വിദ്യാഭ്യാസത്തിനുള്ള ഫെഡറൽ ഏജൻസി

വിദ്യാഭ്യാസ വികസനത്തിനുള്ള ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട്

"പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികൾ"

പൂർത്തിയാക്കി

ഗണിത അധ്യാപകൻ

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ നമ്പർ 62

ലിപെറ്റ്സ്ക് 2008

ആമുഖം................................................. ....................................................... ............ .3

എക്സ്;ചെയ്തത്) 4

1.1 സമാന്തര കൈമാറ്റം........................................... ... ................................ 5

1.2 തിരിയുക.................................................. ................................................... ...... 9

1.3 ഹോമോതെറ്റി. നേർരേഖയിലേക്കുള്ള കംപ്രഷൻ .............................................. ..... ................. 13

1.4 ഒരു വിമാനത്തിൽ രണ്ട് നേർരേഖകൾ............................................. ........................ 15

2. ഗ്രാഫിക് ടെക്നിക്കുകൾ. കോർഡിനേറ്റ് പ്ലാൻ ( എക്സ്;എ) 17

ഉപസംഹാരം................................................. ................................................ 20

ഗ്രന്ഥസൂചിക പട്ടിക................................................ .................... ........ 22

ആമുഖം

നിലവാരമില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്ക് ഉണ്ടാകുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക സങ്കീർണ്ണത മൂലവും സ്കൂൾ, ചട്ടം പോലെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയുമാണ്.

പല സ്കൂൾ കുട്ടികളും പാരാമീറ്റർ ഒരു "പതിവ്" നമ്പറായി കാണുന്നു. തീർച്ചയായും, ചില പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഒരു പരാമീറ്റർ സ്ഥിരമായ മൂല്യമായി കണക്കാക്കാം, എന്നാൽ ഈ സ്ഥിരമായ മൂല്യം അജ്ഞാത മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു! അതിനാൽ, ഈ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും പ്രശ്നം പരിഗണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മറ്റ് പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, അജ്ഞാതങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു പാരാമീറ്ററായി കൃത്രിമമായി പ്രഖ്യാപിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും.

മറ്റ് സ്കൂൾ കുട്ടികൾ ഒരു പാരാമീറ്ററിനെ ഒരു അജ്ഞാത അളവായി കണക്കാക്കുന്നു, കൂടാതെ നാണക്കേട് കൂടാതെ, അവരുടെ ഉത്തരത്തിൽ ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പരാമീറ്റർ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും. എക്സ്.

ഫൈനൽ, എൻട്രൻസ് പരീക്ഷകളിൽ പ്രധാനമായും രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളാണ് പാരാമീറ്ററുകൾക്കുള്ളത്. അവരുടെ പദങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അവരെ ഉടനടി വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. ആദ്യം: "ഓരോ പാരാമീറ്റർ മൂല്യത്തിനും, ചില സമവാക്യങ്ങൾക്കോ ​​അസമത്വത്തിനോ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും കണ്ടെത്തുക." രണ്ടാമത്തേത്: "പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, ഓരോന്നിനും നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിനോ അസമത്വത്തിനോ ചില വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു." അതനുസരിച്ച്, ഈ രണ്ട് തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ സാരാംശത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം പരാമീറ്ററിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ലിസ്റ്റുചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ ഈ ഓരോ മൂല്യങ്ങൾക്കും സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം, പ്രശ്നത്തിൽ വ്യക്തമാക്കിയ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന എല്ലാ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിനായുള്ള ഒരു പാരാമീറ്ററുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരം അജ്ഞാതമായ അത്തരമൊരു മൂല്യമാണ്, അത് സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തേത് ശരിയായ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുന്നു. ഒരു പരാമീറ്റർ ഉള്ള അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരം സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമവാക്യം (അസമത്വം) പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം, പാരാമീറ്ററിൻ്റെ അനുവദനീയമായ ഓരോ മൂല്യത്തിനും, തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് (അസമത്വം) എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളുടെയും സെറ്റ് കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

1. ഗ്രാഫിക് ടെക്നിക്കുകൾ. കോർഡിനേറ്റ് പ്ലാൻ ( എക്സ്;ചെയ്തത്)

അടിസ്ഥാന അനലിറ്റിക്കൽ ടെക്നിക്കുകളും പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും സഹിതം, വിഷ്വൽ, ഗ്രാഫിക്കൽ വ്യാഖ്യാനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള വഴികളുണ്ട്.

പ്രശ്‌നത്തിൽ പാരാമീറ്റർ എന്ത് പങ്കാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച് (അസമത്വമോ വേരിയബിളിന് തുല്യമോ), രണ്ട് പ്രധാന ഗ്രാഫിക്കൽ ടെക്നിക്കുകൾ അതിനനുസരിച്ച് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും: ആദ്യത്തേത് കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ ഇമേജിൻ്റെ നിർമ്മാണമാണ്. (എക്സ്;y),രണ്ടാമത്തേത് - ഓൺ (എക്സ്; എ).

വിമാനത്തിൽ (x; y) പ്രവർത്തനം y =എഫ് (എക്സ്; എ)പാരാമീറ്ററിനെ ആശ്രയിച്ച് വളവുകളുടെ ഒരു കുടുംബത്തെ നിർവചിക്കുന്നു എ.ഓരോ കുടുംബവും അത് വ്യക്തമാണ് എഫ്ചില ഗുണങ്ങളുണ്ട്. കുടുംബത്തിൻ്റെ ഒരു വക്രത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുന്നതിന് ഏത് തരത്തിലുള്ള വിമാന പരിവർത്തനം (സമാന്തര വിവർത്തനം, ഭ്രമണം മുതലായവ) ഉപയോഗിക്കാമെന്നതിൽ ഞങ്ങൾക്ക് പ്രാഥമികമായി താൽപ്പര്യമുണ്ടാകും. ഈ പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനും ഒരു പ്രത്യേക ഖണ്ഡിക സമർപ്പിക്കും. അത്തരമൊരു വർഗ്ഗീകരണം തീരുമാനിക്കുന്നയാൾക്ക് ആവശ്യമായ ഗ്രാഫിക് ഇമേജ് കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് തോന്നുന്നു. ഈ സമീപനത്തിലൂടെ, പരിഹാരത്തിൻ്റെ പ്രത്യയശാസ്ത്ര ഭാഗം ഏത് രൂപത്തെ (നേരായ രേഖ, വൃത്തം, പരാബോള മുതലായവ) വക്രങ്ങളുടെ കുടുംബത്തിലെ അംഗമാകുമെന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

തീർച്ചയായും, കുടുംബത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫിക് ചിത്രം എപ്പോഴും അല്ല y =എഫ് (എക്സ്;എ)ഒരു ലളിതമായ പരിവർത്തനം വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, അത്തരം സാഹചര്യങ്ങളിൽ, ഒരേ കുടുംബത്തിൻ്റെ വക്രങ്ങൾ എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നതിലല്ല, മറിച്ച് വളവുകളിൽ തന്നെ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പരിഹാരത്തിൻ്റെ ആശയം പ്രാഥമികമായി നിർദ്ദിഷ്ട ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നത്തെ നമുക്ക് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും. ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ, കുടുംബം മൊത്തത്തിൽ അല്ല. ഏതൊക്കെ കണക്കുകൾ (കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ കണക്കുകളുടെ കുടുംബങ്ങൾ) ആദ്യം നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടാക്കും? ഇവ നേർരേഖകളും പരാബോളകളുമാണ്. ലീനിയറിൻ്റെ പ്രത്യേക (അടിസ്ഥാന) സ്ഥാനം മൂലമാണ് ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾസ്കൂൾ ഗണിതത്തിൽ.

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികളെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ, മത്സര പരീക്ഷകളുടെ പരിശീലനത്തിൽ നിന്ന് "ജനിക്കുന്ന" ഒരു പ്രശ്നം ഒഴിവാക്കുക അസാധ്യമാണ്. ഗ്രാഫിക് പരിഗണനകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള തീരുമാനത്തിൻ്റെ കാഠിന്യത്തെയും അതിനാൽ നിയമസാധുതയെയും കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യമാണ് ഞങ്ങൾ പരാമർശിക്കുന്നത്. നിസ്സംശയമായും, ഒരു ഔപചാരിക വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, "ചിത്രത്തിൽ" നിന്ന് എടുത്ത ഫലം, വിശകലനപരമായി പിന്തുണയ്ക്കുന്നില്ല, കർശനമായി ലഭിച്ചിട്ടില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥി പാലിക്കേണ്ട കാഠിന്യത്തിൻ്റെ അളവ് ആരാണ്, എപ്പോൾ, എവിടെയാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്? ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ, ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കാഠിന്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യകതകൾ സാമാന്യബുദ്ധി ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കണം. അത്തരമൊരു വീക്ഷണത്തിൻ്റെ ആത്മനിഷ്ഠതയുടെ അളവ് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി വ്യക്തതയ്ക്കുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം മാത്രമാണ്. ദൃശ്യപരത കബളിപ്പിക്കാം..gif" width="232" height="28"> ഒരു പരിഹാരമേ ഉള്ളൂ.

പരിഹാരം.സൗകര്യാർത്ഥം, ഞങ്ങൾ lg യെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു b = a.യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം എഴുതാം: https://pandia.ru/text/78/074/images/image004_56.gif" width="125" height="92">

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിനൊപ്പം (ചിത്രം 1). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഗ്രാഫ് നേർരേഖകളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ് y = aഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം വിഭജിക്കണം. എപ്പോൾ മാത്രമാണ് ഈ ആവശ്യകത നിറവേറ്റുന്നതെന്ന് ചിത്രം കാണിക്കുന്നു a > 2, അതായത് lg b> 2, b> 100.

ഉത്തരം. https://pandia.ru/text/78/074/images/image010_28.gif" width="15 height=16" height="16"> സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക .

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ 102" ഉയരം="37" style="vertical-align:top"> പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഇത് OX അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്.

ഉത്തരം..gif" width="41" height="20">, തുടർന്ന് 3 പരിഹാരങ്ങൾ;

എങ്കിൽ, 2 പരിഹാരങ്ങൾ;

എങ്കിൽ, 4 പരിഹാരങ്ങൾ.

നമുക്ക് ടാസ്‌ക്കുകളുടെ ഒരു പുതിയ ശ്രേണിയിലേക്ക് പോകാം..gif" width="107" height="27 src=">.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖ ഉണ്ടാക്കാം ചെയ്തത്= എക്സ്+1 (ചിത്രം 3)..gif" width="92" height="57">

ഒരു പരിഹാരം ഉണ്ട്, അത് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് ( എക്സ്+1)2 = x + എഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്..gif" width="44 height=47" height="47"> യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ച് പരിചയമുള്ള ഒരാൾക്ക് ഈ ഫലം വ്യത്യസ്തമായി നേടാനാകുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

അടുത്തതായി, "സെമി-പരാബോള" ഇടത്തേക്ക് മാറ്റി, ഗ്രാഫുകൾ വരുമ്പോൾ അവസാന നിമിഷം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കും ചെയ്തത് = എക്സ്+ 1 കൂടാതെ രണ്ട് പൊതു പോയിൻ്റുകളും (സ്ഥാനം III) ഉണ്ട്. ഈ ക്രമീകരണം ആവശ്യകതയാൽ ഉറപ്പാക്കപ്പെടുന്നു എ= 1.

സെഗ്‌മെൻ്റിനായി ഇത് വ്യക്തമാണ് [ എക്സ് 1; എക്സ് 2], എവിടെ എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 – ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്‌സിസ്സകൾ യഥാർത്ഥ അസമത്വത്തിന് പരിഹാരമാകും..gif" width="68 height=47" height="47">, തുടർന്ന്

ഒരു "സെമി-പരാബോളയും" ഒരു നേർരേഖയും ഒരു ബിന്ദുവിൽ മാത്രം വിഭജിക്കുമ്പോൾ (ഇത് കേസുമായി യോജിക്കുന്നു a > 1), അപ്പോൾ പരിഹാരം സെഗ്‌മെൻ്റായിരിക്കും [- എ; എക്സ് 2"], എവിടെ എക്സ് 2" - വേരുകളിൽ ഏറ്റവും വലുത് എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 (സ്ഥാനം IV).

ഉദാഹരണം 4..gif" width="85" height="29 src=">.gif" width="75" height="20 src="> . ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു .

നമുക്ക് പ്രവർത്തനങ്ങളും നോക്കാം . അവയിൽ, ഒരാൾ മാത്രമാണ് വക്രങ്ങളുടെ കുടുംബത്തെ നിർവചിക്കുന്നത്. പകരം വയ്ക്കുന്നത് നിസ്സംശയമായ നേട്ടങ്ങൾ കൊണ്ടുവന്നതായി ഇപ്പോൾ നാം കാണുന്നു. സമാന്തരമായി, മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൽ, സമാനമായ ഒരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു "സെമി-പരാബോള" നീക്കമല്ല, മറിച്ച് ഒരു നേർരേഖ ഉണ്ടാക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു. നമുക്ക് ചിത്രത്തിലേക്ക് തിരിയാം. 4. വ്യക്തമായും, "സെമി-പരാബോള" യുടെ ശീർഷകത്തിൻ്റെ അബ്സിസ്സ ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അതായത് –3 എ > 1, , അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല..gif" width="89" height="29"> കൂടാതെ ഏകതാനതയുടെ വ്യത്യസ്ത സ്വഭാവവും ഉണ്ട്.

ഉത്തരം.സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ; എങ്കിൽ https://pandia.ru/text/78/074/images/image039_10.gif" width="141" height="81 src=">

പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ട്.

പരിഹാരം.നേരിട്ടുള്ള കുടുംബങ്ങൾ https://pandia.ru/text/78/074/images/image041_12.gif" width="61" height="52">..jpg" width="259" height="155 എന്ന് വ്യക്തമാണ് " >

അർത്ഥം k1സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ജോഡി (0;0) മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഇവിടെ നിന്ന് കെ1 =-1/4. അർത്ഥം കെ 2 സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ആവശ്യപ്പെടുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

https://pandia.ru/text/78/074/images/image045_12.gif" width="151" height="47"> എപ്പോൾ കെ> 0 ന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഇവിടെ നിന്ന് k2= 1/4.

ഉത്തരം. .

നമുക്ക് ഒരു പരാമർശം നടത്താം. ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചില ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഒരു ലൈൻ ഫാമിലിക്ക്, വക്രതയുമായുള്ള സ്പർശനത്തിൻ്റെ നിമിഷവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അതിൻ്റെ ചരിവ് കണ്ടെത്തുക. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിച്ചുതരാം പൊതുവായ കാഴ്ചഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച്.

എങ്കിൽ (x0; വൈ 0) = ഭ്രമണ കേന്ദ്രം, തുടർന്ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ (എക്സ് 1; ചെയ്തത് 1) വക്രവുമായി സ്പർശിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകൾ y =f(x)സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ കണ്ടെത്താനാകും

ആവശ്യമായ ചരിവ് കെതുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 6. പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങൾക്കാണ് സമവാക്യത്തിന് അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉള്ളത്?

പരിഹാരം..gif" width="160" height="29 src=">..gif" width="237" height="33">, ആർക്ക് AB.

OA യ്ക്കും OB യ്ക്കും ഇടയിൽ കടന്നുപോകുന്ന എല്ലാ കിരണങ്ങളും ഒരു ബിന്ദുവിൽ ആർക്ക് AB-യെ വിഭജിക്കുന്നു, കൂടാതെ ആർക്ക് AB OB, OM (ടാൻജെൻ്റ്) എന്നിവയെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ വിഭജിക്കുന്നു..gif" width="16" height="48 src=">. ചരിവ് ഘടകംടാൻജൻ്റ് തുല്യമാണ്. സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താം

അതിനാൽ, നേരിട്ടുള്ള കുടുംബങ്ങൾ https://pandia.ru/text/78/074/images/image059_7.gif" width="139" height="52">.

ഉത്തരം. .

ഉദാഹരണം 7..gif" width="160" height="25 src="> എന്നതിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടോ?

പരിഹാരം..gif" width="61" height="24 src="> കൂടാതെ കുറയുന്നു. പോയിൻ്റ് ആണ് പരമാവധി പോയിൻ്റ്.

പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖകളുടെ കുടുംബമാണ് ഫംഗ്ഷൻ https://pandia.ru/text/78/074/images/image062_7.gif" width="153" height="28"> എന്നത് ആർക്ക് AB ആണ്. നേർരേഖ OA, OB എന്നീ നേർരേഖകൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന വരികൾ, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു..gif" width="17" height="47 src=">.

ഉത്തരം..gif" width="15" height="20">പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

1.3 ഹോമോതെറ്റി. ഒരു നേർരേഖയിലേക്ക് കംപ്രഷൻ.

ഉദാഹരണം 8.സിസ്റ്റത്തിന് എത്ര പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്?

https://pandia.ru/text/78/074/images/image073_1.gif" width="41" height="20 src="> സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഒരു സ്ഥിരതയ്ക്കായി a > 0 ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ലംബങ്ങളുള്ള ഒരു ചതുരമാണ് ( എ; 0), (0;-എ), (-എ;0), (0;എ).അങ്ങനെ, കുടുംബത്തിലെ അംഗങ്ങൾ ഹോമോതെറ്റിക് സ്ക്വയറുകളാണ് (ഹോമോതെറ്റിയുടെ കേന്ദ്രം പോയിൻ്റ് O (0; 0) ആണ്).

നമുക്ക് ചിത്രത്തിലേക്ക് തിരിയാം. 8..gif" width="80" height="25"> ചതുരത്തിൻ്റെ ഓരോ വശത്തും വൃത്തത്തിനൊപ്പം രണ്ട് പൊതു പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ട്, അതായത് സിസ്റ്റത്തിന് എട്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും. വൃത്തം ചതുരത്തിൽ ആലേഖനം ചെയ്തതായി മാറുമ്പോൾ, അതായത്, വീണ്ടും നാല് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും, സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം.എങ്കിൽ എ< 1 или https://pandia.ru/text/78/074/images/image077_1.gif" width="56" height="25 src=">, അപ്പോൾ നാല് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്; എങ്കിൽ, എട്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഉദാഹരണം 9. പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, ഓരോന്നിനും സമവാക്യം https://pandia.ru/text/78/074/images/image081_0.gif" width="181" height="29 src="> ആണ്. ഫംഗ്‌ഷൻ ..jpg" width="195" height="162"> പരിഗണിക്കുക

അർദ്ധവൃത്തത്തിൻ്റെ ആരം വലുതും കുറവുമാകുമ്പോൾ വേരുകളുടെ എണ്ണം 8 എന്ന സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടും, അതായത്. ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഉത്തരം. അല്ലെങ്കിൽ .

1.4 ഒരു വിമാനത്തിൽ രണ്ട് നേർരേഖകൾ

അടിസ്ഥാനപരമായി, ഈ ഖണ്ഡികയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആശയം രണ്ട് നേർരേഖകളുടെ ആപേക്ഷിക സ്ഥാനം പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ചോദ്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്: ഒപ്പം . ഈ പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. നിർദ്ദിഷ്ട സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് തിരിയുന്നു, ഇത് ഞങ്ങളുടെ അഭിപ്രായത്തിൽ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പൊതുവായ വശത്തെ നശിപ്പിക്കില്ല.

ഉദാഹരണം 10.എന്തിനുവേണ്ടിയാണ് a, b സിസ്റ്റം ചെയ്യുന്നത്

https://pandia.ru/text/78/074/images/image094_0.gif" width="160" height="25 src=">..gif" width="67" height="24 src="> , t..gif" width="116" height="55">

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ അസമത്വം അതിരുകളുള്ള ഒരു അർദ്ധ-തലം നിർവചിക്കുന്നു ചെയ്തത്= 2x– 1 (ചിത്രം 10). നേർരേഖയാണെങ്കിൽ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ് ah +പ്രകാരം = 5ഒരു അർദ്ധ-തലത്തിൻ്റെ അതിർത്തിയെ വിഭജിക്കുന്നു അല്ലെങ്കിൽ, അതിന് സമാന്തരമായി, അർദ്ധ-തലത്തിൽ കിടക്കുന്നു ചെയ്തത്– 2x + 1 < 0.

നമുക്ക് കേസിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാം b = 0. അപ്പോൾ തോന്നും സമവാക്യം ഓ+ by = 5 രേഖയെ വ്യക്തമായി വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ലംബ വരയെ നിർവചിക്കുന്നു y = 2X - 1. എന്നിരുന്നാലും, ..gif" width="43" height="20 src="> സിസ്‌റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങൾ ..gif" width="99" height="48"> ഉള്ളപ്പോൾ മാത്രമേ ഈ പ്രസ്താവന ശരിയാകൂ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ലൈനുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെ അവസ്ഥ കൈവരിക്കുന്നത്, അതായത് ..gif" width="52" height="48">.gif" width="41" height="20"> ഒപ്പം , അല്ലെങ്കിൽ കൂടാതെ, അല്ലെങ്കിൽ കൂടാതെ https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0.gif" width="69" height="24 src=">.

- ബി കോർഡിനേറ്റ് വിമാനം xOa ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു.

− നേർരേഖകൾ പരിഗണിക്കുക, ഈ നേർരേഖകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന Oa അക്ഷത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുക: a) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ വിഭജിക്കുന്നില്ല https://pandia.ru/text/78/074/images/image109_0 .gif" width="69" height="24"> ഒരു പോയിൻ്റിൽ, c) രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ, d) മൂന്ന് പോയിൻ്റുകളിൽ അങ്ങനെ അങ്ങനെ.

- x ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതലയെങ്കിൽ, a യുടെ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഓരോ ഇടവേളകൾക്കും വെവ്വേറെ a യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ x പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു തുല്യ വേരിയബിളായി ഒരു പരാമീറ്ററിൻ്റെ വീക്ഷണം ഗ്രാഫിക്കൽ രീതികളിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്നു..jpg" width="242" height="182">

ഉത്തരം. a = 0 അല്ലെങ്കിൽ a = 1.

ഉപസംഹാരം

വിശകലനം ചെയ്ത പ്രശ്നങ്ങൾ നിർദ്ദിഷ്ട രീതികളുടെ ഫലപ്രാപ്തിയെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, നിർഭാഗ്യവശാൽ, ഒരു ഗ്രാഫിക് ഇമേജ് നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഈ രീതികളുടെ പ്രയോഗത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. ഇത് ശരിക്കും മോശമാണോ? പ്രത്യക്ഷത്തിൽ ഇല്ല. തീർച്ചയായും, ഈ സമീപനത്തിലൂടെ, മിനിയേച്ചർ ഗവേഷണത്തിൻ്റെ ഒരു മാതൃകയായി പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ പ്രധാന ഉപദേശപരമായ മൂല്യം വലിയ തോതിൽ നഷ്ടപ്പെട്ടു. എന്നിരുന്നാലും, മുകളിലുള്ള പരിഗണനകൾ അധ്യാപകരെ അഭിസംബോധന ചെയ്യുന്നു, അപേക്ഷകർക്ക് ഫോർമുല തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്: അവസാനം മാർഗങ്ങളെ ന്യായീകരിക്കുന്നു. മാത്രമല്ല, ഗണ്യമായ എണ്ണം സർവ്വകലാശാലകളിൽ, പാരാമീറ്ററുകളുള്ള മത്സര പ്രശ്‌നങ്ങളുടെ കംപൈലർമാർ ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് അവസ്ഥയിലേക്കുള്ള പാത പിന്തുടരുന്നുവെന്ന് പറയാനുള്ള സ്വാതന്ത്ര്യം നമുക്ക് എടുക്കാം.

ഈ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത്തും വലത്തും ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു കടലാസിൽ അസമത്വങ്ങൾ വരയ്‌ക്കുമ്പോൾ ഒരു പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതകൾ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തു. പാരാമീറ്ററിന് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെന്നതിനാൽ, പ്രദർശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒന്നോ രണ്ടോ ഗ്രാഫുകളും വിമാനത്തിൽ ഒരു നിശ്ചിത രീതിയിൽ നീങ്ങുന്നു. പാരാമീറ്ററിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഗ്രാഫുകളുടെ ഒരു കുടുംബം മുഴുവൻ ലഭിച്ചതായി നമുക്ക് പറയാം.

രണ്ട് വിശദാംശങ്ങൾ നമുക്ക് ശക്തമായി ഊന്നിപ്പറയാം.

ഒന്നാമതായി, നമ്മൾ ഒരു "ഗ്രാഫിക്കൽ" പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ചല്ല സംസാരിക്കുന്നത്. എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കോർഡിനേറ്റുകളും വേരുകളും കർശനമായും വിശകലനപരമായും അനുബന്ധ സമവാക്യങ്ങൾക്കും സിസ്റ്റങ്ങൾക്കും പരിഹാരമായി കണക്കാക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകൾ സ്പർശിക്കുന്നതിനോ കടക്കുന്നതിനോ ഉള്ള കേസുകൾക്കും ഇത് ബാധകമാണ്. അവ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് കണ്ണിലൂടെയല്ല, മറിച്ച് വിവേചനങ്ങൾ, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, നിങ്ങൾക്ക് ലഭ്യമായ മറ്റ് ഉപകരണങ്ങൾ എന്നിവയുടെ സഹായത്തോടെയാണ്. ചിത്രം ഒരു പരിഹാരം മാത്രമാണ് നൽകുന്നത്.

രണ്ടാമതായി, കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ ഒരു മാർഗവും കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിലും, പ്രശ്നത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിങ്ങളുടെ ധാരണ ഗണ്യമായി വികസിക്കും, നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കുള്ള വിവരങ്ങൾ ലഭിക്കും, വിജയസാധ്യത ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കും. ഒരു പ്രശ്‌നത്തിൽ എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കൃത്യമായി സങ്കൽപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങൾപരാമീറ്റർ, നിങ്ങൾക്ക് ശരിയായ പരിഹാര അൽഗോരിതം കണ്ടെത്താം.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഈ വാക്കുകൾ ഒരു അടിയന്തിര വാക്യത്തോടെ അവസാനിപ്പിക്കും: ചെറിയ അളവിലാണെങ്കിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലിഗ്രാഫുകൾ എങ്ങനെ വരയ്ക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുണ്ട്, അത് ചെയ്യുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക, നിങ്ങൾ ഖേദിക്കേണ്ടിവരില്ല.

ഗ്രന്ഥസൂചിക പട്ടിക

1. Cherkasov,: ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും സർവ്വകലാശാലകളിലേക്കുള്ള അപേക്ഷകർക്കും വേണ്ടിയുള്ള ഹാൻഡ്ബുക്ക് [ടെക്സ്റ്റ്] /, . - എം.: AST-PRESS, 2001. - 576 പേ.

2. Gorshtein, പരാമീറ്ററുകൾ [ടെക്സ്റ്റ്]: മൂന്നാം പതിപ്പ്, വിപുലീകരിച്ചതും പരിഷ്കരിച്ചതും / , . - എം.: ഇലെക്സ, ഖാർകോവ്: ജിംനേഷ്യം, 1999. - 336 പേ.

അനുവദിക്കുക f(x,y)ഒപ്പം g(x, y)- വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങൾ എക്സ്ഒപ്പം ചെയ്തത്വ്യാപ്തിയും എക്സ്. പിന്നെ രൂപത്തിൻ്റെ അസമത്വങ്ങൾ f(x, y) > g(x, y)അല്ലെങ്കിൽ f(x, y) < g(x, y)വിളിച്ചു രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള അസമത്വം .

വേരിയബിളുകളുടെ അർത്ഥം x, yപലരിൽ നിന്നും എക്സ്, അസമത്വം യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമായി മാറുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു തീരുമാനം നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (x, y). അസമത്വം പരിഹരിക്കുക - ഇതിനർത്ഥം അത്തരം നിരവധി ജോഡികളെ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

ഓരോ ജോഡി സംഖ്യകളുമാണെങ്കിൽ (x, y)അസമത്വത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന്, പോയിൻ്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക M(x, y), ഈ അസമത്വം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വിമാനത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സെറ്റ് ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. അവർ അവനെ വിളിക്കുന്നു ഈ അസമത്വത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് . ഒരു അസമത്വത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് സാധാരണയായി ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു പ്രദേശമാണ്.

അസമത്വത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം ചിത്രീകരിക്കാൻ f(x, y) > g(x, y), ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ തുടരുക. ആദ്യം, അസമത്വ ചിഹ്നം തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സമവാക്യം ഉള്ള ഒരു വരി കണ്ടെത്തുക f(x,y) = g(x,y). ഈ ലൈൻ വിമാനത്തെ പല ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഓരോ ഭാഗത്തിലും ഒരു പോയിൻ്റ് എടുത്ത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ അസമത്വം തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിച്ചാൽ മതിയാകും. f(x, y) > g(x, y). ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഇത് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്താൽ, ഈ പോയിൻ്റ് കിടക്കുന്ന മുഴുവൻ ഭാഗത്തും അത് എക്സിക്യൂട്ട് ചെയ്യും. അത്തരം ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും.

ടാസ്ക്. വൈ > x.

പരിഹാരം.ആദ്യം, ഞങ്ങൾ അസമത്വ ചിഹ്നത്തെ തുല്യ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി സമവാക്യം ഉള്ള ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു ലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്നു. വൈ = x.

ഈ ലൈൻ വിമാനത്തെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഓരോ ഭാഗത്തിലും ഒരു പോയിൻ്റ് എടുത്ത് ഈ ഘട്ടത്തിൽ അസമത്വം തൃപ്തികരമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക വൈ > x.

ടാസ്ക്.അസമത്വം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക
എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 £25.

രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ നൽകട്ടെ എഫ് 1(x, y) > ജി 1(x, y)ഒപ്പം എഫ് 2(x, y) > ജി 2(x, y).

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള അസമത്വങ്ങളുടെ ഗണങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ

അസമത്വങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു സ്വയം ഈ അസമത്വങ്ങളുടെ സംയോജനം. സിസ്റ്റം പരിഹാരം ഓരോ അർത്ഥവുമാണ് (x, y), ഓരോ അസമത്വങ്ങളെയും ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു. നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ സംവിധാനങ്ങൾ അസമത്വങ്ങൾ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥയെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടം വിഭജനമാണ്.

അസമത്വങ്ങളുടെ കൂട്ടം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു സ്വയം ഇവയുടെ വിച്ഛേദനം അസമത്വങ്ങൾ മൊത്തത്തിലുള്ള പരിഹാരത്തിലൂടെ ഓരോ അർത്ഥവുമാണ് (x, y), ഇത് അസമത്വങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തെയെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ അസമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു. നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ സമഗ്രത ഒരു കൂട്ടം രൂപപ്പെടുന്ന അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്.

ടാസ്ക്.അസമത്വങ്ങളുടെ സംവിധാനം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം. y = xഒപ്പം എക്സ് 2 + ചെയ്തത് 2 = 25. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഓരോ അസമത്വവും ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് വിമാനത്തിലെ പോയിൻ്റുകളുടെ സെറ്റ് ആയിരിക്കും, അത് ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും അസമത്വങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ സെറ്റുകളുടെ കവല (ഇരട്ട ഹാച്ചിംഗ്) ആണ്.

ടാസ്ക്.ഒരു കൂട്ടം അസമത്വങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ

1. അസമത്വങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുക: a) ചെയ്തത്> 2x; b) ചെയ്തത്< 2x + 3;

വി) x 2+ വൈ 2 > 9; ജി) x 2+ വൈ 2 £4.

2. അസമത്വങ്ങളുടെ ഗ്രാഫിക്കൽ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

a) b)

പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി യൂറി കൊട്ടോവ്ചിഖിൻ

വിദ്യാർത്ഥികൾ 6-ാം ക്ലാസ്സിൽ തന്നെ മൊഡ്യൂളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു; ഞാൻ ഈ പ്രത്യേക വിഷയം തിരഞ്ഞെടുത്തു, കാരണം ഇതിന് കൂടുതൽ ആഴത്തിലുള്ളതും സമഗ്രവുമായ പഠനം ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ വിശ്വസിക്കുന്നു; IN സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിപരീക്ഷകളിൽ സങ്കീർണ്ണത വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന ടാസ്ക്കുകളായി ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ ടാസ്ക്കുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, അത്തരമൊരു ടാസ്ക്ക് നേരിടാൻ നാം തയ്യാറാകണം.

ഡൗൺലോഡ്:

പ്രിവ്യൂ:

മുനിസിപ്പൽ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം

ശരാശരി സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ №5

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണ പ്രവർത്തനങ്ങൾ:

« മൊഡ്യൂളുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ബീജഗണിതവും ഗ്രാഫിക്കൽ പരിഹാരം»

ജോലി പൂർത്തിയായി:

പത്താം ക്ലാസ് വിദ്യാർത്ഥി

കൊട്ടോവ്ചിഖിൻ യൂറി

സൂപ്പർവൈസർ:

ഗണിതശാസ്ത്ര അധ്യാപകൻ

ശാന്ത എൻ.പി.

Uryupinsk

1.ആമുഖം……………………………………………………………….3

2. ആശയങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും ………………………………………….5

3. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവ് …………………………………………..6

4. മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ........7

4.1 a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ, ചതുരങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആശ്രിതത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം …………………………………………………………………………

4.2. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മൊഡ്യൂളിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിൻ്റെ ഉപയോഗം ……………………………………………………………………………… 14

4.3. കേവല മൂല്യത്തിൻ്റെ അടയാളം അടങ്ങുന്ന ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ.

………………………………………………………………………15

4.4.ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങുന്ന നിലവാരമില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു....16

5. ഉപസംഹാരം……………………………………………………….17

6. ഉപയോഗിച്ച സാഹിത്യങ്ങളുടെ പട്ടിക ………………………………18

ജോലിയുടെ ഉദ്ദേശ്യം: വിദ്യാർത്ഥികൾ 6-ാം ക്ലാസ് മുതൽ മൊഡ്യൂളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു; ഞാൻ ഈ പ്രത്യേക വിഷയം തിരഞ്ഞെടുത്തു, കാരണം ഇതിന് കൂടുതൽ ആഴത്തിലുള്ളതും സമഗ്രവുമായ പഠനം ആവശ്യമാണെന്ന് ഞാൻ വിശ്വസിക്കുന്നു; സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിയിൽ വർദ്ധിച്ച സങ്കീർണ്ണതയുടെയും പരീക്ഷകളുടെയും ടാസ്ക്കുകളായി ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയ ടാസ്ക്കുകൾ ഉണ്ട്, അതിനാൽ, അത്തരമൊരു ടാസ്ക്ക് നേരിടാൻ ഞങ്ങൾ തയ്യാറാകണം.

1. ആമുഖം:

"മൊഡ്യൂൾ" എന്ന വാക്ക് ലാറ്റിൻ പദമായ "മോഡുലസ്" എന്നതിൽ നിന്നാണ് വന്നത്, അതിനർത്ഥം "അളവ്" എന്നാണ്. ഇത് ഒരു പോളിസെമാൻ്റിക് പദമാണ് (ഹോമോണിം), ഇതിന് ധാരാളം അർത്ഥങ്ങളുണ്ട്, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ മാത്രമല്ല, വാസ്തുവിദ്യ, ഭൗതികശാസ്ത്രം, സാങ്കേതികവിദ്യ, പ്രോഗ്രാമിംഗ്, മറ്റ് കൃത്യമായ ശാസ്ത്രങ്ങൾ എന്നിവയിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വാസ്തുവിദ്യയിൽ, ഇത് ഒരു നിശ്ചിത അളവെടുപ്പിനായി സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ട യഥാർത്ഥ യൂണിറ്റാണ് വാസ്തുവിദ്യാ ഘടനഅതിൻ്റെ ഘടക ഘടകങ്ങളുടെ ഒന്നിലധികം അനുപാതങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു.

സാങ്കേതികവിദ്യയിൽ, ഇത് സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ വിവിധ മേഖലകളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പദമാണ്, ഇതിന് സാർവത്രിക അർത്ഥമില്ല, കൂടാതെ വിവിധ ഗുണകങ്ങളും അളവുകളും നിർദ്ദേശിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടപഴകൽ മോഡുലസ്, ഇലാസ്റ്റിക് മോഡുലസ് മുതലായവ.

ബൾക്ക് മോഡുലസ് (ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ) എന്നത് ഒരു മെറ്റീരിയലിലെ സാധാരണ പിരിമുറുക്കവും ആപേക്ഷിക നീളവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമാണ്.

2. ആശയങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും

ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂലസ് - കേവല മൂല്യം - |A|.

ഈ വിഷയം ആഴത്തിൽ പഠിക്കാൻ, എനിക്ക് ആവശ്യമായ ഏറ്റവും ലളിതമായ നിർവചനങ്ങൾ പരിചയപ്പെടേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ സമത്വമാണ് സമവാക്യം.

സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ (മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ) ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ് മൊഡ്യൂലസ് ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നാൽ അതിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക, അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് തെളിയിക്കുക.

3. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവ്

സിദ്ധാന്തം 1. സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യംഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുടെ a അല്ലെങ്കിൽ -a രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ വലുത് തുല്യമാണ്.

തെളിവ്

1. a എന്ന സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, -a നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് -a

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ 5 പോസിറ്റീവ് ആണ്, പിന്നെ -5 നെഗറ്റീവും -5 ഉം ആണ്

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ |a| = a, അതായത് |a| a, - a എന്നീ രണ്ട് സംഖ്യകളിൽ വലുതുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

2. a നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, -a പോസിറ്റീവ് ആണ്, a ആണ്

അനന്തരഫലം. |-a| എന്ന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു = |എ|.

വാസ്തവത്തിൽ, ഇവ രണ്ടും -a, a എന്നീ സംഖ്യകളുടെ വലിയ സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത് അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2. ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ a യുടെ കേവല മൂല്യം ഗണിതത്തിന് തുല്യമാണ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്എയിൽ നിന്ന് 2 .

വാസ്തവത്തിൽ, അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ മോഡുലസിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് lАl>0 ഉണ്ടായിരിക്കും, മറുവശത്ത്, A>0 ന് അത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് |a| = √A 2

എങ്കിൽ എ 2

ഈ സിദ്ധാന്തം ചില പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ |a|. ഓൺ

ജ്യാമിതീയമായി |a| a എന്ന സംഖ്യയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് ഉത്ഭവത്തിലേക്കുള്ള കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിലെ ദൂരം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിൽ a, -a എന്നീ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ തുല്യമാണ്.

a = 0 ആണെങ്കിൽ, കോർഡിനേറ്റ് ലൈനിൽ |a| പോയിൻ്റ് 0 പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

4. ഒരു മോഡുലസ് അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

കേവല മൂല്യത്തിൻ്റെ ചിഹ്നം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഒരു സംഖ്യയുടെ മൊഡ്യൂളിൻ്റെ നിർവചനത്തെയും ഒരു സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗുണങ്ങളെയും ഞങ്ങൾ ആശ്രയിക്കും. ഞങ്ങൾ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കും വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽകൂടാതെ ഒരു മോഡുലസ് അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഏത് രീതിയാണ് എളുപ്പമാകുന്നത് എന്ന് നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. നമുക്ക് വിശകലനപരമായും ഗ്രാഫിക്കലായും സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം |x + 2| = 1.

പരിഹാരം

വിശകലന പരിഹാരം

1st രീതി

ഒരു മൊഡ്യൂളിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ന്യായവാദം ചെയ്യും. മോഡുലസിന് കീഴിലുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതായത് x + 2 ≥0, അത് മൊഡ്യൂലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ നിന്ന് ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നത്തോടെ "പുറത്തുവരും", സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x + 2 = 1. എങ്കിൽ മോഡുലസ് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആണ്, തുടർന്ന്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും: അല്ലെങ്കിൽ x + 2=-1

അങ്ങനെ, നമുക്ക് x + 2 = 1 അല്ലെങ്കിൽ x + 2 = -1 ലഭിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: X+2=1 അല്ലെങ്കിൽ X+2+-1

X=-1 X=3

ഉത്തരം: -3;-1.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം: ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ മോഡുലസ് ഒരു പോസിറ്റീവ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യ a ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മോഡുലസിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഒന്നുകിൽ a അല്ലെങ്കിൽ -a ആണ്.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

ഒരു മൊഡ്യൂൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം ഗ്രാഫിക്കൽ രീതിയാണ്. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് ഈ രീതിയുടെ സാരാംശം. ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഗ്രാഫുകളുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകൾ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളായിരിക്കും. ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം. ഒരു മോഡുലസ് അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഈ രീതി മറ്റുള്ളവരെ അപേക്ഷിച്ച് കുറവാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്, കാരണം, ഒന്നാമതായി, ഇത് വളരെയധികം സമയമെടുക്കുന്നു, എല്ലായ്പ്പോഴും യുക്തിസഹമല്ല, രണ്ടാമതായി, ഗ്രാഫുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ ലഭിക്കുന്ന ഫലങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും കൃത്യമല്ല.

ഒരു മോഡുലസ് അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം, നമ്പർ ലൈൻ ഇടവേളകളായി വിഭജിക്കുക എന്നതാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് നമ്പർ ലൈൻ വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അങ്ങനെ മോഡുലസിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഈ ഇടവേളകളിലെ കേവല മൂല്യത്തിൻ്റെ അടയാളം നീക്കംചെയ്യാം. തുടർന്ന്, ഓരോ ഇടവേളകൾക്കും, ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുകയും വേണം (അവ നമ്മുടെ ഇടവേളയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ ഇല്ലയോ). വിടവുകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന വേരുകൾ അന്തിമ ഉത്തരം നൽകും.

2nd രീതി

x ൻ്റെ ഏത് മൂല്യങ്ങളിലാണ് മൊഡ്യൂൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമെന്ന് നമുക്ക് സ്ഥാപിക്കാം: |X+2|=0, X=2

നമുക്ക് രണ്ട് ഇടവേളകൾ ലഭിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിനും ഞങ്ങൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് മിശ്രിത സംവിധാനങ്ങൾ ലഭിക്കും:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

നമുക്ക് ഓരോ സിസ്റ്റവും പരിഹരിക്കാം:

X=-3 X=-1

ഉത്തരം: -3;-1.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

y= |X+2|, y= 1.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

സമവാക്യം ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും ഗ്രാഫുകളുടെയും ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം - ഇത് OX അക്ഷത്തെയും OY അക്ഷത്തെയും പോയിൻ്റുകളിൽ വിഭജിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങൾ നൽകും.

y=1 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നേരായ ഗ്രാഫ്, y=|x + 2| കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള പോയിൻ്റുകളിൽ (-3; 1), (-1; 1), അതിനാൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകളായിരിക്കും:

x=-3, x=-1

ഉത്തരം: -3;-1

ഉദാഹരണം 2. 1 + |x| എന്ന സമവാക്യം വിശകലനപരമായും ഗ്രാഫിക്കലായും പരിഹരിക്കുക. = 0.5.

പരിഹാരം:

വിശകലന പരിഹാരം

നമുക്ക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, മോഡുലസ് എല്ലായ്പ്പോഴും നെഗറ്റീവ് അല്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഗ്രാഫിക് പരിഹാരം

നമുക്ക് സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് കിരണങ്ങളാണ് - 1, 2 കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ ദ്വിവിഭാഗങ്ങൾ. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് OX അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു നേർരേഖയാണ്, OY അക്ഷത്തിലെ പോയിൻ്റ് -0.5 വഴി കടന്നുപോകുന്നു.

ഗ്രാഫുകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ല, അതായത് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉദാഹരണം 3. സമവാക്യം വിശകലനപരമായും ഗ്രാഫിക്കലായും പരിഹരിക്കുക |-x + 2| = 2x + 1.

പരിഹാരം:

വിശകലന പരിഹാരം

1st രീതി

ആദ്യം നിങ്ങൾ വേരിയബിളിനായി സ്വീകാര്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി സജ്ജീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒരു സ്വാഭാവിക ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: എന്തുകൊണ്ടാണ് മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഇത് ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ല, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ അത് ഉയർന്നുവന്നിരിക്കുന്നു.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് ചില പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ മോഡുലസ് ഉണ്ട് എന്നതാണ് വസ്തുത, വലതുവശത്ത് ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗമാണ് - ഈ പ്രധാന സാഹചര്യത്തെ വേർതിരിക്കുന്നത് ഈ ഉദാഹരണംമുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന്.

ഇടതുവശത്ത് ഒരു മോഡുലസും വലതുവശത്ത് ഒരു വേരിയബിൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു എക്സ്പ്രഷനും ഉള്ളതിനാൽ, ഈ എക്സ്പ്രഷൻ നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണമെന്ന് ആവശ്യപ്പെടേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, സാധുതയുള്ള ശ്രേണി

മോഡുലസ് മൂല്യങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തിയ സമത്വത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഉദാഹരണം 1-ലെ അതേ രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യാം പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് മിശ്രിത സംവിധാനങ്ങൾ ലഭിക്കും:

(1) -X+2≥0, (2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

നമുക്ക് ഓരോ സിസ്റ്റവും പരിഹരിക്കാം:

(1) ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, ഇത് സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല കൂടാതെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് അല്ല.

ഉത്തരം: ⅓.

4.1 a, b സംഖ്യകൾ, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങൾ എന്നിവയ്ക്കിടയിലുള്ള ആശ്രിതത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം.

ഞാൻ മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന രീതികൾക്ക് പുറമേ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ സംഖ്യകളും മൊഡ്യൂളുകളും തമ്മിൽ ഒരു നിശ്ചിത തുല്യതയുണ്ട്, അതുപോലെ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളും മൊഡ്യൂളുകളും തമ്മിൽ:

|എ|=|ബി| a=b അല്ലെങ്കിൽ a=-b

A2=b2 a=b അല്ലെങ്കിൽ a=-b

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

|എ|=|ബി| a 2 =b 2

ഉദാഹരണം 4. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക |x + 1|=|2x - 5| രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വഴികളിൽ.

1. റിലേഷൻ (1) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

X + 1=2x - 5 അല്ലെങ്കിൽ x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=6, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x=11/3

അങ്ങനെ, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x 1 =6, x 2 =11/3

2. ബന്ധത്തിൻ്റെ ഗുണത്താൽ (2), നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

(x + 1)2=(2x - 5)2, അല്ലെങ്കിൽ x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>സമവാക്യത്തിന് 2 വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

പരിഹാരം കാണിക്കുന്നതുപോലെ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ 11/3, 6 എന്നീ സംഖ്യകളാണ്

ഉത്തരം: x 1 =6, x 2 =11/3

ഉദാഹരണം 5. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

റിലേഷൻ (2) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് അത് |2x + 3|=|x - 1| ലഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന്, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം അനുസരിച്ച് (ബന്ധം (1) അനുസരിച്ച്):

2x + 3=x - 1 അല്ലെങ്കിൽ 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x1 = -4, x2 = -0, (6)

ഉത്തരം: x1=-4, x2 =0,(6)

ഉദാഹരണം 6. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

ബന്ധം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x - 6=x2 - 5x + 9 അല്ലെങ്കിൽ x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

D=36 - 4 15=36 - 60= -24 D=16 - 4 3=4 >0==>2 ആർ.കെ.

==> വേരുകളില്ല.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

പരിശോധിക്കുക: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(I)

ഉത്തരം: x 1 =1; x 2 =3

4.2. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മൊഡ്യൂളിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തിൻ്റെ ഉപയോഗം.

അളവുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മോഡുലസിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം അവ തമ്മിലുള്ള ദൂരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, |x - a | എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം - സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷം, a, x എന്നിവയുമായി പോയിൻ്റുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ബീജഗണിത പ്രശ്നം ജ്യാമിതീയ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 7. |x - 1| എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം + |x - 2|=1 മോഡുലസിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യും: മൊഡ്യൂളിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇടത് വശംസമവാക്യം എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത abscissa പോയിൻ്റ് x-ൽ നിന്ന് abscissa 1 ഉം 2 ഉം ഉള്ള രണ്ട് സ്ഥിര പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. അപ്പോൾ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്നുള്ള അബ്‌സിസ്സകളുള്ള എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും ആവശ്യമായ പ്രോപ്പർട്ടി ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്, എന്നാൽ ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിന് പുറത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പോയിൻ്റുകൾ അങ്ങനെയല്ല. അതിനാൽ ഉത്തരം: സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ് സെഗ്‌മെൻ്റ്.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 8. |x - 1| എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം - |x - 2|=1 1 മോഡുലസിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിന് സമാനമായി ഞങ്ങൾ ന്യായവാദം ചെയ്യും, കൂടാതെ അബ്‌സിസാസ് 1 ഉം 2 ഉം ഉള്ള പോയിൻ്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിലെ വ്യത്യാസം സംഖ്യ 2 ൻ്റെ വലതുവശത്തുള്ള കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന പോയിൻ്റുകൾക്ക് മാത്രം തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. അതിനാൽ, ഇതിനുള്ള പരിഹാരം ഈ സമവാക്യം പോയിൻ്റ് 1 നും 2 നും ഇടയിലുള്ള സെഗ്‌മെൻ്റായിരിക്കില്ല, കൂടാതെ പോയിൻ്റ് 2 ൽ നിന്ന് ഉയർന്നുവരുന്ന കിരണവും OX അക്ഷത്തിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നതുമാണ്.

ഉത്തരം :)