.

Nilai t tulis dalam bentuk ketaksamaan berganda, tulis semula nilai yang sama untuk 2x dan menyatakan X. Mari kita tulis jawapan dalam bentuk selang berangka.

Dan lagi formula kos>a.

Jika kos>a, (-1≤A≤1), kemudian - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Gunakan formula untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dan anda akan menjimatkan masa pada ujian peperiksaan.

Dan sekarang formula , yang harus anda gunakan pada UNT atau Peperiksaan Negeri Bersepadu apabila menyelesaikan ketaksamaan trigonometri dalam bentuk kos

Jika kos , (-1≤A≤1), kemudian arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Gunakan formula ini untuk menyelesaikan ketaksamaan yang dibincangkan dalam artikel ini, dan anda akan mendapat jawapan dengan lebih pantas dan tanpa sebarang graf!

Dengan mengambil kira keberkalaan fungsi sinus, kami menulis ketidaksamaan berganda untuk nilai hujah t, memuaskan ketidaksamaan terakhir. Mari kembali kepada pembolehubah asal. Mari kita ubah ketaksamaan berganda yang terhasil dan nyatakan pembolehubah X. Mari kita tulis jawapan dalam bentuk selang.

Mari kita selesaikan ketidaksamaan kedua:

Apabila menyelesaikan ketaksamaan kedua, kita perlu mengubah bahagian kiri ketaksamaan ini menggunakan formula sinus hujah berganda untuk mendapatkan ketaksamaan bentuk: sint≥a. Kemudian kami mengikuti algoritma.

Kami menyelesaikan ketidaksamaan ketiga:

Graduan dan pemohon yang dihormati! Perlu diingat bahawa kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, seperti kaedah grafik yang diberikan di atas dan, mungkin diketahui oleh anda, kaedah penyelesaian menggunakan bulatan trigonometri unit (bulatan trigonometri) hanya terpakai pada peringkat pertama mempelajari bahagian trigonometri. "Menyelesaikan persamaan trigonometri dan ketaksamaan." Saya fikir anda akan ingat bahawa anda mula-mula menyelesaikan persamaan trigonometri yang paling mudah menggunakan graf atau bulatan. Walau bagaimanapun, kini anda tidak akan terfikir untuk menyelesaikan persamaan trigonometri dengan cara ini. Bagaimana anda menyelesaikannya? Betul, mengikut formula. Jadi ketaksamaan trigonometri harus diselesaikan menggunakan formula, terutamanya semasa ujian, apabila setiap minit adalah berharga. Jadi, selesaikan tiga ketaksamaan pelajaran ini menggunakan rumus yang sesuai.

Jika sint>a, di mana -1≤ a≤1, maka arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Belajar formula!

Dan akhirnya: adakah anda tahu bahawa matematik adalah definisi, peraturan dan FORMULA?!

Sudah tentu anda lakukan! Dan yang paling ingin tahu, setelah mempelajari artikel ini dan menonton video itu, berseru: "Berapa lama dan sukar! Adakah terdapat formula yang membolehkan anda menyelesaikan ketaksamaan tersebut tanpa sebarang graf atau bulatan?” Ya, sudah tentu ada!

UNTUK MENYELESAIKAN KETIDAKSAMAAN BORANG: dosa (-1≤A≤1) formula adalah sah:

— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Terapkan pada contoh yang dibincangkan dan anda akan mendapat jawapan dengan lebih cepat!

Kesimpulan: BELAJAR FORMULA, KAWAN!

Muka surat 1 daripada 1 1

Semasa pelajaran praktikal, kami akan mengulangi jenis tugas utama dari topik "Trigonometri", selain itu menganalisis masalah peningkatan kerumitan dan mempertimbangkan contoh menyelesaikan pelbagai ketaksamaan trigonometri dan sistemnya.

Pelajaran ini akan membantu anda bersedia untuk salah satu jenis tugasan B5, B7, C1 dan C3.

Mari kita mulakan dengan mengkaji jenis tugas utama yang kami bincangkan dalam topik "Trigonometri" dan menyelesaikan beberapa masalah bukan standard.

Tugasan No 1. Tukar sudut kepada radian dan darjah: a) ; b) .

a) Mari kita gunakan formula untuk menukar darjah kepada radian

Mari kita gantikan nilai yang ditentukan ke dalamnya.

b) Gunakan formula untuk menukar radian kepada darjah

Mari kita lakukan penggantian .

Jawab. A); b) .

Tugasan No. 2. Kira: a); b) .

a) Oleh kerana sudut melangkaui jadual, kita akan mengurangkannya dengan menolak tempoh sinus. Kerana Sudut ditunjukkan dalam radian, maka kita akan menganggap tempoh sebagai .

b) Dalam kes ini keadaannya adalah serupa. Oleh kerana sudut ditunjukkan dalam darjah, kita akan menganggap tempoh tangen sebagai .

Sudut yang terhasil, walaupun lebih kecil daripada noktah, adalah lebih besar, yang bermaksud bahawa ia tidak lagi merujuk kepada utama, tetapi kepada bahagian lanjutan jadual. Untuk tidak sekali lagi melatih ingatan anda dengan menghafal jadual lanjutan nilai trigofungsi, mari kita tolak tempoh tangen sekali lagi:

Kami mengambil kesempatan daripada keganjilan fungsi tangen.

Jawab. a) 1; b) .

Tugasan No. 3. Kira , Jika .

Mari kita kurangkan keseluruhan ungkapan kepada tangen dengan membahagikan pengangka dan penyebut pecahan dengan . Pada masa yang sama, kita tidak boleh takut itu, kerana dalam kes ini, nilai tangen tidak akan wujud.

Tugasan No. 4. Permudahkan ungkapan.

Ungkapan yang ditentukan ditukar menggunakan formula pengurangan. Mereka hanya ditulis secara luar biasa menggunakan darjah. Ungkapan pertama secara amnya mewakili nombor. Mari kita permudahkan semua trigofungsi satu demi satu:

Kerana , kemudian fungsi bertukar kepada kofungsi, i.e. kepada kotangen, dan sudut jatuh ke suku kedua, di mana tangen asal mempunyai tanda negatif.

Atas sebab yang sama seperti dalam ungkapan sebelumnya, fungsi berubah kepada kofungsi, i.e. kepada kotangen, dan sudut jatuh ke suku pertama, di mana tangen asal mempunyai tanda positif.

Mari kita gantikan semuanya ke dalam ungkapan yang dipermudahkan:

Masalah #5. Permudahkan ungkapan.

Mari kita tulis tangen sudut dua dengan menggunakan formula yang sesuai dan ringkaskan ungkapan:

Identiti terakhir ialah salah satu formula penggantian universal untuk kosinus.

Masalah #6. Kira.

Perkara utama adalah tidak membuat kesilapan standard dengan tidak memberikan jawapan yang ungkapan itu sama dengan . Anda tidak boleh menggunakan sifat asas arctangent selagi terdapat faktor dalam bentuk dua di sebelahnya. Untuk menyingkirkannya, kami akan menulis ungkapan mengikut formula untuk tangen sudut berganda, sambil menganggap , sebagai hujah biasa.

Sekarang kita boleh menggunakan sifat asas arctangent; ingat bahawa tiada sekatan pada hasil berangkanya.

Masalah No 7. Selesaikan persamaan.

Apabila menyelesaikan persamaan pecahan yang sama dengan sifar, ia sentiasa ditunjukkan bahawa pengangka adalah sama dengan sifar, tetapi penyebutnya tidak, kerana Anda tidak boleh membahagi dengan sifar.

Persamaan pertama ialah kes khas persamaan termudah yang boleh diselesaikan menggunakan bulatan trigonometri. Ingat penyelesaian ini sendiri. Ketaksamaan kedua diselesaikan sebagai persamaan termudah menggunakan formula am untuk akar tangen, tetapi hanya dengan tanda tidak sama.

Seperti yang kita lihat, satu keluarga akar mengecualikan keluarga lain daripada jenis akar yang sama yang tidak memenuhi persamaan. Itu. tiada akar.

Jawab. Tiada akar.

Masalah No 8. Selesaikan persamaan.

Mari kita segera ambil perhatian bahawa kita boleh mengambil faktor sepunya dan mari kita lakukannya:

Persamaan telah dikurangkan kepada salah satu bentuk piawai, di mana hasil darab beberapa faktor bersamaan dengan sifar. Kita sudah tahu bahawa dalam kes ini, salah satu daripadanya adalah sama dengan sifar, atau yang lain, atau yang ketiga. Mari kita tulis ini dalam bentuk satu set persamaan:

Dua persamaan pertama adalah kes khas yang paling mudah; kita telah menemui persamaan yang serupa berkali-kali, jadi kami akan segera menunjukkan penyelesaiannya. Kami mengurangkan persamaan ketiga kepada satu fungsi menggunakan formula sinus sudut berganda.

Mari kita selesaikan persamaan terakhir secara berasingan:

Persamaan ini tidak mempunyai punca, kerana nilai sinus tidak boleh melampaui .

Oleh itu, penyelesaiannya hanyalah dua keluarga akar pertama; mereka boleh digabungkan menjadi satu, yang mudah ditunjukkan pada bulatan trigonometri:

Ini adalah keluarga semua bahagian, i.e.

Mari kita teruskan kepada menyelesaikan ketaksamaan trigonometri. Pertama, kita akan menganalisis pendekatan untuk menyelesaikan contoh tanpa menggunakan formula penyelesaian am, tetapi menggunakan bulatan trigonometri.

Masalah No 9. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita lukis garis bantu pada bulatan trigonometri yang sepadan dengan nilai sinus bersamaan dengan , dan tunjukkan julat sudut yang memenuhi ketaksamaan.

Adalah sangat penting untuk memahami dengan tepat bagaimana untuk menunjukkan selang sudut yang terhasil, i.e. apakah permulaannya dan apakah pengakhirannya. Permulaan selang akan menjadi sudut yang sepadan dengan titik yang akan kita masukkan pada awal selang jika kita bergerak melawan arah jam. Dalam kes kami, ini adalah titik yang berada di sebelah kiri, kerana bergerak lawan jam dan melepasi titik yang betul, kami, sebaliknya, meninggalkan julat sudut yang diperlukan. Oleh itu, titik yang betul akan sepadan dengan penghujung jurang.

Sekarang kita perlu memahami sudut permulaan dan akhir selang penyelesaian kita kepada ketaksamaan. Kesilapan biasa adalah dengan segera menunjukkan bahawa titik yang betul sepadan dengan sudut, yang kiri dan memberikan jawapan. Ini tidak benar! Sila ambil perhatian bahawa kami baru sahaja menunjukkan selang yang sepadan dengan bahagian atas bulatan, walaupun kami berminat dengan bahagian bawah, dengan kata lain, kami telah mencampurkan permulaan dan akhir selang penyelesaian yang kami perlukan.

Untuk selang bermula pada penjuru titik kanan dan berakhir di penjuru titik kiri, adalah perlu bahawa sudut pertama yang dinyatakan adalah kurang daripada yang kedua. Untuk melakukan ini, kita perlu mengukur sudut titik yang betul dalam arah negatif rujukan, i.e. mengikut arah jam dan ia akan sama dengan . Kemudian, mula bergerak daripadanya mengikut arah jam positif, kita akan sampai ke titik kanan selepas titik kiri dan mendapatkan nilai sudut untuknya. Sekarang permulaan selang sudut kurang daripada akhir, dan kita boleh menulis selang penyelesaian tanpa mengambil kira tempoh:

Memandangkan selang tersebut akan diulang beberapa kali tidak terhingga selepas sebarang nombor bulat putaran, kami memperoleh penyelesaian umum dengan mengambil kira tempoh sinus:

Kami meletakkan tanda kurung kerana ketaksamaan adalah ketat, dan kami memilih titik pada bulatan yang sepadan dengan hujung selang.

Bandingkan jawapan yang anda terima dengan formula untuk penyelesaian umum yang kami berikan dalam kuliah.

Jawab. .

Kaedah ini bagus untuk memahami dari mana datangnya formula untuk penyelesaian umum bagi ketaksamaan trigon termudah. Di samping itu, ia berguna untuk mereka yang terlalu malas untuk mempelajari semua formula yang menyusahkan ini. Walau bagaimanapun, kaedah itu sendiri juga tidak mudah;

Untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri, anda juga boleh menggunakan graf fungsi di mana garis bantu dibina, serupa dengan kaedah yang ditunjukkan menggunakan bulatan unit. Jika anda berminat, cuba fikirkan sendiri pendekatan penyelesaian ini. Dalam perkara berikut kita akan menggunakan formula am untuk menyelesaikan ketaksamaan trigonometri mudah.

Masalah No 10. Selesaikan ketidaksamaan.

Marilah kita menggunakan formula untuk penyelesaian umum, dengan mengambil kira hakikat bahawa ketidaksamaan itu tidak ketat:

Dalam kes kami, kami mendapat:

Jawab.

Masalah No 11. Selesaikan ketidaksamaan.

Mari kita gunakan formula penyelesaian am untuk ketaksamaan yang sepadan:

Jawab. .

Masalah No 12. Selesaikan ketaksamaan: a) ; b) .

Dalam ketidaksamaan ini, tidak perlu tergesa-gesa menggunakan formula untuk penyelesaian umum atau bulatan trigonometri cukup untuk mengingati julat nilai sinus dan kosinus.

a) Sejak , maka ketidaksamaan itu tidak masuk akal. Oleh itu, tiada penyelesaian.

b) Kerana begitu juga, sinus sebarang hujah sentiasa memenuhi ketaksamaan yang dinyatakan dalam syarat. Oleh itu, semua nilai sebenar hujah memenuhi ketidaksamaan.

Jawab. a) tiada penyelesaian; b) .

Masalah 13. Selesaikan ketidaksamaan .