Pernyataan adalah pembentukan yang lebih kompleks daripada nama. Apabila kita menguraikan pernyataan kepada bahagian yang lebih mudah, kita sentiasa mendapat satu nama atau yang lain. Katakan, pernyataan "Matahari ialah bintang" termasuk nama "Matahari" dan "bintang" sebagai bahagiannya.

Kenyataan - ayat yang betul dari segi tatabahasa, diambil bersama-sama dengan makna (isi) yang diungkapkannya dan menjadi benar atau salah.

Konsep ujaran adalah salah satu daripada yang asli, konsep kunci logik moden. Oleh itu ia tidak membenarkan definisi yang tepat, sama terpakai dalam bahagian yang berbeza.

Sesuatu pernyataan dianggap benar jika huraian yang diberikan sepadan dengan situasi sebenar, dan salah jika tidak sepadan dengannya. "Benar" dan "salah" dipanggil "nilai-nilai kenyataan."

Daripada kenyataan individu cara yang berbeza anda boleh membina pernyataan baharu. Sebagai contoh, daripada pernyataan "Angin bertiup" dan "Hujan" seseorang boleh membentuk pernyataan yang lebih kompleks "Angin bertiup dan hujan", "Sama ada angin bertiup atau hujan", "Jika ia sedang hujan, kemudian angin bertiup”, dsb.

Kenyataan itu dipanggil mudah, melainkan ia memasukkan pernyataan lain sebagai sebahagian daripadanya.

Kenyataan itu dipanggil kompleks, jika ia diperoleh menggunakan penghubung logik daripada pernyataan lain yang lebih mudah.

Mari kita pertimbangkan yang paling cara-cara penting pembinaan pernyataan yang kompleks.

Kenyataan negatif terdiri daripada pernyataan awal dan penafian, biasanya dinyatakan dengan perkataan "tidak", "itu tidak benar". Oleh itu, pernyataan negatif adalah pernyataan yang kompleks: ia termasuk sebagai bahagiannya pernyataan yang berbeza daripadanya. Sebagai contoh, penolakan pernyataan "10 ialah nombor genap" ialah pernyataan "10 bukan nombor genap" (atau: "Tidak benar bahawa 10 ialah nombor genap").

Mari kita nyatakan pernyataan dengan huruf A, B, C,... Makna penuh konsep penolakan sesuatu pernyataan diberikan dengan syarat: jika pernyataan itu A adalah benar, penolakannya adalah palsu, dan jika A adalah palsu, penafiannya adalah benar. Sebagai contoh, kerana pernyataan "1 ialah integer positif" adalah benar, penolakannya "1 bukan integer positif" adalah palsu, dan kerana "1 ialah nombor perdana" adalah palsu, penolakannya "1 bukan nombor perdana " betul.

Menghubungkan dua pernyataan menggunakan perkataan "dan" menghasilkan pernyataan kompleks yang dipanggil kata hubung. Pernyataan yang dihubungkan dengan cara ini dipanggil "ahli kata hubung."

Contohnya, jika pernyataan "Hari ini panas" dan "Semalam sejuk" digabungkan dengan cara ini, anda mendapat kata hubung "Hari ini panas dan semalam sejuk."

Kata hubung adalah benar hanya jika kedua-dua pernyataan yang disertakan di dalamnya adalah benar; jika sekurang-kurangnya satu daripada ahlinya palsu, maka keseluruhan kata hubungnya adalah palsu.

Dalam bahasa biasa, dua pernyataan dihubungkan dengan kata hubung "dan" apabila ia berkaitan antara satu sama lain dalam kandungan atau makna. Sifat hubungan ini tidak sepenuhnya jelas, tetapi jelas bahawa kita tidak akan menganggap kata hubung "Dia berjalan dengan kot, dan saya berjalan ke universiti" sebagai ungkapan yang mempunyai makna dan boleh benar atau salah. Walaupun pernyataan "2 ialah nombor perdana" dan "Moscow ialah Bandar besar"adalah benar, kami tidak cenderung untuk menganggap kata hubung mereka "2 ialah nombor perdana dan Moscow ialah bandar besar" sebagai benar, kerana pernyataan konstituen tidak saling berkaitan dalam makna. Dengan memudahkan makna kata hubung dan penghubung logik lain dan, untuk tujuan ini, meninggalkan konsep "sambungan pernyataan dengan makna" yang tidak jelas, logik menjadikan makna penghubung ini lebih luas dan lebih spesifik.

Menyambung dua pernyataan menggunakan perkataan "atau" memberi perpecahan kenyataan-kenyataan ini. Pernyataan yang membentuk disjungsi dipanggil "ahli disjungsi."

Perkataan "atau" mempunyai dua makna yang berbeza dalam bahasa seharian. Kadang-kadang ia bermaksud "satu atau yang lain atau kedua-duanya," dan kadang-kadang "satu atau yang lain, tetapi bukan kedua-duanya." Sebagai contoh, pernyataan "Musim ini saya mahu pergi ke " Ratu Spades"atau pada "Aida" membolehkan kemungkinan melawat onera dua kali. Pernyataan "Beliau belajar di Moscow atau Universiti Yaroslavl" membayangkan bahawa orang tersebut hanya belajar di salah satu universiti ini.

Pengertian pertama "atau" dipanggil tidak eksklusif. Dalam pengertian ini, percanggahan dua kenyataan bermakna sekurang-kurangnya satu daripada kenyataan ini adalah benar, tidak kira sama ada kedua-duanya benar atau tidak. Diambil pada yang kedua eksklusif atau dalam erti kata yang ketat, percanggahan dua pernyataan menyatakan bahawa salah satu pernyataan adalah benar dan kedua adalah palsu.

Disjungsi bukan eksklusif adalah benar apabila sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan konstituennya adalah benar, dan palsu hanya apabila kedua-dua ahlinya adalah palsu.

Pecahan eksklusif adalah benar apabila hanya satu daripada istilahnya adalah benar, dan ia adalah palsu apabila kedua-dua istilahnya adalah benar atau kedua-duanya adalah palsu.

Dalam logik dan matematik, perkataan "atau" hampir selalu digunakan dalam makna bukan eksklusif.

Pernyataan bersyarat - pernyataan yang kompleks, biasanya dirumuskan menggunakan penghubung "jika..., maka..." dan menetapkan satu peristiwa, keadaan, dsb. adalah dari satu segi atau yang lain asas atau syarat untuk yang lain.

Contohnya: "Jika ada api, maka ada asap", "Jika nombor boleh dibahagi dengan 9, ia boleh dibahagikan dengan 3", dsb.

Pernyataan bersyarat terdiri daripada dua pernyataan yang lebih mudah. Yang didahului dengan perkataan "jika" dipanggil asas, atau anteseden(sebelumnya), pernyataan yang datang selepas perkataan "itu" dipanggil akibat, atau berbangkit(seterusnya).

Dengan mengesahkan pernyataan bersyarat, kami pertama sekali bermaksud bahawa tidak boleh apa yang dikatakan dalam asasnya berlaku, dan apa yang dikatakan sebagai akibatnya tiada. Dengan kata lain, tidak boleh berlaku bahawa anteseden adalah benar dan akibatnya adalah palsu.

Dari segi pernyataan bersyarat, konsep syarat mencukupi dan perlu biasanya ditakrifkan: anteseden (tanah) ialah syarat yang mencukupi untuk akibat (akibat), dan akibatnya ialah syarat yang perlu untuk anteseden. Sebagai contoh, kebenaran pernyataan bersyarat "Jika pilihan itu rasional, maka yang terbaik daripada alternatif yang ada dipilih" bermakna bahawa rasional adalah alasan yang mencukupi untuk memilih yang terbaik daripada pilihan yang ada dan bahawa pilihan pilihan tersebut adalah. syarat yang diperlukan untuk rasionalnya.

Fungsi tipikal pernyataan bersyarat adalah untuk membenarkan satu pernyataan dengan merujuk kepada pernyataan lain. Sebagai contoh, fakta bahawa perak adalah konduktif elektrik boleh dibenarkan dengan merujuk kepada fakta bahawa ia adalah logam: "Jika perak adalah logam, ia adalah konduktif elektrik."

Kaitan antara yang menyokong dan yang dibenarkan (asas dan akibat) yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat adalah sukar untuk dicirikan dalam Pandangan umum, dan hanya kadangkala sifatnya agak jelas. Sambungan ini boleh, pertama, sambungan akibat logik yang berlaku di antara premis dan kesimpulan kesimpulan yang betul ("Jika semua makhluk multiselular yang hidup adalah fana, dan obor-obor adalah makhluk sedemikian, maka ia adalah fana"); kedua, mengikut undang-undang alam semula jadi ("Jika badan mengalami geseran, ia akan mula panas"); ketiga, hubungan sebab akibat (“Jika Bulan berada di nod orbitnya pada bulan baharu, gerhana matahari"); keempat, keteraturan sosial, peraturan, tradisi, dll. (“Jika masyarakat berubah, begitu juga orangnya”, “Jika nasihat itu munasabah, ia harus dilaksanakan”).

Kaitan yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat biasanya disertai dengan kepercayaan bahawa akibat "mengikuti" dengan keperluan tertentu dari sebab dan terdapat beberapa undang-undang umum, yang, setelah dapat merumuskan, kita secara logik dapat menyimpulkan akibat dari sebab.

Sebagai contoh, pernyataan bersyarat "Jika bismut ialah logam adalah plastik" nampaknya mengandaikan undang-undang am "Tiada logam adalah plastik", menjadikan akibat daripada pernyataan ini sebagai akibat logik daripada antesedennya.

Kedua-dua dalam bahasa biasa dan dalam bahasa sains, pernyataan bersyarat, sebagai tambahan kepada fungsi justifikasi, juga boleh melaksanakan beberapa tugas lain: untuk merumuskan syarat yang tidak dikaitkan dengan mana-mana undang-undang atau peraturan am yang tersirat ("Jika Saya mahu, saya akan memotong jubah saya”); rekod sebarang urutan ("Jika musim panas lepas kering, maka tahun ini hujan"); menyatakan ketidakpercayaan dalam bentuk yang aneh ("Jika anda menyelesaikan masalah ini, saya akan membuktikan teorem terakhir Fermat"); pembangkang ("Jika elderberry tumbuh di taman, maka seorang lelaki tinggal di Kyiv"), dsb. Kepelbagaian dan kepelbagaian fungsi pernyataan bersyarat merumitkan analisisnya dengan ketara.

Penggunaan pernyataan bersyarat dikaitkan dengan faktor psikologi tertentu. Oleh itu, kita biasanya merumuskan pernyataan sedemikian hanya jika kita tidak mengetahui dengan pasti sama ada anteseden dan akibatnya adalah benar atau palsu. Jika tidak, penggunaannya kelihatan tidak semula jadi ("Jika bulu kapas adalah logam, ia adalah konduktor elektrik").

Kenyataan bersyarat sangat aplikasi yang luas dalam semua bidang penaakulan. Dalam logik ia biasanya diwakili oleh pernyataan yang implikasi, atau implikasi. Pada masa yang sama, logik menjelaskan, sistematik dan memudahkan penggunaan "jika..., maka ...", membebaskannya daripada pengaruh faktor psikologi.

Logik disarikan, khususnya, daripada fakta bahawa hubungan antara sebab dan akibat, ciri pernyataan bersyarat, bergantung pada konteks, boleh dinyatakan bukan sahaja menggunakan "jika..., maka ...", tetapi juga yang lain. maksud linguistik. Sebagai contoh, "Memandangkan air adalah cecair, ia menghantar tekanan ke semua arah secara sama rata," "Walaupun plastisin bukan logam, ia adalah plastik," "Jika kayu adalah logam, ia akan menjadi konduktif elektrik," dsb. Pernyataan ini dan yang serupa diwakili dalam bahasa logik dengan tersirat, walaupun penggunaan "jika..., maka..." di dalamnya tidak akan menjadi sepenuhnya semula jadi.

Dengan menegaskan implikasi, kami menegaskan bahawa ia tidak boleh berlaku bahawa asasnya ada dan akibatnya tidak hadir. Dengan kata lain, implikasi adalah palsu hanya jika alasannya benar dan akibatnya palsu.

Takrifan ini mengandaikan, seperti takrifan penghubung sebelumnya, bahawa setiap pernyataan adalah sama ada benar atau salah dan bahawa nilai kebenaran pernyataan kompleks bergantung hanya pada nilai kebenaran pernyataan konstituen dan cara ia disambungkan.

Implikasi adalah benar apabila kedua-dua alasan dan akibatnya adalah benar atau salah; benar jika alasannya palsu dan akibatnya benar. Hanya dalam kes keempat, apabila alasannya benar dan akibatnya salah, implikasinya palsu.

Ia tidak tersirat bahawa kenyataan A Dan DALAM entah bagaimana berkaitan antara satu sama lain dalam kandungan. Jika benar DALAM pernyataan "jika A, Itu DALAM" benar tanpa mengira sama ada A benar atau salah dan ia bersambung makna dengan DALAM atau tidak.

Sebagai contoh, pernyataan berikut dianggap benar: "Jika terdapat kehidupan di Matahari, maka dua dan dua sama dengan empat," "Jika Volga adalah tasik, maka Tokyo adalah sebuah kampung besar," dsb. Pernyataan bersyarat juga benar apabila A palsu, dan sekali lagi acuh tak acuh, benar DALAM atau tidak dan adakah ia berkaitan kandungan dengan A atau tidak. Pernyataan yang benar termasuk: "Jika Matahari adalah kubus, maka Bumi adalah segitiga," "Jika dua dan dua sama dengan lima, maka Tokyo adalah sebuah bandar kecil," dsb.

Dalam penaakulan biasa, semua pernyataan ini tidak mungkin dianggap sebagai bermakna, dan masih kurang benar.

Walaupun implikasi berguna untuk banyak tujuan, ia tidak sepenuhnya konsisten dengan pemahaman biasa tentang sambungan bersyarat. Implikasi merangkumi banyak ciri penting bagi tingkah laku logik pernyataan bersyarat, tetapi pada masa yang sama ia bukanlah penerangan yang mencukupi mengenainya.

Dalam separuh abad yang lalu, terdapat percubaan bersungguh-sungguh untuk memperbaharui teori implikasi. Pada masa yang sama, ia bukan persoalan untuk meninggalkan konsep implikasi yang dijelaskan, tetapi memperkenalkan, bersama-sama dengannya, konsep lain yang mengambil kira bukan sahaja nilai kebenaran kenyataan, tetapi juga hubungannya dalam kandungan.

Berkait rapat dengan implikasi kesetaraan, kadangkala dipanggil "implikasi berganda".

Kesetaraan ialah pernyataan kompleks "A jika dan hanya jika B", terbentuk daripada pernyataan Li B dan mengurai kepada dua implikasi: "jika A, maka B", dan "jika B, maka A". Contohnya: "Segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ia adalah segi empat sama." Istilah "kesetaraan" juga menandakan penghubung "..., jika dan hanya jika...", dengan bantuan pernyataan kompleks yang diberikan dibentuk daripada dua pernyataan. Daripada "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", "jika dan hanya jika", dll. boleh digunakan untuk tujuan ini.

Jika penghubung logik ditakrifkan dari segi kebenaran dan kepalsuan, kesetaraan adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan konstituen mempunyai nilai kebenaran yang sama, i.e. apabila kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu. Sehubungan itu, suatu kesetaraan adalah palsu apabila salah satu pernyataan yang disertakan di dalamnya adalah benar dan satu lagi adalah palsu.

Logik cadangan , juga dipanggil logik proposisi, ialah cabang matematik dan logik yang mengkaji bentuk logik pernyataan kompleks yang dibina daripada pernyataan mudah atau asas menggunakan operasi logik.

Logik proposisi mengabstrak daripada kandungan pernyataan dan mengkaji nilai kebenarannya, iaitu sama ada pernyataan itu benar atau salah.

Gambar di atas adalah ilustrasi fenomena yang dikenali sebagai Paradoks Penipu. Pada masa yang sama, pada pendapat pengarang projek, paradoks seperti itu hanya mungkin dalam persekitaran yang tidak bebas daripada masalah politik, di mana seseorang boleh dilabel sebagai pembohong. Dalam dunia berbilang lapisan semula jadi subjek "kebenaran" atau "palsu" hanya pernyataan individu dinilai . Dan kemudian dalam pelajaran ini anda akan diperkenalkan peluang untuk menilai sendiri banyak kenyataan mengenai perkara ini (dan kemudian lihat jawapan yang betul). Termasuk penyataan kompleks yang mana yang lebih mudah disambungkan dengan tanda-tanda operasi logik. Tetapi pertama-tama, mari kita pertimbangkan operasi ini pada kenyataan itu sendiri.

Logik proposisi digunakan dalam sains komputer dan pengaturcaraan dalam bentuk mengisytiharkan pembolehubah logik dan memberikannya nilai logik "palsu" atau "benar", di mana perjalanan pelaksanaan selanjutnya program bergantung. Dalam program kecil yang hanya melibatkan satu pembolehubah boolean, pembolehubah boolean sering diberi nama seperti "bendera" dan maksudnya ialah "bendera naik" apabila nilai pembolehubah adalah "benar" dan "bendera turun , apabila." nilai pembolehubah ini adalah "salah". Dalam program besar, di mana terdapat beberapa atau bahkan banyak pembolehubah logik, profesional dikehendaki menghasilkan nama untuk pembolehubah logik dalam bentuk pernyataan dan beban semantik, membezakannya daripada pembolehubah logik lain dan boleh difahami oleh profesional lain yang akan membaca teks program ini.

Oleh itu, pembolehubah logik dengan nama "UserRegistered" (atau analog bahasa Inggerisnya) boleh diisytiharkan dalam bentuk pernyataan, yang boleh diberikan nilai logik "true" jika syarat dipenuhi bahawa data pendaftaran dihantar oleh pengguna dan data ini diiktiraf sebagai sah oleh program. Dalam pengiraan selanjutnya, nilai pembolehubah mungkin berubah bergantung pada nilai logik (benar atau salah) pembolehubah UserRegistered. Dalam kes lain, pembolehubah, contohnya, dengan nama "Lebih Tiga Hari Lagi Sebelum Hari", boleh diberikan nilai "Benar" sebelum blok pengiraan tertentu, dan semasa pelaksanaan program selanjutnya, nilai ini boleh disimpan atau ditukar kepada "palsu" dan kemajuan pelaksanaan selanjutnya bergantung pada nilai program pembolehubah ini.

Jika program menggunakan beberapa pembolehubah logik, nama yang mempunyai bentuk pernyataan, dan pernyataan yang lebih kompleks dibina daripadanya, maka lebih mudah untuk membangunkan program jika, sebelum membangunkannya, kami menulis semua operasi dari pernyataan dalam bentuk formula yang digunakan dalam logik pernyataan daripada yang kita lakukan semasa Pelajaran ini adalah apa yang akan kita lakukan.

Operasi logik pada pernyataan

Untuk pernyataan matematik, seseorang sentiasa boleh membuat pilihan antara dua alternatif yang berbeza, "benar" dan "palsu," tetapi untuk pernyataan yang dibuat dalam bahasa "lisan", konsep "kebenaran" dan "palsu" agak kabur. Walau bagaimanapun, sebagai contoh, bentuk lisan seperti "Pulang ke rumah" dan "Adakah hujan?" Oleh itu adalah jelas bahawa pernyataan ialah bentuk lisan di mana sesuatu dinyatakan . Ayat tanya atau seruan, rayuan, serta hasrat atau tuntutan bukanlah pernyataan. Mereka tidak boleh dinilai dengan nilai "benar" dan "salah".

Kenyataan, sebaliknya, boleh dianggap sebagai kuantiti yang boleh mengambil dua makna: "benar" dan "palsu".

Sebagai contoh, penghakiman berikut diberikan: "anjing ialah haiwan", "Paris ialah ibu negara Itali", "3

Yang pertama daripada pernyataan ini boleh dinilai dengan simbol "benar", yang kedua dengan "salah", yang ketiga dengan "benar" dan yang keempat dengan "salah". Tafsiran pernyataan ini adalah subjek algebra proposisi. Kami akan menandakan kenyataan dengan huruf besar dengan huruf Latin A, B, ..., dan maknanya, iaitu, benar dan palsu, masing-masing DAN Dan L. Dalam pertuturan biasa, perkaitan antara pernyataan "dan", "atau" dan lain-lain digunakan.

Sambungan ini membenarkan, dengan menghubungkan pernyataan yang berbeza antara satu sama lain, untuk membentuk pernyataan baharu - pernyataan yang kompleks . Sebagai contoh, penghubung "dan". Biarkan kenyataan diberikan: " π lebih daripada 3" dan pernyataan " π kurang daripada 4". Anda boleh menyusun penyataan baru - kompleks " π lebih daripada 3 dan π kurang daripada 4". Pernyataan "jika π tidak rasional kemudian π ² juga tidak rasional" diperoleh dengan menghubungkan dua pernyataan dengan penghubung "jika - maka". Akhir sekali, kita boleh mendapatkan daripada mana-mana pernyataan yang baru - pernyataan kompleks - dengan menafikan pernyataan asal.

Menganggap pernyataan sebagai kuantiti yang mengambil makna DAN Dan L, kami akan mentakrifkan lebih lanjut operasi logik pada pernyataan , yang membolehkan kami mendapatkan pernyataan kompleks baharu daripada kenyataan ini.

Biarkan dua kenyataan sewenang-wenangnya diberikan A Dan B.

1 . Operasi logik pertama pada pernyataan ini - konjungsi - mewakili pembentukan pernyataan baru, yang akan kami nyatakan A ∧ B dan yang manakah benar jika dan hanya jika A Dan B adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan sambungan pernyataan dengan penghubung "dan".

Jadual kebenaran untuk kata hubung:

2 . Operasi logik kedua pada pernyataan A Dan B- disjungsi dinyatakan sebagai A ∨ B, ditakrifkan seperti berikut: ia adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan asal adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penyambungan penyambung dengan penghubung "atau". Walau bagaimanapun, di sini kita mempunyai "atau" yang tidak membahagikan, yang difahami dalam erti kata "sama ada atau" apabila A Dan B kedua-duanya tidak boleh benar. Dalam mentakrifkan logik proposisi A ∨ B benar kedua-duanya jika hanya satu daripada pernyataan adalah benar, dan jika kedua-dua pernyataan adalah benar A Dan B.

Jadual kebenaran untuk perpecahan:

3 . Operasi logik ketiga pada pernyataan A Dan B, dinyatakan sebagai A → B; pernyataan yang diperoleh itu adalah palsu jika dan hanya jika A benar, tetapi B salah. A dipanggil dengan bungkusan , B - akibat , dan kenyataan A → B - mengikuti , juga dipanggil implikasi. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penghubung "jika-maka": "jika A, Itu B". Tetapi dalam definisi logik proposisi, pernyataan ini sentiasa benar tanpa mengira sama ada pernyataan itu benar atau palsu B. Keadaan ini boleh dirumuskan secara ringkas seperti berikut: "dari yang palsu semuanya mengikuti." Sebaliknya, jika A benar, tetapi B adalah palsu, maka keseluruhan pernyataan A → B salah. Ia akan menjadi benar jika dan hanya jika A, Dan B adalah benar. Secara ringkas, ini boleh dirumuskan seperti berikut: "salah tidak boleh mengikuti dari yang benar."

Jadual kebenaran untuk diikuti (implikasi):

4 . Operasi logik keempat pada pernyataan, lebih tepat pada satu pernyataan, dipanggil penolakan pernyataan A dan dilambangkan dengan ~ A(anda juga boleh mencari penggunaan bukan simbol ~, tetapi simbol ¬, serta skor berlebihan di atas A). ~ A terdapat kenyataan yang palsu apabila A benar, dan benar apabila A salah.

Jadual kebenaran untuk penafian:

5 . Dan akhirnya, operasi logik kelima pada pernyataan dipanggil kesetaraan dan dilambangkan A ↔ B. Kenyataan yang terhasil A ↔ B pernyataan adalah benar jika dan hanya jika A Dan B kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu.

Jadual kebenaran untuk kesetaraan:

Kebanyakan bahasa pengaturcaraan mempunyai simbol khas untuk menandakan makna logik pernyataan; ia ditulis dalam hampir semua bahasa sebagai benar dan salah.

Mari kita ringkaskan perkara di atas. Logik cadangan mengkaji sambungan yang sepenuhnya ditentukan oleh cara beberapa pernyataan dibina daripada yang lain, dipanggil asas. Dalam kes ini, pernyataan asas dianggap sebagai keseluruhan dan tidak boleh diuraikan kepada bahagian.

Marilah kita sistematikkan dalam jadual di bawah nama, notasi dan makna operasi logik pada pernyataan (kita akan memerlukannya sekali lagi untuk menyelesaikan contoh).

Benar untuk operasi logik hukum logik algebra, yang boleh digunakan untuk memudahkan ungkapan Boolean. Perlu diingatkan bahawa dalam logik proposisi seseorang mengabstrak daripada kandungan semantik pernyataan dan menghadkan dirinya untuk mempertimbangkannya dari kedudukan bahawa ia sama ada benar atau salah.

Contoh 1.

1) (2 = 2) DAN (7 = 7) ;

2) Bukan(15;

3) ("Pine" = "Oak") ATAU ("Cherry" = "Maple");

4) Not("Pine" = "Oak") ;

5) (Bukan(15 20);

6) (“Mata diberikan untuk melihat”) Dan (“Di bawah tingkat tiga ialah tingkat dua”);

7) (6/2 = 3) ATAU (7*5 = 20) .

1) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud ungkapan dalam kurungan kedua juga benar. Kedua-dua pernyataan disambungkan oleh operasi logik "DAN" (lihat peraturan untuk operasi ini di atas), oleh itu nilai logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".

2) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Sebelum pernyataan ini terdapat operasi logik penafian, oleh itu makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".

3) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "palsu", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "palsu". Pernyataan disambungkan oleh operasi logik "OR" dan tiada satu pun pernyataan mempunyai nilai "true". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."

4) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Pernyataan ini didahului oleh operasi logik penafian. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."

5) Pernyataan dalam kurungan dalam dinafikan dalam kurungan pertama. Pernyataan dalam kurungan dalam ini mempunyai makna "palsu", oleh itu penafiannya akan mempunyai makna logik "benar". Pernyataan dalam kurungan kedua bermaksud "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan oleh operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN palsu" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."

6) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "benar". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN kebenaran" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."

7) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar". Maksud pernyataan dalam kurungan kedua ialah "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan oleh operasi logik "ATAU", iaitu, "benar ATAU palsu". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."

Contoh 2. Tulis pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik:

1) "Pengguna tidak berdaftar";

2) "Hari ini adalah hari Ahad dan beberapa pekerja sedang bekerja";

3) "Pengguna didaftarkan jika dan hanya jika data yang dikemukakan oleh pengguna dianggap sah."

1) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", operasi logik: ;

2) hlm- pernyataan tunggal "Hari ini ialah Ahad", q- "Sesetengah pekerja sedang bekerja", operasi logik: ;

3) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", q- "Data yang dihantar oleh pengguna didapati sah", operasi logik: .

Selesaikan sendiri contoh logik proposisi, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 3. Hitung nilai logik pernyataan berikut:

1) (“Terdapat 70 saat dalam satu minit”) ATAU (“Jam yang sedang berjalan menunjukkan masa”);

2) (28 > 7) DAN (300/5 = 60) ;

3) ("TV - perkakas elektrik") Dan ("Kaca - kayu");

4) Bukan((300 > 100) ATAU ("Anda boleh menghilangkan dahaga dengan air"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Contoh 4. Tuliskan pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik dan hitung nilai logiknya:

1) "Jika jam menunjukkan masa yang salah, maka anda mungkin tiba di kelas pada masa yang salah";

2) "Dalam cermin anda boleh melihat pantulan anda dan Paris, ibu negara AS";

Contoh 5. Tentukan Nilai Boolean bagi Ungkapan

(hlm → q) ↔ (r → s) ,

hlm = "278 > 5" ,

q= "Epal = Oren",

hlm = "0 = 9" ,

s= "Topi menutupi kepala".

Formula logik cadangan

Konsep bentuk logik pernyataan kompleks dijelaskan menggunakan konsep formula logik proposisi .

Dalam contoh 1 dan 2 kami belajar menulis pernyataan kompleks menggunakan operasi logik. Sebenarnya, ia dipanggil formula logik proposisi.

Untuk menyatakan pernyataan, seperti dalam contoh yang disebutkan, kami akan terus menggunakan huruf

hlm, q, r, ..., hlm 1 , q 1 , r 1 , ...

Huruf ini akan memainkan peranan pembolehubah yang mengambil nilai kebenaran "benar" dan "salah" sebagai nilai. Pembolehubah ini juga dipanggil pembolehubah proposisi. Kami akan memanggil mereka selanjutnya formula asas atau atom .

Untuk membina formula logik proposisi, sebagai tambahan kepada huruf yang ditunjukkan di atas, tanda-tanda operasi logik digunakan

~, ∧, ∨, →, ↔,

serta simbol yang memberikan kemungkinan pembacaan formula yang tidak jelas - kurungan kiri dan kanan.

Konsep formula logik proposisi mari kita takrifkannya seperti berikut:

1) formula asas (atom) ialah formula logik proposisi;

2) jika A Dan B- formula logik proposisi, kemudian ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) juga merupakan formula logik proposisi;

3) hanya ungkapan tersebut adalah formula logik proposisi yang mana ini mengikuti dari 1) dan 2).

Takrif formula logik proposisi mengandungi senarai peraturan untuk pembentukan formula ini. Mengikut definisi, setiap formula logik proposisi adalah sama ada atom atau terbentuk daripada atom hasil daripada penggunaan peraturan 2 yang konsisten).

Contoh 6. biarlah hlm- pernyataan tunggal (atom) "Semua nombor rasional adalah nyata", q- "Sesetengah nombor nyata ialah nombor rasional" r- "beberapa nombor rasional adalah nyata." Terjemahkan rumus logik proposisi berikut ke dalam bentuk pernyataan lisan:

6) .

1) "tiada nombor nyata yang rasional";

2) "jika tidak semua nombor rasional adalah nyata, maka tidak nombor rasional, yang sah";

3) "jika semua nombor rasional adalah nyata, maka beberapa nombor nyata adalah nombor rasional dan beberapa nombor rasional adalah nyata";

4) "semua nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor rasional ialah nombor nyata";

5) "semua nombor rasional adalah nyata jika dan hanya jika tidak semua nombor rasional adalah nyata";

6) "bukan kes bahawa tidak semua nombor rasional adalah nyata dan tidak ada nombor nyata yang rasional atau tidak ada nombor rasional yang nyata."

Contoh 7. Cipta jadual kebenaran untuk formula logik proposisi , yang dalam jadual boleh ditetapkan f .

Penyelesaian. Kami mula menyusun jadual kebenaran dengan merekodkan nilai ("benar" atau "salah") untuk pernyataan tunggal (atom) hlm , q Dan r. Semua nilai yang mungkin ditulis dalam lapan baris jadual. Selanjutnya, apabila menentukan nilai operasi implikasi dan bergerak ke kanan dalam jadual, kita ingat bahawa nilai adalah sama dengan "palsu" apabila "palsu" mengikuti daripada "benar".

Perhatikan bahawa tiada atom mempunyai bentuk ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Formula kompleks mempunyai jenis ini.

Bilangan kurungan dalam formula logik proposisi boleh dikurangkan jika kita menerimanya

1) dalam formula kompleks kami akan meninggalkan pasangan luar kurungan;

2) mari kita susun tanda-tanda operasi logik "mengikut keutamaan":

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Dalam senarai ini, tanda ↔ mempunyai skop terbesar dan tanda ~ mempunyai skop terkecil. Skop tanda operasi merujuk kepada bahagian-bahagian formula logik proposisi yang digunakan untuk kejadian tanda yang dimaksudkan ini (di mana ia bertindak). Oleh itu, adalah mungkin untuk meninggalkan dalam mana-mana formula pasangan kurungan yang boleh dipulihkan, dengan mengambil kira "tertib keutamaan". Dan apabila memulihkan kurungan, mula-mula semua kurungan yang berkaitan dengan semua kejadian tanda ~ diletakkan (kita bergerak dari kiri ke kanan), kemudian ke semua kejadian tanda ∧, dan seterusnya.

Contoh 8. Pulihkan tanda kurung dalam formula logik proposisi B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Penyelesaian. Tanda kurung dipulihkan langkah demi langkah seperti berikut:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Tidak setiap formula logik proposisi boleh ditulis tanpa kurungan. Sebagai contoh, dalam formula A → (B → C) dan ~( A → B) pengecualian lanjut kurungan tidak mungkin.

Tautologi dan percanggahan

Tautologi logik (atau ringkasnya tautologi) ialah formula logik proposisi yang jika huruf digantikan secara sewenang-wenangnya dengan pernyataan (benar atau salah), hasilnya akan sentiasa menjadi kenyataan yang benar.

Oleh kerana kebenaran atau kepalsuan pernyataan kompleks hanya bergantung pada makna, dan bukan pada kandungan pernyataan, yang setiap satunya sepadan dengan huruf tertentu, maka memeriksa sama ada pernyataan yang diberikan adalah tautologi boleh dilakukan dengan cara berikut. Dalam ungkapan yang dikaji, nilai 1 dan 0 (masing-masing "benar" dan "palsu") digantikan dengan huruf dalam semua cara yang mungkin, dan nilai logik ungkapan dikira menggunakan operasi logik. Jika semua nilai ini sama dengan 1, maka ungkapan yang dikaji adalah tautologi, dan jika sekurang-kurangnya satu penggantian memberikan 0, maka ia bukan tautologi.

Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "benar" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil sama dengan formula sebenar atau tautologi .

Makna yang berlawanan ialah percanggahan logik. Jika semua nilai pernyataan adalah sama dengan 0, maka ungkapan itu adalah percanggahan logik.

Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "salah" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil formula palsu yang sama atau percanggahan .

Selain tautologi dan percanggahan logik, terdapat formula logik proposisi yang bukan tautologi mahupun percanggahan.

Contoh 9. Bina jadual kebenaran untuk formula logik proposisi dan tentukan sama ada ia tautologi, percanggahan, atau bukan kedua-duanya.

Penyelesaian. Mari buat jadual kebenaran:

Dalam makna implikasi kita tidak menemui baris di mana "benar" membayangkan "salah". Semua nilai pernyataan asal adalah sama dengan "benar". Akibatnya, formula logik proposisi ini adalah tautologi.

Penyataan mudah dan kompleks, pembolehubah logik dan pemalar logik, penolakan logik, pendaraban logik, penambahan logik, jadual kebenaran untuk operasi logik

Untuk mengautomasikan proses maklumat, perlu bukan sahaja untuk menyampaikan maklumat secara seragam pelbagai jenis(nombor, teks, grafik, bunyi) dalam bentuk urutan sifar dan satu, tetapi juga untuk menentukan tindakan yang boleh dilakukan pada maklumat. Pelaksanaan tindakan tersebut dijalankan mengikut peraturan yang mengawal proses berfikir. Dengan kata lain, sesuai dengan hukum logik. Istilah "logik" berasal dari perkataan Yunani kuno1 O§08 , bermaksud "pemikiran, penaakulan, undang-undang." Sainslogikmengkaji undang-undang dan bentuk pemikiran, kaedah pembuktian.

Untuk menerangkan penaakulan dan peraturan untuk melakukan tindakan dengan maklumat, bahasa khas yang diterima pakai dalam logik matematik digunakan. Penaakulan adalah berdasarkan ayat khas yang dipanggil pernyataan. Pernyataan sentiasa mengesahkan atau menafikan sesuatu tentang objek, sifatnya dan hubungan antara objek. Pernyataan ialah sebarang dalil yang boleh dikatakan oleh seseorang sama ada ia benar atau salah. Pernyataan hanya boleh menjadi ayat deklaratif. Ayat tanya atau ayat motivasi bukan pernyataan.

Kenyataan - proposisi yang dirumuskan dalam bentuk ayat deklaratif, yang boleh dikatakan sama ada benar atau salah.

Sebagai contoh, ayat tanya"Pada tahun berapakah kronik pertama penyebutan Moscow?" dan "Apakah memori luaran komputer?" atau ayat insentif "Ikut peraturan keselamatan di makmal komputer" bukan pernyataan. Ayat naratif "Penyebutan kronik pertama Moscow adalah pada tahun 1812", "Peranti storan rawak ialah ingatan luaran komputer" dan "Tiada peraturan keselamatan dalam makmal komputer" adalah pernyataan kerana ia adalah proposisi, yang setiap satunya boleh dikatakan palsu. Pernyataan yang benar ialah pernyataan berikut: "Penyebutan kronik pertama Moscow adalah pada tahun 1147", "Cakera magnet keras ialah memori luaran komputer."

Setiap pernyataan hanya sepadan dengan satu daripada dua makna: sama ada "benar" atau "palsu", iaitupemalar logik.Nilai sebenar biasanya dilambangkan dengan nombor 1, dan nilai palsu- nombor 0. Pernyataan boleh ditunjukkan menggunakanpembolehubah logik,yang digunakan dalam huruf Latin besar. Pembolehubah Boolean hanya boleh mengambil satu daripada dua nilai yang mungkin: benar atau salah. Sebagai contoh, pernyataan "Maklumat dalam komputer dikodkan menggunakan dua aksara" boleh dilambangkan dengan pembolehubah logikA,dan pernyataan "Pencetak ialah peranti storan" boleh dilambangkan dengan pembolehubah logikDALAM.Oleh kerana pernyataan pertama adalah benar, makaA= 1. Tatatanda ini bermaksud bahawa pernyataanAbenar. Oleh kerana pernyataan kedua tidak benar, makaB =0. Entri ini bermaksud bahawa kenyataan dalam adalah palsu.

Pernyataan boleh menjadi mudah atau kompleks. Kenyataan itu dipanggilmudah,jika tiada sebahagian daripadanya adalah pernyataan. Setakat ini, contoh pernyataan mudah telah diberikan yang dilambangkan dengan perubahan logik. Dengan membina rantaian penaakulan, seseorang, menggunakan operasi logik, bergabung pepatah mudah Vlebih sukar" kenyataan.Untuk mengetahui maksud pernyataan yang kompleks tidak perlu memikirkan kandungannya. Ia cukup untuk mengetahui maksud pernyataan mudah yang membentuk pernyataan kompleks dan peraturan untuk melaksanakan operasi logik.

Operasi logik - tindakan yang membolehkan anda mengarang pernyataan kompleks daripada pernyataan mudah.

Semua penaakulan manusia, serta operasi peranti teknikal moden, adalah berdasarkan tindakan standard dengan maklumat - tiga operasi logik: penolakan logik (penyongsangan), pendaraban logik (konjungsi) dan penambahan logik (disjungsi).

Penafian logik pernyataan mudah diperoleh dengan menambah perkataan"Tidak benar itu" pada permulaan pernyataan mudah.

■ CONTOH 1.Terdapat pepatah mudah: "Buaya boleh terbang." Hasil penafian logik akan menjadi kenyataan“Ia tidak benar begitu buaya boleh terbang." Maksud pernyataan asal adalah "palsu", dan makna yang baru adalah "benar".

■ CONTOH 2.Terdapat pernyataan mudah: "Fail mesti mempunyai nama." Hasil penafian logik akan menjadi kenyataan“Ia tidak benar begitu fail mesti mempunyai nama." Maksud pernyataan asal adalah "benar", dan makna pernyataan baru adalah "palsu".

Dapat diperhatikan bahawa penolakan logik sesuatu pernyataan adalah benar apabila pernyataan asal adalah palsu, dan sebaliknya, penolakan logik pernyataan adalah palsu apabila pernyataan asal adalah benar.

Penafian logik (penyongsangan) - operasi logik yang mengaitkan pernyataan mudah dengan pernyataan baru, yang maknanya bertentangan dengan maksud pernyataan asal.

Mari kita nyatakan pernyataan mudah pembolehubah logikA.Kemudian kami akan menandakan penafian logik pernyataan ini sebagai TIDAKA. Mari kita tulis semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah logikAdan keputusan yang sepadan bagi penolakan logik BUKANA dalam bentuk jadual yang dipanggiljadual kebenaran untuk penafian logik (Jadual 40).

Anda boleh perhatikan bahawa dalam jadual kebenaran untuk penolakan logik, sifar berubah kepada satu, dan satu berubah kepada sifar.

Pendaraban logikdua pernyataan mudah diperoleh dengan menggabungkan pernyataan ini menggunakan kata hubungDan.Mari lihat contoh 3-6 untuk melihat apa yang akan menjadi hasil pendaraban logik.

■ CONTOH3. Terdapat dua pernyataan mudah. Satu kenyataan - "Carlson tinggal di ruangan bawah tanah." Pepatah lain ialah "Carlson dirawat dengan ais krim."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di ruangan bawah tanah,DanCarlson sedang dirawat dengan aiskrim.” Anda boleh merumuskan kenyataan baharu dengan lebih ringkas: “Carlson tinggal di ruangan bawah tanahDanDijamu dengan aiskrim." Kedua-dua pernyataan asal adalah palsu. Maksud pernyataan kompaun baru juga adalah "palsu."

■ CONTOH 4.Terdapat dua pernyataan mudah. Pernyataan pertama ialah "Carlson tinggal di ruangan bawah tanah." Pernyataan kedua ialah "Carlson dirawat dengan jem."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di ruangan bawah tanahDanDirawat dengan jem." Pernyataan asal pertama adalah palsu, dan yang kedua adalah benar. Maksud pernyataan majmuk baru ialah "bohong."

■ CONTOH 5.Terdapat dua pernyataan mudah. Pernyataan pertama ialah "Carlson tinggal di atas bumbung." Pernyataan kedua ialah "Carlson dirawat dengan ais krim."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di atas bumbungDanDijamu dengan aiskrim." Pernyataan awal yang pertama adalah benar, dan yang kedua adalah palsu. Maksud pernyataan majmuk baru "bohong".

* CONTOHb. Terdapat dua pernyataan mudah. Satu pepatah ialah "Carlson tinggal di atas bumbung." Pepatah lain: "Carlson dirawat dengan jem."

Hasil pendaraban logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Carlson tinggal di atas bumbung dan dirawat dengan jem." Kedua-dua pernyataan asal adalah benar. Maksud pernyataan kompleks baru juga adalah "kebenaran".

Dapat diperhatikan bahawa pendaraban logik dua pernyataan adalah benar hanya dalam satu kes - apabila kedua-dua pernyataan asal adalah benar.s.

Pendaraban logik (kata hubung) - operasi logik yang mengaitkan dua pernyataan mudah dengan pernyataan baharu, yang maknanya benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan asal adalah benar.

JADUAL KEBENARAN UNTUK PENDABARAN LOGIK

Jadual 41

JikaA = 0, DALAM =0, kemudian A dan B-0 (lihat contoh 3). JikaA = 0,7? = 1, makaADANDALAM -0 (lihat contoh 4). Jika/1 = 1,B =0, kemudianADan d=0 (lihat contoh 5). Jika L= \, B = \, kemudian A\\ B = \(lihat contoh 6).

Anda akan perasan bahawa hasil pendaraban logik adalah sama dengan hasil pendaraban biasa sifar dan satu.

Penambahan logikdua pernyataan mudah diperoleh dengan menggabungkan pernyataan ini menggunakan kata hubungatau.Mari lihat contoh 7-10 untuk melihat apa yang akan menjadi hasil penambahan logik.

CONTOH 7 . Terdapat dua pernyataan mudah. Satu kenyataan - "Komedi "The Inspector General" ditulis oleh M. Yu. Kenyataan lain - "Komedi "The Inspector General" ditulis oleh I. A. Krylov."

Hasil daripada penambahan logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Komedi "The Inspector General" ditulis oleh M. YuatauI. A. Krylov." Kedua-dua pernyataan asal adalah palsu. Maksud pernyataan kompaun baru juga adalah "palsu."

CONTOH 8. Terdapat dua pernyataan mudah. Kenyataan pertama ialah "Komedi "The Inspector General" ditulis oleh M. Yu. Kenyataan kedua ialah "Komedi "The Inspector General" ditulis oleh N.V. Gogol.

Hasil daripada penambahan logik pernyataan mudah ininiyaakan ada kenyataan yang kompleks "Komedi "The Inspector General" ditulis oleh M, K). LermontovatauN.V. Gogol." Inisial pertama andaPernyataan itu salah dan yang kedua adalah benar. Maksud pernyataan kompleks baharu itu ialah "kebenaran".

CONTOH 9 . Terdapat dua pernyataan mudah. Pernyataan pertama ialah "Puisi "Mtsyri" ditulis oleh M. Yu. Pernyataan kedua ialah "Puisi "Mtsyri" ditulis oleh N.V. Gogol. Hasil daripada penambahan logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "Puisi "Mtsyri" ditulis oleh M. Yu Lermontov atau N. V. Gogol. Pernyataan asal pertama adalah benar, dan yang kedua adalah palsu. Maksud pernyataan kompleks baharu itu ialah "kebenaran".

CONTOH 10 . Terdapat dua pernyataan mudah. Satu kenyataan - "A. S. Pushkin menulis puisi" Kenyataan lain - "A. S. Pushkin menulis prosa.” Hasil daripada penambahan logik pernyataan mudah ini akan menjadi pernyataan kompleks "A. S. Pushkin menulis puisi atau prosa.” Kedua-dua pernyataan asal adalah benar. Maksud pernyataan majmuk baharu itu juga ialah “kebenaran”.

Ia boleh diperhatikan bahawa penambahan logik dua pernyataan adalah palsu hanya dalam satu kes - apabila kedua-dua pernyataan awal adalah palsu.

Penambahan logik (disjungsi)- operasi logik yang mengaitkan dua pernyataan mudah dengan pernyataan baharu, yang maknanya palsu jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan asal adalah palsu.

Mari kita nyatakan satu pernyataan mudah oleh pembolehubah logik A, dan pernyataan mudah lain oleh pembolehubah logik B.

Kemudian kita akan menandakan tambahan logik pernyataan ini A ATAU DALAM

Mari kita tulis semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah logik A, B, serta hasil yang sepadan dengan penambahan logik A ATAU B dalam bentuk jadual yang dipanggil jadual kebenaran.

Operasi dengan tanda binari dilakukan mengikut jadual kebenaran untuk penambahan logik

Anda akan melihat bahawa hasil penambahan logik, kecuali baris terakhir, bertepatan dengan hasil penambahan biasa sifar dan satu.

Oleh itu, menggunakan bahasa logik, penaakulan boleh digantikan dengan tindakan dengan pernyataan. Pernyataan, seterusnya, boleh diberikan tanda binari - 0 atau 1. Tindakan dengan tanda binari dilakukan mengikut jadual kebenaran untuk operasi logik asas penolakan logik, pendaraban logik dan penambahan logik (lihat Jadual 40-42)

23. Kenyataan. Operasi logik

Penambahan logik (disjungsi) dua pernyataan adalah palsu

1) jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan adalah benar

2) jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan adalah palsu

3) apabila sekurang-kurangnya satu pernyataan adalah benar

4) apabila sekurang-kurangnya satu pernyataan adalah palsu

Ungkapan logik. Melakukan operasi logik

Menulis ungkapan logik, keutamaan melaksanakan operasi logik, mencari nilai ungkapan logik, melaksanakan operasi logik dengan maklumat pelbagai jenis Penafian logik, pendaraban logik dan penambahan logik membentuk sistem operasi logik yang lengkap, dengan bantuan yang anda boleh. karang mana-mana pernyataan yang kompleks dan tentukan kebenarannya. Apabila menerangkan penaakulan menggunakan bahasa logik matematik, pernyataan mudah dilambangkan dengan pembolehubah logik (huruf Latin), nilai pernyataan dilambangkan dengan pemalar logik (sifar atau satu), dan operasi logik dilambangkan dengan penghubung khas (NOT, DAN, ATAU). Rekod yang disusun menggunakan pembolehubah, pemalar dan penghubung sedemikian dipanggil ungkapan logik.

Ungkapan logik ialah tatatanda simbolik dalam bahasa logik matematik, terdiri daripada pembolehubah logik atau pemalar logik yang disatukan oleh operasi logik (sambungan).

Apabila mencari nilai ungkapan logik, operasi logik dilakukan dalam susunan tertentu, mengikut keutamaan mereka - penafian logik pertama, kemudian pendaraban logik dan hanya penambahan logik. Operasi logik yang mempunyai keutamaan yang sama dilaksanakan dari kiri ke kanan. Tanda kurung digunakan untuk menukar susunan operasi logik dilakukan.

■ CONTOH 1. Diberi pernyataan benar yang mudah A = “Aristotle - ahli falsafah Yunani kuno" dan pernyataan palsu yang mudah B = "Aristotle ialah ahli falsafah Rusia kuno."

Tindakan ke atas maklumat. Operasi Asas

makna pernyataan kompleks yang sepadan dengan ungkapan logik berikut:

1) BUKAN A;

2) A ATAU B;

3) A I (NEV).

Penyelesaian. 1) Hasil daripada penafian logik pernyataan A akan menjadi pernyataan "Tidak benar bahawa Aristotle adalah ahli falsafah Yunani kuno." Oleh kerana nilai pernyataan asal "benar" ialah A = 1, maka nilai penolakan logik pernyataan ini "salah" adalah BUKAN A = 0 (lihat Jadual 40). 2) Hasil daripada penambahan logik dua pernyataan akan menjadi pernyataan "Aristotle adalah seorang Yunani kuno atau Aristotle adalah seorang ahli falsafah Rusia kuno." Oleh kerana nilai pernyataan awal pertama "benar" A = 1, dan nilai pernyataan awal kedua "salah" B = 0, maka nilai tambahan logik pernyataan ini "benar" A ATAU B = 1 (lihat Jadual 42). 3) Hasil daripada pendaraban logik pernyataan A dan penafian logik pernyataan B akan menjadi pernyataan "Aristotle ialah ahli falsafah Yunani kuno, dan tidak benar bahawa Aristotle ialah ahli falsafah Rusia kuno." Pertama, kita melakukan penolakan logik pernyataan B. Oleh kerana nilai pernyataan asal "palsu" ialah B = 0, maka nilai penolakan logik pernyataan ini "benar" ialah BUKAN B = 1 (lihat Jadual 40). Oleh kerana nilai pernyataan awal pertama "benar" A = 1 dan nilai penolakan logik pernyataan awal kedua "benar" BUKAN B = 1, maka nilai pendaraban logik pernyataan ini "benar" A DAN ( BUKAN B) =1

(lihat jadual 41)

Jawab. 1) "Bohong"; 2) "kebenaran"; 3) "kebenaran". Untuk mencari makna pernyataan yang kompleks, cukup untuk mengetahui makna pernyataan mudah yang termasuk dalam pernyataan kompleks dan peraturan untuk melaksanakan operasi logik yang menggabungkan pernyataan mudah ini.

■ CONTOH 2. Cari nilai ungkapan logik BUKAN A ATAU (0 ATAU 1) DAN (BUKAN B DAN 1), jika nilai pembolehubah logik A =1, B =0.

Penyelesaian. 1) Mari gantikan pembolehubah logik dalam ungkapan logik dengan pemalar logik. NEAILI(0OR 1)DAN(NEVI 1)= =NOT1OR(0OR1)DAN(NOTAND1).

2) Tentukan urutan operasi logik mengikut keutamaannya. HE4 1 OR6 (0 OR1 1) AND5 (HEG 0 AND3 1).

Di bawah kenyataan difahami sebagai ungkapan linguistik yang hanya satu daripada dua perkara yang boleh dikatakan: ia benar atau salah. Kenyataan, tidak seperti penghakiman, tidak mempunyai watak peribadi.

Soalan, permintaan, pesanan, seruan, perkataan individu (kecuali untuk kes apabila ia mewakili pernyataan seperti "hari semakin petang," "sejuk," dsb.) bukanlah pernyataan. Kebenaran dan kepalsuan kenyataan adalah milik mereka nilai logik.

Pernyataan dibahagikan kepada atributif, kewujudan dan hubungan.

Bersifat dipanggil pernyataan di mana harta atau keadaan objek disahkan atau dinafikan.

Kewujudan adalah pernyataan yang mengesahkan atau menafikan hakikat kewujudan.

perhubungan dipanggil pernyataan yang menyatakan hubungan antara objek.

Pernyataan, seperti bentuk logiknya, boleh menjadi mudah atau kompleks. Kompleks Penyataan itu boleh dipecahkan kepada yang mudah. Mudah pernyataan tidak dibahagikan kepada yang lebih mudah.

Pernyataan atribut mudah mempunyai struktur yang merangkumi subjek, predikat dan penghubung.

Subjek ujaran (S) ialah bahagian ujaran yang menyatakan subjek pemikiran.

Predikat ujaran (P) ialah sebahagian daripada ujaran yang memaparkan tanda subjek pemikiran, harta benda, keadaan, hubungannya.

Subjek (S) dan predikat (P) dipanggil syarat. himpunan menunjukkan hubungan antara istilah (S dan P).

Pernyataan atribut sering menggunakan pengkuantiti kewujudan dan umum.

Pernyataan atribut dibahagikan dengan kualiti dan kuantiti.

Berdasarkan kualiti, mereka dibahagikan kepada afirmatif dan negatif. DALAM afirmatif menunjukkan bahawa atribut yang boleh dibayangkan dalam predikat adalah milik (kehadiran) kepada subjek pernyataan: "S ialah P." Contohnya: "Plato ialah ahli falsafah idealis." DALAM negatif menunjukkan bahawa predikat tidak tergolong dalam subjeknya: "S bukan P."

Berdasarkan bilangan pernyataan, ia dibahagikan kepada tunggal, khusus dan umum. Ini merujuk kepada jumlah (nombor, nombor) objek individu yang membentuk nama kelas subjek.

DALAM bujang Dalam pernyataan, subjek terdiri daripada satu objek.

Persendirian pernyataan mempunyai bentuk: "Sesetengah S adalah (bukan) P."

DALAM umum Dalam pernyataan, subjek meliputi semua objek. Pernyataan sedemikian mempunyai bentuk: "Semua S adalah (bukan) P."

Penyata dikelaskan mengikut kualiti dan kuantiti. Terdapat 4 kelas pernyataan:

1) universal (A) - umum dalam kuantiti dan afirmatif dalam kualiti (“Semua S ialah P”);

2) afirmatif swasta (J)- quotient dalam kuantiti dan afirmatif dalam kualiti ("Sesetengah S ialah R");

3) negatif umum (E) - umum dalam kuantiti dan negatif dalam kualiti ("Tiada S ialah P");

4) negatif separa (TENTANG)- hasil bagi kuantiti dan negatif dalam kualiti (“Sesetengah S bukan P”).

Dalam setiap kelas pernyataan nisbah isipadu S dan P (segi) adalah berbeza. Dalam logik, masalah hubungan antara isipadu S dan P dipanggil masalah pengagihan istilah. Istilah diedarkan jika ia termasuk sepenuhnya dalam skop istilah lain atau dikecualikan sepenuhnya daripadanya.

Dalam kelas A |Semua S ialah P| subjek diedarkan sepenuhnya dalam predikat, tetapi predikat tidak diedarkan.

Rakan-rakan yang dihormati, kami gembira melihat anda di halaman ini! Pelawat yang dihormati, ada kemungkinan anda sedang mencari Petikan Mudah dengan lukisan mengenai topik ini. Sejuk! Anda telah menemui apa yang anda cari. Kami berharap anda membaca dan memperbaiki diri!

Mereka yang gigih menguji kehidupan mereka ke had, lambat laun mencapai matlamat mereka dan menamatkannya dengan hebat.

Saya menyedari bahawa untuk memahami makna kehidupan, adalah perlu, pertama sekali, bahawa kehidupan tidak boleh menjadi sia-sia dan jahat, dan kemudian membuat alasan untuk memahaminya. Tolstoy L. N.

Bagaimana cinta yang lebih kuat, semakin dia tidak berdaya. Duchess Diana (Marie de Bossac)

Sekali seumur hidup, rezeki mengetuk pintu setiap orang, tetapi pada masa ini seseorang sering duduk di pub terdekat dan tidak mendengar sebarang ketukan. Mark Twain

Saya tidak takut seseorang yang mengkaji 10,000 mogok yang berbeza. Saya takut kepada orang yang mengkaji satu pukulan 10,000 kali.

Saya bermimpi tentang anda setiap hari, saya memikirkan anda pada waktu malam!

Sesiapa yang tidak mempunyai 2/3 hari untuk dirinya hendaklah dipanggil hamba. Friedrich Nietzsche

Saya adalah salah seorang yang bersetuju untuk bercakap tentang erti kehidupan supaya bersedia untuk mengedit susun atur mengenai topik ini. Eco U.

Desinit in piscem mulier formosa superne - seorang wanita cantik di bahagian atas berakhir dengan ekor ikan.

Kita adalah hamba kepada tabiat kita. Ubah tabiat anda, hidup anda akan berubah. Robert Kiyosaki

Anda boleh menjangkau dan meraih kebahagiaan. Ia sangat dekat! Tetapi anda sentiasa melihat ke belakang

Anda sentiasa boleh memaafkan diri sendiri atas kesilapan jika anda hanya mempunyai keberanian untuk mengakuinya. Bruce Lee

Hembusan cinta pertama adalah nafas terakhir kebijaksanaan. Anthony Brett.

Persahabatan adalah cinta tanpa sayap. Byron

Jika seseorang boleh mengatakan apa itu cinta, maka dia tidak mencintai sesiapa pun.

Apa sahaja yang anda jatuh cinta, cium.

kerana beberapa orang saya boleh mengatasi kesombongan dan ketakutan saya...

Cinta kami bermula pada pandangan pertama.

Cemburu adalah pengkhianatan dengan syak wasangka pengkhianatan. V. Krotov

Dengan seorang lelaki yang unik - saya mahu mengulanginya!

Seorang wanita yang cenderung romantis adalah jijik dengan seks tanpa cinta. Sebab itu dia tergesa-gesa untuk jatuh cinta pandang pertama. Lydia Yasinskaya

Cinta ada di dalam setiap orang, tetapi ia patut ditunjukkan hanya kepada mereka yang terbuka kepada anda.

Rahsia cinta untuk seseorang bermula pada masa ini apabila kita melihatnya tanpa keinginan untuk memilikinya, tanpa keinginan untuk memerintahnya, tanpa keinginan untuk mengambil kesempatan daripada pemberian atau keperibadiannya dalam apa cara sekalipun - kita hanya melihat dan kagum dengan keindahan yang telah dizahirkan kepada kita . Anthony, Metropolitan Sourozh

Saya ingin berada dalam masyarakat primitif. Anda tidak perlu memikirkan tentang wang, tentang tentera, tentang sebarang gelaran atau ijazah akademik. Hanya perempuan, lembu dan hamba yang penting.

Apabila seseorang tidak selesa untuk berbaring di satu sisi, dia berpaling ke sisi yang lain, dan apabila dia tidak selesa untuk hidup, dia hanya mengeluh. Dan anda berusaha dan bertukar. Maksim Gorky

Tangan yang perlahan menghaluskan pergunungan. Voltaire

Wanita mempunyai semua hati, walaupun kepala. Jean Paul

Ciuman anda sangat manis sehingga saya hanya diilhamkan dengan kebahagiaan!

Seseorang menghulurkan tangan, seperti pucuk, ke arah Luminary dan menjadi lebih tinggi. Memimpikan impian yang mustahil, dia mencapai ketinggian yang tinggi.

Persahabatan sejati lebih baik daripada cinta palsu!

Kita tidak boleh kehilangan maruah diri melainkan kita sendiri memberikannya kepada Gandhi.

Cinta adalah mementingkan diri bersama.

Pengetahuan menjadikan seseorang lebih penting, dan tindakan memberi dia bersinar. Tetapi ramai orang cenderung untuk melihat tetapi tidak menimbang. T. Carlyle

Hanya di Rusia mereka memanggil orang tersayang... Kesedihan saya!

Cinta yang tidak berbalas bukanlah cinta, tetapi penyeksaan!

Kecukupan ialah keupayaan untuk melakukan dua perkara: diam pada masa dan bercakap pada masa.

Kebahagiaan datang dengan pertimbangan yang betul, penilaian yang betul datang dengan pengalaman, dan pengalaman datang dengan penilaian yang salah.

Jangan mengharapkan ia menjadi lebih mudah, lebih mudah, lebih baik. Ia tidak akan. Akan sentiasa ada kesukaran. Belajar untuk bahagia sekarang. Jika tidak, anda tidak akan mempunyai masa.

Kehidupan, gembira atau tidak gembira, berjaya atau tidak berjaya, masih sangat menarik. B. Shaw

Jangan menganggap diri anda bijak: jika tidak, jiwa anda akan ditinggikan dalam kesombongan, dan anda akan jatuh ke tangan musuh anda. Anthony yang Agung

Memikat isterinya kelihatan tidak masuk akal baginya seperti memburu binatang panggang. Emil Krotky

Surat dan hadiah dan gambar berkilat, menyatakan kelembutan adalah penting. Tetapi lebih penting untuk mendengar satu sama lain secara bersemuka; ini adalah seni yang hebat dan jarang berlaku. T. Jansson.

Kehidupan diatur dengan sangat mahir sehinggakan tanpa mengetahui cara membenci, mustahil untuk mencintai dengan tulus. M. Gorky

Seronok apabila orang yang anda sayangi hanya memberi anda sejambak besar, ia bagus, sial!

Tanpa rasa takut, manusia berubah menjadi bodoh melulu yang sering kehilangan nyawa. Isaac Asimov Fantastic Voyage II

Sahabat adalah satu jiwa yang hidup dalam dua jasad. Aristotle

Menjadi orang yang hanya memikirkan tentang dirinya sendiri tidak bermakna melakukan apa sahaja yang dia mahu. Ini bermakna mahukan seluruh dunia hidup seperti yang anda mahukan. - O. Wilde

Setiap ibu harus mengukir beberapa minit masa lapang untuk dirinya sendiri untuk mencuci pinggan mangkuk.