ആശംസകൾ, പൂച്ചകൾ! കഴിഞ്ഞ തവണ ഞങ്ങൾ വേരുകൾ എന്താണെന്ന് വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്തു (നിങ്ങൾക്ക് ഓർമ്മയില്ലെങ്കിൽ, അത് വായിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു). ആ പാഠത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന കാര്യം: വേരുകൾക്ക് ഒരു സാർവത്രിക നിർവചനം മാത്രമേയുള്ളൂ, അതാണ് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടത്. ബാക്കിയുള്ളത് അസംബന്ധവും സമയം പാഴാക്കലും ആണ്.

ഇന്ന് നമ്മൾ കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നു. ഞങ്ങൾ വേരുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ പഠിക്കും, ഗുണനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചില പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പഠിക്കും (ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിച്ചില്ലെങ്കിൽ, അവ പരീക്ഷയിൽ മാരകമായേക്കാം) ഞങ്ങൾ ശരിയായി പരിശീലിക്കും. അതിനാൽ പോപ്‌കോൺ സംഭരിക്കുക, സുഖമായിരിക്കുക, നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം :)

നിങ്ങളും ഇതുവരെ പുകവലിച്ചിട്ടില്ല, അല്ലേ?

പാഠം വളരെ ദൈർഘ്യമേറിയതായി മാറി, അതിനാൽ ഞാൻ അതിനെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചു:

1. ആദ്യം നമ്മൾ ഗുണനത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ നോക്കും. തൊപ്പി സൂചന നൽകുന്നതായി തോന്നുന്നു: ഇത് രണ്ട് വേരുകൾ ഉള്ളപ്പോഴാണ്, അവയ്ക്കിടയിൽ ഒരു "ഗുണനം" അടയാളം ഉണ്ട് - ഞങ്ങൾ അത് ഉപയോഗിച്ച് എന്തെങ്കിലും ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
2. അപ്പോൾ നമുക്ക് വിപരീത സാഹചര്യം നോക്കാം: ഒരു വലിയ റൂട്ട് ഉണ്ട്, എന്നാൽ രണ്ട് ലളിതമായ വേരുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി അതിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉത്സുകരാണ്. എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണ്, ഒരു പ്രത്യേക ചോദ്യം. ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം മാത്രം വിശകലനം ചെയ്യും.

രണ്ടാം ഭാഗത്തിലേക്ക് ഉടൻ നീങ്ങാൻ കാത്തിരിക്കാൻ കഴിയാത്തവർക്ക്, നിങ്ങൾക്ക് സ്വാഗതം. ബാക്കിയുള്ളവ ക്രമത്തിൽ തുടങ്ങാം.

ഗുണനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിയമം

ഏറ്റവും ലളിതമായ കാര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം - ക്ലാസിക് സ്ക്വയർ റൂട്ടുകൾ. $\sqrt(a)$, $\sqrt(b)$ എന്നിവ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്ന അതേവ. എല്ലാം അവർക്ക് വ്യക്തമാണ്:

ഗുണന നിയമം. ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിനെ മറ്റൊന്നുകൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അവയുടെ സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഗുണിച്ച് സാധാരണ റാഡിക്കലിന് കീഴിൽ ഫലം എഴുതുക:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

വലത് അല്ലെങ്കിൽ ഇടതുവശത്തുള്ള അക്കങ്ങളിൽ അധിക നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നും ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല: റൂട്ട് ഘടകങ്ങൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, ഉൽപ്പന്നവും നിലവിലുണ്ട്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഒരേസമയം അക്കങ്ങളുള്ള നാല് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ നിയമത്തിൻ്റെ പ്രധാന അർത്ഥം യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ലളിതമാക്കുക എന്നതാണ്. ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ നമ്മൾ തന്നെ പുതിയ നിയമങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ 25-ൻ്റെയും 4-ൻ്റെയും വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുത്താൽ, കാര്യങ്ങൾ കഠിനമാകും: $\sqrt(32)$, $\sqrt(2)$ എന്നിവ സ്വയം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നില്ല, പക്ഷേ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരു തികഞ്ഞ ചതുരമായി മാറുന്നു, അതിനാൽ അതിൻ്റെ റൂട്ട് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അവസാന വരി ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അവിടെ, രണ്ട് സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങളും ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്. ഉൽപ്പന്നത്തിന് നന്ദി, പല ഘടകങ്ങളും റദ്ദാക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ മുഴുവൻ പദപ്രയോഗവും മതിയായ സംഖ്യയായി മാറുന്നു.

തീർച്ചയായും, കാര്യങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അത്ര മനോഹരമായിരിക്കില്ല. ചിലപ്പോൾ വേരുകൾക്ക് കീഴിൽ പൂർണ്ണമായ ക്രാപ്പ് ഉണ്ടാകും - ഇത് എന്തുചെയ്യണമെന്നും ഗുണിച്ചതിനുശേഷം എങ്ങനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താമെന്നും വ്യക്തമല്ല. കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ്, നിങ്ങൾ യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുമ്പോൾ, എല്ലാത്തരം വേരിയബിളുകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഉണ്ടാകും. കൂടാതെ, പലപ്പോഴും, പ്രശ്നമുള്ള എഴുത്തുകാർ ചില റദ്ദാക്കൽ നിബന്ധനകളോ ഘടകങ്ങളോ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, അതിനുശേഷം പ്രശ്നം പലതവണ ലഘൂകരിക്കപ്പെടും.

കൂടാതെ, കൃത്യമായി രണ്ട് വേരുകൾ ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഒരേസമയം മൂന്നോ നാലോ പത്തോ ഗുണിക്കാം! ഇത് ചട്ടം മാറ്റില്ല. ഒന്നു നോക്കൂ:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

പിന്നെയും ചെറിയ കുറിപ്പ്രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം അനുസരിച്ച്. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള മൂന്നാമത്തെ ഘടകത്തിൽ ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട് - കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ പ്രക്രിയയിൽ ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു സാധാരണ ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം എല്ലാം എളുപ്പത്തിൽ കുറയുന്നു. അതിനാൽ: ഏതെങ്കിലും യുക്തിരഹിതമായ പദപ്രയോഗങ്ങളിലെ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു (അതായത്, കുറഞ്ഞത് ഒരു റാഡിക്കൽ ചിഹ്നമെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു). ഇത് ഭാവിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ധാരാളം സമയവും ഞരമ്പുകളും ലാഭിക്കും.

എന്നാൽ ഇത് ഒരു ഗാനരചയിതാവ് ആയിരുന്നു. ഇനി നമുക്ക് കൂടുതൽ നോക്കാം പൊതുവായ കേസ്- റൂട്ട് ഇൻഡിക്കേറ്റർ ആയിരിക്കുമ്പോൾ അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർ$n$, "ക്ലാസിക്" രണ്ട് മാത്രമല്ല.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സൂചകത്തിൻ്റെ കേസ്

അതിനാൽ, കൂടെ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾകണ്ടെത്തി. ക്യൂബിക് ഉള്ളവയുമായി എന്തുചെയ്യണം? അല്ലെങ്കിൽ അനിയന്ത്രിതമായ ബിരുദം $n$ വേരോടെ ആണെങ്കിലും? അതെ, എല്ലാം ഒന്നുതന്നെയാണ്. നിയമം അതേപടി തുടരുന്നു:

ഡിഗ്രി $n$ ൻ്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിന്, അവയുടെ സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഗുണിച്ചാൽ മതി, തുടർന്ന് ഒരു റാഡിക്കലിന് കീഴിൽ ഫലം എഴുതുക.

പൊതുവേ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് കൂടുതലായിരിക്കാം എന്നതൊഴിച്ചാൽ. നമുക്ക് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണങ്ങൾ. ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 )) ))=\sqrt((\ഇടത്(\frac(4)(25) \വലത്))^(3))=\frac(4)(25). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

വീണ്ടും, രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ശ്രദ്ധ. നാം പെരുകുന്നു ക്യൂബ് വേരുകൾ, മുക്തിപ്രാപിക്കുക ദശാംശംഅതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 625, 25 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ലഭിക്കും വലിയ സംഖ്യ- വ്യക്തിപരമായി, എനിക്ക് ബാറ്റിൽ നിന്ന് തുല്യമായത് കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല.

അതിനാൽ, ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലും ഞങ്ങൾ കൃത്യമായ ക്യൂബിനെ വേർതിരിച്ചു, തുടർന്ന് $n$th റൂട്ടിൻ്റെ പ്രധാന ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്ന് (അല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ താൽപ്പര്യപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, നിർവചനം) ഉപയോഗിച്ചു:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1))=a; \\ & \sqrt(((എ)^(2n)))=\ഇടത്| ഒരു\വലത്|. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത്തരം "തന്ത്രങ്ങൾ" നിങ്ങൾക്ക് പരീക്ഷയിൽ ധാരാളം സമയം ലാഭിക്കും ടെസ്റ്റ് വർക്ക്, അതിനാൽ ഓർക്കുക:

റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്. ആദ്യം, പരിശോധിക്കുക: ഏതെങ്കിലും പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ കൃത്യമായ അളവ് അവിടെ "എൻക്രിപ്റ്റ്" ആണെങ്കിലോ?

ഈ പരാമർശത്തിൻ്റെ വ്യക്തത ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, തയ്യാറാകാത്ത മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികളും പോയിൻ്റ്-ബ്ലാങ്ക് റേഞ്ചിൽ കൃത്യമായ ഡിഗ്രികൾ കാണുന്നില്ലെന്ന് ഞാൻ സമ്മതിക്കണം. പകരം, അവർ എല്ലാം പൂർണ്ണമായി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ആശ്ചര്യപ്പെടുന്നു: എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർക്ക് അത്തരം ക്രൂരമായ സംഖ്യകൾ ലഭിച്ചത്?

എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ ഇപ്പോൾ പഠിക്കുന്ന കാര്യങ്ങളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഇതെല്ലാം ബേബി ടോക്ക് ആണ്.

വ്യത്യസ്‌ത എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള വേരുകളെ ഗുണിക്കുക

ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരേ സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വേരുകൾ ഗുണിക്കാം. സൂചകങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യും? നമുക്ക് പറയാം, ഒരു സാധാരണ $\sqrt(2)$-നെ $\sqrt(23)$ പോലെയുള്ള ചില വിഡ്ഢികൾ കൊണ്ട് എങ്ങനെ ഗുണിക്കാം? ഇത് ചെയ്യാൻ പോലും സാധ്യമാണോ?

അതെ തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും. ഈ ഫോർമുല അനുസരിച്ചാണ് എല്ലാം ചെയ്യുന്നത്:

വേരുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം. $\sqrt[n](a)$ നെ $\sqrt[p](b)$ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന പരിവർത്തനം നടത്തിയാൽ മതി:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫോർമുല എങ്കിൽ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ നെഗറ്റീവ് അല്ല. ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു കുറിപ്പാണ്, ഞങ്ങൾ കുറച്ച് കഴിഞ്ഞ് മടങ്ങും.

ഇപ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3))=\sqrt(81 \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത ആവശ്യകത എവിടെ നിന്നാണ് വന്നതെന്നും അത് ലംഘിച്ചാൽ എന്ത് സംഭവിക്കുമെന്നും ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

എന്തുകൊണ്ടാണ് സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്തത്?

തീർച്ചയായും നിങ്ങൾക്ക് അങ്ങനെയാകാം സ്കൂൾ അധ്യാപകർകൂടാതെ പാഠപുസ്തകം സമർത്ഥമായി ഉദ്ധരിക്കുക:

നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റിയുടെ ആവശ്യകത ഇരട്ട, ഒറ്റ ഡിഗ്രികളുടെ വേരുകളുടെ വ്യത്യസ്ത നിർവചനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (അതനുസരിച്ച്, അവയുടെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നുകളും വ്യത്യസ്തമാണ്).

ശരി, അത് കൂടുതൽ വ്യക്തമായിട്ടുണ്ടോ? വ്യക്തിപരമായി, എട്ടാം ക്ലാസിൽ ഈ വിഡ്ഢിത്തം വായിച്ചപ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്നതുപോലുള്ള ഒന്ന് ഞാൻ മനസ്സിലാക്കി: "നോൺ-നെഗറ്റിവിറ്റിയുടെ ആവശ്യകത *#&^@(*#@^#)~% എന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു" - ചുരുക്കത്തിൽ, ഞാൻ ചെയ്തില്ല ആ സമയത്ത് ഒരു കുഴപ്പവും മനസ്സിലായില്ല.

അതിനാൽ ഇപ്പോൾ ഞാൻ എല്ലാം സാധാരണ രീതിയിൽ വിശദീകരിക്കും.

ആദ്യം, മുകളിലുള്ള ഗുണന സൂത്രവാക്യം എവിടെ നിന്നാണ് വരുന്നതെന്ന് നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, റൂട്ടിൻ്റെ ഒരു പ്രധാന സ്വത്ത് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സമൂലമായ പദപ്രയോഗം നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ ഉയർത്താം സ്വാഭാവിക ബിരുദം$k$ - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, റൂട്ട് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് അതേ ശക്തിയാൽ ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഏത് വേരുകളും ഒരു പൊതു ഘാതത്തിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കുറയ്ക്കാം, തുടർന്ന് അവയെ ഗുണിക്കുക. ഇവിടെ നിന്നാണ് ഗുണന സൂത്രവാക്യം വരുന്നത്:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((എ)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

എന്നാൽ ഈ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ഉപയോഗം കുത്തനെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പ്രശ്നമുണ്ട്. ഈ നമ്പർ പരിഗണിക്കുക:

ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ഏത് ബിരുദവും ചേർക്കാം. $k=2$ ചേർക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

\[\sqrt(-5)=\sqrt((\ഇടത്(-5 \വലത്))^(2))=\sqrt(((5)^(2)))\]

ചതുരം മൈനസിനെ കത്തിക്കുന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾ മൈനസ് നീക്കംചെയ്തു (മറ്റേതൊരു ഇരട്ട ഡിഗ്രി പോലെ). ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വിപരീത പരിവർത്തനം നടത്താം: എക്‌സ്‌പോണൻ്റിലും ശക്തിയിലും രണ്ടെണ്ണം "കുറയ്ക്കുക". എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഏത് സമത്വവും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും വലത്തുനിന്ന് ഇടത്തോട്ടും വായിക്കാൻ കഴിയും:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt((((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k))=\sqrt[n ](എ); \\ & \sqrt(((എ)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്നാൽ പിന്നീട് അത് ഒരുതരം വിഡ്ഢിത്തമായി മാറുന്നു:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

ഇത് സംഭവിക്കില്ല, കാരണം $\sqrt(-5) \lt 0$, $\sqrt(5) \gt 0$. ശക്തികൾക്കും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾക്കും നമ്മുടെ ഫോർമുല ഇനി പ്രവർത്തിക്കില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്:

1. ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു മണ്ടൻ ശാസ്ത്രമാണെന്ന് ചുവരിൽ തട്ടി പ്രസ്താവിക്കുക, അവിടെ "ചില നിയമങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ ഇവ കൃത്യതയില്ലാത്തതാണ്";
2. ഫോർമുല 100% പ്രവർത്തനക്ഷമമാകുന്ന അധിക നിയന്ത്രണങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുക.

ആദ്യ ഓപ്ഷനിൽ, ഞങ്ങൾ നിരന്തരം "ജോലി ചെയ്യാത്ത" കേസുകൾ പിടിക്കേണ്ടതുണ്ട് - ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും സമയമെടുക്കുന്നതും പൊതുവെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണ്. അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുത്തു.

എന്നാൽ വിഷമിക്കേണ്ട! പ്രായോഗികമായി, ഈ പരിമിതി കണക്കുകൂട്ടലുകളെ ഒരു തരത്തിലും ബാധിക്കില്ല, കാരണം വിവരിച്ച എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും വിചിത്രമായ ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകളെ മാത്രം ബാധിക്കുന്നു, അവയിൽ നിന്ന് മൈനസുകൾ എടുക്കാം.

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു നിയമം കൂടി രൂപപ്പെടുത്താം, ഇത് സാധാരണയായി വേരുകളുള്ള എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്:

വേരുകൾ ഗുണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.

ഉദാഹരണം. $\sqrt(-5)$ എന്ന നമ്പറിൽ നിങ്ങൾക്ക് റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് താഴെയുള്ള മൈനസ് നീക്കംചെയ്യാം - അപ്പോൾ എല്ലാം സാധാരണമായിരിക്കും:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യാസം തോന്നുന്നുണ്ടോ? നിങ്ങൾ റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു മൈനസ് വിട്ടാൽ, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ സ്ക്വയർ ചെയ്യുമ്പോൾ, അത് അപ്രത്യക്ഷമാകും, കൂടാതെ ക്രാപ്പ് ആരംഭിക്കും. നിങ്ങൾ ആദ്യം മൈനസ് എടുത്താൽ, മുഖത്ത് നീല നിറമാകുന്നത് വരെ നിങ്ങൾക്ക് ചതുരാകൃതിയിലാക്കാം/നീക്കം ചെയ്യാം - നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആയി തുടരും.

അതിനാൽ, ഏറ്റവും ശരിയായതും ഏറ്റവും കൂടുതൽ വിശ്വസനീയമായ വഴിവേരുകൾ ഗുണിക്കുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്:

1. റാഡിക്കലുകളിൽ നിന്ന് എല്ലാ നെഗറ്റീവുകളും നീക്കം ചെയ്യുക. വിചിത്രമായ ഗുണിതത്തിൻ്റെ വേരുകളിൽ മാത്രമേ മൈനസുകൾ നിലനിൽക്കൂ - അവ റൂട്ടിന് മുന്നിൽ സ്ഥാപിക്കുകയും ആവശ്യമെങ്കിൽ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം (ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ മൈനസുകളിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടെങ്കിൽ).
2. ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ഗുണനം നടത്തുക. വേരുകളുടെ സൂചകങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഗുണിക്കുന്നു. അവ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ദുഷിച്ച ഫോർമുല \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. ഫലവും നല്ല ഗ്രേഡുകളും ആസ്വദിക്കൂ. :)

നന്നായി? നമുക്ക് പരിശീലിച്ചാലോ?

ഉദാഹരണം 1: പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഇതാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ ഓപ്ഷൻ: വേരുകൾ സമാനവും വിചിത്രവുമാണ്, രണ്ടാമത്തെ ഘടകം നെഗറ്റീവ് ആണ് എന്നതാണ് ഒരേയൊരു പ്രശ്നം. ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് ഈ മൈനസ് ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അതിനുശേഷം എല്ലാം എളുപ്പത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടും.

ഉദാഹരണം 2: പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt((\ഇടത്((2)^(5)) \വലത്))^(3))\cdot ((\ഇടത്((2)^(2)) \വലത്))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \ അവസാനം( വിന്യസിക്കുക)\]

ഇവിടെ, ഔട്ട്‌പുട്ട് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയായി മാറിയതിനാൽ പലരും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകും. അതെ, ഇത് സംഭവിക്കുന്നു: ഞങ്ങൾക്ക് റൂട്ട് പൂർണ്ണമായും ഒഴിവാക്കാനായില്ല, പക്ഷേ കുറഞ്ഞത് ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കി.

ഉദാഹരണം 3: പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\ഇടത്((((\)) a)^(4)) \right))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((എ)^(27))=\sqrt(((എ)^(3\cdot 9))=\sqrt((((എ)^(3))) \end(align)\]

ഈ ടാസ്ക്കിലേക്ക് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇവിടെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്:

1. റൂട്ട് ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയോ ശക്തിയോ അല്ല, വേരിയബിൾ $a$ ആണ്. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഇത് അൽപ്പം അസാധാരണമാണ്, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ മിക്കപ്പോഴും വേരിയബിളുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.
2. അവസാനം, റാഡിക്കൽ സൂചകവും റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനിലെ ബിരുദവും "കുറയ്ക്കാൻ" ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു. ഇത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കാറുണ്ട്. നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചില്ലെങ്കിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഗണ്യമായി ലഘൂകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((\ഇടത്(((എ))^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt((((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((എ)^(9)))=\sqrt(((എ)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((എ)^(3))) \ \\അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

വാസ്തവത്തിൽ, എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും രണ്ടാമത്തെ റാഡിക്കലുമായി മാത്രമാണ് നടത്തിയത്. നിങ്ങൾ എല്ലാ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഘട്ടങ്ങളും വിശദമായി വിവരിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അവസാനം കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ അളവ് ഗണ്യമായി കുറയും.

വാസ്തവത്തിൽ, ഞങ്ങൾ $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ ഉദാഹരണം പരിഹരിച്ചപ്പോൾ സമാനമായ ഒരു ടാസ്ക്ക് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നേരിട്ടിട്ടുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഇത് വളരെ ലളിതമായി എഴുതാം:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt((( (\ഇടത്(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt((\ഇടത്(75 \വലത്))^(2))) =\sqrt(75). \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ശരി, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ ഗുണനം ക്രമീകരിച്ചു. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് റിവേഴ്സ് ഓപ്പറേഷൻ പരിഗണിക്കാം: റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു ഉൽപ്പന്നം ഉണ്ടാകുമ്പോൾ എന്തുചെയ്യണം?

ഒരു സംഖ്യയുടെ ക്വാഡ്രൻ്റ് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നത് ഈ ഗണിത പ്രതിഭാസം ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഒരേയൊരു പ്രവർത്തനമല്ല. സാധാരണ സംഖ്യകൾ പോലെ, വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

Yandex.RTB R-A-339285-1

വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ കൂട്ടുന്നതിനും കുറയ്ക്കുന്നതിനുമുള്ള നിയമങ്ങൾ

വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും പോലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഒന്നുതന്നെയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ.

ഉദാഹരണം 1

നിങ്ങൾക്ക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ 2 3 ചേർക്കാനോ കുറയ്ക്കാനോ കഴിയും കൂടാതെ 6 3, പക്ഷേ 5 6 അല്ല ഒപ്പം 9 4. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാനും അതേ സമൂലമായി അതിനെ വേരുകളിലേക്ക് ചുരുക്കാനും കഴിയുമെങ്കിൽ, ലളിതമാക്കുക, തുടർന്ന് കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുക.

വേരുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ: അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങൾ

6 50 - 2 8 + 5 12

പ്രവർത്തന അൽഗോരിതം:

1. റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ലളിതമാക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ 2 ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിലൊന്ന് ഒരു ചതുര സംഖ്യയാണ് (മുഴുവൻ സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്ത സംഖ്യ, ഉദാഹരണത്തിന്, 25 അല്ലെങ്കിൽ 9).
2. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വർഗ്ഗ സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പായി ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം എഴുതുക. റൂട്ടിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണ് രണ്ടാമത്തെ ഘടകം നൽകിയിരിക്കുന്നത് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.
3. ലളിതവൽക്കരണ പ്രക്രിയയ്ക്ക് ശേഷം, ഒരേ സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങളുള്ള വേരുകൾ ഊന്നിപ്പറയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - അവ കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും മാത്രമേ കഴിയൂ.
4. ഒരേ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകളുള്ള വേരുകൾക്ക്, റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് മുമ്പ് ദൃശ്യമാകുന്ന ഘടകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് റാഡിക്കൽ നമ്പറുകൾ ചേർക്കാനോ കുറയ്ക്കാനോ കഴിയില്ല!

നുറുങ്ങ് 1

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം ഉണ്ടെങ്കിൽ വലിയ തുകസമാനമായ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ, തുടർന്ന് കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ സുഗമമാക്കുന്നതിന് ഒറ്റ, ഇരട്ട, ട്രിപ്പിൾ ലൈനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അത്തരം പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് അടിവരയിടുക.

ഉദാഹരണം 3

ഈ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. ആദ്യം നിങ്ങൾ 50 നെ 25 ഉം 2 ഉം ആയി വിഘടിപ്പിക്കണം, തുടർന്ന് 25 ൻ്റെ റൂട്ട് എടുക്കുക, അത് 5 ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ റൂട്ടിന് താഴെ നിന്ന് 5 എടുക്കുക. അതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ 5-നെ 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് 30 2 നേടേണ്ടതുണ്ട്.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. ആദ്യം നിങ്ങൾ 8-നെ 2 ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: 4 ഉം 2 ഉം. തുടർന്ന് 4-ൽ നിന്ന് റൂട്ട് എടുക്കുക, അത് 2-ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ റൂട്ടിന് താഴെ നിന്ന് 2 എടുക്കുക. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ 2 കൊണ്ട് 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് (റൂട്ടിലെ ഘടകം) 4 2 നേടുക.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. ആദ്യം നിങ്ങൾ 2 ഘടകങ്ങളായി 12 വിഘടിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: 4 ഉം 3 ഉം. തുടർന്ന് 4 ൻ്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക, അത് 2 ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ റൂട്ടിന് കീഴിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്യുക. ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾ 2 കൊണ്ട് 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് (റൂട്ടിലെ ഘടകം) 10 3 നേടുക.

ലളിതവൽക്കരണ ഫലം: 30 2 - 4 2 + 10 3

30 2 - 4 2 + 10 3 = (30 - 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

തൽഫലമായി, എത്ര സമാനമായ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടു ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ. ഇനി നമുക്ക് മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശീലിക്കാം.

ഉദാഹരണം 4

• നമുക്ക് ലളിതമാക്കാം (45). ഘടകം 45: (45) = (9 × 5) ;
• ഞങ്ങൾ റൂട്ടിന് കീഴിൽ നിന്ന് 3 എടുക്കുന്നു (9 = 3): 45 = 3 5;
• വേരുകളിൽ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക: 3 5 + 4 5 = 7 5.

ഉദാഹരണം 5

6 40 - 3 10 + 5:

• നമുക്ക് 6 40 ലളിതമാക്കാം. ഞങ്ങൾ ഘടകം 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• ഞങ്ങൾ റൂട്ടിന് കീഴിൽ നിന്ന് 2 എടുക്കുന്നു (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• റൂട്ടിന് മുന്നിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന ഘടകങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു: 12 10 ;
• ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം ഒരു ലളിതമായ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• ആദ്യത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾക്കും ഒരേ റാഡിക്കൽ സംഖ്യകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് അവ കുറയ്ക്കാം: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

ഉദാഹരണം 6

നമുക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, റാഡിക്കൽ സംഖ്യകൾ ലളിതമാക്കുന്നത് സാധ്യമല്ല, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണത്തിൽ സമാന റാഡിക്കൽ സംഖ്യകളുള്ള പദങ്ങൾക്കായി നോക്കുന്നു, ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ (ചേർക്കുക, കുറയ്ക്കുക മുതലായവ) നടത്തി ഫലം എഴുതുക:

(9 - 4) 5 - 2 3 = 5 5 - 2 3 .

ഉപദേശം:

• കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനോ കുറയ്ക്കുന്നതിനോ മുമ്പ്, സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ (സാധ്യമെങ്കിൽ) ലളിതമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
• വ്യത്യസ്ത സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങളുള്ള വേരുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതും കുറയ്ക്കുന്നതും കർശനമായി നിരോധിച്ചിരിക്കുന്നു.
• നിങ്ങൾ ഒരു പൂർണ്ണ സംഖ്യയോ റൂട്ടോ ചേർക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യരുത്: 3 + (2 x) 1/2 .
• ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഓരോ ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന ഒരു സംഖ്യ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുക പൊതു വിഭജനം, തുടർന്ന് ന്യൂമറേറ്ററുകൾ ചേർത്ത് ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ മാറ്റമില്ലാതെ വിടുക.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നത് ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നുവെന്നും സംഭരിക്കുന്നുവെന്നും വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ രീതികൾ അവലോകനം ചെയ്‌ത് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കാനിടയുള്ള വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിൻ്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ടെലിഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവൻ്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും ആശയവിനിമയങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പിലോ മത്സരത്തിലോ സമാനമായ പ്രമോഷനിലോ പങ്കെടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, ഇൻ വിചാരണ, കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷനിലെ സർക്കാർ ഏജൻസികളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളോ അഭ്യർത്ഥനകളോ അടിസ്ഥാനമാക്കി - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുക. സുരക്ഷ, നിയമപാലനം അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതു പ്രാധാന്യമുള്ള ആവശ്യങ്ങൾക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ സംഭവിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ ബാധകമായ പിൻഗാമിക്ക് മൂന്നാം കക്ഷിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെടൽ, മോഷണം, ദുരുപയോഗം എന്നിവയിൽ നിന്നും അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം വരുത്തൽ, നശിപ്പിക്കൽ എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ മുൻകരുതലുകൾ എടുക്കുന്നു - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെ.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതയെ മാനിക്കുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ മാനദണ്ഡങ്ങളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്ന് റൂട്ട് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പ മാർഗം ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ആണ്. പക്ഷേ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലെങ്കിൽ, സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. റൂട്ടിന് കീഴിൽ ഒരു ചതുര സംഖ്യയുണ്ട് എന്നതാണ് വസ്തുത. ഉദാഹരണത്തിന്, 4 സ്ക്വയർ 16 ആണ്. അതായത്, 16 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം നാലിന് തുല്യമായിരിക്കും. കൂടാതെ, 5 ചതുരം 25 ആണ്. അതിനാൽ, 25 ൻ്റെ റൂട്ട് 5 ആയിരിക്കും.

സംഖ്യ ചെറുതാണെങ്കിൽ, അത് വാക്കാൽ എളുപ്പത്തിൽ കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, 25 ൻ്റെ റൂട്ട് 5 നും 144-12 ൻ്റെ റൂട്ടും തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക റൂട്ട് ഐക്കൺ ഉണ്ട് കാൽക്കുലേറ്ററിൽ നിങ്ങൾ നമ്പർ നൽകി ഐക്കണിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക;

സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളുടെ ഒരു പട്ടികയും സഹായിക്കും:

കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണവും എന്നാൽ വളരെ ഫലപ്രദവുമായ രീതികളും ഉണ്ട്:

ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഏത് സംഖ്യയുടെയും റൂട്ട് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും, പ്രത്യേകിച്ചും അവ ഇന്ന് എല്ലാ ഫോണുകളിലും ലഭ്യമാണ്.

ഒരു സംഖ്യ സ്വയം ഗുണിച്ച് തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യ എങ്ങനെ മാറുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഏകദേശം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.



ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, പ്രത്യേകിച്ചും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പട്ടിക ഉണ്ടെങ്കിൽ. ബീജഗണിത പാഠങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു പട്ടിക. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു. സ്‌മാർട്ട്‌ഫോണുകളിലെ മിക്കവാറും എല്ലാ കാൽക്കുലേറ്ററുകൾക്കും സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്.



അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലം മറ്റൊരു സംഖ്യയായിരിക്കും, അത് രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് (ചതുരം) ഉയർത്തുമ്പോൾ, നമുക്ക് അറിയാവുന്ന അതേ സംഖ്യ നൽകും. ഹ്രസ്വവും വ്യക്തവുമായി തോന്നുന്ന കണക്കുകൂട്ടൽ വിവരണങ്ങളിലൊന്ന് നോക്കാം:







വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വീഡിയോ ഇതാ:

ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

ഒരു പ്രത്യേക റൂട്ട് ടേബിൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ മാർഗം (ചുവടെ കാണുക).

കൂടാതെ, ഓരോ കാൽക്കുലേറ്ററിനും നിങ്ങൾക്ക് റൂട്ട് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്.

അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രത്യേക ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്.



ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. അവയിലൊന്ന് കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഏറ്റവും വേഗതയേറിയതാണ്.

എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സ്വമേധയാ ചെയ്യാൻ കഴിയും.

ഫലം കൃത്യമായിരിക്കും.

ഒരു കോളം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതിന് തുല്യമാണ് തത്വം:



















ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലാതെ ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 190969.







അതിനാൽ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ, പ്രധാന കാര്യം ചില കാര്യങ്ങൾ പാലിക്കുക എന്നതാണ് ലളിതമായ നിയമങ്ങൾയുക്തിപരമായി ചിന്തിക്കുകയും ചെയ്യുക.

ഇതിനായി നിങ്ങൾക്ക് സ്ക്വയറുകളുടെ ഒരു ടേബിൾ ആവശ്യമാണ്



ഉദാഹരണത്തിന്, 100 = 10 ൻ്റെ റൂട്ട്, 20 = 400 / 43 = 1849

ഇപ്പോൾ സ്മാർട്ട്ഫോണുകളിലേത് ഉൾപ്പെടെ മിക്കവാറും എല്ലാ കാൽക്കുലേറ്ററുകൾക്കും ഒരു സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കാൻ കഴിയും. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഇല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി ലളിതമായ വഴികളിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും:

വിഘടിപ്പിക്കൽ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ



റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ ചതുര സംഖ്യകളായ ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക. റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ ആശ്രയിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഏകദേശ അല്ലെങ്കിൽ കൃത്യമായ ഉത്തരം ലഭിക്കും. സമ്പൂർണ്ണ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന സംഖ്യകളാണ് സ്ക്വയർ നമ്പറുകൾ. ഗുണിക്കുമ്പോൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യ നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, 8 എന്ന സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ 2 ഉം 4 ഉം ആണ്, 2 x 4 = 8 ആയതിനാൽ, 25, 36, 49 സംഖ്യകൾ ചതുര സംഖ്യകളാണ്, 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. ചതുര ഘടകങ്ങൾ ചതുര സംഖ്യകളാണ്. ആദ്യം, റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ ചതുര ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, 400 ൻ്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കുക (കൈകൊണ്ട്). ആദ്യം 400 ചതുര ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കുക. 400 എന്നത് 100 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ്, അതായത് 25 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് ഒരു ചതുര സംഖ്യയാണ്. 400 നെ 25 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് 16 ലഭിക്കും, അതും ഒരു വർഗ്ഗ സംഖ്യയാണ്. അങ്ങനെ, 400-നെ 25 ൻ്റെയും 16-ൻ്റെയും ചതുര ഘടകങ്ങളായി കണക്കാക്കാം, അതായത് 25 x 16 = 400.

ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതുക: 400 = (25 x 16).



ചില പദങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം ഓരോ പദത്തിൻ്റെയും വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് (a x b) = a x b. ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, ഓരോ സ്ക്വയർ ഫാക്ടറിൻ്റെയും വർഗ്ഗമൂലമെടുത്ത് ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഫലങ്ങൾ ഗുണിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, 25, 16 എന്നിവയുടെ റൂട്ട് എടുക്കുക.



റാഡിക്കൽ നമ്പർ രണ്ടായി വിഘടിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ചതുര ഘടകം(ഇത് മിക്ക കേസുകളിലും സംഭവിക്കുന്നു), നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ കൃത്യമായ ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല. എന്നാൽ റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ ഒരു ചതുര ഘടകമായും ഒരു സാധാരണ ഘടകമായും വിഘടിപ്പിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നം ലളിതമാക്കാം (മുഴുവൻ സ്ക്വയർ റൂട്ടും എടുക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഖ്യ). അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വർഗ്ഗ ഘടകത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം എടുക്കുകയും പൊതു ഘടകത്തിൻ്റെ റൂട്ട് എടുക്കുകയും ചെയ്യും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 147 എന്ന സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കുക. 147 എന്ന സംഖ്യയെ രണ്ട് ചതുര ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയില്ല, എന്നാൽ അതിനെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘടകങ്ങളായി ഫാക്ടറൈസ് ചെയ്യാം: 49, 3. പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിഹരിക്കുക:



ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം (ഏകദേശ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക) അതിനെ റാഡിക്കൽ സംഖ്യയുമായി ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള (സംഖ്യാരേഖയുടെ ഇരുവശത്തും) ചതുര സംഖ്യകളുടെ വേരുകളുടെ മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം. നിങ്ങൾക്ക് റൂട്ട് മൂല്യം ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായി ലഭിക്കും, അത് റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് പിന്നിലുള്ള സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം.

നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. റാഡിക്കൽ നമ്പർ 3 ആണ്. അതിനോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ചതുര സംഖ്യകൾ 1 (1 = 1), 4 (4 = 2) എന്നിവയായിരിക്കും. അങ്ങനെ, 3 ൻ്റെ മൂല്യം 1-നും 2-നും ഇടയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. 3-ൻ്റെ മൂല്യം 1-നേക്കാൾ 2-ന് അടുത്തായതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്ക്: 3 = 1.7. ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യത്തെ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിലെ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു: 7 x 1.7 = 11.9. നിങ്ങൾ ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്ക് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് 12.13 ലഭിക്കും, അത് ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരത്തോട് വളരെ അടുത്താണ്.

ഈ രീതി വലിയ സംഖ്യകളിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 35 പരിഗണിക്കുക. റാഡിക്കൽ നമ്പർ 35 ആണ്. അതിനോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ചതുര സംഖ്യകൾ 25 (25 = 5), 36 (36 = 6) എന്നിവയാണ്. അങ്ങനെ, 35-ൻ്റെ മൂല്യം 5-നും 6-നും ഇടയിലാണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത്. 35-ൻ്റെ മൂല്യം 5-നേക്കാൾ 6-നോട് വളരെ അടുത്തായതിനാൽ (35-ന് 36-നേക്കാൾ 1 മാത്രം കുറവായതിനാൽ), 35-ന് 6-നേക്കാൾ അല്പം കുറവാണെന്ന് പറയാം. പരിശോധിക്കുന്നു കാൽക്കുലേറ്റർ 5.92 എന്ന ഉത്തരം നൽകുന്നു - ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞത് ശരിയാണ്.



മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുക എന്നതാണ്. 1 കൊണ്ട് മാത്രം ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ. ഒരു ശ്രേണിയിൽ പ്രധാന ഘടകങ്ങൾ എഴുതുക, സമാന ഘടകങ്ങളുടെ ജോഡി കണ്ടെത്തുക. അത്തരം ഘടകങ്ങൾ റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, 45 ൻ്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കുക. ഞങ്ങൾ റാഡിക്കൽ സംഖ്യയെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നു: 45 = 9 x 5, 9 = 3 x 3. അങ്ങനെ, 45 = (3 x 3 x 5). 3 ഒരു റൂട്ട് ചിഹ്നമായി എടുക്കാം: 45 = 35. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് 5 വിലയിരുത്താം.

നമുക്ക് മറ്റൊരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). നിങ്ങൾക്ക് 2-ൻ്റെ മൂന്ന് ഗുണിതങ്ങൾ ലഭിച്ചു; അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം എടുത്ത് റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിനപ്പുറം നീക്കുക.

2(2 x 11) = 22 x 11. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് 2, 11 എന്നിവ വിലയിരുത്തി ഏകദേശ ഉത്തരം കണ്ടെത്താം.

ഈ പരിശീലന വീഡിയോയും ഉപയോഗപ്രദമാകും:

ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കണം, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമായ ഒരെണ്ണം ഇല്ലെങ്കിൽ, ഈ സൈറ്റിൽ പോയി പ്രശ്‌നം പരിഹരിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉപദേശിക്കുന്നു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ, സെക്കൻ്റുകൾക്കുള്ളിൽ ശരിയായ മൂല്യം നൽകും.

വേരുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും കുറയ്ക്കലും- ഹൈസ്കൂളിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര (ബീജഗണിതം) കോഴ്സുകൾ എടുക്കുന്നവർക്ക് ഏറ്റവും സാധാരണമായ "ഇടർച്ചകളിൽ" ഒന്ന്. എന്നിരുന്നാലും, അവ ശരിയായി ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും പഠിക്കുന്നത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം വേരുകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ പ്രോഗ്രാമിൽ "ഗണിതശാസ്ത്രം" എന്ന വിഭാഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് കാര്യങ്ങൾ ആവശ്യമാണ് - നിയമങ്ങൾ മനസിലാക്കാനും പരിശീലനം നേടാനും. ഒന്നോ രണ്ടോ ഡസൻ സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിച്ച ശേഷം, വിദ്യാർത്ഥി ഈ വൈദഗ്ദ്ധ്യം ഓട്ടോമാറ്റിസത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരും, തുടർന്ന് ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ അദ്ദേഹത്തിന് ഇനി ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല. സങ്കലനത്തോടെ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ മാസ്റ്ററിംഗ് ആരംഭിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, കാരണം അവ ചേർക്കുന്നത് കുറയ്ക്കുന്നതിനേക്കാൾ അൽപ്പം എളുപ്പമാണ്.

ഇത് വിശദീകരിക്കാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പ മാർഗം ഒരു ഉദാഹരണമായി സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഉപയോഗിക്കുക എന്നതാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നന്നായി സ്ഥാപിതമായ ഒരു പദമുണ്ട് "സ്ക്വയർ". "സ്ക്വയറിംഗ്" എന്നാൽ ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയെ ഒരിക്കൽ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ 2 വർഗ്ഗമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് 4 ലഭിക്കും. നിങ്ങൾ 7 വർഗ്ഗമാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് 49 ലഭിക്കും. 9 ൻ്റെ വർഗ്ഗം 81 ആണ്. അതിനാൽ 4 ൻ്റെ വർഗ്ഗമൂല്യം 2 ആണ്, 49 ൻ്റെ 7 ഉം 81 ൻ്റെ 9 ഉം ആണ്.

ചട്ടം പോലെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഈ വിഷയം പഠിപ്പിക്കുന്നത് സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളിൽ ആരംഭിക്കുന്നു. അത് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ, വിദ്യാർത്ഥി ഹൈസ്കൂൾഗുണനപ്പട്ടിക ഹൃദയത്തിൽ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. ഈ പട്ടിക ദൃഢമായി അറിയാത്തവർ സൂചനകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. സാധാരണയായി ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് സ്‌ക്വയർ എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്ന പ്രക്രിയ പല സ്‌കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് നോട്ട്ബുക്കുകളുടെയും കവറുകളിൽ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിലാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്.

വേരുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലാണ്:

• സമചതുരം Samachathuram;
• ക്യൂബിക് (അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാം ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ);
• നാലാം ഡിഗ്രി;
• അഞ്ചാം ഡിഗ്രി.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നിയമങ്ങൾ

വിജയകരമായി പരിഹരിക്കാൻ വേണ്ടി സാധാരണ ഉദാഹരണം, എല്ലാ റൂട്ട് നമ്പറുകളും അല്ല എന്നത് മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് പരസ്പരം അടുക്കിവെക്കാം. അവ മടക്കിക്കളയുന്നതിന്, അവ കൊണ്ടുവരണം യൂണിഫോം മോഡൽ. ഇത് അസാധ്യമാണെങ്കിൽ, പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരമില്ല. ഗണിതശാസ്ത്ര പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഒരുതരം കെണിയായി കാണാറുണ്ട്.

റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷനുകൾ പരസ്പരം വ്യത്യസ്തമാകുമ്പോൾ ടാസ്ക്കുകളിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ അനുവദനീയമല്ല. വ്യക്തമായ ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഇത് വ്യക്തമാക്കാം:

• വിദ്യാർത്ഥി ഈ ടാസ്‌ക്കിനെ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു: 4, 9 എന്നിവയുടെ സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് ചേർക്കുക;
• ചട്ടം അറിയാത്ത ഒരു അനുഭവപരിചയമില്ലാത്ത വിദ്യാർത്ഥി സാധാരണയായി എഴുതുന്നു: "4 ൻ്റെ റൂട്ട് + 9 ൻ്റെ റൂട്ട് = 13 ൻ്റെ റൂട്ട്."
• ഈ പരിഹാരം തെറ്റാണെന്ന് തെളിയിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ 13 ൻ്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുകയും ഉദാഹരണം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കുകയും വേണം;
• ഒരു മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഏകദേശം 3.6 ആണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാനാകും. ഇനി പരിഹാരം പരിശോധിക്കാൻ മാത്രം ശേഷിക്കുന്നു;
• റൂട്ട് 4=2, റൂട്ട് 9=3;
• "രണ്ട്", "മൂന്ന്" എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അഞ്ചിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ഈ പരിഹാര അൽഗോരിതം തെറ്റായി കണക്കാക്കാം.

വേരുകൾക്ക് ഒരേ ഡിഗ്രിയാണെങ്കിലും വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങൾ, ഇത് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുത്ത് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഇടുന്നു രണ്ട് സമൂലമായ പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക. അതിനാൽ, ഈ തുകയിൽ നിന്ന് ഇത് ഇതിനകം വേർതിരിച്ചെടുത്തതാണ്.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ അൽഗോരിതം

ശരിയായി തീരുമാനിക്കാൻ വേണ്ടി ഏറ്റവും ലളിതമായ ജോലി, അത്യാവശ്യമാണ്:

1. കൃത്യമായി എന്താണ് കൂട്ടിച്ചേർക്കേണ്ടതെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.
2. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ നിലവിലുള്ള നിയമങ്ങളാൽ നയിക്കപ്പെടുന്ന, പരസ്പരം മൂല്യങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക.
3. അവ മടക്കാവുന്നതല്ലെങ്കിൽ, അവയെ മടക്കിവെക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിൽ നിങ്ങൾ അവയെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ട്.
4. ആവശ്യമായ എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും നടത്തിയ ശേഷം, നിങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ നടത്തുകയും പൂർത്തിയായ ഉത്തരം എഴുതുകയും വേണം. ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ സങ്കീർണ്ണതയെ ആശ്രയിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ തലയിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയോ മൈക്രോകാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിക്കുകയോ ചെയ്യാം.

സമാന വേരുകൾ എന്തൊക്കെയാണ്

ഒരു കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഉദാഹരണം ശരിയായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അത് എങ്ങനെ ലളിതമാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ ആദ്യം ചിന്തിക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമാനത എന്താണെന്നതിനെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അടിസ്ഥാന അറിവ് ഉണ്ടായിരിക്കണം.

സമാനമായവ തിരിച്ചറിയാനുള്ള കഴിവ്, സമാനമായ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, അവയെ ഒരു ലളിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. ഒരു സാധാരണ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഉദാഹരണം ലളിതമാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്:

1. സമാനമായവ കണ്ടെത്തി അവയെ ഒരു ഗ്രൂപ്പായി (അല്ലെങ്കിൽ നിരവധി ഗ്രൂപ്പുകളായി) വേർതിരിക്കുക.
2. ഒരേ സൂചകമുള്ള വേരുകൾ പരസ്പരം വ്യക്തമായി പിന്തുടരുന്ന വിധത്തിൽ നിലവിലുള്ള ഉദാഹരണം വീണ്ടും എഴുതുക (ഇതിനെ "ഗ്രൂപ്പിംഗ്" എന്ന് വിളിക്കുന്നു).
3. അടുത്തതായി, നിങ്ങൾ ഒരിക്കൽ കൂടി പദപ്രയോഗം എഴുതണം, ഈ സമയം സമാനമായവ (ഒരേ സൂചകവും ഒരേ റാഡിക്കൽ രൂപവും ഉള്ളവ) പരസ്പരം പിന്തുടരുന്ന വിധത്തിൽ.

ഇതിനുശേഷം, ലളിതമായ ഉദാഹരണം സാധാരണയായി പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഏതെങ്കിലും കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഉദാഹരണം ശരിയായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ഒരു റൂട്ട് എന്താണെന്നും അത് എന്തായിരിക്കുമെന്നും അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

ചിലപ്പോൾ അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ സാധാരണയായി അവ സമാനമായവ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നതിലൂടെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും. ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം പരിശീലനമാണ്, തുടർന്ന് വിദ്യാർത്ഥി "പരിപ്പ് പോലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ തകർക്കാൻ" തുടങ്ങും. വേരുകൾ ചേർക്കുന്നത് ഗണിതത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഭാഗങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്, അതിനാൽ അധ്യാപകർ അത് പഠിക്കാൻ മതിയായ സമയം ചെലവഴിക്കണം.

വീഡിയോ

വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ഈ വീഡിയോ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.