നമുക്ക് പ്രവർത്തിക്കാം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ... ഇവ വളരെ ജനപ്രിയമായ സമവാക്യങ്ങളാണ്! വളരെ പൊതുവായ കാഴ്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇവിടെ ഒപ്പം =1; b = 3; സി = -4

ഇവിടെ ഒപ്പം =2; b = -0,5; സി = 2,2

ഇവിടെ ഒപ്പം =-3; b = 6; സി = -18

ശരി, നിങ്ങൾക്ക് ആശയം ലഭിക്കുന്നു ...

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? ഈ രൂപത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെങ്കിൽ, എല്ലാം ഇതിനകം ലളിതമാണ്. ഓർമ്മിക്കുക മാജിക് പദം വിവേചനം ... ഒരു അപൂർവ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥി ഈ വാക്ക് കേട്ടിട്ടില്ല! “വിവേചനത്തിലൂടെ തീരുമാനമെടുക്കുക” എന്ന വാചകം ആത്മവിശ്വാസത്തിനും ആശ്വാസത്തിനും പ്രചോദനം നൽകുന്നു. കാരണം വിവേചനക്കാരിൽ നിന്ന് വൃത്തികെട്ട തന്ത്രങ്ങൾക്കായി കാത്തിരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല! ഇത് ലളിതവും ഉപയോഗിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം സമാനമാണ് വിവേചനം... നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, x കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു a, b, c എന്നിവ മാത്രം... ആ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള ഗുണകങ്ങൾ. മൂല്യങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക a, b, c ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് എണ്ണുക. പകരക്കാരൻ നിങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളുമായി! ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിന് ഒപ്പം =1; b = 3; സി \u003d -4. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഉദാഹരണം മിക്കവാറും പരിഹരിച്ചു:

അത്രയേയുള്ളൂ.

ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ എന്ത് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്? മൂന്ന് കേസുകൾ മാത്രമാണ് ഉള്ളത്.

1. വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് അതിൽ നിന്ന് റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യാമെന്നാണ്. നല്ല റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്\u200cതു, അല്ലെങ്കിൽ മോശമാണ് - മറ്റൊരു ചോദ്യം. തത്വത്തിൽ എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നത് പ്രധാനമാണ്. നിങ്ങളുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പരിഹാരങ്ങൾ.

2. വിവേചനം പൂജ്യമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇത് ഒരു മൂലമല്ല, മറിച്ച് രണ്ട് സമാനമാണ്... എന്നാൽ ഇത് അസമത്വങ്ങളിൽ ഒരു പങ്കു വഹിക്കുന്നു, അവിടെ ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം കൂടുതൽ വിശദമായി പഠിക്കും.

3. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. ന്റെ നെഗറ്റീവ് നമ്പർ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്\u200cതിട്ടില്ല. ശരി, ശരി. ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല എന്നാണ്.

എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് എന്ത് തെറ്റ് പറ്റില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു? ശരി, അതെ, എങ്ങനെ ...
അർത്ഥ ചിഹ്നങ്ങളുമായുള്ള ആശയക്കുഴപ്പമാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ തെറ്റുകൾ. a, b, c... മറിച്ച്, അവയുടെ അടയാളങ്ങളിലൂടെയല്ല (എവിടെ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകും?), പക്ഷേ വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിലെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരമായി. ഇവിടെ, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളുള്ള സമവാക്യത്തിന്റെ വിശദമായ നൊട്ടേഷൻ സംരക്ഷിക്കുന്നു. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രശ്\u200cനങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അങ്ങിനെ ചെയ്യ്!

നിങ്ങൾ ഈ ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

ഇവിടെ a \u003d -6; b \u003d -5; c \u003d -1

നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യമായി ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നത് വളരെ അപൂർവമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെന്ന് പറയാം.

ശരി, മടിയനാകരുത്. ഒരു അധിക വരി എഴുതാൻ 30 സെക്കൻഡ് എടുക്കും. കൂടാതെ പിശകുകളുടെ എണ്ണവും കുത്തനെ കുറയും... അതിനാൽ ഞങ്ങൾ എല്ലാ ബ്രാക്കറ്റുകളും അടയാളങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് വിശദമായി എഴുതുന്നു:

വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പെയിന്റ് ചെയ്യുന്നത് അവിശ്വസനീയമാംവിധം ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുന്നു. പക്ഷേ, അങ്ങനെ തോന്നുന്നു. ഇത് പരീക്ഷിക്കുക. ശരി, അല്ലെങ്കിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ഏതാണ് മികച്ചത്, വേഗതയേറിയത് അല്ലെങ്കിൽ ശരി? കൂടാതെ, ഞാൻ നിങ്ങളെ സന്തോഷിപ്പിക്കും. കുറച്ച് സമയത്തിനുശേഷം, എല്ലാം വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വരയ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അത് സ്വയം പ്രവർത്തിക്കും. പ്രത്യേകിച്ചും നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ പ്രായോഗിക വിദ്യകൾ, അവ ചുവടെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു കൂട്ടം പോരായ്മകളുള്ള ഈ ദുഷിച്ച ഉദാഹരണം എളുപ്പത്തിലും പിശകുകളുമില്ലാതെ പരിഹരിക്കാനാകും!

അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും വിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഓർത്തു. അല്ലെങ്കിൽ പഠിച്ചു, അതും മോശമല്ല. എങ്ങനെ ശരിയായി തിരിച്ചറിയാമെന്ന് അറിയുക a, b, c... എങ്ങനെയെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം ശ്രദ്ധയോടെ റൂട്ട് ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കുക ശ്രദ്ധയോടെ ഫലം വായിക്കുക. ഇവിടെ പ്രധാന പദം എന്ന ആശയം നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും ശ്രദ്ധയോടെ?

എന്നിരുന്നാലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും അല്പം വ്യത്യസ്തമായി കാണപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതുപോലെ:

അത് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ... വിവേചനത്തിലൂടെ അവ പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. ഇവിടെ എന്താണ് തുല്യമെന്ന് നിങ്ങൾ ശരിയായി കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് a, b, c.

നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കിയിട്ടുണ്ടോ? ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ a \u003d 1; b \u003d -4; ഒപ്പം സി? അവൻ അവിടെ ഇല്ല! ശരി, അതെ, അത് ശരിയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നു c \u003d 0 ! അത്രയേയുള്ളൂ. പകരം സൂത്രവാക്യത്തിൽ പൂജ്യം പകരം വയ്ക്കുന്നു c, ഞങ്ങൾ വിജയിക്കും. രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിലും ഇതുതന്നെയാണ്. നമുക്ക് ഇവിടെ ഇല്ല പൂജ്യം മാത്രം മുതൽ, ഒപ്പം b !

എന്നാൽ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. വിവേചനമില്ലാതെ. ആദ്യത്തെ അപൂർണ്ണ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇടതുവശത്ത് നിങ്ങൾക്ക് അവിടെ എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും? നിങ്ങൾക്ക് x ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് മാറ്റാം! നമുക്ക് അത് പുറത്തെടുക്കാം.

ഇതിൽ നിന്ന് എന്ത്? ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകൂ എന്ന വസ്തുത! എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? ശരി, പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുക, അത് ഗുണിച്ചാൽ പൂജ്യം നൽകും!
പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല? അത്രയേയുള്ളൂ ...
അതിനാൽ, നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ എഴുതാൻ കഴിയും: x \u003d 0, അഥവാ x \u003d 4

എല്ലാം. ഇവ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കും. രണ്ടും യോജിക്കുന്നു. അവയിലേതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ശരിയായ ഐഡന്റിറ്റി 0 \u003d 0 ലഭിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, വിവേചനത്തിലൂടെയുള്ളതിനേക്കാൾ പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ലളിതമായി പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. 9 വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുക. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

9 ൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, അത്രമാത്രം. ഇത് മാറുന്നു:

രണ്ട് വേരുകളും ... x \u003d +3, x \u003d -3.

എല്ലാ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്. ഒന്നുകിൽ x ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായ കൈമാറ്റം വലതുവശത്തുള്ള അക്കങ്ങൾ, തുടർന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ.
ഈ സങ്കേതങ്ങൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത് വളരെ പ്രയാസമാണ്. ആദ്യത്തെ കേസിൽ നിങ്ങൾ x- ൽ നിന്ന് റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്യേണ്ടിവരും, അത് എങ്ങനെയെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതാണ്, രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകാൻ ഒന്നുമില്ല ...

ഇപ്പോൾ, പിശകുകൾ ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കുന്ന മികച്ച സമ്പ്രദായങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. അശ്രദ്ധമൂലമുള്ളവ തന്നെ ... അതിനായി ഇത് വേദനിപ്പിക്കുകയും അപമാനിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ...

ആദ്യ സ്വീകരണം... ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് ഇത് സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ മടിയാകരുത്. എന്താണ് ഇതുകൊണ്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?
ഏതെങ്കിലും പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിച്ചുവെന്ന് പറയാം:

റൂട്ട് ഫോർമുല എഴുതാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്! നിങ്ങൾ മിക്കവാറും വിചിത്രത കലർത്തും. a, b, c. ഉദാഹരണം ശരിയായി നിർമ്മിക്കുക. ആദ്യം, എക്സ് സ്ക്വയറാണ്, പിന്നെ സ്ക്വയർ ഇല്ലാതെ, പിന്നെ ഫ്രീ ടേം. ഇതുപോലെ:

വീണ്ടും, തിരക്കുകൂട്ടരുത്! സ്ക്വയറിലെ x ന് മുന്നിലുള്ള മൈനസ് നിങ്ങളെ ശരിക്കും ദു .ഖിപ്പിക്കും. ഇത് മറക്കാൻ എളുപ്പമാണ് ... മൈനസ് ഒഴിവാക്കുക. എങ്ങനെ? അതെ, മുമ്പത്തെ വിഷയത്തിൽ\u200c പഠിപ്പിച്ചതുപോലെ! മുഴുവൻ സമവാക്യവും -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം സുരക്ഷിതമായി എഴുതാനും വിവേചനാധികാരം കണക്കാക്കാനും ഉദാഹരണം പൂർത്തിയാക്കാനും കഴിയും. അത് സ്വയം ചെയ്യുക. നിങ്ങൾക്ക് 2, -1 വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം.

സ്വീകരണം രണ്ടാമത്. വേരുകൾ പരിശോധിക്കുക! വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം. പരിഭ്രാന്തരാകരുത്, ഞാൻ എല്ലാം വിശദീകരിക്കും! പരിശോധിക്കുന്നു അവസാന കാര്യം സമവാക്യം. ആ. വേരുകൾക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ എഴുതിയത്. (ഈ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ) ഗുണകം ആണെങ്കിൽ a \u003d 1, വേരുകൾ പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അവയെ ഗുണിച്ചാൽ മതി. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സ member ജന്യ അംഗത്തെ ലഭിക്കണം, അതായത്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ -2. ശ്രദ്ധിക്കുക, 2 അല്ല, -2! സ member ജന്യ അംഗം എന്റെ അടയാളത്തോടെ ... ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് ഇതിനകം എവിടെയെങ്കിലും നശിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു ബഗ് തിരയുക. ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വേരുകൾ മടക്കേണ്ടതുണ്ട്. അവസാനവും അവസാനവുമായ പരിശോധന. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ഗുണകം ലഭിക്കണം b മുതൽ എതിർവശത്ത് പരിചിതമായ. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, -1 + 2 \u003d +1. ഒപ്പം ഗുണകം bx -1 ന് മുമ്പുള്ളത്. അതിനാൽ എല്ലാം ശരിയാണ്!
X ചതുരം ശുദ്ധവും ഗുണകവുമായ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് മാത്രം ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് എന്നത് വളരെ ദയനീയമാണ് a \u003d 1. എന്നാൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെങ്കിലും പരിശോധിക്കുക! എല്ലാം കുറച്ച് തെറ്റുകൾ ആയിരിക്കും.

സ്വീകരണം മൂന്നാമത്... നിങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക! സമവാക്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക പൊതുവായ വിഭജനംമുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ വിവരിച്ചതുപോലെ. ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ചില കാരണങ്ങളാൽ, പിശകുകൾ വരുന്നു ...

വഴിയിൽ, ഒരു കൂട്ടം ദോഷങ്ങളുപയോഗിച്ച് ദുഷിച്ച മാതൃക ലളിതമാക്കുമെന്ന് ഞാൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്തു. നിനക്ക് സ്വാഗതം! ഇവിടെ ഇതാ.

മൈനസുകളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

അത്രയേയുള്ളൂ! തീരുമാനിക്കുന്നത് സന്തോഷകരമാണ്!

അതിനാൽ, വിഷയം സംഗ്രഹിക്കാൻ.

പ്രായോഗിക ഉപദേശം:

1. പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, അത് നിർമ്മിക്കുന്നു ശരിയായി.

2. സ്ക്വയറിലെ x ന് മുന്നിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യവും -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ അതിനെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

3. ഗുണകങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യവും ഉചിതമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചുകൊണ്ട് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഞങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

4. x ചതുരം ശുദ്ധമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം വിയറ്റയുടെ പ്രമേയത്തിലൂടെ എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. ചെയ്യു!

ഭിന്ന സമവാക്യങ്ങൾ. ODZ.

ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നത് തുടരുന്നു. ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം അറിയാം. അവസാന രൂപം അവശേഷിക്കുന്നു - ഭിന്ന സമവാക്യങ്ങൾ... അല്ലെങ്കിൽ അവയെ കൂടുതൽ ദൃ ly മായി വിളിക്കുന്നു - ഭിന്നസംഖ്യ യുക്തിസഹമായ സമവാക്യങ്ങൾ ... ഇത് സമാനമാണ്.

ഭിന്ന സമവാക്യങ്ങൾ.

പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഉണ്ട്. എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകളും ഡിനോമിനേറ്ററിൽ അജ്ഞാതം... ഒരെണ്ണമെങ്കിലും. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ മാത്രം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കാം അക്കങ്ങൾ, ഇവ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളാണ്.

എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം ഭിന്ന സമവാക്യങ്ങൾ? ഒന്നാമതായി, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക! അതിനുശേഷം, സമവാക്യം, മിക്കപ്പോഴും, ഒരു രേഖീയമോ ചതുരമോ ആയി മാറുന്നു. തുടർന്ന് എന്തുചെയ്യണമെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം ... ചില സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഇത് 5 \u003d 5 പോലുള്ള ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയായി മാറാം അല്ലെങ്കിൽ 7 \u003d 2 പോലുള്ള തെറ്റായ പദപ്രയോഗമാണ്. എന്നാൽ ഇത് വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ സംഭവിക്കൂ. ഞാൻ ഇത് ചുവടെ പരാമർശിക്കും.

എന്നാൽ ഭിന്നസംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ഒഴിവാക്കാം!? വളരെ ലളിതമാണ്. സമാനമായ എല്ലാ പരിവർത്തനങ്ങളും പ്രയോഗിക്കുന്നു.

മുഴുവൻ സമവാക്യവും ഒരേ പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അങ്ങനെ എല്ലാ വിഭാഗങ്ങളും കുറയുന്നു! എല്ലാം ഒരേസമയം എളുപ്പമാകും. ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ വിശദീകരിക്കാം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

പഠിപ്പിച്ചതുപോലെ താഴ്ന്ന ഗ്രേഡുകൾ? ഞങ്ങൾ എല്ലാം ഒരു ദിശയിലേക്ക് മാറ്റുന്നു, ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. ഒരു മോശം സ്വപ്നം പോലെ അത് മറക്കുക! ഭിന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചേർക്കുമ്പോഴോ കുറയ്ക്കുമ്പോഴോ ഇത് ചെയ്യണം. അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. സമവാക്യങ്ങളിൽ, എല്ലാ വിഭാഗങ്ങളെയും കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള അവസരം നൽകുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ ഇരുവശത്തെയും ഗുണിക്കുന്നു (അതായത്, ചുരുക്കത്തിൽ, ഒരു പൊതുവിഭാഗം). എന്താണ് ഈ പദപ്രയോഗം?

ഇടതുവശത്ത്, ഡിനോമിനേറ്റർ റദ്ദാക്കാൻ, ഗുണിക്കുക x + 2 ... വലതുവശത്ത് 2 കൊണ്ട് ഗുണനം ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം 2 (x + 2)... ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു:

ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ സാധാരണ ഗുണനമാണിത്, പക്ഷേ ഞാൻ ഇത് വിശദമായി എഴുതാം:

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക, ഞാൻ ഇതുവരെ പരാൻതീസിസ് വികസിപ്പിക്കുന്നില്ല (x + 2)! അതിനാൽ, പൂർണ്ണമായും ഞാൻ ഇത് എഴുതുന്നു:

ഇടതുവശത്ത്, ഇത് പൂർണ്ണമായും കുറയുന്നു (x + 2), വലതുവശത്ത് 2. ആവശ്യമുള്ളത്! കുറച്ചതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും ലീനിയർ സമവാക്യം:

എല്ലാവരും ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കും! x \u003d 2.

കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിഹരിക്കാം:

3 \u003d 3/1, ഒപ്പം 2x \u003d 2x /1, നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

നമ്മൾ ശരിക്കും ഇഷ്ടപ്പെടാത്തവയിൽ നിന്ന് വീണ്ടും ഒഴിവാക്കുന്നു - ഭിന്നസംഖ്യകൾ.

X ഉപയോഗിച്ച് ഡിനോമിനേറ്റർ റദ്ദാക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട് (x - 2)... കുറച്ചുപേർ നമുക്ക് തടസ്സമല്ല. ശരി, ഞങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു. മുഴുവൻ ഇടത് വശവും മുഴുവൻ വലത് വശം:

വീണ്ടും ബ്രാക്കറ്റുകൾ (x - 2) ഞാൻ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല. ഞാൻ ബ്രാക്കറ്റിനൊപ്പം മൊത്തത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അത് ഒരു സംഖ്യ പോലെ! ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യണം, അല്ലാത്തപക്ഷം ഒന്നും കുറയ്ക്കില്ല.

അഗാധമായ സംതൃപ്തിയോടെ ഞങ്ങൾ മുറിച്ചു (x - 2) ഒരു ഭരണാധികാരിയുടെ ഭിന്നസംഖ്യകളില്ലാതെ നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കുന്നു!

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ സമാനമായവ നൽകുന്നു, എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റി നേടുക:

ക്ലാസിക്കൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. എന്നാൽ മുന്നിലുള്ള മൈനസ് നല്ലതല്ല. -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചോ വിഭജിച്ചോ നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും അതിൽ നിന്ന് രക്ഷപ്പെടാം. നിങ്ങൾ ഉദാഹരണം സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിച്ചാൽ, ഈ സമവാക്യം -2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതാണ് നല്ലതെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും! ഒറ്റയടിക്ക്, മൈനസ് അപ്രത്യക്ഷമാകും, കൂടാതെ വിചിത്രത മനോഹരമാകും! -2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഇടതുവശത്ത് - പദം അനുസരിച്ച്, വലതുവശത്ത് - പൂജ്യത്തെ -2, പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:

വിവേചനത്തിലൂടെ ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം പരിശോധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു x \u003d 1, x \u003d 3 എന്നിവ... രണ്ട് വേരുകൾ.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ആദ്യത്തേതിൽ, പരിവർത്തനത്തിനുശേഷമുള്ള സമവാക്യം രേഖീയമായിത്തീർന്നു, പക്ഷേ ഇവിടെ അത് ചതുരമാണ്. ഭിന്നസംഖ്യകൾ നീക്കം ചെയ്തതിനുശേഷം എല്ലാ xes ഉം കുറയുന്നു. 5 \u003d 5 പോലുള്ള ഒന്ന് അവശേഷിക്കുന്നു. അതിനർത്ഥം അതാണ് x ഏതെങ്കിലും ആകാം... അത് എന്തായാലും അത് ചുരുങ്ങും. നിങ്ങൾക്ക് സത്യസന്ധമായ സത്യം ലഭിക്കും, 5 \u003d 5. പക്ഷേ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ നീക്കം ചെയ്തതിനുശേഷം, ഇത് 2 \u003d 7 പോലെ പൂർണ്ണമായും അസത്യമായി മാറിയേക്കാം. എന്ന് വച്ചാൽ അത് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല! ഏത് x ഉപയോഗിച്ചും ഇത് അസത്യമാണെന്ന് മാറുന്നു.

പ്രധാന പരിഹാരം തിരിച്ചറിഞ്ഞു ഭിന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ? ഇത് ലളിതവും യുക്തിസഹവുമാണ്. ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം മാറ്റുന്നതിനാൽ നമുക്ക് ഇഷ്ടപ്പെടാത്തതെല്ലാം അപ്രത്യക്ഷമാകും. അല്ലെങ്കിൽ ഇടപെടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇവ ഭിന്നസംഖ്യകളാണ്. ലോഗരിതം, സൈനുകൾ, മറ്റ് ഭീകരതകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് എല്ലാത്തരം സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണങ്ങളിലും ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യും. ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഇതെല്ലാം ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കും.

എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള ദിശയിൽ യഥാർത്ഥ പദപ്രയോഗം മാറ്റേണ്ടതുണ്ട് നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, അതെ ... ഗണിതശാസ്ത്ര പരീക്ഷയ്ക്കുള്ള തയ്യാറെടുപ്പായ മാസ്റ്ററിംഗ്. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ഇത് മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നു.

ഒരെണ്ണം എങ്ങനെ മറികടക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പഠിക്കും പരീക്ഷയിലെ പ്രധാന പതിയിരിപ്പുകാർ! എന്നാൽ ആദ്യം, നിങ്ങൾ അതിൽ പ്രവേശിക്കുമോ ഇല്ലയോ എന്ന് നോക്കാം.

ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം നോക്കാം:

കാര്യം ഇതിനകം പരിചിതമാണ്, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു (x - 2), ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു (x - 2) ഒരു മുഴുവൻ പദപ്രയോഗം പോലെ ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു!

ഇവിടെ ഞാൻ ഇനി 1 ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ എഴുതിയിട്ടില്ല, ഇത് നിന്ദ്യമാണ് ... കൂടാതെ ഞാൻ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ വരച്ചിട്ടില്ല, അല്ലാതെ x - 2 ഒന്നുമില്ല, നിങ്ങൾ വരയ്\u200cക്കേണ്ടതില്ല. കുറയ്ക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നു, എല്ലാം ഇടത്തേക്ക് നീക്കുന്നു, സമാനമായവ നൽകുക:

ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു, പരിശോധിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കുന്നു. x \u003d 2 ഒപ്പം x \u003d 3... നല്ലത്.

ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ട് ഉണ്ടെങ്കിൽ റൂട്ട് അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ആകെത്തുക എഴുതാൻ ടാസ്ക് പറയുന്നുവെന്ന് കരുതുക. നമ്മൾ എന്താണ് എഴുതാൻ പോകുന്നത്?

ഉത്തരം 5 ആണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ പതിയിരുന്ന് ആക്രമിക്കപ്പെട്ടു... ചുമതല നിങ്ങൾക്കായി കണക്കാക്കില്ല. വെറുതെ പ്രവർത്തിച്ചു ... ശരിയായ ഉത്തരം 3.

എന്താണ് കാര്യം?! നിങ്ങൾ ഒരു പരിശോധന നടത്താൻ ശ്രമിക്കുക. അജ്ഞാതന്റെ മൂല്യങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുക യഥാർത്ഥമായത് ഉദാഹരണം. ആണെങ്കിൽ x \u003d 3 എല്ലാം നമ്മോടൊപ്പം അത്ഭുതകരമായി വളരും, ഞങ്ങൾക്ക് 9 \u003d 9 ലഭിക്കും, തുടർന്ന് x \u003d 2 പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരണം! എന്താണ് വ്യക്തമായി ചെയ്യാൻ കഴിയാത്തത്. അർത്ഥം x \u003d 2 ഒരു പരിഹാരമല്ല, ഉത്തരത്തിൽ\u200c അത് കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല. ഇതാണ് എക്സ്ട്രേനിയസ് അല്ലെങ്കിൽ എക്സ്ട്രാ റൂട്ട്. ഞങ്ങൾ അത് ഉപേക്ഷിക്കുന്നു. അവസാന റൂട്ട് ഒന്നാണ്. x \u003d 3.

എന്തുകൊണ്ട് അങ്ങനെ ?! - പ്രകോപിതരായ ആശ്ചര്യങ്ങൾ ഞാൻ കേൾക്കുന്നു. ഒരു സമവാക്യത്തെ ഒരു പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങളെ പഠിപ്പിച്ചു! ഇതൊരു സമാനമായ പരിവർത്തനമാണ്!

അതെ, സമാനമാണ്. ഒരു ചെറിയ നിബന്ധനയോടെ - നമ്മൾ ഗുണിക്കുന്ന (വിഭജിക്കുന്ന) പദപ്രയോഗം - nonzero... ഒപ്പം x - 2 at x \u003d 2 പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്! അതിനാൽ എല്ലാം ന്യായമാണ്.

ഇപ്പോൾ എനിക്ക് എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും ?! പദപ്രയോഗം കൊണ്ട് ഗുണിക്കരുത്? നിങ്ങൾ ഓരോ തവണയും പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ടോ? വീണ്ടും അത് വ്യക്തമല്ല!

ശാന്തനാകൂ! പരിഭ്രാന്തരാകരുത്!

ഈ വിഷമകരമായ സാഹചര്യത്തിൽ, മൂന്ന് മാജിക് അക്ഷരങ്ങൾ നമ്മെ രക്ഷിക്കും. നിങ്ങൾ എന്താണ് ചിന്തിക്കുന്നതെന്ന് എനിക്കറിയാം. ശരിയായി! അത് ODZ ... അനുവദനീയമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി.

2, bx + c \u003d o എന്ന സമത്വത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക പതിപ്പാണിതെന്ന് അറിയാം, ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ അജ്ഞാത x- ന്റെ യഥാർത്ഥ ഗുണകങ്ങളാണ്, കൂടാതെ a ≠ o, b, c എന്നിവ പൂജ്യങ്ങളായിരിക്കും - ഒരേസമയം അല്ലെങ്കിൽ വെവ്വേറെ. ഉദാഹരണത്തിന്, c \u003d o, ≠ o അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ഏറെക്കുറെ ഓർമ്മിച്ചു.

രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രി ട്രിനോമിയൽ പൂജ്യമാണ്. അതിന്റെ ആദ്യ ഗുണകം a ≠ o, b, c എന്നിവയ്\u200cക്ക് ഏത് മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാം. പകരമായി, അത് ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യാ സമത്വമായി മാറുമ്പോൾ x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം ആയിരിക്കും. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരുകളിൽ വസിക്കാം, എന്നിരുന്നാലും സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ ആകാം, സമ്പൂർണ്ണമാണ് സാധാരണയായി ഒരു സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതിൽ ഗുണകങ്ങളൊന്നും o ന് തുല്യമല്ല, എന്നാൽ ≠ o, ≠ o, with o.
നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം പരിഹരിക്കാം. 2x 2 -9x-5 \u003d ഓ, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി
ഡി \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുണ്ട്, x 1 \u003d (9 + √121): 4 \u003d 5, രണ്ടാമത്തെ x 2 \u003d (9-√121): 4 \u003d -o, 5. അവ ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ പരിശോധിക്കുന്നത് സഹായിക്കും.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള പരിഹാരം ഇതാ

വിവേചനത്തിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഇടത് വശത്തുള്ള ഏത് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതിന്റെ qu o നായുള്ള അറിയപ്പെടുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് ട്രിനോമിയൽ. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ. 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (കോടാലി 2 + bx + c \u003d o)

രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണെന്ന് പരിഗണിക്കുക

1. കോടാലി 2 + in \u003d o. X 0 ലെ ഗുണകം c എന്ന സ്വതന്ത്ര പദം ഇവിടെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, o o.
   ഇത്തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ഒരു സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും? പരാൻതീസിസിൽ നിന്ന് x നീക്കുക. രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഓർക്കുക.
   x (ax + b) \u003d o, ഇത് x \u003d o അല്ലെങ്കിൽ കോടാലി + b \u003d o ആയിരിക്കാം.
   രണ്ടാമത്തേത് പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് x \u003d -v / a ഉണ്ട്.
   തൽഫലമായി, x 2 \u003d -b / a കണക്കുകൂട്ടലുകൾ അനുസരിച്ച് നമുക്ക് x 1 \u003d 0 വേരുകളുണ്ട്.
2. ഇപ്പോൾ x ലെ ഗുണകം o ന് തുല്യമാണ്, c (≠) o ന് തുല്യമല്ല.
   x 2 + c \u003d o. സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് Trans കൈമാറുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് x 2 \u003d -с ലഭിക്കും. -C ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഈ സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുള്ളൂ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ (with o ഉപയോഗിച്ച്),
   x 1 പിന്നീട് യഥാക്രമം √ (-c) ന് തുല്യമാണ്, x 2 - -√ (-c). അല്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ല.
3. അവസാന ഓപ്ഷൻ: b \u003d c \u003d o, അതായത്, മഴു 2 \u003d o. സ്വാഭാവികമായും, അത്തരമൊരു ലളിതമായ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, x \u003d o.

പ്രത്യേക കേസുകൾ

അപൂർണ്ണമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഏത് തരവും എടുക്കും.

• ഒരു പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ, x ലെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്.
  K \u003d o, 5b അനുവദിക്കുക. വിവേചനവും വേരുകളും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ട്.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, വേരുകൾ x 2 o ന് x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a ആയി കണക്കാക്കുന്നു.
  d \u003d o ആയിരിക്കുമ്പോൾ x \u003d -k / a.
  D ‹o ൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല.
• ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ട്, x സ്ക്വയറിലെ ഗുണകം 1 ആകുമ്പോൾ, അവ x 2 + px + q \u003d o എന്ന് എഴുതുന്നത് പതിവാണ്. മുകളിലുള്ള എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും അവയ്ക്ക് ബാധകമാണ്, കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കുറച്ച് ലളിതമാണ്.
  ഉദാഹരണം, x 2 -4x-9 \u003d 0. D കണക്കാക്കുക: 2 2 +9, D \u003d 13.
  x 1 \u003d 2 + √13, x 2 \u003d 2-√13.
• ഇതുകൂടാതെ, തന്നിരിക്കുന്നവയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.ഇത് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക -p ആണെന്ന് പറയുന്നു, മൈനസുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം (അർത്ഥം വിപരീത ചിഹ്നം), അതേ വേരുകളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദമായ q ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ വാമൊഴിയായി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എത്ര എളുപ്പമാണെന്ന് പരിശോധിക്കുക. മുൻകൂട്ടി അറിയാത്തവയ്ക്ക് (എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല) ഈ സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ബാധകമാണ്: x 1 + x 2 തുക -v / a ന് തുല്യമാണ്, x 1 x 2 ഉൽപ്പന്നം c / a ന് തുല്യമാണ്.

ഇന്റർസെപ്റ്റിന്റെ സി, ആദ്യത്തെ ഗുണകം a എന്നിവയുടെ ഗുണകം b ന് തുല്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട് (തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്), ആദ്യത്തേത് -1 ന് തുല്യമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് -c / a, അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ. അപൂർണ്ണമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം, നിങ്ങൾക്ക് ഇത് സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. നേരായതും എളുപ്പമുള്ളതുമായ. ഗുണകങ്ങൾ പരസ്പരം ചില അനുപാതങ്ങളിൽ ആകാം

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക o ആണ്.
  അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ 1 ഉം s / a ഉം ആണ്. ഉദാഹരണം, 2x 2 -15x + 13 \u003d o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ വ്യത്യസ്ത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് മറ്റ് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, തന്നിരിക്കുന്ന പോളിനോമിയലിൽ നിന്ന് പൂർണ്ണമായ ചതുരം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ് ഇവിടെ. നിരവധി ഗ്രാഫിക് വഴികളുണ്ട്. അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങളുമായി നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഇടപെടുമ്പോൾ, വിത്തുകൾ പോലെ "ക്ലിക്കുചെയ്യാൻ" നിങ്ങൾ പഠിക്കും, കാരണം എല്ലാ രീതികളും യാന്ത്രികമായി മനസ്സിൽ വരും.

IN ആധുനിക സമൂഹം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താനുള്ള കഴിവ് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പല മേഖലകളിലും ഉപയോഗപ്രദമാകും, മാത്രമല്ല ഇത് ശാസ്ത്രീയവും സാങ്കേതികവുമായ വികസനത്തിൽ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. കടൽ, നദി കപ്പലുകൾ, വിമാനം, മിസൈലുകൾ എന്നിവയുടെ രൂപകൽപ്പന ഇതിന് തെളിവാണ്. അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സഹായത്തോടെ, ഏറ്റവും കൂടുതൽ ചലിക്കുന്ന പാത വ്യത്യസ്ത ശരീരങ്ങൾബഹിരാകാശ വസ്\u200cതുക്കൾ ഉൾപ്പെടെ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ സാമ്പത്തിക പ്രവചനത്തിലും കെട്ടിടങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിലും നിർമ്മാണത്തിലും മാത്രമല്ല, സാധാരണ ദൈനംദിന സാഹചര്യങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ക്യാമ്പിംഗ് യാത്രകൾ, സ്പോർട്സ് ഇവന്റുകൾ, ഷോപ്പിംഗ് നടത്തുമ്പോൾ സ്റ്റോറുകൾ, മറ്റ് സാധാരണ സാഹചര്യങ്ങൾ എന്നിവയിൽ അവ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം.

എക്സ്പ്രഷനെ അതിന്റെ ഘടക ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം

സമവാക്യത്തിന്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു പരമാവധി മൂല്യം ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഡിഗ്രി. ഇത് 2 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ ചതുരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ\u200c സമവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ\u200c, ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ\u200c, അവ എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെങ്കിലും, എല്ലായ്പ്പോഴും ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ\u200c കഴിയും ഇടത് വശം പദപ്രയോഗം മൂന്ന് പദങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അവയിൽ: കോടാലി 2 (അതായത്, അതിന്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ഒരു വേരിയബിൾ), ബിഎക്സ് (അതിന്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ചതുരമില്ലാത്ത അജ്ഞാതം), സി (ഒരു സ്വതന്ത്ര ഘടകം, അതായത് ഒരു സാധാരണ സംഖ്യ). വലതുവശത്തുള്ള ഇതെല്ലാം 0 ന് തുല്യമാണ്. സമാനമായ പോളിനോമിയലിന് അതിന്റെ ഘടക പദങ്ങളിലൊന്ന് നഷ്ടമാകുമ്പോൾ, കോടാലി 2 ഒഴികെ, അതിനെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ, കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യം ആദ്യം പരിഗണിക്കണം.

എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷനിൽ വലതുവശത്ത് രണ്ട് പദങ്ങളുള്ള രീതിയിൽ എക്\u200cസ്\u200cപ്രഷൻ നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, കൂടുതൽ കൃത്യമായി കോടാലി 2, ബിഎക്സ്, വേരിയബിൾ ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് സ്ഥാപിച്ച് x കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x (കോടാലി + ബി). കൂടാതെ, x \u003d 0, അല്ലെങ്കിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നം ചുരുങ്ങുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാകും: ax + b \u003d 0. ഗുണനത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നു. രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽ\u200cപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ\u200c മാത്രമേ 0 ഫലമുണ്ടാകൂ എന്നതാണ് ചട്ടം.

ഉദാഹരണം

x \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ 8x - 3 \u003d 0

തൽഫലമായി, സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വേരുകൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും: 0, 0.375.

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഗുരുത്വാകർഷണ പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിലുള്ള ശരീരങ്ങളുടെ ചലനത്തെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും, അത് ഉത്ഭവമായി കണക്കാക്കിയ ഒരു പ്രത്യേക ഘട്ടത്തിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ തുടങ്ങി. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു: y \u003d v 0 t + gt 2/2. ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, വലതുവശത്തെ 0 എന്നതിന് തുല്യമാക്കുക, സാധ്യമായ അജ്ഞാതരെ കണ്ടെത്തുക, ശരീരം ഉയരുന്ന നിമിഷം മുതൽ വീഴുന്ന നിമിഷം വരെ കഴിഞ്ഞുപോയ സമയവും മറ്റ് പല അളവുകളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് പിന്നീട് സംസാരിക്കും.

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്റ്ററിംഗ്

മുകളിൽ വിവരിച്ച റൂൾ\u200c സൂചിപ്പിച്ച ടാസ്\u200cക്കുകൾ\u200c കൂടുതൽ\u200c പരിഹരിക്കാൻ\u200c സഹായിക്കുന്നു ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസുകൾ... ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

ഈ ചതുര ത്രിമാന പൂർത്തിയായി. ആദ്യം, നമുക്ക് പദപ്രയോഗം പരിവർത്തനം ചെയ്ത് ഘടകമാക്കാം. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്: (x-8), (x-25) \u003d 0. ഫലമായി, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ 8 ഉം 25 ഉം ഉണ്ട്.

ഗ്രേഡ് 9 ലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ രണ്ടാമത്തേതിൽ മാത്രമല്ല, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഓർഡറുകളിൽ പോലും എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്താൻ ഈ രീതിയെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. വലതുവശത്തെ വേരിയബിളുള്ള ഘടകങ്ങളായി ഫാക്റ്ററിംഗ് ചെയ്യുമ്പോൾ, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ട്, അതായത് (x + 1), (x-3), (x + 3).

തൽഫലമായി, ഈ സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാകും: -3; -ഒരു; 3.

സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ വേർതിരിച്ചെടുക്കൽ

മറ്റൊരു കേസ് അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തെ ക്രമം അക്ഷരങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ, കോടാലി 2, സി എന്നീ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് വലതുവശത്ത് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്. ഇവിടെ, വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം നേടുന്നതിന്, ഫ്രീ ടേം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, തുടർന്ന് സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാധാരണയായി സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. സി എന്ന പദം ഉൾക്കൊള്ളാത്ത തുല്യതകളാണ് ഏക അപവാദം, ഇവിടെ വേരിയബിൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, വലതുവശത്ത് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ വകഭേദങ്ങളും. രണ്ടാമത്തേതിൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല, കാരണം മുകളിലുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കണം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ -4, 4 അക്കങ്ങളായിരിക്കും.

ഭൂമിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു

ഇത്തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആവശ്യകത പുരാതന കാലങ്ങളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, കാരണം ആ വിദൂര കാലഘട്ടങ്ങളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികാസത്തിന് കാരണം ഭൂമി പ്ലോട്ടുകളുടെ പ്രദേശങ്ങളും പരിധികളും ഏറ്റവും കൃത്യതയോടെ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയാണ്.

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കണം.

അതിനാൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഒരു സ്ഥലമുണ്ട്, അതിന്റെ വീതിയെക്കാൾ 16 മീറ്റർ നീളമുണ്ട്. സൈറ്റിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 612 മീ 2 ആണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ അതിന്റെ നീളം, വീതി, ചുറ്റളവ് എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

ബിസിനസ്സിലേക്ക് ഇറങ്ങിച്ചെല്ലുക, ആദ്യം ആവശ്യമായ സമവാക്യം വരയ്ക്കാം. വിഭാഗത്തിന്റെ വീതി x കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം, തുടർന്ന് അതിന്റെ നീളം (x + 16) ആയിരിക്കും. എഴുതിയതിൽ നിന്ന്, പ്രദേശം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് x (x + 16) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലൂടെയാണ്, ഇത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച് 612 ആണ്. ഇതിനർത്ഥം x (x + 16) \u003d 612 എന്നാണ്.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം, ഈ പദപ്രയോഗം അത് മാത്രമാണ്, അതേ രീതിയിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. എന്തുകൊണ്ട്? അതിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഇപ്പോഴും രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, ഉൽപ്പന്നം 0 ന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ വ്യത്യസ്ത രീതികൾ ഇവിടെ ബാധകമാണ്.

വിവേചനം

ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് രൂപം ഈ പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. ഇതിനർത്ഥം മുമ്പ് വ്യക്തമാക്കിയ സ്റ്റാൻഡേർഡിന് അനുയോജ്യമായ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിച്ചു എന്നാണ്, ഇവിടെ a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

വിവേചനത്തിലൂടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇവിടെ ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്കീം അനുസരിച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നത്: D \u003d b 2 - 4ac. ഈ സഹായ അളവ് രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യത്തിൽ ആവശ്യമായ അളവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുക മാത്രമല്ല, അളവ് നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു സാധ്യമായ ഓപ്ഷനുകൾ... D\u003e 0 ആണെങ്കിൽ, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്; D \u003d 0 ന്, ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഡി ആണെങ്കിൽ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

വേരുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ സൂത്രവാക്യത്തെക്കുറിച്ചും

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വിവേചനം: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. ഇത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്\u200cനത്തിന് ഒരു ഉത്തരമുണ്ടെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് k അറിയാമെങ്കിൽ, ചുവടെയുള്ള സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം തുടരണം. വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം അവതരിപ്പിച്ച കേസിൽ: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. ഈ ധർമ്മസങ്കടത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ ഒരു പരിഹാരമാകില്ല, കാരണം ലാൻഡ് പ്ലോട്ടിന്റെ അളവുകൾ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളിൽ അളക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത് x (അതായത് പ്ലോട്ടിന്റെ വീതി) 18 മീ. ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നീളം കണക്കാക്കുന്നു: 18 + 16 \u003d 34, ചുറ്റളവ് 2 (34+ 18) \u003d 104 (മീ 2).

ഉദാഹരണങ്ങളും ടാസ്\u200cക്കുകളും

ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നത് തുടരുന്നു. അവയിൽ പലതിനുമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും വിശദമായ പരിഹാരവും ചുവടെ നൽകും.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

നമുക്ക് എല്ലാം സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം, ഒരു പരിവർത്തനം നടത്താം, അതായത്, സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപം നമുക്ക് ലഭിക്കും, അത് സാധാരണയായി സ്റ്റാൻഡേർഡ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കും.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

സമാനമായവ ചേർത്ത്, വിവേചനത്തെ ഞങ്ങൾ നിർവചിക്കുന്നു: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. അതിനാൽ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടാകും. മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് അവ കണക്കാക്കാം, അതിനർത്ഥം അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 4/3 ഉം രണ്ടാമത്തേത് 1 ഉം ആയിരിക്കും.

2) ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള കടങ്കഥകൾ വെളിപ്പെടുത്തും.

X 2 - 4x + 5 \u003d 1 എന്നതിൽ ഇവിടെ വേരുകളുണ്ടോ എന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. സമഗ്രമായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് പരിചിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് പോളിനോമിയൽ കൊണ്ടുവന്ന് വിവേചനം കണക്കാക്കാം. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ആവശ്യമില്ല, കാരണം പ്രശ്നത്തിന്റെ സാരാംശം ഇതിൽ ഒന്നുമില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, അതായത് യഥാർത്ഥത്തിൽ വേരുകളില്ല.

വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം

സ്ക്വയർ റൂട്ട് രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചെടുക്കുമ്പോൾ മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൂടെയും വിവേചനത്തിലൂടെയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും അങ്ങനെയല്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈ കേസിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നേടാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണം: വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫ്രാൻസിൽ താമസിച്ചിരുന്ന ഒരു വ്യക്തിയുടെ പേരിലാണ് അവൾക്ക് ഈ പേര് ലഭിച്ചത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഛായാചിത്രം ലേഖനത്തിൽ കാണാം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ച്കാരൻ ശ്രദ്ധിച്ച രീതി ഇപ്രകാരമായിരുന്നു. തുകയിലെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ സംഖ്യാപരമായി -p \u003d b / a ന് തുല്യമാണെന്ന് അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം q \u003d c / a എന്നതിന് തുല്യമാണ്.

ഇനി നമുക്ക് നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികൾ നോക്കാം.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

ലാളിത്യത്തിനായി, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗം പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കും, ഇത് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നൽകും: വേരുകളുടെ ആകെത്തുക -7, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം -18. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ -9, 2 അക്കങ്ങളാണെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഒരു പരിശോധന നടത്തിയ ശേഷം, വേരിയബിളുകളുടെ ഈ മൂല്യങ്ങൾ ശരിക്കും എക്സ്പ്രഷനുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കും.

പരാബോള ഗ്രാഫും സമവാക്യവും

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷന്റെയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെയും ആശയങ്ങൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഇതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നേരത്തെ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇനി ചില ഗണിത പസിലുകളെ അടുത്തറിയാം. വിവരിച്ച തരത്തിന്റെ ഏത് സമവാക്യവും ദൃശ്യവൽക്കരിക്കാനാകും. അത്തരമൊരു ആശ്രയത്തെ ഗ്രാഫിന്റെ രൂപത്തിൽ വരച്ചതിനെ പരാബോള എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിന്റെ വിവിധ തരം ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഏതൊരു പരാബോളയ്ക്കും ഒരു ശീർഷകം ഉണ്ട്, അതായത് അതിന്റെ ശാഖകൾ ഉയർന്നുവരുന്ന ഒരു പോയിന്റ്. ഒരു\u003e 0 ആണെങ്കിൽ, അവ അനന്തതയിലേക്ക് ഉയരുന്നു, എപ്പോൾ<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഈ രീതിയെ ഗ്രാഫിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. X എന്ന വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം ഗ്രാഫ് ലൈൻ 0x മായി വിഭജിക്കുന്ന സ്ഥലങ്ങളിലെ അബ്സിസ്സ കോർഡിനേറ്റാണ്. ഇപ്പോൾ നൽകിയ x 0 \u003d -b / 2a സൂത്രവാക്യത്തിലൂടെ വെർട്ടെക്സ് കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് y 0, അതായത്, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പരാബോളയുടെ ശീർഷകത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ കോർഡിനേറ്റ് കണ്ടെത്താനാകും.

പരാബോളയുടെ ശാഖകളുടെ വിഭജനം അബ്സിസ്സ അച്ചുതണ്ട്

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിനൊപ്പം ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ പൊതുവായ പാറ്റേണുകളും ഉണ്ട്. നമുക്ക് അവ പരിഗണിക്കാം. Y\u003e നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ a\u003e 0 എന്നതിനായുള്ള 0x അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഗ്രാഫിന്റെ വിഭജനം സാധ്യമാകുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒരു<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. അല്ലെങ്കിൽ, ഡി<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

പരാബോള ഗ്രാഫിൽ നിന്നും വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കാനാകും. വിപരീതവും ശരിയാണ്. അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വിഷ്വൽ ഇമേജ് ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം എളുപ്പമല്ല, നിങ്ങൾക്ക് പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വലതുവശത്തെ 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കാനും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. 0x അക്ഷവുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ അറിയുന്നത്, ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്

വേരിയബിൾ സ്ക്വയർ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, പഴയ ദിവസങ്ങളിൽ അവർ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുക മാത്രമല്ല ജ്യാമിതീയ കണക്കുകളുടെ മേഖലകൾ നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്തു. ഭൗതികശാസ്ത്ര, ജ്യോതിശാസ്ത്രരംഗത്തെ മഹത്തായ കണ്ടെത്തലുകൾക്കും ജ്യോതിഷ പ്രവചനങ്ങൾ നടത്താനും പൂർവ്വികർക്ക് അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമാണ്.

ആധുനിക ശാസ്ത്രജ്ഞർ അനുമാനിക്കുന്നതുപോലെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ച ആദ്യത്തെ വ്യക്തികളിൽ ബാബിലോൺ നിവാസികളും ഉൾപ്പെടുന്നു. നമ്മുടെ യുഗത്തിന് നാല് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്. തീർച്ചയായും, അവരുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നിലവിൽ അംഗീകരിച്ചതിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തമായിരുന്നു, മാത്രമല്ല അവ കൂടുതൽ പ്രാകൃതവുമായി മാറി. ഉദാഹരണത്തിന്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് മെസൊപ്പൊട്ടേമിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അറിയില്ലായിരുന്നു. നമ്മുടെ കാലത്തെ ഏതൊരു സ്കൂൾ കുട്ടിക്കും അറിയാവുന്ന മറ്റ് സൂക്ഷ്മതകളും അവർക്ക് പരിചിതമല്ലായിരുന്നു.

ഒരുപക്ഷേ ബാബിലോണിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരെക്കാൾ മുമ്പുതന്നെ, ഇന്ത്യയിൽ നിന്നുള്ള ബ ud ദയാമ മുനി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഏറ്റെടുത്തു. ക്രിസ്തുവിന്റെ യുഗത്തിന്റെ ആവിർഭാവത്തിന് എട്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്. ശരിയാണ്, രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ, അദ്ദേഹം നൽകിയ പരിഹാര രീതികൾ ലളിതമായിരുന്നു. അദ്ദേഹത്തെ കൂടാതെ, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്കും പഴയ ചോദ്യങ്ങളിൽ സമാനമായ ചോദ്യങ്ങളിൽ താൽപ്പര്യമുണ്ടായിരുന്നു. യൂറോപ്പിൽ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ മാത്രമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്, എന്നാൽ പിന്നീട് അവ ന്യൂട്ടൺ, ഡെസ്കാർട്ടസ് തുടങ്ങി നിരവധി മഹത്തായ ശാസ്ത്രജ്ഞർ അവരുടെ കൃതികളിൽ ഉപയോഗിച്ചു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്! * "KU" എന്ന വാചകത്തിൽ കൂടുതൽ.സുഹൃത്തുക്കളേ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എന്താണ് എളുപ്പമെന്ന് തോന്നാം. പലർക്കും അദ്ദേഹവുമായി പ്രശ്\u200cനങ്ങളുണ്ടെന്ന് എന്തോ എന്നോട് പറഞ്ഞു. Yandex പ്രതിമാസം എത്ര ഇംപ്രഷനുകൾ കാണാൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. എന്താണ് സംഭവിച്ചതെന്ന് ഇതാ, ഒന്ന് നോക്കൂ:

എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ഇതിനർത്ഥം പ്രതിമാസം 70,000 ആളുകൾ ഈ വിവരങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു, കൂടാതെ അധ്യയന വർഷത്തിന്റെ മധ്യത്തിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും - ഇരട്ടി അഭ്യർത്ഥനകൾ ഉണ്ടാകും. ഇത് അതിശയിക്കാനില്ല, കാരണം വളരെക്കാലം മുമ്പ് സ്കൂളിൽ നിന്ന് ബിരുദം നേടി ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്ന ആൺകുട്ടികളും പെൺകുട്ടികളും ഈ വിവരങ്ങൾക്കായി തിരയുന്നു, കൂടാതെ സ്കൂൾ കുട്ടികളും ഇത് അവരുടെ ഓർമ്മയിൽ പുതുക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

ഈ സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങളോട് പറയുന്ന ധാരാളം സൈറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും, എന്റെ കാര്യം ചെയ്യാനും മെറ്റീരിയൽ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനും ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു. ഒന്നാമതായി, ഈ അഭ്യർത്ഥനയ്ക്കായി സന്ദർശകർ എന്റെ സൈറ്റിലേക്ക് വരാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു; രണ്ടാമതായി, മറ്റ് ലേഖനങ്ങളിൽ, "കെ യു" പ്രസംഗം വരുമ്പോൾ, ഞാൻ ഈ ലേഖനത്തിലേക്ക് ഒരു ലിങ്ക് നൽകും; മൂന്നാമതായി, മറ്റ് സൈറ്റുകളിൽ സാധാരണയായി പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതിനേക്കാൾ കുറച്ചുകൂടി അദ്ദേഹത്തിന്റെ പരിഹാരത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറയും. നമുക്ക് തുടങ്ങാം!ലേഖനത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം:

രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം:

ഇവിടെ ഗുണകങ്ങൾ a,b അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകളോടൊപ്പം ≠ 0.

സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ, മെറ്റീരിയൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു - സമവാക്യങ്ങളെ സോപാധികമായി മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു:

1. അവയ്ക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. * ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉള്ളൂ.

3. വേരുകളില്ല. അവയ്ക്ക് സാധുവായ വേരുകളില്ല എന്നത് ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

വേരുകൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കുന്നു? വെറുതെ!

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കുന്നു. ഈ "ഭയങ്കര" പദത്തിന് ചുവടെ വളരെ ലളിതമായ ഒരു സൂത്രവാക്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

* ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഹൃദയത്താൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി എഴുതി തീരുമാനിക്കാം:

ഉദാഹരണം:

1. D\u003e 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

2. D \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

3. ഡി ആണെങ്കിൽ< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

സമവാക്യം നോക്കാം:

ഇക്കാര്യത്തിൽ, വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, ഒരു റൂട്ട് ലഭിച്ചതായി സ്കൂൾ കോഴ്സ് പറയുന്നു, ഇവിടെ ഇത് ഒമ്പതിന് തുല്യമാണ്. എല്ലാം ശരിയാണ്, അത്, പക്ഷേ ...

ഈ പ്രാതിനിധ്യം കുറച്ച് തെറ്റാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. അതെ, ആശ്ചര്യപ്പെടരുത്, ഇത് രണ്ട് തുല്യ വേരുകളായി മാറുന്നു, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഉത്തരം രണ്ട് വേരുകൾ എഴുതണം:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

എന്നാൽ ഇത് അങ്ങനെതന്നെയാണ് - ഒരു ചെറിയ വ്യതിചലനം. സ്കൂളിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് എഴുതി എഴുതാം.

ഇപ്പോൾ അടുത്ത ഉദാഹരണം:

നമുക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എക്\u200cസ്\u200cട്രാക്റ്റുചെയ്\u200cതിട്ടില്ല, അതിനാൽ ഈ കേസിൽ പരിഹാരമില്ല.

അതാണ് മുഴുവൻ പരിഹാര പ്രക്രിയയും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനം.

പരിഹാരം ജ്യാമിതീയമായി കാണപ്പെടുന്നതെങ്ങനെയെന്ന് ഇത് കാണിക്കുന്നു. മനസിലാക്കാൻ ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ് (ഭാവിയിൽ, ഒരു ലേഖനത്തിൽ, ചതുര അസമത്വത്തിന്റെ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ വിശദമായി വിശകലനം ചെയ്യും).

ഇത് ഫോമിന്റെ പ്രവർത്തനമാണ്:

x, y എന്നിവ വേരിയബിളുകളാണ്

a, b, c - നൽകിയ സംഖ്യകൾ, with 0

ഗ്രാഫ് ഒരു പരാബോളയാണ്:

അതായത്, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ "y" ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, പരാബോളയുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കാള അച്ചുതണ്ട് ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ പോയിന്റുകളിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടാകാം (വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്), ഒന്ന് (വിവേചനം പൂജ്യമാണ്) ഒന്നും ഇല്ല (വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്). ക്വാഡ്രാറ്റിക് പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകും ഇന്ന ഫെൽ\u200cഡ്മാന്റെ ലേഖനം.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം 1: പരിഹരിക്കുക 2x 2 +8 x–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d –192

ഡി \u003d ബി 2 –4ac \u003d 8 2 –4 ∙ 2 (–192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

ഉത്തരം: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d –12

* സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് വശങ്ങൾ 2 കൊണ്ട് ഉടനടി വിഭജിക്കാൻ സാധിച്ചു, അതായത്, ഇത് ലളിതമാക്കുക. കണക്കുകൂട്ടലുകൾ എളുപ്പമായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം 2: പരിഹരിക്കുക x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –22 c \u003d 121

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484–484 \u003d 0

ഞങ്ങൾക്ക് x 1 \u003d 11, x 2 \u003d 11 എന്നിവ ലഭിച്ചു

ഉത്തരത്തിൽ, x \u003d 11 എഴുതുന്നത് അനുവദനീയമാണ്.

ഉത്തരം: x \u003d 11

ഉദാഹരണം 3: പരിഹരിക്കുക x 2 –8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d –8 c \u003d 72

D \u003d b 2 –4ac \u003d (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64–288 \u003d –224

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളിൽ പരിഹാരമില്ല.

ഉത്തരം: പരിഹാരമില്ല

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്. ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്!

നെഗറ്റീവ് വിവേചനം ലഭിക്കുമ്പോൾ കേസിലെ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ സംസാരിക്കും. സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും അറിയാമോ? എന്തുകൊണ്ടാണ്, എവിടെ നിന്നാണ് അവർ വന്നതെന്നും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവരുടെ പ്രത്യേക പങ്കും ആവശ്യകതയും എന്താണെന്നതിനെക്കുറിച്ചും ഞാൻ ഇവിടെ വിശദമായി പറയില്ല, ഇത് ഒരു വലിയ പ്രത്യേക ലേഖനത്തിനുള്ള വിഷയമാണ്.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യയുടെ ആശയം.

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യ z എന്നത് ഫോമിന്റെ ഒരു സംഖ്യയാണ്

z \u003d a + bi

a, b എന്നിവ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, ഞാൻ സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

a + bi ഒരു സിംഗിൾ നമ്പറാണ്, കൂട്ടിച്ചേർക്കലല്ല.

സാങ്കൽപ്പിക യൂണിറ്റ് മൈനസ് ഒന്നിന്റെ റൂട്ടിന് തുല്യമാണ്:

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സംയോജിത വേരുകൾ ലഭിച്ചു.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കുക, "b" അല്ലെങ്കിൽ "c" എന്ന ഗുണകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോഴാണ് (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്). വിവേചനമില്ലാതെ അവ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും.

കേസ് 1. ഗുണകം b \u003d 0.

സമവാക്യം രൂപം കൊള്ളുന്നു:

നമുക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:

ഉദാഹരണം:

4x 2 –16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d –2

കേസ് 2. \u003d 0 ഉള്ള ഗുണകം.

സമവാക്യം രൂപം കൊള്ളുന്നു:

ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു, ഫാക്റ്ററൈസ് ചെയ്യുന്നു:

* ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം:

9x 2 –45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x - 5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ x - 5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

കേസ് 3. ഗുണകങ്ങൾ b \u003d 0, c \u003d 0.

സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം എല്ലായ്പ്പോഴും x \u003d 0 ആയിരിക്കും എന്ന് ഇവിടെ വ്യക്തമാണ്.

ഗുണകങ്ങളുടെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഗുണങ്ങളും പാറ്റേണുകളും.

വലിയ ഗുണകങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

ഒപ്പംx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

a + b + സി \u003d 0,തുടർന്ന്

- സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾക്ക് ആണെങ്കിൽ ഒപ്പംx 2 + bx+ സി=0 സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു

a + സി \u003db, തുടർന്ന്

ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു ഒരു പ്രത്യേകതരം സമവാക്യങ്ങൾ.

ഉദാഹരണം 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, അതിനാൽ

ഉദാഹരണം 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

സമത്വം പാലിക്കുന്നു a + സി \u003db, അർത്ഥമാക്കുന്നത്

ഗുണകങ്ങളുടെ പതിവ്.

1. 2 + bx + c \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ "b" എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, "c" എന്ന ഗുണകം "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വേരുകൾ

കോടാലി 2 + (a 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d –а х 2 \u003d –1 / a.

ഉദാഹരണം. 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 \u003d –6 x 2 \u003d –1/6.

2. 2 - bx + c \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ "b" എന്ന ഗുണകം (a 2 +1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, "c" എന്ന ഗുണകം "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വേരുകൾ

കോടാലി 2 - (ഒരു 2 +1) x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

ഉദാഹരണം. 15x 2 –226x +15 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. സമവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽax 2 + bx - c \u003d 0 ഗുണകം "b" (a 2) ന് തുല്യമാണ് - 1), കൂടാതെ "c" എന്ന ഗുണകം "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് സംഖ്യാപരമായി തുല്യമാണ്, അതിന്റെ വേരുകൾ തുല്യമാണ്

x 2 + (а 2 –1) х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - х 2 \u003d 1 / a.

ഉദാഹരണം. 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. 2 - bx - c \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൽ "b" എന്ന ഗുണകം (a 2 - 1) ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഗുണകം c എന്നത് "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് സാംഖികമായി തുല്യമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ വേരുകൾ

аx 2 - (а 2 –1) х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а \u003d 2 \u003d - 1 / a.

ഉദാഹരണം. 10x 2 - 99x –10 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഫ്രാങ്കോയിസ് വിയറ്റയുടെ പേരിലാണ് വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം അറിയപ്പെടുന്നത്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, അനിയന്ത്രിതമായ കെ.ഇ.യുടെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽ\u200cപ്പന്നവും അതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

മൊത്തത്തിൽ, 14 എന്ന സംഖ്യ 5 ഉം 9 ഉം മാത്രമേ നൽകുന്നുള്ളൂ. ഇവയാണ് വേരുകൾ. ഒരു നിശ്ചിത വൈദഗ്ദ്ധ്യം ഉപയോഗിച്ച്, അവതരിപ്പിച്ച പ്രമേയം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വാക്കാലുള്ള രീതിയിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

മാത്രമല്ല, വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം. സാധാരണ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം (വിവേചനത്തിലൂടെ), ലഭിച്ച വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും. എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് ചെയ്യാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ട്രാൻസ്ഫർ രീതി

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, "a" എന്ന ഗുണകം സ്വതന്ത്രപദം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, അതിലേക്ക് "എറിയുന്നു" എന്ന മട്ടിൽ, അതിനാൽ ഇതിനെ വിളിക്കുന്നു "കൈമാറ്റം" വഴി.വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമ്പോഴും, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി, വിവേചനാധികാരം കൃത്യമായ ചതുരമാകുമ്പോഴും ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അത് അങ്ങിനെയെങ്കിൽ ഒപ്പം± b + c0, തുടർന്ന് ട്രാൻസ്ഫർ ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

2x 2 – 11x +5 = 0 (1) => x 2 – 11x +10 = 0 (2)

സമവാക്യത്തിലെ (2) വിയറ്റയുടെ പ്രമേയം അനുസരിച്ച്, x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1 എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

സമവാക്യത്തിന്റെ ലഭിച്ച വേരുകളെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതാണ് (രണ്ടെണ്ണം x 2 ൽ നിന്ന് "എറിയപ്പെട്ടതിനാൽ"), നമുക്ക് ലഭിക്കും

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

എന്താണ് യുക്തി? എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കാണുക.

(1), (2) സമവാക്യങ്ങളുടെ വിവേചനം തുല്യമാണ്:

സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വ്യത്യസ്ത വിഭാഗങ്ങൾ മാത്രമേ ലഭിക്കുകയുള്ളൂ, ഫലം x 2 ലെ ഗുണകത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ (പരിഷ്\u200cക്കരിച്ച) വേരുകൾ 2 മടങ്ങ് വലുതാണ്.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഫലത്തെ 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

* ഞങ്ങൾ മൂന്ന് വീണ്ടും റോൾ ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

ച. ഉർ-യെ, പരീക്ഷ.

അതിന്റെ പ്രാധാന്യത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ സംക്ഷിപ്തമായി പറയും - നിങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാനുതകും, മടികൂടാതെ, വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളും വിവേചനാധികാരവും ഹൃദയത്തിൽ അറിയണം. പരീക്ഷയുടെ ചുമതലകൾ സൃഷ്ടിക്കുന്ന ധാരാളം ജോലികൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം (ജ്യാമിതീയവ ഉൾപ്പെടെ) പരിഹരിക്കുന്നതിന് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധിക്കേണ്ട കാര്യം!

1. സമവാക്യം എഴുതുന്ന രീതി "സ്പഷ്ടമാണ്". ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്നവ സാധ്യമാണ്:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

നിങ്ങൾ ഇത് ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട് (പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ).

2. x എന്നത് ഒരു അജ്ഞാത അളവാണെന്നും അത് മറ്റേതൊരു അക്ഷരത്താലും സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും - t, q, p, h എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും.

ഈ ലേഖനത്തിൽ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ നോക്കാം.

എന്നാൽ ആദ്യം, ഏത് സമവാക്യങ്ങളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് എന്ന് വിളിക്കാം. X 2 വേരിയബിളായ ax 2 + bx + c \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യം, a, b, c എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ ചില സംഖ്യകളാണ്, ഒരു ≠ 0, സമചതുരം Samachathuram... X 2 ലെ ഗുണകം പൂജ്യമല്ല, അതിനാൽ x അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേമിലെ ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യമാകാം, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് അപൂർണ്ണമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് തരത്തിലാണ്:

1) b \u003d 0, c ≠ 0 ആണെങ്കിൽ, മഴു 2 + c \u003d 0;

2) b ≠ 0, c \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, മഴു 2 + bx \u003d 0;

3) b \u003d 0, c \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, മഴു 2 \u003d 0.

• അവർ എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം അച്ചുതണ്ട് 2 + സി \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര പദം സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

കോടാലി 2 \u003d .c. ഒരു ≠ 0 മുതൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും a കൊണ്ട് വിഭജിക്കുന്നു, തുടർന്ന് x 2 \u003d ‒c / a.

‒C \u003c/ a\u003e 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്

x \u003d ± √ (–c / a).

‒C / a ആണെങ്കിൽ< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1... 2x സമവാക്യം 2 - 32 \u003d 0 പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

ഉദാഹരണം 2... 2x സമവാക്യം 2 + 8 \u003d 0 പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

• അവർ എങ്ങനെ തീരുമാനിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം ax 2 + bx \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ.

2 + bx \u003d 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നു, അതായത്, ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് x പുറത്തെടുക്കുക, നമുക്ക് x (ax + b) \u003d 0 ലഭിക്കുന്നു. കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ x \u003d 0, അല്ലെങ്കിൽ കോടാലി + b \u003d 0. സമവാക്യം + b \u003d 0 പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ax \u003d - b, എവിടെ നിന്ന് x \u003d - b / a ലഭിക്കും. അച്ചുതണ്ട് 2 + bx \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും x 1 \u003d 0, x 2 \u003d - b / a എന്നീ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഡയഗ്രാമിൽ എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നുവെന്ന് കാണുക.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണത്തിലൂടെ നമ്മുടെ അറിവ് ഏകീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 3... 3x സമവാക്യം 2 - 12x \u003d 0 പരിഹരിക്കുക.

x (3x - 12) \u003d 0

x \u003d 0 അല്ലെങ്കിൽ 3x - 12 \u003d 0

ഉത്തരം: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

• മൂന്നാമത്തെ തരം കോടാലി 2 \u003d 0 ന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ ലളിതമായി പരിഹരിക്കുന്നു.

കോടാലി 2 \u003d 0 ആണെങ്കിൽ, x 2 \u003d 0. സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് തുല്യ വേരുകളുണ്ട് x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഡയഗ്രം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 4 പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് നമുക്ക് ഉറപ്പാക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. 7x സമവാക്യം 2 \u003d 0 പരിഹരിക്കുക.

ഉത്തരം: x 1, 2 \u003d 0.

ഏതുതരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കണമെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമല്ല. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

ഉദാഹരണം 5. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു പൊതു വിഭജനം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതായത് 30 കൊണ്ട്

കുറയ്ക്കുക

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

ബ്രാക്കറ്റുകൾ വികസിപ്പിക്കുക

25x 2 + 45 - 24x 2 + 54 \u003d 90.

ഇവിടെ സമാനമാണ്

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് വലത്തേക്ക് വിപരീതമായി 99 നീക്കുക.

ഉത്തരം: വേരുകളൊന്നുമില്ല.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്തു. അത്തരം ജോലികളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോൾ ഒരു ബുദ്ധിമുട്ടും ഉണ്ടാകില്ലെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക, അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വിജയിക്കും.

ഈ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, എന്റെ പാഠങ്ങൾക്കായി സൈൻ അപ്പ് ചെയ്യുക, ഞങ്ങൾ ഒരുമിച്ച് ഉയർന്നുവന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

സൈറ്റ്, മെറ്റീരിയലിന്റെ പൂർണ്ണമായോ ഭാഗികമായോ പകർത്തുന്നതിലൂടെ, ഉറവിടത്തിലേക്ക് ഒരു ലിങ്ക് ആവശ്യമാണ്.