ഈ ലേഖനത്തിലെ വിവരങ്ങൾ പൊതുവായ ഒരു ധാരണ നൽകുന്നു പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ. ആദ്യം, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു നിർവചനം നൽകുകയും ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. അടുത്തതായി, സംഖ്യാരേഖയിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ നോക്കുന്നു, അവിടെ നിന്ന് ഏത് സംഖ്യകളെ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എന്നും നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു എന്ന് വ്യക്തമാകും. ഇതിനുശേഷം, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് അളവുകളിലെ മാറ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ വിവരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നും കാണിക്കുന്നു. നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾകടം എന്ന അർത്ഥത്തിൽ.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ - നിർവചനവും ഉദാഹരണങ്ങളും

നിർവ്വചനം.

മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ- ഇവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ, അതുപോലെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതമായ സംഖ്യകൾ.

സംഖ്യകളുടെ നിർവചനം പറയുന്നത് 1, 2, 3, …, സംഖ്യ 0, അതുപോലെ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യകൾ −1, -2, −3, ... എന്നിവ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കൊണ്ടുവരാം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യ 38 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, സംഖ്യ 70,040 ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, പൂജ്യം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് (പൂജ്യം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയല്ല, പൂജ്യം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക), −999, −1, −8,934,832 എന്നിവയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: 0, ±1, ±2, ±3, ... പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഇതുപോലെ എഴുതാം: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണം പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ ഒരു ഉപഗണമാണ്. അതിനാൽ, ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, എന്നാൽ എല്ലാ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയല്ല.

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ

നിർവ്വചനം.

പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾപൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്.

നിർവ്വചനം.

നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾപൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്.

പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ അവയുടെ സ്ഥാനം അനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഒരു തിരശ്ചീന കോർഡിനേറ്റ് രേഖയിൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ ഉത്ഭവത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് കിടക്കുന്നു. അതാകട്ടെ, നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ പോയിൻ്റ് O യുടെ ഇടതുവശത്താണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്.

എല്ലാ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും ഗണം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. എല്ലാ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെയും ഗണം സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് എതിരായ എല്ലാ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമാണ്.

വെവ്വേറെ, നമുക്ക് ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെയും സുരക്ഷിതമായി ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കാം എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ക്ഷണിക്കാം, എന്നാൽ നമുക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കാൻ കഴിയില്ല. നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളും പൂജ്യവും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളല്ലാത്തതിനാൽ നമുക്ക് ഏതൊരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയെയും സ്വാഭാവിക സംഖ്യ എന്ന് മാത്രമേ വിളിക്കാൻ കഴിയൂ.

പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്തതും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തതുമായ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ

പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്കും നമുക്ക് നിർവചനങ്ങൾ നൽകാം.

നിർവ്വചനം.

എല്ലാ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളും, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയോടൊപ്പം, വിളിക്കപ്പെടുന്നു നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ.

നിർവ്വചനം.

പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ- ഇവയെല്ലാം 0 എന്ന സംഖ്യയോടൊപ്പം നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ ആയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ് നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ, കൂടാതെ നോൺ-പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവോ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമോ ആയ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ് സംഖ്യകൾ -511, -10,030, 0, -2, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഉദാഹരണമായി ഞങ്ങൾ 45, 506, 0, 900,321 സംഖ്യകൾ നൽകുന്നു.

മിക്കപ്പോഴും, "നോൺ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ", "നോൺ-നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ" എന്നീ പദങ്ങൾ സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, "ഒരു സംഖ്യ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, a എന്നത് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്" എന്ന വാക്യത്തിന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് "a എന്നത് നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത പൂർണ്ണസംഖ്യ" എന്ന് പറയാം.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് അളവുകളിലെ മാറ്റങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നു

എന്തുകൊണ്ടാണ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ആവശ്യമായി വരുന്നത് എന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കേണ്ട സമയമാണിത്.

പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം, അവയുടെ സഹായത്തോടെ ഏതെങ്കിലും വസ്തുക്കളുടെ അളവിലുള്ള മാറ്റങ്ങൾ വിവരിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് മനസ്സിലാക്കാം.

വെയർഹൗസിൽ ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ഭാഗങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ഉദാഹരണത്തിന്, 400 ഭാഗങ്ങൾ കൂടി വെയർഹൗസിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നാൽ, വെയർഹൗസിലെ ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിക്കും, കൂടാതെ 400 എന്ന സംഖ്യ ഈ അളവിലുള്ള മാറ്റം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. നല്ല വശം(വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന). ഉദാഹരണത്തിന്, വെയർഹൗസിൽ നിന്ന് 100 ഭാഗങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, വെയർഹൗസിലെ ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കുറയും, കൂടാതെ 100 എണ്ണം നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ (താഴേക്ക്) അളവിൽ മാറ്റം പ്രകടിപ്പിക്കും. ഭാഗങ്ങൾ വെയർഹൗസിലേക്ക് കൊണ്ടുവരില്ല, വെയർഹൗസിൽ നിന്ന് ഭാഗങ്ങൾ എടുക്കില്ല, തുടർന്ന് നമുക്ക് ഭാഗങ്ങളുടെ സ്ഥിരമായ അളവിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം (അതായത്, അളവിൽ പൂജ്യം മാറ്റത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം).

നൽകിയിരിക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിലെ മാറ്റം യഥാക്രമം 400, −100, 0 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാം. പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ 400 എന്നത് പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ (വർദ്ധന) അളവിൽ മാറ്റത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ −100 ഒരു നെഗറ്റീവ് ദിശയിൽ (കുറവ്) അളവിൽ മാറ്റം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. പൂർണ്ണസംഖ്യ 0 സൂചിപ്പിക്കുന്നത് അളവ് മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു എന്നാണ്.

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള സൗകര്യം, അളവ് കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി സൂചിപ്പിക്കേണ്ടതില്ല എന്നതാണ് - പൂർണ്ണസംഖ്യ മാറ്റത്തെ കണക്കാക്കുന്നു, കൂടാതെ പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ചിഹ്നം മാറ്റത്തിൻ്റെ ദിശയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് അളവിൽ മാറ്റം മാത്രമല്ല, ചില അളവിൽ മാറ്റവും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. താപനില മാറ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് മനസ്സിലാക്കാം.

4 ഡിഗ്രി താപനിലയിലെ വർദ്ധനവ് പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ 4 ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. താപനിലയിലെ കുറവ്, ഉദാഹരണത്തിന്, 12 ഡിഗ്രി കുറയുന്നത് നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ -12 കൊണ്ട് വിവരിക്കാം. താപനിലയുടെ മാറ്റമില്ല എന്നത് അതിൻ്റെ മാറ്റമാണ്, ഇത് പൂർണ്ണസംഖ്യ 0 കൊണ്ട് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

പ്രത്യേകമായി, കടത്തിൻ്റെ തുകയായി നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ വ്യാഖ്യാനത്തെക്കുറിച്ച് പറയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 3 ആപ്പിൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ 3 നമ്മുടെ ഉടമസ്ഥതയിലുള്ള ആപ്പിളുകളുടെ എണ്ണത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. മറുവശത്ത്, നമുക്ക് ആർക്കെങ്കിലും 5 ആപ്പിൾ നൽകേണ്ടിവരുന്നു, പക്ഷേ അവ സ്റ്റോക്കിൽ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഈ സാഹചര്യം നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ −5 ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമ്മൾ "സ്വന്തം" -5 ആപ്പിൾ, മൈനസ് ചിഹ്നം കടത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, നമ്പർ 5 കടം കണക്കാക്കുന്നു.

ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയെ കടമായി മനസ്സിലാക്കുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്, നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള നിയമത്തെ ന്യായീകരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. ഒരാൾ ഒരാൾക്ക് 2 ആപ്പിളും മറ്റൊരാൾക്ക് 1 ആപ്പിളും കടപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മൊത്തം കടം 2+1=3 ആപ്പിളാണ്, അതിനാൽ -2+(−1)=-3.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• വിലെൻകിൻ എൻ.യാ. ഗണിതശാസ്ത്രവും. ആറാം ക്ലാസ്: പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.

ആമയെക്കാൾ പത്തിരട്ടി വേഗത്തിലാണ് അക്കില്ലസ് ഓടുന്നത്, അതിന് ആയിരം ചുവടുകൾ പിന്നിലാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. ഈ ദൂരം ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ ഒരേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു. അക്കില്ലസ് നൂറ് ചുവടുകൾ ഓടുമ്പോൾ, ആമ മറ്റൊരു പത്ത് ചുവടുകൾ ഇഴയുന്നു, അങ്ങനെ. ഈ പ്രക്രിയ അനന്തമായി തുടരും, അക്കില്ലസ് ഒരിക്കലും ആമയെ പിടിക്കില്ല.

ഈ ന്യായവാദം എല്ലാ തുടർന്നുള്ള തലമുറകൾക്കും ഒരു ലോജിക്കൽ ഷോക്കായി മാറി. അരിസ്റ്റോട്ടിൽ, ഡയോജെനിസ്, കാന്ത്, ഹെഗൽ, ഹിൽബർട്ട്... ഇവരെല്ലാം ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ സെനോയുടെ അപ്പോറിയയെ പരിഗണിച്ചു. ഞെട്ടൽ വളരെ ശക്തമായിരുന്നു " ... ചർച്ചകൾ ഇന്നും തുടരുന്നു, വൈരുദ്ധ്യങ്ങളുടെ സാരാംശത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു അഭിപ്രായത്തിലേക്ക് വരാൻ ശാസ്ത്ര സമൂഹത്തിന് ഇതുവരെ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല ... ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനം, സജ്ജീകരണ സിദ്ധാന്തം, പുതിയ ഭൗതികവും ദാർശനികവുമായ സമീപനങ്ങൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പഠനത്തിൽ ഉൾപ്പെട്ടിരുന്നു. ; അവയൊന്നും പ്രശ്നത്തിന് പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട പരിഹാരമായില്ല..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". തങ്ങൾ വഞ്ചിക്കപ്പെടുകയാണെന്ന് എല്ലാവരും മനസ്സിലാക്കുന്നു, എന്നാൽ വഞ്ചന എന്താണ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്ന് ആർക്കും മനസ്സിലാകുന്നില്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ, സെനോ തൻ്റെ അപ്പോറിയയിൽ അളവിൽ നിന്ന് എന്നതിലേക്കുള്ള മാറ്റം വ്യക്തമായി പ്രകടമാക്കി. ഈ പരിവർത്തനം സ്ഥിരമായവയ്ക്ക് പകരം പ്രയോഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം, അളവിൻ്റെ വേരിയബിൾ യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഒന്നുകിൽ ഇതുവരെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് സെനോയുടെ അപ്പോറിയയിൽ പ്രയോഗിച്ചിട്ടില്ല. നമ്മുടെ സാധാരണ യുക്തി പ്രയോഗിക്കുന്നത് നമ്മെ ഒരു കെണിയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. നാം, ചിന്തയുടെ നിഷ്ക്രിയത്വം കാരണം, പരസ്പര മൂല്യത്തിന് സമയത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഒരു ഭൗതിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, അക്കില്ലസ് ആമയെ പിടിക്കുന്ന നിമിഷത്തിൽ ഇത് പൂർണ്ണമായും നിർത്തുന്നത് വരെ സമയം മന്ദഗതിയിലാണെന്ന് തോന്നുന്നു. സമയം നിലച്ചാൽ, അക്കില്ലസിന് ആമയെ മറികടക്കാൻ കഴിയില്ല.

നമ്മൾ നമ്മുടെ പതിവ് യുക്തിയിലേക്ക് തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാം ശരിയാകും. അക്കില്ലസ് സ്ഥിരമായ വേഗതയിൽ ഓടുന്നു. അവൻ്റെ പാതയുടെ തുടർന്നുള്ള ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി ചെറുതാണ്. അതനുസരിച്ച്, അതിനെ മറികടക്കാൻ ചെലവഴിച്ച സമയം മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ പത്തിരട്ടി കുറവാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്മൾ "അനന്തം" എന്ന ആശയം പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, "അക്കില്ലസ് ആമയെ അനന്തമായി വേഗത്തിൽ പിടിക്കും" എന്ന് പറയുന്നത് ശരിയായിരിക്കും.

ഈ ലോജിക്കൽ കെണി എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം? സമയത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ യൂണിറ്റുകളിൽ തുടരുക, പരസ്പര യൂണിറ്റുകളിലേക്ക് മാറരുത്. സെനോയുടെ ഭാഷയിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ആയിരം ചുവടുകൾ ഓടാൻ അക്കില്ലസ് എടുക്കുന്ന സമയത്ത്, ആമ അതേ ദിശയിൽ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ആദ്യത്തേതിന് തുല്യമായ അടുത്ത ഇടവേളയിൽ, അക്കില്ലസ് മറ്റൊരു ആയിരം പടികൾ ഓടും, ആമ നൂറ് ചുവടുകൾ ഇഴയുകയും ചെയ്യും. ഇപ്പോൾ ആമയെക്കാൾ എണ്ണൂറോളം പടി മുന്നിലാണ് അക്കില്ലസ്.

ഈ സമീപനം യുക്തിപരമായ വിരോധാഭാസങ്ങളില്ലാതെ യാഥാർത്ഥ്യത്തെ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ ഇത് പ്രശ്നത്തിന് പൂർണ്ണമായ പരിഹാരമല്ല. പ്രകാശവേഗത്തിൻ്റെ അപ്രതിരോധ്യതയെക്കുറിച്ചുള്ള ഐൻസ്റ്റീൻ്റെ പ്രസ്താവന സെനോയുടെ അപ്പോറിയ "അക്കില്ലസ് ആൻഡ് ആമ" യുമായി വളരെ സാമ്യമുള്ളതാണ്. ഈ പ്രശ്നം നമ്മൾ ഇനിയും പഠിക്കുകയും പുനർവിചിന്തനം ചെയ്യുകയും പരിഹരിക്കുകയും വേണം. പരിഹാരം തേടേണ്ടത് അനന്തമായ സംഖ്യകളിലല്ല, മറിച്ച് അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളിലാണ്.

സെനോയുടെ മറ്റൊരു രസകരമായ അപ്പോറിയ പറക്കുന്ന അമ്പടയാളത്തെക്കുറിച്ച് പറയുന്നു:

പറക്കുന്ന അസ്ത്രം ചലനരഹിതമാണ്, കാരണം ഓരോ നിമിഷവും അത് വിശ്രമത്തിലാണ്, എല്ലാ സമയത്തും അത് വിശ്രമിക്കുന്നതിനാൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും വിശ്രമത്തിലാണ്.

ഈ അപ്പോറിയയിൽ, ലോജിക്കൽ വിരോധാഭാസം വളരെ ലളിതമായി മറികടക്കുന്നു - ഓരോ നിമിഷവും ഒരു പറക്കുന്ന അമ്പടയാളം ബഹിരാകാശത്തിൻ്റെ വിവിധ പോയിൻ്റുകളിൽ നിശ്ചലമാണെന്ന് വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും, അത് യഥാർത്ഥത്തിൽ ചലനമാണ്. ഇവിടെ മറ്റൊരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. റോഡിലെ ഒരു കാറിൻ്റെ ഒരു ഫോട്ടോയിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ ചലനത്തിൻ്റെ വസ്തുതയോ അതിലേക്കുള്ള ദൂരമോ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാർ നീങ്ങുന്നുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഒരേ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സമയങ്ങളിൽ എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഒരു കാറിലേക്കുള്ള ദൂരം നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമയത്ത് ബഹിരാകാശത്തെ വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത രണ്ട് ഫോട്ടോഗ്രാഫുകൾ ആവശ്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ചലനത്തിൻ്റെ വസ്തുത നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല (തീർച്ചയായും, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അധിക ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്, ത്രികോണമിതി നിങ്ങളെ സഹായിക്കും. ). ഞാൻ ചൂണ്ടിക്കാണിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നത് പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ, സമയത്തിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും ബഹിരാകാശത്തിലെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകളും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ പാടില്ലാത്ത വ്യത്യസ്ത കാര്യങ്ങളാണ്, കാരണം അവ ഗവേഷണത്തിന് വ്യത്യസ്ത അവസരങ്ങൾ നൽകുന്നു.

2018 ജൂലൈ 4 ബുധനാഴ്ച

സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങൾ വിക്കിപീഡിയയിൽ നന്നായി വിവരിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമുക്ക് കാണാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്", എന്നാൽ ഒരു സെറ്റിൽ സമാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരം ഒരു സെറ്റിനെ "മൾട്ടിസെറ്റ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം അസംബന്ധ യുക്തികൾ യുക്തിസഹമായ ജീവികൾ ഒരിക്കലും മനസ്സിലാക്കുകയില്ല. "പൂർണ്ണമായി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന് ബുദ്ധിയില്ലാത്ത, സംസാരിക്കുന്ന തത്തകളുടെയും പരിശീലനം ലഭിച്ച കുരങ്ങുകളുടെയും നിലവാരമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ സാധാരണ പരിശീലകരായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അവരുടെ അസംബന്ധ ആശയങ്ങൾ നമ്മോട് പ്രസംഗിക്കുന്നു.

ഒരു കാലത്ത് പാലം പണിത എൻജിനീയർമാർ പാലത്തിൻ്റെ പരീക്ഷണ വേളയിൽ പാലത്തിനടിയിൽ ബോട്ടിലിരുന്നു. പാലം തകർന്നാൽ, സാധാരണക്കാരനായ എഞ്ചിനീയർ തൻ്റെ സൃഷ്ടിയുടെ അവശിഷ്ടങ്ങൾക്കടിയിൽ മരിച്ചു. പാലത്തിന് ഭാരം താങ്ങാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, കഴിവുള്ള എഞ്ചിനീയർ മറ്റ് പാലങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ "എന്നെ ശ്രദ്ധിക്കൂ, ഞാൻ വീട്ടിലാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം അമൂർത്തമായ ആശയങ്ങൾ പഠിക്കുന്നു" എന്ന വാക്യത്തിന് പിന്നിൽ എങ്ങനെ മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു എന്നത് പ്രശ്നമല്ല, അവയെ യാഥാർത്ഥ്യവുമായി അഭേദ്യമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പൊക്കിൾക്കൊടിയുണ്ട്. ഈ പൊക്കിൾക്കൊടി പണമാണ്. നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് തന്നെ പ്രയോഗിക്കാം.

ഞങ്ങൾ കണക്ക് നന്നായി പഠിച്ചു, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ശമ്പളം നൽകി ക്യാഷ് രജിസ്റ്ററിൽ ഇരിക്കുകയാണ്. അങ്ങനെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ തൻ്റെ പണത്തിനായി ഞങ്ങളുടെ അടുക്കൽ വരുന്നു. ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ തുകയും അവനു കണക്കാക്കി വ്യത്യസ്ത കൂമ്പാരങ്ങളിൽ ഞങ്ങളുടെ മേശപ്പുറത്ത് വയ്ക്കുക, അതിൽ ഞങ്ങൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിൻ്റെ ബില്ലുകൾ ഇടുന്നു. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഓരോ ചിതയിൽ നിന്നും ഒരു ബില്ല് എടുത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന് അവൻ്റെ "ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ശമ്പളം" നൽകുന്നു. സമാന മൂലകങ്ങളില്ലാത്ത ഒരു കൂട്ടം സമാന ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു ഗണത്തിന് തുല്യമല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്ന ബില്ലുകൾ അദ്ദേഹത്തിന് ലഭിക്കൂ എന്ന് നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനോട് വിശദീകരിക്കാം. ഇവിടെയാണ് വിനോദം ആരംഭിക്കുന്നത്.

ഒന്നാമതായി, ഡെപ്യൂട്ടിമാരുടെ യുക്തി പ്രവർത്തിക്കും: "ഇത് മറ്റുള്ളവർക്ക് ബാധകമാക്കാം, പക്ഷേ എനിക്കല്ല!" അപ്പോൾ ഒരേ വിഭാഗത്തിലുള്ള ബില്ലുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ബിൽ നമ്പറുകളുണ്ടെന്ന് അവർ ഉറപ്പുനൽകാൻ തുടങ്ങും, അതായത് അവ ഒരേ ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാനാവില്ല. ശരി, നമുക്ക് ശമ്പളം നാണയങ്ങളിൽ കണക്കാക്കാം - നാണയങ്ങളിൽ അക്കങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തെ ഭ്രാന്തമായി ഓർക്കാൻ തുടങ്ങും: വ്യത്യസ്ത നാണയങ്ങളിൽ ഉണ്ട് വ്യത്യസ്ത അളവുകൾഓരോ നാണയത്തിൻ്റെയും അഴുക്കും ക്രിസ്റ്റൽ ഘടനയും ആറ്റോമിക് ക്രമീകരണവും അദ്വിതീയമാണ്...

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉണ്ട് താൽപ്പര്യം ചോദിക്കുക: ഒരു മൾട്ടിസെറ്റിൻ്റെ മൂലകങ്ങൾ ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളായി മാറുന്നതിനും തിരിച്ചും എന്നതിനപ്പുറം രേഖ എവിടെയാണ്? അത്തരമൊരു വരി നിലവിലില്ല - എല്ലാം തീരുമാനിക്കുന്നത് ജമാന്മാരാണ്, ശാസ്ത്രം ഇവിടെ കള്ളം പറയാൻ പോലും അടുത്തില്ല.

ഇവിടെ നോക്കുക. ഒരേ ഫീൽഡ് ഏരിയ ഉള്ള ഫുട്ബോൾ സ്റ്റേഡിയങ്ങൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. വയലുകളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ് - അതായത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു മൾട്ടിസെറ്റ് ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഇതേ സ്റ്റേഡിയങ്ങളുടെ പേരുകൾ നോക്കിയാൽ നമുക്ക് പലതും ലഭിക്കും, കാരണം പേരുകൾ വ്യത്യസ്തമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരേ ഘടകങ്ങളുടെ കൂട്ടം ഒരു സെറ്റും മൾട്ടിസെറ്റും ആണ്. ഏതാണ് ശരി? ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-ഷാമൻ-ഷാർപിസ്റ്റ് തൻ്റെ സ്ലീവിൽ നിന്ന് ട്രംപിൻ്റെ ഒരു ഏസ് പുറത്തെടുത്ത് ഒരു സെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ മൾട്ടിസെറ്റിനെക്കുറിച്ചോ ഞങ്ങളോട് പറയാൻ തുടങ്ങുന്നു. എന്തായാലും താൻ പറഞ്ഞത് ശരിയാണെന്ന് അവൻ നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തും.

ആധുനിക ജമാന്മാർ സെറ്റ് തിയറിയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, അത് യാഥാർത്ഥ്യവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിയാൽ മതി: ഒരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ മറ്റൊരു സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? "ഒറ്റ മുഴുവനായി സങ്കൽപ്പിക്കാവുന്നത്" അല്ലെങ്കിൽ "ഒറ്റ മൊത്തമായി സങ്കൽപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല" എന്നൊന്നും കൂടാതെ ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് കാണിച്ചുതരാം.

2018 മാർച്ച് 18 ഞായർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ലാത്ത ഒരു തംബോറിനൊപ്പം ജമാന്മാരുടെ നൃത്തമാണ്. അതെ, ഗണിത പാഠങ്ങളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താനും അത് ഉപയോഗിക്കാനും നമ്മെ പഠിപ്പിക്കുന്നു, എന്നാൽ അതുകൊണ്ടാണ് അവർ ജമാന്മാർ, അവരുടെ പിൻഗാമികളെ അവരുടെ കഴിവുകളും ജ്ഞാനവും പഠിപ്പിക്കാൻ, അല്ലാത്തപക്ഷം ജമാന്മാർ മരിക്കും.

തെളിവ് വേണോ? വിക്കിപീഡിയ തുറന്ന് "ഒരു സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക" എന്ന പേജ് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അവൾ നിലവിലില്ല. ഏത് സംഖ്യയുടെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ ഗണിതത്തിൽ ഒരു ഫോർമുലയും ഇല്ല. എല്ലാത്തിനുമുപരി, അക്കങ്ങൾ ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങൾ, ഞങ്ങൾ അക്കങ്ങൾ എഴുതുന്ന സഹായത്തോടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര ഭാഷയിൽ ടാസ്‌ക് ഇതുപോലെയാണ്: "ഏത് സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക." ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ ജമാന്മാർക്ക് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യണമെന്നും എങ്ങനെ ചെയ്യുമെന്നും നമുക്ക് നോക്കാം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 12345 എന്ന നമ്പർ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. ഈ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? എല്ലാ ഘട്ടങ്ങളും ക്രമത്തിൽ പരിഗണിക്കാം.

1. ഒരു കടലാസിൽ നമ്പർ എഴുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് ചെയ്തത്? ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ നമ്പർ ചിഹ്നമാക്കി മാറ്റി. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

2. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഒരു ചിത്രം ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയ നിരവധി ചിത്രങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. ഒരു ചിത്രം മുറിക്കുന്നത് ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

3. വ്യക്തിഗത ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങളെ അക്കങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. ഇതൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രവർത്തനമല്ല.

4. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക. ഇപ്പോൾ ഇതാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം.

12345 എന്ന സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 15 ആണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഷാമൻമാർ പഠിപ്പിക്കുന്ന "കട്ടിംഗ് ആൻഡ് തയ്യൽ കോഴ്സുകൾ" ഇവയാണ്. എന്നാൽ അത് മാത്രമല്ല.

ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഏത് സംഖ്യ സിസ്റ്റത്തിലാണ് നമ്മൾ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. അതിനാൽ, ഇൻ വ്യത്യസ്ത സംവിധാനങ്ങൾകാൽക്കുലസിൽ, ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമായിരിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, നമ്പർ സിസ്റ്റം സംഖ്യയുടെ വലതുവശത്തുള്ള സബ്സ്ക്രിപ്റ്റായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 12345 എന്ന വലിയ സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച്, എൻ്റെ തലയെ കബളിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നില്ല, ലേഖനത്തിൽ നിന്നുള്ള നമ്പർ 26 പരിഗണിക്കാം. ഈ സംഖ്യ ബൈനറി, ഒക്ടൽ, ഡെസിമൽ, ഹെക്സാഡെസിമൽ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിൽ എഴുതാം. ഞങ്ങൾ ഒരു മൈക്രോസ്കോപ്പിന് കീഴിൽ ഓരോ ഘട്ടവും നോക്കില്ല; ഫലം നോക്കാം.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വ്യത്യസ്ത നമ്പർ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഒരേ സംഖ്യയുടെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ ഫലത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. നിങ്ങൾ ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം മീറ്ററിലും സെൻ്റിമീറ്ററിലും നിർണ്ണയിച്ചതിന് സമാനമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലങ്ങൾ ലഭിക്കും.

എല്ലാ സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങളിലും പൂജ്യം ഒരുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുമില്ല. എന്ന വസ്തുതയ്ക്ക് അനുകൂലമായ മറ്റൊരു വാദമാണിത്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കുള്ള ചോദ്യം: ഒരു സംഖ്യയല്ലാത്ത ഒന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എങ്ങനെയാണ് നിശ്ചയിക്കുന്നത്? എന്താണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അക്കങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നും നിലവിലില്ല? ജമാന്മാർക്ക് ഇത് അനുവദിക്കാം, പക്ഷേ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അനുവദിക്കില്ല. യാഥാർത്ഥ്യം അക്കങ്ങളിൽ മാത്രമല്ല.

സംഖ്യാ സംവിധാനങ്ങൾ സംഖ്യകൾ അളക്കുന്നതിനുള്ള യൂണിറ്റുകളാണെന്നതിൻ്റെ തെളിവായി ലഭിച്ച ഫലം കണക്കാക്കണം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, നമുക്ക് സംഖ്യകളെ വ്യത്യസ്ത അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റുകളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഒരേ അളവിലുള്ള വ്യത്യസ്ത അളവുകോലുകളുള്ള ഒരേ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങൾഅവയെ താരതമ്യം ചെയ്ത ശേഷം, അതിനർത്ഥം ഇതിന് ഗണിതവുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല എന്നാണ്.

എന്താണ് യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്രം? അപ്പോഴാണ് ഫലം ഗണിത പ്രവർത്തനംസംഖ്യയുടെ വലുപ്പം, ഉപയോഗിച്ച അളവിൻ്റെ യൂണിറ്റ്, ആരാണ് പ്രവർത്തനം നടത്തുന്നത് എന്നിവയെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.