ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം

പി. റൊമാനോവ്, ടി. റൊമാനോവ,
മാഗ്നിറ്റോഗോർസ്ക്,
ചെല്യാബിൻസ്ക് മേഖല

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം

ITAKA+ ഹോട്ടൽ കോംപ്ലക്‌സിൻ്റെ പിന്തുണയോടെയാണ് ലേഖനം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത്. കപ്പൽ നിർമ്മാതാക്കളുടെ സെവെറോഡ്വിൻസ്ക് നഗരത്തിൽ താമസിക്കുമ്പോൾ, താൽക്കാലിക ഭവനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം നിങ്ങൾക്ക് നേരിടേണ്ടിവരില്ല. , വെബ്സൈറ്റിൽ ഹോട്ടൽ സമുച്ചയം"ITHAKA+" http://itakaplus.ru, നിങ്ങൾക്ക് ദിവസേനയുള്ള പേയ്‌മെൻ്റിനൊപ്പം ഏത് സമയത്തും നഗരത്തിൽ ഒരു അപ്പാർട്ട്മെൻ്റ് എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും വാടകയ്‌ക്കെടുക്കാം.

ഓൺ ആധുനിക ഘട്ടംവിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ വികസനം, അതിൻ്റെ പ്രധാന കടമകളിലൊന്ന് സൃഷ്ടിപരമായി ചിന്തിക്കുന്ന വ്യക്തിത്വത്തിൻ്റെ രൂപീകരണമാണ്. ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിൽ വ്യവസ്ഥാപിതമായി ഉൾപ്പെട്ടാൽ മാത്രമേ വിദ്യാർത്ഥികളിൽ സർഗ്ഗാത്മകതയ്ക്കുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അവരുടെ സൃഷ്ടിപരമായ ശക്തികളും കഴിവുകളും കഴിവുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം രൂപപ്പെടുന്നത് പൂർണ്ണമായ അറിവും നൈപുണ്യവുമാണ്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, സ്കൂൾ മാത്തമാറ്റിക്സ് കോഴ്സിൻ്റെ ഓരോ വിഷയത്തിനും അടിസ്ഥാന അറിവിൻ്റെയും കഴിവുകളുടെയും ഒരു സംവിധാനം രൂപീകരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ചെറുതല്ല. അതേസമയം, പൂർണ്ണമായ കഴിവുകൾ ഉപദേശപരമായ ലക്ഷ്യമായിരിക്കണം വ്യക്തിഗത ജോലികളല്ല, മറിച്ച് അവ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചിന്തിക്കുന്ന സംവിധാനമാണ്. വളരെ വിശാലമായ അർത്ഥത്തിൽസമഗ്രതയും സുസ്ഥിരമായ ഘടനയും ഉള്ള പരസ്പരബന്ധിതമായ സംവേദനാത്മക ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമായാണ് ഒരു സിസ്റ്റം മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം എങ്ങനെ എഴുതാമെന്ന് വിദ്യാർത്ഥികളെ പഠിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാങ്കേതികത നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. അടിസ്ഥാനപരമായി, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും ഒരു നിശ്ചിത ആവശ്യകതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന വരികളുടെ ഒരു സെറ്റിൽ (ബണ്ടിൽ, ഫാമിലി) തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയിലേക്ക് വരുന്നു - അവ ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് സ്പർശിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തിരഞ്ഞെടുക്കൽ നടത്തുന്ന വരികളുടെ കൂട്ടം രണ്ട് തരത്തിൽ വ്യക്തമാക്കാം:

a) xOy തലത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് (വരികളുടെ സെൻട്രൽ പെൻസിൽ);
ബി) കോണീയ ഗുണകം (നേർരേഖകളുടെ സമാന്തര ബീം).

ഇക്കാര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നതിന് "ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്" എന്ന വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു:

1) അത് കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റ് നൽകുന്ന ഒരു ടാൻജെൻ്റിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ;
2) അതിൻ്റെ ചരിവ് നൽകുന്ന ഒരു ടാൻജെൻ്റിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ.

A.G നിർദ്ദേശിച്ച അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ടാൻജെൻ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിശീലനം നടത്തി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നവയിൽ നിന്നുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസം, ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയെ a (x0 ന് പകരം) എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) എന്നിവയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുക. ഈ രീതിശാസ്ത്ര സാങ്കേതികത, ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, നിലവിലെ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എവിടെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നതെന്ന് വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും മനസ്സിലാക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ അനുവദിക്കുന്നു. പൊതുവായ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം, കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾ എവിടെയാണ്.

y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചയിക്കുക.
2. f(a) കണ്ടെത്തുക.
3. f "(x), f "(a) എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
4. കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യകൾ a, f(a), f "(a) എന്നതിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുക പൊതുവായ സമവാക്യംടാൻജൻ്റ് y = f(a) = f "(a)(x – a).

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്ര തിരിച്ചറിയലിൻ്റെയും അവ നടപ്പിലാക്കുന്നതിൻ്റെ ക്രമത്തിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഈ അൽഗോരിതം സമാഹരിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഓരോ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങളുടെയും തുടർച്ചയായ പരിഹാരം, ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്നും അൽഗോരിതം ഘട്ടങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ റഫറൻസ് പോയിൻ്റുകളായി വർത്തിക്കുന്നുവെന്നും പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നു. . ഈ സമീപനം P.Ya വികസിപ്പിച്ച മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമാനുഗതമായ രൂപീകരണത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഗാൽപെറിനും എൻ.എഫ്. ടാലിസിന.

ആദ്യ തരം ജോലികളിൽ, രണ്ട് പ്രധാന ജോലികൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു:

• വക്രത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നു (പ്രശ്നം 1);
• വക്രത്തിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെയാണ് ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നത് (പ്രശ്നം 2).

ടാസ്ക് 1. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക പോയിൻ്റിൽ M(3; - 2).

പരിഹാരം. പോയിൻ്റ് M(3; – 2) ഒരു ടാൻജൻ്റ് പോയിൻ്റാണ്, കാരണം

1. a = 3 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

പ്രശ്നം 2. M(- 3; 6) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന y = – x 2 – 4x + 2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. പോയിൻ്റ് M(- 3; 6) ഒരു ടാൻജൻ്റ് പോയിൻ്റല്ല, കാരണം f(- 3) 6 (ചിത്രം 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangent equation.

M(- 3; 6) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നു, അതിനാൽ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 ആണെങ്കിൽ, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y = 4x + 18 ആണ്.

a = – 2 ആണെങ്കിൽ, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് y = 6 എന്ന രൂപമുണ്ട്.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൽ, പ്രധാന ജോലികൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

• ടാൻജെൻ്റ് ചില വരികൾക്ക് സമാന്തരമാണ് (പ്രശ്നം 3);
• തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റ് ഒരു നിശ്ചിത കോണിൽ കടന്നുപോകുന്നു (പ്രശ്നം 4).

പ്രശ്നം 3. y = 9x + 1 എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമായി y = x 3 – 3x 2 + 3 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം.

1. a – tangent point ൻ്റെ abscissa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

എന്നാൽ, മറുവശത്ത്, f "(a) = 9 (സമാന്തരാവസ്ഥ). ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ 3a 2 – 6a = 9 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. അതിൻ്റെ വേരുകൾ a = – 1, a = 3 (ചിത്രം 3) ആണ്. ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x - 24 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

പ്രശ്നം 4. y = 0.5x 2 - 3x + 1 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക, 45 ° കോണിൽ y = 0 എന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 4).

പരിഹാരം. f "(a) = tan 45° എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ a: a – 3 = 1 കണ്ടെത്തുന്നു^എ = 4.

1. a = 4 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

മറ്റേതെങ്കിലും പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഒന്നോ അതിലധികമോ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു എന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണമായി പരിഗണിക്കുക.

1. സ്‌പർശകങ്ങൾ വലത് കോണുകളിൽ വിഭജിക്കുകയും അവയിലൊന്ന് അബ്‌സിസ്സ 3 (ചിത്രം 5) ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിലെ പരവലയത്തെ സ്പർശിക്കുകയും ചെയ്‌താൽ, സ്‌പർശകങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ y = 2x 2 – 5x – 2 എന്നതിലേക്ക് എഴുതുക.

പരിഹാരം. ടാൻജൻസി പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗം പ്രധാന പ്രശ്നം 1 ആയി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

1. a = 3 - വശങ്ങളിൽ ഒന്നിൻ്റെ സ്പർശന പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa വലത് കോൺ.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം.

എ - ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ. സ്‌പർശകങ്ങൾ ലംബമായതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണാണ്. y = 7x - 20 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് tg ഉണ്ട് a = 7. നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

ഇതിനർത്ഥം രണ്ടാമത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

കൂടുതൽ പരിഹാരം പ്രധാന ടാസ്ക് 3 ലേക്ക് വരുന്നു.

B(c; f(c)) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ

1. - ടാൻജൻസിയുടെ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2.
3.
4.
- രണ്ടാമത്തെ സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

കുറിപ്പ്. k 1 k 2 = – 1 എന്ന ലംബ രേഖകളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ കോണിക ഗുണകം കൂടുതൽ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

2. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്ക് എല്ലാ പൊതു ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക

പരിഹാരം. പൊതുവായ ടാൻജെൻ്റുകളുടെ ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സ കണ്ടെത്തുന്നതിനാണ് ചുമതല, അതായത്, പ്രധാന പ്രശ്നം 1 പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കുക, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം വരച്ച് അത് പരിഹരിക്കുക (ചിത്രം 6).

1. y = x 2 + x + 1 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ കിടക്കുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ കിടക്കുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ c
2.
3. f "(c) = c.
4.

സ്പർശനങ്ങൾ പൊതുവായതിനാൽ, അപ്പോൾ

അതിനാൽ y = x + 1 ഉം y = – 3x – 3 ഉം സാധാരണ ടാൻജെൻ്റുകളാണ്.

കൂടുതൽ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രധാന പ്രശ്നത്തിൻ്റെ തരം സ്വതന്ത്രമായി തിരിച്ചറിയാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ സജ്ജമാക്കുക എന്നതാണ് പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ജോലികളുടെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികൾ, ചില ഗവേഷണ കഴിവുകൾ ആവശ്യമാണ് (വിശകലനം ചെയ്യാനും താരതമ്യം ചെയ്യാനും സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനും ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ടുവയ്ക്കാനുമുള്ള കഴിവ് മുതലായവ). അത്തരം ജോലികളിൽ പ്രധാന ടാസ്‌ക് ഒരു ഘടകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏതൊരു ജോലിയും ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റുകളുടെ കുടുംബത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം (പ്രശ്നം 1-ന് വിപരീതം) ഉദാഹരണമായി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

3. y = x, y = – 2x എന്നീ വരികൾ y = x 2 + bx + c എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്?

പരിഹാരം.

y = x 2 + bx + c എന്ന പരവലയത്തോടുകൂടിയ നേർരേഖ y = x എന്ന നേർരേഖയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ t; p എന്നത് y = x 2 + bx + c എന്ന പരവലയത്തോടുകൂടിയ y = – 2x എന്ന നേർരേഖയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആണ്. അപ്പോൾ y = x എന്ന സ്‌പർശക സമവാക്യം y = (2t + b)x + c – t 2 എന്ന രൂപവും y = – 2x സ്‌പർശക സമവാക്യം y = (2p + b)x + c – p 2 എന്ന രൂപവും എടുക്കും. .

നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം

ഉത്തരം:

സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ

1. y = 2x 2 – 4x + 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റുകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ഗ്രാഫിൻ്റെ കവല പോയിൻ്റുകളിൽ y = x + 3 എന്ന വരിയിൽ എഴുതുക.

ഉത്തരം: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5.

2. a യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കായാണ് y = x 2 - ax എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റ്, abscissa x 0 = 1 എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ M(2; 3) എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്?

ഉത്തരം: a = 0.5.

3. p യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് y = px – 5 എന്ന നേർരേഖ y = 3x 2 – 4x – 2 എന്ന വക്രത്തെ സ്പർശിക്കുന്നത്?

ഉത്തരം: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. y = 3x – x 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ എല്ലാ പൊതു പോയിൻ്റുകളും P(0; 16) എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ ഈ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റും കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: എ (2; - 2), ബി (- 4; 52).

5. പരവലയ y = x 2 + 6x + 10 ഉം നേർരേഖയും തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ദൂരം കണ്ടെത്തുക

ഉത്തരം:

6. y = x 2 – x + 1 എന്ന വക്രത്തിൽ, ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് y – 3x + 1 = 0 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: എം(2; 3).

7. y = x 2 + 2x – | എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക 4x |, അത് രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ സ്പർശിക്കുന്നു. ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കുക.

ഉത്തരം: y = 2x – 4.

8. y = 2x – 1 എന്ന വരി y = x 4 + 3x 2 + 2x എന്ന വക്രത്തെ ഖണ്ഡിക്കുന്നില്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക. അവരുടെ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള പോയിൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

9. പരവലയത്തിൽ y = x 2, രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അബ്‌സിസാസ് x 1 = 1, x 2 = 3 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് എടുക്കുന്നു. ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ ഒരു സെക്കൻ്റ് വരയ്ക്കുന്നു. പരവലയത്തിൻ്റെ ഏത് ബിന്ദുവിലാണ് അതിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് സെക്കൻ്റിനു സമാന്തരമാകുന്നത്? സെക്കൻ്റ്, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

ഉത്തരം: y = 4x - 3 - സെക്കൻ്റ് സമവാക്യം; y = 4x - 4 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

10. ആംഗിൾ q കണ്ടെത്തുക y = x 3 - 4x 2 + 3x + 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള സ്‌പർശകങ്ങൾക്കിടയിൽ, 0 ഉം 1 ഉം ഉള്ള പോയിൻ്റുകളിൽ വരച്ചിരിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: q = 45°.

11. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഏത് ബിന്ദുകളിലാണ് ഓക്‌സ് അച്ചുതണ്ടിനൊപ്പം 135° കോണാകുന്നത്?

ഉത്തരം: എ (0; - 1), ബി (4; 3).

12. പോയിൻ്റ് എ (1; 8) വക്രത്തിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരച്ചിരിക്കുന്നു. കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ടാൻജെൻ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

13. y = x 2 – x + 1, y = 2x 2 – x + 0.5 എന്നീ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്ക് എല്ലാ പൊതു ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യം എഴുതുക.

ഉത്തരം: y = – 3x, y = x.

14. x-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായി ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

15. പരാബോള y = x 2 + 2x – 8 ഏത് കോണിലാണ് x-അക്ഷത്തെ വിഭജിക്കുന്നത് എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉത്തരം: q 1 = ആർക്റ്റാൻ 6, q 2 = ആർക്റ്റാൻ (- 6).

16. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തുക, ഈ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഓരോന്നിലുമുള്ള ടാൻജെൻ്റ് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പോസിറ്റീവ് അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളെ വിഭജിക്കുകയും അവയിൽ നിന്ന് തുല്യ ഭാഗങ്ങൾ മുറിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉത്തരം: എ(– 3; 11).

17. വരി y = 2x + 7 ഉം പരവലയ y = x 2 – 1 പോയിൻ്റുകളും M, N പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്നു. M, N പോയിൻ്റുകളിൽ പരാബോളയിലേക്കുള്ള സ്‌പർശനരേഖകളുടെ പോയിൻ്റ് K കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: കെ(1; – 9).

18. y = x 3 – 3x + 15 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ലൈൻ y = 9x + b സ്‌പർശനരേഖയാണ് b യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്ക്?

ഉത്തരം: - 1; 31.

19. k യുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് y = kx – 10 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് y = 2x 2 + 3x – 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ ഒരു പൊതു പോയിൻ്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ? k ൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾക്കായി, പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉത്തരം: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. ബിയുടെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കായാണ് y = bx 3 - 2x 2 - 4 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റ്, abscissa x 0 = 2 എന്ന ബിന്ദുവിൽ M(1; 8) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നത്?

ഉത്തരം: b = – 3.

21. കാളയുടെ അക്ഷത്തിൽ ശീർഷമുള്ള ഒരു പരവലയം ബി പോയിൻ്റിലെ A(1; 2), B(2; 4) എന്നീ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന രേഖയെ സ്പർശിക്കുന്നു. പരാബോളയുടെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

22. k എന്ന ഗുണകത്തിൻ്റെ ഏത് മൂല്യത്തിലാണ് പരവലയം y = x 2 + kx + 1 ഓക്സ് അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നത്?

ഉത്തരം: k = d 2.

23. y = x + 2 എന്ന നേർരേഖയ്ക്കും y = 2x 2 + 4x – 3 എന്ന വക്രത്തിനും ഇടയിലുള്ള കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

29. 45° കോണിൽ ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കും ജനറേറ്ററുകളിലേക്കും സ്പർശനങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം:

30. y = x 2 + ax + b എന്ന ഫോമിലെ എല്ലാ പരാബോളകളുടെയും ലംബങ്ങളുടെ സ്ഥാനം y = 4x – 1 എന്ന വരിയിലേക്ക് കണ്ടെത്തുക.

ഉത്തരം: നേർരേഖ y = 4x + 3.

സാഹിത്യം

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. ബീജഗണിതവും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും സർവകലാശാലകളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കും 3600 പ്രശ്നങ്ങൾ. - എം., ബസ്റ്റാർഡ്, 1999.
2. യുവ അധ്യാപകർക്കുള്ള മൊർഡ്കോവിച്ച് എ സെമിനാർ നാല്. വിഷയം: ഡെറിവേറ്റീവ് ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ. - എം., "ഗണിതശാസ്ത്രം", നമ്പർ 21/94.
3. മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമാനുഗതമായ സ്വാംശീകരണ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള അറിവിൻ്റെയും കഴിവുകളുടെയും രൂപീകരണം.

/ എഡ്. പി.യാ. ഗാൽപെരിന, എൻ.എഫ്. ടാലിസിന. - എം., മോസ്കോ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി, 1968.വിദ്യാഭ്യാസത്തിൻ്റെ വികസനത്തിൻ്റെ ഇന്നത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, അതിൻ്റെ പ്രധാന കടമകളിലൊന്ന് സർഗ്ഗാത്മകമായി ചിന്തിക്കുന്ന വ്യക്തിത്വത്തിൻ്റെ രൂപീകരണമാണ്. ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനകാര്യങ്ങളിൽ വ്യവസ്ഥാപിതമായി ഉൾപ്പെട്ടാൽ മാത്രമേ വിദ്യാർത്ഥികളിൽ സർഗ്ഗാത്മകതയ്ക്കുള്ള കഴിവ് വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ. വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അവരുടെ സൃഷ്ടിപരമായ ശക്തികളും കഴിവുകളും കഴിവുകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള അടിസ്ഥാനം രൂപപ്പെടുന്നത് പൂർണ്ണമായ അറിവും നൈപുണ്യവുമാണ്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ഓരോ വിഷയത്തിനും അടിസ്ഥാന അറിവിൻ്റെയും കഴിവുകളുടെയും ഒരു സംവിധാനം രൂപീകരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം

സ്കൂൾ കോഴ്സ്

ഗണിതത്തിന് ചെറിയ പ്രാധാന്യമില്ല. അതേസമയം, പൂർണ്ണമായ കഴിവുകൾ ഉപദേശപരമായ ലക്ഷ്യമായിരിക്കണം വ്യക്തിഗത ജോലികളല്ല, മറിച്ച് അവ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചിന്തിക്കുന്ന സംവിധാനമാണ്. വിശാലമായ അർത്ഥത്തിൽ, സമഗ്രതയും സുസ്ഥിരമായ ഘടനയും ഉള്ള പരസ്പരബന്ധിതമായ സംവേദനാത്മക ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമായാണ് ഒരു സിസ്റ്റം മനസ്സിലാക്കുന്നത്.
ബി) കോണീയ ഗുണകം (നേർരേഖകളുടെ സമാന്തര ബീം).

ഇക്കാര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഘടകങ്ങളെ ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നതിന് "ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്" എന്ന വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു:

1) അത് കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റ് നൽകുന്ന ഒരു ടാൻജെൻ്റിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ;
2) അതിൻ്റെ ചരിവ് നൽകുന്ന ഒരു ടാൻജെൻ്റിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ.

എ.ജി നിർദ്ദേശിച്ച അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ച് ടാൻജെൻ്റ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിശീലനം നടത്തി. മൊർഡ്കോവിച്ച്. ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നവയിൽ നിന്നുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസം, ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സയെ a (x0 ന് പകരം) എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതിനാൽ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു.

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0) എന്നിവയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുക. ഈ രീതിശാസ്ത്ര സാങ്കേതികത, ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, നിലവിലെ പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ എവിടെയാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നതെന്ന് വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും മനസ്സിലാക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ അനുവദിക്കുന്നു. പൊതുവായ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം, കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾ എവിടെയാണ്.

y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യം രചിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1. ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa എന്ന അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് നിശ്ചയിക്കുക.
2. f(a) കണ്ടെത്തുക.
3. f "(x), f "(a) എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
4. കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യകൾ a, f(a), f "(a) y = f(a) = f "(a)(x – a) എന്ന പൊതു ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സ്വതന്ത്ര തിരിച്ചറിയലിൻ്റെയും അവ നടപ്പിലാക്കുന്നതിൻ്റെ ക്രമത്തിൻ്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഈ അൽഗോരിതം സമാഹരിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു അൽഗോരിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള ഓരോ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങളുടെയും തുടർച്ചയായ പരിഹാരം, ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുന്നതിനുള്ള കഴിവുകൾ വികസിപ്പിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നുവെന്നും അൽഗോരിതം ഘട്ടങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ റഫറൻസ് പോയിൻ്റുകളായി വർത്തിക്കുന്നുവെന്നും പ്രാക്ടീസ് കാണിക്കുന്നു. . ഈ സമീപനം P.Ya വികസിപ്പിച്ച മാനസിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമാനുഗതമായ രൂപീകരണത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തവുമായി യോജിക്കുന്നു. ഗാൽപെറിനും എൻ.എഫ്. ടാലിസിന.

ആദ്യ തരം ജോലികളിൽ, രണ്ട് പ്രധാന ജോലികൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞു:

• വക്രത്തിൽ കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നു (പ്രശ്നം 1);
• വക്രത്തിൽ കിടക്കാത്ത ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെയാണ് ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നത് (പ്രശ്നം 2).

ടാസ്ക് 1. ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക പോയിൻ്റിൽ M(3; - 2).

പരിഹാരം. പോയിൻ്റ് M(3; - 2) ഒരു ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റാണ്, കാരണം

1. a = 3 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

പ്രശ്നം 2. M(- 3; 6) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന y = – x 2 – 4x + 2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. പോയിൻ്റ് M(- 3; 6) ഒരു ടാൻജൻ്റ് പോയിൻ്റല്ല, കാരണം f(- 3) 6 (ചിത്രം 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – tangent equation.

M(- 3; 6) എന്ന ബിന്ദുവിലൂടെ ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നു, അതിനാൽ അതിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

a = – 4 ആണെങ്കിൽ, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y = 4x + 18 ആണ്.

a = – 2 ആണെങ്കിൽ, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് y = 6 എന്ന രൂപമുണ്ട്.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിൽ, പ്രധാന ജോലികൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

• ടാൻജെൻ്റ് ചില വരികൾക്ക് സമാന്തരമാണ് (പ്രശ്നം 3);
• തന്നിരിക്കുന്ന വരിയിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റ് ഒരു നിശ്ചിത കോണിൽ കടന്നുപോകുന്നു (പ്രശ്നം 4).

പ്രശ്നം 3. y = 9x + 1 എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമായി y = x 3 – 3x 2 + 3 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

1. a – tangent point ൻ്റെ abscissa.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

എന്നാൽ, മറുവശത്ത്, f "(a) = 9 (സമാന്തരാവസ്ഥ). ഇതിനർത്ഥം നമ്മൾ 3a 2 – 6a = 9 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. അതിൻ്റെ വേരുകൾ a = – 1, a = 3 (ചിത്രം 3) ആണ്. ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = - 1 + 9 (x + 1);

y = 9x + 8 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x - 3);

y = 9x - 24 - ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

പ്രശ്നം 4. y = 0.5x 2 - 3x + 1 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക, 45 ° കോണിൽ y = 0 എന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 4).

പരിഹാരം. f "(a) = tan 45° എന്ന അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം.

മറ്റേതെങ്കിലും പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ഒന്നോ അതിലധികമോ പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു എന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ ഒരു ഉദാഹരണമായി പരിഗണിക്കുക.

1. സ്‌പർശകങ്ങൾ വലത് കോണുകളിൽ വിഭജിക്കുകയും അവയിലൊന്ന് അബ്‌സിസ്സ 3 (ചിത്രം 5) ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിലെ പരവലയത്തെ സ്പർശിക്കുകയും ചെയ്‌താൽ, സ്‌പർശകങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ y = 2x 2 – 5x – 2 എന്നതിലേക്ക് എഴുതുക.

പരിഹാരം. ടാൻജൻസി പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഭാഗം പ്രധാന പ്രശ്നം 1 ആയി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

1. a = 3 - വലത് കോണിൻ്റെ വശങ്ങളിൽ ഒന്നിൻ്റെ സ്പർശന പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം.

ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണായിരിക്കട്ടെ a. സ്‌പർശകങ്ങൾ ലംബമായതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണാണ്. ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ y = 7x – 20 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് tg a = 7 ഉണ്ട്. നമുക്ക് കണ്ടെത്താം

ഇതിനർത്ഥം രണ്ടാമത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ് തുല്യമാണ് എന്നാണ്.

കൂടുതൽ പരിഹാരം പ്രധാന ടാസ്ക് 3 ലേക്ക് വരുന്നു.

B(c; f(c)) രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ

1. - ടാൻജൻസിയുടെ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.
2.
3.
4.
- രണ്ടാമത്തെ സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം.

കുറിപ്പ്. k 1 k 2 = – 1 എന്ന ലംബ രേഖകളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതം വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ കോണിക ഗുണകം കൂടുതൽ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

2. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്ക് എല്ലാ പൊതു ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക

പരിഹാരം. പൊതുവായ ടാൻജെൻ്റുകളുടെ ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സ കണ്ടെത്തുന്നതിനാണ് ചുമതല, അതായത്, പ്രധാന പ്രശ്നം 1 പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കുക, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം വരച്ച് അത് പരിഹരിക്കുക (ചിത്രം 6).

1. y = x 2 + x + 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ കിടക്കുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ കിടക്കുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa c ആകട്ടെ
2.
3. f "(c) = c.
4.

സ്പർശനങ്ങൾ പൊതുവായതിനാൽ, അപ്പോൾ

അതിനാൽ y = x + 1 ഉം y = – 3x – 3 ഉം സാധാരണ ടാൻജെൻ്റുകളാണ്.

ചില ഗവേഷണ കഴിവുകൾ (വിശകലനം ചെയ്യാനും താരതമ്യം ചെയ്യാനും സാമാന്യവൽക്കരിക്കാനും ഒരു സിദ്ധാന്തം മുന്നോട്ട് വയ്ക്കാനുമുള്ള കഴിവ്) കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പ്രധാന പ്രശ്നത്തിൻ്റെ തരം സ്വതന്ത്രമായി തിരിച്ചറിയാൻ വിദ്യാർത്ഥികളെ സജ്ജമാക്കുക എന്നതാണ് പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ജോലികളുടെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം. അത്തരം ടാസ്‌ക്കുകളിൽ കീ ടാസ്‌ക് ഒരു ഘടകമായി ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏതൊരു ജോലിയും ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റുകളുടെ കുടുംബത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം (പ്രശ്നം 1-ന് വിപരീതം) ഉദാഹരണമായി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

3. y = x, y = – 2x എന്നീ വരികൾ y = x 2 + bx + c എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്?

y = x 2 + bx + c എന്ന പരവലയത്തോടുകൂടിയ നേർരേഖ y = x എന്ന നേർരേഖയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആകട്ടെ t; p എന്നത് y = x 2 + bx + c എന്ന പരവലയത്തോടുകൂടിയ y = – 2x എന്ന നേർരേഖയുടെ സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആണ്. അപ്പോൾ y = x എന്ന സ്‌പർശക സമവാക്യം y = (2t + b)x + c – t 2 എന്ന രൂപവും y = – 2x സ്‌പർശക സമവാക്യം y = (2p + b)x + c – p 2 എന്ന രൂപവും എടുക്കും. .

നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം

ഉത്തരം:

ലേഖനം നിർവചനങ്ങളുടെ വിശദമായ വിശദീകരണം നൽകുന്നു, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം ഗ്രാഫിക് ചിഹ്നങ്ങൾ. ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ലൈനിൻ്റെ സമവാക്യം ഉദാഹരണങ്ങൾക്കൊപ്പം പരിഗണിക്കും, ഒരു ടാൻജെൻ്റ് മുതൽ 2nd ഓർഡർ കർവുകൾ വരെയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

Yandex.RTB R-A-339285-1 നിർവ്വചനം 1

y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ ആംഗിൾ α എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് x അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിൽ നിന്ന് y = k x + b എന്ന നേർരേഖയിലേക്ക് പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് അളക്കുന്നു.

ചിത്രത്തിൽ, x ദിശയെ ഒരു പച്ച അമ്പടയാളവും പച്ച കമാനവും, ചെരിവിൻ്റെ കോണും ചുവന്ന ആർക്ക് ഉപയോഗിച്ചും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നീല വര നേർരേഖയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 2

y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചരിവിനെ സംഖ്യാ ഗുണകം k എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

കോണീയ ഗുണകം നേർരേഖയുടെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ k = t g α.

• ഒരു നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ 0 ന് തുല്യമായിരിക്കും, അത് x ന് സമാന്തരവും ചരിവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമാണ്, കാരണം പൂജ്യത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് 0 ന് തുല്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപം y = b ആയിരിക്കും എന്നാണ്.
• y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ നിശിതമാണെങ്കിൽ, വ്യവസ്ഥകൾ 0 തൃപ്തികരമാണ്< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, കാരണം ടാൻജെൻ്റ് മൂല്യം t g α > 0 എന്ന അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, കൂടാതെ ഗ്രാഫിൽ വർദ്ധനവുമുണ്ട്.
• α = π 2 ആണെങ്കിൽ, വരിയുടെ സ്ഥാനം x ന് ലംബമാണ്. തുല്യതയെ x = c ആണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, മൂല്യം c ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.
• y = k x + b എന്ന നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ ആംഗിൾ അവ്യക്തമാണെങ്കിൽ, അത് π 2 വ്യവസ്ഥകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ 2 പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വരിയാണ് സെക്കൻ്റ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ വരയ്ക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ് സെക്കൻ്റ്.

A B ഒരു സെക്കൻ്റാണെന്നും f (x) ഒരു കറുത്ത വക്രമാണെന്നും α ഒരു ചുവന്ന ചാപമാണെന്നും ചിത്രം കാണിക്കുന്നു, ഇത് സെക്കൻ്റിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു നേർരേഖയുടെ കോണിക ഗുണകം ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, A B C എന്ന വലത് ത്രികോണത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് എതിർവശവും തൊട്ടടുത്തുള്ളതുമായ അനുപാതത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

നിർവ്വചനം 4

ഫോമിൻ്റെ ഒരു സെക്കൻ്റ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, ഇവിടെ A, B എന്നീ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ x A, x B, f (x A), f (x) എന്നീ മൂല്യങ്ങളാണ് ബി) ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്.

വ്യക്തമായും, k = f (x B) - f (x A) x B - x A അല്ലെങ്കിൽ k = f (x A) - f (x B) x A - x B എന്ന തുല്യത ഉപയോഗിച്ചാണ് സെക്കൻ്റിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. , കൂടാതെ സമവാക്യം y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) അല്ലെങ്കിൽ
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

സെക്കൻ്റ് ഗ്രാഫിനെ ദൃശ്യപരമായി 3 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: പോയിൻ്റ് A യുടെ ഇടതുവശത്ത്, A മുതൽ B വരെ, B യുടെ വലത് വശത്ത്. താഴെയുള്ള ചിത്രം കാണിക്കുന്നത് മൂന്ന് സെക്കൻ്റുകൾ യാദൃശ്ചികമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതായത് അവ ഒരു ഉപയോഗിച്ച് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നാണ്. സമാനമായ സമവാക്യം.

നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു നേർരേഖയും അതിൻ്റെ സെക്കൻ്റും വ്യക്തമാണ് ഈ സാഹചര്യത്തിൽപൊരുത്തം.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ ഒരു സെക്കൻ്റിന് ഒന്നിലധികം തവണ വിഭജിക്കാൻ കഴിയും. ഒരു സെക്കൻ്റിന് y = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ, സൈനസോയിഡുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്.

നിർവ്വചനം 5

x 0 പോയിൻ്റിലെ f (x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ്; f (x 0) എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ് x 0; f (x 0), x 0 ന് അടുത്തുള്ള നിരവധി x മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ സാന്നിധ്യമുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 1

ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണം നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം. y = x + 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന രേഖ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള (1; 2) പോയിൻ്റിൽ y = 2 x ലേക്ക് ടാൻജൻ്റ് ആയി കണക്കാക്കുന്നത് വ്യക്തമാണ്. വ്യക്തതയ്ക്കായി, (1; 2) അടുത്ത മൂല്യങ്ങളുള്ള ഗ്രാഫുകൾ പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. y = 2 x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ കറുപ്പിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, നീല വരയാണ് ടാൻജെൻ്റ് ലൈൻ, ചുവന്ന ഡോട്ട് ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റാണ്.

വ്യക്തമായും, y = 2 x y = x + 1 എന്ന വരിയുമായി ലയിക്കുന്നു.

സ്പർശനം നിർണ്ണയിക്കാൻ, ബി പോയിൻ്റ് എ ബിയെ അനന്തമായി സമീപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗ് അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

നീല വരയാൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന സെക്കൻ്റ് എ ബി, ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനത്തേക്ക് തന്നെ ചായുന്നു, കൂടാതെ സെക്കൻ്റ് α ൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ α x ൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിലേക്ക് ചായാൻ തുടങ്ങും.

നിർവ്വചനം 6

A പോയിൻ്റിലെ y = f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ്, B, A ലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നതിനാൽ, A B യുടെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന സ്ഥാനമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, B → A.

ഇനി നമുക്ക് ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം പരിഗണിക്കാം.

x 0, f (x 0), x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), ∆ x എന്നീ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള A, B എന്നിവ f (x) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള A B എന്ന സെക്കൻ്റ് പരിഗണിക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം. വാദത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവായി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇപ്പോൾ ഫംഗ്ഷൻ ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) എന്ന ഫോം എടുക്കും. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഒരു ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം.

നമുക്ക് ഫലം പരിഗണിക്കാം വലത് ത്രികോണം A B C. സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, നമുക്ക് ∆ y ∆ x = t g α എന്ന ബന്ധം ലഭിക്കുന്നു. ഒരു സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നത് lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിയമമനുസരിച്ച്, x 0 എന്ന ബിന്ദുവിലെ ഡെറിവേറ്റീവ് f (x) യെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ ∆ x → 0 , അപ്പോൾ നമ്മൾ അതിനെ f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഇത് പിന്തുടരുന്നത് f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, ഇവിടെ k x എന്നത് സ്പർശനത്തിൻ്റെ ചരിവായി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

അതായത്, x 0 പോയിൻ്റിൽ f ' (x) നിലനിൽക്കുമെന്നും, x 0, f 0 (x 0) ന് തുല്യമായ സ്പർശനബിന്ദുവിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് പോലെ, അതിൻ്റെ മൂല്യം പോയിൻ്റിലെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ് പോയിൻ്റ് x 0 ലെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ആ k x = f " (x 0) ലഭിക്കും.

ഒരു ബിന്ദുവിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം, അതേ ബിന്ദുവിൽ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു സ്പർശനത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വം എന്ന ആശയം നൽകിയിരിക്കുന്നു എന്നതാണ്.

ഒരു തലത്തിൽ ഏതെങ്കിലും നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എഴുതാൻ, അത് കടന്നുപോകുന്ന പോയിൻ്റുമായി ഒരു കോണീയ ഗുണകം ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. കവലയിൽ അതിൻ്റെ നൊട്ടേഷൻ x 0 ആയി കണക്കാക്കുന്നു.

x 0, f 0 (x 0) എന്ന പോയിൻ്റിലെ y = f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) എന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു.

എന്താണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത് അന്തിമ മൂല്യം derivative f "(x 0) നിങ്ങൾക്ക് ടാൻജൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, lim x → x 0 + 0 + 0 f "(x) = ∞ കൂടാതെ lim x → x 0 - 0 f " (x) = ∞ അല്ലെങ്കിൽ അസാന്നിധ്യം lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം അതിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകമായ k x = f "(x 0) മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. o x അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാകുമ്പോൾ, നമുക്ക് k k = 0, o y - k x = ∞ ന് സമാന്തരമാകുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ രൂപവും ലഭിക്കും. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം x = x 0, k x > 0-നൊപ്പം വർദ്ധിക്കുന്നു, k x ആയി കുറയുന്നു< 0 .

ഉദാഹരണം 2

കോർഡിനേറ്റുകൾ (1; 3) ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിൽ y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിനായി ഒരു സമവാക്യം കംപൈൽ ചെയ്യുകയും ചെരിവിൻ്റെ ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കും ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റ്, (1; 3) സ്പർശനത്തിൻ്റെ ഒരു പോയിൻ്റാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, തുടർന്ന് x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

മൂല്യമുള്ള പോയിൻ്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - 1. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

സ്‌പർശനബിന്ദുവിലുള്ള f' (x) ൻ്റെ മൂല്യം സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ ചരിവാണ്, അത് ചരിവിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

അപ്പോൾ k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

അത് പിന്തുടരുന്നത് α x = a r c t g 3 3 = π 6 ആണ്

ഉത്തരം:ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു

y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ ഒരു ഗ്രാഫിക് ചിത്രീകരണത്തിൽ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകുന്നു.

യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനായി കറുപ്പ് നിറം ഉപയോഗിക്കുന്നു, നീല- ഒരു ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചിത്രം, ചുവന്ന ഡോട്ട് - സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ്. വലതുവശത്തുള്ള ചിത്രം വിപുലീകരിച്ച കാഴ്ച കാണിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 3

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ നിലനിൽപ്പ് നിർണ്ണയിക്കുക
y = 3 · x - 1 5 + 1 പോയിൻ്റിൽ കോർഡിനേറ്റുകൾ (1 ; 1) . ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക, ചെരിവിൻ്റെ കോൺ നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം

വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണമായി കണക്കാക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പോകാം

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 ആണെങ്കിൽ, f' (x) നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല, എന്നാൽ പരിധികൾ lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 എന്നാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നത്. · 1 + 0 = + ∞, ലിം x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , അതായത് പോയിൻ്റിൽ (1; 1) അസ്തിത്വം ലംബമായ ടാൻജെൻ്റ്.

ഉത്തരം:സമവാക്യം x = 1 എന്ന രൂപമെടുക്കും, അവിടെ ചെരിവിൻ്റെ കോൺ π 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, നമുക്ക് അത് ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക.

1. ടാൻജെൻ്റ് ഇല്ല;
2. ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്;
3. ടാൻജെൻ്റ് y = 8 5 x + 4 എന്ന വരിക്ക് സമാന്തരമാണ്.

പരിഹാരം

നിർവചനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയിൽ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും ഗണത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂൾ വികസിപ്പിക്കുകയും സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു x ∈ - ∞ ; 2 ഒപ്പം [- 2 ; +∞) . ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2 ; +∞)

പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ഉണ്ട്

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; +∞)

x = − 2 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല, കാരണം ആ ഘട്ടത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികൾ തുല്യമല്ല:

ലിം x → - 2 - 0 y " (x) = ലിം x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 ലിം x → - 2 + 0 y " (x) = ലിം x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

x = - 2 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, അവിടെ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, അതായത് ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെൻ്റ് ( - 2; - 2) നിലവിലില്ല.
2. ചരിവ് പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്. അപ്പോൾ k x = t g α x = f "(x 0). അതായത്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിനെ പൂജ്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുമ്പോൾ അത്തരം x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതായത്, f 'ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ. (x) സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളായിരിക്കും, അവിടെ ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്.

എപ്പോൾ x ∈ - ∞ ; - 2, തുടർന്ന് - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, കൂടാതെ x ∈ (- 2; + ∞) ന് നമുക്ക് 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 ലഭിക്കും.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

അതിനാൽ - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ ആവശ്യമായ പോയിൻ്റുകളായി 4 3 കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം ഗ്രാഫിക് ചിത്രംപരിഹാരങ്ങൾ.

കറുത്ത വര ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫാണ്, ചുവന്ന ഡോട്ടുകൾ സ്‌പർശന പോയിൻ്റുകളാണ്.

1. വരികൾ സമാന്തരമാകുമ്പോൾ, കോണീയ ഗുണകങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിലെ പോയിൻ്റുകൾക്കായി തിരയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അവിടെ ചരിവ് മൂല്യം 8 5 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ y "(x) = 8 5 എന്ന ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തുടർന്ന്, x ∈ - ∞; - 2 ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, x ∈ (- 2 ; + ∞) ആണെങ്കിൽ 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന് വിവേചനം ഉള്ളതിനാൽ വേരുകളില്ല പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്. നമുക്ക് അത് എഴുതാം

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

മറ്റൊരു സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, അപ്പോൾ

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പോകാം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

മൂല്യങ്ങളുള്ള പോയിൻ്റുകൾ - 1; 4 15, 5; 8 3 എന്നത് y = 8 5 x + 4 എന്ന രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമായി സ്പർശിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളാണ്.

ഉത്തരം:ബ്ലാക്ക് ലൈൻ - ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, റെഡ് ലൈൻ - ഗ്രാഫ് y = 8 5 x + 4, നീല വര - പോയിൻ്റുകളിലെ ടാൻജെൻ്റുകൾ - 1; 4 15, 5; 8 3.

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് അനന്തമായ ടാൻജൻ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5

y = - 2 x + 1 2 എന്ന നേർരേഖയ്ക്ക് ലംബമായി സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ലഭ്യമായ എല്ലാ ടാൻജൻ്റുകളുടെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം

ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിന്, വരികളുടെ ലംബതയുടെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഗുണകവും കോർഡിനേറ്റുകളും കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിർവചനം ഇപ്രകാരമാണ്: നേർരേഖകൾക്ക് ലംബമായ കോണീയ ഗുണകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം തുല്യമാണ് - 1, അതായത് k x · k ⊥ = - 1 എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കോണീയ ഗുണകം രേഖയ്ക്ക് ലംബമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അത് k ⊥ = - 2 ന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ടച്ച് പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുവേണ്ടി നിങ്ങൾ x ഉം അതിൻ്റെ മൂല്യവും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിൽ നിന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക
x 0 നമുക്ക് k x = y "(x 0) ലഭിക്കുന്നു. ഈ സമത്വത്തിൽ നിന്ന് കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾക്കായി x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

ഇത് ത്രികോണമിതി സമവാക്യംടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ ഓർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കും.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk അല്ലെങ്കിൽ 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk അല്ലെങ്കിൽ 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk അല്ലെങ്കിൽ x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z എന്നത് പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്.

x കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തി. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ y യുടെ മൂല്യങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നതിലേക്ക് പോകേണ്ടതുണ്ട്:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 അല്ലെങ്കിൽ y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 അല്ലെങ്കിൽ y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 അല്ലെങ്കിൽ y 0 = - 4 5 + 1 3

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3, 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk; - 4 5 + 1 3 ആണ് സ്പർശനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ.

ഉത്തരം:ആവശ്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ ഇങ്ങനെ എഴുതും

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3, y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

ഒരു വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യത്തിനായി, ഒരു കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷനും ഒരു ടാൻജെൻ്റും പരിഗണിക്കുക.

ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതായി ചിത്രം കാണിക്കുന്നു [ - 10 ; 10 ], ബ്ലാക്ക് ലൈൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ആണെങ്കിൽ, നീല വരകൾ സ്‌പർശകങ്ങളാണ്, അവ y = - 2 x + 1 2 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ തന്നിരിക്കുന്ന വരിക്ക് ലംബമായി സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു. ചുവന്ന ഡോട്ടുകൾ ടച്ച് പോയിൻ്റുകളാണ്.

2nd ഓർഡർ കർവുകളുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒറ്റ മൂല്യമുള്ള ഫംഗ്ഷനുകളല്ല. അറിയപ്പെടുന്ന സ്കീമുകൾ അനുസരിച്ച് അവയ്ക്കുള്ള സ്പർശന സമവാക്യങ്ങൾ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

x c e n t e r എന്ന ബിന്ദുവിൽ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു വൃത്തം നിർവ്വചിക്കാൻ; y c e n t e r ഉം R ആരവും, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 എന്ന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക.

ഈ സമത്വം രണ്ട് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു യൂണിയൻ ആയി എഴുതാം:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ മുകളിലും രണ്ടാമത്തേത് താഴെയുമാണ്.

x 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ സമവാക്യം കംപൈൽ ചെയ്യാൻ; y 0 , മുകളിലോ താഴെയോ ഉള്ള അർദ്ധവൃത്തത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r അല്ലെങ്കിൽ y = - R 2 - x - x c e r 2 ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൻ്റെ സമവാക്യം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം. സൂചിപ്പിച്ച പോയിൻ്റിൽ y c e n t e r.

x c e n t e r എന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ ആയിരിക്കുമ്പോൾ; y c e n t e r + R, x c e n t e r; y = y c e n t e r + R, y = y c e n t e r - R എന്നീ സമവാക്യങ്ങളാൽ y c e n t e r - R ടാൻജൻ്റുകൾ നൽകാം, കൂടാതെ x c e n t e r + R എന്ന പോയിൻ്റുകളിലും; y c e n t e r ഉം
x c e n t e r - R; y c e n t e r o y ന് സമാന്തരമായിരിക്കും, അപ്പോൾ നമുക്ക് x = x c e n t e r + R, x = x c e n t e r - R എന്നീ രൂപങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ദീർഘവൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

ദീർഘവൃത്തത്തിന് x c e n t e r ൽ ഒരു കേന്ദ്രം ഉള്ളപ്പോൾ; y c e n t e r അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ a, b എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച്, അത് x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം.

ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെയും വൃത്തത്തെയും രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ സംയോജിപ്പിച്ച് സൂചിപ്പിക്കാം, അതായത് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധ-ദീർഘവൃത്തം. അപ്പോൾ നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ശിഖരങ്ങളിലാണ് ടാൻജെൻ്റുകൾ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ, അവ ഏകദേശം x അല്ലെങ്കിൽ ഏകദേശം y ന് സമാന്തരമാണ്. ചുവടെ, വ്യക്തതയ്ക്കായി, ചിത്രം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 6

x = 2 ന് തുല്യമായ x മൂല്യങ്ങളുള്ള പോയിൻ്റുകളിൽ ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ലേക്ക് സ്പർശനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം

x = 2 മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ നിലവിലുള്ള സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുകയും അത് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

അപ്പോൾ 2; 5 3 2 + 5 ഒപ്പം 2; - 5 3 2 + 5 എന്നത് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള അർദ്ധ ദീർഘവൃത്തത്തിൽ പെടുന്ന ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റുകളാണ്.

y യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കും പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്കും നമുക്ക് പോകാം. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

വ്യക്തമായും, y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, താഴത്തെ പകുതി ദീർഘവൃത്തം y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 എന്നിവയുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ചാണ് മുകളിലെ അർദ്ധ ദീർഘവൃത്തം വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നത്.

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റിനായി ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്‌ടിക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം പ്രയോഗിക്കാം. പോയിൻ്റ് 2-ൽ ആദ്യത്തെ ടാൻജെൻ്റിനുള്ള സമവാക്യം എന്ന് നമുക്ക് എഴുതാം; 5 3 2 + 5 പോലെ കാണപ്പെടും

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

പോയിൻ്റിലെ ഒരു മൂല്യമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
2 ; - 5 3 2 + 5 ഫോം എടുക്കുന്നു

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

ഗ്രാഫിക്കലായി, ടാൻജെൻ്റുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

ഹൈപ്പർബോളിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് x c e n t e r ൽ ഒരു കേന്ദ്രം ഉള്ളപ്പോൾ; y c e n t e r ഉം വെർട്ടീസുകളും x c e n t e r + α; y c e n t e r, x c e n t e r - α; y c e n t e r , അസമത്വം x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 നടക്കുന്നു, x c e n t e r ലംബങ്ങളോടെയാണെങ്കിൽ; y c e n t e r + b, x c e n t e r; y c e n t e r -b , തുടർന്ന് അസമത്വം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയെ ഫോമിൻ്റെ രണ്ട് സംയുക്ത പ്രവർത്തനങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r അല്ലെങ്കിൽ y = x a · 2 n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് സ്പർശനങ്ങൾ y ന് സമാന്തരമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ അവ x ന് സമാന്തരമാണ്.

ഒരു ഹൈപ്പർബോളയിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, സ്പർശനബിന്ദു ഏത് പ്രവർത്തനത്തിലാണെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ, സമവാക്യങ്ങളിൽ പകരം വയ്ക്കുകയും ഐഡൻ്റിറ്റി പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 7

പോയിൻ്റ് 7-ൽ ഹൈപ്പർബോള x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 വരെയുള്ള ടാൻജെൻ്റിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക; - 3 3 - 3 .

പരിഹാരം

2 ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഹൈപ്പർബോള കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പരിഹാര റെക്കോർഡ് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 ഒപ്പം y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

കോർഡിനേറ്റുകൾ 7 ഉള്ള ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റ് ഏത് ഫംഗ്‌ഷനുടേതാണെന്ന് തിരിച്ചറിയേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്; - 3 3 - 3 .

വ്യക്തമായും, ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ പരിശോധിക്കുന്നതിന് അത് ആവശ്യമാണ് y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, അപ്പോൾ പോയിൻ്റ് ഗ്രാഫിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല, കാരണം സമത്വം നിലനിൽക്കില്ല.

രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷനായി നമുക്ക് y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ഉണ്ട്, അതായത് പോയിൻ്റ് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൽ പെടുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നിങ്ങൾ ചരിവ് കണ്ടെത്തണം.

ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

ഉത്തരം:ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

ഇത് ഇതുപോലെ വ്യക്തമായി ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഒരു പരവലയത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ്

x 0, y (x 0) എന്ന പോയിൻ്റിൽ പരാബോള y = a x 2 + b x + c എന്നതിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിനായി ഒരു സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കണം, തുടർന്ന് സമവാക്യം y = y "(x" എന്ന ഫോം എടുക്കും. 0) x - x 0 + y ( x 0) ശീർഷത്തിലെ അത്തരമൊരു ടാൻജെൻ്റ് x ന് സമാന്തരമാണ്.

നിങ്ങൾ പരവലയ x = a y 2 + b y + c രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ യൂണിയൻ ആയി നിർവ്വചിക്കണം. അതിനാൽ, നമ്മൾ y യുടെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്:

ഒരു പോയിൻ്റ് x 0, y (x 0) ഒരു ഫംഗ്‌ഷനുടേതാണോ എന്ന് കണ്ടെത്താൻ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് മൃദുവായി തുടരുക. അത്തരം ഒരു സ്പർശനം പരവലയവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ o y ന് സമാന്തരമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 8

നമുക്ക് 150 ° ടാൻജെൻ്റ് കോൺ ഉള്ളപ്പോൾ x - 2 y 2 - 5 y + 3 എന്ന ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം

പരാബോളയെ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകളായി പ്രതിനിധീകരിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹാരം ആരംഭിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

ചരിവിൻ്റെ മൂല്യം ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പോയിൻ്റ് x 0 ലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത് ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകളുടെ x മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ആദ്യ ഫംഗ്ഷൻ ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

വ്യക്തമായും, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം ലഭിച്ചതിനാൽ യഥാർത്ഥ വേരുകളൊന്നുമില്ല. അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തിന് 150° കോണുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഇല്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

ഞങ്ങൾക്ക് കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകൾ 23 4 ആണ്; - 5 + 3 4 .

ഉത്തരം:ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

നമുക്ക് ഇത് ഗ്രാഫിക്കായി ഈ രീതിയിൽ ചിത്രീകരിക്കാം:

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ടാൻജെൻ്റ് ഒരു നേർരേഖയാണ് , ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ സ്പർശിക്കുന്നതും അതിൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അകലത്തിലുള്ളതുമാണ്. അതിനാൽ, ടാൻജെൻ്റ് ഒരു നിശ്ചിത കോണിൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റ് കടന്നുപോകുന്നു, കൂടാതെ വ്യത്യസ്ത കോണിലുള്ള നിരവധി ടാൻജൻ്റുകൾക്ക് സ്പർശനബിന്ദുകളിലൂടെ കടന്നുപോകാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യങ്ങളും സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളും ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

രേഖാ സമവാക്യത്തിൽ നിന്നാണ് ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം ഉരുത്തിരിഞ്ഞത് .

നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം നേടാം, തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള നോർമലിൻ്റെ സമവാക്യം.

വൈ = kx + ബി .

അതിൽ കെ- കോണീയ ഗുണകം.

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി ലഭിക്കും:

വൈ - വൈ 0 = കെ(x - x 0 ) .

ഡെറിവേറ്റീവ് മൂല്യം എഫ് "(x 0 ) പ്രവർത്തനങ്ങൾ വൈ = എഫ്(x) പോയിൻ്റിൽ x0 ചരിവിന് തുല്യമാണ് കെ= ടിജി φ ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ വരച്ച ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റ് എം0 (x 0 , വൈ 0 ) , എവിടെ വൈ0 = എഫ്(x 0 ) . ഇതാണ് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം .

അങ്ങനെ, നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം കെഓൺ എഫ് "(x 0 ) ഇനിപ്പറയുന്നവ നേടുകയും ചെയ്യുക ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം :

വൈ - വൈ 0 = എഫ് "(x 0 )(x - x 0 ) .

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം രചിക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ (ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ അവയിലേക്ക് പോകും), മുകളിൽ പറഞ്ഞ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സമവാക്യം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് പൊതുവായ രൂപത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ എല്ലാ അക്ഷരങ്ങളും അക്കങ്ങളും കൈമാറേണ്ടതുണ്ട് ഇടത് വശംസമവാക്യം, വലതുവശത്ത് പൂജ്യം വിടുക.

ഇപ്പോൾ സാധാരണ സമവാക്യത്തെക്കുറിച്ച്. സാധാരണ - ഇത് സ്പർശനത്തിന് ലംബമായി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് സ്പർശന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ്. സാധാരണ സമവാക്യം :

(x - x 0 ) + എഫ് "(x 0 )(വൈ - വൈ 0 ) = 0

ചൂടാക്കാൻ, ആദ്യ ഉദാഹരണം സ്വയം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു, തുടർന്ന് പരിഹാരം നോക്കുക. ഈ ടാസ്ക് ഞങ്ങളുടെ വായനക്കാർക്ക് ഒരു "തണുത്ത ഷവർ" ആയിരിക്കില്ലെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാൻ എല്ലാ കാരണവുമുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 0.ഒരു പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനായി ഒരു ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യവും ഒരു സാധാരണ സമവാക്യവും സൃഷ്ടിക്കുക എം (1, 1) .

ഉദാഹരണം 1.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനായി ഒരു ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യവും ഒരു സാധാരണ സമവാക്യവും എഴുതുക , abscissa ടാൻജെൻ്റ് ആണെങ്കിൽ.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നതിന് സൈദ്ധാന്തിക സഹായത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന എൻട്രിയിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കേണ്ടതെല്ലാം ഉണ്ട്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഭാഗ്യവാന്മാരായിരുന്നു: ചരിവ് പൂജ്യമായി മാറി, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യം വെവ്വേറെ കുറയ്ക്കുന്നു പൊതുവായ രൂപംആവശ്യമില്ലായിരുന്നു. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സാധാരണ സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കാം:

ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ: ബർഗണ്ടി നിറത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, ടാൻജെൻ്റ് പച്ച, ഓറഞ്ച് സാധാരണ.

അടുത്ത ഉദാഹരണവും സങ്കീർണ്ണമല്ല: ഫംഗ്ഷൻ, മുമ്പത്തേതിലെന്നപോലെ, ഒരു ബഹുപദമാണ്, പക്ഷേ ചരിവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കില്ല, അതിനാൽ ഒരു ഘട്ടം കൂടി ചേർക്കും - സമവാക്യം ഒരു പൊതു രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു.

ഉദാഹരണം 2.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് കണ്ടെത്താം:

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

.

നമുക്ക് സ്പർശനബിന്ദുവിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം, അതായത് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്:

ലഭിച്ച എല്ലാ ഡാറ്റയും ഞങ്ങൾ "ശൂന്യമായ ഫോർമുല" യിലേക്ക് മാറ്റി, ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം നേടുന്നു:

ഞങ്ങൾ സമവാക്യം അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു (ഇടത് വശത്ത് പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ അക്ഷരങ്ങളും അക്കങ്ങളും ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നു, വലതുവശത്ത് പൂജ്യം വിടുക):

ഞങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 3.അബ്‌സിസ്സയാണ് സ്പർശനബിന്ദുവെങ്കിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ സമവാക്യവും നോർമലിൻ്റെ സമവാക്യവും എഴുതുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് കണ്ടെത്താം:

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

.

നമുക്ക് സ്പർശനബിന്ദുവിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം, അതായത് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്:

.

ഞങ്ങൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം കണ്ടെത്തുന്നു:

സമവാക്യം അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ ഇത് കുറച്ച് "ചീപ്പ്" ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്: പദത്തെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുകയും സമവാക്യം അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 4.അബ്‌സിസ്സയാണ് സ്പർശനബിന്ദുവെങ്കിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ സമവാക്യവും നോർമലിൻ്റെ സമവാക്യവും എഴുതുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് കണ്ടെത്താം:

.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:

നമുക്ക് സ്പർശനബിന്ദുവിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം, അതായത് ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ്:

.

നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ പൊതുവായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു:

ഞങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:

ടാൻജെൻ്റ്, നോർമൽ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുമ്പോൾ ഒരു സാധാരണ തെറ്റ്, ഉദാഹരണത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ സങ്കീർണ്ണമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കാതിരിക്കുകയും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ലളിതമായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവായി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ(അനുബന്ധ പാഠം ഒരു പുതിയ വിൻഡോയിൽ തുറക്കും).

ഉദാഹരണം 5.അബ്‌സിസ്സയാണ് സ്പർശനബിന്ദുവെങ്കിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ സമവാക്യവും നോർമലിൻ്റെ സമവാക്യവും എഴുതുക.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റ് കണ്ടെത്താം:

ശ്രദ്ധ! ഈ പ്രവർത്തനം- സങ്കീർണ്ണമായ, സ്പർശന വാദം മുതൽ (2 x) തന്നെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ആണ്. അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി എഫ്(x) = 3x 2 + 4x- 5. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം എഫ്(x) abscissa ഉള്ള ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റിൽ x 0 = 1.

പരിഹാരം.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏത് x-നും നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (3x 2 + 4x– 5)′ = 6 x + 4.

പിന്നെ എഫ്(x 0) = എഫ്(1) = 2; (x 0) = = 10. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് ഈ രൂപമുണ്ട്:

വൈ = (x 0) (x – x 0) + എഫ്(x 0),

വൈ = 10(x – 1) + 2,

വൈ = 10x – 8.

ഉത്തരം. വൈ = 10x – 8.

ഉദാഹരണം 2.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി എഫ്(x) = x 3 – 3x 2 + 2x+ 5. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം എഫ്(x), വരിക്ക് സമാന്തരമായി വൈ = 2x – 11.

പരിഹാരം.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏത് x-നും നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (x 3 – 3x 2 + 2x+ 5)′ = 3 x 2 – 6x + 2.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് മുതൽ എഫ്(x) abscissa പോയിൻ്റിൽ x 0 വരിക്ക് സമാന്തരമാണ് വൈ = 2x– 11, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ ചരിവ് 2 ന് തുല്യമാണ്, അതായത് ( x 0) = 2. 3 എന്ന വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഈ abscissa കണ്ടെത്താം x– 6x 0 + 2 = 2. ഈ തുല്യത എപ്പോൾ മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ x 0 = 0 ഒപ്പം at x 0 = 2. രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും മുതൽ എഫ്(x 0) = 5, പിന്നെ നേരെ വൈ = 2x + ബിഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റിൽ (0; 5) അല്ലെങ്കിൽ പോയിൻ്റിൽ (2; 5) സ്പർശിക്കുന്നു.

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, സംഖ്യാ സമത്വം 5 = 2×0 + ശരിയാണ് ബി, എവിടെ ബി= 5, രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ സംഖ്യാ സമത്വം 5 = 2×2 + ശരിയാണ് ബി, എവിടെ ബി = 1.

അതിനാൽ രണ്ട് സ്പർശനങ്ങളുണ്ട് വൈ = 2x+ 5 ഒപ്പം വൈ = 2xഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് + 1 എഫ്(x), വരിക്ക് സമാന്തരമായി വൈ = 2x – 11.

ഉത്തരം. വൈ = 2x + 5, വൈ = 2x + 1.

ഉദാഹരണം 3.ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകി എഫ്(x) = x 2 – 6x+ 7. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം എഫ്(x), പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എ (2; –5).

പരിഹാരം.കാരണം എഫ്(2) –5, പിന്നെ പോയിൻ്റ് എഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല എഫ്(x). അനുവദിക്കുക x 0 - ടാൻജെൻ്റ് പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏത് x-നും നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (x 2 – 6x+ 1)′ = 2 x – 6.

പിന്നെ എഫ്(x 0) = x– 6x 0 + 7; (x 0) = 2x 0 - 6. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

വൈ = (2x 0 – 6)(x – x 0) + x– 6x+ 7,

വൈ = (2x 0 – 6)x– x+ 7.

പോയിൻ്റ് മുതൽ എസ്പർശനത്തിൻ്റേതാണ്, അപ്പോൾ സംഖ്യാ സമത്വം സത്യമാണ്

–5 = (2x 0 – 6)×2– x+ 7,

എവിടെ x 0 = 0 അല്ലെങ്കിൽ x 0 = 4. പോയിൻ്റിലൂടെ എന്നാണ് ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് എഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ടാൻജെൻ്റുകൾ വരയ്ക്കാം എഫ്(x).

എങ്കിൽ x 0 = 0, അപ്പോൾ ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട് വൈ = –6x+ 7. എങ്കിൽ x 0 = 4, അപ്പോൾ ടാൻജൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട് വൈ = 2x – 9.

ഉത്തരം. വൈ = –6x + 7, വൈ = 2x – 9.

ഉദാഹരണം 4.നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എഫ്(x) = x 2 – 2x+ 2 ഒപ്പം ജി(x) = –x 2 - 3. ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളിലേക്ക് പൊതു ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ സമവാക്യം എഴുതാം.

പരിഹാരം.അനുവദിക്കുക x 1 - ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ആവശ്യമുള്ള വരിയുടെ സ്പർശന പോയിൻ്റിൻ്റെ അബ്‌സിസ്സ എഫ്(x), എ x 2 - ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഒരേ വരിയുടെ സ്പർശന പോയിൻ്റിൻ്റെ abscissa ജി(x).

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എഫ്(x) ഏത് x-നും നിലവിലുണ്ട് ആർ . നമുക്ക് അവളെ കണ്ടെത്താം:

= (x 2 – 2x+ 2)′ = 2 x – 2.

പിന്നെ എഫ്(x 1) = x– 2x 1 + 2; (x 1) = 2x 1 - 2. ടാൻജെൻ്റ് സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

വൈ = (2x 1 – 2)(x – x 1) + x– 2x 1 + 2,

വൈ = (2x 1 – 2)x – x+ 2. (1)

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം ജി(x):

= (–x 2 – 3)′ = –2 x.