രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ബീജഗണിത വക്രം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യം കൊണ്ടാണ് എന്ന് ഞങ്ങൾ പറഞ്ഞു. എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്. പൊതുവേ, ഈ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

എ എക്സ് 2 + വി xy+ സി ചെയ്തത് 2 +D x+ഇ വൈ+ F = 0, (6)

കൂടാതെ A 2 + B 2 + C 2 ¹ 0 (അതായത്, A, B, C സംഖ്യകൾ ഒരേ സമയം പൂജ്യത്തിലേക്ക് തിരിയുകയില്ല). ഘടകങ്ങൾ എ എക്സ് 2, വി xy, കൂടെ ചെയ്തത് 2 സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രധാന പദങ്ങൾ, നമ്പർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

വിളിച്ചു വിവേചനംഈ സമവാക്യം. സമവാക്യം (6) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പൊതുവായ സമവാക്യംരണ്ടാം ഓർഡർ കർവ്.

മുമ്പ് പരിഗണിച്ച കർവുകൾക്കായി ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

ദീർഘവൃത്തം: Þ A = , B = 0, C = , D = E = 0, F = –1,

വൃത്തം എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 = എ 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = – എ 2, d = 1>0;

ഹൈപ്പർബോള: Þ A = , B = 0, C = – , D = E = 0, F = –1,

d = – .< 0.

പരാബോള: ചെയ്തത് 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 ആർ, E = F = 0, d = 0,

എക്സ് 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 ആർ, F = 0, d = 0.

സമവാക്യം (6) നൽകുന്ന വക്രങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു കേന്ദ്ര d¹0 ആണെങ്കിൽ വളവുകൾ. d> 0 ആണെങ്കിൽ, വക്രം ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ളതരം, എങ്കിൽ d<0, то кривая ഹൈപ്പർബോളിക്തരം. d = 0 എന്ന വക്രങ്ങൾ വക്രങ്ങളാണ് പരാബോളിക്തരം.

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ലൈൻ ഇൻ ആണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് ഏതെങ്കിലുംകാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഒരു രണ്ടാം ക്രമ ബീജഗണിത സമവാക്യം നൽകുന്നു. ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ മാത്രം സമവാക്യത്തിന് സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു രൂപമുണ്ട് (ഉദാഹരണത്തിന്, (6)), മറ്റൊന്നിൽ ഇതിന് ലളിതമായ ഒരു രൂപമുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, (5). അതിനാൽ, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള വക്രം ഏറ്റവും ലളിതമായ (ഉദാഹരണത്തിന്, കാനോനിക്കൽ) സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുന്ന ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനം, അതിൽ ഫോമിൻ്റെ (6) ഒരു സമവാക്യം നൽകുന്ന വക്രം, അതിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് ലളിതമായ രൂപമുള്ള മറ്റൊന്നിലേക്ക്, വിളിക്കുന്നു കോർഡിനേറ്റ് പരിവർത്തനം.

കോർഡിനേറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രധാന തരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഐ. പരിവർത്തനം നടത്തുകകോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ (ദിശയുടെ സംരക്ഷണത്തോടെ). യഥാർത്ഥ XOU കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ പോയിൻ്റ് M-ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടാകട്ടെ ( എക്സ്, ചെയ്തത്എക്സ്¢, ചെയ്തത്¢). ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്ത സിസ്റ്റങ്ങളിലെ പോയിൻ്റ് M ൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ ബന്ധങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് കാണാൻ കഴിയും

(7), അല്ലെങ്കിൽ (8).

ഫോർമുലകൾ (7), (8) എന്നിവയെ കോർഡിനേറ്റ് ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ ഫോർമുലകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

II. റൊട്ടേഷൻ പരിവർത്തനംആംഗിൾ a വഴി അക്ഷങ്ങൾ ഏകോപിപ്പിക്കുക. യഥാർത്ഥ XOU കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പോയിൻ്റിൽ M കോർഡിനേറ്റുകളുണ്ടെങ്കിൽ ( എക്സ്, ചെയ്തത്), കൂടാതെ പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ХО¢У ഇതിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് ( എക്സ്¢, ചെയ്തത്¢). അപ്പോൾ ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

, (9)

അഥവാ

ഒരു കോർഡിനേറ്റ് പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച്, സമവാക്യം (6) ഇനിപ്പറയുന്നതിൽ ഒന്നായി ചുരുക്കാം കാനോനിക്കൽസമവാക്യങ്ങൾ.

1) - ദീർഘവൃത്തം,

2) - അതിഭാവുകത്വം,

3) ചെയ്തത് 2 = 2px, എക്സ് 2 = 2RU- പരവലയം

4) എ 2 എക്സ് 2 – ബി 2 വൈ 2 = 0 - വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ജോടി വരികൾ (ചിത്രം. a)

5) വൈ 2 – എ 2 = 0 - ജോടി സമാന്തര രേഖകൾ (ചിത്രം ബി)

6) x 2 –എ 2 = 0 - ഒരു ജോടി സമാന്തര വരകൾ (ചിത്രം സി)

7) വൈ 2 = 0 - നേർരേഖകൾ (OX അക്ഷം)

8)x 2 = 0 - നേർരേഖകൾ (OA ആക്സിസ്)

9) എ 2 എക്സ് 2 + ബി 2 വൈ 2 = 0 - പോയിൻ്റ് (0, 0)

10) സാങ്കൽപ്പിക ദീർഘവൃത്തം

11) വൈ 2 + എ 2 = 0 - ജോഡി സാങ്കൽപ്പിക വരികൾ

12) x 2 + എ 2 = 0 ജോഡി സാങ്കൽപ്പിക വരികൾ.

ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഓരോന്നും ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ലൈൻ സമവാക്യമാണ്. 4 - 12 സമവാക്യങ്ങളാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട വരികളെ വിളിക്കുന്നു അധഃപതിക്കുകരണ്ടാം ഓർഡർ വളവുകൾ.

ഒരു വക്രത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

1) 9എക്സ് 2 + 4ചെയ്തത് 2 – 54എക്സ് + 8ചെയ്തത്+ 49 = 0 Þ (9 എക്സ് 2 – 54എക്സ്) + (4ചെയ്തത് 2 + 8ചെയ്തത്) + 49 = 0 Þ

9(എക്സ് 2 – 6എക്സ്+ 9) + 4(ചെയ്തത് 2 + 2ചെയ്തത്+ 1) – 81 – 4 + 49 = 0 Þ 9( എക്സ് –3) 2 + 4(ചെയ്തത്+ 1) = 36, Þ

.

ഇടാം എക്സ്¢ = എക്സ് – 3, ചെയ്തത്¢ = ചെയ്തത്+ 1, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും . തുല്യതകൾ എക്സ്¢ = എക്സ് – 3, ചെയ്തത്¢ = ചെയ്തത്+ 1 പോയിൻ്റിലേക്ക് കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കൈമാറ്റത്തിൻ്റെ പരിവർത്തനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു (3, -1). പഴയതും പുതിയതുമായ കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചതിനാൽ, ഈ ദീർഘവൃത്തത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

2) 3ചെയ്തത് 2 +4എക്സ്– 12ചെയ്തത്+8 = 0. രൂപാന്തരം:

(3ചെയ്തത് 2 – 12ചെയ്തത്)+ 4 എക്സ്+8 = 0

3(ചെയ്തത് 2 – 4ചെയ്തത്+4) - 12 + 4 എക്സ് +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(എക്സ് –1) = 0

(ചെയ്തത് – 2) 2 = – (എക്സ് – 1) .

ഇടാം എക്സ്¢ = എക്സ് – 1, ചെയ്തത്¢ = ചെയ്തത്– 2, നമുക്ക് പരവലയത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ലഭിക്കും ചെയ്തത്¢ 2 =- എക്സ്¢. തിരഞ്ഞെടുത്ത മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് O¢(1,2) ലേക്ക് കൈമാറ്റം ചെയ്യുന്നതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതു സമവാക്യം പരിഗണിക്കും. ഈ വരിയുടെ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പോയിൻ്റും ഈ വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററും അറിയാമെങ്കിൽ ഒരു രേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം. ഒരു സമവാക്യത്തെ പൊതുവായ രൂപത്തിൽ കാനോനിക്കൽ, പാരാമെട്രിക് രൂപങ്ങളാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ ഓക്സി. ഒരു ഒന്നാം ഡിഗ്രി അല്ലെങ്കിൽ രേഖീയ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

എവിടെ എ, ബി, സി− ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ, കുറഞ്ഞത് ഒരു മൂലകമെങ്കിലും എഒപ്പം ബിപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 1. ഒരു വിമാനത്തിലെ അനിയന്ത്രിതമായ കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഓരോ നേർരേഖയും ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം. നേരെമറിച്ച്, ഒരു വിമാനത്തിലെ അനിയന്ത്രിതമായ കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഓരോ രേഖീയ സമവാക്യവും (1) ഒരു നേർരേഖയെ നിർവചിക്കുന്നു.

തെളിവ്. നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിഎൽ

ഏതെങ്കിലും ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിനായുള്ള ഒരു ലീനിയർ സമവാക്യം നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം അത് കാർട്ടീഷ്യൻ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഏത് തിരഞ്ഞെടുപ്പിനും ഒരു ലീനിയർ സമവാക്യത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും. നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിവിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖ നൽകട്ടെ . നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ അച്ചുതണ്ട്കാള നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിഒരു നേർരേഖയുമായി പൊരുത്തപ്പെട്ടു , അച്ചുതണ്ട്അയ്യോ നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിഅതിന് ലംബമായിരുന്നു. പിന്നെ വരിയുടെ സമവാക്യം

y=0. നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിഎല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഒരു വരിയിൽ

രേഖീയ സമവാക്യം (2) തൃപ്തിപ്പെടുത്തും, ഈ രേഖയ്ക്ക് പുറത്തുള്ള എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും സമവാക്യം (2) തൃപ്തിപ്പെടുത്തില്ല. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യഭാഗം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. എഒപ്പം ബിഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നൽകുകയും ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം (1) നൽകുകയും ചെയ്യട്ടെ, അവിടെ കുറഞ്ഞത് ഒരു മൂലകമെങ്കിലും എഒപ്പം ബിപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. സമവാക്യം (1) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പോയിൻ്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും ഉള്ളതിനാൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്(x 0 ,വൈഎം എ 0). (ഉദാഹരണത്തിന്, എപ്പോൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട് 0 (−≠0, പോയിൻ്റ്സി/എ

സി

(1) ൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി (3) കുറയ്ക്കാം:

വ്യക്തമായും, സമവാക്യം (4) സമവാക്യം (1) ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, (4) ഒരു നിശ്ചിത വരി നിർവചിക്കുന്നു എന്ന് തെളിയിക്കാൻ മതിയാകും. ഞങ്ങൾ ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, ഇത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു (4) ഘടകങ്ങളുള്ള വെക്റ്റർ ( 0 , x−x y−y 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽഎൻ കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം (}.

എ, ബി നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിനമുക്ക് കുറച്ച് നേർരേഖ പരിഗണിക്കാം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട് 0 (x 0 , വൈ, പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ 0) വെക്റ്ററിന് ലംബമായി പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്(x(ചിത്രം 1). കാര്യം പറയട്ടെ നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതി,y) വരിയിൽ പെടുന്നു ഞങ്ങൾ ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, ഇത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു (4) ഘടകങ്ങളുള്ള വെക്റ്റർ ( 0 , x−x 0 ലംബമായി 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽസമവാക്യം (4) തൃപ്തികരമാണ് (വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെലാർ ഉൽപ്പന്നം 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽപൂജ്യത്തിന് തുല്യവും). നേരെമറിച്ച്, പോയിൻ്റ് ആണെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്(x,y) ഒരു വരിയിൽ കിടക്കുന്നില്ല നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതി, പിന്നെ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്റർ ഞങ്ങൾ ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, ഇത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു (4) ഘടകങ്ങളുള്ള വെക്റ്റർ ( 0 , x−xവെക്റ്ററിന് 0 ഓർത്തോഗണൽ അല്ല 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽസമവാക്യം (4) തൃപ്തികരമല്ല. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടതാണ്.

തെളിവ്. 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ 1 ={എ 1 ,ബി(5) ഉം (6) വരികളും ഒരേ വരിയെ നിർവ്വചിക്കുന്നതിനാൽ, സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾ 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ 2 ={എ 2 ,ബി 1) ഒപ്പം 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ 1 ≠0, 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ 2) കോളിനിയർ. വെക്റ്ററുകൾ മുതൽ λ 2 ≠0, അപ്പോൾ അത്തരമൊരു സംഖ്യയുണ്ട് 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ 2 =0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ 1 λ , എന്ത് എ 2 =എ 1 λ , ബി 2 =ബി 1 λ . ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: എഴുതിയത് 2 =എഴുതിയത് 1 λ . അത് തെളിയിക്കട്ടെ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട് 0 (x 0 , വൈ. വ്യക്തമായും, പൊരുത്തപ്പെടുന്ന വരികൾക്ക് ഒരു പൊതു പോയിൻ്റുണ്ട് λ 0). സമവാക്യം (5) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക

അതിൽ നിന്ന് സമവാക്യം (6) കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും: എഴുതിയത് 1 λ −എഴുതിയത്എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ നിന്നുള്ള ആദ്യത്തെ രണ്ട് തുല്യതകൾ (7) തൃപ്തിപ്പെട്ടതിനാൽ, അപ്പോൾ എഴുതിയത് 2 =എഴുതിയത് 1 λ 2 =0. ആ.

. പരാമർശം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട് 0 (x 0 , വൈപോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം സമവാക്യം (4) നിർവ്വചിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ={കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം ( 0) കൂടാതെ ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉള്ളത്

). അതിനാൽ, ഒരു രേഖയുടെ സാധാരണ വെക്‌ടറും ഈ വരിയുടെ പോയിൻ്റും അറിയാമെങ്കിൽ, സമവാക്യം (4) ഉപയോഗിച്ച് വരിയുടെ പൊതു സമവാക്യം നിർമ്മിക്കാം. പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്ഉദാഹരണം 1. ഒരു നേർരേഖ ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ=(4,−1) കൂടാതെ ഒരു സാധാരണ വെക്‌ടറും ഉണ്ട്

=(3, 5). ഒരു വരിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുക. x 0 =4, വൈ 0 =−1, എ=3, ബിപരിഹാരം.

നമുക്ക് ഉണ്ട്:

=5. ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (4): നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിഉത്തരം: നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിവെക്റ്റർ രേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ് നേർരേഖയാണെന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതിഅതിനാൽ, വരിയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററിന് ലംബമായി 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ. നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ ലൈൻ വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാം 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ={1,−3}.

, വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കിലെടുക്കുന്നു പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്പൂജ്യത്തിന് തുല്യവും. നമുക്ക് എഴുതാം, ഉദാഹരണത്തിന്, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (4) ആയി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം 0 ) വെക്റ്ററിലേക്ക് ഓർത്തോഗണൽ:

1 (നമുക്ക് പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും എടുക്കാം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട് 2) കൂടാതെ സാധാരണ വെക്റ്റർ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

നമുക്ക് ഉണ്ട്:

1 ഒപ്പം

2 in (9) സമവാക്യം (9) നൽകുന്ന നേർരേഖ ഈ പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം. (1) ൽ നിന്ന് (10) കുറയ്ക്കുക:={−ബി, എവരിയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിച്ചു. വെക്റ്റർ

q

) ആണ് ലൈനിൻ്റെ ദിശ വെക്റ്റർ (12).

വിപരീത പരിവർത്തനം കാണുക.

ഉദാഹരണം 3. ഒരു തലത്തിലെ ഒരു നേർരേഖയെ ഇനിപ്പറയുന്ന പൊതു സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ പദം വലത്തേക്ക് നീക്കി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും 2·5 കൊണ്ട് ഹരിക്കാം.

രണ്ടാം ഓർഡർ കർവ്

- വിമാനത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനം, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:, ഇതിൽ ഒരു ഗുണകമെങ്കിലും, ഒരു 11ഒരു 12

ഒരു 22

പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

രണ്ടാം ഓർഡർ വളവുകളുടെ മാറ്റമില്ലാത്തവ.

വക്രത്തിൻ്റെ ആകൃതി താഴെ നൽകിയിരിക്കുന്ന 4 മാറ്റങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു: കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ റൊട്ടേഷനും ഷിഫ്റ്റും സംബന്ധിച്ച മാറ്റങ്ങൾ:):

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഭ്രമണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മാറ്റമില്ലാത്തത് ( അർദ്ധ-മാറ്റമില്ലാത്ത

രണ്ടാം ഓർഡർ കർവുകൾ പഠിക്കാൻ, ഉൽപ്പന്നം പരിഗണിക്കുക എ*എസ്.ജനറൽ

Ax 2 +2Bxy+Cy 2 +2Dx+2Ey+F=0

എങ്കിൽ എ*സി > 0 ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള തരം. ഏതെങ്കിലും ദീർഘവൃത്താകൃതി

സമവാക്യം എന്നത് ഒരു സാധാരണ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെയോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഡീജനറേറ്റ് ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ (പോയിൻ്റ്) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സാങ്കൽപ്പികത്തിൻ്റെയോ സമവാക്യമാണ്

ദീർഘവൃത്തം (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമവാക്യം വിമാനത്തിൽ ഒരൊറ്റ ജ്യാമിതീയ ചിത്രം നിർവചിക്കുന്നില്ല);

എങ്കിൽ എ*സി< 0 , അപ്പോൾ സമവാക്യം സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപമെടുക്കുന്നു ഹൈപ്പർബോളിക് തരം. ഏതെങ്കിലും ഹൈപ്പർബോളിക്

സമവാക്യം ഒരു ലളിതമായ ഹൈപ്പർബോള അല്ലെങ്കിൽ ഡീജനറേറ്റ് ഹൈപ്പർബോള (രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ) പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു;

എങ്കിൽ A*C = 0, അപ്പോൾ രണ്ടാം ഓർഡർ ലൈൻ സെൻട്രൽ ആയിരിക്കില്ല. ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു

സമവാക്യങ്ങൾ പരാബോളിക് തരംകൂടാതെ വിമാനത്തിൽ ഒരു ലളിതമായ പരവലയമോ 2 സമാന്തരമോ പ്രകടിപ്പിക്കുക

(ഒന്നുകിൽ യാദൃശ്ചികം) നേർരേഖകൾ, അല്ലെങ്കിൽ വിമാനത്തിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ ചിത്രം പ്രകടിപ്പിക്കരുത്;

എങ്കിൽ എ*സി ≠ 0, രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവ് ആയിരിക്കും

ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ വക്രത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

, 0) പോയിൻ്റുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനത്തിൻ്റേതാണ്). (1) എന്നതിലേക്ക് ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും 2 + 2Bxy + സൈ 2 + 2Dx + 2ഏയ് + എഫ് = 0, (39)

എവിടെ എ 2 + ബി 2 + എഴുതിയത് 2 0, (എ, ബി, എഴുതിയത്, ഡി, ഇ, എഫ്) ആർ. വിമാനത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായി സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന എല്ലാ കോണിക് വിഭാഗങ്ങളും ഇത് നിർവചിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്ന് (39) ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റുകൾ രചിക്കുന്നു:

വിളിച്ചു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം(39), കൂടാതെ - സമവാക്യത്തിലെ മുൻനിര നിബന്ധനകളുടെ വിവേചനം. 0-ൽ, സമവാക്യം (39) നിർണ്ണയിക്കുന്നു: > 0 - ദീർഘവൃത്തം;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

ചിത്രത്തിൻ്റെ സമമിതി അക്ഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് നീങ്ങിക്കൊണ്ട് രേഖീയവും ക്രോസ് പദങ്ങളും ഒഴിവാക്കിയാൽ പൊതുവായ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (39) നമുക്ക് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് നീങ്ങാം. നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം (39) xഓൺ x + എഒപ്പം വൈഓൺ വൈ + ബി, എവിടെ എ, ബിചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. ഇതിനായി ലഭിച്ച ഗുണകങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം എക്സ്ഒപ്പം വൈഅവയെ 0 ന് തുല്യമാക്കുക

(Aa + Bb + ഡി)x = 0, (സിബി + ബാ + ഇ)വൈ = 0. (41)

തൽഫലമായി, സമവാക്യം (39) ഫോം എടുക്കും:

എ(x) 2 + 2ബി(x)(വൈ) + എഴുതിയത്(വൈ) 2 + എഫ് = 0, (42)

ഗുണകങ്ങൾ എവിടെയാണ് എ, ബി, എഴുതിയത്മാറിയിട്ടില്ല, പക്ഷേ എഫ്=/. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ പരിഹാരം (41) ചിത്രത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ നിർണ്ണയിക്കും:

എങ്കിൽ ബി= 0, അപ്പോൾ എ = -ഡി/എ, ബി = -ഇ/എഴുതിയത്കൂടാതെ (39) ലെ ലീനിയർ പദങ്ങൾ ഒരു പൂർണ്ണ ചതുരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇല്ലാതാക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

, 0) പോയിൻ്റുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനത്തിൻ്റേതാണ്). (1) എന്നതിലേക്ക് ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും 2 + 2Dx = എ(x 2 + 2xD/എ + (ഡി/എ) 2 - (ഡി/എ) 2) = എ(x + ഡി/എ) 2 - ഡി 2 /എ.

സമവാക്യത്തിൽ (42) ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റുകളെ ആംഗിൾ a (38) ഉപയോഗിച്ച് തിരിക്കുന്നു. ക്രോസ് ടേമിനുള്ള ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഗുണകം നമുക്ക് എഴുതാം xവൈഅത് 0 ന് തുല്യമായി സജ്ജമാക്കുക

xy = 0. (44)

വ്യവസ്ഥ (44) കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ ആവശ്യമായ ഭ്രമണ കോണിനെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അവ ചിത്രത്തിൻ്റെ സമമിതി അക്ഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുകയും രൂപം എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

സമവാക്യം (42) രൂപമെടുക്കുന്നു:

എ+X2+ എഴുതിയത് + വൈ 2 + എഫ് = 0 (46)

അതിൽ നിന്ന് വക്രത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

സാധ്യതകൾ എ + , എഴുതിയത്+ , വ്യവസ്ഥയിൽ (45), ഒരു സഹായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ടി 2 - (എ + എഴുതിയത്)ടി + = 0. (48)

തൽഫലമായി, ചിത്രത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളുടെ സ്ഥാനവും ദിശയും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ അർദ്ധ അക്ഷം:

കൂടാതെ അത് ജ്യാമിതീയമായി നിർമ്മിക്കാം.

കേസിൽ = 0 നമുക്ക് ഒരു പരവലയമുണ്ട്. അതിൻ്റെ സമമിതി അക്ഷം അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ ഓ, അപ്പോൾ സമവാക്യം കുറയുന്നു:

ഇല്ലെങ്കിൽ, നോക്കുക:

ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ എക്സ്പ്രഷനുകൾ, 0 ന് തുല്യമാണ്, പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ വരികൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു: , .

പൊതുവായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 15.സമവാക്യം 2 നൽകുക x 2 + 3വൈ 2 - 4x + 6വൈ- 7 = 0 കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ഒരു വക്രം നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം. ബി= 0, = -72 0, = 6 > 0 ദീർഘവൃത്തം.

ഒരു പെർഫെക്റ്റ് സ്ക്വയറിലേക്ക് ഒരു റിഡക്ഷൻ നടത്താം:

2(x - 1) 2 + 3(വൈ + 1) 2 - 12 = 0.

സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ (1; -1), രേഖീയ പരിവർത്തനം എക്സ് = x - 1, വൈ = വൈ+ 1 സമവാക്യത്തെ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു.

ഉദാഹരണം 16.സമവാക്യം 2 നൽകുക xy = എ 2 കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ഒരു വക്രം നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം. ബി = 1, = എ 2 0, = -1 < 0 гипербола .

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം വക്രത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രത്തിലാണ്, കാരണം സമവാക്യത്തിൽ രേഖീയ പദങ്ങളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് അക്ഷങ്ങൾ ഒരു കോണിൽ തിരിക്കാം a. ഫോർമുല (45) അനുസരിച്ച് നമുക്ക് tan2a = ഉണ്ട് ബി/(എ - എഴുതിയത്) =, അതായത്. a = 45°. കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ (46) എ + , എഴുതിയത്+ സമവാക്യം (48): ടി 2 = 1 അല്ലെങ്കിൽ ടി 1,2 = 1 എ + = 1, എഴുതിയത്+ = -1, അതായത്.
എക്സ് 2 - വൈ 2 = എ 2 അല്ലെങ്കിൽ . അതിനാൽ സമവാക്യം 2 xy = എ(0; 0) സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമുള്ള ഒരു ഹൈപ്പർബോളയെ 2 വിവരിക്കുന്നു. സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടറുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളായി വർത്തിക്കുന്നു, ഹൈപ്പർബോളയുടെ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ തുല്യമാണ് എ.y - 9 =0;

9x 2 + വൈ 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4എക്സ് + വൈ - 2 = 0;

3x 2 - 6എക്സ് - വൈ + 2 = 0;

-x 2 + 4വൈ 2 - 8x - 9വൈ + 16 = 0;

4x 2 + 8എക്സ് - വൈ - 5 = 0;

9x 2 - വൈ 2 + 18x + 2വൈ - 1 = 0;

9x 2 - 4വൈ 2 + 36x + 16വൈ - 16 = 0.

നമുക്ക് വിമാനത്തിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം സ്ഥാപിക്കുകയും രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പൊതു സമവാക്യം പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യാം.

അതിൽ
.

സമവാക്യം (8.4.1) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന കോർഡിനേറ്റുകളുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളുടെയും ഗണത്തെ വിളിക്കുന്നു വക്രമായ (ലൈൻ) രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ.

ഏതൊരു രണ്ടാം-ക്രമ വക്രത്തിനും ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഉണ്ട്, അതിനെ കാനോനിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ ഈ വക്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമുകളിലൊന്ന് ഉണ്ട്:

1)
(ദീർഘവൃത്തം);

2)
(സാങ്കൽപ്പിക ദീർഘവൃത്തം);

3)
(ഒരു ജോടി സാങ്കൽപ്പിക വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ);

4)
(ഹൈപ്പർബോള);

5)
(ഒരു ജോടി വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ);

6)
(പരവല);

7)
(ഒരു ജോടി സമാന്തര വരികൾ);

8)
(ഒരു ജോടി സാങ്കൽപ്പിക സമാന്തര രേഖകൾ);

9)
(ഒരു ജോടി യോജിച്ച വരികൾ).

സമവാക്യങ്ങൾ 1)-9) എന്ന് വിളിക്കുന്നു രണ്ടാം ഓർഡർ കർവുകളുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ വക്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിൽ, വക്രത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവും കണ്ടെത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നത് വക്രത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാനും യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാനും അനുവദിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനം
കാനോനിക്കൽ വരെ
പോയിൻ്റിന് ചുറ്റും യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുകൾ ഭ്രമണം ചെയ്തുകൊണ്ട് നടപ്പിലാക്കുന്നു കുറിച്ച്ഒരു നിശ്ചിത കോണിലേക്ക് , കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ തുടർന്നുള്ള സമാന്തര വിവർത്തനം.

രണ്ടാം ഓർഡർ കർവ് മാറ്റമില്ല(8.4.1) അതിൻ്റെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് അതേ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറില്ല.

ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ വക്രത്തിന് (8.4.1), ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

,

മുൻനിര പദങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ ഡിറ്റർമിനൻ്റ്

മൂന്നാം ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനൻ്റും

മാറ്റമില്ലാത്തവയാണ്.

s, ,  എന്നീ മാറ്റങ്ങളുടെ മൂല്യം തരം നിർണ്ണയിക്കാനും രണ്ടാം ഓർഡർ വക്രത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം രചിക്കാനും ഉപയോഗിക്കാം (പട്ടിക 8.1).

പട്ടിക 8.1

മാറ്റങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള രണ്ടാം ഓർഡർ കർവുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള എന്നിവയെ നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാം.

ദീർഘവൃത്തം(ചിത്രം 8.1) എന്നത് രണ്ട് നിശ്ചിത ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ ആകെത്തുക എന്ന തലത്തിലുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്
ഈ വിമാനം, വിളിച്ചു ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഫോസി, ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ് (foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ വലുത്). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോസിയുടെ യാദൃശ്ചികത ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നില്ല. foci ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമാണ്.

ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഒരു ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ കേന്ദ്രബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിൻ്റെ പകുതി തുക സൂചിപ്പിക്കുന്നു എ, ഫോക്കസുകൾ തമ്മിലുള്ള പകുതി ദൂരം - കൂടെ. ഒരു വിമാനത്തിൽ ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുത്താൽ, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രഭാഗം അക്ഷത്തിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു കുറിച്ച്xഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയായി, ഈ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ദീർഘവൃത്തം സമവാക്യം നൽകുന്നു

, (8.4.2)

വിളിച്ചു കാനോനിക്കൽ ദീർഘവൃത്ത സമവാക്യം, എവിടെ
.

അരി. 8.1

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളും ഉത്ഭവവും സംബന്ധിച്ച് ദീർഘവൃത്തം സമമിതിയാണ്. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു അക്ഷങ്ങൾ, സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രം. അതേ സമയം, ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അക്ഷങ്ങളെ പലപ്പോഴും സംഖ്യകൾ 2 എന്ന് വിളിക്കുന്നു എകൂടാതെ 2 ബി, കൂടാതെ അക്കങ്ങളും എഒപ്പം ബി – വലിയഒപ്പം ചെറിയ അക്ഷംയഥാക്രമം.

ഒരു ദീർഘവൃത്തം അതിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുകളുള്ള വിഭജന പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ശീർഷങ്ങൾ. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ലംബങ്ങൾക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് ( എ, 0), (–എ, 0), (0, ബി), (0, –ബി).

എലിപ്സ് എക്സെൻട്രിസിറ്റിനമ്പർ വിളിച്ചു

. (8.4.3)

0  മുതൽ സി < എ, ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ഉത്കേന്ദ്രത 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

ഉത്കേന്ദ്രത ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു: പൂജ്യത്തോട് അടുക്കുന്തോറും ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തത്തോട് സാമ്യമുള്ളതാണ്;  വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് ദീർഘവൃത്തം കൂടുതൽ നീളമേറിയതാകുന്നു.

അനുവദിക്കുക
- ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ്,
ഒപ്പം
- പോയിൻ്റിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം എംതന്ത്രങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് എഫ് 1 ഒപ്പം എഫ്യഥാക്രമം 2. നമ്പറുകൾ ആർ 1 ഒപ്പം ആർ 2 വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ഫോക്കൽ ആരം എം ദീർഘവൃത്തംഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

പ്രധാനാധ്യാപികമാർഒരു സർക്കിളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് ദീർഘവൃത്തംകാനോനിക്കൽ സമവാക്യം (8.4.2) ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് വരികൾ വിളിക്കുന്നു

.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകൾ ദീർഘവൃത്തത്തിന് പുറത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 8.1).

ഫോക്കൽ റേഡിയസ് അനുപാതം പോയിൻ്റുകൾപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട്ദൂരത്തിലേക്കുള്ള ദീർഘവൃത്തം  ഈ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ (ഫോക്കസും ഡയറക്‌ട്രിക്‌സും ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ മധ്യഭാഗത്ത് ഒരേ വശത്താണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ അവ അനുബന്ധമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു).

ഹൈപ്പർബോൾ(ചിത്രം 8.2) എന്നത് രണ്ട് നിശ്ചിത ബിന്ദുക്കളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസിൻ്റെ തലത്തിലുള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ്. ഒപ്പം ഈ വിമാനം, വിളിച്ചു അതിഭാവുകത്വ തന്ത്രങ്ങൾ, ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ് (പൂജ്യം തുല്യമല്ല, foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ കുറവാണ്).

foci തമ്മിലുള്ള ദൂരം 2 ആയിരിക്കട്ടെ കൂടെ, കൂടാതെ ദൂര വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിർദ്ദിഷ്ട മൊഡ്യൂൾ 2 ന് തുല്യമാണ് എ. ദീർഘവൃത്തത്തിന് സമാനമായി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഈ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഹൈപ്പർബോള സമവാക്യം നൽകുന്നു

, (8.4.4)

വിളിച്ചു കാനോനിക്കൽ ഹൈപ്പർബോള സമവാക്യം, എവിടെ
.

അരി. 8.2

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലൂടെ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളാണ്, കൂടാതെ ഉത്ഭവം അതിൻ്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമാണ്. ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമമിതിയുടെ അക്ഷങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു അക്ഷങ്ങൾ, സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രം ഹൈപ്പർബോളയുടെ കേന്ദ്രം. വശങ്ങളുള്ള ദീർഘചതുരം 2 എകൂടാതെ 2 ബി, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. 8.2, വിളിച്ചു ഹൈപ്പർബോളയുടെ അടിസ്ഥാന ദീർഘചതുരം. അക്കങ്ങൾ 2 എകൂടാതെ 2 ബിഹൈപ്പർബോളയുടെ അക്ഷങ്ങളും സംഖ്യകളുമാണ് എഒപ്പം ബി- അവളുടെ ആക്സിൽ ഷാഫ്റ്റുകൾ. പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ ഡയഗണലുകളുടെ തുടർച്ചയായ നേർരേഖകൾ രൂപം കൊള്ളുന്നു ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ലക്ഷണങ്ങൾ

.

അച്ചുതണ്ടുമായി ഹൈപ്പർബോളയുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ . നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ അച്ചുതണ്ട്വിളിക്കുന്നു ഒരു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ശീർഷങ്ങൾ. ഹൈപ്പർബോളയുടെ ലംബങ്ങൾക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് ( എ, 0), (–എ, 0).

ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രതനമ്പർ വിളിച്ചു

. (8.4.5)

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് കൂടെ > എ, ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രത  > 1. നമുക്ക് സമത്വം (8.4.5) രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം

.

ഉത്കേന്ദ്രത പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ ആകൃതിയെ ചിത്രീകരിക്കുന്നുവെന്നും അതിനാൽ, ഹൈപ്പർബോളയുടെ ആകൃതി തന്നെയാണെന്നും ഇത് കാണിക്കുന്നു: ചെറുതായത്, പ്രധാന ദീർഘചതുരം കൂടുതൽ വിപുലീകരിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനുശേഷം ഹൈപ്പർബോള തന്നെ അച്ചുതണ്ടിലൂടെയാണ്. . നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ അച്ചുതണ്ട്.

അനുവദിക്കുക
- ഹൈപ്പർബോളയുടെ അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റ്,
ഒപ്പം
- പോയിൻ്റിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം എംതന്ത്രങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് എഫ് 1 ഒപ്പം എഫ്യഥാക്രമം 2. നമ്പറുകൾ ആർ 1 ഒപ്പം ആർ 2 വിളിക്കപ്പെടുന്നു ഒരു ബിന്ദുവിൻ്റെ ഫോക്കൽ ആരം എം ഹൈപ്പർബോളുകൾഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

പ്രധാനാധ്യാപികമാർ ഹൈപ്പർബോളുകൾകാനോനിക്കൽ സമവാക്യം (8.4.4) ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് വരികൾ വിളിക്കുന്നു

.

ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകൾ പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തെ വിഭജിക്കുകയും ഹൈപ്പർബോളയുടെ മധ്യഭാഗത്തിനും അനുബന്ധ ശീർഷകത്തിനുമിടയിൽ കടന്നുപോകുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 8.2).

കുറിച്ച് ഫോക്കൽ റേഡിയസ് അനുപാതം പോയിൻ്റുകൾപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട് ദൂരത്തിലേക്കുള്ള ഹൈപ്പർബോളുകൾ ഈ പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഫോക്കസുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒന്നിലേക്ക് directrix ഉത്കേന്ദ്രതയ്ക്ക് തുല്യമാണ് ഈ ഹൈപ്പർബോളയുടെ (ഫോക്കസും ഡയറക്‌ട്രിക്‌സും ഹൈപ്പർബോളയുടെ മധ്യഭാഗത്ത് ഒരേ വശത്താണ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതെങ്കിൽ അവ അനുബന്ധമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു).

പരവലയം(ചിത്രം 8.3) എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത ബിന്ദുവിലേക്കുള്ള ദൂരം വിമാനത്തിലെ ബിന്ദുക്കളുടെ ജ്യാമിതീയ സ്ഥാനമാണ് എഫ് (ഒരു പരവലയത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ്) ഈ വിമാനത്തിൻ്റെ ചില നിശ്ചിത നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ് ( ഒരു പരാബോളയുടെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സ്), പരിഗണനയിലുള്ള വിമാനത്തിലും സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് തുടക്കം തിരഞ്ഞെടുക്കാം കുറിച്ച്സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മധ്യത്തിലുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം [ FD], ഇത് ലംബമായ ഔട്ട് ഓഫ് ഫോക്കസാണ് എഫ്ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിലേക്ക് (ഫോക്കസ് ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിൻ്റേതല്ലെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു), കൂടാതെ അക്ഷങ്ങൾ . നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ അച്ചുതണ്ട്ഒപ്പം , അച്ചുതണ്ട്ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നമുക്ക് അത് നയിക്കാം. 8.3 സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ നീളം [ FD] തുല്യമാണ് പി. തുടർന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ
ഒപ്പം കാനോനിക്കൽ പരവലയ സമവാക്യംപോലെ തോന്നുന്നു

. (8.4.6)

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് പിവിളിച്ചു പരവലയ പരാമീറ്റർ.

ഒരു പരവലയത്തിന് സമമിതിയുടെ ഒരു അക്ഷമുണ്ട് പരവലയ അക്ഷം. ഒരു പരാബോളയെ അതിൻ്റെ അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം. ഒരു പരവലയത്തിന് അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം (8.4.6) നൽകിയാൽ, പരവലയത്തിൻ്റെ അക്ഷം അക്ഷമാണ്. . നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ അച്ചുതണ്ട്. വ്യക്തമായും, പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകമാണ് ഉത്ഭവം.

ഉദാഹരണം 1.ഡോട്ട് എ= (2, –1) ദീർഘവൃത്താകൃതിയിലുള്ള ബിന്ദുവാണ് എഫ്= (1, 0) ആണ് അതിൻ്റെ ഫോക്കസ്, അനുബന്ധം എഫ്ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യം കൊണ്ടാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്
. ഈ ദീർഘവൃത്തത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം.കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ചതുരാകൃതിയിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. പിന്നെ ദൂരം പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് എപ്രധാനാധ്യാപികയോട്
ബന്ധത്തിന് (8.1.8) അനുസൃതമായി, അതിൽ


, തുല്യമാണ്

.

ദൂരം പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് എശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ എഫ്തുല്യമാണ്

,

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രത നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു

.

അനുവദിക്കുക പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അപ്പോൾ (1) സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ട് = (x, വൈ) ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു ബിന്ദുവാണ്. പിന്നെ ദൂരം
പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് എംപ്രധാനാധ്യാപികയോട്
ഫോർമുല പ്രകാരം (8.1.8) തുല്യമാണ്

ദൂരവും പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് എംശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ എഫ്തുല്യമാണ്

.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഏത് ബിന്ദുവിനും ബന്ധം ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സ്ഥിരമായ അളവാണ്, അതിനാൽ നമുക്കുണ്ട്

,

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം വഴിയാണ് വക്രം നൽകിയിരിക്കുന്നത്

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ. കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവും ഈ വക്രത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും കണ്ടെത്തുക. വക്രത്തിൻ്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം.ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപം
ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്

.

അതിൻ്റെ സവിശേഷത ബഹുപദം

 1 = 4,  2 = 9 എന്നീ വേരുകളുണ്ട്. അതിനാൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ ഈജൻ വെക്റ്ററുകളുടെ ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എപരിഗണനയിലുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള രൂപത്തിന് കാനോനിക്കൽ രൂപമുണ്ട്

.

വേരിയബിളുകളുടെ ഓർത്തോഗണൽ പരിവർത്തനത്തിൻ്റെ ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാൻ നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം, പരിഗണനയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം സൂചിപ്പിച്ച കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകീകൃത സംവിധാനങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും.
അവയെ ഓർത്തോനോർമലൈസ് ചെയ്യുക.

ചെയ്തത്
ഈ സിസ്റ്റം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു

അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം
. ഇവിടെ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഒരു വെക്റ്റർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, വെക്റ്റർ
. ഇത് സാധാരണമാക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് വെക്റ്റർ ലഭിക്കും

.

ചെയ്തത്
നമുക്ക് ഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാം

.

വെക്‌ടറുകൾ ഒപ്പം സമമിതി മാട്രിക്സിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത ഐജൻമൂല്യങ്ങളുമായി അവ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ അവ ഇതിനകം ഓർത്തോഗണൽ ആണ് എ. നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ ഓർത്തോനോർമൽ അടിസ്ഥാനം അവയാണ്. ആവശ്യമായ ഓർത്തോഗണൽ മാട്രിക്സ് (റൊട്ടേഷൻ മാട്രിക്സ്) അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ നിരകളിൽ നിന്നാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

.

മാട്രിക്സ് ശരിയായി കണ്ടെത്തിയോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം ആർഫോർമുല പ്രകാരം
, എവിടെ
- അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിൻ്റെ മാട്രിക്സ്
:

മാട്രിക്സ് ആർശരിയായി കണ്ടെത്തി.

നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം

ഈ വക്രത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഒരു പുതിയ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ പഴയ കേന്ദ്രവും ദിശ വെക്റ്ററുകളും ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുക
:

എവിടെ
.

ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിച്ചു

.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിവർത്തനം ഫോർമുലകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന വസ്തുത കാരണം

,

,

കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം
ഒരു തുടക്കമുണ്ട്
ദിശ വെക്റ്ററുകളും
.

ഉദാഹരണം 3.മാറ്റമില്ലാത്ത സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തരം നിർണ്ണയിക്കുകയും വക്രത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യുക

പരിഹാരം.എന്തുകൊണ്ടെന്നാല്

,

പട്ടികയ്ക്ക് അനുസൃതമായി. 8.1 ഇതൊരു ഹൈപ്പർബോൾ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

s = 0 ആയതിനാൽ, മാട്രിക്സിൻ്റെ ബഹുപദ സ്വഭാവം ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതാണ്

അതിൻ്റെ വേരുകൾ
ഒപ്പം
വക്രത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുക

എവിടെ കൂടെവ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു

,

.

വക്രത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം

.

ഈ വിഭാഗത്തിൻ്റെ ചുമതലകളിൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾx, വൈചതുരാകൃതിയിലാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു.

8.4.1. ദീർഘവൃത്തങ്ങൾക്ക്
ഒപ്പം
കണ്ടെത്തുക:

a) ആക്സിൽ ഷാഫ്റ്റുകൾ;

ബി) തന്ത്രങ്ങൾ;

സി) ഉത്കേന്ദ്രത;

d) ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ.

8.4.2. ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഫോക്കസ് അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് അതിന് സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക
, പ്രധാനാധ്യാപികയുമായി യോജിക്കുന്നു x= 8, ഉത്കേന്ദ്രത . ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഫോക്കസും രണ്ടാമത്തെ ഡയറക്‌ട്രിക്‌സും കണ്ടെത്തുക.

8.4.3. ഫോസിക്ക് കോർഡിനേറ്റുകളും (1, 0), (0, 1) ഉള്ളതും പ്രധാന അക്ഷം രണ്ടുള്ളതുമായ ദീർഘവൃത്തത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

8.4.4. ഒരു അതിഭാവുകത്വം നൽകി
. കണ്ടെത്തുക:

a) ആക്സിൽ ഷാഫ്റ്റുകൾ എഒപ്പം ബി;

ബി) തന്ത്രങ്ങൾ;

സി) ഉത്കേന്ദ്രത;

d) അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ;

ഇ) ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ.

8.4.5. ഒരു അതിഭാവുകത്വം നൽകി
. കണ്ടെത്തുക:

a) ആക്സിൽ ഷാഫ്റ്റുകൾ എഒപ്പം ബി;

ബി) തന്ത്രങ്ങൾ;

സി) ഉത്കേന്ദ്രത;

d) അസിംപ്റ്റോട്ടുകളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ;

ഇ) ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ.

8.4.6. ഡോട്ട്
ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്ന ഒരു അതിഭാവുകത്വത്തിൻ്റേതാണ്
, കൂടാതെ അനുബന്ധ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യം നൽകുന്നു
. ഈ ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

8.4.7. ഒരു പരവലയത്തിന് അതിൻ്റെ ഫോക്കസ് നൽകി ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക
പ്രധാനാധ്യാപികയും
.

8.4.8. പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം നൽകിയിരിക്കുന്നു
ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യവും
. ഈ പരവലയത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക.

8.4.9. ഫോക്കസ് ആയ ഒരു പരവലയത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക

കൂടാതെ ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യം കൊണ്ടാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്
.

8.4.10. വക്രതയുടെ ഉത്കേന്ദ്രത അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് അതിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ക്രമ സമവാക്യം എഴുതുക
, ഫോക്കസ്
ഒപ്പം ബന്ധപ്പെട്ട പ്രധാനാധ്യാപികയും
.

8.4.11. രണ്ടാം ഓർഡർ കർവ് തരം നിർണ്ണയിക്കുക, അതിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം രചിക്കുകയും കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക:

ജി)
;

8.4.12.

ഒരു ദീർഘവൃത്തമാണ്. അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളുടെ നീളവും ഈ ദീർഘവൃത്തത്തിൻ്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയും കണ്ടെത്തുക, കേന്ദ്രത്തിൻ്റെയും ഫോസിയുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ, അക്ഷങ്ങൾക്കും ഡയറക്‌ട്രിക്‌സുകൾക്കുമായി സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുക.

8.4.13. സമവാക്യം നൽകുന്ന രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവ് തെളിയിക്കുക

ഒരു അതിഭാവുകത്വമാണ്. അർദ്ധ അക്ഷങ്ങളുടെ നീളവും ഈ ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രതയും കണ്ടെത്തുക, കേന്ദ്രത്തിൻ്റെയും കേന്ദ്രത്തിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ, അക്ഷങ്ങൾ, ഡയറക്‌ട്രിക്‌സ്, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ എന്നിവയ്‌ക്കായി സമവാക്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുക.

8.4.14. സമവാക്യം നൽകുന്ന രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവ് തെളിയിക്കുക

,

ഒരു പരവലയമാണ്. ഈ പരാബോളയുടെ പരാമീറ്റർ കണ്ടെത്തുക, ലംബങ്ങളുടെയും ഫോക്കസിൻ്റെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ, അക്ഷത്തിൻ്റെയും ഡയറക്‌ട്രിക്സിൻ്റെയും സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുക.

8.4.15. ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ ഓരോന്നും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. യഥാർത്ഥ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഡ്രോയിംഗിൽ അനുബന്ധ രണ്ടാം ഓർഡർ കർവ് വരയ്ക്കുക:

8.4.16. മാറ്റമില്ലാത്ത സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തരം നിർണ്ണയിക്കുകയും വക്രത്തിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുകയും ചെയ്യുക.