ഈ ഗണിത പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുക മാത്രമല്ല, പരിഹാര പ്രക്രിയ രണ്ട് തരത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
- ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്
- വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് (സാധ്യമെങ്കിൽ).

മാത്രമല്ല, ഉത്തരം കൃത്യമായിട്ടാണ് കാണിക്കുന്നത്, ഏകദേശമല്ല.
ഉദാഹരണത്തിന്, \(81x^2-16x-1=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും:

ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗപ്രദമാകും സെക്കൻഡറി സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് പരിശോധനകൾകൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പുള്ള അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾക്ക്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ കഴിയുന്നത്ര വേഗത്തിൽ പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ?ഹോം വർക്ക്

ഗണിതത്തിലോ ബീജഗണിതത്തിലോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ രീതിയിൽ, നിങ്ങൾക്ക് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പരിശീലനവും കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ ഇളയ സഹോദരങ്ങളുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനവും നടത്താൻ കഴിയും, അതേസമയം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർദ്ധിക്കുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, അവയുമായി നിങ്ങൾ സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് പോളിനോമിയൽ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ
ഏത് ലാറ്റിൻ അക്ഷരത്തിനും ഒരു വേരിയബിളായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണത്തിന്: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) മുതലായവ.
സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണമായോ ഭിന്നസംഖ്യയായോ നൽകാം. മാത്രമല്ല,ഭിന്നസംഖ്യകൾ

ഒരു ദശാംശമായി മാത്രമല്ല, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയായും നൽകാം.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം മുഴുവൻ ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്നും ഒരു കാലയളവ് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് പ്രവേശിക്കാം ദശാംശങ്ങൾഇതുപോലെ: 2.5x - 3.5x^2

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിക്കുന്നു: /
മുഴുവൻ ഭാഗംഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ആമ്പർസാൻഡ് കൊണ്ട് വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു: &
ഇൻപുട്ട്: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ഫലം: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് പരാൻതീസിസ് ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവതരിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗം ആദ്യം ലളിതമാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ല.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തയ്യാറുള്ള ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കൻ്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

ഒരു ചെറിയ സിദ്ധാന്തം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും അതിൻ്റെ വേരുകളും. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
പോലെ തോന്നുന്നു
\(ax^2+bx+c=0, \)
ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിൾ ആണ്, a, b, c എന്നിവ സംഖ്യകളാണ്.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ a = -1, b = 6, c = 1.4, രണ്ടാമത്തേതിൽ a = 8, b = -7, c = 0, മൂന്നാമത്തേതിൽ a = 1, b = 0, c = 4/9. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ax 2 +bx+c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ \(a \neq 0 \).

എ, ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്. a എന്ന സംഖ്യയെ ആദ്യ ഗുണകം എന്നും b സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം എന്നും c സംഖ്യയെ സ്വതന്ത്ര പദമാണെന്നും വിളിക്കുന്നു.

ax 2 +bx+c=0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളിലും, \(a \neq 0 \), x എന്ന വേരിയബിളിൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ ശക്തി ഒരു ചതുരമാണ്. അതിനാൽ പേര്: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യം എന്നും വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിൻ്റെ ഇടതുവശം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമായതിനാൽ.

x 2 ൻ്റെ ഗുണകം 1 ന് തുല്യമായ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം നൽകി. ഉദാഹരണത്തിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളാണ്
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ ax 2 +bx+c=0 ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും b അല്ലെങ്കിൽ c പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അങ്ങനെ, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 എന്ന സമവാക്യങ്ങൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്. അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ b=0, രണ്ടാമത്തേതിൽ c=0, മൂന്നാമത്തേതിൽ b=0, c=0.

മൂന്ന് തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്:
1) ax 2 +c=0, ഇവിടെ \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, ഇവിടെ \(b \neq 0 \);
3) കോടാലി 2 =0.

ഈ ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

\(c \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +c=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അതിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദം വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഒരു കൊണ്ട് ഹരിക്കുക:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), തുടർന്ന് \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\) ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

\(-\frac(c)(a) എങ്കിൽ \(b \neq 0 \) ഉപയോഗിച്ച് ax 2 +bx=0 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ അത് വികസിപ്പിക്കുക ഇടത് വശംഘടകങ്ങളാൽ സമവാക്യം നേടുക
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (അറേ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

\(b \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +bx=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ax 2 =0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം x 2 =0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ 0 എന്ന ഒറ്റമൂലി ഉണ്ട്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല

അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും സ്വതന്ത്ര പദവും പൂജ്യമല്ലാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം.

നമുക്ക് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കാം, അതിൻ്റെ ഫലമായി നമുക്ക് വേരുകൾക്കുള്ള ഫോർമുല ലഭിക്കും. ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ax 2 +bx+c=0 പരിഹരിക്കുക

ഇരുവശങ്ങളെയും a കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് തുല്യമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ദ്വിപദത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം തിരഞ്ഞെടുത്ത് നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ഇടത്(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം ax 2 +bx+c=0 (ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ "വിവേചനം" - വിവേചനം). ഇത് D എന്ന അക്ഷരത്താൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു, അതായത്.
\(D = b^2-4ac\)

ഇപ്പോൾ, വിവേചനപരമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുന്നു:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ഇവിടെ \(D= b^2-4ac \)

ഇത് വ്യക്തമാണ്:
1) D>0 ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.
2) D=0 ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് \(x=-\frac(b)(2a)\) ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.
3) D എങ്കിൽ, വിവേചനത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകാം (D > 0 ന്), ഒരു റൂട്ട് (D = 0 ന്) അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ല (D ന് ഇത് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഫോർമുല, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യുന്നത് ഉചിതമാണ്:
1) വിവേചനം കണക്കാക്കി പൂജ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക;
2) വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക;

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 2 -7x+10=0 ന് 2 ഉം 5 ഉം വേരുകളുണ്ട്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ആണ്, കൂടാതെ ഉൽപ്പന്നം 10 ആണ്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഇതിൽ നിന്ന് എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. വിപരീത ചിഹ്നം, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. വേരുകളുള്ള ഏത് കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനും ഈ ഗുണമുണ്ട്.

മുകളിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്.

ആ. x 2 +px+q=0 എന്ന ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ x 1, x 2 എന്നീ വേരുകൾക്ക് ഗുണമുണ്ടെന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു:
\(\ഇടത്\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾഅവർ അത് എട്ടാം ക്ലാസ്സിൽ പഠിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇവിടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല. അവ പരിഹരിക്കാനുള്ള കഴിവ് തികച്ചും ആവശ്യമാണ്.

ax 2 + bx + c = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ a, b, c എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ, ഒപ്പം a ≠ 0.

നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാര രീതികൾ പഠിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും മൂന്ന് ക്ലാസുകളായി തിരിക്കാം:

1. വേരുകളില്ല;
2. കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുക;
3. അവയ്ക്ക് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

ഇത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഒരു പ്രധാന വ്യത്യാസമാണ്, അവിടെ റൂട്ട് എല്ലായ്പ്പോഴും നിലനിൽക്കുന്നതും അതുല്യവുമാണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടെന്ന് എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും? ഇതിന് ഒരു അത്ഭുതകരമായ കാര്യമുണ്ട് - വിവേചനം.

വിവേചനം

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം 2 + bx + c = 0 നൽകട്ടെ, അപ്പോൾ വിവേചനം D = b 2 - 4ac ആണ്.

ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ ഹൃദയത്തിൽ അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത് എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു എന്നത് ഇപ്പോൾ പ്രധാനമല്ല. മറ്റൊരു കാര്യം പ്രധാനമാണ്: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകളുണ്ടെന്ന് വിവേചനത്തിൻ്റെ അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും. അതായത്:

1. എങ്കിൽ ഡി< 0, корней нет;
2. D = 0 ആണെങ്കിൽ, കൃത്യമായി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്;
3. D > 0 ആണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും.

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: വിവേചനം വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ചില കാരണങ്ങളാൽ പലരും വിശ്വസിക്കുന്നതിനാൽ അവയുടെ എല്ലാ അടയാളങ്ങളുമല്ല. ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കൂ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സ്വയം മനസ്സിലാകും:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ട്:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുകയും വിവേചനം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യാം:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

അതിനാൽ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം സമാനമായ രീതിയിൽ വിശകലനം ചെയ്യുന്നു:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, വേരുകൾ ഇല്ല. അവശേഷിക്കുന്ന അവസാന സമവാക്യം ഇതാണ്:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

വിവേചനം പൂജ്യമാണ് - റൂട്ട് ഒന്നായിരിക്കും.

ഓരോ സമവാക്യത്തിനും ഗുണകങ്ങൾ എഴുതിയിട്ടുണ്ടെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക. അതെ, ഇത് ദൈർഘ്യമേറിയതാണ്, അതെ, ഇത് മടുപ്പുളവാക്കുന്നതാണ്, പക്ഷേ നിങ്ങൾ അസന്തുലിതാവസ്ഥ കലർത്തി മണ്ടത്തരങ്ങൾ വരുത്തുകയില്ല. നിങ്ങൾക്കായി തിരഞ്ഞെടുക്കുക: വേഗത അല്ലെങ്കിൽ ഗുണനിലവാരം.

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കിയാൽ, കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം നിങ്ങൾ എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും എഴുതേണ്ടതില്ല. നിങ്ങളുടെ തലയിൽ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും. മിക്ക ആളുകളും 50-70 സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിച്ചതിന് ശേഷം എവിടെയെങ്കിലും ഇത് ചെയ്യാൻ തുടങ്ങുന്നു - പൊതുവേ, അത്രയല്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ

ഇനി നമുക്ക് പരിഹാരത്തിലേക്ക് തന്നെ പോകാം. വിവേചനം D > 0 ആണെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം

D = 0 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഫോർമുലകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കാം - നിങ്ങൾക്ക് അതേ നമ്പർ ലഭിക്കും, അത് ഉത്തരം ആയിരിക്കും. അവസാനമായി, ഡി എങ്കിൽ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

ആദ്യ സമവാക്യം:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് വീണ്ടും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. നമുക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താം

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അവസാനമായി, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. ഏത് ഫോർമുലയും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേത്:

ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകൾ അറിയുകയും എണ്ണാൻ കഴിയുകയും ചെയ്താൽ, പ്രശ്നങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. മിക്കപ്പോഴും, ഫോർമുലയിലേക്ക് നെഗറ്റീവ് ഗുണകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ പിശകുകൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഇവിടെയും, മുകളിൽ വിവരിച്ച സാങ്കേതികത സഹായിക്കും: ഫോർമുല അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ നോക്കുക, ഓരോ ഘട്ടവും എഴുതുക - വളരെ വേഗം നിങ്ങൾ പിശകുകളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടും.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നിർവചനത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് അല്പം വ്യത്യസ്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ പദങ്ങളിലൊന്ന് നഷ്‌ടമായിരിക്കുന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അത്തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ സമവാക്യങ്ങളേക്കാൾ പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: അവയ്ക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു പുതിയ ആശയം അവതരിപ്പിക്കാം:

b = 0 അല്ലെങ്കിൽ c = 0 ആണെങ്കിൽ ax 2 + bx + c = 0 എന്ന സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. വേരിയബിളിൻ്റെ ഗുണകം x അല്ലെങ്കിൽ സ്വതന്ത്ര മൂലകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഈ രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു കേസ് സാധ്യമാണ്: b = c = 0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം കോടാലി 2 = 0 എന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്: x = 0.

ബാക്കിയുള്ള കേസുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. b = 0 എന്ന് അനുവദിക്കുക, അപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + c = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും. നമുക്ക് ഇത് അൽപ്പം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

ഗണിതശാസ്ത്രം മുതൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന് മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ, അവസാന സമത്വം (−c /a) ≥ 0 ന് മാത്രമേ അർത്ഥമുള്ളൂ. നിഗമനം:

1. ax 2 + c = 0 രൂപത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ അസമത്വം (−c /a) ≥ 0 തൃപ്തിപ്പെട്ടാൽ, രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. ഫോർമുല മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു;
2. എങ്കിൽ (-c /a)< 0, корней нет.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു വിവേചനം ആവശ്യമില്ല - അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഒന്നുമില്ല. വാസ്തവത്തിൽ, അസമത്വം (−c /a) ≥ 0 ഓർക്കാൻ പോലും ആവശ്യമില്ല. മൂല്യം x 2 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മറുവശത്ത് എന്താണെന്ന് കാണുകയും ചെയ്താൽ മതി. ഉണ്ടെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ- രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. അത് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ax 2 + bx = 0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ നോക്കാം, അതിൽ സ്വതന്ത്ര ഘടകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്: എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. പോളിനോമിയലിനെ ഫാക്ടർ ചെയ്താൽ മതി:

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമാണ്. ഇവിടെ നിന്നാണ് വേരുകൾ വരുന്നത്. ഉപസംഹാരമായി, ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ചിലത് നോക്കാം:

ടാസ്ക്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x · (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = -(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. വേരുകളില്ല, കാരണം ഒരു ചതുരം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാകരുത്.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = -1.5.

കോപിയേവ്സ്കയ ഗ്രാമീണ സെക്കൻഡറി സ്കൂൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനുള്ള 10 വഴികൾ

തല: പത്രികീവ ഗലീന അനറ്റോലിയേവ്ന,

ഗണിത അധ്യാപകൻ

കോപെവോ ഗ്രാമം, 2007

1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വികസനത്തിൻ്റെ ചരിത്രം

1.1 പുരാതന ബാബിലോണിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

1.2 ഡയോഫാൻ്റസ് എങ്ങനെയാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്തത്

1.3 ഇന്ത്യയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

1.4 അൽ-ഖോറെസ്മിയുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

1.5 യൂറോപ്പിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ XIII - XVII നൂറ്റാണ്ടുകൾ

1.6 വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച്

2. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ഉപസംഹാരം

സാഹിത്യം

1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വികസനത്തിൻ്റെ ചരിത്രം

1.1 പുരാതന ബാബിലോണിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ആദ്യത്തേതിൻ്റെ മാത്രമല്ല, രണ്ടാമത്തെ ബിരുദത്തിൻ്റെയും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത, പുരാതന കാലത്ത് പോലും, ഭൂമി പ്ലോട്ടുകളുടെ പ്രദേശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകതയും സൈനിക സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ഉത്ഖനന പ്രവർത്തനങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതുമാണ്. ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെയും വികാസം പോലെ. 2000 ബിസിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാമായിരുന്നു. ഇ. ബാബിലോണിയക്കാർ.

ആധുനിക ബീജഗണിത നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, അവയുടെ ക്യൂണിഫോം ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ അപൂർണ്ണമായവ കൂടാതെ, ഉദാഹരണത്തിന്, സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും:

എക്സ് 2 + എക്സ് = ¾; എക്സ് 2 - എക്സ് = 14,5

ബാബിലോണിയൻ ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ പ്രതിപാദിച്ചിരിക്കുന്ന ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അടിസ്ഥാനപരമായി ആധുനികതയുമായി ഒത്തുപോകുന്നു, എന്നാൽ ബാബിലോണിയക്കാർ ഈ നിയമത്തിലേക്ക് എങ്ങനെ എത്തി എന്ന് അറിയില്ല. ഇതുവരെ കണ്ടെത്തിയ മിക്കവാറും എല്ലാ ക്യൂണിഫോം ഗ്രന്ഥങ്ങളും പാചകക്കുറിപ്പുകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിപാദിച്ചിരിക്കുന്ന പരിഹാരങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ മാത്രമേ നൽകുന്നുള്ളൂ, അവ എങ്ങനെ കണ്ടെത്തി എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള സൂചനകളൊന്നുമില്ല.

ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും ഉയർന്ന തലംബാബിലോണിലെ ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ വികാസം, ക്യൂണിഫോം ഗ്രന്ഥങ്ങളിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ എന്ന ആശയം ഇല്ല പൊതു രീതികൾക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

1.2 ഡയോഫാൻ്റസ് എങ്ങനെയാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്തത്.

ഡയോഫാൻ്റസിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ ചിട്ടയായ അവതരണം അടങ്ങിയിട്ടില്ല, പക്ഷേ അതിൽ ഒരു ചിട്ടയായ പ്രശ്‌നങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, വിശദീകരണങ്ങളോടൊപ്പം വിവിധ ഡിഗ്രികളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു.

സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുമ്പോൾ, പരിഹാരം ലളിതമാക്കാൻ ഡയോഫാൻ്റസ് അജ്ഞാതരെ വിദഗ്ധമായി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു.

ഇവിടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, അവൻ്റെ ചുമതലകളിൽ ഒന്നാണ്.

പ്രശ്നം 11."രണ്ട് അക്കങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, അവയുടെ തുക 20 ആണെന്നും അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 96 ആണെന്നും അറിയുക"

ഡയോഫാൻ്റസ് ഇനിപ്പറയുന്ന കാരണങ്ങളാൽ: പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ആവശ്യമായ സംഖ്യകൾ തുല്യമല്ല, കാരണം അവ തുല്യമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 96 ന് തുല്യമാകില്ല, 100 ന് തുല്യമായിരിക്കും. അങ്ങനെ, അവയിലൊന്ന് കൂടുതലായിരിക്കും. അവയുടെ തുകയുടെ പകുതി, അതായത്. 10 + x, മറ്റൊന്ന് കുറവാണ്, അതായത്. 10-ൻ്റെ. അവർ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 2x .

അതിനാൽ സമവാക്യം:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

ഇവിടെ നിന്ന് x = 2. ആവശ്യമായ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് തുല്യമാണ് 12 , മറ്റുള്ളവ 8 . പരിഹാരം x = -2ഗ്രീക്ക് ഗണിതത്തിന് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ മാത്രമേ അറിയൂ എന്നതിനാൽ ഡയോഫാൻ്റസ് നിലവിലില്ല.

ആവശ്യമായ സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് അജ്ഞാതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഞങ്ങൾ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരത്തിലേക്ക് വരും.

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യകളുടെ പകുതി-വ്യത്യാസം അജ്ഞാതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത്, ഡയോഫാൻ്റസ് പരിഹാരം ലളിതമാക്കുന്നു എന്നത് വ്യക്തമാണ്; അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം (1) പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നം കുറയ്ക്കാൻ അദ്ദേഹം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

1.3 ഇന്ത്യയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനും ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞനുമായ ആര്യഭട്ടൻ 499-ൽ സമാഹരിച്ച "ആര്യഭട്ടിയം" എന്ന ജ്യോതിശാസ്ത്ര ഗ്രന്ഥത്തിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. മറ്റൊരു ഇന്ത്യൻ ശാസ്ത്രജ്ഞനായ ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ട്) രൂപരേഖ നൽകി പൊതു നിയമംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ ഒരൊറ്റ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

ആഹ് 2+ ബി x = c, a > 0. (1)

സമവാക്യത്തിൽ (1), ഗുണകങ്ങൾ, ഒഴികെ എ, നെഗറ്റീവ് ആകാം. ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ്റെ ഭരണം അടിസ്ഥാനപരമായി നമ്മുടേതിന് തുല്യമാണ്.

IN പുരാതന ഇന്ത്യബുദ്ധിമുട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ പൊതു മത്സരങ്ങൾ സാധാരണമായിരുന്നു. പഴയ ഇന്ത്യൻ പുസ്തകങ്ങളിലൊന്ന് അത്തരം മത്സരങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഇപ്രകാരം പറയുന്നു: "സൂര്യൻ അതിൻ്റെ തിളക്കം കൊണ്ട് നക്ഷത്രങ്ങളെ മറയ്ക്കുന്നത് പോലെ, പഠിച്ച മനുഷ്യൻബീജഗണിത പ്രശ്‌നങ്ങൾ നിർദ്ദേശിച്ചും പരിഹരിച്ചും ജനകീയ അസംബ്ലികളിൽ മറ്റൊരാളുടെ മഹത്വം മറയ്ക്കുക.” പ്രശ്നങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാവ്യരൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചു.

പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിലെ പ്രശസ്ത ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ്റെ പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണിത്. ഭാസ്‌കർ.

പ്രശ്നം 13.

“ഒരു കൂട്ടം കുരങ്ങന്മാരും വള്ളികളോടൊപ്പം പന്ത്രണ്ടും...

അധികാരികൾ ഭക്ഷണം കഴിച്ച് രസിച്ചു. അവർ തൂങ്ങി ചാടാൻ തുടങ്ങി...

സ്ക്വയറിൽ അവയുണ്ട്, എട്ടാം ഭാഗം എത്ര കുരങ്ങുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു?

ഞാൻ ക്ലിയറിങ്ങിൽ രസകരമായിരുന്നു. എന്നോട് പറയൂ, ഈ പാക്കിൽ?

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ രണ്ട് മൂല്യമുള്ളതാണെന്ന് ഭാസ്കരന് അറിയാമായിരുന്നുവെന്ന് ഭാസ്കരൻ്റെ പരിഹാരം സൂചിപ്പിക്കുന്നു (ചിത്രം 3).

പ്രശ്നം 13-ന് അനുയോജ്യമായ സമവാക്യം ഇതാണ്:

( x /8) 2 + 12 = x

ഭാസ്കരൻ മറവിൽ എഴുതുന്നു:

x 2 - 64x = -768

കൂടാതെ, ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടത് വശം സമചതുരത്തിലേക്ക് പൂർത്തിയാക്കാൻ, ഇരുവശങ്ങളിലേക്കും ചേർക്കുന്നു 32 2 , തുടർന്ന് ലഭിക്കുന്നത്:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 അൽ ഖോറെസ്മിയിലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

അൽ-ഖോറെസ്മിയുടെ ബീജഗണിത ഗ്രന്ഥത്തിൽ, രേഖീയ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു വർഗ്ഗീകരണം നൽകിയിരിക്കുന്നു. രചയിതാവ് 6 തരം സമവാക്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, അവ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

1) "ചതുരങ്ങൾ വേരുകൾക്ക് തുല്യമാണ്," അതായത്. കോടാലി 2 + c = ബി എക്സ്.

2) "ചതുരങ്ങൾ സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ്", അതായത്. കോടാലി 2 = സി.

3) "വേരുകൾ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്," അതായത്. ആഹ് = എസ്.

4) "ചതുരങ്ങളും സംഖ്യകളും വേരുകൾക്ക് തുല്യമാണ്," അതായത്. കോടാലി 2 + c = ബി എക്സ്.

5) "ചതുരങ്ങളും വേരുകളും സംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമാണ്", അതായത്. ആഹ് 2+ bx = എസ്.

6) "വേരുകളും സംഖ്യകളും സമചതുരങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്," അതായത്. bx + c = കോടാലി 2 .

നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഉപയോഗം ഒഴിവാക്കിയ അൽ-ഖോറെസ്മിയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഈ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളുടെയും നിബന്ധനകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കലുകളാണ്, കുറയ്ക്കാവുന്നവയല്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോസിറ്റീവ് പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ വ്യക്തമായും കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല. അൽ-ജബ്റിൻ്റെയും അൽ-മുഖബലയുടെയും സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ രചയിതാവ് സജ്ജമാക്കുന്നു. അവൻ്റെ തീരുമാനങ്ങൾ തീർച്ചയായും നമ്മുടേതുമായി പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. ഇത് തികച്ചും വാചാടോപമാണെന്ന് പരാമർശിക്കേണ്ടതില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിന് മുമ്പുള്ള എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെയും പോലെ അൽ-ഖോറെസ്മിയും പൂജ്യ പരിഹാരം കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല, ഒരുപക്ഷേ നിർദ്ദിഷ്ട പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഇത് പ്രശ്നമല്ല. സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, പ്രത്യേക സംഖ്യാ ഉദാഹരണങ്ങളും തുടർന്ന് ജ്യാമിതീയ തെളിവുകളും ഉപയോഗിച്ച് അവ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ അൽ-ഖോറെസ്മി സജ്ജമാക്കുന്നു.

പ്രശ്നം 14."ചതുരവും സംഖ്യ 21 ഉം 10 വേരുകൾക്ക് തുല്യമാണ്. റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക" (x 2 + 21 = 10x എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നു).

രചയിതാവിൻ്റെ പരിഹാരം ഇതുപോലെയാണ്: വേരുകളുടെ എണ്ണം പകുതിയായി ഹരിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് 5 ലഭിക്കും, 5 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നിന്ന് 21 കുറയ്ക്കുക, ശേഷിക്കുന്നത് 4 ആണ്. 4 ൽ നിന്ന് റൂട്ട് എടുക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് 2 ലഭിക്കും. 5 ൽ നിന്ന് 2 കുറയ്ക്കുക. , നിങ്ങൾക്ക് 3 ലഭിക്കും, ഇത് ആവശ്യമുള്ള റൂട്ട് ആയിരിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ 2 മുതൽ 5 വരെ ചേർക്കുക, അത് 7 നൽകുന്നു, ഇതും ഒരു റൂട്ട് ആണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വർഗ്ഗീകരണം വ്യവസ്ഥാപിതമായി സ്ഥാപിക്കുകയും അവയുടെ പരിഹാരത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്ന ആദ്യത്തെ പുസ്തകമാണ് അൽ-ഖോറെസ്മിയുടെ പ്രബന്ധം.

യൂറോപ്പിലെ 1.5 ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ XIII - XVII bb

1202-ൽ ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ലിയോനാർഡോ ഫിബൊനാച്ചി എഴുതിയ പുസ്തകം ഓഫ് അബാക്കസിലാണ് യൂറോപ്പിലെ അൽ-ഖോറെസ്മിയുടെ മാതൃകയിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ആദ്യം പ്രതിപാദിച്ചത്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സ്വാധീനം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ഈ ബൃഹത്തായ കൃതി, ഇസ്ലാമിക രാജ്യങ്ങളും പുരാതന ഗ്രീസ്, അവതരണത്തിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണതയും വ്യക്തതയും കൊണ്ട് വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ചില പുതിയ ബീജഗണിത ഉദാഹരണങ്ങൾ രചയിതാവ് സ്വതന്ത്രമായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തു, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ആമുഖത്തെ സമീപിച്ച യൂറോപ്പിൽ ആദ്യത്തേത്. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ പുസ്തകം ഇറ്റലിയിൽ മാത്രമല്ല, ജർമ്മനി, ഫ്രാൻസ്, മറ്റ് യൂറോപ്യൻ രാജ്യങ്ങളിലും ബീജഗണിത വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ വ്യാപനത്തിന് കാരണമായി. 16-17 നൂറ്റാണ്ടുകളിലെ മിക്കവാറും എല്ലാ യൂറോപ്യൻ പാഠപുസ്തകങ്ങളിലും ബുക്ക് ഓഫ് അബാക്കസിൽ നിന്നുള്ള നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഭാഗികമായി XVIII.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു നിയമം ഒരൊറ്റ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു:

x 2 + bx = സി,

ഗുണക ചിഹ്നങ്ങളുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ കോമ്പിനേഷനുകൾക്കും ബി , കൂടെയൂറോപ്പിൽ 1544-ൽ എം. സ്റ്റീഫൽ മാത്രമാണ് രൂപപ്പെടുത്തിയത്.

പൊതുവായ രൂപത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം Viète-ൽ നിന്ന് ലഭ്യമാണ്, എന്നാൽ Viète പോസിറ്റീവ് വേരുകൾ മാത്രമേ തിരിച്ചറിഞ്ഞിട്ടുള്ളൂ. ഇറ്റാലിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരായ ടാർടാഗ്ലിയ, കാർഡാനോ, ബൊംബെല്ലി എന്നിവർ പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ആദ്യത്തേതാണ്. പോസിറ്റീവ് കൂടാതെ, നെഗറ്റീവ് റൂട്ടുകളും കണക്കിലെടുക്കുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ മാത്രം. ജിറാർഡ്, ഡെസ്കാർട്ടസ്, ന്യൂട്ടൺ, മറ്റ് ശാസ്ത്രജ്ഞർ എന്നിവരുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് നന്ദി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന രീതി ഒരു ആധുനിക രൂപം കൈക്കൊള്ളുന്നു.

1.6 വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച്

വിയറ്റയുടെ പേരിലുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളും അതിൻ്റെ വേരുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തം 1591-ൽ അദ്ദേഹം ആദ്യമായി രൂപപ്പെടുത്തിയത് ഇങ്ങനെയാണ്: “എങ്കിൽ ബി + ഡി, ഗുണിച്ചാൽ എ - എ 2 , തുല്യമാണ് BD, അത് എതുല്യമാണ് INതുല്യവും ഡി ».

വിയറ്റയെ മനസ്സിലാക്കാൻ, നമ്മൾ അത് ഓർക്കണം എ, ഏതൊരു സ്വരാക്ഷരവും പോലെ, അജ്ഞാതമായത് (നമ്മുടെ എക്സ്), സ്വരാക്ഷരങ്ങൾ IN, ഡി- അജ്ഞാതർക്കുള്ള ഗുണകങ്ങൾ. ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ ഭാഷയിൽ, മുകളിലുള്ള വിയറ്റ ഫോർമുലേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നത്: ഉണ്ടെങ്കിൽ

(a + ബി )x - x 2 = എബി ,

x 2 - (a + ബി )x + എ ബി = 0,

x 1 = a, x 2 = ബി .

ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതിയ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന വിയെറ്റ് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന രീതികളിൽ ഏകീകൃതത സ്ഥാപിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, വിയറ്റിൻ്റെ പ്രതീകാത്മകത ഇപ്പോഴും അകലെയാണ് ആധുനിക രൂപം. അദ്ദേഹം നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ തിരിച്ചറിഞ്ഞില്ല, അതിനാൽ, സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, എല്ലാ വേരുകളും പോസിറ്റീവ് ആയ കേസുകൾ മാത്രമാണ് അദ്ദേഹം പരിഗണിച്ചത്.

2. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് ബീജഗണിതത്തിൻ്റെ മഹത്തായ മന്ദിരം നിലകൊള്ളുന്ന അടിസ്ഥാനം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ കാണപ്പെടുന്നു വിശാലമായ ആപ്ലിക്കേഷൻത്രികോണമിതി, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ, ലോഗരിതം, യുക്തിരഹിതവും അതീന്ദ്രിയവുമായ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുമ്പോൾ. സ്കൂൾ (എട്ടാം ക്ലാസ്) മുതൽ ബിരുദം വരെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്കെല്ലാവർക്കും അറിയാം.

എൻട്രി ലെവൽ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

"ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം" എന്ന പദത്തിൽ പ്രധാന വാക്ക് "ക്വാഡ്രാറ്റിക്" ആണ്. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ (അതേ x) ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം, കൂടാതെ മൂന്നാമത്തെ (അല്ലെങ്കിൽ അതിലും വലിയ) ശക്തിക്ക് x ഉണ്ടാകരുത്.

പല സമവാക്യങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

ഇതൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണെന്നും മറ്റേതെങ്കിലും സമവാക്യമല്ലെന്നും നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് പഠിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1.

നമുക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കി സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ പദവും കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കി X ൻ്റെ അധികാരങ്ങളുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ നിബന്ധനകൾ ക്രമീകരിക്കാം

ഈ സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പറയാൻ കഴിയും!

ഉദാഹരണം 2.

ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ഗുണിക്കുക:

ഈ സമവാക്യം, യഥാർത്ഥത്തിൽ അതിൽ ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിലും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ല!

ഉദാഹരണം 3.

നമുക്ക് എല്ലാം ഗുണിക്കാം:

ഭയാനകമാണോ? നാലാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡിഗ്രികൾ... എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് കാണാം:

ഉദാഹരണം 4.

അത് അവിടെ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ നമുക്ക് സൂക്ഷ്മമായി നോക്കാം. നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം:

നോക്കൂ, അത് കുറഞ്ഞു - ഇപ്പോൾ ഇതൊരു ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യമാണ്!

ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്നും അല്ലാത്തത് ഏതെന്നും ഇപ്പോൾ സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. ചതുരം;
2. ചതുരം;
3. ചതുരമല്ല;
4. ചതുരമല്ല;
5. ചതുരമല്ല;
6. ചതുരം;
7. ചതുരമല്ല;
8. ചതുരം.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പരമ്പരാഗതമായി എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു:

• സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യൻ്റുകളും അതുപോലെ ഫ്രീ ടേം സിയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ). കൂടാതെ, സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കിടയിൽ ഉണ്ട് നൽകിയത്- ഇവയാണ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് (ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യം പൂർണ്ണമാകുക മാത്രമല്ല, കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു!)

• അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ:

  ചില ഘടകങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെട്ടതിനാൽ അവ അപൂർണ്ണമാണ്. എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൽ എപ്പോഴും x ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം!!! അല്ലെങ്കിൽ, അത് ഇനി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായിരിക്കില്ല, മറിച്ച് മറ്റ് ചില സമവാക്യങ്ങളായിരിക്കും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർ അത്തരമൊരു വിഭജനം കൊണ്ടുവന്നത്? ഒരു എക്സ് സ്ക്വയർ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, ശരി. ഈ വിഭജനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പരിഹാര രീതികളാണ്. അവ ഓരോന്നും കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ആദ്യം, നമുക്ക് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം - അവ വളരെ ലളിതമാണ്!

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്:

1. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.
2. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.
3. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

1. ഐ. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എങ്ങനെ എടുക്കണമെന്ന് നമുക്കറിയാവുന്നതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം

എക്സ്പ്രഷൻ നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് ആകാം. ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല, കാരണം രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും, അതിനാൽ: എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. പ്രധാന കാര്യം നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം, അത് കുറവായിരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഓർമ്മിക്കുക.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് ഇടത് വലത് വശങ്ങളിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക എന്നതാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, വേരുകൾ എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെ കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത് !!!

ഉദാഹരണം 6:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 7:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഓ! ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല!

വേരുകളില്ലാത്ത അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കായി, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു പ്രത്യേക ഐക്കൺ കൊണ്ടുവന്നു - (ശൂന്യമായ സെറ്റ്). കൂടാതെ ഉത്തരം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

അങ്ങനെ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാത്തതിനാൽ ഇവിടെ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഉദാഹരണം 8:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

അങ്ങനെ,

ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം (അവയെല്ലാം ലളിതമാണെങ്കിലും, ശരിയല്ലേ?). വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിരാകരിക്കും.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോം സമവാക്യത്തിൻ്റെ സമവാക്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് ഇവയേക്കാൾ അൽപ്പം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (കുറച്ച് മാത്രം).

ഓർക്കുക ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അപൂർണ്ണം പോലും.

മറ്റ് രീതികൾ ഇത് വേഗത്തിൽ ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, എന്നാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യം വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം മാസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

1. ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്, പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. പ്രത്യേക ശ്രദ്ധഒരു പടി എടുക്കുക. വിവേചനം () സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, ഘട്ടത്തിലെ ഫോർമുല ഇതിലേക്ക് ചുരുക്കും. അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.
• എങ്കിൽ, സ്റ്റെപ്പിലെ വിവേചനത്തിൻ്റെ വേര് നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് തിരിച്ചുപോയി ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 9:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഘട്ടം 3.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 10:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 11:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു.

ഘട്ടം 2.

ഞങ്ങൾ വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇതിനർത്ഥം വിവേചനത്തിൻ്റെ വേര് നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

അത്തരം ഉത്തരങ്ങൾ എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം.

ഉത്തരം:വേരുകളില്ല

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, കുറച്ചത് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു തരം സമവാക്യമുണ്ട് (ഗുണകം a തുല്യമാകുമ്പോൾ):

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നൽകിയത്ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഗുണനം തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 12:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്, അതായത്. നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

നമുക്ക് സിസ്റ്റം രചിച്ച് പരിഹരിക്കാം:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ഇവയാണ്:

ഉത്തരം: ; .

ഉദാഹരണം 13:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 14:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രേറ്റ് സമവാക്യങ്ങൾ. മിഡിൽ ലെവൽ

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം?

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെ - അജ്ഞാതം, - ചില സംഖ്യകൾ, കൂടാതെ.

സംഖ്യയെ ഏറ്റവും ഉയർന്നത് അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആദ്യ ഗുണകംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, എ - സ്വതന്ത്ര അംഗം.

എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം സമവാക്യം ഉടനടി രേഖീയമാണെങ്കിൽ, കാരണം അപ്രത്യക്ഷമാകും.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാം. ഈ കസേര സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ നിബന്ധനകളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്, സമവാക്യം പൂർത്തിയായി.

വിവിധ തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

ആദ്യം, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നോക്കാം - അവ ലളിതമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ നമുക്ക് വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും:

I., ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

II. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.

III. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.

ഇനി ഈ ഓരോ ഉപവിഭാഗങ്ങൾക്കുമുള്ള പരിഹാരം നോക്കാം.

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഒരു സ്‌ക്വയർ നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല, കാരണം നിങ്ങൾ രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ്:

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;

നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ഓർക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം അത് കുറവായിരിക്കരുത് എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത്!

ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല.

ഒരു പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെന്ന് ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതാൻ, ഞങ്ങൾ ശൂന്യമായ സെറ്റ് ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉത്തരം:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഇതിനർത്ഥം:

അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉദാഹരണം:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം കണക്കാക്കി വേരുകൾ കണ്ടെത്താം:

ഉത്തരം:

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

1. വിവേചനം

ഈ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്. ഓർക്കുക, ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അപൂർണ്ണം പോലും.

വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയിലെ വിവേചനത്തിൽ നിന്നുള്ള റൂട്ട് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എന്നാൽ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആകാം. എന്തുചെയ്യും? ഘട്ടം 2-ലേക്ക് നാം പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വിവേചനക്കാരൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരേ വേരുകളുണ്ട്, വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു റൂട്ട്:

  അത്തരം വേരുകളെ ഇരട്ട വേരുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• എങ്കിൽ, വിവേചനക്കാരൻ്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്തിട്ടില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

എന്തുകൊണ്ട് അത് സാധ്യമാണ് വ്യത്യസ്ത അളവുകൾവേരുകൾ? ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്:

ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, . ഇതിനർത്ഥം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ abscissa axis (axis) മായി ഛേദിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളാണ്. ഒരു പരാബോള അച്ചുതണ്ടിനെ ഛേദിച്ചേക്കില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നിൽ (പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം അക്ഷത്തിൽ കിടക്കുമ്പോൾ) അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റിൽ വിഭജിച്ചേക്കാം.

കൂടാതെ, പരവലയത്തിൻ്റെ ശാഖകളുടെ ദിശയ്ക്ക് ഗുണകം ഉത്തരവാദിയാണ്. പരാബോളയുടെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ താഴേക്ക്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

ഉത്തരം: .

ഉത്തരം:

ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ഉത്തരം: .

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നം സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ എന്നത് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ().

നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം #1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും . മറ്റ് ഗുണകങ്ങൾ:; .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക:

ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുത്ത് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം:

• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരവും ഇവയാണ്:

അങ്ങനെ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ.

ഉത്തരം:; .

ഉദാഹരണം #2:

പരിഹാരം:

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, തുടർന്ന് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:

കൂടാതെ: അവർ മൊത്തത്തിൽ നൽകുന്നു.

കൂടാതെ: അവർ മൊത്തത്തിൽ നൽകുന്നു. ലഭിക്കുന്നതിന്, അനുമാനിക്കപ്പെടുന്ന വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റാൻ ഇത് മതിയാകും: കൂടാതെ, എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഉൽപ്പന്നം.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #3:

പരിഹാരം:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ് നെഗറ്റീവ് നമ്പർ. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അതിനാൽ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ് അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ.

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന അത്തരം ജോഡി സംഖ്യകൾ നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

കൂടാതെ: അവരുടെ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ് - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

കൂടാതെ: - അനുയോജ്യം. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്. അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം എന്നതിനാൽ, ചെറിയ മോഡുലസ് ഉള്ള റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം: . ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #4:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് നെഗറ്റീവും മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവും ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ.

ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, തുടർന്ന് ഏത് വേരുകൾക്ക് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ മാത്രം ആദ്യ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാണ്:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് ഒരു വേരെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്നാൽ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, രണ്ട് വേരുകൾക്കും ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടെന്ന് അർത്ഥമാക്കുന്നു.

ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമായ സംഖ്യകളുടെ ജോഡികൾ നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ അക്കങ്ങളും.

ഉത്തരം:

സമ്മതിക്കുക, ഈ വൃത്തികെട്ട വിവേചനത്തെ കണക്കാക്കുന്നതിനുപകരം വാമൊഴിയായി വേരുകൾ കൊണ്ടുവരുന്നത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം കഴിയുന്നത്ര തവണ ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

എന്നാൽ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സുഗമമാക്കുന്നതിനും വേഗത്തിലാക്കുന്നതിനും വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമാണ്. ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോജനം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ യാന്ത്രികതയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം. ഇതിനായി, അഞ്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ വഞ്ചിക്കരുത്: നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വിവേചനം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല! വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രം:

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള ടാസ്ക്കുകൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ:

ടാസ്ക് 1. ((x)^(2))-8x+12=0

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഒരു കഷണം ഉപയോഗിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആരംഭിക്കുന്നു:

തുക കാരണം അനുയോജ്യമല്ല;

: തുക നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളത് മാത്രമാണ്.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 2.

വീണ്ടും ഞങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം: തുക തുല്യമായിരിക്കണം, ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായിരിക്കണം.

എന്നാൽ അത് ആയിരിക്കണമെന്നില്ല, പക്ഷേ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു: കൂടാതെ (മൊത്തം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 3.

ഹും... അതെവിടെ?

നിങ്ങൾ എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരു ഭാഗത്തേക്ക് നീക്കേണ്ടതുണ്ട്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

ശരി, നിർത്തുക! സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ ബാധകമാകൂ. അതിനാൽ ആദ്യം നിങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം നൽകേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് നയിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ആശയം ഉപേക്ഷിച്ച് മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ). ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകുക എന്നതിനർത്ഥം മുൻനിര ഗുണകത്തെ തുല്യമാക്കുക എന്നാണ് എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

കൊള്ളാം. അപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യവും ഉൽപ്പന്നവുമാണ്.

ഇവിടെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ ഷെല്ലിംഗ് പിയേഴ്സ് പോലെ എളുപ്പമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഇത് ഒരു പ്രധാന സംഖ്യയാണ് (ടൗട്ടോളജിക്ക് ക്ഷമിക്കണം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 4.

സ്വതന്ത്ര അംഗം നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്താണ് ഇതിൻ്റെ പ്രത്യേകത? വേരുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളുണ്ടാകും എന്നതാണ് വസ്തുത. ഇപ്പോൾ, തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയല്ല, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളിലെ വ്യത്യാസമാണ് പരിശോധിക്കുന്നത്: ഈ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ്, പക്ഷേ ഒരു ഉൽപ്പന്നമാണ്.

അതിനാൽ, വേരുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിലൊന്ന് മൈനസ് ആണ്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു, അതായത്. ഇതിനർത്ഥം ചെറിയ റൂട്ടിന് ഒരു മൈനസ് ഉണ്ടായിരിക്കും: ഒപ്പം, മുതൽ.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 5.

നിങ്ങൾ ആദ്യം എന്താണ് ചെയ്യേണ്ടത്? അത് ശരിയാണ്, സമവാക്യം നൽകുക:

വീണ്ടും: ഞങ്ങൾ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കണം:

വേരുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിലൊന്ന് മൈനസ് ആണ്. ഏതാണ്? അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് മൈനസിന് ഒരു വലിയ റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഉത്തരം:; .

ഞാൻ സംഗ്രഹിക്കട്ടെ:

1. നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ വാമൊഴിയായി കണ്ടെത്താനാകും.
3. സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ലെങ്കിലോ സ്വതന്ത്ര പദത്തിൻ്റെ അനുയോജ്യമായ ജോഡി ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിലോ, മുഴുവൻ വേരുകളുമില്ല, നിങ്ങൾ അത് മറ്റൊരു രീതിയിൽ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ).

3. ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള രീതി

അജ്ഞാതമായ എല്ലാ പദങ്ങളും സംക്ഷിപ്ത ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പദങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ - തുകയുടെ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം - വേരിയബിളുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, സമവാക്യം തരത്തിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉദാഹരണം 1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 2:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

പൊതുവേ, പരിവർത്തനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഇത് പിന്തുടരുന്നു: .

ഒന്നും നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നില്ലേ? ഇത് വിവേചനപരമായ കാര്യമാണ്! അങ്ങനെയാണ് ഞങ്ങൾക്ക് വിവേചന സൂത്രവാക്യം ലഭിച്ചത്.

ക്വാഡ്രേറ്റ് സമവാക്യങ്ങൾ. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് സംക്ഷിപ്തമായി

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഇത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെ - അജ്ഞാതം, - ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ, - സ്വതന്ത്ര പദം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകം ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം, അതായത്: .

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- കോ എഫിഷ്യൻ്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം:

• ഗുണകം ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ,
• ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമുണ്ടെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: .

1. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1.1 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) നമുക്ക് അജ്ഞാതമായത് പ്രകടിപ്പിക്കാം:,

2) പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക:

• സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

1.2 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

2) ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്:

1.3 ഫോമിൻ്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ:

ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ: .

2. ഫോമിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

2.1 വിവേചനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

1) നമുക്ക് സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം: ,

2) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാം:

3) സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട്, അവ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

2.2 വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക (രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യം) തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണ്, അതായത്. , എ.

2.3 ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ബീജഗണിത സമവാക്യം പൊതുവായ കാഴ്ച

ഇവിടെ x ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളാണ്,

a, b, c, ഗുണകങ്ങളാണ്, കൂടാതെ

എക്സ്പ്രഷൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

1. രീതി : സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം ഫാക്ടർ ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം x 2 + 10x - 24 = 0. നമുക്ക് ഇടതുവശം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം:

x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x (x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12) (x - 2).

അതിനാൽ, സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

(x + 12)(x - 2) = 0

ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യമായതിനാൽ, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം പൂജ്യമായി മാറുന്നു x = 2, കൂടാതെ എപ്പോൾ x = - 12. ഇതിനർത്ഥം നമ്പർ എന്നാണ് 2 ഒപ്പം - 12 സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ് x 2 + 10x - 24 = 0.

2. രീതി : ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനുള്ള രീതി.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം x 2 + 6x - 7 = 0. ഇടതുവശത്ത് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ x 2 + 6x എന്ന പദപ്രയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:

x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എക്‌സ്‌പ്രഷനിൽ, ആദ്യ പദം x എന്ന സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗമാണ്, രണ്ടാമത്തേത് x-ൻ്റെ ഇരട്ട ഉൽപ്പന്നമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ 3 2 ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം

x 2 + 6x - 7 = 0,

അതിലേക്ക് കൂട്ടുകയും 3 2 കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

അതിനാൽ, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, അല്ലെങ്കിൽ x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. രീതി :ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കാം

ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0

4a-യിലും തുടർച്ചയായി നമുക്കുണ്ട്:

4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,

(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

എ)നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0,രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകൾ;

അങ്ങനെ, ഒരു നല്ല വിവേചനത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അതായത്. ചെയ്തത്

b 2 - 4ac >0, സമവാക്യം കോടാലി 2 + bx + c = 0രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളുണ്ട്.

b)നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D = 0,ഒരു റൂട്ട്;

അതിനാൽ, വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, അതായത്. b 2 - 4ac = 0, പിന്നെ സമവാക്യം

കോടാലി 2 + bx + c = 0ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്

വി)നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.

ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

അതിനാൽ, വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതായത്. b 2 - 4ac< 0 , സമവാക്യം

കോടാലി 2 + bx + c = 0വേരുകളില്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഫോർമുല (1). കോടാലി 2 + bx + c = 0വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ), കുറച്ചതും അപൂർണ്ണവും ഉൾപ്പെടെ. ഫോർമുല (1) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വാക്കാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ വിപരീത ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഈ ഗുണകത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തെ സ്വതന്ത്ര പദത്താൽ നാലിരട്ടിയാക്കാതെ, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ ആദ്യ ഗുണകത്തിൻ്റെ ഇരട്ടിയാണ്.

4. രീതി: വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

x 2 + px + c = 0.(1)

അതിൻ്റെ വേരുകൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, അത് എപ്പോൾ a =1പോലെ തോന്നുന്നു

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - പി

ഇതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും (ഗുണകണങ്ങളിൽ നിന്ന് p, q നമുക്ക് വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ പ്രവചിക്കാം).

a) പകുതി അംഗമാണെങ്കിൽ qകുറച്ച സമവാക്യത്തിൻ്റെ (1) പോസിറ്റീവ് ( q > 0), അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് തുല്യ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, ഇത് രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു പി. എങ്കിൽ ആർ< 0 , എങ്കിൽ രണ്ട് വേരുകളും നെഗറ്റീവ് ആണ് ആർ< 0 , അപ്പോൾ രണ്ട് വേരുകളും പോസിറ്റീവ് ആണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

x 2 - 3x + 2 = 0; x 1 = 2ഒപ്പം x 2 = 1,കാരണം q = 2 > 0ഒപ്പം p = - 3< 0;

x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7ഒപ്പം x 2 = - 1,കാരണം q = 7 > 0ഒപ്പം p= 8 > 0.

ബി) ഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗമാണെങ്കിൽ qനൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം (1) നെഗറ്റീവ് ആണ് ( q< 0 ), അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് വ്യത്യസ്ത ചിഹ്നത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, വലിയ റൂട്ട് പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും പി< 0 , അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ p > 0 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

x 2 + 4x - 5 = 0; x 1 = - 5ഒപ്പം x 2 = 1,കാരണം q= - 5< 0 ഒപ്പം p = 4 > 0;

x 2 - 8x - 9 = 0; x 1 = 9ഒപ്പം x 2 = - 1,കാരണം q = - 9< 0 ഒപ്പം p = - 8< 0.

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1) നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം 345x 2 – 137x – 208 = 0.

പരിഹാരം.കാരണം a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0),അത്

x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.

ഉത്തരം: 1; -208/345.

2) സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക 132x 2 – 247x + 115 = 0.

പരിഹാരം.കാരണം a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0),അത്

x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.

ഉത്തരം: 1; 115/132.

ബി. രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം ആണെങ്കിൽ b = 2kഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്, തുടർന്ന് റൂട്ട് ഫോർമുല

ഉദാഹരണം.

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം 3x2 - 14x + 16 = 0.

പരിഹാരം. നമുക്ക് ഉണ്ട്: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0,രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകൾ;

ഉത്തരം: 2; 8/3

IN. കുറച്ച സമവാക്യം

x 2 + px + q= 0

ഒരു പൊതു സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു a = 1, b = പിഒപ്പം c = q. അതിനാൽ, കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്, റൂട്ട് ഫോർമുലയാണ്

ഫോം എടുക്കുന്നു:

ഫോർമുല (3) എപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കാൻ പ്രത്യേകിച്ചും സൗകര്യപ്രദമാണ് ആർ- ഇരട്ട സംഖ്യ.

ഉദാഹരണം.നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം x 2 – 14x – 15 = 0.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട്: x 1.2 =7±

ഉത്തരം: x 1 = 15; x 2 = -1.

5. രീതി: സമവാക്യങ്ങൾ ഗ്രാഫിക്കായി പരിഹരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം. x2 - 2x - 3 = 0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

നമുക്ക് y = x2 - 2x - 3 ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം

1) നമുക്കുണ്ട്: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. ഇതിനർത്ഥം പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം ബിന്ദുവാണ് (1; -4), പരവലയത്തിൻ്റെ അക്ഷം x = 1 എന്ന നേർരേഖയാണ്.

2) പരാബോളയുടെ അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ സമമിതിയിലുള്ള x-അക്ഷത്തിൽ രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾ എടുക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, x = -1, x = 3 എന്നീ പോയിൻ്റുകൾ.

നമുക്ക് f(-1) = f(3) = 0 ഉണ്ട്. നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം കോർഡിനേറ്റ് വിമാനംപോയിൻ്റുകൾ (-1; 0), (3; 0).

3) പോയിൻ്റുകളിലൂടെ (-1; 0), (1; -4), (3; 0) ഞങ്ങൾ ഒരു പരവലയം വരയ്ക്കുന്നു (ചിത്രം 68).

x2 - 2x - 3 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ x-ആക്സിസുമായി പരാബോളയുടെ വിഭജന പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സസുകളാണ്; ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഇവയാണ്: x1 = - 1, x2 - 3.