5x (x - 4) = 0

5 x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

ഒന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ പഠിച്ച ശേഷം, തീർച്ചയായും, മറ്റുള്ളവരുമായി പ്രവർത്തിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, പ്രത്യേകിച്ചും, രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങളുമായി, അവയെ മറ്റൊരു രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ax ² + bx + c = 0 എന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ്, ഇവിടെ വേരിയബിൾ x ആണ്, അക്കങ്ങൾ ആയിരിക്കും - a, b, c, ഇവിടെ a പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഗുണകം (സി അല്ലെങ്കിൽ ബി) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സമവാക്യം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കും.

വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഇതുവരെ ഫസ്റ്റ്-ഡിഗ്രി സമവാക്യങ്ങൾ മാത്രമേ പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞിട്ടുള്ളൂ എങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനാകും? അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക വത്യസ്ത ഇനങ്ങൾഅവ പരിഹരിക്കാനുള്ള ലളിതമായ വഴികളും.

a) കോ എഫിഷ്യന്റ് c 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, കോ എഫിഷ്യന്റ് b പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി ² + bx + 0 = 0 എന്നത് ax ² + bx = 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്, അതായത് ഇടത് വശംഅതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുക, പിന്നീട് ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ തുല്യതയുടെ അവസ്ഥ പൂജ്യമായി ഉപയോഗിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിന്, 5x ² - 20x = 0. സാധാരണ ചെയ്യുമ്പോൾ, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം ഫാക്ടർ ചെയ്യുക ഗണിത പ്രവർത്തനം: പരാൻതീസിസിന് പുറത്തുള്ള പൊതുവായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കുന്നു

5x (x - 4) = 0

ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് എന്ന വ്യവസ്ഥ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

5 x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x - 4 = 0

ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: ആദ്യത്തെ റൂട്ട് 0 ആണ്; രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് 4 ആണ്.

b) b = 0, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ax ² + 0x + c = 0 എന്ന സമവാക്യം ax ² + c = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു. സമവാക്യങ്ങൾ രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും. : എ) ഇടതുവശത്തുള്ള സമവാക്യത്തിന്റെ ബഹുപദം ഘടകങ്ങളായി വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്; ബി) ഗണിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു സ്ക്വയർ റൂട്ട്... അത്തരമൊരു സമവാക്യം ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. ഉത്തരം ഇതാണ്: ആദ്യത്തെ റൂട്ട് 5/2 ആണ്; രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് - 5/2.

c) b എന്നത് 0 നും c എന്നത് 0 നും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ax ² + 0 + 0 = 0 എന്നത് ax ² = 0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യമായി ചുരുങ്ങുന്നു. അത്തരം ഒരു സമവാക്യത്തിൽ, x 0 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് രണ്ടിൽ കൂടുതൽ വേരുകൾ ഉണ്ടാകരുത്.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും ഗണിതത്തിലും വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, "വിവേചനത്തിലൂടെ" സാർവത്രികമായ രീതിയിൽ ഈ സമത്വങ്ങളെ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ നോക്കും. നേടിയ അറിവ് ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും ലേഖനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

നമ്മൾ എന്ത് സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്?

ചുവടെയുള്ള ചിത്രം ഒരു ഫോർമുല കാണിക്കുന്നു, അതിൽ x ഒരു അജ്ഞാത വേരിയബിളാണ്, കൂടാതെ ലാറ്റിൻ ചിഹ്നങ്ങൾ a, b, c അറിയപ്പെടുന്ന ചില സംഖ്യകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഈ ചിഹ്നങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനെയും ഒരു ഗുണകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, "a" എന്ന സംഖ്യ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിളിന് മുന്നിലാണ് x. അവതരിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗത്തിന്റെ പരമാവധി ശക്തി ഇതാണ്, അതിനാലാണ് ഇതിനെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്. ഇതിന്റെ മറ്റൊരു പേര് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്: രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യം. മൂല്യം തന്നെ സ്ക്വയർ കോഫിഫിഷ്യന്റാണ് (വേരിയബിൾ സ്ക്വയറിന് വേണ്ടി നിൽക്കുന്നത്), b ആണ് ലീനിയർ കോഫിഫിഷ്യന്റ് (ഇത് ആദ്യ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയ വേരിയബിളിന് അടുത്താണ്), അവസാനം, നമ്പർ c എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദമാണ്.

മുകളിലെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപം ഒരു സാധാരണ ക്ലാസിക്കൽ സ്ക്വയർ എക്സ്പ്രഷൻ ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഇതിന് പുറമേ, ബി, സി എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യമാകാൻ കഴിയുന്ന മറ്റ് രണ്ടാം-ക്രമ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്.

പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സമത്വം പരിഹരിക്കാൻ പ്രശ്നം ഉന്നയിക്കുമ്പോൾ, അതിനർത്ഥം x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ അതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന തരത്തിൽ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. ഇവിടെ, ആദ്യം ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് ഇനിപ്പറയുന്ന കാര്യമാണ്: x ന്റെ പരമാവധി ഡിഗ്രി 2 ആയതിനാൽ, ഇത്തരത്തിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തിന് 2 പരിഹാരങ്ങളിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടാകരുത്. ഇതിനർത്ഥം, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിനെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന x ന്റെ 2 മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയാൽ, x ന് പകരം സമത്വവും ശരിയാകും, മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യ ഇല്ലെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പിക്കാം. ഗണിതത്തിലെ ഒരു സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളെ റൂട്ട്സ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് അവയെക്കുറിച്ചുള്ള ചില സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ അറിവ് ആവശ്യമാണ്. സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്സ് 4 പരിശോധിക്കുന്നു വ്യത്യസ്ത രീതികൾപരിഹാരങ്ങൾ. നമുക്ക് അവ പട്ടികപ്പെടുത്താം:

• ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്;
• ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്;
• അനുബന്ധ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട്;
• വിവേചന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച്.

ആദ്യ രീതിയുടെ പ്രയോജനം അതിന്റെ ലാളിത്യത്തിലാണ്, എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും ഇത് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. രണ്ടാമത്തെ രീതി സാർവത്രികമാണ്, പക്ഷേ കുറച്ച് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. മൂന്നാമത്തെ രീതി അതിന്റെ വ്യക്തതയ്ക്ക് ശ്രദ്ധേയമാണ്, എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സൗകര്യപ്രദവും ബാധകവുമല്ല. അവസാനമായി, വിവേചനപരമായ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഏതെങ്കിലും രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സാർവത്രികവും ലളിതവുമായ ഒരു മാർഗമാണ്. അതിനാൽ, ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ അത് മാത്രം പരിഗണിക്കും.

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ലഭിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല

നമുക്ക് തിരിയാം പൊതുവായ കാഴ്ചക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. നമുക്ക് ഇത് എഴുതാം: a * x² + b * x + c = 0. "വിവേചനത്തിലൂടെ" പരിഹരിക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, സമത്വം എല്ലായ്പ്പോഴും ലിഖിത രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കണം. അതായത്, അതിൽ മൂന്ന് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കണം (അല്ലെങ്കിൽ b അല്ലെങ്കിൽ c 0 ആണെങ്കിൽ അതിൽ കുറവ്).

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², നിങ്ങൾ ആദ്യം അതിന്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും തുല്യതയുടെ ഒരു വശത്തേക്ക് നീക്കുകയും വേരിയബിൾ x അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ ചേർക്കുകയും വേണം. അതേ ശക്തികൾ.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ പ്രവർത്തനം ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് നയിക്കും: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, ഇത് 6 * x² + 4 * x-8 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഇടത് ഗുണിച്ച് ഒപ്പം സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശങ്ങൾ -1) ...

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, a = 6, b = 4, c = -8. പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സമത്വത്തിന്റെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും എല്ലായ്പ്പോഴും പരസ്പരം സംഗ്രഹിക്കപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ "-" ചിഹ്നം പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഈ കേസിലെ നമ്പർ c പോലെയുള്ള അനുബന്ധ ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഈ പോയിന്റ് പരിശോധിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് തന്നെ തിരിയുന്നു, ഇത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ നേടുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. ചുവടെയുള്ള ഫോട്ടോയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോം ഇതിന് ഉണ്ട്.

ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (നിങ്ങൾ "±" ചിഹ്നത്തിൽ ശ്രദ്ധിക്കണം). ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ബി, സി, എ എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ മതിയാകും.

വിവേചനപരമായ ആശയം

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, ഏത് രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യവും വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല നൽകിയിട്ടുണ്ട്. അതിൽ, സമൂലമായ പദപ്രയോഗത്തെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്, D = b²-4 * a * c.

ഫോർമുലയുടെ ഈ ഭാഗം എന്തിനാണ് ഒറ്റപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്, അത് പോലും ഉണ്ട് സ്വന്തം പേര്? വിവേചനക്കാരൻ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂന്ന് ഗുണകങ്ങളെയും ഒരൊറ്റ പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു എന്നതാണ് വസ്തുത. പിന്നീടുള്ള വസ്തുത അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇത് വേരുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ പൂർണ്ണമായി വഹിക്കുന്നു എന്നാണ്, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

1. D> 0: സമത്വത്തിന് 2 വ്യത്യസ്ത പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അവ രണ്ടും യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്.
2. D = 0: സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ, അത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയാണ്.

വിവേചനക്കാരനെ നിർണ്ണയിക്കാനുള്ള ചുമതല

വിവേചനം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതിന്റെ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം പറയാം. ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം നൽകട്ടെ: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

ഞങ്ങൾ അതിനെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, അവിടെ നിന്നാണ് നമ്മൾ വരുന്നത് തുല്യത: -2 * x² + 2 * x-11 = 0. ഇവിടെ a = -2, b = 2, c = -11.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനാധികാരത്തിനായി പേരിട്ടിരിക്കുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നമ്പർ ടാസ്ക്കിനുള്ള ഉത്തരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിൽ വിവേചനം കാണിക്കുന്നതിനാൽ പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്, അപ്പോൾ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ മാത്രമേ അവന്റെ പരിഹാരമാകൂ.

വിവേചനക്കാരിലൂടെയുള്ള അസമത്വത്തിന്റെ ഉദാഹരണം

അല്പം വ്യത്യസ്തമായ തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം: തുല്യത -3 * x²-6 * x + c = 0. D> 0 എന്നതിന് c യുടെ അത്തരം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, 3 ഗുണകങ്ങളിൽ 2 എണ്ണം മാത്രമേ അറിയൂ, അതിനാൽ വിവേചനത്തിന്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ അത് പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് അറിയാം. അസമത്വം വരയ്ക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ അവസാന വസ്തുത ഉപയോഗിക്കുന്നു: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. ലഭിച്ച അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരം ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു: c> -3.

ലഭിച്ച നമ്പർ പരിശോധിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, 2 കേസുകൾക്കായി D കണക്കാക്കുക: c = -2, c = -4. സംഖ്യ -2 ലഭിച്ച ഫലം (-2> -3) തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അനുബന്ധ വിവേചനക്കാരന് മൂല്യം ഉണ്ടായിരിക്കും: D = 12> 0. അതാകട്ടെ, -4 എന്ന സംഖ്യ അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നില്ല (-4 അതിനാൽ, -3-ൽ കൂടുതലുള്ള ഏത് സിയും അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

നമുക്ക് ഒരു പ്രശ്നം അവതരിപ്പിക്കാം, അത് വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിൽ മാത്രമല്ല, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലും ഉൾപ്പെടുന്നു. -2 * x² + 7-9 * x = 0 എന്ന സമത്വത്തിന്റെ വേരുകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, വിവേചനം അടുത്ത മൂല്യം: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു: x = (9 ± √137) / (- 4). ഇവയാണ് റൂട്ടുകളുടെ കൃത്യമായ മൂല്യങ്ങൾ, നിങ്ങൾ ഏകദേശ റൂട്ട് കണക്കാക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ ലഭിക്കും: x = -5.176, x = 0.676.

ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നം

വിവേചനബുദ്ധിയെ കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് മാത്രമല്ല, അമൂർത്തമായ ചിന്താശേഷിയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാമെന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ആവശ്യമായ ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം.

ബോബിന് 5 x 4 മീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ഡുവെറ്റ് ഉണ്ടായിരുന്നു. ഒരു തുടർച്ചയായ സ്ട്രിപ്പ് തയ്യാൻ ആൺകുട്ടി ആഗ്രഹിച്ചു മനോഹരമായ തുണി... ബോബിന് 10 m² തുണി ഉണ്ടെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ ഈ സ്ട്രിപ്പ് എത്ര കട്ടിയുള്ളതായിരിക്കും.

സ്ട്രിപ്പിന് x മീറ്റർ കനം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ, തുടർന്ന് തുണിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം നീണ്ട വശംപുതപ്പുകൾ (5 + 2 * x) * x ആയിരിക്കും, കൂടാതെ 2 നീളമുള്ള വശങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്: 2 * x * (5 + 2 * x). ചെറിയ വശത്ത്, തുന്നിച്ചേർത്ത തുണിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം 4 * x ആയിരിക്കും, ഈ വശങ്ങളിൽ 2 ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് 8 * x മൂല്യം ലഭിക്കും. പുതപ്പിന്റെ നീളം ആ സംഖ്യ കൊണ്ട് വർദ്ധിച്ചതിനാൽ നീളമുള്ള ഭാഗത്ത് 2 * x ചേർത്തുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. പുതപ്പിലേക്ക് തുന്നിയ തുണിയുടെ ആകെ വിസ്തീർണ്ണം 10 m² ആണ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കുന്നു: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

ഈ ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനം ഇതാണ്: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. അതിന്റെ റൂട്ട് 22 ആണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമായ വേരുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0.5). വ്യക്തമായും, രണ്ട് വേരുകളിൽ, 0.5 എന്ന സംഖ്യ മാത്രമേ പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാകൂ.

അങ്ങനെ, ബോബ് തന്റെ പുതപ്പിലേക്ക് തുന്നുന്ന തുണിയുടെ സ്ട്രിപ്പ് 50 സെന്റിമീറ്റർ വീതിയുള്ളതായിരിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ക്ലാസിക്കൽ (പൂർണ്ണമായ) സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതിന്റെ ഘടകങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ഇന്റർസെപ്റ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫ് പരവലയങ്ങളാണ്. പൊതുവായ രൂപത്തെ ആശ്രയിച്ച്, അവയെ 3 ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. എല്ലാത്തരം സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്.

അപൂർണ്ണമായ പോളിനോമിയലിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുന്നതിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമൊന്നുമില്ല. ചിത്രീകരണ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രധാന വ്യത്യാസങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്:

1. b = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ax 2 + c = 0 ആണ്.
2. c = 0 ആണെങ്കിൽ, ax 2 + bx = 0 എന്ന പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കണം.
3. b = 0 ഉം c = 0 ഉം ആണെങ്കിൽ, പോളിനോമിയൽ ax 2 = 0 എന്ന തരത്തിന്റെ തുല്യതയായി മാറുന്നു.

പിന്നീടുള്ള കേസ് ഒരു സൈദ്ധാന്തിക സാധ്യതയാണ്, വിജ്ഞാന പരിശോധനാ ജോലികളിൽ ഒരിക്കലും സംഭവിക്കുന്നില്ല, കാരണം എക്സ്പ്രഷനിലെ x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഒരേയൊരു സാധുവായ മൂല്യം പൂജ്യമാണ്. ഭാവിയിൽ, 1), 2) തരങ്ങളുടെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികളും ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഗണിക്കും.

ഒരു പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് വേരിയബിളുകളും ഉദാഹരണങ്ങളും കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പൊതു അൽഗോരിതം

സമവാക്യത്തിന്റെ തരം പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, പരിഹാര അൽഗോരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങളിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു:

1. വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു ഫോമിലേക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ കൊണ്ടുവരിക.
2. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുക.
3. നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം രേഖപ്പെടുത്തുക.

അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഏറ്റവും എളുപ്പ മാർഗം ഇടതുവശം ഫാക്‌ടർ ചെയ്ത് വലതുവശത്ത് പൂജ്യം വിടുക എന്നതാണ്. അങ്ങനെ, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഫോർമുല ഓരോ ഘടകങ്ങളുടെയും x ന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു.

പ്രായോഗികമായി ഇത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ പഠിക്കാനാകൂ, അതിനാൽ പരിഗണിക്കുക നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണംഅപൂർണ്ണമായ ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ b = 0. ഇടത് വശം ഫാക്ടർ ചെയ്ത് എക്സ്പ്രഷൻ നേടുക:

4 (x - 0.5) ⋅ (x + 0.5) = 0.

വ്യക്തമായും, ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. x1 = 0.5, (അല്ലെങ്കിൽ) x2 = -0.5 എന്നീ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ആവശ്യകതകൾ നിറവേറ്റുന്നു.

വിഘടിപ്പിക്കൽ ചുമതല എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ത്രിപദംഘടകങ്ങളാൽ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്:

പദപ്രയോഗത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം ഇല്ലെങ്കിൽ, ചുമതല വളരെ ലളിതമാക്കുന്നു. പൊതുവിഭജനം കണ്ടെത്തി പുറത്തെടുത്താൽ മാത്രം മതിയാകും. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ax2 + bx = 0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

പരാൻതീസിസിൽ നിന്ന് വേരിയബിൾ x എടുത്ത് ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ നേടാം:

x ⋅ (x + 3) = 0.

യുക്തിയാൽ നയിക്കപ്പെടുന്ന, x1 = 0, x2 = -3 എന്നിങ്ങനെയുള്ള നിഗമനത്തിലെത്തി.

പരമ്പരാഗത പരിഹാരവും അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും

നിങ്ങൾ വിവേചന സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുകയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള പോളിനോമിയലിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കുകയും ചെയ്താൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? 2017 ലെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള സാധാരണ ടാസ്ക്കുകളുടെ ഒരു ശേഖരത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുലകളും ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ രീതിയും ഉപയോഗിച്ച് അത് പരിഹരിക്കുക.

7x 2 - 3x = 0.

നമുക്ക് വിവേചനത്തിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം: D = (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. ബഹുപദത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു:

ഇനി നമുക്ക് ഫാക്‌ടറിംഗ് വഴി സമവാക്യം പരിഹരിച്ച് ഫലങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യാം.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ട് രീതികളും ഒരേ ഫലം നൽകുന്നു, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പവും വേഗമേറിയതുമായി മാറി.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

എന്നാൽ പ്രിയപ്പെട്ട വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവുമായി എന്തുചെയ്യണം? ഈ രീതി അപൂർണ്ണമായ ട്രൈനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രയോഗിക്കാമോ? കാസ്റ്റിംഗ് നോട്ടിന്റെ വശങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യങ്ങൾലേക്ക് ക്ലാസിക് ലുക്ക് ax2 + bx + c = 0.

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ കേസിൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാണ്. വിട്ടുപോയ അംഗങ്ങളെ പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി പദപ്രയോഗം ഒരു പൊതു രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, b = 0 ഉം a = 1 ഉം ഉപയോഗിച്ച്, ആശയക്കുഴപ്പത്തിനുള്ള സാധ്യത ഇല്ലാതാക്കാൻ, ടാസ്‌ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതണം: ax2 + 0 + c = 0. തുടർന്ന് വേരുകളുടെ തുകയുടെയും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെയും അനുപാതം ബഹുപദത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

സൈദ്ധാന്തിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പ്രശ്നത്തിന്റെ സാരാംശം അറിയാൻ സഹായിക്കുന്നു, കൂടാതെ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു വൈദഗ്ദ്ധ്യം പരിശീലിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികൾ... പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള സാധാരണ ജോലികളുടെ റഫറൻസ് പുസ്തകത്തിലേക്ക് വീണ്ടും തിരിയുകയും അനുയോജ്യമായ ഒരു ഉദാഹരണം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോഗത്തിന് സൗകര്യപ്രദമായ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് പദപ്രയോഗം എഴുതാം:

x 2 + 0 - 16 = 0.

വ്യവസ്ഥകളുടെ ഒരു സംവിധാനം സൃഷ്ടിക്കുക എന്നതാണ് അടുത്ത ഘട്ടം:

വ്യക്തമായും, ഒരു ചതുര ബഹുപദത്തിന്റെ വേരുകൾ x 1 = 4 ഉം x 2 = -4 ഉം ആയിരിക്കും.

ഇനി, സമവാക്യത്തെ ഒരു പൊതു രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നത് പരിശീലിക്കാം. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം എടുക്കുക: 1/4 × x 2 - 1 = 0

ഒരു പദപ്രയോഗത്തിൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിന്, ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ഫലം നോക്കുക: x2– 4 = 0. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പരിഹരിക്കാൻ തയ്യാറാണ്, എന്നാൽ c = 4 കൈമാറുന്നതിലൂടെ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പവും വേഗവുമാണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക്: x2 = 4.

ചുരുക്കി പറഞ്ഞാൽ മതി ഏറ്റവും മികച്ച മാർഗ്ഗംപരിഹാരങ്ങൾ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾഫാക്‌ടറൈസേഷൻ ആണ്, ഏറ്റവും ലളിതവും ദ്രുത രീതി... വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയിൽ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് റഫർ ചെയ്യാം പരമ്പരാഗത രീതിവിവേചനക്കാരനിലൂടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. യഥാർത്ഥ, ഒന്നിലധികം, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളുടെ കേസുകൾ പരിഗണിക്കുന്നു. ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ ഫാക്റ്ററിംഗ്. ജ്യാമിതീയ വ്യാഖ്യാനം. വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന്റെയും ഫാക്‌ടറിംഗിന്റെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ.

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:
(1) .
ക്വാഡ്രാറ്റിക് വേരുകൾ(1) സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
; .
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതുപോലെ സംയോജിപ്പിക്കാം:
.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അറിയുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രി പോളിനോമിയലിനെ ഘടകങ്ങളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:
.

കൂടാതെ, അത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു.
പരിഗണിക്കുക ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വിവേചനം:
.
വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് വ്യത്യസ്ത യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
; .
അപ്പോൾ സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ ഇതാണ്:
.
വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് മൾട്ടിപ്പിൾ (തുല്യ) യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
.
ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ:
.
വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് (1) രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ സംയോജിത വേരുകളുണ്ട്:
;
.
ഇതാ ഒരു സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ്,;
കൂടാതെ - വേരുകളുടെ യഥാർത്ഥവും സാങ്കൽപ്പികവുമായ ഭാഗങ്ങൾ:
; .
പിന്നെ

.

ഗ്രാഫിക് വ്യാഖ്യാനം

നിങ്ങൾ പണിയുകയാണെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്
,
ഇത് ഒരു പരവലയമാണ്, അപ്പോൾ ഗ്രാഫിന്റെ അച്ചുതണ്ടിന്റെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കും
.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ abscissa axis (axis) കടക്കുന്നു.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ abscissa അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.
എപ്പോൾ, ഗ്രാഫ് abscissa അക്ഷം കടക്കുന്നില്ല.

അത്തരം ഗ്രാഫുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.

ഉപയോഗപ്രദമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഒരു ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയും ഫോർമുലകൾ പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു (f.1), (f.3):




,
എവിടെ
; .

അതിനാൽ, രൂപത്തിൽ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ പോളിനോമിയലിനായി ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഫോർമുല ലഭിച്ചു:
.
അതിനാൽ സമവാക്യം കാണപ്പെടുന്നു

ചെയ്തത്
ഒപ്പം .
അതായത്, അവ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളാണ്
.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1

(1.1) .

പരിഹാരം

.
ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (1.1), ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്:
;
;
.

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഫാക്റ്ററൈസേഷൻ ലഭിക്കും:

.

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് y = 2 x 2 + 7 x + 3രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ abscissa അക്ഷം കടക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ അബ്സിസ്സ അക്ഷം (അക്ഷം) കടക്കുന്നു:
ഒപ്പം .
ഈ പോയിന്റുകളാണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ (1.1) വേരുകൾ.

ഉത്തരം

;
;
.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
(2.1) .

പരിഹാരം

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
.
യഥാർത്ഥ സമവാക്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (2.1), ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം പൂജ്യമായതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് ഒന്നിലധികം (തുല്യ) വേരുകളുണ്ട്:
;
.

അപ്പോൾ ട്രൈനോമിയലിന്റെ ഘടകവൽക്കരണം ഇതാണ്:
.

ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് y = x 2 - 4 x + 4ഒരു ബിന്ദുവിൽ abscissa അക്ഷത്തിൽ സ്പർശിക്കുന്നു.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് ഒരു ഘട്ടത്തിൽ abscissa axis (axis) സ്പർശിക്കുന്നു:
.
ഈ പോയിന്റാണ് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ (2.1) റൂട്ട്. ഈ റൂട്ട് രണ്ട് തവണ ഫാക്‌ടറൈസേഷനിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുന്നതിനാൽ:
,
അപ്പോൾ അത്തരമൊരു റൂട്ടിനെ സാധാരണയായി മൾട്ടിപ്പിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, രണ്ട് തുല്യ വേരുകളുണ്ടെന്ന് അവർ വിശ്വസിക്കുന്നു:
.

ഉത്തരം

;
.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:
(3.1) .

പരിഹാരം

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:
(1) .
നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യം (3.1) വീണ്ടും എഴുതാം:
.
(1) മായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:
.
ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:
.
വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. അതിനാൽ, സാധുവായ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:
;
;
.

പിന്നെ


.

ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് abscissa അക്ഷം കടക്കുന്നില്ല. സാധുവായ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം
.
ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്. ഇത് abscissa (അക്ഷം) കടക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, സാധുവായ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

ഉത്തരം

സാധുവായ വേരുകളൊന്നുമില്ല. സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ:
;
;
.